Как правилно да съставим разпадането на нервността. Дробно-рационална неравномерност. Как да се справяме с несъответствията, които имат модул

Въведете ax 2 + bx + 0 0, de (замяна на знака > възможна, разумна, да е някакъв друг знак за неравности). Всичко е необходимо за разрешаване на подобни несъответствия с фактите на теорията, можем да видим защо можем да променим веднага.

дупе 1. Virishiti nerívnіst:

а) x 2 - 2x - 3> 0; б) x 2 - 2x - 3< 0;
в) x 2 - 2x - 3 > 0; г) x 2 - 2x - 3< 0.
решение,

а) Нека да разгледаме параболата y \u003d x 2 - 2x - 3, изобразена на фиг. 117.

Неравномерност на вирите x 2 - 2x - 3 > 0 - не означава захранване, за което x ордината точката на параболата е положителна.

Съответно, че y > 0, тогава графиката на функцията на разширение е по-висока за оста x, при x< -1 или при х > 3.

Отче, решенията на неравностите са всички точки на откритост за мен(- 00 , - 1) и намерете всички точки от отворения критичен диапазон (3, +00).

Vykoristovuyuchi знак U (знак на подразделение), може да се запише така: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd може да се запише така: x< - 1; х > 3.

б) Неравности x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: графикразпространение под оста x, яксо -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Неравномерност x 2 - 2x - 3 > 0 се счита за неравномерност x 2 - 2x - 3 > 0, така че трябва да включите подравняване на корена x 2 - 2x - 3 = 0, след което точките x = -1

і x \u003d 3. В този ред дадените решения не са напълно неравномерни и всички точки на промяна (-00, - 1], както и точките на промяна на мустаците.

Практическите математици звучат така: елате при нас, доказвайки неравностите на ос 2 + bx + c\u003e 0, за да развием точно параболата на графиката на квадратична функция

y \u003d ax 2 + bx + c (как беше разбит на дупе 1)? Завършване на схематична малка графика коренна квадратния трином (точките на напречната греда на параболата z vіssy х) и означават, където изправянето на иглите на параболата е нагоре надолу. Този схематичен малък ще ви даде облак от нервност на rozv'yazannya.

дупе 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Решение.

1) Знаем корена на квадратния трином - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 = - 1,5.

2) Парабола, като графика на функцията y \u003d -2x 2 + Zx + 9, измествайки всички x в точки 3 i - 1,5, а щифтовете на параболата са изправени надолу, по-старите коефициент- Отрицателно число - 2. На фиг. 118 изображения на малки графики.

3) Vikoristovuyuchi ориз. 118, Робимо висновок: у< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Предложение: х< -1,5; х > 3.

Пример 3. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Решение.

1) Известно е Z равно 4x 2 - 4x + 1 = 0.

2) Квадратният трином има един корен; tse означава, че това е парабола, като графика на квадратен трином, не променя всички x, но стои в точки. Главите на параболата право нагоре по хълма (фиг. 119.)

3) За допълнителен геометричен модел, който е показан на фиг. 119 се установява, че неравномерността се задава само в точки, като мащабирането при всички останали стойности на ординатата на графиката е положително.
Внушение: .
Ти, пей-песен, си спомни, че всъщност задниците 1, 2, 3 имаха цяла песен алгоритъм rozv'yazannya квадратни неравности, формализирани його.

Алгоритъм за извеждане на квадратна неравност ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

На първия етап алгоритъмът трябва да знае корена на квадратния трином. Но коренът не може да бъде счупен, защо да работите? Тогава алгоритъмът не застосовуется, тогава е необходимо да го спазвате така или иначе. Ключът към tsikh mirkuvan е да се дадат такива теореми.

С други думи, като Д< 0, а >0, тогава неравномерността на ax 2 + bx + c > 0 печели за всички x; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Доказателство. График функции y = ax 2 + bx + c є парабола, иглите са изправени нагоре (скаляри a > 0) и те не променят всички x, тъй като квадратният трином няма корен за ума. Графиката е показана на фиг. 120. Бачимо, че при всички x графикът на разширенията е по-висок от оста x, но ce означава, че при всички x неравномерността ax 2 + bx + c > 0, която е трябвало да бъде завършена.

С други думи, като Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 няма решение.

Доказателство. Графика на функцията y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

дупе 4. Virishiti nerívnіst:

а) 2x 2 - x + 4> 0; б) -x 2 + Zx - 8> 0.

а) Знаем дискриминанта на квадратния тричлен 2x 2 - x + 4. Май D = (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Старшият коефициент на тричлена (число 2) е положителен.

И така, за теорема 1, за всички x, неравномерността 2x 2 - x + 4> 0 е преодоляна, така че всички (-00 + 00) служат за решения на дадената неравномерност.

б) Знаем дискриминанта на квадратния трином - x 2 + Zx - 8. Май D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Валидност: а) (-00 + 00); б) няма решение.

При нападателния дупе познаваме още един начин за закопаване, който застосовется при отваряне на квадратни неравности.

Пример 5. Virishity nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Решение. Разширяваме квадратния трином 3x 2 - 10x + 3 в множители. Към корените на тричлена є число 3 i до това, ускорявайки ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), вземаме 3x 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Значително върху числения пряк корен на тричлена: 3 i (фиг. 122).

Нека x> 3; тогава x-3>0 і x->0, тогава i допълнителното 3(x - 3)(x - ) е положително. Хайде хайде< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Също така, dobutok 3(x-3)(x-) е отрицателен. Хайде, хайде, х<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) е положително.

Обобщавайки, стигаме до висновката: знаците на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3 се променят, както е показано на фиг. 122. Но ние трябва да бъдем наречени, за някакъв квадратен трином той приема отрицателни стойности. 3 фиг. 122 robimo visnovok: квадратен тричлен 3x 2 - 10x + 3 набуе отрицателни стойности за всяка стойност на x в интервала (, 3)
Видповид (, 3), иначе< х < 3.

Уважение. Методът на огледално отразяване, който използвахме на дупе 5, се нарича метод на интервалите (или метод на интервалите). Win активно печели в математиката за съвършенство рационалнонередности. В 9 клас методът на интервалите е по-подробен.

дупе 6. За всяка стойност на параметъра p квадрат равен x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
а) има два различни корена;

б) има един корен;

в) не maє -root?

Решение. Броят на корените на квадратното изравняване се намира според знака на първия дискриминант D. В този случай е известно D = 25 - 4p2.

а) Квадратното подравняване може да има два различни корена, като D>0, следователно задачата е да се изгради до подравняването на неравностите 25 - 4p 2 > 0. Отнемаме равенството на неравностите 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Признаците на вираза 4(p – 2.5) (p + 2.5) са показани на фиг. 123.

Робимо висновок, което е нечетно 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратно подравняванеможе да има един корен, така че D - 0.
Вмъкнахме още, D = 0 за p = 2,5 или p = -2,5.

Същото със стойностите на tsikh на параметъра се дава на квадрат, равен на само един корен.

в) Квадратът не е равен на корена, както D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Взимаме 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5) > 0, звезди (div. Фиг. 123) p< -2,5; р >2.5. С tsikh стойности на дадения параметър, квадратът няма корен.

Vidpovid: а) при р(-2,5, 2,5);

б) при p = 2,5 abor = -2,5;
в) при r< - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., алгебра. 8 клас: Навч. за zagalnosvіt. инсталация - 3-ти изглед., Doopratsyuvannya. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Помощ за ученик онлайн, математика за 8 клас изтегляне, календарно-тематично планиране

Линейните се наричат ​​несъответствиялява и дясна част от такива линейни функции с някаква неизвестна величина. Пред тях може да се види, например, нервност:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- х< x + 5 .

1) Сувори неравности: ax+b>0или брадва+б<0

2) Нестроги нередности: ax+b≤0или брадва+б≫ 0

Нека да разгледаме. Една от страните на успоредника става 7см. Каква може да бъде дължината на другата страна, така че периметърът на успоредника да е по-голям от 44 cm?

Хайде от шукана страна на акциите хвиж Този път периметърът на успоредника ще има изображения (14 + 2x) виж Неправилност 14 + 2x > 44 є математически моделЗадача за периметъра на паралелограма. Подобно на тази неравност, заменете промяната хНа, например, числото 16, тогава вземаме правилната числена неравномерност 14 + 32 > 44. В този случай изглежда, че числото 16 е същото като разликата между 14 + 2x > 44.

Rozvyazanyam нервностназовете значението на промяната, сякаш е звяр от тях, в правилната числена неравномерност.

Otzhe, кожа от числата 15.1; 20;73 действат като rozvyazkoy неравномерност 14 + 2x > 44, а числото 10, например, не е същото rozvyazky.

