Trop de valeurs de fonction 4 x 3. Zone de valeur de fonction (valeur de fonction supérieure). Compréhension et application des connaissances nécessaires. Façons de connaître les zones de valeurs de fonction

D(f)- ces significations, comment vous pouvez faire un argument, tobto. étendue de la fonction.

E(f)- ces significations, comment la fonction peut être nommée, donc. valeur de fonction impersonnelle.

Façons de connaître les domaines des valeurs de fonction.

la dernière valeur des arguments de pliage de la fonction ;

évaluation/méthode du cordon ;

victoire du pouvoir, continuité et monotonie de la fonction ;

vikoristannya pokhіdnoi;

sélection de la plus grande et de la plus petite valeur de la fonction ;

méthode graphique;

méthode de demande de paramètre ;

méthode de la fonction d'inversion.

Examinons leurs actes.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalny pidkhid jusqu'à la valeur de la valeur impersonnelle de la fonction non interruptible f(x) est égale à la valeur de la plus grande et de la plus petite valeur de la fonction f(x) dans le domaine de signification (ou en prouvant que l'une d'elles n'est pas faux).

En un coup d'œil, il faut connaître la valeur impersonnelle de la fonction sur la vіdrіzka:

connaître la valeur exacte de la fonction f "(x);

connaître les points critiques de la fonction f(x) et choisir ceux d'entre eux, de manière à reposer sur le fil donné ;

calculer la valeur de la fonction aux extrémités de la coupe et aux points critiques sélectionnés ;

parmi les valeurs connues, choisir la moins et la plus significative ;

Il est riche de mettre la valeur de la fonction entre ces valeurs.

Quelle est la portée de la fonction attribuée ? intervalle, alors le schéma lui-même gagne, puis les valeurs à la fin du cycle sont mises en correspondance entre les fonctions avec l'argument s'exerçant jusqu'à la fin de l'intervalle. Les sens entre n'entrent pas dans un sens impersonnel.

Méthode d'inter/estimation

Pour la valeur du multiplicateur de la valeur de la fonction, on connaît d'abord la valeur impersonnelle de l'argument, puis on trouve la valeur la moins significative de la fonction de la fonction. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

L'essence du domaine réside dans l'évaluation de la fonction ininterrompue du fond et de la bête, et la preuve de la portée de la fonction de la limite inférieure et supérieure des évaluations. Avec tout changement d'impersonnalité, la valeur de la fonction avec un intervalle allant de l'évaluation intermédiaire inférieure à la supérieure est déterminée par la non-permanence de la fonction et la présence des valeurs inférieures dans celle-ci.

Dominance de la fonction ininterrompue

La deuxième variante du champ dans la fonction transformée est ininterrompue monotone, tandis que la puissance victorieuse des irrégularités évalue la valeur impersonnelle de la nouvelle fonction prise.

La dernière valeur des arguments de pliage dans la fonction

En se basant sur la dernière vue de la valeur impersonnelle des fonctions intermédiaires, à partir de laquelle la fonction est stockée

Domaines de valeur des principales fonctions élémentaires

Une fonction	Signification anonyme
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1 ; une]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2 ; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2 ; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0 ; π)

Appliquer

Trouver la valeur anonyme d'une fonction :

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

On connaît la zone de destination : D(f)=[-3;3], car $9-x^(2)\geq 0$

Nous savons mieux : $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 si x = 0. f"(x) n'est pas vrai si $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ alors x = ±3. Trois points critiques sont supprimés: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Comptons : f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. De plus, la plus petite valeur de f(x) est 0, la plus haute est 3.

Suggestion : E(f) = .

PAS vikoristovuyuchi pokhіdnu

Trouvez les fonctions les plus et les moins importantes :

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , alors :

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ pour tout x ;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ pour tout x(car $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Suggestion : $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Si vous souhaitez vous occuper de l'aide des pauvres, vous devez apporter une modification, car la fonction f (x) n'est pas affectée à la ligne, mais à la ligne numérique entière.

Méthode d'inter/estimation de Vikoristovuyuchi

3 valeur sinusoïdale glissée, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Accélérons la puissance des irrégularités numériques.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (multipliant les trois parties de l'irrégularité sous-jacente par -4) ;

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Étant donné que cette fonction est ininterrompue dans tous les domaines d'affectation, la valeur sans signification est placée entre les valeurs les plus petites et les plus grandes dans l'ensemble du domaine d'affectation, car c'est vrai.

Dans ce cas, la valeur de la fonction $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є impersonnel.

3 irrégularités $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ prendre l'estimation $$\\ -6\leq y\leq 6 $ $

Lorsque x = p dans x = 0, la fonction prend alors la valeur -6 dans 6. atteindre les limites inférieure et supérieure. En tant que combinaison linéaire de fonctions intermittentes cos(7x) et cos(x), la fonction y est continue sur tout l'axe numérique, donc, pour être une fonction sans interruption, elle accumule toutes les valeurs de -6 à 6 inclus, et seulement їx, car à travers $irrégularités \leq y\leq 6$ d'autres valeurs ne sont pas possibles.

De plus, E(y) = [-6 ; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Preuve : E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Viraz réversible $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

La valeur du cosinus suit $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Puisque la fonction est donnée sans interruption sur toute la plage d'affectation, alors la valeur sans valeur est placée entre les valeurs les plus petites et les plus grandes, car il s'avère que la valeur sans valeur de la fonction $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ є impersonnel $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Significativement $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. La tâche elle-même est réduite à la valeur du multiplicateur de la valeur de la fonction $y = \log_(0,5)(t)$ sur le changement (-∞;4). La fonction Oskіlki $y = \log_(0,5)(t)$ n'est attribuée que pour t > 0 , її la valeur de la fonction sur l'intervalle (-∞; 4) est tirée de la valeur de la fonction sur l'intervalle (0; 4), qui est le changement rétinien (-∞; 4) avec la plage (0; +∞) de la fonction logarithmique. Sur l'intervalle (0;4) cette fonction est sans interruption et plus petite. Pour t > 0, la valeur est +∞, et pour t = 4, la valeur est -2, donc E(y) = (-2, +∞).

L'astuce est basée sur une représentation graphique de la fonction.

Après la transformation de la fonction est possible : y 2 + x 2 = 25, de plus, y ≥ 0, |x| ≤ 5.

La supposition suivante est que $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ est égal à la mise de rayon r.

En cas d'échanges par le graphe de cet alignement, la ligne supérieure est centrée sur l'épi de coordonnées et a un rayon égal à 5. Évidemment, E(y) = .

