Previše vrijednosti funkcije 4 x 3. Područje vrijednosti funkcije (veća vrijednost funkcije). Potrebno razumijevanje i primjena znanja. Načini upoznavanja područja vrijednosti funkcija

D(f)- ta značenja, kako možeš argumentirati, tobto. opseg funkcije.

E(f)- ta značenja, kako se funkcija može imenovati, dakle. neosobna vrijednost funkcije.

Načini poznavanja područja vrijednosti funkcije.

posljednja vrijednost preklopnih argumenata funkcije;

metoda procjene/kordona;

pobjednost moći, kontinuitet i monotonija funkcije;

vikoristannya pokhídnoi;

izbor najveće i najmanje vrijednosti funkcije;

grafička metoda;

metoda zahtjeva parametara;

metoda povratne funkcije.

Pogledajmo njihova djela.

Vikoristovuyuchi pokhídnu

Zagalniy pidkhid do vrijednosti impersonalne vrijednosti neprekidne funkcije f(x) jednaka je vrijednosti najveće i najmanje vrijednosti funkcije f(x) u području značajnosti (ili u dokazivanju da je jedna od njih nije pogrešno).

Na prvi pogled potrebno je poznavati neosobnu vrijednost funkcije na vídrízku:

znati točnu vrijednost funkcije f "(x);

poznavati kritične točke funkcije f(x) i odabrati one od njih tako da leže na zadanoj niti;

izračunati vrijednost funkcije na krajevima reza i na odabranim kritičnim točkama;

među poznatim vrijednostima odaberite najmanju i najznačajniju;

Bogato je staviti vrijednost funkcije između ovih vrijednosti.

Koji je opseg dodijeljene funkcije? interval, tada je sama shema pobjednička, a zatim se vrijednosti na kraju ciklusa pobjeđuju između funkcija s argumentom koji se provodi do kraja intervala. Značenja između ne ulaze u bezlično značenje.

Metoda među/procjene

Za vrijednost množitelja, vrijednost funkcije je najprije poznata kao vrijednost argumenta, a zatim nalazimo najmanju značajnu vrijednost funkcije. Vikoristovuyuchi nerívností - vyznayut mezhí.

Bit polja je u procjeni neprekinute funkcije dna i zvijeri, te dokazu dosega funkcije donje i gornje granice procjena. Uz svaku promjenu bezličnosti, vrijednost funkcije s intervalom od donje međuprocjene do gornje određena je nestalnošću funkcije i prisutnošću nižih vrijednosti u njoj.

Dominacija neprekidne funkcije

Druga varijanta pretvorene funkcije smatra se neprekinuto monotonom, dok pobjednička snaga nepravilnosti vrednuje neosobnu vrijednost novo preuzete funkcije.

Posljednja vrijednost argumenata za preklapanje u funkciji

Na temelju posljednjeg pogleda na neosobnu vrijednost međufunkcija, iz koje je funkcija pohranjena

Područja vrijednosti glavnih elementarnih funkcija

Funkcija	Anonimno značenje
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; jedan]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Prijavite se

Pronađite anonimnu vrijednost funkcije:

Vikoristovuyuchi pokhídnu

Znamo odredišno područje: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$

Znamo bolje: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) nije istina ako je $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ tada je x = ±3. Oduzete su tri kritične točke: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3; Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Također, najmanja vrijednost f(x) je 0, a najveća vrijednost je 3.

Prijedlog: E(f) = .

NE vikoristovuyuchi pokhídnu

Pronađite najvažnije i najmanje važne funkcije:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Prijedlog: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ako se želite pobrinuti za pomoć siromašnima, onda morate napraviti promjenu, jer funkcija f (x) nije dodijeljena pravoj, već cijeloj brojevnoj liniji.

Vikoristovuyuchi metoda inter/procjene

3 sinusna vrijednost skliznula, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Ubrzajmo snagu brojčanih nepravilnosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (množenjem sva tri dijela temeljne nepravilnosti sa -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Budući da je ova funkcija neprekidna u svim područjima dodjele, onda se besmislena vrijednost stavlja između najmanje i najveće vrijednosti u cijelom području dodjele, kao što je i istina.

U ovom slučaju, vrijednost funkcije $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ ê je neosobna.

3 nepravilnosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ uzeti procjenu $$\\ -6\leq y\leq 6 $ $

Kada je x = p í x = 0, funkcija poprima vrijednost -6 í 6, tada. doseći donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija besprekidnih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana na cijeloj numeričkoj osi, pa zbog krutosti besprekidne funkcije akumulira sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući i samo í̈x, jer zbog neravnine $ - 6 \leq y\leq 6$ druge vrijednosti nisu moguće.

