Comment établir correctement la répartition de la nervosité. Inégalité fractionnaire-rationnelle. Comment gérer les incohérences, qui ont un module

Tapez ax 2 + bx + 0 0, de (remplacement de signe > possible, sensé, être un autre signe d'inégalité). Tout est nécessaire pour résoudre de telles incohérences avec les faits de la théorie, on voit pourquoi on peut changer d'un coup.

fesses 1. Virishiti nerіvnіst :

a) x 2 - 2x - 3> 0 ; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Solution,

a) Regardons la parabole y \u003d x 2 - 2x - 3, représentée sur la fig. 117.

L'inégalité de virosité x 2 - 2x - 3 > 0 - ne signifie pas alimentation électrique, pour laquelle l'ordonnée x le point de la parabole est positif.

Respectueusement, que y > 0, alors le graphique de la fonction d'expansion est plus élevé pour l'axe des x, à x< -1 или при х > 3.

Otzhe, les solutions aux inégalités sont tous des points d'ouverture À propos de moi(- 00 , - 1), et trouvez tous les points de la plage critique ouverte (3, +00).

Signe Vykoristovuyuchi U (signe de subdivision), il peut s'écrire ainsi : (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd peut être écrit comme ceci : x< - 1; х > 3.

b) Inégalité x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: programme propagation sous l'axe des x, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) L'irrégularité x 2 - 2x - 3 > 0 compte comme une irrégularité x 2 - 2x - 3 > 0, vous devez donc inclure l'alignement des racines x 2 - 2x - 3 = 0, puis les points x = -1

і x \u003d 3. Dans cet ordre, les solutions données ne sont pas complètement inégales et tous les points de changement (-00, - 1], ainsi que les points de changement de moustache.

Les mathématiciens pratiques sonnent comme ceci: navіscho us, viruyuchi nerіvnіst à 2 + bх + с> 0, pour être avec précision un graphique parabolique d'une fonction quadratique

y \u003d ax 2 + bx + c (comment a-t-il été écrasé sur le cul 1)? Terminer le petit graphique fragmentaire racine du trinôme carré (points de la barre transversale de la parabole z vіssy х) et signifie, où le redressement des aiguilles de la parabole est en montée vers le bas. Ce petit peu sommaire vous donnera un nuage de nervosité rozv'yazannya.

fesses 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Solution.

1) Nous connaissons la racine du trinôme carré - 2x2 + Zx + 9 : x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabole, comme un graphique de la fonction y \u003d -2x 2 + Zx + 9, décalant tous les x aux points 3 i - 1,5, et les broches de la parabole sont redressées, les plus âgées coefficient- Nombre négatif - 2. Dans la fig. 118 représentations de petits graphiques.

3) Riz Vikoristovuyuchi. 118, robimo visnovok: tu< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Suggestions: x< -1,5; х > 3.

Exemple 3. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Solution.

1) Z égal 4x 2 - 4x + 1 = 0 est connu.

2) Un trinôme carré a une racine ; tse signifie qu'il s'agit d'une parabole, comme un graphique d'un trinôme carré, ne changez pas tous les x, mais tenez-vous en points. Têtes de la parabole vers le haut de la colline (Fig. 119.)

3) Pour un modèle géométrique supplémentaire, qui est illustré à la Fig. 119, il est établi que l'inégalité n'est définie qu'en points, la mise à l'échelle à toutes les autres valeurs de l'ordonnée du graphique est positive.
Suggestion : .
Toi, sing-song, tu t'es souvenu qu'en fait les mégots 1, 2, 3 avaient tout un chant algorithme irrégularités carrées rozv'yazannya, yogo formalisé.

Algorithme pour dériver l'irrégularité carrée ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

A la première étape, l'algorithme doit connaître la racine du trinôme carré. Mais la racine ne peut pas être cassée, pourquoi travailler ? Ensuite, l'algorithme ne zastosovuetsya, alors, il est nécessaire de l'observer de toute façon. La clé du tsikh mirkuvan est de donner de tels théorèmes.

Autrement dit, comme D< 0, а >0, alors l'inégalité de ax 2 + bx + c > 0 l'emporte pour tout x ; navpaki, presque à 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Preuve. Programme les fonctions y \u003d ax 2 + bx + c є parabole, les aiguilles sont droites vers le haut (scalaires a\u003e 0) et yak ne change pas tout x, car le trinôme carré n'a pas de racine pour l'esprit. Le graphique est représenté sur la fig. 120. Bachimo, qu'avec tout x le programme des expansions est supérieur à l'axe x, mais tse signifie qu'avec tout x, l'inégalité ax 2 + bx + c > 0, qui était censée être complétée.

Autrement dit, comme D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 pas de solutions.

Preuve. Graphique de la fonction y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

fesses 4. Virishiti nerіvnіst :

a) 2x 2 - x + 4> 0 ; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Nous connaissons le discriminant du trinôme carré 2x 2 - x + 4. Mai D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Le coefficient supérieur du trinôme (numéro 2) est positif.

Ainsi, pour le théorème 1, pour tout x, l'inégalité 2x 2 - x + 4> 0 est surmontée, de sorte que tous (-00 + 00) servent de solutions à l'inégalité donnée.

b) Nous connaissons le discriminant du trinôme carré - x 2 + Zx - 8. Mai D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Validité : a) (-00 + 00) ; b) il n'y a pas de solution.

À la crosse offensive, nous connaissons une autre façon de mirer, qui zastosovetsya à l'ouverture des irrégularités carrées.

Exemple 5. Virishity nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Solution. Nous développons le trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 en multiplicateurs. Aux racines du trinôme є nombre 3 i à cela, accélérant ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), nous prenons 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Significativement sur la racine numérique directe du trinôme : 3 i (Fig. 122).

Soit x> 3 ; alors x-3> 0 dans x-> 0, alors, je 3(x - 3)(x - ) supplémentaire est positif. Allez allez< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. De plus, dobutok 3(x-3)(x-) est négatif. Allez, allez, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) est positif.

En résumé, nous arrivons à la visnovka : les signes du trinôme carré Zx 2 - 10x + 3 changent comme indiqué sur la fig. 122. Mais nous devons être appelés, pour un trinôme carré, il prend des valeurs négatives. 3 fig. 122 robimo visnovok: trinôme carré 3x 2 - 10x + 3 nabuє valeurs négatives pour toute valeur de x dans l'intervalle (, 3)
Vidpovid (, 3), sinon< х < 3.

Le respect. La méthode de mise en miroir, que nous avons utilisée sur le bout 5, s'appelle la méthode des intervalles (ou la méthode des intervalles). Win gagne activement en mathématiques pour la perfection rationnel irrégularités. En 9e année, la méthode des intervalles est plus détaillée.

fesses 6. Pour toute valeur du paramètre p carré égal x 2 - 5x + p 2 \u003d 0 :
a) il y a deux racines différentes ;

b) il y a une racine ;

c) pas maє -racine?

Solution. Le nombre de racines de l'égalisation carrée est à trouver en fonction du signe du premier discriminant D. Dans ce cas, D = 25 - 4p2 est connu.

a) Un alignement carré peut avoir deux racines différentes, comme D>0, par conséquent, la tâche consiste à construire l'alignement d'inégalité 25 - 4p 2 > 0. On enlève l'égalité de l'inégalité 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Les signes de la virase 4(p - 2,5) (p + 2,5) sont montrés sur la fig. 123.

Robimo visnovok, qui est impair 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) alignement carré peut avoir une racine, donc D - 0.
Nous avons inséré plus, D = 0 pour p = 2,5 ou p = -2,5.

La même chose avec les valeurs tsikh du paramètre reçoit un carré égal à une seule racine.

c) Le carré n'est pas égal à la racine, comme D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

On prend 4p 2 - 25 > 0 ; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, étoiles (div. Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Avec les valeurs tsikh du paramètre donné, le carré n'a pas de racine.

Vidpovid : a) à p(-2,5, 2,5) ;

b) à p = 2,5 abor = -2,5 ;
c) à r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algèbre. 8e année : Navch. pour zagalnosvіt. installation - 3ème vue., Doopratsyuvannya. - M. : Mnemozina, 2001. - 223 p. : ill.

Aide pour un écolier en ligne, Mathématiques pour le téléchargement de la 8e année, planification thématique du calendrier

Les linéaires sont appelés incohérences partie gauche et droite de ces fonctions linéaires d'une grandeur inconnue. Devant eux, on peut voir, par exemple, la nervosité:

2x-1-x +3 ; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Inégalité de Suvori : ax+b>0 ou hache+b<0

2) Irrégularités non strictes : ax+b≤0 ou hache+b≫ 0

Nous allons jeter un coup d'oeil. Un des côtés du parallélogramme devient 7cm. Quelle peut être la longueur de l'autre côté pour que le périmètre du parallélogramme soit supérieur à 44 cm ?