Suggestion : E(y) = .

Littérature du Wikoristan

Le domaine de l'importance des fonctions à la tête de l'EDI, Minyuk Irina Borisivna

Afin de comprendre la signification impersonnelle d'une fonction, Belyaeva I., Fedorova S.

Signification de la valeur impersonnelle de la fonction

Comment démontrer la tâche des mathématiques aux examens d'entrée, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Le plus souvent, aux frontières de la répartition des tâches, on est amené à shukati la valeur impersonnelle de la fonction de l'aire assignée au segment. Par exemple, il faut travailler en cas de violation différents types irrégularités, évaluations de viraziv et in.

Dans le cadre de ce matériel, il est possible de déterminer quelle est la zone de signification d'une fonction, nous présenterons les principales méthodes par lesquelles nous pouvons calculer, et nous analyserons la tâche d'un degré de pliage différent. Pour plus de clarté, les positions sont illustrées par des graphiques. Après avoir lu cet article, vous emporterez toutes les informations sur la portée de la fonction.

Pochnemo dans les fonctions de base.

Rendez-vous 1

La valeur sans valeur de la fonction y = f (x) sur l'intervalle actuel x est la valeur sans valeur de toutes les valeurs, car la fonction est donnée lors de l'itération sur toutes les valeurs x ∈ X .

Rendez-vous 2

La plage de valeurs de la fonction y = f (x) est la valeur sans nom de toutes les valeurs її, de sorte qu'elle peut prendre la valeur x z x ∈ (f) lors de l'itération.

La zone de valeur de la fonction réelle est considérée comme étant E(f).

Pour donner du respect à la compréhension de la multiplication de la valeur d'une fonction, ne commencez pas la même zone de sa valeur. Les valeurs de compréhension ne seront égales que dans ce cas, car l'intervalle de la valeur de x, lorsque la valeur est inconnue, la valeur de zbіgaєtsya de la zone de fonction attribuée.

Il est également important de faire la distinction entre la plage de valeurs et la plage de valeurs acceptables du changement x pour l'expression de la partie droite y = f (x) . La zone de valeurs admissibles x pour l'expression f (x) et sera la zone affectée à la fonction.

Une illustration doit être placée ci-dessous, montrant les mégots deyaki. Les lignes bleues sont les graphiques des fonctions, les rouges sont les asymptotes, les points des mêmes lignes sur l'axe des ordonnées sont les aires entières de la valeur de la fonction.

Il est évident que la portée de la fonction peut être prise en compte lors de la conception du graphisme de tous les O y . Pour qui vous pouvez avoir un nombre, et des nombres impersonnels, trois, un intervalle, un intervalle ouvert, une combinaison d'intervalles numériques et autres.

Jetons un coup d'œil aux principaux moyens de connaître la portée de la fonction.

Attribuons simplement la multiplication de la valeur d'une fonction non permanente y = f (x) par le compteur courant, noté [a; b]. Nous savons que la fonction est ininterrompue dans n'importe quelle direction, atteignant ses nouveaux minimum et maximum, c'est-à-dire le plus grand m a x x ∈ a ; b f (x) est la plus petite valeur m je n x ∈ a ; bf(x). Encore une fois, nous prenons en compte m i n x ∈ a; bf(x); m une X X ∈ une ; b f (x) , qui contiendra la valeur impersonnelle de la fonction de sortie. C'est tout ce sur quoi nous devons travailler - il suffit de savoir sur quel point indiquer les points de minimum et de maximum.

Prenons une tâche, pour laquelle il est nécessaire d'affecter la zone à l'arc sinus.

fesses 1

Umov : trouver la valeur de y = a r c sin x .

Solution

Dans la pente sauvage, l'aire affectée à l'arcsinus est étendue vers le haut [-1 ; une]. Nous devons attribuer la plus grande et la plus petite valeur de la fonction attribuée à la nouvelle.

y "= une r c sin X" = 1 1 - x 2

On sait que cette fonction sera positive pour toutes les valeurs de x, développées dans l'intervalle [-1 ; 1 ] , de sorte qu'en étendant la région, la fonction est affectée à l'arcsinus du taux de croissance. Ainsi, la plus petite valeur sera acceptée en x, égale à - 1, et la plus grande - en x, égale à 1.

m je n X ∈ - 1 ; 1 une r c péché X = une r c péché - 1 = - π 2 m une X X ∈ - 1 ; 1 une r c péché X = une r c péché 1 = π 2

De cette façon, l'aire de la valeur de la fonction arc sinus est plus chère E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Suggestion: E (a r c sin X) \u003d - π 2; π 2

fesses 2

Umov : Calculez la plage de valeurs y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 sur la sous-chaîne donnée [1 ; 4].

Solution

Tout ce que nous devons déterminer est de calculer les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction pour un intervalle donné.

Pour déterminer le point extrême, vous devez effectuer le calcul suivant :

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Nous connaissons maintenant la valeur de la fonction donnée dans les intervalles de la coupe et des points x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8 :

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 et 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ans (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Ainsi, la valeur impersonnelle de la fonction est déterminée par la différence 117 - 165 33 512 ; 32 .

Suggestion: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Passons à la valeur de la valeur impersonnelle de la fonction ininterrompue y = f (x) dans les intervalles (a ; b), de plus, a ; +∞, -∞ ; b, -∞ ; +∞.

Commençons par la désignation des points les plus grands et les plus petits, ainsi que les intervalles entre la croissance et le changement sur un intervalle donné. Si tel est le cas, nous devrons virahuvat les limites unilatérales dans les intervalles et / ou les limites sur l'incohérence. En d'autres termes, nous devons attribuer le comportement de la fonction aux esprits donnés. Pour qui nous pouvons avoir besoin de toutes les données nécessaires.

fesses 3

Umov : calculer la portée de la fonction y = 1 x 2 - 4 sur l'intervalle (-2; 2).

Solution

Nous montrons la valeur la plus et la plus petite de la fonction sur la ligne donnée

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Nous avons atteint la valeur maximale, qui est égale à 0, mais au même point il faut changer le signe de la fonction et le graphique pour aller à la baisse. Div. à titre illustratif :

Donc y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sera la valeur maximale de la fonction.

Maintenant, le comportement de la fonction est significatif pour un tel x, qui est le côté droit - 2 du côté droit et à + 2 du côté gauche. En d'autres termes, nous connaissons des limites unilatérales :

lim X → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim X → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim X → 2 + 0 1 X 2 - 4 = lim X → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Nous avons vu que la valeur de la fonction augmente de moins l'incohérence jusqu'à - 14 todi, si l'argument change dans la plage de -2 à 0. Et si l'argument passe de 0 à 2, la valeur de la fonction passe à moins l'infini. Plus tard, la valeur sans signification de la fonction donnée sur l'intervalle requis sera (- ∞ ; - 1 4 ) .