Također, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Dokaz: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Reverzibilni viraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\lijevo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Vrijednost kosinusa slijedi $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Budući da je funkcija dana bez prekida u cijelom rasponu dodjele, tada se bezvrijedna vrijednost stavlja između najmanje i najveće vrijednosti, kako se ispostavilo, bezvrijedna vrijednost funkcije $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ ê bezličan $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Značajno $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Sam zadatak se svodi na vrijednost množitelja vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na promjeni (-∞;4). Oskílki funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ dodjeljuje se samo za t > 0 , njezina vrijednost funkcije na intervalu (-∞;4) uzima se iz vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), što je promjena mrežnice (-∞; 4) s rasponom (0; +∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je neprekidna i manja. Za t > 0 vrijednost je +∞, a za t = 4 vrijednost je -2, pa je E(y) = (-2, +∞).

Trik se temelji na grafičkom prikazu funkcije.

Nakon transformacije funkcije moguća je: y 2 + x 2 = 25, štoviše, y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Sljedeća pretpostavka je da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednako ulozi s polumjerom r.

Kada tsikh zamezhennya raspored daje izjednačavanje ê gornji pívkola s središte na kob koordinata í polumjer, koji je više jednak 5. Očito, scho E(y) = .

Prijedlog: E(y) = .

Wikoristan književnost

Područje značaja funkcija na čelu EDI-ja, Minyuk Irina Borisivna

Radi razumijevanja neosobnog značenja funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.

Značaj neosobne vrijednosti funkcije

Kako pokazati zadatak matematike na prijemnim ispitima, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Najčešće, na granicama distribucije zadataka, dolazimo do shukati neosobne vrijednosti funkcije područja dodijeljenog segmentu. Na primjer, potrebno je raditi u slučaju kršenja različiti tipovi nepravilnosti, ocjene viraziv i u.

U okviru ovog materijala moguće je odrediti koje je područje značaja funkcije, uvest ćemo glavne metode pomoću kojih možemo izračunati, a možemo odabrati zadatak različitog stupnja savijanja. Radi jasnoće, pozicije su ilustrirane grafikonima. Nakon čitanja ovog članka, oduzet ćete sve informacije o opsegu funkcije.

Pochnemo íz osnovne dužnosti.

Imenovanje 1

Bezvrijedna vrijednost funkcije y = f (x) na trenutnom intervalu x je bezvrijedna vrijednost svih vrijednosti, jer je funkcija zadana kada se ponavlja sve vrijednosti x ∈ X.

Imenovanje 2

Raspon vrijednosti funkcije y = f (x) je bezimena vrijednost svih njenih vrijednosti, tako da može poprimiti vrijednost x z x ∈ (f) kada se ponavlja.

Područje vrijednosti stvarne funkcije uzima se E(f).

Da biste poštovali razumijevanje množenja vrijednosti funkcije, nemojte započinjati isto područje njezine vrijednosti. Vrijednosti razumijevanja bit će jednake samo u tom slučaju, budući da interval vrijednosti x, kada je vrijednost nepoznata, vrijednost varira od područja naznačene funkcije.

Također je važno razlikovati raspon vrijednosti i raspon prihvatljivih vrijednosti promjene x za izraz desnog dijela y = f (x). Područje dopuštenih vrijednosti x za izraz f (x) i bit će područje dodijeljeno funkciji.

Dolje treba staviti ilustraciju, koja prikazuje deyaki kundake. Plave linije su grafovi funkcija, crvene su asimptote, točke istih linija na osi ordinata su cijela područja vrijednosti funkcije.

Očito je da se opseg funkcije može uzeti u obzir pri dizajniranju grafike za sve O y . Za koga možete imati jedan broj, a neosobne brojeve, tri, interval, otvoreni interval, kombinaciju brojčanih intervala i drugo.

Pogledajmo glavne načine poznavanja opsega funkcije.

Dodijelimo samo množenje vrijednosti nestalne funkcije y = f (x) trenutnim brojačem, označenim s [a; b]. Znamo da je funkcija neprekidna u bilo kojem smjeru, dostižući svoj novi minimum i maksimum, odnosno najveći m a x x ∈ a ; b f (x) je najmanja vrijednost m i n x ∈ a ; bf(x). Opet, uzimamo u obzir m i n x ∈ a; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , koji će sadržavati neosobnu vrijednost izlazne funkcije. To je sve na čemu trebamo raditi – potrebno je samo znati na kojoj točki naznačiti točke minimuma i maksimuma.

Uzmimo zadatak, za koji je potrebno dodijeliti područje arksinusu.

guza 1

Umov: saznati vrijednost y = a r c sin x .