Virishiti nerіvnіstозначава да инсталирате всички решения или да донесете, че решението не съществува.

Формулирането на rozv'yazannya на неравностите е подобно на формуляра на корена на подравняване. Все пак не е обичайно да се обозначава „коренът на нервността“.

Доминирането на числовата еквивалентност беше допълнено от еквивалентност на виришувати. Така че самата сила на числените несъответствия ще помогне за преодоляване на несъответствията.

Вирисуючи еквивалентност, ние сменяме yogo іnhim, ще простим еквивалентността повече, но макар и равна на дадената. Зад такава схема човек знае последствията и несъответствията. При смяна на уравнението върху равното на него, изравняването се потвърждава от теоремата за прехвърляне на събиранията от една част от равно на дължината и умножение на двете части от равното на същото в същото число като нула. В случай на rozvyazannі nerіvnіnosti е istotna vіdminnіst yogo z іvnyannі, yak polyaє в действителност, scho be-yakе решение іvnіnіnіa є і това е просто pіdstanovkoy vіhіdnі ііvnіannya. Нередностите имат такъв начин всеки ден, така че не е възможно да им се представи безлично решение. За това е важно да се разбере оста на стрелките<=>- tse знак за еквивалент, chi равен, трансформация. Трансформацията се нарича равен,или еквивалентенкато вонята не променя безличното решение.

Подобни правила за rozv'yazannya раздразнителност.

Сякаш нещо трябва да се премести от една част на неравностите в друга, като сме заменили знака с противоположния, тогава премахваме неравномерността, еквивалентна на дадената.

Ако умножите (разделите) обидните части на нервността по едно и също положително число, тогава отнемаме неравномерността, еквивалентна на дадената.

Ако умножите (разделите) неравномерните части на неравностите по едно и също отрицателно число, като замените знака на неравномерието с удължаването, тогава ние отнемаме неравномерността, която е еквивалентна на дадената.

Vikoristovuyuchi qi регламентикато се отчита по-ниската раздразнителност.

1) Нека да разгледаме несъответствието 2x - 5 > 9.

Tse линейна неравномерност, ние знаем його решение и дискусионно основното разбиране.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 се преместиха в лявата част с противоположен знак), след това разделиха всичко на 2 и може би х > 7. Ще приложим богато решение за всичко х

Отнели сме положителните директиви. Значително безлично решение или като нервност х > 7, или като интервал x(7; ∞). А какво да кажем за частните решения относно нервността? Например, х=10- tse private vyshennya tsієї nerіvnostі, х=12- това също е частен вариант на нервност.

Има много частни решения, но нашата задача е да знаем всички решения. И решението, като правило, е безлично.

Розберемо дупе 2:

2) Премахнете нервността 4а - 11 > а + 13.

Виришима йога: анека се движим в един клюн, 11 преминете към следващата книга, вземете 3а< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 нервност може да изглежда а<8 .

4а - 11 > а + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .

Теж очевидно безличен а< 8 , но вече на оста а.

Vidpovid или пишете като нервност а< 8, либо а(-∞;8), 8 не е включен.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради причини разширихме Политиката за поверителност, както е описано, тъй като събрахме вашата информация. Бъдете любезни, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси относно храната.

Избор на избрана лична информация

Под личната информация се дават данни, тъй като е възможно да се спечели за идентификация на пеещо лице и връзка с него.

Може да бъдете помолени за вашата лична информация, ако се свържете с нас.

По-долу има някои примери за видове лична информация, които можем да избираме и каквито можем да избираме такава информация.

Как събираме лична информация:

• Ако подадете заявление в сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как събираме вашата лична информация:

• Събраната от нас лична информация ни позволява да се свържем с вас и да ви разкажем за уникални оферти, промоции и други посещения и най-близките сделки.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация, за да засилим важни напомняния и напомняния.
• Можем също така да събираме лична информация за вътрешни цели, като одит, анализиране на данни и други записи с метод за подобряване на услугите, който се надяваме да ви бъде предоставен чрез препоръчване на нашите услуги.
• Докато участвате в теглене на награди, състезания или подобни стимули, ние можем да спечелим информация, надяваме се, за да управляваме такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме вашата информация на трети лица.

Винятки:

• Необходимо е - съгласно закона, съдебен ред, съдебен контрол и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, още по-важното е, че такова разкриване е необходимо или подходящо за безопасност, поддържане на закона и реда или други важни випадкив.
• В моменти на реорганизация, утежняване или продажба, можем да прехвърлим лична информация, която е събрана от нас, третото лице - на нарушителя.

Защитник на личната информация

Ние живеем в чужбина - включително административни, технически и физически - за защита на вашата лична информация под формата на разхищение, кражба и недобросъвестно използване, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна на това нарушение.

Поддържане на вашата поверителност в партньорска компания

За да променим вашата лична информация, така че личната ви информация да бъде защитена, ние въвеждаме нормите за поверителност и сигурност на нашите контакти и стриктно спазваме правилата за поверителност.

Днес, приятели, няма да има ежедневни сополи и сантименти. Като техен заместител ще ви насоча без никаква власт да победите един от най-лошите опоненти в курса по алгебра за 8-9 клас.

И така, разбрахте всичко правилно: разгледайте несъответствията с модула. Нека да разгледаме някои от основните принципи, с помощта на които ще се научите да преодолявате близо 90% от подобни задачи. А какво ще кажете за 10% reshtoyu? Е, ще говорим за тях в един добър урок.

Преди това обаче, как да уредя как да го приема там, бих искал да отгатна два факта, които би било необходимо да знаем. В противен случай ще проверите знанията по материала от днешния урок.

Какво трябва да знаете

Очевидно е, че за да разрешите несъответствията с модула, е необходимо да знаете две думи:

1. Как бушува нервността;
2. Какво е модул?

Да започнем от друга точка.

Функция на модула

Тук всичко е просто. Є две функции: алгебрична и графична. За кочана - алгебричен:

Назначаване. Модулът на числото $x$ е или самото число, тъй като не се вижда за мен, или числото, което е срещу вас, както и другият $x$, все още е отрицателно.

Запишете го така:

\[\вляво| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Казано по-просто, модулът е „число без минус“. Аз самият в тази двойственост (тук, от последния номер, нищо не трябва да се работи, но тук се случва да подредя минуса там) и цялото сгъване е за учениците-pochatkivtsiv.

По-геометричен дизайн. Също така е добре да се знае, но е по-малко вероятно да стигнем до новия по сгъваеми и дори специални начини, геометричен pidkhіd, успешен за алгебрични (спойлер: не днес).

Назначаване. Нека точката $a$ е отбелязана на числовата права. Същият модул $ \ вляво | x-a \right|$ се извиква от точката $x$ до точката $a$ на тази права.

Ако искате да пресечете картината, тогава можете да я видите на kshtalt tsogo:

Графичен дизайн на модула

И така, какво друго, от обозначението на модула, веднага се вижда ключовата мощност: модулът на числото винаги е равен на големината. Този факт ще бъде червена нишка, която ще премине през целия ни днешен дискурс.

Virishennya nerіvnosti. Интервален метод

Сега нека да разгледаме нервността. Те са безлични, но нашата задача веднага е да убием виришувати, които искат да бъдат най-простите от тях. Tі, scho zvoditsya до линейни неравности, и navіt метод на интервали.

По тази тема имам два страхотни урока (mіzh іnshim, more, more brown - препоръчвам vivchiti):

1. Интервален метод за нередности (особено вижте видеото);
2. Дробно-рационални несъответствия - дори общ урок, но тогава не получавате достатъчно храна.

Ако знаете всичко, ако фразата „да преминем от неравности към равенство“ не звучи така, сякаш сте безумно уморени да се самоубивате в стената, значи сте готови: любезно ви молим да отидете по дяволите до основния урок . :)

1. Неправилност на ума "Модул по-малко от функцията"

Това е една от най-обширните задачи с модули. Необходимо е да се преодолее неравномерността на ума:

\[\вляво| е\вдясно| \ltg\]

Ролята на функциите $f$ и $g$ може да бъде, или иначе, полиноми. Приложете такива несъответствия:

\[\begin(подравняване) & \left| 2x+3\вдясно| \ltx+7; \\ & \вляво| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \вляво| ((x)^(2))-2\вляво| х \вдясно|-3 \вдясно| \lt 2. \\\end(подравняване)\]

Всички смърди са буквално на един ред зад схемата:

\[\вляво| е\вдясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g\quad \left(\Стрелка надясно \вляво\( \begin(подравняване) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(подравняване) \вдясно\вдясно)\]

Няма значение дали модулът е пощаден, но можем да премахнем основното несъответствие (в противен случай същото, системата от две несъответствия). Prote cey трансфер vrakhovu абсолютно всичко възможни проблеми: ако числото под модула е положително, методът работи; akscho отрицателно - все една и съща практика; и navit за най-неадекватната функция на метода на къщата $f$ chi $g$ все същата работа.