Suggestion: (- ∞ ; - 1 4 ] .

fesses 4

Umov: entrez une valeur anonyme y = t g x à un intervalle donné - π 2 ; π 2 .

Solution

On sait que la tangente de β est semblable à - π 2 ; π 2 soit positif, donc la fonction est croissante. Maintenant, il est important de savoir comment exécuter la fonction dans les limites données :

lim X → π 2 + 0 t g X = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim X → π 2 - 0 t g X = t g π 2 - 0 = + ∞

Nous avons soustrait la valeur incrémentale de la fonction de l'incohérence moins à l'incohérence plus en changeant l'argument vid - π 2 en π 2 et nous pouvons dire que la solution impersonnelle de cette fonction sera l'impersonnalité de tous les nombres réels.

Suggestion: - ∞ ; + ∞ .

fesses 5

Umov : désigner, qui est l'étendue de la fonction, le logarithme népérien y = ln x .

Solution

Nous savons que la fonction est donnée et assignée à valeurs positives argument D(y) = 0 ; +∞. Pohіdna sur l'intervalle donné sera positif : y "= ln x" = 1 x. Otzhe, le nouveau a une augmentation des fonctions. Ils nous ont donné la nécessité de désigner une frontière unilatérale pour cela, si l'argument est correct 0 (sur le côté droit), et si x n'est pas une incohérence correcte :

lim X → 0 + 0 ln X = ln (0 + 0) = - ∞ lim X → ∞ ln X = ln + ∞ = + ∞

Nous avons enlevé que la valeur de la fonction passe de l'incohérence moins à l'incohérence plus lors du changement de la valeur de x de zéro à l'infini plus. Donc, il y a beaucoup de nombres réels - ce et є la zone de la valeur de la fonction du logarithme naturel.

Suggestion: le multiplicateur de tous les nombres réels est l'aire de la valeur de la fonction du logarithme naturel.

fesses 6

Umov : déterminer quelle est la plage de la fonction y = 9 x 2 + 1 .

Solution

Fonction Tsya є chante à l'esprit que x est un nombre réel. Comptons les fonctions les plus et les moins importantes, ainsi que les lacunes et la croissance et le changement :

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Dans les résultats, nous avons indiqué que la fonction serait décroissante, de sorte que x ≥ 0 ; plutôt, que x ≤ 0 ; ne fera pas de point sur le maximum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 lors du changement, ce qui est plus cher 0 .

On se demande comment opérer une fonction sur incohérence :

lim X → - ∞ 9 X 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim X → + ∞ 9 X 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

On peut voir à partir de l'enregistrement que la valeur de la fonction y fois approche asymptotiquement de 0.

Sous-sacs Podib'єmo : si l'argument passe de l'incohérence moins à zéro, la valeur de la fonction passe de 0 à 9 . Si la valeur de l'argument passe de 0 à plus incohérence, alors la valeur de la fonction passera de 9 à 0 . On a imaginé le prix pour un petit :

On peut voir sur le nouveau que la plage de la valeur de la fonction sera l'intervalle E(y) = (0; 9)

Suggestion: E(y) = (0; 9]

Il faut donc attribuer une valeur impersonnelle à la fonction y = f(x) sur les intervalles [a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , alors nous devons effectuer ces recherches nous-mêmes.

Et comment avez-vous un vipadku, comment la zone est-elle attribuée au deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv? Ensuite, nous devons calculer la valeur anonyme sur la peau s de ces intervalles et les combiner.

bout à bout 7

Umov : déterminer quelle sera la plage y = x x - 2 .

Solution

Oskіlki znamennik functionії non coupable mais znacheniya à 0 , alors D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞.

Commençons par affecter un multiplicateur de la valeur de la fonction à la première ligne - ∞ ; 2, ce qui est une promesse claire. Nous savons que la fonction déclinera sur le nouveau, de sorte que la fonction sera négative.

lim X → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim X → - ∞ xx - 2 = lim X → - ∞ X - 2 + 2 X - 2 = lim X → - ∞ 1 + 2 X - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Ensuite, si l'argument change y directement moins l'incohérence, la valeur de la fonction se rapproche asymptotiquement de 1 . Si la valeur de x diminue de moins l'incohérence à 2, alors la valeur diminuera de 1 à moins l'incohérence, c'est-à-dire. fonction sur la valeur future de l'intervalle - ∞ ; une . Seuls, à l'exception de nos réflexions, les fragments de la valeur de la fonction її ne l'atteignent pas, mais s'en approchent plutôt asymptotiquement.

Pour l'échange ouvert 2 ; + ∞ vikonuєmo so sami dії. La fonction sur le nouveau est également moins:

lim X → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim X → + ∞ xx - 2 = lim X → + ∞ X - 2 + 2 X - 2 = lim X → + ∞ 1 + 2 X - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

La valeur de la fonction sur un vіdrіzka donné est attribuée au 1 sans valeur; +∞. Donc, nous avons besoin que l'aire de la valeur de la fonction, donnée pour l'esprit, soit combinée par des multiples - ∞ ; 1 et 1 ; +∞.

Suggestion: E(y) = -∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞.

Vous pouvez consulter le tableau :

Les fluctuations particulières sont des fonctions périodiques. Cette zone de valeur passe d'une valeur impersonnelle à cet intervalle, qui dépend de la période de fonction.

bout à bout 8

Umov : Définissez la zone sur la valeur du sinus y = sin x.

Solution

Sinus se résume à une fonction périodique, comme une période pour devenir 2 pi. Beremo vіdrіzok 0; 2 π je m'émerveille de ce que sera une valeur impersonnelle sur le nouveau.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

A la frontière 0; 2 π fonctions seront des points d'extremum π 2 і x = 3 π 2 . Voyons pourquoi l'importance de la fonction en eux est plus importante, ainsi qu'aux frontières de la vіdrіzka, après quoi nous choisissons la plus et la moins importante.

y (0) = péché 0 = 0 y π 2 = péché π 2 = 1 y 3 π 2 = péché 3 π 2 = - 1 y (2 π) = péché (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin X = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Suggestion: E (sin x) = - 1 ; une .