Riješenje

Na divljoj padini, područje dodijeljeno arksinusu prošireno je do vrha [-1; jedan]. Novoj moramo dodijeliti najveću i najmanju vrijednost dodijeljene funkcije.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Znamo da će ova funkcija biti pozitivna za sve vrijednosti x, proširene u intervalu [-1; 1 ] , tako da se proširenjem regije funkcija dodjeljuje arksinusu brzine rasta. Dakle, najmanja vrijednost će biti prihvaćena na x, jednaka - 1, a najveća - na x, jednaka 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Na taj način je površina vrijednosti funkcije arcsinus skuplja E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Prijedlog: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

guza 2

Umov: Izračunajte raspon vrijednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na zadanom podnizu [1; 4].

Riješenje

Sve što trebamo razraditi je izračunati najveću i najmanju vrijednost funkcije za dati interval.

Da biste odredili točku ekstrema, morate izračunati sljedeći izračun:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Sada znamo vrijednost zadane funkcije u intervalima reza i točaka x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Dakle, neosobna vrijednost funkcije određena je razlikom 117 - 165 33 512; 32 .

Prijedlog: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Prijeđimo na vrijednost neosobne vrijednosti neprekinute funkcije y = f (x) u intervalima (a; b), štoviše, a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Počnimo s označavanjem najveće i najmanje točke, kao i intervala između rasta i promjene na zadanom intervalu. Ako je tako, morat ćemo virahuvat jednostrane granice u intervalima i/ili granicama na nedosljednosti. Drugim riječima, trebamo dodijeliti ponašanje funkcije danim umovima. Za koga će nam možda trebati svi potrebni podaci.

guza 3

Umov: izračunaj raspon funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (-2; 2).

Riješenje

Na zadanom retku prikazujemo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Dosegnuli smo maksimalnu vrijednost koja je jednaka 0, ali je u istoj točki potrebno promijeniti predznak funkcije i graf da ide na pad. Div. za ilustraciju:

Dakle, y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bit će maksimalna vrijednost funkcije.

Sada je ponašanje funkcije značajno za takav x, koji je desna strana - 2 s desne strane i do + 2 s lijeve strane. Drugim riječima, poznajemo jednostrane granice:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Vidjeli smo da se vrijednost funkcije povećava od minus nedosljednosti do -14 todi, ako se argument promijeni u rasponu od -2 do 0. A ako se argument promijeni s 0 na 2, vrijednost funkcije se mijenja u minus beskonačnost. Kasnije će besmislena vrijednost zadane funkcije na traženom intervalu biti (- ∞ ; - 1 4 ) .

Prijedlog: (- ∞ ; - 1 4 ] .

zadnjica 4

Umov: unesite anonimnu vrijednost y = t g x u zadanom intervalu - π 2; π 2 .

Riješenje

Znamo da je tangent β sličan - π 2; π 2 biti pozitivan, pa funkcija raste. Sada je značajno kako pokrenuti funkciju u zadanim granicama:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Oduzeli smo inkrementalnu vrijednost funkcije od minus nedosljednosti u plus nekonzistentnost kada smo promijenili argument vid - π 2 u π 2 i možemo reći da će neosobno rješenje ove funkcije biti neosobnost svih realnih brojeva.

Prijedlog: - ∞ ; + ∞ .

guza 5

Umov: označiti, što je raspon funkcije, prirodni logaritam y = ln x .

Riješenje

Znamo da je funkcija dana i dodijeljena na pozitivne vrijednosti argument D(y) = 0; +∞. Pohídna na zadanom intervalu bit će pozitivna: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, novi ima povećanje funkcija. Dali su nam potrebu da za to odredimo jednostranu granicu, ako je argument točan 0 (na desnoj strani), i ako x nije točna nedosljednost:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Oduzeli smo da vrijednost funkcije raste od minus nedosljednosti u plus nekonzistentnost pri promjeni vrijednosti x od nule u beskonačno plus. Dakle, postoji puno svih realnih brojeva - ce i ê područje vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.

Prijedlog: množitelj svih realnih brojeva je površina vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.

guza 6

Umov: odrediti koji je raspon funkcije y = 9 x 2 + 1 .

Riješenje

Tsya funkcija ê pjevati za um da je x realan broj. Izbrojimo najvažnije i najmanje važne funkcije, kao i praznine i rast i promjene:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

U rezultatima smo naznačili da će se funkcija smanjiti, tako da je x ≥ 0; nego da je x ≤ 0; neće dati točku na maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 pri promjeni, što je skuplje 0 .

Pitamo se kako upravljati funkcijom na nekonzistentnosti:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Iz zapisa se vidi da se vrijednost funkcije y puta asimptotski približava 0.

Podib'êmo podbags: ako se argument promijeni iz minus nedosljednosti na nulu, tada vrijednost funkcije raste s 0 na 9 . Ako se vrijednost argumenta promijeni s 0 na plus nedosljednost, tada će vrijednost funkcije pasti s 9 na 0. Zamislili smo cijenu za malu:

Na novom se može vidjeti da će raspon vrijednosti funkcije biti interval E(y) = (0; 9)

Prijedlog: E(y) = (0; 9]

Dakle, trebamo dodijeliti neosobnu vrijednost funkcije y = f(x) na intervalima [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , tada takve istrage trebamo provesti sami.