Очевидно обвинявайте храната: не може ли да бъде по-просто? За съжаление не е възможно. Който има цялата функция на модула.

Vtіm, придържайте се към философстване. Нека изпеем клонче на деня:

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| 2x+3\вдясно| \ltx+7\]

Решение. Също така, пред нас е класически nerіvnіst ум "по-малък модул" - да преправя нищо. Упражнение за алгоритъма:

\[\begin(подравняване) & \left| е\вдясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g; \\ & \вляво| 2x+3\вдясно| \lt x+7\Стрелка надясно -\ляво(x+7 \вдясно) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(подравняване)\]

Не бързайте да отваряте арките, пред които има „минус“: доколкото е възможно, чрез бързането, ще се отдадете на образно извинение.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(подравняване) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Задачата беше до две елементарни нередности. Значително се увеличават на успоредни числови линии:

Множество перетин

Peretin tsikh се умножи и ще стане ясно.

Съвпадение: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно|+3\вляво(x+1 \вдясно) \lt 0\]

Решение. Поръчката вече е дреболия сгъната. За кочана използваме модула, прехвърляйки друго допълнение вдясно:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \lt -3\ляво(x+1 \вдясно)\]

Очевидно сме изправени пред нова неравномерност на формата „по-малък модул“, така че разрешаваме модула за вече съществуващия алгоритъм:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ос на зараза уважение: позволете ми да ви кажа, аз съм troch bochenets іz мустаци с окови. Але, пак ще позная коя е ключовата ни мета компетентно virishiti nerіvnіst и otrimati vіdpovіd. В крайна сметка, ако сте усвоили напълно всичко, което е разкрито в този урок, можете да се завъртите, както желаете: да отворите ръцете, да добавите минуси и т.н.

А за нас, за кочана, просто ще се събудим за подкопаващия минус на злото:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\вляво(x+1\вдясно)\]

Сега всички арки на основната нервност са отворени:

Да преминем към нервността в метрото. Този път разделите ще бъдат по-сериозни:

\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( подравняване)\вдясно.\]

Нарушенията на неравностите се квадратират и нарушават по метода на интервалите (но ще ви кажа: не знаете какво е, по-скоро не приемайте модулите все още). Да преминем към първата неравномерност:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\ляво(x+5\вдясно)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\край (подравняване)\]

Като бачимо, на изхода мина неравномерно на квадрат, дори, сякаш беше елементарно. Сега нека да разгледаме още една нервност на системата. Там се случва да застосуват теоремата на Виет:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\край (подравняване)\]

Извадете значително числата на две успоредни прави (okrema за първата неравност и okrema за другата):

Е, сигурен съм, че разделяйки системата от нередности с нас, ще повторим редовете на засенчващи множители: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.

Съвпадение: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Мисля, че след прилагането им схемата на решението имаше граничен смисъл:

1. Усвоете модула, като прехвърлите всички други допълнения към основната част на неравностите. По този начин ние вземаме предвид непоследователността на ума $\left| е\вдясно| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerіvnіst, като пощади модула за схемата, описана по-горе. В един момент е необходимо да се премине от подвариантна нервност към система от два независими вируса, чиято кожа може да бъде възстановена напълно.
3. Нарещи, да бъде лишен от решението на тези две самостоятелни срички - и всичко, което отнемаме, е остатъкът.

Подобен алгоритъм се използва за грубости от офанзивен тип, ако модулът е по-голям от функцията. Има обаче стрък сериозен "ейл". Нека веднага да поговорим за qi "ale".

2. Неправилност на ума "Модулът е повече от функция"

Те изглеждат така:

\[\вляво| е\вдясно| \gt g\]

Прилича ли на предната? Изглежда като. Prote vyrishyuyutsya така zavdannya zovsіm по различен начин. Формално схемата идва:

\[\вляво| е\вдясно| \gt g\Стрелка надясно \наляво[ \begin(подравняване) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(подравняване) \вдясно.\]

С други думи, можем да видим две точки:

1. От друга страна, просто игнорирайте модула - virishhuєmo нормално несъответствие;
2. Нека по същество разширим модула 3 със знак минус и след това ще умножим неравномерната част от неравностите по −1, което е по-малко от знака.

В този вариант те имат квадратен лък, tobto. може би бракът на двама би могъл.

Отново върнете уважението: ние не сме пред система, а сукупнист, при vіdpovіdі безлични те се обединяват, но не се променят. Важно е да се види предната точка!

Vzagali, z ob'ednannymi и peretina в rich uchnіv sutsіlna plutanina, нека го подредим в tsommu хранене отново и отново:

• "∪" - е знак за ob'ednannya. Всъщност буквата „U“ беше стилизирана, откъдето дойде при нас английски филмє съкращение като „Съюз“, tobto. "Съюз".
• "∩" е знакът на линията. Tsya, мамка му, звукът не дойде, а просто винил, както беше написано преди „∪“.

За да го запомните по-лесно, просто рисувайте до тези знаци, така че да се виждат келихите (само оста не трябва да ме вика веднага в пропагандата на наркоманията и алкохолизма: ако научите целия урок, тогава вие вече сте наркоман):

Rіznitsya mizh retinom и ob'єdnannyam mnozhin

В превода на руския tse това означава следното: обединението (снабдяването) включва собствени елементи от двете групи, тоест не по-малко от кожата; и ретиналната ос (система) включва само онези елементи, които едновременно са в първия множител, а в другия. Следователно няма повече кратни на множество ваканции.

Стана ли по-разумно? От мен добре. Да преминем към практиката.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| 3x+1 \вдясно| \gt 5-4x\]

Решение. Diemo за схемата:

\[\вляво| 3x+1 \вдясно| \gt 5-4x\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(подравняване) \ вдясно .\]

Virishuemo кожата nerіvnіnі suupnostі:

\[\left[ \begin(подравняване) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left[ \begin(подравняване) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left[ \begin(подравняване) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Искам да кажа, ще умножа кожата по числова линия и след това ще ги комбинираме:

Комбинация от множества

Съвсем очевидно е, че $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Предложение: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \gtx\]

Решение. Добре какво? Че нищо - все едно. Нека преминем през неравностите с модула до обединяването на две неравности:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \gt x\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\край (подравняване) \вдясно.\]

Облекчава раздразнителността на кожата. За съжаление коренът вече няма да бъде там.

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\край (подравняване)\]

Другата нервност също има дивеч:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\край (подравняване)\]

Сега трябва да изчислите числата по две оси - една ос за неравности на кожата. Необходимо е обаче да маркирате точките в правилния ред: колкото по-голямо е числото, толкова повече точката е преместена вдясно.

И ос тук ни проверява. Що се отнася до числата $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ всичко е ясно ) , така че сумата също е по-малка) , с числата $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ числото е по-голямо от отрицателно), а след това с останалата част от двойката, всичко не е толкова ясно. Кое е по-голямо: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ или $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme подреждане на точки на числовите прави и, vlasne, vіdpovіd.

Така че нека да разгледаме:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Потвърдихме корена, премахнахме отрицателните числа от двете страни на неравенството, така че имаме право да квадратираме нарушените страни:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Мисля, че разбрах, че $4\sqrt(13) \gt 3$, че $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, останалите точки по осите ще бъдат подредени, както следва:

Випадок на грозен корен

Предполагам, че виждаме sukupnіst, затова е необходимо да има фуга, а не разместване на множества за засенчване.

Отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\вдясно)$

Подобно на Bachite, нашата схема работи по чудо както за прости задачи, така и за трудни. Единственото „слабо място“ за такъв човек е необходимостта от компетентно балансиране на ирационални числа (и обрат: не е повече от корен). Аля ще бъде осветена в окремий на дажбите (и дори сериозен урок). И да тръгваме.

3. Неравности с невидими "опашки"

Отървахме се от най-добрите. Цената на неравномерния ум:

\[\вляво| е\вдясно| \gt\вляво| g\вдясно|\]

Привидно алгоритъмът, за който ще говорим веднага, е по-добър за модула. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє стой гарантирано nevid'єmnі vrazi:

Каква е работата на тези задачи? Просто запомни:

Нередностите с невидими "опашки" могат да причинят обидни части от естествения свят. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu not vynikne.