Si vous avez besoin de connaître la zone de la valeur de telles fonctions, telles que statique, affichage, logarithmique, trigonométrique, trigonométrique inverse, alors vous êtes invités à relire l'article sur les fonctions élémentaires de base. La théorie, comme nous le suggérons ici, vous permet d'inverser la valeur donnée. À Bazhano vivchiti, des éclats de puanteur sont souvent nécessaires à l'heure du jour de la cerise. Si vous connaissez les zones des fonctions principales, vous pouvez facilement connaître les zones des fonctions, comme si vous supprimiez les fonctions élémentaires à l'aide de la transformation géométrique.

bout à bout 9

Umov : définir la plage y = 3 a r c cos X 3 + 5 π 7 - 4 .

Solution

Nous savons que la valeur de l'arc cosinus est de 0 à pi. En d'autres termes, E (arc cos x) = 0 ; π ou 0 ≤ a r c cos X ≤ π. On peut amener la fonction a r c cos x 3 + 5 π 7 au cosinus inverse en l'étirant et en étirant l'axe O x , sinon on ne pourra rien nous donner. Donc, 0 ≤ a r c cos X 3 + 5 π 7 ≤ π.

La fonction 3 arc cos x 3 + 5 π 7 peut être soustraite du cosinus inverse arc cos x 3 + 5 π 7 pour un étirement supplémentaire de l'axe vertical, donc 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Dans la finale, la transformation est zsuv uzdovzh axe O y par 4 valeurs. Le résultat aura des irrégularités sous-jacentes :

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Nous avons enlevé ce que la zone de valeur sera nécessaire E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Suggestion: E(y) = - 4 ; 3 pi-4.

Un mégot de plus sera écrit sans explication, parce que le vin est semblable à celui d'en face.

fesses 10

Umov : calculer quelle sera la plage de la fonction y = 2 2 x - 1 + 3 .

Solution

Réécrivons la fonction donnée à l'esprit, comme y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Pour une fonction statique y = x - 1 2, la zone de valeur sera affectée à l'intervalle 0 ; + ∞, alors. x-1 2 > 0 . Dans cette veine:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Donc, E(y) = 3 ; +∞.

Suggestion: E(y) = 3 ; +∞.

Voyons maintenant comment connaître la portée de la fonction, comment ne pas être interrompu. Pour lequel nous devons casser toute la zone en lacunes et connaître la signification impersonnelle sur la peau de celles-ci, après quoi nous unissons celles que nous avons vues. Pour une meilleure compréhension, dans le but de rappeler les principaux points de vue de la fonction.

fesses 11

Umov : fonction donnée y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Calculer la valeur de la zone її.

Solution

Cette fonction est affectée à toute la valeur de x. Effectuons une analyse de continuité avec les valeurs de l'argument, égales - 3 et 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim X → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim X → - 3 - 0 f (x) ≠ lim X → - 3 + 0 f (x)

Peut être une expansion ininterrompue du premier type avec une valeur de l'argument -3 . À l'approche de la nouvelle valeur de la fonction, montez jusqu'à - 2 sin 3 2 - 4, et lorsque x est jusqu'à - 3 du côté droit, les valeurs monteront jusqu'à - 1.

lim X → 3 - 0 f(x) = lim X → 3 - 0 (-1) = 1 lim X → 3 + 0 f(x) = lim X → 3 + 0 1 X - 3 = + ∞

Il est possible qu'il n'y ait pas de recherche d'un genre différent au point 3. Si la fonction n'est pas égale, les valeurs її sont proches de - 1, si la fonction est égale à droite - à moins d'incohérence.

Otzhe, toute la zone de la fonction assignée est divisée en 3 intervalles (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Sur la première d'entre elles, nous avons enlevé la fonction y = 2 sin x 2 - 4 . Oskіlki - 1 ≤ sin x ≤ 1 est acceptable :

1 ≤ péché x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Donc, pour cet intervalle (- ∞ ; - 3] la fonction n'a pas de valeur - [ - 6 ; 2 ] .

Sur le dernier intervalle (- 3 ; 3 ) il y avait une fonction constante y = - 1 . Otzhe, tous les її znachen impersonnels seront parfois constitués d'un seul numéro - 1.

Sur un autre intervalle 3 ; + ∞ on peut utiliser la fonction y = 1 x - 3 . Gagné є pique, pour que y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim X → 3 + 0 1 X - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim X → + ∞ 1 X - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Ainsi, la valeur impersonnelle de la fonction de sortie pour x > 3 est un multiple de 0 ; +∞. Maintenant, les résultats sont généralement retirés : E(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞.

Suggestion: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞.

La solution est représentée sur le graphique :

fesses 12

Umov : є fonction y = x 2 – 3 e x . Appréciez le sens impersonnel.

Solution

Vaughn est affecté à tous les sens de l'argument, qui sont des nombres réels. De manière significative, pour certains intervalles, la fonction d'augmentation est donnée, et pour certains d'entre eux de diminuer :

y "= X 2 - 3 e X" = 2 X e X - e X (x 2 - 3) e 2 X = - X 2 + 2 X + 3 e X = - (x + 1) (x - 3) e X

On sait que c'est bien d'aller à 0 comme x = - 1 et x = 3 . Mettons deux points dans l'ensemble et z'yasuёmo, comme les signes seront la mère des intervalles.

La fonction changera en (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i est croissant sur [ - 1 ; 3]. Le point minimum sera - 1, le maximum - 3.

Nous connaissons maintenant les principales valeurs de la fonction :

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

On regarde le comportement de la fonction sur l'incohérence :

lim X → - ∞ X 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim X → + ∞ X 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim X → + ∞ X 2 - 3 "ex" = lim X → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim X → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim X → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Pour le calcul de l'autre intermédiaire, la règle de Lopital a été utilisée. On peut imaginer que notre solution est passée au graphisme.

On peut voir que la valeur de la fonction diminuera en incohérence positive jusqu'à -2e même si l'argument change en incohérence négative en -1. Si le vin passe de 3 à plus d'imprécisions, la valeur passera de 6 e - 3 à 0, mais s'il y a 0, il n'y aura pas de portée.

Dans cet ordre, E(y) = [- 2 e; +∞).