A kako imate vipadku, kako je područje dodijeljeno deyakoí̈ funktsíí̈ ê o'dnannyam kílkoh promizhkív? Zatim trebamo izračunati anonimnu vrijednost na koži s ovih intervala i kombinirati ih.

guza 7

Umov: odrediti koliki će biti raspon y = x x - 2 .

Riješenje

Oskílki znamennik functioníí̈ nije kriv, ali znacheniya na 0 , tada D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞.

Počnimo s dodjeljivanjem množitelja vrijednosti funkcije prvom redu - ∞; 2, što je jasno obećanje. Znamo da će funkcija pasti na novom, tako da će funkcija biti negativna.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Zatim, ako se argument promijeni y izravno minus nedosljednost, vrijednost funkcije asimptotski se približava 1. Ako se vrijednost x smanji s minus nedosljednosti na 2, tada će se vrijednost smanjiti s 1 na minus nedosljednost, tj. funkcija na budućoj vrijednosti intervala - ∞ ; jedan . Sami, osim naših razmišljanja, krhotine vrijednosti funkcije í̈ía ne dosežu, nego joj se asimptotski približavaju.

Za otvorenu razmjenu 2; + ∞ vikonuêmo so sami díí̈. Funkcija na novom je također manja:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vrijednost funkcije na danoj vídrízki dodjeljuje se bezvrijednoj 1; +∞. Dakle, trebamo područje vrijednosti funkcije, zadane za um, kombinirati s višekratnicima - ∞; 1 i 1; +∞.

Prijedlog: E(y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞.

Možete pogledati grafikon:

Posebne fluktuacije su periodične funkcije. Ovo područje vrijednosti mijenja se iz neosobne vrijednosti u taj interval, koji ovisi o razdoblju funkcije.

guza 8

Umov: Postavite područje na vrijednost sinusa y = sin x.

Riješenje

Sinus leže do periodične funkcije, poput razdoblja da postane 2 pi. Beremo vídrízok 0; 2 π čudim se što će na novom biti neosobna vrijednost.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Na granici 0; 2 π funkcije bit će točke ekstrema π 2 í x = 3 π 2 . Pogledajmo zašto je važnost funkcije u njima važnija, kao i na granicama vídrízke, nakon čega biramo najviše i najmanje značajne.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Prijedlog: E (sin x) = - 1; jedan .

Ako trebate znati područje vrijednosti takvih funkcija, kao što su statička, prikazna, logaritamska, trigonometrijska, obrnuta trigonometrijska, onda ste dobrodošli da ponovno pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija, kao što ovdje predlažemo, omogućuje vam da obrnete zadanu vrijednost. Njihov Bazhano vivchiti, krhotine smrada često su potrebne u času trešnje dana. Ako poznajete područja glavnih funkcija, lako možete znati područja funkcija, kao da oduzimate elementarne uz pomoć geometrijske transformacije.

guza 9

Umov: postavite raspon y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Riješenje

Znamo da je vrijednost arkosinusa od 0 do pi. Drugim riječima, E (ar c cos x) = 0 ; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo uzeti u inverzni kosinus tako da je rastegnemo i rastegnemo os O x , inače nam nećemo moći ništa dati. Dakle, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Funkcija 3 arc cos x 3 + 5 π 7 može se oduzeti od arc kosinusnog luka cos x 3 + 5 π 7 za dodatno rastezanje okomite osi, tako da je 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . U finalu, transformacija je zsuv uzdovzh os O y za 4 vrijednosti. Rezultat će imati neke temeljne neravnine:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Oduzeli smo ono što će biti potrebno za površinu vrijednosti E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Prijedlog: E(y) = -4; 3 pi-4.

Još jedan kundak bit će zapisan bez objašnjenja, jer vino je slično onome ispred.

guza 10

Umov: izračunaj koliki će biti raspon funkcije y = 2 2 x - 1 + 3 .

Riješenje

Prepišimo funkciju koju imamo na umu, kao što je y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Za statičku funkciju y = x - 1 2, područje vrijednosti bit će dodijeljeno intervalu 0; + ∞, dakle. x-1 2 > 0 . U ovom smislu:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Dakle, E(y) = 3; +∞.

Prijedlog: E(y) = 3; +∞.

Pogledajmo sada kako znati opseg funkcije, kako se ne prekidati. Za koje trebamo razbiti cijelo područje u praznine i spoznati njihovo neosobno značenje na koži, nakon čega ujedinjujemo one koje smo vidjeli. Radi boljeg razumijevanja, radi ponavljanja glavnih točaka gledišta funkcije.

guza 11

Umov: zadana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte vrijednost površine.