Allez du côté shukana du stock X voir Cette fois, le périmètre du parallélogramme aura des représentations (14 + 2x) voir Irrégularité 14 + 2x > 44 є modèle mathématique Problème sur le périmètre d'un parallélogramme. Comme dans cette inégalité, remplacer le changement X sur, par exemple, le nombre 16, alors nous prenons l'inégalité numérique correcte 14 + 32\u003e 44. Dans ce cas, il semble que le nombre 16 soit le même que la différence entre 14 + 2x\u003e 44.

Nervosité de Rozvyazanyam nommer le sens du changement, comme s'il s'agissait d'une bête d'entre eux, dans l'inégalité numérique correcte.

Otzhe, skin des nombres 15.1 ; 20;73 agissent comme une irrégularité rozvyazkoy 14 + 2x > 44, et le nombre 10, par exemple, n'est pas le même rozvyazky.

Virishiti nerіvnіst signifie installer toutes les solutions, ou apporter, que la solution n'existe pas.

La formulation du rozv'yazannya d'inégalité est similaire au formulaire de la racine d'alignement. Pourtant, il n'est pas d'usage de désigner « la racine de la nervosité ».

La prédominance de l'équivalence numérique a été complétée par l'équivalence virishuvati. Ainsi, la puissance même des incohérences numériques aidera à surmonter les incohérences.

Équivalence Virishuyuchi, nous changeons de yogo en lui, nous pardonnerons davantage l'équivalence, mais bien qu'égale à celle donnée. Derrière un tel schéma, on connaît les conséquences et les incohérences. Lors du changement de l'égalisation sur l'égal à celui-ci, l'égalisation est corroborée par le théorème sur le transfert des additions d'une partie de l'égal à la longueur et la multiplication des deux parties de l'égal au même dans le même nombre que zéro. En cas de rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdminnіst yogo z іvnyannіm, yak arguant du fait que la solution peut être mal comprise simplement en définissant le vihіdnіnіnіinіа. Les irrégularités ont un tel chemin tous les jours, de sorte qu'une solution impersonnelle n'est pas possible de leur présenter. Pour cela il est important de comprendre, l'axe des flèches<=>- tse signe d'équivalent, chi égal, transformation. La transformation s'appelle égal, ou équivalent comme la puanteur ne change pas la décision impersonnelle.

Règles similaires pour l'irritabilité rozv'yazannya.

Comme si quelque chose devait être déplacé d'une partie de l'inégalité à une autre, après avoir remplacé le signe par l'opposé, alors nous supprimons l'inégalité, équivalente à celle donnée.

Si vous multipliez (divisez) les parties incriminées de la nervosité par le même nombre positif, nous enlevons l'inégalité équivalente à celle donnée.

Si vous multipliez (divisez) les parties incriminées de l'inégalité par le même nombre négatif, en remplaçant le signe de l'inégalité par le prolongement, nous supprimons l'inégalité, qui équivaut à celle donnée.

Vikoristovuyuchi qi règlements en comptant l'irritabilité inférieure.

1) Voyons l'incohérence 2x - 5 > 9.

Tsé irrégularité linéaire, nous connaissons la décision yogo et discutablement la compréhension principale.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 se sont déplacés vers la partie gauche avec un signe opposé), puis ils ont tout divisé par 2 et peut-être x > 7. Nous appliquerons une solution riche à tout X

Nous avons supprimé les directives positives. Décision significativement impersonnelle ou comme une nervosité x > 7, ou comme un intervalle x(7; ∞). Et qu'en est-il des décisions privées concernant la nervosité ? Par exemple, x=10- tse privé vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- c'est aussi une variante privée de la nervosité.

Il y a beaucoup de décisions privées, mais notre tâche est de connaître toutes les décisions. Et la décision, en règle générale, est impersonnelle.

Rozberemo cul 2 :

2) Éliminer la nervosité 4a - 11 > a + 13.

Virishima-yoga : mais avançons d'un bec, 11 passer au livre suivant, prendre 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 la nervosité peut apparaître une<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>une< 8 .

Tezh apparemment impersonnel une< 8 , mais déjà sur l'axe mais.

Vidpovid ou écrire comme la nervosité a< 8, либо mais(-∞;8), 8 n'est pas inclus.

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Aujourd'hui, mes amis, il n'y aura pas de morve et de sentiment quotidiens. En remplacement d'eux, je vous dirigerai sans aucun pouvoir pour battre l'un des pires adversaires du cours d'algèbre de la 8e à la 9e année.

Donc, vous avez tout compris correctement : allez sur les incohérences avec le module. Jetons un coup d'œil à certains des grands principes, à l'aide desquels vous apprendrez à surmonter près de 90% de ces commandes. Et qu'en est-il des 10 % de reshtoyu ? Eh bien, nous en parlerons dans une bonne leçon.

Cependant, avant cela, comment démêler comment l'accepter là, je voudrais deviner deux faits, qu'il faudrait connaître. Sinon, vous examinerez la connaissance du matériel de la leçon d'aujourd'hui.

Que veux-tu savoir

Il est évident que pour résoudre les incohérences avec le module, il faut connaître deux mots :

1. Comment la nervosité fait rage;
2. Qu'est-ce qu'un module ?

Partons d'un autre point.

Fonction du module

Tout est simple ici. Є deux fonctions : algébrique et graphique. Pour le cob - algébrique :

Rendez-vous. Le module du nombre $x$ est soit le nombre lui-même, car il ne m'est pas visible, soit le nombre qui vous est opposé, comme les autres $x$, est toujours négatif.

Enregistrez-le comme ceci :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Pour faire simple, le module est « un nombre sans moins ». Je me suis dans cette dualité (ici, à partir du dernier numéro, rien n'a besoin d'être travaillé, mais ici, il arrive de ramasser un moins là-bas) et j'utilise tout le pliage pour les étudiants-pochatkivtsiv.

Conception plus géométrique. C'est aussi bon à savoir, mais nous serons moins susceptibles de marcher vers le nouveau de manière pliable et même spéciale, un pidkhіd géométrique réussi pour l'algébrique (spoiler: pas aujourd'hui).

Rendez-vous. Laissez le point $a$ être marqué sur la droite numérique. Même module $\gauche | x-a \right|$ est appelé du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous voulez traverser l'image, vous pouvez la voir sur le kshtalt tsogo :

Conception graphique du module

Alors quoi d'autre, dès la désignation du module, on voit immédiatement la touche puissance : le module du nombre est toujours égal à la grandeur. Ce fait sera un fil rouge pour parcourir tout notre discours d'aujourd'hui.

Virishennya nerіvnosti. Méthode d'intervalle

Voyons maintenant la nervosité. Їхісує impersonnel, mais notre tâche est à la fois de tuer virishuvati voulant être le plus simple d'entre eux. Tі, scho zvoditsya aux irrégularités linéaires et la méthode des intervalles de navigation.

Sur ce sujet, j'ai deux grandes leçons (mіzh inshim, plus, plus marron - je recommande vivchiti):

1. Méthode d'intervalle pour les irrégularités (surtout regardez la vidéo);
2. Incohérences fractionnelles-rationnelles - même une leçon générale, mais alors vous n'obtenez pas assez de nourriture.

Si vous savez tout, si la phrase "passons de l'inégalité à l'égalité" ne vous donne pas l'impression d'être follement fatigué de vous tuer contre le mur, alors vous êtes prêt : nous vous prions de bien vouloir aller jusqu'à la leçon principale . :)

1. Irrégularité de l'esprit "Module moins que la fonction"

C'est l'une des tâches les plus étendues avec les modules. Il est nécessaire de surmonter l'inégalité de l'esprit:

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Le rôle des fonctions $f$ et $g$ peut être, ou bien, des polynômes. Appliquez ces incohérences :

\[\begin(aligner) & \left| 2x+3\droite| \ltx+7 ; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0 ; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(aligner)\]

Tous les puants sont littéralement dans une rangée derrière le schéma:

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droite.\droite)\]

Peu importe si le module est épargné, mais on peut enlever l'incohérence sous-jacente (sinon, pareil, le système de deux incohérences). Prote cey transfert vrakhovu absolument tout problèmes possibles: si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; akscho négativement - tout de même pratique; Et navit pour la fonction la plus inadéquate de la maison $f$ chi $g$ méthode tout de même travail.

Évidemment, blâmez la nourriture : ça ne peut pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. Qui a toute la fonctionnalité du module.

Vtіm, s'en tenir à philosopher. Chantons un brin du jour :

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| 2x+3\droite| \ltx+7\]

Solution. De plus, devant nous se trouve un "module plus petit" d'esprit classique - pour ne rien refaire. Pratique pour l'algorithme:

\[\begin(aligner) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3\droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]

Ne vous hâtez pas d'ouvrir les arches, devant lesquelles il y a un "moins": autant que possible, par la hâte, vous vous livrerez à un pardon figuratif.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

La tâche était jusqu'à deux irrégularités élémentaires. Significativement х virіshennia sur des lignes numériques parallèles:

Pérétin multiple

Peretin tsikh s'est multiplié et sera clair.