Suggestion: E(y) = [-2e ; +∞)

Comment vous êtes-vous souvenu du pardon dans le texte, soyez gentil, voyez-le et appuyez sur Ctrl + Entrée

La compréhension de la fonction et de tout ce qui s'y rapporte est amenée au repli traditionnel, pas au point de vue. Distinguons avec une pierre l'accent mis sur la façon dont la fonction et la préparation à ЄДІ є la zone de désignation et la zone de signification (changement) de la fonction.
Il n'est pas rare d'apprendre à ne pas discriminer entre le domaine de la fonction assignée et le domaine de sa signification.
Et tout comme la tâche de changer la zone de la fonction assignée, nous apprenons à maîtriser, alors la tâche de changer le sens impersonnel de la fonction appelle la puanteur des difficultés chimali.
Meta tsi єї statti : connaître les méthodes pour connaître la valeur d'une fonction.
À la suite de l'examen de ces sujets, le matériel théorique a été développé, les méthodes de résolution de problèmes pour l'importance de fonctions multiples ont été envisagées, du matériel didactique a été sélectionné pour le travail indépendant des étudiants.
Cet article peut être un enseignant dans la préparation des étudiants à l'obtention du diplôme et aux études d'introduction, pour ceux "Domaine d'importance d'une fonction" dans les cours au choix en mathématiques.

I. Désignation de l'étendue de la fonction.

La valeur de zone (multiplicateur) E (y) de la fonction y \u003d f (x) est appelée le nombre de tels nombres y 0, pour la peau z il existe un nombre tel x 0 que: f (x 0) \u003d y 0.

Devinez la zone de la principale fonctions élémentaires.

Regardons le tableau.

Une fonction	Signification anonyme
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1 ; une]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0 ; π)

Il est également respecté que l'aire de valeur de tout polynôme d'un étage apparié est un intervalle, de n est la plus grande valeur du polynôme.

II. Puissance des fonctions

Pour réussir la reconnaissance d'une fonction impersonnelle, il est nécessaire de bien connaître la puissance des fonctions élémentaires de base, en particulier leurs zones de signification, la zone de signification et la nature de la monotonie. Induisons la puissance des fonctions de différenciation ininterrompues, monotones, qui sont le plus souvent victorieuses lorsque les valeurs impersonnelles des fonctions sont connues.

Les dominances 2 et 3, en règle générale, gagnent d'un coup la puissance d'une fonction élémentaire sans interruption dans leur domaine de rendez-vous. Étant donné la solution la plus simple et la plus courte au problème de la valeur du multiplicateur, la valeur d'une fonction peut être atteinte sur la base de l'autorité 1, même si des méthodes incohérentes peuvent être utilisées pour déterminer la monotonie d'une fonction. La solution est plus simple, en fonction, avant cela, - le couple est non apparié, périodiquement mince. Ainsi, lors de l'exécution de tâches sur l'importance de multiplier la valeur d'une fonction, si nécessaire, il est nécessaire de reconsidérer et de gagner le pouvoir offensif de la fonction :

ininterrompu;
monotonie;
différenciation;
appariement, désappariement, la périodicité est mince.

Tâche délicate de connaître le sens impersonnel de la fonction de l'orientation sociale :

a) pour les estimations les plus simples et la limite : (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 alors) ;

b) voir le carré complet: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) sur la transformation de viraziv trigonométrique : 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1 ;

d) la réalisation de la monotonie de la fonction x 1/3 + 2 x-1 augmente R.

III. Jetons un coup d'œil aux méthodes permettant de connaître les domaines des valeurs de fonction.

a) la dernière valeur des arguments de pliage de la fonction ;
b) méthode d'évaluation ;
c) l'obtention du pouvoir, l'absence d'interruption et la monotonie de la fonction ;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) le choix de la plus haute et de la plus petite valeur de la fonction ;
e) méthode graphique ;
g) méthode de demande de paramètres ;
h) méthode de la fonction d'inversion.

Rozkriёmo essence de ces méthodes sur des mégots spécifiques.

Exemple 1. Trouver la plage de valeurs E(y) fonctions y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Nous pouvons résoudre ce but par la méthode de la valeur séquentielle des arguments de pliage de la fonction. En voyant le nouveau carré sous le logarithme, on transforme la fonction

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І séquentiellement, nous connaissons la signification impersonnelle de її arguments réductibles :

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Significativement t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim lui-même pour arriver à la valeur du multiplicateur de la valeur de la fonction y = log 0,5 t sur l'échange (-∞;4) . Étant donné que la fonction y = log 0,5 t est attribuée uniquement pour votre esprit, la valeur anonyme sur l'intervalle (-∞ ; 4) est modifiée par rapport à la valeur anonyme de la fonction sur l'intervalle (0 ; 4), qui est l'intervalle de l'intervalle (-∞; 4) avec la plage de (0; + ∞) de la fonction logarithmique. Sur l'intervalle (0;4) cette fonction est sans interruption et plus petite. À t> 0 won pragne +∞, et quand t = 4 définit la valeur -2, à E(y) =(-2, +∞).

Exemple 2. Trouver la portée de la fonction

y = cos7x + 5cosx

Nous pouvons voir cette butée par la méthode des évaluations, dont l'essence est dans l'évaluation de la fonction ininterrompue du bas et du haut et dans la preuve de la portée de la fonction des limites inférieure et supérieure des évaluations. Avec tout changement d'impersonnalité, la valeur de la fonction avec un intervalle allant de l'évaluation intermédiaire inférieure à la supérieure est déterminée par la non-permanence de la fonction et la présence des valeurs inférieures dans celle-ci.

Parmi les irrégularités -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 on prend le score -6≤y?6. Lorsque x = p dans x = 0, la fonction prend alors la valeur -6 dans 6. atteindre les limites inférieure et supérieure. En tant que combinaison linéaire de fonctions non interruptibles cos7x et cosx, la fonction y est non interruptible sur tout l'axe numérique, donc, en raison de la puissance de la fonction non interruptible, elle gagne toutes les valeurs de -6 à 6 inclus, et seulement їх, c'est-à-dire qu'en raison d'incohérences dans les valeurs de -6≤y, c'est impossible. Otzhe, E(y)= [-6;6].

Exemple 3. Trouver la plage de valeurs E(f) les fonctions f(x)= cos2x + 2cosx.

En suivant la formule du cosinus de l'armature kuta, nous transformons la fonction f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 qui est significatif t= cox. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E(cox) =

[-1;1], puis la plage de la fonction f(x) zbіgaєtsya avec une valeur impersonnelle de la fonction g (t)= 2t 2 + 2t - 1 vers l'arrière [-1 ; 1], comme nous le savons par la méthode graphique. Induire le graphique de la fonction y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 par intervalle [-1; 1], nous savons E(f) = [-1,5; 3].