Ние сме пред нас tsikavitime zvedennya в квадрат - vіn спални модули, които корен:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\ляво(\sqrt(f) \вдясно))^(2))=f. \\край (подравняване)\]

Оста не е необходимо само да се заблуждава от корена на квадрата:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

В този момент бяха разрешени безлични помилвания, ако сте се научили да забравите да инсталирате модула! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі ирационална rіvnyannya), tse не веднага zaglyuvatymosya. Нека видим по-ясно цацата на деня:

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \надясно|\]

Решение. Отново уважаваме две думи:

1. Tse не suvora nerіvnіst. Крапки на числовата права ще се счупят.
2. Нападателните страни на несъответствието очевидно не се виждат (мощността на модула: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

Също така можем да квадратураме обидните части на неравностите, за да се отървем от модула и да елиминираме задачата, като използваме най-добрия метод за интервали:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\край (подравняване)\]

В останалата част от етапа изневерих малко: промених последователността на добавянията, съкратих четността на модула (всъщност, умножавайки $1-2x$ по -1).

\[\begin(подравняване) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) вдясно)\вдясно)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Virishuemo по метода на интервалите. Нека преминем от неравности към подравняване:

\[\begin(подравняване) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\край (подравняване)\]

Очевидно коренът се намира на числовата права. Още веднъж: мустаци на петънца от farbovani, парчета от нервност - не Suvora!

Zvіlnennya според знака на модула

Предполагам за тези, които са особено безкомпромисни: взимаме знаци от останалите неравности, сякаш булата е записана преди прехода към равни. Аз zafarbovuyemo регион, yakі нужда в една и съща неравности. Нашият vipad има $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Е, от мен всичко. Задачата приключи.

Предложение: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| ((x)^(2))+x+1 \вдясно|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \вдясно|\]

Решение. Робимо все едно. Не коментирам - просто се чудя на последователността на действията.

Да вземем квадрат:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \вдясно| \вдясно))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left((x)^(2))+3x+4 \вдясно))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left((x)^(2))+3x+4 \ вдясно))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \вдясно)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Метод на интервала:

\[\begin(подравняване) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Стрелка надясно x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Стрелка надясно D=16-40 \lt 0\Стрелка надясно \varnothing. \\край (подравняване)\]

Само един корен на числовата права:

Vidpovid - tsiliy интервал

Предложение: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Малко уважение към останалата част от главата. Сякаш уважавайки един от студентите си, обидите на подмодула са явно положителни в тази нервност, знакът на модула може да бъде пропуснат без вреда за здравето.

Ale tse вече zovsіm іnshiy rіven razdumіv, че іnshі pіdkhіd yogo може мислено да се нарече метод на nasledkіv. За новото в okremou urotsi. А сега да преминем към последната част на днешния урок, това е универсален алгоритъм, който се практикува завинаги. Навит тогава, ако всички предни се окажат безсилни.

4. Метод за изброяване на опции

И защо всички прийоми не помагат? Как неравностите да не са причинени от невидими опашки, как да не се влезе в модула, как да стартира?

Тогава на сцената излиза голямата артилерия на цялата математика – метод за изброяване. Стотици нередности от модула изглеждат така:

1. Запишете всички pіdmodulnі vrazi и ги приравнете на нула;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya, че vіznázchiti znaydenі korenі на една числова права линия;
3. Директно rozіb'єtsya на kіlka dіlyanok, средата на такъв кожен модул може да фиксира марката и това е недвусмислено rozkrivaєєtsya;
4. Virishiti nerіvnіst на kozhnіy такива dilyanci (можете да погледнете корен-кордони, otrimani в точка 2 за надмощие). Резултатите от асоциацията - tse i bude vіdpovіd.

Е як? Слаб? Лесно! За дълго време. Нека погледнем практически:

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\вляво| x+2 \вдясно| \lt\вляво| x-1 \вдясно|+x-\frac(3)(2)\]

Решение. Tsya глупости не се дразни $ \ left | е\вдясно| \lt g$, $\left| е\вдясно| \gt g$ или $\left| е\вдясно| \lt\вляво| g \right|$, всичко е наред.

Пишем субмодуларни virazi, приравняваме ги на нула и знаем корена:

\[\begin(подравняване) & x+2=0\Стрелка надясно x=-2; \& x-1=0\Стрелка надясно x=1. \\край (подравняване)\]

Заедно имаме два корена, които разбиват числото направо на три графика, в средата на тези скинове модулът недвусмислено се разгръща:

Разделяне на числовата права с нули на субмодуларни функции

Нека да разгледаме кожата okremo.

1. Дайте $x \lt -2$. Todi обижда pіdmodulnі virazi отрицателно, i vihіdna nerіvnіst пренаписвам така:

\[\begin(подравняване) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(подравняване)\]

Zdobuli dosit просто obmezhennya. Нека преместим йога с останалите надбавки, които $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(подравняване) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \varnothing \]

Очевидно е, че промяната на $x$ не може да бъде по-малка от -2 за една нощ, но повече от 1,5. Няма решение за този бизнес.

1.1. Окремо погледнете близо до кордона випадок $x=-2$. Нека просто си представим това число при липса на непоследователност и проверимо: защо е победоносно?

\[\begin(подравняване) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \вдясно|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing. \\край (подравняване)\]

Очевидно е, че лингвистът ни е измамил до невероятна неравномерност. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh погрешно, і $x=-2$ не влизайте в vіdpovіd.

2. Сега дайте $-2 \lt x \lt 1$. Модулът Libary вече се разработва с плюс, но десният все още е с минус. Maemo:

\[\begin(подравняване) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\край(подравняване)\]

Сменям го наново с викидной вимогой:

\[\left\( \begin(подравняване) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \varnothing \]

Подновявам празното безлично решение, няма парчета от такива числа, които са по-малко от -2,5 едновременно, и повече от -2.

2.1. Подновявам okremy vipadok: $ x = 1 $. Нека си представим, че изходът е неравномерен:

\[\begin(подравняване) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \вляво| 3\вдясно| \lt\вляво| 0 \вдясно|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing. \\край (подравняване)\]

Подобно на предния „частен спад“, числото $x=1$ очевидно не е включено в падането.

3. Останалата част права: $x \gt 1$. Тук всички модули са извити със знак плюс:

\[\begin(подравняване) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(подравняване)\ ]

Отново преосмислям множеството външни обмени:

\[\left\( \begin(подравняване) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \left(4,5;+\infty) \вдясно)\]

Е, вземете го! Знаехме интервала, който ще бъде povіddu.

Предложение: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Насамкинец - едно уважение, тъй като, може би, ще ви спаси от лоши извинения, когато се изпълняват реални задачи:

Virishennya nerіvіvnosti z modules zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Изолираните точки улавят по-бавно. По-вероятно е да се улови, така че между решенията (kіnets vіdrіzka) да излизат извън границите на анализирания диапазон.

Оттогава, сякаш кордоните (тези „частни випадки“ сами по себе си) не влизат в охраната, тогава майже, единодушно, не отивайте в охраната и зоната на злото - правото да влизате в тези кордони. І navpaki: кордон uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh ще бъде vіdpovіdyami.

Не забравяйте за това, ако промените решението си.

И днешните рационални несъответствия в общото obsyazy могат да бъдат обърнати. По-точно не само всеки може да виришува. Малко хора могат да работят.
Кличко

Tsey урокът ще бъде труден. Подовите настилки са zhorst, така че преди края на йога е по-малко от Vibran. За това, преди четенето, ви препоръчвам да почистите екраните на жените, червата, женските деца и...

Този garazd, наистина всичко е просто. Възможно е да сте усвоили метода на интервалите (все пак не сте го усвоили - препоръчвам да обръщате и четете) и да сте се научили да преодолявате неравностите на формата $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ богат член или допълнителен богат член.

Уважавам, че не е важно за вас да пеете, например, оста на такава игра (преди реч, опитайте я за загряване):

\[\begin(подравняване) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Сега троховете са сгъваеми и можем да разгледаме не само богатите термини, но и имената на рационалните фракции на ума:

където $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ сами по себе си са богати термини от формата $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, или има още такива богати термини.

Tse i bude рационална nerіvnіst. Важен момент е наличието на промяна от $x$ при банермена. Например оста на рационалната неравномерност:

\[\begin(подравняване) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \вдясно))\ge 0. \\\end(подравняване)\]

И това не е рационално, а zvichaynisinka nerіvnіst, тъй като се нарушава по метода на интервалите:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Прескачайки напред, ще ви кажа точно сега: има поне два начина за справяне с рационалните несъответствия, но все пак е възможно да се работи до метода на интервалите, които вече ни са известни. За това, първо, нека разберем начините, нека отгатнем старите факти, в противен случай новият материал няма да бъде от полза.

Какво трябва да знаете

Няма много важни факти. Добре, имаме нужда от по-малко чотири.