Correspondance : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. La commande est déjà un peu pliée. Pour le cob, on utilise le module, en transférant un autre addendum à droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Évidemment, nous sommes face à une nouvelle inégalité de la forme « plus petit module », nous autorisons donc le module pour l'algorithme déjà existant :

\[-\gauche(-3\gauche(x+1 \droite) \droite) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Axe du respect de la contagion : laissez-moi vous dire que je suis des bochenets de troch avec une moustache avec des chaînes. Ale, je vais encore deviner quelle est notre méta clé avec compétence virishiti nerіvnіst et otrimati vіdpovіd. Plus tard, si vous avez parfaitement maîtrisé tout ce qui est révélé dans cette leçon, vous pourrez vous tordre à votre guise : ouvrir les bras, ajouter des inconvénients, etc.

Et pour nous, pour l'épi, nous allons juste nous réveiller avec le moins minable du mal :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1\droite)\]

Maintenant, toutes les arches de la nervosité sous-jacente ont été ouvertes :

Passons à la nervosité du métro. Cette fois les onglets seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(aligner) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\droite.\]

Les infractions d'inégalité sont quadrillées et violées par la méthode des intervalles (mais je vais vous dire: vous ne savez pas ce que c'est, plutôt, ne prenez pas encore les modules). Passons à la première irrégularité :

\[\begin(aligner) & ((x)^(2))+5x=0 ; \&x\gauche(x+5\droite)=0 ; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\fin(aligner)\]

Comme un bachimo, à la sortie c'était carrément inégal, même, comme si c'était élémentaire. Voyons maintenant une autre nervosité du système. Là, cela arrive au théorème de zastosuvat Viet :

\[\begin(aligner) & ((x)^(2))-x-6=0 ; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0 ; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\fin(aligner)\]

Soustraire significativement les nombres sur deux droites parallèles (okrema pour la première irrégularité et okrema pour l'autre) :

Eh bien, je suis sûr qu'en brisant le système d'irrégularités avec nous, nous allons répéter les lignes de multiplicateurs d'ombrage : $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.

Correspondance : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après leur application, le schéma de la solution avait un sens limite :

1. Assimiler le module en transférant tous les autres ajouts à la partie principale de l'inégalité. De cette manière, on tient compte de l'incohérence de l'esprit $\left| f\droit| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerіvnіst, ayant épargné le module pour le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il est nécessaire de passer d'une nervosité sous-variante à un système de deux virus indépendants, dont la peau peut être complètement réparée.
3. Nareshti, être privé de la solution de ces deux syllabes indépendantes - et nous n'en retirons que le résidu.

Un algorithme similaire est utilisé pour les rugosités de type offensif, si le module est plus grand que la fonction. Cependant, il y a un brin de "ale" sérieuse. Parlons tout de suite du qi "ale".

2. Irrégularité de l'esprit "Le module est plus qu'une fonction"

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gt g\]

Ressemble à l'avant? On dirait. Prote vyrishyuyutsya so zavdannya zovsіm d'une manière différente. Officiellement, le régime arrive:

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(align) \right.\]

En d'autres termes, nous pouvons voir deux points :

1. D'autre part, ignorez simplement le module - incohérence normale virishhuєmo;
2. Développons essentiellement le module 3 avec un signe moins, puis nous multiplierons la partie incriminée de l'inégalité par -1, qui est inférieur au signe.

Dans cette variante, ils ont un arc carré, tobto. peut-être que le mariage de deux pourrait.

Renvoyons encore le respect : nous ne sommes pas devant un système, mais un sukupniste, chez vіdpovіdі impersonnels, ils s'unissent, mais ne changent pas. Il est important de voir le point avant!

Vzagali, z ob'ednannymi et peretina chez riche uchnіv sutsіlna plutanina, réglons encore et encore le problème dans la nutrition tsommu:

• "∪" - est un signe d'ob'ednannya. En fait, la lettre "U" était stylisée, car elle nous est venue de film anglaisє abréviation comme "Union", tobto. "Syndicat".
• "∩" est la marque de la ligne. Tsya merde le son n'est pas venu, mais juste du vinyle comme il a été écrit avant "∪".

Pour faciliter la mémorisation, il suffit de peindre jusqu'à ces signes, afin que les kelikhs soient vus (l'axe n'a seulement pas besoin de m'appeler immédiatement dans la propagande de la toxicomanie et de l'alcoolisme: si vous apprenez toute la leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Rіznitsya mizh retinom et ob'єdnannyam mnozhin

Dans la traduction du russe tse, cela signifie ce qui suit: l'union (l'offre) comprend dans ses propres éléments des deux ensembles, c'est-à-dire pas moins que celui de la peau; et l'axe (système) rétinien comprend uniquement ces éléments, qui se trouvent en même temps dans le premier multiplicateur, et dans l'autre. Par conséquent, il n'y a plus de multiples de vacances multiples.

Est-ce devenu plus sensé ? De moi bon. Passons à la pratique.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solution. Diemo pour le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right .\]

Virishuemo skin nerіvnіnі suupnostі:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Je veux dire, je vais multiplier la peau par une droite numérique, puis nous les combinerons :

Combinaison de multiples

Il est bien évident que $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Suggestion : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Solution. Eh bien, quoi? Ce rien - tout de même. Passons par l'inégalité avec le module à l'agrégation de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aligner) \right.\]

Il soulage l'irritabilité de la peau. Malheureusement, la racine ne sera plus là.

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13 ; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\fin(aligner)\]

L'autre nervosité a aussi un troch de gibier :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0 ; \& D=9+12=21 ; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\fin(aligner)\]

Vous devez maintenant calculer les nombres sur deux axes - un axe pour les irrégularités de la peau. Cependant, il est nécessaire de marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est élevé, plus le point a été déplacé vers la droite.

L'axe І ici nous surveille. Quant aux nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ tout est clair ) , donc la somme est également inférieure) , avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ nombre supérieur à négatif), puis avec le reste de le couple, tout n'est pas si clair. Quelle est la plus grande : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme arrangeant des points sur les lignes numériques dans, vlasne, vіdpovіd.

Alors jetons un œil :

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons confirmé la racine, enlevé les nombres négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre au carré les côtés incriminés :

\[\begin(matrice) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense avoir réalisé que $4\sqrt(13) \gt 3$, que $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, le reste des points sur les axes sera disposé comme suit :

Vipadok d'une racine laide

Je suppose que nous voyons le sukupnіst, c'est pourquoi il est nécessaire d'avoir un joint, et non un remaniement des multiples d'ombrage.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Comme Bachite, notre schéma fonctionne miraculeusement aussi bien pour les tâches simples que pour les tâches difficiles. Le seul «point faible» pour une telle personne est la nécessité d'équilibrer avec compétence les nombres irrationnels (et de tourner: ce n'est rien de plus qu'une racine). Alya sera consacrée un okremium aux rations (et même une leçon sérieuse). Et allons-y.

3. Irrégularités avec des "queues" invisibles

Nous nous sommes éloignés des meilleurs. Le prix de l'esprit inégal :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

Apparemment, l'algorithme, dont nous parlerons tout de suite, est meilleur pour le module. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє stand garanti nevid'єmnі vrazi:

Quel est le travail de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Les irrégularités avec des "queues" invisibles peuvent causer des parties offensantes du monde naturel. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya à tsomu pas vynikne.

Nous sommes devant nous tsikavitime zvedennya dans un carré - dans des modules endormis qui s'enracinent :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\fin(aligner)\]

Seul l'axe n'a pas besoin d'être trompé à partir de la racine du carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Les grâces impersonnelles étaient autorisées à ce moment-là, si vous appreniez à oublier d'installer le module ! Ale tse zovsіm insha іstorіya (tse nіbі rіvnyannya irrationnel), tse pas à la fois zaglyuvatymosya. Voyons plus clair le sprat du jour :

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \droite|\]

Solution. Encore une fois, nous respectons deux mots :

1. Ce n'est pas suvora nerіvnіst. Krapki sur la ligne numérique sera brisé.
2. Les côtés offensants de l'incohérence ne sont clairement pas visibles (la puissance du module : $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

De plus, nous pouvons mettre au carré les parties insultantes de l'inégalité afin de nous débarrasser du module et d'éliminer la tâche en utilisant la meilleure méthode d'intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\fin(aligner)\]

Pour le reste de l'étape, j'ai un peu triché : changer l'ordre des add-ons, raccourcir la parité du module (en fait, en multipliant $1-2x$ par -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0 ; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) ) droite)\droite)\le 0 ; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0 ; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Virishuemo par la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'alignement :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0 ; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\fin(aligner)\]

Apparemment, la racine se trouve sur la droite numérique. Encore une fois : des moustaches de grains de farbovani, des éclats de nervosité - pas de Suvora !

Zvіlnennya selon le signe du module

J'imagine pour ceux qui sont particulièrement intransigeants : on prend des signes du reste de l'inégalité, comme si le bula était écrit avant le passage à l'égal. Dans la région de zafarbovuyemo, yakі a besoin de la même irrégularité. Notre vipad a $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Eh bien, de moi tout. La tâche est terminée.

Suggestion : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Solution. Robimo tout de même. Je ne commente pas - émerveillez-vous simplement de la séquence d'action.