Respect - jusqu'à la signification du sens impersonnel de la fonction, il est nécessaire de créer une tâche riche avec le paramètre, lié, plus important encore, au nombre de différences et au nombre de différences. Par exemple, égal f(x)\u003d mais il est permis de faire plus que cela, si

aE(f) De même, égal f(x)\u003d a peut vouloir une racine, roztovaniya sur l'espace deyakomu X, ou ne pas avoir la même racine sur cet espace intermédiaire alors et seulement alors, si mensonge ou non mensonge valeur impersonnelle de la fonction f(x) sur l'intervalle de X. f(x)≠ mais, f(x)> un je etc.. Zokréma, f(x)≠ et pour toutes les valeurs admissibles х yakso a E(f)

Butt 4. Pour toute valeur du paramètre a égal à (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) il y a une seule racine pour l'indentation [-4;-1].

Écrivons l'égalité de la vue (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Rester égal peut ne vouloir qu'une seule racine par vdrіzka [-4;-1] soit et seulement s'il y a des valeurs impersonnelles de la fonction f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) au revers [-4;-1]. On connaît l'impersonnalité, la puissance victorieuse, la continuité et la monotonie de la fonction.

Par contre [-4;-1] la fonction y = xІ + 4 est sans interruption, moins i est positif, donc la fonction g(x) = 1/(x 2 + 4) est ininterrompu et zbіlshuєtsya à tsemu vіdrіzku, oskіlki pour rozpodіlі sur la fonction positive, la nature de la monotonie de la fonction est changée en prolongation. Une fonction h(x) =(x + 5) 1/2 est ininterrompu et pousse dans sa propre galerie D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, sur vіdrіzku [-4;-1], deva, de plus, positif. Même fonction f(x)=g(x) h(x), comme l'addition de deux fonctions ininterrompues, croissantes et positives, elle est également ininterrompue et augmentée du [-4;-1] supplémentaire, il existe donc une valeur impersonnelle de [-4;-1] є [ supplémentaire f(-4); f(-1)]=. De plus, il est égal à la solution du double [-4;-1], de plus un (pour la qualité d'une fonction monotone continue), avec 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Le respect. Admissibilité égale f(x) = une sur l'intervalle courant X est égal à la validité de la valeur du paramètre mais valeur de fonction impersonnelle f(x) sur X. Otzhe, valeur impersonnelle de la fonction f(x) pour l'intervalle X est modifié à partir de la valeur du paramètre mais, pour ceux égaux f(x) = une Puis-je vouloir une racine pour la zone de bal de H. Zokrem E(f) les fonctions f(x) zbіgaєtsya avec une valeur anonyme du paramètre mais, pour ceux égaux f(x) = une Puis-je vouloir une racine.

Exemple 5. Trouver la plage de valeurs E(f) les fonctions

Ouverture de la crosse par la méthode de saisie d'un paramètre, zgіdno z E(f) zbіgaєtsya avec une valeur anonyme du paramètre mais, pour ceux égaux

Puis-je vouloir une racine.

Lorsque a = 2 est égal à linéaire - 4x - 5 = 0 avec un coefficient non nul pour x non nul, il n'y a pas de solution. Lorsque a≠2 est égal au carré, alors il peut être délié soit et seulement s'il s'agit d'un discriminant

Oskіlki point a = 2 pour mentir dans vіdrіzku

puis on shukanim la valeur du paramètre mais, veux dire, je valorise la zone E(f) soyez tous vіdrіzok.

En tant que développement non intermédiaire de la méthode d'introduction d'un paramètre avec une valeur impersonnelle donnée d'une fonction, on peut considérer la méthode d'une fonction d'inversion, dans le but de laquelle il est nécessaire de vérifier la valeur de la fonction f(x)=y, avec le paramètre y. Yakshcho tse égal peut être une solution x = g(y), alors la gamme E(f) fonctions externes f(x)évasion de la zone de rendez-vous D(g) fonction salivaire g(y). Yakshcho est égal f(x)=y solution maє kіlka x = g 1 (y), x = g 2 (y) et ainsi de suite, alors E(f) meilleure intégration des domaines de fonction g 1 (y), g 2 (y) et etc.

Exemple 6. Trouver la zone de valeur E(y) fonctions y = 5 2/(1-3x).

Z égal

on connaît la fonction d'inversion x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x peut être la seule solution, alors

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Étant donné que la zone de la fonction attribuée est résumée à partir de décennies d'intervalles et que la fonction sur différents intervalles est donnée par différentes formules, alors pour la signification de la zone de la valeur de la fonction, il est nécessaire de connaître l'anonyme valeur de la fonction sur l'intervalle de peau et les prendre ensemble.

Exemple 7. Trouver des zones importantes f(x)і f(f(x)), de

f(x) sur l'échange (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Significativement t = 4x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)à la bourse (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, au milieu (0; 4], comme on le sait, vicoriste g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Sur promizhku (0;4] bon g'(t) il est assigné pour commencer là à zéro à t=3. À 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) diminue, et les intervalles (3 ; 4) grandissent, débordant d'un intervalle ininterrompu de moutarde (0 ; 4), le poète g (3)= 9 - la plus petite valeur de la fonction pour l'entrelacement (0; 4], cependant, la valeur maximale n'est pas possible, donc avec t→0 fonction main droite g(t)→+∞. Todi, pour la qualité d'une fonction ininterrompue, la valeur impersonnelle d'une fonction g(t) sur l'intervalle (0; 4], ce qui signifie que je n'ai pas de sens f(x) sur (-∞;-1], être promin.

Maintenant, les intervalles combinés sont le sens impersonnel de la fonction f(f(x)), significativement t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de t une fonction f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 et ré-acceptez toutes les valeurs de 5 à 9 inclus, c'est-à-dire. zone de valeur E(fІ) = E(f(f(x))) =.

De même, sachant z = f(f(x)), vous pouvez connaître la gamme Mi(f3) les fonctions f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 etc. Dépasse-toi, quoi E(f 3) = .

La méthode la plus universelle pour calculer la multiplication d'une valeur de fonction et soustraire la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction pour un intervalle donné.

Exemple 8. Pour certaines valeurs du paramètre R irrégularité 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x gagnant pour tous -1 ≤ x< 2.

ayant nommé t = 2x, notons l'inégalité du regard p ≠ t 3 - 2t 2 + t. alors yak t = 2x- fonction de croissance ininterrompue sur R, alors pour -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R afficher la valeur de la fonction f(t) = t 3 - 2t 2 + tà 0,5 ≤ t< 4.