Riješenje

Ova funkcija je dodijeljena svim vrijednostima x. Izvršimo analizu kontinuiteta s vrijednostima argumenta, jednakim - 3 i 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Može biti neprekidna ekspanzija prve vrste s vrijednošću argumenta - 3 . Kada se približavate novoj vrijednosti funkcije, pomaknite se na - 2 sin 3 2 - 4, a kada je x do - 3 s desne strane, vrijednosti će se pomaknuti na - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Moguće je da u točki 3 nema traženja drugog roda. Ako funkcija nije jednaka, vrijednosti joj su blizu - 1, ako je funkcija jednaka desno - minus nedosljednost.

Dakle, cijelo područje dodijeljene funkcije podijeljeno je u 3 intervala (- ∞ ; - 3 ), (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Na prvom od njih oduzeli smo funkciju y = 2 sin x 2 - 4 . Oskílki - 1 ≤ sin x ≤ 1 je prihvatljivo:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Dakle, za ovaj interval (- ∞ ; - 3] funkcija nema vrijednost - [- 6 ; 2 ] .

Na posljednjem intervalu (- 3; 3) postojala je konstantna funkcija y = - 1. Dakle, sve neosobne njene značenja s vremena na vrijeme će biti izgrađene do jednog broja - 1.

Na drugom intervalu 3; + ∞ možemo koristiti funkciju y = 1 x - 3 . Osvojio je pik, na to je y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Dakle, neosobna vrijednost izlazne funkcije za x > 3 je višekratnik 0; +∞. Sada su rezultati općenito oduzeti: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Prijedlog: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Rješenje je prikazano na grafikonu:

guza 12

Umov: ê funkcija y = x 2 – 3 e x . Cijenite neosobno značenje.

Riješenje

Vaughnu se pripisuje sva značenja argumenta, a to su stvarni brojevi. Značajno je da se za neke intervale funkcija povećava, a za neke smanjuje:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Znamo da je dobro ići na 0 kao što je x = - 1 i x = 3 . Stavimo dvije točke na cjelinu i z'yasuemo, kao da će znakovi biti isti na intervalima.

Funkcija će se promijeniti u (- ∞; - 1) ∪ [3; + ∞) i raste na [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1, maksimalni - 3.

Sada znamo glavne vrijednosti funkcije:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Gledamo ponašanje funkcije na nekonzistentnosti:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Za izračun drugog posrednika korišteno je Lopitalovo pravilo. Zamislivo je da je naše rješenje prešlo na grafiku.

Može se vidjeti da će se vrijednost funkcije u plusu nedosljednosti smanjiti na -2e čak i ako se argument promijeni u minus nedosljednosti na -1. Ako se vino promijeni od 3 do plus netočnosti, tada će vrijednost pasti sa 6 e - 3 na 0, ali ako je 0, neće biti dosega.

Ovim redoslijedom, E(y) = [- 2 e; +∞).

Prijedlog: E(y) = [-2e; +∞)

Kako ste zapamtili oprost u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter

Razumijevanje funkcije i svega što je s njom povezano dovedeno je do tradicionalno složenog, a ne do točke uma. Izdvojimo kamen uočavanja kako funkcija i priprema za ÊDÍ ê područje oznake i područje značaja (promjene) funkcije.
Nije rijetkost naučiti ne razlikovati područje dodijeljene funkcije i područje njezina značaja.
I baš kao što zadatak promjene područja dodijeljene funkcije, učimo svladati, tada zadatak promjene neosobnog značenja funkcije doziva smrad chimali poteškoća.
Meta tsiêí̈ stattí: poznavanje metoda poznavanja vrijednosti funkcije.
Kao rezultat razmatranja ovih tema, razvijeno je teorijsko gradivo, razmatrane su metode rješavanja zadataka za značajnost više funkcija, odabran je didaktički materijal za samostalan rad učenika.
Ovaj članak može biti nastavnik u pripremi studenata za diplomski i uvodni studij, za one “Područje značaja funkcije” u izbornim izbornim predmetima iz matematike.

I. Oznaka opsega funkcije.

Vrijednost površine (množitelja) E (y) funkcije y \u003d f (x) naziva se brojem takvih brojeva y 0 , za kožu z postoji takav broj x 0 da: f (x 0) \u003d y 0 .

Pogodite područje glavnog elementarne funkcije.

Pogledajmo tablicu.

Funkcija	Anonimno značenje
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; jedan]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Također se poštuje da je područje vrijednosti bilo kojeg polinoma uparenog stupnja jaz, de n je najveća vrijednost polinoma.

II. Snaga funkcija

Za uspješno prepoznavanje neosobne funkcije potrebno je dobro poznavati snagu osnovnih elementarnih funkcija, posebice njihova područja značaja, područje značaja i prirodu monotonije. Potaknimo moć neprekinutih, monotonih funkcija diferencijacije, koje najčešće pobjeđuju kada su poznate neosobne vrijednosti funkcija.