Prenons un carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ droite))^(2))\le 0 ; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0 ; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x = -1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\fin(aligner)\]

Une seule racine sur la droite numérique :

Vidpovid - intervalle tsiliy

Suggestion : $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Peu de respect pour le reste de la tête. Comme si ayant exactement respecté un de mes élèves, les insultes du sous-module sont clairement positives dans cette nervosité, donc le signe du module peut être omis sans danger pour la santé.

Ale tse déjà zovsіm inshiy rіven razdumіv que inshі pіdkhіd yogo peut être appelé mentalement la méthode de nasledkіv. À propos du nouveau dans l'okremou urotsi. Et maintenant passons à la dernière partie de la leçon d'aujourd'hui, c'est-à-dire un algorithme universel, qui est pratiqué depuis toujours. Navit ensuite, si tous les attaquants s'avéraient impuissants.

4. Méthode d'énumération des options

Et pourquoi tous les priyomi n'aident-ils pas? Comment l'inégalité peut-elle ne pas être causée par des queues invisibles, comment le module ne peut-il pas être entré, comment peut-il démarrer ?

Ensuite, la grande artillerie de toutes les mathématiques entre en scène - une méthode d'énumération. Des centaines d'irrégularités du module ressemble à ceci:

1. Notez tous les pіdmodulnі vrazi et assimilez-les à zéro;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya que vіznázchiti znaydenі korenі sur une ligne droite numérique;
3. Directement rozіb'єtsya sur kіlka dіlyanok, le milieu d'un tel module en cuir peut fixer la marque et c'est sans ambiguïté rozkrivаєєtsya;
4. Virishiti nerіvnіst sur kozhnіy un tel dilyanci (vous pouvez regarder la racine-cordoni, otrimani au point 2 pour la suprématie). Les résultats de l'association - tse i bude vіdpovіd.

Eh bien merde ? Faible? Facilement! Pendant longtemps. Regardons pratiquement :

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\gauche| x+2 \right| \lt\gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. La merde Tsya ne s'énerve pas $ \ gauche | f\droit| \lt g$, $\left| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt\gauche| g \right|$, c'est bon.

Nous écrivons des virazi sous-modulaires, les assimilons à zéro et nous connaissons la racine :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2 ; \& x-1=0\Flèche droite x=1. \\fin(aligner)\]

Ensemble, nous avons deux racines, qui divisent le nombre directement en trois parcelles, au milieu de ces peaux, le module se déroule sans ambiguïté :

Fractionnement de la droite numérique avec des zéros de fonctions sous-modulaires

Regardons la peau okremo.

1. Donnez $x \lt -2$. Todi insulte pіdmodulnі virazi négatif, je vihіdna nerіvnіst réécrit comme ceci:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(aligner)\]

Zdobuli dosit juste obmezhennya. Passons au yoga avec le reste des allocations que $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Il est évident que changer $x$ ne peut pas être inférieur à -2 du jour au lendemain, mais supérieur à 1,5. Il n'y a pas de solution pour cette entreprise.

1.1. Okremo regarde le vipadok quasi-cordon $x=-2$. Imaginons simplement ce nombre en l'absence d'incohérence et de manière vérifiable : pourquoi est-il victorieux ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5 ; \&0\lt 3-3.5 ; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\fin(aligner)\]

Il est évident que le linguiste nous a escroqués jusqu'à des inégalités incroyables. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh faux, dans $ x = -2 $ n'entre pas dans vіdpovіd.

2. Donnez maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module libary est déjà développé avec un plus, mais celui de droite est toujours avec un moins. Maémo :

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\end(aligner)\]

Je le change à nouveau avec un vimogoy vikidnoy :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Je renouvelle la solution impersonnelle vide, il n'y a pas de fragments de tels nombres, qui sont inférieurs à -2,5 à la fois, et supérieurs à -2.

2.1. Je renouvelle l'okremy vipadok : $ x = 1 $. Imaginons que la sortie soit inégale :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt\gauche| 0 \right|+1-1,5 ; \ & 3 \lt -0.5 ; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\fin(aligner)\]

Semblable au « drop privé » avant, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans le drop.

3. Pièce restante : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont courbés avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Je repense encore la multiplicité des échanges extérieurs :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \droit)\]

Eh bien, obtenez-le! Nous connaissions l'intervalle, qui sera povіddu.

Suggestion : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nasamkinets - un respect, comme, peut-être, vous épargner de mauvais pardons lorsque de vraies tâches sont remplies:

Virishennya nerіvіvnosti z modules zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - invіlі in vіdrіzki. Les points isolés se piègent plus lentement. Il est plus susceptible de piéger de sorte qu'entre les solutions (kіnets vіdrіzka) dépassent les limites de la plage analysée.

Puisque, comme si les cordonies (ces «vipadki privés» eux-mêmes) n'entraient pas dans les gardes, alors mayzhe, chantant, n'allez pas vers les gardes et la zone du mal-droit pour entrer dans ces cordons. І navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd - otzhe, dans yakіs oblastі navpakі tezh sera vіdpovіdyami.

N'oubliez pas cela, si vous changez votre décision.

Et les incohérences rationnelles d'aujourd'hui dans l'obsyazy général peuvent être inversées. Plus précisément, non seulement tout le monde peut virishuvate. Peu de gens peuvent travailler.
Klitschko

La leçon de Tsey sera difficile. Les sols sont zhorst, donc avant la fin du yoga, c'est moins que Vibran. Pour cela, avant l'épi de lecture, je vous recommande de nettoyer les écrans des femmes, des intestins, des enfants des femmes et...

Ce garazd, vraiment tout est simple. Il est possible que vous maîtrisiez la méthode des intervalles (mais que vous ne la maîtrisiez pas - je vous recommande de tourner et de lire) et que vous ayez appris à surmonter les irrégularités de la forme $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ membre riche ou membre riche supplémentaire.

Je respecte que ce ne soit pas important pour vous de chanter, par exemple, l'axe d'un tel jeu (avant de parler, essayez-le pour un échauffement):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0 ; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0 ; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Maintenant, les trochs sont pliables et nous pouvons regarder non seulement les termes riches, mais aussi les noms des fractions rationnelles de l'esprit :

où $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ sont eux-mêmes des termes riches de la forme $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ou il y a plus de termes riches.

Tse i bude nerіvnіst rationnel. Un moment important est la présence d'un changement de $x$ au bannerman. Par exemple, l'axe des irrégularités rationnelles :

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0 ; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(aligner)\]

Et ce n'est pas rationnel, mais zvichaynisinka nerіvnіst, car il est violé par la méthode des intervalles:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Pour aller de l'avant, je vais vous le dire tout de suite : il existe au moins deux façons de traiter les incohérences rationnelles, mais il est toujours possible de travailler jusqu'à la méthode des intervalles que nous connaissons déjà. Pour cela, tout d'abord, découvrons les moyens, devinons les anciens faits, sinon le nouveau matériel ne sera d'aucune utilité.

Que veux-tu savoir

Il n'y a pas beaucoup de faits importants. D'accord, nous avons besoin de moins de chotiri.

Formules abrégées

Donc, donc: la puanteur nous pereslіduvaty protyag nous shkіlnoї programme de mathématiques. Je à l'université aussi. Nous devons beaucoup finir les formules, mais nous n'avons pas besoin de plus que ceci :

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\droit); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\droit). \\ \end(aligner)\]

Respectez le reste des deux formules - la somme de la somme et la différence des cubes (et non la somme de la somme du détail !). Il est facile de se souvenir, de se souvenir, que le signe du premier arc est le même que le signe de l'extérieur et le signe opposé de l'extérieur.

Alignement linéaire

Le plus simple est égal à la forme $ax+b=0$, où $a$ et $b$ sont des entiers égaux, de plus $a\ne 0$. Cette équivalence est simplement inversée :

\[\begin(aligner) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(aligner)\]

Je vais attribuer que j'ai le droit de diviser par le coefficient $a$, même si $a\ne 0$. Tsya vomoga est tout à fait logique, shards pour $a=0$ on enlève l'axe qui :

Tout d'abord, celui qui est égal n'a pas de changement de $x$. Apparemment, ce n'est pas de notre faute d'être bénin (c'est comme trapleyaetsya, disons, en géométrie, d'ailleurs, de le traire souvent), mais tout de même, nous n'avons pas déjà d'égal linéaire.

D'une autre manière, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna dépose moins que le coefficient $b$. Si $b$ est égal à zéro, alors notre égalisation peut ressembler à $0=0$. La jalousie de Tsya est virna zavzhda; sinon, $x$ est un nombre (ressemble à ceci : $x\in \mathbb(R)$). Si le coefficient $b$ n'est pas égal à zéro, alors l'égalité de $b=0$ est victorieuse, alors. il n'y a pas de réponse (enregistré $x\in \varnothing$ et lu "une solution vide vide").

Pour se débarrasser de tous ces plis, il suffit de rentrer $a\ne 0$, pour que les antroches ne nous entourent pas de pensées lointaines.