On connaît l'ordre de la valeur anonyme de la fonction f(t) sur le vіdrіzku, de vain partout où je peux aller f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Otzhe, f(t) différencié, plus tard, et sans interruption au vent. Z égal f'(t) = 0 on connaît les points critiques de la fonction t=1/3, t=1, tout d'abord, vous ne pouvez pas vous allonger sur un ami, mais sur un ami youma. alors yak f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, alors, pour la qualité de la fonction différenciée, 0 est la valeur la plus faible et 36 est la valeur la plus élevée de la fonction f(t) sur le vіdrіzku. Todi f(t), en tant que fonction non-stop, elle accepte toutes les valeurs de 0 à 36 inclus, de plus, la valeur 36 ne prend que lorsque j=4 de plus, pour 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna est positif pour tout l'intervalle x z (-1; 1), de sorte que la fonction de l'arc sinus augmente dans toute la plage d'affectation. Encore une fois, la plus petite valeur du won est à x = -1, et la plus grande à x = 1.

Nous avons soustrait le domaine de la fonction à l'arc sinus .

bout.

Trouver la valeur anonyme d'une fonction sur le vіdrіzku.

Solution.

Connaissons la fonction la plus et la moins importante sur ce fil.

De manière significative, le point extrême, qui réside dans le vіdrіzku :

Calcul de la valeur de la fonction de sortie aux extrémités de la coupe et aux points :

Otzhe, valeur impersonnelle de la fonction sur le vіdrіzku є vіdrіzok .

Montrons maintenant comment connaître la valeur d'une fonction ininterrompue y = f(x) dans les intervalles (a; b) , .

Dès le départ, on attribue des points aux extremum, extremum fonctions, intervalles de croissance et changement de fonction sur un intervalle donné. Ils ont été calculés sur les intervalles de l'intervalle et (ou) entre sur l'incohérence (c'est-à-dire le comportement de la fonction sur les intervalles de l'intervalle ou sur l'incohérence). Il y a suffisamment d'informations pour connaître la valeur impersonnelle de la fonction sur de tels intervalles.

bout.

Désignez une valeur impersonnelle de la fonction sur l'intervalle (-2 ; 2).

Solution.

On connaît les points de l'extremum de la fonction, qui sont passés sur l'intervalle (-2 ; 2) :

Krapka x = 0 est le point de maximum, c'est pourquoi il faut changer le signe du plus au moins en le traversant, et le graphique de la fonction semble augmenter pour aller vers la baisse.

є vіdpovіdny fonction maximale.

Nous comprenons le comportement de la fonction en x, qui va jusqu'à -2 vers la droite et en x, qui va jusqu'à 2 złiva, nous connaissons donc les frontières unilatérales :

Ce que nous avons retenu : lorsque l'argument id -2 est modifié à zéro, la valeur de la fonction augmente de moins l'incohérence à moins un quart (le maximum de la fonction à x = 0 ), lorsque l'argument id est modifié de zéro à 2, la valeur de la fonction tombe à l'infini. Dans cet ordre, la valeur impersonnelle de la fonction sur l'intervalle (-2; 2) є .

bout.

Spécifiez la valeur du multiplicateur de la fonction à la tangente y = tgx sur l'intervalle.

Solution.

La fonction similaire à la tangente sur l'intervalle est positive qui indique la croissance de la fonction. Suivez le comportement de la fonction sur les bornes de l'intervalle :

De cette façon, lors du changement d'argument, la valeur de la fonction passe de l'incohérence moins à l'incohérence plus, c'est-à-dire que la valeur de la tangente sur cet intervalle est la valeur de tous les nombres réels.

bout.

Trouvez la plage de la fonction du logarithme népérien y = lnx.

Solution.

La fonction logarithme naturel est affectée aux valeurs positives de l'argument . Sur quel intervalle est positif Cela ne vaut pas la peine de parler de la croissance des fonctions sur une nouvelle. Nous connaissons la frontière unilatérale de la fonction lorsque l'argument est droitier jusqu'à zéro, et la frontière en x, qui est correcte jusqu'à plus d'incohérence :

Bachimo, pour changer x de zéro à plus d'incohérence, la valeur de la fonction croît de moins d'incohérence à plus d'incohérence. Otzhe, la portée de la fonction du logarithme naturel є nombres réels impersonnels.

bout.

Solution.

Cette fonction est affectée à toutes les valeurs réelles x . Les points extrêmes sont significatifs, ainsi que les écarts dans la croissance et l'évolution de la fonction.

De plus, la fonction change à , croît à , x = 0 est le point maximum, maximum apparent de la fonction.

On regarde le comportement de la fonction sur l'incohérence :

De cette manière, sur incohérence, les valeurs de la fonction tendent asymptotiquement vers zéro.

Nous avons expliqué que lorsque l'argument passe de moins d'incohérence à zéro (points maximum), la valeur de la fonction passe de zéro à neuf (jusqu'au maximum de la fonction), et lorsque x passe de zéro à plus d'incohérence, la valeur de la fonction passe de neuf à zéro.

Regardez les petits schématiques.

Vous pouvez maintenant voir clairement que la plage de la fonction est .

La valeur du multiplicateur de la valeur de la fonction y = f(x) sur les intervalles de même durée. Ne parlons pas immédiatement de ces vipadkas. Aux fesses ci-dessous, la puanteur est plus forte.

Supposons que la portée de la fonction y = f(x) soit combinée pour un certain nombre d'intervalles. Lorsque la surface est connue, la valeur d'une telle fonction est indiquée par la valeur impersonnelle de la protrusion cutanée et sa généralisation.

bout.

Trouvez la portée de la fonction.

Solution.

La norme de notre fonction n'est pas coupable de descendre à zéro, tobto,.

On connaît la valeur impersonnelle de la fonction sur l'échange ouvert.

Autres fonctions négatif pour cet intérim, donc la fonction change pour lui.

Il a été pris en compte que lorsque l'argument est moins l'incohérence, les valeurs de la fonction sont asymptotiquement approchées de l'unité. Lorsque vous changez x de l'incohérence moins à deux valeurs, la fonction passe de un à l'incohérence moins, donc, pendant une courte période, comme vous pouvez le voir, la fonction prend une valeur impersonnelle. On n'est pas inclus, les fragments de la valeur de la fonction ne l'atteignent pas, il ne suffit pas d'y sauter asymptotiquement par incohérence en moins.

Diemo est similaire pour l'échange ouvert.

À quel intervalle la fonction change également.

La valeur anonyme de la fonction pour cet intérimaire est impersonnelle.

De cette manière, la portée de la valeur de la fonction est nécessaire pour combiner des multiples.

Illustrations graphiques.