Съкратени формули

И така: смрад ще ни pereslіduvaty protyag ни shkіlnoї програма по математика. И аз в университета. Трябва да завършим формулите много, но не ни трябва повече от това:

\[\begin(подравняване) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\вдясно); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\вдясно). \\ \end(подравняване)\]

Отдайте уважение на останалите две формули - сумата от сбора и разликата на кубчетата (а не сумата от сумата на дребно!). Лесно е да се запомни, да запомните, че знакът на първата дъга е zbіgaєtsya zі знак на външния virazі, а в другия противоположен знак на външния virzu.

Линейно подравняване

Най-простият е равен на формата $ax+b=0$, където $a$ и $b$ са равни цели числа, освен това $a\ne 0$. Такава еквивалентност просто се обръща:

\[\begin(подравняване) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(подравняване)\]

Ще присвоя, че имам право да разделя на коефициента $a$, дори ако $a\ne 0$. Tsya vomoga е напълно логично, парчета за $a=0$ отнемаме оста, която:

Първо, който е равен, няма промяна от $x$. Привидно не сме виновни за бентежите (все едно хващаме, да речем, геометрията и често доим), но все пак нямаме линеен равен.

По друг начин, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna депозит по-малко от коефициента $b$. Ако $b$ е нула, тогава нашето изравняване може да изглежда като $0=0$. Ця ревност е вирна завжда; в противен случай $x$ е число (звучи така: $x\in \mathbb(R)$). Ако коефициентът $b$ не е равен на нула, тогава равенството на $b=0$ е победно. няма отговор (записан е $x\в \varnothing$ и се чете "празно решение празно").

За да се отървете от всички тези гънки, просто вземете $a\ne 0$, за да не ни заобикалят антроки в далечни мисли.

Квадратно подравняване

Ще позная как се казва квадратната ос:

Тук леворучът е богат член на друга стъпка, освен това променям $a\ne 0$ (и сега вместо квадратно изравняване, ние го приемаме линейно). Virishuyutsya така rivnyannya чрез дискриминант:

1. Подобно на $D \gt 0$, ние вземаме два различни корена;
2. Ако $ D = $ 0, тогава ще има един корен и друг множественост (каква е цената за множественост и как її да се застраховат за трите трохи на живота). Или може да се каже, че има два равни корена;
3. За $D \lt 0$ няма корен и знакът на богатия член $a((x)^(2))+bx+c$ за всеки $x$ се заменя със знака на коефициента $ а$. Това, до крайност, е дори банален факт, за който забравят за rozpo_sti за един час уроци по алгебра.

Самият корен се уважава за всичко чрез формулата:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, преди реч, obmezhennya на дискриминант. Не се използва корен квадратен аддже от отрицателно число. Тъй като коренът на богатите учени има двигателна каша в главите си, аз специално записах целия урок: какво е коренът в алгебрата и как да се рахува - дори препоръчвам да го прочетете.

Події z рационални дроби

Всичко, което беше написано по-горе, знаете, използваха метода на интервалите. А оста на тези, които можем да анализираме наведнъж, не може да бъде аналогична на миналото, е абсолютно нов факт.

Назначаване. Rational drіb - tse viraz mind

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

където $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ са богати термини.

Очевидно е, че е лесно да се отстранят неравномерността от такава фракция - достатъчно е да се припише знакът „повече“ или „по-малко“ с дясна ръка. Дадох малко за мен видимо, що виришува така завдания - един доволен, там всичко е по-просто.

Проблемите започват още когато човек има ясно изразена цаца от такива фракции. Можете да ги донесете на спящо знаме - и в същото време са разрешени голям брой въображаеми помилвания.

Следователно, за успешно постигане на рационални равни, е необходимо твърдо да придобиете две умения:

1. Разлагане на богатия член $P\left(x \right)$ на фактори;
2. Vlasne, донасяйки изстрели към спящо знаме.

Как да разположа сегментите на множителя? Някак просто. Нека имаме богат член на ума

Ние приравняваме йога към нула. Вземаме изравняването на $n$-та стъпка:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Разбира се, ние нарушихме стойността на равенството и отнехме корена $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (не се подигравайте: по-големият vipadkіv на коренът ще има не повече от две). В този случай нашият богат изходен термин може да бъде пренаписан, както следва:

\[\begin(подравняване) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \вдясно)\cdot \left(x-((x)_(2)) \вдясно)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \вдясно) \end(подравняване)\]

От всички мен! Внимавайте: старшият коефициент $((a)_(n))$ не се намира никъде - ние ще добавим множител пред оковите и ако е необходимо, можете да го добавите към това дали s tsikh окови ( практиката показва, че с $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ среден корен може да завжди є дроби).

Мениджър. Попитайте Вираз:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Решение. За първи път се удивляваме на банерите: всички смърди са линейни биноми и няма какво да сложим на множители. Така че нека сложим числата в множители:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\вдясно)\ляво(x-1\вдясно); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \вдясно)\ляво(2-5x \вдясно). \\край (подравняване)\]

За да обърнем уважение: за друг богат член старшият коефициент „2“ за най-новия капацитет към нашата схема се накланя назад пред лъка, а след това ще направим вноски за първия лък, парчетата там бяха неуспешни .

Същото стана и в третия богат участък, само че има друг ред на нагънати преплитания. Въпреки това, коефициентът "−5" в резултат на въвеждането в друга дъга (запомнете: можете да въведете множител в една и само в една дъга!), което ни спести несъответствията, свързани с изстреляните корени.

Що се отнася до първия богат член, там всичко е просто: първият корен се разбърква или стандартно през дискриминанта, или за теорията на Виет.

Нека се обърнем към vihіdnogo virazu и да пренапишем його с числа, разделени на множители:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \вдясно))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \вдясно)-\ляво(x-1 \вдясно)-\ляво(2-5x \вдясно)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(матрица)\]

Предложение: $5x+4$.

Като бахит, нищо сгъваемо. Не стига математиката за 7-8 клас - това е всичко. Смисълът на всички трансформации в това е полигай, така че е по-лесно да се премахне сгъването и ужасното окачване, което е лесно за практикуване.

Але, не се тревожи за това. За това веднага можем да погледнем по-сериозно на задачата.

Ейл, ще го разглобим от самото начало, как да донесем две фракции на спящ банер. Алгоритъмът е изключително прост:

1. Поставете банерите върху множителите;
2. Погледнете първия банер и добавете към новия множителите, които има другият банер, защитете първия. Otrimany tvir ще бъде спящо знаме;
3. Z'yasuvati, такива множители не вдигат кожни изстрели, така че знаменосците станаха равни на огъня.

Вероятно целият алгоритъм ще ви бъде даден просто чрез текст, в богато написан начин. Затова ще анализираме всичко на конкретен пример.

Мениджър. Попитайте Вираз:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \вдясно)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Решение. Такива ob'єmnі zavdannya по-добре virishuvati части. Записваме тези, които стоят на първата арка:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

На vіdminu vіd предната zavdannya, тук от банермените всичко не е толкова просто. Нека го сложим в множители на кожи от тях.

Квадратният тричлен $((x)^(2))+2x+4$ не може да бъде умножен, равните части $((x)^(2))+2x+4=0$ не могат да бъдат изкоренени (отрицателен дискриминант). Оставяме йога без промяна.

Друг знак - кубичният член за умножение $((x)^(3))-8$ - по отношение на разликата на кубчетата и е лесно да се разпространи за формулите на краткото умножение:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \вдясно)\]

Нищо повече не може да се раздели на множители, парчета в първата дъга стоят линеен бином, а в другата - вече знаем конструкцията, тъй като няма реални корени.

Nareshti, третият банер е линеен двоичен файл, който не може да бъде изложен. В този ранг нашата ревност ще изглежда в бъдеще:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \вдясно))-\frac(1)(x-2)\]

Съвсем очевидно е, че $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ще бъде общият знаменател и да се сведат всички дроби до новия едно, трябва да умножим първата дроб на $\left(x-2 \right)$, а аз ще остана на $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Нека се отървем от по-малко, за да донесем така:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ дясно))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left((x)^(2))+2x +4 \вдясно))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \вдясно))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \вдясно))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ ляво(((x)^(2))+2x+4 \вдясно)). \\ \end(матрица)\]

Върнете уважението към друг ред: ако банерът вече свети, тогава. вместо три отделни изстрела, написахме един страхотен, а не варто, за веднъж, лъкът беше пощаден. По-бързо е да напишете ред пред себе си и да означавате, че, да речем, преди третата дроб, стоящ минус - и не можете да отидете никъде, но „виси“ в книгата с числата пред лъка. Це да ви спести безлични извинения.