Alignement carré

Je vais deviner comment s'appelle l'axe carré :

Ici le levoruch est un terme riche d'une autre étape, d'ailleurs, je change $a\ne 0$ (et maintenant au lieu d'égalisation carrée, on le prend linéairement). Virishuyutsya donc rivnyannya par discriminant:

1. Comme $D \gt 0$, on prend deux racines différentes ;
2. Si $ D = $ 0, alors il y aura une racine et une autre multiplicité (quel est le coût de la multiplicité et comment s'assurer des trois trohi de la vie). Ou on peut dire qu'il y a deux racines égales ;
3. Pour $D \lt 0$, il n'y a pas de racine, et le signe du terme riche $a((x)^(2))+bx+c$ pour tout $x$ est remplacé par le signe du coefficient $ un$. Cela, au point de vue du discours, est même un fait ringard, à propos duquel ils oublient le rozpo_sti pendant une heure de cours d'algèbre.

La racine même est respectée pour tout par la formule :

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, avant le discours, obmezhennya sur discriminant. La racine carrée adje d'un nombre négatif n'est pas utilisée. Étant donné que la racine des riches érudits a une bouillie motrice dans la tête, j'ai spécialement écrit toute la leçon: quelle est la racine en algèbre et comment rahuvati - je recommande même de la lire.

Podії z fractions rationnelles

Tout ce qui a été écrit ci-dessus, vous savez, ils ont utilisé la méthode des intervalles. Et l'axe de ceux que nous pouvons analyser d'un coup, ne peut être analogue au passé, est un fait absolument nouveau.

Rendez-vous. Drіb rationnel - tse viraz esprit

\[\frac(P\gauche(x \droite))(Q\gauche(x \droite))\]

où $P\left(x \right)$ et $Q\left(x \right)$ sont des termes riches.

Il est évident qu'il est facile de supprimer les irrégularités d'une telle fraction - il suffit d'attribuer le signe «plus» ou «moins» droitier. Je me suis un peu donné visiblement, scho virishuvati so zavdannya - un satisfait, tout y est plus simple.

Les problèmes commencent même si l'on a un sprat prononcé de telles fractions. Vous pouvez les amener à une bannière endormie - et en même temps, un grand nombre de grâces imaginatives sont autorisées.

Par conséquent, pour réussir à atteindre des égaux rationnels, il est nécessaire d'acquérir fermement deux compétences:

1. Décomposition du terme riche $P\left(x \right)$ en facteurs ;
2. Vlasne, apportant des coups à une bannière endormie.

Comment disposer les segments multiplicateurs ? Un peu simple. Ayons un membre riche de l'esprit

Nous assimilons le yoga à zéro. On prend l'égalisation de la $n$-ième étape :

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Certes, nous avons violé la valeur de l'égalité et enlevé la racine $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ne ricanez pas : le plus grand vipadkіv de la racine n'en aura pas plus de deux) . Dans ce cas, notre terme riche en sortie peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(aligner)\]

De moi tous ! Attention: le coefficient senior $((a)_(n))$ est introuvable - nous ajouterons un multiplicateur devant les manilles, et si nécessaire, vous pouvez l'ajouter pour savoir si oui ou non les manilles s tsikh ( la pratique montre qu'avec $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ racine médiane mayzhe zavzhdi є fractions).

Directeur. Demandez à Viraz :

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ fraction(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Solution. Pour la première fois, on s'émerveille devant les bannières : tous les stinks sont des binômes linéaires, et il n'y a rien à mettre sur les multiplicateurs. Mettons donc les nombres dans des multiplicateurs :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\droite)\gauche(x-1\droite); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \droite)\gauche(2-5x \droite). \\fin(aligner)\]

Pour tourner le respect: pour un autre membre riche, le coefficient principal "2" pour la dernière capacité de notre régime se penche en arrière devant l'arc, puis nous apporterons des contributions au premier arc, les éclats là-bas étaient détraqués .

La même chose est devenue dans la troisième section riche, seulement il y a un autre ordre d'enchevêtrements pliés. Cependant, le coefficient "−5" à la suite de l'introduction dans un autre arc (rappel : vous pouvez entrer un multiplicateur dans un et un seul arc !), ce qui nous a épargné les incohérences liées aux racines de tir.

Quant au premier membre riche, tout y est simple : la racine première est brassée soit en standard par le discriminant, soit pour la théorie du Viet.

Passons au vihіdnogo virazu et réécrivons yogo avec des nombres divisés en multiplicateurs :

\[\begin(matrice) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Suggestion : 5 $ x + 4 $.

Comme la bachite, rien de pliant. Pas assez de mathématiques pour les grades 7-8 - c'est tout. Le sens de toutes les transformations en cela est polygaє, de sorte qu'il est plus facile d'enlever le pliage et la terrible pendaison, ce qui est facile à pratiquer.

Ale, ne t'en fais pas. A cela, tout de suite, on peut se pencher plus sérieusement sur la tâche.

Ale, nous allons le démonter dès le début, comment apporter deux fractions à une bannière endormie. L'algorithme est extrêmement simple :

1. Disposez les bannières sur les multiplicateurs ;
2. Regardez la première bannière et ajoutez à la nouvelle les multiplicateurs de l'autre bannière, protégez la première. Otrimany tvir sera une bannière endormie ;
3. Z'yasuvati, de tels multiplicateurs ne captent pas les tirs dermiques, de sorte que les bannerets sont devenus égaux au feu.

Eventuellement, l'ensemble de l'algorithme vous sera donné simplement par texte, de manière richement écrite. Par conséquent, nous allons tout analyser sur un exemple précis.

Directeur. Demandez à Viraz :

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Solution. Ces ob'єmnі zavdannya sont de meilleures parties virishuvati. Nous écrivons ceux qui se tiennent à la première arche:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Sur le front vіdminu vіd zavdannya, ici des bannermen tout n'est pas si simple. Mettons-le dans des multiplicateurs de skins d'eux.

Le trinôme carré $((x)^(2))+2x+4$ ne peut pas être multiplié, les fragments égaux $((x)^(2))+2x+4=0$ ne peuvent pas être enracinés (discriminant négatif). Nous quittons le yoga sans changement.

Un autre signe - le terme de multiplication cubique $((x)^(3))-8$ - en respectant la différence des cubes, il est facile à décomposer pour les formules de la multiplication courte :

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \droite)\]

Rien de plus ne peut être divisé en multiplicateurs, les fragments dans le premier arc représentent un binôme linéaire, et dans l'autre - nous connaissons déjà la construction, car il n'y a pas de vraies racines.

Nareshti, la troisième bannière est un binaire linéaire, qui ne peut pas être aménagé. Dans ce rang, notre jalousie se tournera vers l'avenir :

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Il est bien évident que $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ sera le dénominateur commun, et de réduire toutes les fractions à une nouvelle , il faut multiplier la première fraction sur $\left(x-2 \right)$, et je resterai sur $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Débarrassons-nous de moins pour apporter comme ceci:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ droite))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ gauche(((x)^(2))+2x+4 \droite)). \\ \end(matrice)\]

Renvoyez le respect à un autre rang : si la bannière est déjà flamboyante, alors. au lieu de trois coups d'okremikh, on a écrit un grand, pas varto, pour une fois, l'arc a été épargné. Il est plus rapide d'écrire une rangée devant vous et de signifier que, disons, avant la troisième fraction, debout moins - et vous n'irez nulle part, mais "suspendu" dans le livre des nombres devant l'arc. Tse pour vous épargner des grâces impersonnelles.

Eh bien, dans le reste de la rangée, disposez les nombres sur les multiplicateurs. Tim est plus grand, qui est un carré exact, et nous viendrons à nouveau à l'aide des formules de la multiplication rapide. Maémo :

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Maintenant, nous allons le régler tout seul avec un autre arc. Ici, je vais juste écrire un petit vers d'équivalence:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)) droite) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x -2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \ droit). \\ \end(matrice)\]

Tournons-nous vers le dernier jour et émerveillons-nous devant la télévision :

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 ) \droite)\gauche(x+2 \droite))=\frac(1)(x+2)\]

Correspondance : \[\frac(1)(x+2)\].

Le sens de cette tâche est le même, comme au premier plan : montrez combien vous pouvez demander rationnellement, comment passer à la prochaine transformation avec raison.

Maintenant, si vous savez tout, passons au sujet principal de la leçon d'aujourd'hui - le point culminant des inégalités rationnelles. Tim plus, après une telle préparation pour votre propre nervosité, vous claquerez comme un pot.

Le principal moyen de surmonter les incohérences rationnelles

Іsnuє yak au moins deux étapes pour razv'yazannya nerіvіvnosti rationnel. En un coup d'œil, nous examinerons l'un d'entre eux - celui qui est largement accepté par le cours de mathématiques à l'école.

Ale, dos à dos, un détail significativement important. Toutes les incohérences sont divisées en deux types :

1. Suvori : $f\left(x \right) \gt 0$ ou $f\left(x \right) \lt 0$ ;
2. Non strict : $f\left(x\right)\ge 0$ ou $f\left(x \right)\le 0$.