Traces d'Okremo sur les fonctions périodiques. La portée de la valeur des fonctions périodiques est modifiée par rapport à la valeur impersonnelle de l'intervalle, qui dépend de la période de la fonction.

bout.

Trouvez la plage de la fonction sinus y = sinx.

Solution.

Cette fonction est périodique avec une période de deux pi. Vіzmemo vіdrіzok ta signification significativement impersonnelle sur nymu.

Vіdrіzku se trouvent deux points d'extremum ta .

Nous calculons la valeur de la fonction à ces points et aux limites de la vіrіzka, nous choisissons la valeur la plus faible et la plus élevée :

Otzhe, .

bout.

Trouver la portée d'une fonction .

Solution.

Nous savons que la plage de valeurs de l'arc cosinus vіdrіzok va de zéro à zéro, alors, ou dans une autre entrée. Une fonction peut être otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh axe abscisse. Une telle transformation sur la zone n'est pas à injecter, à cela, . Une fonction sors de étiré à vtrychі vzdovzh osі Oy, tobto, . La 1ère étape restante de la transformation - tse zsuv chotirma seul le long de l'axe des ordonnées uzdovzh. C'est pas la peine de nous amener à la nervosité du métro

Dans ce rang, la zone shukana de valeur est .

Faisons une solution à un cul de plus, mais sans explication (il n'y a pas besoin de puanteur, je ferai la même chose pour ça).

bout.

Définir le périmètre de la fonction .

Solution.

Écrivons la fonction de sortie comme . La zone de valeur de la fonction d'état est l'intervalle. Tobto, . Todi

Otzhe, .

Pour compléter le tableau, parlons de la portée de la valeur de la fonction, car c'est la portée non interrompue de la fonction. Dans ce cas, la zone de rendez-vous est divisée par des points en lacunes, et nous connaissons la valeur dénuée de sens sur la peau de ceux-ci. En combinant la soustraction des valeurs du multiplicateur, nous soustrayons l'aire de la valeur de la fonction de sortie. Il est recommandé de deviner 3 valeurs de fonction à gauche pour se déplacer moins un, et si x va jusqu'à 3 vers la droite, la valeur de la fonction à déplacer plus l'inexactitude.

De cette façon, la zone de fonction est divisée en trois intervalles.

Puis-je avoir une fonction . Oscilki, alors

Ainsi, la valeur impersonnelle de la fonction de sortie pour l'intervalle est є [-6 ; 2].

Sur le dernier intervalle, il est possible d'avoir une fonction constante y = -1. Ainsi, la valeur impersonnelle de la fonction externe pour l'intérim s'additionne à partir d'un seul élément.

La fonction est affectée à toutes les valeurs réelles de l'argument. Z'yasuєmo promiski augmentation et changement de fonction.

Pokhіdna tourne à zéro à x=-1 et x=3. Points qi significatifs sur l'axe numérique et signes significativement similaires sur les sous-intervalles.

La fonction passe à , Croissance de [-1 ; 3] , x=-1 point au minimum, x=3 point au maximum.

Calculons les fonctions minimum et maximum :

Inverser le comportement de la fonction sur incohérence :

Un autre mezhu a été facturé.

Plus schématiquement des chaises.

Lorsque l'argument est modifié de moins l'indéfini à -1, la valeur de la fonction passe de plus l'infini à -2e , lorsque l'argument est modifié de -1 à 3, la valeur de la fonction augmente de -2e à , lorsque l'argument passe de 3 à plus la valeur inachevée mais ils n'atteignent pas zéro.

Une fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants à comprendre.

Rendez-vous : Si le numéro de peau du multiplicateur deux x est fixé à un y, alors il semble que la fonction y(x) soit affectée à ce multiplicateur. Lorsque x est appelé un argument de changement indépendant et que y est appelé une valeur de changement en jachère de la fonction, il s'agit simplement d'une fonction.

Pour le dire, ce qui change y est la fonction de changement de x.

Après avoir noté la validité d'une certaine lettre, par exemple f, écrivez manuellement : y=f (x), de sorte que la valeur de y provienne de l'argument x pour la validité supplémentaire de f. (Lire : y est égal à f dans x.) Le symbole f (x) désigne la valeur de la fonction, qui correspond à la valeur de l'argument, qui est égale à x.

Exemple 1 Soit la fonction déterminée par la formule y=2x 2 –6. Alors on peut écrire que f(x) = 2x2-6. On connaît la valeur de la fonction x, égale, par exemple, à 1 ; 2,5;-3; on connaît donc f(1), f(2,5), f(–3) :

f(1)=2 1 2 –6=–4 ;
f(2.5)=2 2.5 2 -6=6.5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Respectueusement, l'enregistrement a la forme y=f (x) au lieu de f pour vivre en d'autres lettres : g, donc.

Destination : La portée de la fonction - la valeur de x, qui ont la même fonction.

Si la fonction est donnée par la formule et que la portée de la fonction n'est pas affectée, alors il est important que la portée de la fonction soit ajoutée à la valeur de l'argument, pour lequel la formule n'a aucun sens.

Sinon, apparemment, la portée de la fonction assignée par la formule, la valeur de l'argument, est muette, comme s'il était possible d'aboutir à diy, comme on peut vikonate. Pour le moment, nous n'en connaissons que deux. Nous ne pouvons pas diviser par zéro et nous ne pouvons pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Désignation : utilisez la valeur, si vous acceptez le changement de jachère, établissez la zone de la valeur de la fonction.

La portée de la fonction désignée, qui décrit le processus réel, réside dans l'esprit d'esprits et de processus spécifiques. Par exemple, l'obsolescence de la longueur de la longueur de la longueur du cisaillement, en fonction de la température de chauffage t, est exprimée par la formule, de l 0 de la longueur de la longueur de la longueur de la longueur de la longueur de la longueur et le coefficient de dilatation linéaire. La formule maє sens pour toute valeur de t est attribuée. Cependant, la portée de la fonction l = g (t) est un intervalle de dizaines de degrés, pour lequel la loi d'expansion linéaire est juste.

bout.

Spécifiez la plage de fonctions y=arcsinx.

Solution.

La zone attribuée à l'arc sinus є vіdrіzok [-1; 1] . Connaissons la fonction la plus et la moins importante pour chaque thread.

Pokhіdna est positif pour tout le monde X de l'intervalle (-1; 1) , par conséquent, la fonction de l'arc sinus croît sur toute la plage de désignation. Otzhe, la chose la moins importante est nabuvaє x=-1, et la plupart à x=1.