Dominacija 2 i 3, u pravilu, odjednom osvajaju moć elementarne funkcije bez prekida u svom području imenovanja. S obzirom na najjednostavnije i najkraće rješenje problema vrijednosti množitelja, vrijednost funkcije može se postići na temelju stepena 1, iako nedosljedne metode omogućuju određivanje monotonije funkcije. Rješenje je jednostavnije, kao funkcija, prije toga, - par je neuparen, povremeno mršav. Na taj način, prilikom izvršavanja zadataka o važnosti množenja vrijednosti funkcije, ako je potrebno, potrebno je preispitati i osvojiti napadnu moć funkcije:

neprekidan;
monotonija;
diferencijacija;
uparivanje, nesparivanje, periodičnost je tanka.

Nezgodan zadatak poznavanja neosobnog značenja funkcije društvene orijentacije:

a) za najjednostavnije procjene i granicu: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 tada);

b) vidjeti puni kvadrat: x 2 - 4x + 7 = (x - 2) 2 + 3;

c) o transformaciji trigonometrijskog viraziva: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) postizanje monotonosti funkcije x 1/3 + 2 x-1 povećava R.

III. Pogledajmo metode poznavanja područja vrijednosti funkcije.

a) posljednja vrijednost preklopnih argumenata funkcije;
b) način vrednovanja;
c) postizanje moći, nedostatak prekida i monotonija funkcije;
d) vikoristannya pokhídnoi;
e) izbor najviše i najniže vrijednosti funkcije;
e) grafička metoda;
g) metoda zahtjeva parametara;
h) metoda povratne funkcije.

Rozkriëmo bit ovih metoda na određenim stražnjicama.

Primjer 1. Pronađite raspon vrijednosti E(y) funkcije y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Ovu stražnjicu možemo riješiti metodom sekvencijalnih vrijednosti preklopnih argumenata funkcije. Vidjevši novi kvadrat ispod logaritma, transformiramo funkciju

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

I sekvencijalno znamo bezlično značenje njenih sklopivih argumenata:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Značajno t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim sam da bi došao do vrijednosti množitelja vrijednosti funkcije y = log 0,5 t na razmjeni (-∞;4) . Budući da je funkcija y = log 0,5 t dodijeljena samo vašem umu, tada se anonimna vrijednost na intervalu (-∞; 4) mijenja iz anonimne vrijednosti funkcije na intervalu (0; 4), a to je interval intervala (-∞; 4) s rasponom (0; + ∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je neprekidna i manja. Na t> 0 osvojio pragne +∞, i kada t = 4 postavlja vrijednost -2, do E(y) =(-2, +∞).

Primjer 2. Pronađite opseg funkcije

y = cos7x + 5cosx

Ovu stražnjicu možemo vidjeti metodom ocjenjivanja čija je bit u ocjeni neprekinute funkcije dna i vrha te u dokazivanju dosega funkcije donje i gornje granice ocjena. Uz svaku promjenu bezličnosti, vrijednost funkcije s intervalom od donje međuprocjene do gornje određena je nestalnošću funkcije i prisutnošću nižih vrijednosti u njoj.

Od nepravilnosti -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 uzimamo rezultat -6≤y?6. Kada je x = p í x = 0, funkcija poprima vrijednost -6 í 6, tada. doseći donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija neprekinutih funkcija cos7x i cosx, funkcija y je neprekidna na cijeloj numeričkoj osi, stoga, zbog snage neprekidne funkcije, dobiva sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući, i samo ih, odnosno kroz nedosljednosti u vrijednostima od -6≤y to je nemoguće. otzhe, E(y)= [-6;6].

Primjer 3. Pronađite raspon vrijednosti E(f) funkcije f(x)= cos2x + 2cosx.

Slijedeći formulu kosinusa kuta ispod žice, transformiramo funkciju f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 što je značajno t= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E (cosx) =

[-1;1], zatim raspon funkcije f(x) zbígaêtsya s neosobnom vrijednošću funkcije g (t)= 2t 2 + 2t - 1 prema stražnjoj strani [-1; 1], kao što znamo grafičkom metodom. Induciranje grafa funkcije y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 po intervalu [-1; 1], znamo E(f) = [-1,5; 3].

Poštovanje - do značenja neosobnog značenja funkcije potrebno je izraditi bogat zadatak s parametrom, povezan, što je još važnije, s razlikom i brojem razlika i nepravilnosti. Na primjer, jednako f(x)\u003d ali dopušteno je to učiniti više od toga, ako

aE(f) Slično, jednako f(x)\u003d a može željeti jedan korijen, roztovaniya na deyakomu prostoru X, ili nemaju isti korijen na ovom međuprostoru tada i samo tada, ako leži ili ne leži neosobna vrijednost funkcije f(x) na intervalu od X. f(x)≠ a, f(x)> a i itd. Zokrema, f(x)≠ i za sve dopuštene vrijednosti h yakso a E(f)

Butt 4. Za bilo koju vrijednost parametra a jednaka (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) postoji jedan korijen za uvlačenje [-4;-1].