Е, в останалата част от реда изложете числата на множителите. Тим е по-голям, което е точен квадрат и отново ще се притечем на помощ с формулите на бързото умножение. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Сега ще го оправим от само себе си с друг лък. Тук просто ще напиша малък стих за еквивалентност:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \ вдясно) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x) -2 \вдясно)\ляво(x+2 \вдясно))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \ вдясно). \\ \end(матрица)\]

Нека се обърнем към последния ден и да се чудим на телевизора:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \вдясно)\ляво(x+2 \вдясно))=\frac(1)(x+2)\]

Съвпадение: \[\frac(1)(x+2)\].

Смисълът на тази задача е същият, както в предната част: покажете колко можете да поискате рационално, как да преминете към следващата трансформация с разум.

Сега, ако знаете всичко, нека да преминем към основната тема на днешния урок – кулминацията на рационалните неравенства. Тим повече, след такава подготовка за собствената си нервност ще дрънкаш като манджа.

Основният начин за преодоляване на рационалните несъответствия

Іsnuє як най-малко две стъпки към razv'yazannya рационална nerіvіvnosti. С един поглед ще разгледаме един от тях – този, който е широко приет от училищния курс по математика.

Ел, гръб до гръб, значително важен детайл. Всички несъответствия са разделени на два вида:

1. Сувори: $f\left(x \right) \gt 0$ или $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Нестроги: $f\left(x\right)\ge 0$ или $f\left(x \right)\le 0$.

Нередностите от друг тип лесно могат да се сведат до първия, както и ревността:

Не е много "допълнително" $f\left(x \right)=0$, за да произведем такова неприемливо нещо като farbovanie точки - ние ги опознахме в интервалния метод. В противен случай няма разлики между строги и нестроги нередности, така че нека да разгледаме един универсален алгоритъм:

1. Изберете всички ненулеви елементи от едната страна под формата на неравности. Например леворух;
2. Донесете всички фракции на стандартния банер (тъй като такива фракции изглеждат като цаца), донесете подобни. След това, доколкото е възможно, ще разположим върху числовата книга и банера върху множителите. Така че защо иначе премахваме неравностите на формата $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "отметка" - знак за неравномерност.
3. Нека зададем числото на нула: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... обратно към нула: $Q \left(x \right)\ne 0$. Разбира се, вярно е, че разликата е равна на $Q\left(x \right)=0$ и вземаме корена $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (малко вероятно е да има повече от три в референтните файлове на такъв корен).
4. Всички корени (и със звезди, и без) се разглеждат на една числова права линия, освен това коренът без звезди е фарбованизиран, а със звезди - във ваколота.
5. Поставяме знаци „плюс“ и „минус“, избираме тези интервали, както ни трябва. Ако неравностите могат да изглеждат $f\left(x \right) \gt 0$, тогава интервалите, отбелязани с "плюс", ще се повторят. Ако $f\left(x \right) \lt 0$, тогава се чудим на интервалите с минуси.

Практиката показва, че най-трудното нещо е да се извикат параграфи 2 и 4 - компетентна трансформация и правилно поставяне на числата в ред на растеж. Е, през останалото време бъдете по-уважителни: ние винаги поставяме знаци, спиращи се останалата част от неравностите, записани преди преминаването към равни. Това е универсално правило, което е по-ниско от метода на интервалите.

Същата схема є. Да се ​​заемем.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Решение. Пред нас е тотална неизбежност от вида $f\left(x \right) \lt 0$. Очевидно точки 1 и 2 от нашата схема вече са лоши: всички елементи на неравностите се избират от леворуха, нищо не трябва да се донася до спящото знаме. Нека да преминем към третия параграф.

Нека приравним числото на нула:

\[\begin(подравняване) & x-3=0; \&x=3. \end(подравняване)\]

І банер:

\[\begin(подравняване) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(подравняване)\]

За всяка област някой се залепва и дори за идея е необходимо да се запише $x+7\ne 0$, за да помогне ODZ (не може да се дели на нула, оста е всичко). Но тогава ни дадохме петна, които идват от банера, така че след като съставите своите раздели, не варто - пишете знак за еквивалентност и не се притеснявайте. Нищо не може да бъде намалено за цена.

Четвърта точка. Важно е да премахнете корена на числовата права:

Мустаци точки vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora

Отдавай уважение: всички точки на vikoloty. И тук вече е маловажно: от книгата с номера точките идват от банера.

Чудим се на знаците. Да вземем числото $((x)_(0)) \gt 3$. Например, $((x)_(0))=100$ (алтернативно, със същия успех, можете да вземете $((x)_(0))=3,1$ или $((x)_(0) ) = $1 000 000). Ние взимаме:

Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv имаме положителна област. И при преминаване през кожата на корена, знакът се променя (така че няма да започнете, но е по-добре). Нека да преминем към петата точка: поставяме знаците и избираме необходимостта:

Обръщаме се към останалата част от нервността, като була преди rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, времето изтича, дори и да не се биеха всеки ден.

Oskіlki трябва да премахне неравностите на формата $f\left(x \right) \lt 0$, защрих интервала $x\in \left(-7;3 \right)$ - в единични стойности със знак "минус". Tse є vіdpovіd.

Предложение: $x\in \left(-7;3 \right)$

От всички мен! Hiba трудно? Не, не е трудно. Вярно, задачата беше по-лесна. В същото време можем да разрешим пакостите и да разгледаме „сложната“ непоследователност. От друга страна, повече няма да правя подобни презентации – просто ще подчертая ключовите моменти. Zagalom, нека подредим йога по такъв начин, че да се направи на независим робот чи іspіtі.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\ frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Решение. Не боли да видите $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Всички ненулеви елементи са избрани зли, няма различни знаци. Да отидем в Ривнян.

дата:

\[\begin(подравняване) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Стрелка надясно ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Стрелка надясно ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(подравняване)\]

банер:

\[\begin(подравняване) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(подравняване)\]

Не знам какъв беше проблемът, когато го настройвах, но коренът не беше много по-добър: би било важно да ги поставим на цифрова права линия. І дори с корен $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ всичко е повече или по-малко ясно (има само едно положително число - то ще бъде дясно), тогава $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse е възможно, например, така:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ) ))\]

Съжалявам, няма нужда да обяснявам защо цифровата разлика е $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Тъй като е необходимо, препоръчвам да познаете как да победите сами с дроби.

И имаме предвид и трите корена на числова права линия:

Крапки от номерната книга зафарбовани, от банера - виколот

Поставяме табели. Например, можете да вземете $((x)_(0))=1$ и да промените знака на всяка точка:

\[\begin(подравняване) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]

Останалата част от нервността преди равните беше $f\left(x \right)\ge 0$, така че трябва да щракнем върху знака плюс.

Отнеха два множителя: единият е значимият двоен, а другият е директният резултат на числовата права.

Отговор: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Важно е да се спазва броят на числата, както представяме за знака на десния интервал. Абсолютно neobov'yazkovo podstavlyat номер близо до десния корен. Можете да вземете милиарда или да го наречете „плюс-невероятно“ - във всеки случай знакът на богатия член, който стои на дъгата, цифралист или знаменосец, се обозначава изключително със знака на старшия коефициент.

Нека още веднъж разгледаме функцията $f\left(x \right)$ за останалата част от неравностите:

Този запис има три богати термина:

\[\begin(подравняване) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \&Q\ляво(х\дясно) = 13x-4. \end(подравняване)\]

Всички гласни са линейни биноми, а всички старши коефициенти (числа 7, 11 и 13) са положителни. По-късно, при обосноваване на дъгата от големи числа, самите богати деления ще бъдат положителни.

Tse може да се изгради повърхностно сгъваемо, малко на гърба, ако разберем е лесно да се направи. При сериозни несъответствия, подмяната на "плюс-непълнота" ще ни позволи да променим знаците по-бързо, по-ниски от стандартните $((x)_(0))=100$.

Скоро ще млъкнем с подобни задачи. Нека да разгледаме алтернативен начин за разкриване на дрибно-рационалните несъответствия.

Алтернативен начин

Този прием ми предложи един от моите студенти. Аз самият не го уважавах по никакъв начин, но практиката показа, че многото учене е по-ефективно за справяне с нервността по такъв начин.

Otzhe, vyhіdnі danі і і і самі. Необходимо е да се премахне изстрел-рационалното несъответствие:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Нека помислим: защо богатият член $Q\left(x \right)$ е "по-висок" от богатия член $P\left(x \right)$? Как трябва да гледаме на по-големите групи корени (със или без звезда), да мислим за точките и т.н.? Всичко е просто: фракцията има определена област, тя е добра за всеки дріб има смисъл по-малко от това, ако е знак за нула.