Les irrégularités d'un autre type peuvent facilement être réduites au premier, ainsi que la jalousie :

Ce n'est pas beaucoup "supplémentaire" $f\left(x \right)=0$ pour produire une chose aussi inacceptable comme bourrer un point - nous avons appris à mieux les connaître dans la méthode d'intervalle. Sinon, il n'y a pas de différences entre les irrégularités strictes et non strictes, alors regardons un algorithme universel :

1. Sélectionnez tous les éléments non nuls d'un côté sous la forme d'inégalités. Par exemple, levoruch;
2. Amenez toutes les fractions à la bannière standard (car ces fractions apparaissent comme un sprat), apportez des fractions similaires. Ensuite, dans la mesure du possible, nous disposerons sur le carnet de nombres et la bannière sur les multiplicateurs. Alors pourquoi d'autre part enlevons-nous l'inégalité de la forme $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - un signe d'inégalité.
3. Mettons le nombre à zéro : $ P \ left (x \ right) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... retour à zéro : $Q \left(x \right)\ne 0$. Bien entendu, il est vrai que la différence est égale à $Q\left(x \right)=0$, et on prend la racine $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (il est peu probable qu'il y en ait plus de trois dans les fichiers de référence d'une telle racine).
4. Toutes les racines (et avec des étoiles et sans) sont considérées sur une seule ligne droite numérique, de plus, la racine sans étoiles est farbovanisée et avec des étoiles - en vakolota.
5. Nous plaçons des signes «plus» et «moins», choisissons ces intervalles, selon nos besoins. Si l'inégalité peut ressembler à $f\left(x \right) \gt 0$, alors les intervalles marqués d'un "plus" seront répétés. Si $f\left(x \right) \lt 0$, alors on s'interroge sur les intervalles avec des moins.

La pratique montre que le plus difficile est d'appeler les points 2 et 4 - transformation compétente et placement correct des nombres dans l'ordre de croissance. Eh bien, pour le reste du temps, soyez plus respectueux : nous plaçons toujours des panneaux, en spirale sur le reste de l'inégalité, enregistré avant le passage à l'égal. C'est une règle universelle, qui est inférieure à la méthode des intervalles.

Même schéma є. Occupons-nous.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Solution. Nous avons devant nous une fatalité totale de la forme $f\left(x \right) \lt 0$. De toute évidence, les paragraphes 1 et 2 de notre schéma sont déjà vikonan: tous les éléments d'inégalité sont choisis par le levoruch, rien ne doit être apporté à la bannière endormie. Passons au troisième paragraphe.

Assimilons le nombre à zéro :

\[\begin(aligner) & x-3=0; \&x=3. \end(aligner)\]

І bannière :

\[\begin(aligner) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(aligner)\]

Pour chaque zone, quelqu'un colle, et même pour une idée il faut écrire $x+7\ne 0$, pour que ODZ aide (il n'est pas possible de diviser à zéro, l'axe c'est tout). Mais ensuite nous nous avons donné des mouchetures, qui venaient de la bannière, donc une fois que vous composez vos onglets, ne varto - écrivez un signe d'équivalence et ne vous inquiétez pas. Rien ne peut être abaissé pour un prix.

Quatrième point. Il est important d'enlever la racine sur la droite numérique :

Points de moustache vikolotі, oskіlki nerіvnіst - suvora

Respectez : tous les points de vikoloty. Et ici, c'est déjà sans importance: du livre des numéros, les points sont venus de la bannière.

Nous nous émerveillons devant les signes. Prenons le nombre $((x)_(0)) \gt 3$. Par exemple, $((x)_(0))=100$ (alternativement, avec le même succès, vous pouvez prendre $((x)_(0))=3.1$ ou $((x)_(0) ) = 1 000 000 $). Nous prenons:

Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv nous avons une zone positive. Et en passant dans la peau de la racine, le signe change (donc vous ne commencerez pas, mais c'est mieux). Passons au cinquième point : on place les signes et on choisit le besoin :

Nous nous tournons vers le reste de la nervosité, comme un bula avant le rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, ça manque de temps, même s'ils ne se battaient pas tous les jours.

Oskіlki doit éliminer l'inégalité de la forme $f\left(x \right) \lt 0$, j'ai ombré l'intervalle $x\in \left(-7;3 \right)$ - en valeurs simples ​​avec un signe "moins". Tse є vіdpovіd.

Suggestion : $x\in \left(-7;3 \right)$

De moi tous ! Hiba difficile? Non, ce n'est pas difficile. Certes, la tâche était plus facile. En même temps, nous pouvons trier les méfaits et examiner l'incohérence « délicate ». En revanche, je ne ferai plus de telles présentations - je me contenterai d'en souligner les points clés. Zagalom, organisons le yoga de manière à ce qu'il soit établi sur un chi robotique indépendant.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Solution. Cela ne fait pas de mal de voir $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Tous les éléments non nuls sont choisis mal, il n'y a pas de signes différents. Allons à Rivnyan.

Date:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ fraction(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(aligner)\]

Bannière:

\[\begin(aligner) & 13x-4=0; \&13x=4 ; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(aligner)\]

Je ne sais pas quel était le problème lorsque je l'ai mis en place, mais la racine n'allait pas beaucoup mieux : il serait important de les mettre sur une droite numérique. І même avec la racine $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ tout est plus ou moins clair (il n'y a qu'un seul nombre positif - il sera droitier), alors $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ je $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse est possible, par exemple, comme ceci :

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ) ))\]

Je suis désolé, je n'ai pas besoin d'expliquer pourquoi la différence numérique est $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$ ? Comme il est nécessaire, je recommande de deviner comment bricoler victorieux avec des fractions.

Et nous entendons les trois racines sur une ligne droite numérique :

Krapki du livre de nombres zafarbovani, de la bannière - vikolot

Nous plaçons des panneaux. Par exemple, vous pouvez prendre $((x)_(0))=1$ et changer le signe de chaque point :

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(aligner)\]

Le reste de la nervosité avant les égaux était de $f\left(x \right)\ge 0$, nous devons donc cliquer sur le signe plus.

Ils en ont retiré deux multiplicateurs : l'un est le double significatif et l'autre est le score direct sur la droite numérique.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Il est important de respecter le nombre de chiffres, comme nous le représentons pour le signe sur l'intervalle de droite. Absolument neobov'yazkovo podstavlyat nombre près de la racine droite. Vous pouvez prendre le milliardi ou l'appeler "plus-non-incroyabilité" - dans chaque cas, le signe du membre riche, qui se tient à l'arc, le numéraliste ou le bannerman, est signifié exclusivement par le signe du coefficient supérieur.

Regardons à nouveau la fonction $f\left(x \right)$ pour le reste de l'inégalité :

Ce dossier a trois termes riches:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1 ; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2 ; \&Q\gauche(x\droite) = 13x-4. \end(aligner)\]

Toutes les voyelles sont des binômes linéaires et tous les coefficients supérieurs (numéros 7, 11 et 13) sont positifs. Plus tard, lors de la justification de l'arc des grands nombres, les divisions riches elles-mêmes seront positives.

Tse peut être construit superficiellement en pliant, un peu sur le dos, si on comprend que c'est facile à faire. Dans les incohérences graves, la substitution de "plus-incomplétude" nous permettra de changer les signes plus rapidement, inférieurs à la norme $((x)_(0))=100$.

Nous allons bientôt nous taire avec de telles tâches. Jetons un coup d'œil à une autre façon de démêler les incohérences dribno-rationnelles.

Voie alternative

Cette réception m'a été suggérée par un de mes élèves. Moi-même, je ne le respectais en aucune façon, mais la pratique a montré que beaucoup d'apprentissage est plus efficace pour gérer la nervosité de cette manière.

Otzhe, vyhіdnі danі en sami. Il est nécessaire d'éliminer l'incohérence plan-rationnel :

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Réfléchissons : pourquoi le terme riche $Q\left(x \right)$ est-il "plus haut" que le terme riche $P\left(x \right)$ ? Comment sommes-nous censés regarder les grands groupes de racines (avec ou sans étoile), penser aux points, etc. ? Tout est simple: la fraction a une zone désignée, c'est bon pour tout drіb maє sens moins que cela, si c'est un signe de zéro.

Par ailleurs, entre le numérateur et le bannerman ce n'est pas facile : on l'assimile juste à zéro, on plaisante sur la racine, puis on le pense sur une droite numérique. Alors pourquoi ne pas remplacer la ligne de tir (en fait - un signe de rozpodіlu) par les multiplications les plus significatives, et toute l'aide ODZ à prescrire dans une nervosité apparemment okremoi? Par exemple, comme ceci :

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Respecter: un tel pidhіd est autorisé à appeler la tâche à la méthode des intervalles, mais dans ce cas, il n'est pas possible de compliquer la décision. Aje tout de même, on peut élever le terme riche $Q\left(x \right)$ à zéro.