Zapišimo jednakost vida (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Preostali jednaki mogu željeti samo jedan korijen po vdrízki [-4;-1] bilo i samo ako postoje neosobne vrijednosti funkcije f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) na poleđini [-4;-1]. Poznajemo bezličnost, pobjedničku moć, neprekinutost i monotoniju funkcije.

S druge strane [-4;-1] funkcija y = xÍ + 4 je besprekidna, manje i je pozitivna, pa je funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) je neprekidan i zbílshuêtsya na tsmuy vídrízku, oskílki za rozpodílí na pozitivnoj funkciji priroda monotonosti funkcije mijenja se u produljenje. Funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 je neprekinut i raste u vlastitoj galeriji D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, na vídrízku [-4;-1], deva, štoviše, pozitivno. Ista funkcija f(x)=g(x) h(x), poput zbrajanja dviju neprekinutih, rastućih i pozitivnih funkcija, također je neprekinut i uvećan za dodatni [-4;-1], tako da postoji neosobna vrijednost za [-4;-1] ê dodatni [ f(-4); f(-1)]=. Također, jednako je rješenju dvostrukog [-4;-1], štoviše, jedan (za kvalitetu kontinuirane monotone funkcije), s 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Poštovanje. Dopuštenost jednaka f(x) = a na trenutnom intervalu X jednaka je valjanosti vrijednosti parametra a neosobna vrijednost funkcije f(x) na X. Otzhe, neosobna vrijednost funkcije f(x) za interval X se mijenja iz vrijednosti parametra a, za jednake f(x) = a Mogu li poželjeti jedan korijen za maturalno područje H. Zokrema E(f) funkcije f(x) zbígaêtsya s anonimnom vrijednošću parametra a, za jednake f(x) = a Mogu li poželjeti jedan korijen.

Primjer 5. Pronađite raspon vrijednosti E(f) funkcije

Otvaranje kundaka metodom unosa parametra, zgídno z E(f) zbígaêtsya s anonimnom vrijednošću parametra a, za jednake

Mogu li poželjeti jedan korijen.

Kada je a = 2 jednako linearno - 4x - 5 = 0 s koeficijentom koji nije nula za x različit od nule, nema rješenja. Kada je a≠2 jednako kvadratu, onda se može odriješiti ili i samo ako je diskriminant

Oskílki točka a = 2 da leži u vídrízku

tada shukanim vrijednost parametra a, znači, cijenim područje E(f) biti sve vídrízok.

Kao neposredni razvoj metode uvođenja parametra sa zadanom neosobnom vrijednošću funkcije može se smatrati metoda povratne funkcije, za čiju je svrhu potrebno provjeriti vrijednost funkcije f(x)=y, s parametrom y. Yakshcho tse jednako može biti jedno rješenje x = g(y), zatim raspon E(f) vanjske funkcije f(x) pobjeći iz područja imenovanja D(g) funkcija sline g(y). Yakshcho je jednak f(x)=y maê kílka rješenje x = g 1 (y), x = g 2 (y) i tako dalje E(f) bolja integracija područja funkcije g 1 (y), g 2 (y) i tako dalje.

Primjer 6. Pronađite područje vrijednosti E(y) funkcije y = 5 2/(1-3x).

Z jednako

znamo funkciju preokreta x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskílki rívnyannya schodo x može biti jedino rješenje

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Budući da je područje dodijeljene funkcije zbrajano iz desetljeća intervala, a funkcija na različitim intervalima data je različitim formulama, tada je za značajnost područja vrijednosti funkcije potrebno znati anonimnu vrijednost funkcije na skin intervalu i uzeti ih zajedno.

Primjer 7. Pronađite područja od značaja f(x)і f(f(x)), de

f(x) na razmjeni (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Značajno t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na razmjeni (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, u sredini (0; 4], kao što znamo, vikorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na promizhku (0;4] dobro g'(t) dodijeljeno mu je da počinje tamo na nuli u t=3. U 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) smanjuje se, a intervali (3; 4) rastu, prelijevaju se neprekinutim intervalom senfa (0; 4), pjesnik g. (3)= 9 - najmanja vrijednost funkcije za interlace (0; 4], međutim, maksimalna vrijednost nije moguća, pa s t→0 funkcija desne ruke g(t)→+∞. Todi, za kvalitetu neprekinute funkcije, neosobnu vrijednost funkcije g(t) na intervalu (0; 4], što znači da nemam značenje f(x) na (-∞;-1], biti promin.