В други отношения между числителя и банермана не е лесно: просто го приравняваме към нула, шегуваме се с корена, след което го означаваме на числова права линия. Тогава защо не замените линията на изстрел (всъщност - знак за rozpodіlu) с най-големите множители и всички ODZ помагат да се предписват за привидно okremoi нервност? Например, като това:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

За уважение: на такъв pidhіd е позволено да извика задачата към метода на интервалите, но в случай на това не е възможно да се усложни решението. Все пак можем да издигнем богатия термин $Q\left(x \right)$ до нула.

Нека видим как работи при реални задачи.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Решение. Отново, нека преминем към интервалния метод:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

Първата неравномерност е елементарна. Просто приравнете дъгата на кожата към нула:

\[\begin(подравняване) & x+8=0\Стрелка надясно ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Стрелка надясно ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(подравняване)\]

С друго nerivnistyu всичко е просто:

Приписваме точките $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$ на числовата права. Usі смърди vikolotі, skіlki nerіvnіst suvore:

Дясното петънце се появи като девойка. Це е добре.

Отдайте уважение на точка $x=11$. Излезте като „двичи виколот“: от едната страна ние виколюем її чрез тежестта на нервността, от другата страна - чрез допълнителната сила на ODZ.

Имайте някакъв вид vipadku, tse просто ще бъде пребит до точката. Ето защо поставяме знаци за неравности $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - остани, както се борихме преди това, като започнахме да виришуваме равни:

Погъделичкани сме от положителни области, но можем да видим дисбаланса в ума $f\left(x \right) \gt 0$ - их и зафарбуваме. Нямаше повече време за записване на vіdpovіd.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

На примера на това решение искам да ви пазя в присъствието на широко помилване сред учениците на средна възраст. И за себе си: не отваряйте лъкове на нередностите! Навпаки, опитайте се да разпределите всичко върху множители - по-добре е да поискате решението и да ви освободят от безлични проблеми.

Сега нека опитаме нещо по-сгънато.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Решение. Не боли да погледнете $ f \ наляво (x \ надясно) \ le 0 $, така че тук трябва с уважение да следвате zafarbovannymi точки.

Да преминем към интервалния метод:

\[\left\( \begin(подравняване) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(подравняване) \вдясно.\]

Да преминем към подравняването:

\[\begin(подравняване) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Стрелка надясно ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Стрелка надясно((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Стрелка надясно ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(подравняване)\]

Враховуемо допълнителен вимогу:

Всички извадени корени са показани на числовата права:

Като точка наведнъж и виколот, и фарбован, той се уважава от виколот

Знам, че две точки се „припокриват“ една на една - нормално е, така че бъдете сигурни. Важно е, по-малко разумно, каква точка, назначена едновременно за виколотия и набраздена, всъщност, виколота. Тобто. „Vikolyuvannya“ е силен DIY, по-ниско „zafarbovannya“.

Абсолютно логично е дори да избираме точки, обичаме да добавяме към знака на функцията, но не участваме в самото шоу. И така, в един момент номерът престава да ни доминира (например не стига до ODZ), ние се кълнем в него до края на задачата.

Загалом, да философствам. Поставяме знаци и zafarbovuyemo і интервали, както е отбелязано със знак минус:

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Искам да подновя вашето уважение към каузата:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Още веднъж: никога не отваряйте обятията на такива равни! По-добре си стягай багажа. Запомнете: dobutok е равен на нула, ако искате един от множителите да е равен на нула. Otzhe, Dane Rivnyannya просто се „разпръсна“ за една цаца навивки, сякаш нарушаваха пред нас.

Форма на множественост на корена

От предишните дни лесно се запомня, че най-голямото сгъване е да станеш най-непостоянният, на този, който трябва да зашие в тях за петънца.

Но в света има още по-голямо зло – то е кратно на корена в нервността. Тук шевовете вече са докарани не зад зафарбованите точки там - тук знакът за неравности може да не се промени при преминаване през точките.

Все още не сме виждали нищо подобно в тази област (въпреки че подобен проблем често се отбелязваше в интервалния метод). Затова въвеждаме нова дефиниция:

Назначаване. Равният корен $((\left(x-a \right))^(n))=0$ е равен на $x=a$ и се нарича корен на $n$-кратност.

Vlasne, не може да ни се каже точно стойността на множествеността. Важно е дали са сдвоени или несдвоени, цялото число е $n$. защото:

1. Тъй като $x=a$ е коренът на кратността на двойката, тогава знакът на функцията не се променя при преминаване през нея;
2. На първо място, тъй като $x=a$ е коренът на несдвоената множественост, знакът на функцията се променя.

С частен изглед към корена на едно несдвоено множество, пред него погледна това училище: има кръстосано множество от стари единични.

аз повече. Пред него, сякаш ние виришувахме zavdannya, искайки да обърнете уважението си към една тънкост, сякаш това беше очевидно за добре признат педагог, але озадачи богатите pochatkіvtsіv. И за себе си:

Коренът на множеството на $ n $ е виновен само за падането, ако цялата множественост се формира в тази стъпка: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $, а не $ \ left (((x) ^ ( n ))-a\right)$.

Още веднъж: дъгата $((\left(xa \right))^(n))$ ни дава корен $x=a$ на множественост $n$ и оста на дъгата $\left(((x )^(n)) -a \right)$ в противен случай, както често се използва, $(a-((x)^(n)))$ ни дава корен (в противен случай два корена, като $n$ - човек) от първата кратност, независимо от това, което i $n$.

ниво:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Стрелка надясно x=3\left(5k \right)\]

Тук всичко е ясно: целият лък беше воден до петата стъпка, така че на изхода отнехме корена на петата стъпка. И веднага:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Стрелка надясно ((x)^(2))=4\Стрелка надясно x=\pm 2\]

Отнехме два корена, но обидите на вонята може да са първата множественост. Abo axis more:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Стрелка надясно ((x)^(10))=1024\Стрелка надясно x=\pm 2\]

Нека не те бия до десета стъпка. Головне, scho 10 е номерът на човека, може да има два корена в изхода, а смрадът отново може да е първата кратност.

Zagalom бъдете уважителни: множеството обвинения е само едно, ако стъпалата се издигат до цялата арка, а не по-малко до смяната.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))((\left(x+7) ) \вдясно))^(5)))\ge 0\]

Решение. Нека го опитаме по алтернативен начин чрез прехода от частното към създаването:

\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(подравняване )\правилно.\]

Избираме с първата неравномерност по метода на интервалите:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \вдясно))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Стрелка надясно x=0\ляво(2k \вдясно); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Стрелка надясно x=6\left(3k \right); \\&x+4=0\Стрелка надясно x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Стрелка надясно x=-7\left(5k \right). \\ \end(подравняване)\]

Допълнително виришуемо приятел нервност. Всъщност вече пяхме йо, но ако не сме се захванали до решението, по-добре е да пеем йо отново:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Стрелка надясно x\ne -7\]

За да върнем уважението: в останалата нервност няма ежедневни множества. Правилно: колко различно, колко пъти да спечелите точката $x=-7$ на числовата права? Искате го веднъж, искайте го пет пъти - резултатът ще бъде същият: последната точка.

Всичко, което отнехме, е значимо на числова права линия:

Както казах, точката $x=-7$ в резултата ще бъде маркирана. Множеството на подредбата е да се преодолее неравномерността на пътищата на интервалите.

Забравих да поставите знаците:

Oskіlki точка $x=0$ е коренът на сдвоената множественост, знакът за прехода не се променя. Други точки могат да имат несдвоена множественост и всичко е просто с тях.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Отдайте уважение на $x=0$ отново. Чрез двойката се обвинява многообразието на ефекта на цикави: леворучът в него е целият натъпкан, десничарят е същият, самата точка е напълно напълнена.

Напомняме, че не е необходимо да се захваща с вода за един час, за да запишете звука. Тобто. не е нужно да пишете нищо на kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (ако искате формално, това би било правилно). Нека веднага напишем $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Такива ефекти са по-малко възможни при множественост на двойката корен. Аз в настъпващата команда на mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" tsgogo ефект. Готов ли си?

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Решение. Този път следваме стандартната схема. Нека приравним числото на нула:

\[\begin(подравняване) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Стрелка надясно ((x)_(1))=3\left(4k \right); \& x-4 = 0 \ Стрелка надясно ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(подравняване)\]

І банер:

\[\begin(подравняване) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Стрелка надясно x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Стрелка надясно x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(подравняване)\]

Shards mi virishuyemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, коренът на знамето (като звездите) ще бъде биен, а от книгата с числата - zafarbovano.