Voyons comment cela fonctionne sur des tâches réelles.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Solution. Encore une fois, passons à la méthode d'intervalle :

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

La première irrégularité est élémentaire. Il suffit d'assimiler l'arc cutané à zéro :

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8 ; \\ & x-11 = 0 \ Flèche droite ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

Avec un autre nerivnistyu, tout est simple :

Nous attribuons les points $((x)_(1))$ et $((x)_(2))$ sur la droite numérique. Usі pue vikolotі, skіlki nerіvnіst suvore:

Le point droit est apparu comme la jeune fille d'une fille. Tsé va bien.

Respectez le point $x=11$. Sortez, comme un "dvіchi vykolot": d'un côté, nous vikolyuєmo її à travers la sévérité de la nervosité, de l'autre côté - grâce à la puissance supplémentaire de l'ODZ.

Ayez une sorte de vipadku, tse sera juste battu au point. C'est pourquoi nous plaçons des signes d'inégalité $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - restez, comme nous nous sommes battus devant, comme nous avons commencé à virishuvati égal :

Nous sommes chatouillés par des zones positives, mais nous pouvons voir le déséquilibre dans l'esprit $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Il n'y avait plus de temps pour écrire le vіdpovіd.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Sur l'exemple de cette décision, je veux vous mettre en garde en présence d'un large pardon parmi les étudiants d'âge moyen. Et à vous-même : n'ouvrez pas les arcs des irrégularités ! Navpaki, essayez de tout répartir sur les multiplicateurs - il vaut mieux demander la solution et vous soulager des problèmes impersonnels.

Essayons maintenant quelque chose de plus plié.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Solution. Cela ne fait pas de mal de regarder $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, donc ici, vous devez suivre respectueusement les points zafarbovannymi.

Passons à la méthode d'intervalle :

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(align) \right.\]

Passons à l'alignement :

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5 ; \&12x-9=0\Rightarrow((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Flèche droite ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(aligner)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu :

Toutes les racines soustraites sont affichées sur la droite numérique :

Comme un point à la fois et un vikolot, et un farbovan, il est respecté par un vikolot

Je sais que deux points "se chevauchent" l'un sur l'autre - c'est normal, alors assurez-vous. Il est important, moins sensible, quel point, désigné à la fois pour une vikoloty et un sillonné, en fait, une vikoloty. Tobto. "Vikolyuvannya" est un diy fort, un "zafarbovannya" inférieur.

C'est tout à fait logique, même si l'on choisit des points, comme ajouter au signe de la fonction, mais ne pas participer au spectacle lui-même. Et donc, à un moment donné, le nombre cesse de nous dominer (par exemple, il n'arrive pas à l'ODZ), nous ne jurons que par lui jusqu'à la fin de la tâche.

Zagalom, philosopher. Nous plaçons des signes et zafarbovuyemo à intervalles, comme indiqué par un signe moins:

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Je veux renouveler votre respect pour la cause :

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Encore une fois : n'ouvrez jamais les bras de tels égaux ! Tu ferais mieux de faire tes valises. Rappelez-vous : dobutok est égal à zéro, si vous voulez que l'un des multiplicateurs soit égal à zéro. Otzhe, Dane Rivnyannya s'est simplement «étalé» pour un sprat de fioritures, comme s'ils violaient devant nous.

Forme de la multiplicité des racines

Il est facile de se rappeler des jours précédents que le plus grand pliage est de devenir le plus incohérent, pour celui qui doit les coudre pour les mouchetures.

Mais dans le monde, il y a encore plus de mal - c'est un multiple de la racine de la nervosité. Ici, les points sont déjà amenés non derrière les points zafarbovannymi - ici, le signe d'inégalité peut ne pas changer lors du passage par les points.

Nous n'avons encore rien vu de semblable dans ce domaine (bien qu'un problème similaire ait souvent été noté dans la méthode des intervalles). Par conséquent, nous introduisons une nouvelle définition :

Rendez-vous. La racine égale $((\left(x-a \right))^(n))=0$ est égale à $x=a$ et est appelée la racine de la multiplicité $n$.

Vlasne, on ne peut pas dire exactement la valeur de la multiplicité. Il est important que ceux-ci soient jumelés ou non, le nombre entier est $n$. Parce que:

1. Puisque $x=a$ est la racine de la multiplicité de paires, alors le signe de la fonction ne change pas en la parcourant ;
2. Tout d'abord, comme $x=a$ est la racine de la multiplicité non appariée, le signe de la fonction change.

Avec une vue privée de la racine d'une multiplicité non appariée, devant elle, regardait cette école : il y a une multiplicité croisée de vieux célibataires.

moi plus. Devant lui, comme si nous étions virishuvati zavdannya, voulant transformer votre respect pour une subtilité, comme si c'était évident pour un éducateur reconnu, la bière a stupéfié le riche pochatkіvtsіv. Et à elle-même :

La racine de la multiplicité de $ n $ n'est à blâmer que pour la chute, si la multiplicité entière est formée dans cette étape : $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $, et non $ \ left (((x) ^ ( n ))-a\right)$.

Encore une fois : l'arc $((\left(xa \right))^(n))$ nous donne la racine $x=a$ de la multiplicité $n$, et l'axe de l'arc $\left(((x )^(n)) -a \right)$ sinon, comme souvent utilisé, $(a-((x)^(n)))$ nous donne une racine (sinon deux racines, comme $n$ - un gars) de la première multiplicité indépendante de ce que i $n$.

Niveau:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tout est clair ici: tout l'arc a été conduit à la cinquième marche, donc à la sortie, nous avons enlevé la racine de la cinquième marche. Et aussitôt :

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Nous avons enlevé deux racines, mais les insultes de la puanteur peuvent être la première multiplicité. Abo axe plus :

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Permettez-moi de ne pas vous battre à la dixième étape. Golovne, scho 10 est le numéro du gars, il peut y avoir deux racines dans la sortie, et la puanteur peut encore être la première multiplicité.

Zagalom sois respectueux : la multiplicité des reproches n'en est qu'un, si les marches sont portées à toute la voûte, et pas moins au changement.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 ) \right))^(5)))\ge 0\]

Solution. Essayons-le de manière alternative à travers le passage du privé à la création :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\droit.\]

On choisit à la première irrégularité par la méthode des intervalles :

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0 ; \& ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\&x+4=0\Rightarrow x=-4 ; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(aligner)\]

Dodatkovo virishuemo ami nervosité. En fait, on a déjà chanté du yogo, mais si on n'a pas raccroché jusqu'à la décision, c'est mieux de rechanter du yogo :

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Pour rendre hommage : il n'y a pas de multiplicités quotidiennes dans le reste de la nervosité. Correct : quelle différence, combien de fois pour gagner le point $x=-7$ sur la droite numérique ? Le vouloir une fois, le vouloir cinq fois - le résultat sera le même : le dernier point.

Tout ce que nous avons retenu est significatif sur une droite numérique :

Comme je l'ai dit, le point $x=-7$ dans le résultat sera marqué. La multiplicité des arrangements est de surmonter l'inégalité des voies d'intervalles.

Oublié de placer les panneaux :

Oskіlki dot $x=0$ est la racine de la multiplicité appariée, le signe de la transition ne change pas. D'autres points peuvent avoir une multiplicité non appariée, et tout est simple avec eux.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Respectez à nouveau $x=0$. A travers la paire, la multiplicité de l'effet cicavi est mise en cause : le levoruch en elle est tout bourré, le droitier est le même, ce point même est complètement bourré.

Pour rappel, il n'est pas nécessaire de water-clamp pendant une heure pour enregistrer le son. Tobto. vous n'avez pas besoin d'écrire quoi que ce soit sur le kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (si vous voulez formellement, ce serait correct). Écrivons immédiatement $x\in \left[ -4;6 \right]$.

De tels effets sont moins possibles avec la multiplicité des paires de racines. I dans la commande avancée de mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" effet tsgogo. Es-tu prêt?

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Solution. Cette fois, nous suivons le schéma standard. Assimilons le nombre à zéro :

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0 ; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \& x-4 = 0 \ Flèche droite ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

І bannière :

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0 ; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(aligner)\]

Shards mi virishuyemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, la racine de la bannière (comme les étoiles) sera battue, et du livre des nombres - zafarbovano.

Nous mettons des panneaux et des zones hachurées, marqués d'un "plus":

Krapka $x = $3 - isolé. Cette partie de vіdpovіdі

Avant cela, comment écrire l'opinion résiduelle, regardez respectueusement l'image:

1. Krapka $x=1$ a quelques multiples, mais la vicola elle-même. Aussi, si vous avez un double-decker : vous devez écrire $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, pas $x\in \ gauche(-\ infty ;2\droite)$.
2. Krapka $x=3$ peut également être multiplié lorsqu'il est farci. Disposition des signes pour confirmer que le point lui-même est au pouvoir avec nous, ale krok levoruch-right - nous sommes entraînés dans la région, car nous ne sommes définitivement pas au pouvoir. De tels points sont dits isolés et s'écrivent $x\in \left\( 3 \right\)$.

Nous réunissons tous les otrimani shmatochki en grand nombre et notons les preuves.