Поставяме табели и щриховани зони, маркирани с "плюс":

Крапка $x = $3 - изолирана. Tse част от vіdpovіdі

Преди това, как да запишете остатъчното мнение, с уважение погледнете снимката:

1. Krapka $x=1$ има няколко кратни, но самата викола. Освен това, ако случайно имате двуетажен: трябва да напишете $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \ ляво(-\ infty ;2\вдясно)$.
2. Крапка $x=3$ също може да се умножи і, когато се пълни. Подреждане на табели за потвърждение, че самата точка е на власт при нас, ale krok levoruch-вдясно - ние сме завлечени в региона, тъй като определено не сме на власт. Такива точки се наричат ​​изолирани и се записват като $x\in \left\( 3 \right\)$.

Обединяваме всички отримани shmatochki в голям брой и записваме доказателствата.

Предложение: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Назначаване. Virishiti nerіvnіst - средно да познаете безличния успех на йога решението, или да донесе това, което е безлично празно.

Ще бъде дадено b: какво може да бъде неразумно тук? Това е в тази река, че безличното може да бъде поставено по различен начин. Нека го запишем отново до края на деня:

Прочетете буквално написаното. Променете "iks" да не лежите много на никого, да излизате заедно (икона "U") chotyroh okremih много:

• Интервал $\left(-\infty ;1 \right)$, което буквално означава "всички числа по-малки от едно, но не и самото едно";
• След това интервал $ \ наляво (1; 2 \ вдясно) $. „Всички числа са между 1 и 2, но не и самите числа 1 и 2”;
• Анонимен $ \ left \ (3 \ right \) $, който се събира от едно или едно число - три;
• Интервал $ \ вляво [4; 5 \ вдясно) $, за да отмъсти за всички числа между 4 и 5, както и за самото четири, но не и за петте.

Интересът тук е третата точка. На vіdmіnu vіd іd іnvalіv, іkі, за да зададете безброй набори от числа і рядко се обозначават между техните набори, без $\left\(3\right\)$ да зададете стриктно едно число като начин за повторно arrahuvannya.

За да разберем, че самите ние отменяме определени числа, които се издигат до множеството (а не са поставени между двете), арките са победители. Например, нотацията $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ означава сама по себе си „множител, който се събира от две числа: 1 и 2“, но не е същото като 1 към 2. В същото време , не си бъркайте разбирането.

Правило за сгъване на множества

Е, в края на днешния урок три пръста от Павел Бердов.

Уважаемите учени вече напевно чуруликаха: и какво ще бъде, като в календара и знамето, ще се появи същият корен? Така че оста, pratsyuє такова правило:

Множеството на един и същи корен се сумира. Изчакайте. Navіt yakscho tse root е изписан в книгата с числата и в банера.

Понякога е по-добре да виришуваш, да говориш по-ниско. За това вярваме на следната задача:

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left((x)^(2))+ 9x+14 \вдясно))\ge 0\]

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(подравняване)\]

Засега нищо особено. Приравнете банера към нула:

\[\begin(подравняване) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Стрелка надясно x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Стрелка надясно x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(подравняване)\]

Разкриват се два същите корена: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Обидно mayut pershu множественост. Също така ги заменяме с един корен $x_(4)^(*)=-2$, но също и с кратност 1+1=2.

В допълнение, все още има същите корени: $((x)_(2))=-4$ и $x_(2)^(*)=-4$. Вонята на първата кратност, която ще бъде лишена от $x_(2)^(*)=-4$ кратност 1+1=2.

За да внесем уважение: и в двете випадки сме се лишили от самия стар корен и сме изхвърлили далечните от поглед. Ето защо стигнаха до началото на урока: това е като точка наведнъж, и е разбито, и е изпръднено, все ни пука за това.

В резултат на това имаме корени на чотири, освен това се появиха всички виколоти:

\[\begin(подравняване) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\вляво(2k \вдясно). \\ \end(подравняване)\]

Значително им на числовата права с коригираната кратност:

Поставяме табели и затваряме зони, които ни наричат:

Мустак. Ежедневни изолирани точки и други проблеми. Можете да напишете вашето мнение.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Правило за множественост

Понякога ситуацията става още по-неприемлива: равен, който може да бъде кратен на корена, сам се довежда до същата стъпка. С това се променя множеството на всички външни корени.

Такъв звук рядко се чува, освен това няма доказателства за подобни задачи. И правилото е следното:

С изравняването на стъпките $n$ кратността на всички його корени също се увеличава с $n$ пъти.

С други думи, стъпките в стъпалата се умножават до множеството на самата стъпка. Нека да разгледаме правилото на практика:

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Решение. Нека приравним числото на нула:

Tvir е равен на нула, ако се желае един от множителите да бъде равен на нула. С първия множител разбрах: $x=0$. И оста породи проблеми:

\[\begin(подравняване) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Подобно на Bachimo, равен $((x)^(2))-6x+9=0$ може да има един корен от друга кратност: $x=3$. Нека всички внимаваме да се приближим до площада. Тогава кратността на корена става $2\cdot 2=4$, което записахме с присъда.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Стрелка надясно x=4\left(5k \right)\]

С банера на същите ежедневни проблеми:

\[\begin(подравняване) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Стрелка надясно x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Стрелка надясно x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(подравняване)\]

Имахме пет точки в сбора: два виколота и три фарбована. Няма страхове от корена в числителната книга и знаменника, той просто се вижда на числова права линия:

Поставяме табели с подобрени кратности и зафарбовуемо интервали, които ни викат:

Познавам една изолирана точка и един виколот

Чрез корена на сдвоената множественост отново бяха отнети няколко „нестандартни“ елемента. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ вместо $x\in \left[ 0;2 \right)$ и точката $ x също е изолирана \in \left\(3\right\)$.

Видповид. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Як бачите, не е толкова сложно. Головне - уважение. Останалата част от урока за посвещения на преражданията - Тим, както обсъдихме на самия кочан.

Преоформяне на предната част

Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, не може да се нарече сгъване. Въпреки това, на vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, тук се случва да zasosuvati navchik z teorії rationalnyh drobіv — razkladannya на няколко пъти yа svіlnogo znamennik.

Обсъдихме подробно храната за кочана на днешния урок. Ако не разбирате, какво разбирате, какъв е езикът, препоръчвам да се обърнете и да повторите. За това няма разум да се тъпчат методите за разкриване на несъответствията, сякаш „плувате“ по конвертираните кадри.

У дома, преди речта, също ще има много подобни задачи. Вонята на вина до края на пидроздил. И там ще бъдете проверени дори за нетривиални приложения. Ейл, ти ще бъдеш в кабината, но сега нека да решим няколко такива несъответствия.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Решение. Преместване на всичко наляво:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Довежда се до двойния банер, отварят се арките и се донасят подобни доданки в числовата книга:

\[\begin(подравняване) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) вдясно))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Сега имаме пред нас класическата дробно-рационална nerіvnіst, vyshennya yakoї вече не става трудно. Практикувам йога с алтернативен метод чрез метода на интервалите:

\[\begin(подравняване) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(подравняване)\]

Не забравяйте оградата, която дойде от банера:

Всички числа са посочени и разменени на цифрова права линия:

Мустаците са коренът на първата множественост. Никакви проблеми. Просто поставяме знаците, от които регионът се нуждае за нас:

Това е всичко. Можете да напишете вашето мнение.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm само дупе. За това веднага можем да погледнем на задачата по-сериозно. І към речта, riven tsgo zavdannya tsіlkom vіdpovіdaє независими и контролни роботи z ієї тези в 8-ми клас.

Мениджър. За да развържете нервността:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Решение. Преместване на всичко наляво:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Преди това, как да донесем обидни дроби на двоен банер, ние разпределяме тези банери в множители. Raptom vylizut същите арки? С първия банер е лесно:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

С други сгънат трош. Не се колебайте да въведете константа на множител в тази дъга, изчезнала дриб. Запомнете: ако имате богат термин в броя на коефициентите, това е страхотен имовирист, защото е изложен в кратни на майката в броя на коефициентите (наистина, така ще бъде, за намигване на vipadkiv, ако дискриминантът е ирационален).

\[\begin(подравняване) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Як бачимо, є лък: $ \ вляво (x-1 \ вдясно) $. Обръщаме се към нервност и предизвикваме обидни фракции към двоен банер:

\[\begin(подравняване) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ ляво(3x-2\вдясно))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) ) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(подравняване)\]

Приравнете банера към нула:

\[\begin(подравняване) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( подравняване)\]

Ежедневни множества и zbіgayutsya корени. Присвояваме няколко числа на правата линия:

Поставяме табели:

Нека запишем доказателствата.

Отговор: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ дясно) $.

Мустак! Така, след това прочетете до реда.