Suggestion : $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Rendez-vous. Virishiti nerіvnіst - signifie connaître le succès impersonnel de la solution yoga, ou apporter ce qui est impersonnel vide.

On donnerait b : qu'est-ce qui peut être déraisonnable ici ? C'est dans ce fleuve que l'impersonnel peut se poser autrement. Ecrivons-le encore jusqu'à la fin de la journée :

Lisez littéralement ce qui est écrit. Changez "iks" pour ne vous coucher souvent, pour sortir ensemble (icône "U") chotyroh okremih beaucoup :

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, qui signifie littéralement "tous les nombres inférieurs à un, mais pas celui lui-même" ;
• Intervalle $ \ gauche (1 ; 2 \ droite) $, puis. "Tous les nombres sont compris entre 1 et 2, mais pas les nombres eux-mêmes 1 et 2" ;
• Anonyme $ \ left \ (3 \ right \) $, qui s'additionne à partir d'un ou d'un nombre - trois;
• Intervalle $ \ gauche [4 ; 5 \ droite) $, pour venger tous les nombres entre 4 et 5, ainsi que le quatre lui-même, mais pas le cinq.

L'intérêt ici est le troisième point. Sur le vіdmіnu vіd invalіv, il est possible de définir d'innombrables ensembles de nombres rarement désignés entre tous les ensembles, sans $\left\(3\right\)$ définir strictement un nombre comme moyen de ré-arrahuvannya.

Afin de comprendre que nous remplaçons nous-mêmes des nombres spécifiques qui montent au multiple (et non fixés entre les deux), les arcs sont victorieux. Par exemple, la notation $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ signifie elle-même "un multiplicateur qui s'additionne à partir de deux nombres : 1 et 2", mais ce n'est pas la même chose que 1 à 2. En même temps , ne confondez pas votre compréhension.

Mètre pliant multiplicités

Eh bien, à la fin de la leçon d'aujourd'hui, trois doigts de Pavel Berdov.

Les érudits respectés chantaient déjà en chantant: et quelle sera, comme dans le calendrier et la bannière, la même racine apparaîtra? Donc l'axe, pratsyuє une telle règle:

La multiplicité d'une même racine s'additionne. Attendez. Navіt yakscho tse root est écrit dans le livre des nombres et dans la bannière.

Parfois, il vaut mieux virishuvati, parler plus bas. Pour cela, nous croyons que la tâche suivante :

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(aligner)\]

Jusqu'à présent, rien de spécial. Égalez la bannière à zéro :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7 ;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(aligner)\]

Deux mêmes racines se révèlent : $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Offensant mayut pershu multiplicité. Aussi, on les remplace par une racine $x_(4)^(*)=-2$, mais aussi par une multiplicité de 1+1=2.

De plus, il y a toujours les mêmes racines : $((x)_(2))=-4$ et $x_(2)^(*)=-4$. La puanteur de la première multiplicité, qui sera privée de $x_(2)^(*)=-4$ multiplicité 1+1=2.

Pour apporter le respect: dans les deux vipadkas, nous nous sommes privés de l'ancienne racine elle-même et nous avons jeté les farbows d'un coup d'œil. C'est pour ça qu'ils sont arrivés au début de la leçon : c'est comme un point d'un coup, et c'est battu, et c'est pété, on s'en fout quand même.

Au résultat, nous avons des racines є chotiri, de plus, tous les vikolots sont apparus:

\[\begin(aligner) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \& x_(3)^(*)=-7 ; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(aligner)\]

Significativement їх sur la droite numérique avec la multiplicité ajustée :

Nous mettons en place des panneaux et des zones zafarbovuyemo qui nous appellent :

Moustache. Points isolés quotidiens et autres problèmes. Vous pouvez écrire votre opinion.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Règle de multiplicité

Parfois la situation devient encore plus inacceptable : égal, qui peut être un multiple de la racine, est lui-même ramené au même échelon. Avec cela, la multiplicité de toutes les racines extérieures change.

Un tel son est rarement entendu, de plus, il n'y a aucune preuve de tâches similaires. Et la règle est celle-ci :

Avec l'égalisation des étapes $n$, la multiplicité de toutes les racines yogo augmente également de $n$ fois.

En d'autres termes, les étapes aux étapes sont multipliées à la multiplicité sur cette même étape. Voyons la règle en pratique :

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Solution. Assimilons le nombre à zéro :

Tvir est égal à zéro, si l'on souhaite que l'un des multiplicateurs soit égal à zéro. Avec le premier multiplicateur, j'ai compris : $x=0$. Et l'axe posait problème :

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0 ; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(aligner)\]

Comme Bachimo, égal $((x)^(2))-6x+9=0$ peut avoir une seule racine d'une autre multiplicité : $x=3$. Faisons tous attention à nous approcher de la place. Alors, la multiplicité de la racine devient $2\cdot 2=4$, ce que nous notons avec un verdict.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Avec la bannière des mêmes problèmes quotidiens :

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0 ; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(aligner)\]

Nous avions cinq points à la somme : deux vikolots et trois farbovans. Il n'y a aucune crainte de la racine dans le livre numéral et le znamennik, on la voit simplement sur une ligne droite numérique :

Nous plaçons des panneaux avec des multiplicités améliorées et des intervalles zafarbovuєmo qui nous appellent :

Je connais un point isolé et un vicolot

À travers la racine de la multiplicité appariée, quelques éléments «non standard» ont de nouveau été supprimés. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ au lieu de $x\in \left[ 0;2 \right)$, et le point $ x est également isolé \in \gauche\(3\droite\)$.

Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Yak bachite, ce n'est pas si compliqué. Golovne - respect. Le reste de la leçon de dévotions aux réincarnations - tim, comme nous en avons discuté sur le même épi.

Remodelage avant

Nervnostі, kakі mi razberemy at tsemu razdіlі, ne peut pas être appelé pliage. Cependant, sur le vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, il arrive ici à zasosuvati navchik z teorії rationalnyh drobіv - razkladannya sur mul'tiples yа svіlnogo znamennik.

Nous avons discuté en détail de la nourriture pour l'épi de la leçon d'aujourd'hui. Si vous ne comprenez pas ce que vous comprenez, quelle est la langue, je vous recommande de faire demi-tour et de répéter. A cela il n'y a aucune sensibilité à fourrer les méthodes et à démêler les incohérences, comme si vous « flottiez » sur les plans convertis.

À la maison, avant le discours, il y aura aussi beaucoup de tâches similaires. La puanteur de la culpabilité jusqu'à la fin du pidrozdil. Et là, vous serez vérifié pour les applications même non triviales. Ale, vous serez dans la cabine, mais maintenant, réglons quelques-unes de ces incohérences.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Solution. Tout déplacer vers la gauche :

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Il est amené à la double bannière, les arches sont ouvertes et des dodanki similaires sont apportés au livre des nombres:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) droite))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0 ; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0 ; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0 ; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Maintenant, nous avons devant nous le classique nerіvnіst fractionnaire-rationnel, vyshennya yakoї ne devient plus difficile. Je pratique le yoga avec une méthode alternative à travers la méthode des intervalles :

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0 ; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(aligner)\]

N'oubliez pas la clôture qui venait de la bannière :

Tous les numéros sont indiqués et échangés sur une ligne droite numérique :

La moustache est la racine de la première multiplicité. Pas de problème. Nous venons de poser les panneaux dont la région a besoin pour nous :

C'est tout. Vous pouvez écrire votre opinion.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm juste un mégot. À cela, nous pouvons immédiatement examiner la tâche plus sérieusement. І au discours, déchiré tsgogo zavdannya tsіlkom vіdpovidaє robots indépendants et de contrôle z ceux de la classe 8.

Directeur. Pour dénouer la nervosité :

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Solution. Tout déplacer vers la gauche :

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Avant cela, comment apporter des fractions insultantes à une double bannière, nous présentons ces bannières en multiplicateurs. Raptom vylizut mêmes arches? Avec la première bannière c'est facile :

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Avec d'autres troch pliées. N'hésitez pas à introduire une constante multiplicatrice dans cet arc, drib qui disparaît. Rappelez-vous : si vous avez un terme riche en nombre de coefficients, c'est un grand imovirniste, car il est disposé en multiples de la mère en nombre de coefficients (en effet, il en sera ainsi, pour un clin d'œil de vipadkiv, si le discriminant est irrationnel).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Yak bachimo, є arc : $ \ gauche (x-1 \ droite) $. Nous nous tournons vers la nervosité et induisons des fractions insultantes à une double bannière :

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ gauche(3x-2\droite))\ge 0 ; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) ) )\left(3x-2 \right))\ge 0 ; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0 ; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0 ; \\ \end(aligner)\]

Égalez la bannière à zéro :

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0 ; \\ & x_(1)^(*)=1 ;\ x_(2)^(*)=-9 ;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( aligner)\]

Multiplicités quotidiennes et racines zbіgayutsya. On attribue plusieurs nombres à la droite :

Nous plaçons des signes:

Écrivons les preuves.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ à droite)$.

Moustache! Comme ça, puis lisez jusqu'à la ligne.