Sada, kombinirani intervali su neosobno značenje funkcije f(f(x)), značajno t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de t funkcija f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 i ponovno prihvatiti sve vrijednosti od 5 do uključujući 9, tj. vrijednosno područje E(fÍ) = E(f(f(x))) =.

Slično, znajući z = f(f(x)), možete znati raspon E(f3) funkcije f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 itd. Prijeđi preko toga, što E(f 3) = .

Najuniverzalnija metoda za izračunavanje množenja vrijednosti funkcije i oduzimanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije za zadani interval.

Primjer 8. Za neke vrijednosti parametra R neravnina 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x pobjeda za sve -1 ≤ x< 2.

Nakon što je imenovao t = 2 x, zapišimo neujednačenost izgleda p ≠ t 3 - 2t 2 + t. pa jak t = 2 x- funkcija neprekidnog rasta uključena R, tada za -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R pogledajte vrijednost funkcije f(t) = t 3 - 2t 2 + t pri 0,5 ≤ t< 4.

Znamo redoslijed anonimne vrijednosti funkcije f(t) na vídrízku, uzalud svugdje gdje mogu ići f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. otzhe, f(t) diferencirano, kasnije i bez prekida do vjetra. Z jednako f'(t) = 0 znamo kritične točke funkcije t=1/3, t=1, prije svega, ne možeš ležati na prijatelja, već na prijatelja youma. pa jak f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, tada, za kvalitetu diferencirane funkcije, 0 je najmanja, a 36 najveća vrijednost funkcije f(t) na vídrízku. Todi f(t), kao non-stop funkcija, prihvaća sve vrijednosti od 0 do uključujući 36, štoviše, vrijednost 36 preuzima samo kada t=4štoviše, za 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohídna je pozitivna za sve intervale x z (-1; 1), pa se funkcija arksinusa povećava u cijelom rasponu dodjele. Opet, najmanja vrijednost osvojenog je pri x = -1, a najveća pri x = 1.

Oduzeli smo domenu funkcije arksinusu .

guzicom.

Pronađite anonimnu vrijednost funkcije na vídrízku.

Riješenje.

Upoznajmo najvažniju i najmanje važnu funkciju na ovoj temi.

Značajno je da je točka ekstrema, koja se nalazi u vídrízku:

Izračunavanje vrijednosti izlazne funkcije na krajevima reza i na točkama :

Otzhe, neosobna vrijednost funkcije na vídrízku ê vídrízok .

Sada pokažimo kako znati vrijednost neprekinute funkcije y = f(x) u intervalima (a; b), .

Od početka dodjeljujemo točke ekstremumu, funkcijama ekstrema, intervalima rasta i promjene funkcije na zadanom intervalu. Oni su izračunati na intervalima intervala i (ili) između na nekonzistentnosti (tj. ponašanju funkcije na intervalima intervala ili na nekonzistentnosti). Postoji dovoljno informacija da se zna neosobna vrijednost funkcije u takvim intervalima.

guzicom.

Označite neosobnu vrijednost funkcije na intervalu (-2; 2).

Riješenje.

Poznate su točke ekstrema funkcije koje se troše na interval (-2; 2):

Krapka x = 0 je točka maksimuma, zbog čega je pri prolasku kroz nju potrebno promijeniti predznak s plusa na minus, a graf funkcije kao da raste da bi otišao u pad.

ê vídpovídny maksimalne funkcije.

Razumijemo ponašanje funkcije na x, što je do -2 desno i na x, što je do 2 złiva, pa znamo jednostrane granice:

Ono što smo uzeli: kada se argument id -2 promijeni na nulu, vrijednost funkcije raste s minus nedosljednosti na minus jednu četvrtinu (maksimum funkcije pri x = 0), kada se id argumenta promijeni iz nule u 2, vrijednost funkcije pada u beskonačnost. Ovim redoslijedom, neosobna vrijednost funkcije na intervalu (-2; 2) ê .

guzicom.

Navedite vrijednost množitelja funkcije na tangentu y = tgx na intervalu.

Riješenje.

Funkcija slična tangenti na intervalu je pozitivna što ukazuje na rast funkcije. Pratite ponašanje funkcije na granicama intervala:

Na taj način, kada se promijeni argument, vrijednost funkcije raste od minus nedosljednosti u plus nekonzistentnost, odnosno vrijednost tangente na ovom intervalu je odsutnost svih realnih brojeva.

guzicom.

Nađi raspon funkcije prirodnog logaritma y = lnx.

Riješenje.

Funkcija prirodnog logaritma dodjeljuje se pozitivnim vrijednostima argumenta . Na koji je interval pozitivan O rastu funkcija na novom ne vrijedi ni govoriti. Znamo jednostranu granicu funkcije kada je argument desno do nule i granicu na x, što je točno do plus nedosljednosti:

Bachimo, za promjenu x od nule u plus nedosljednost, vrijednost funkcije raste s minus nedosljednosti na plus nedosljednost. Otzhe, opseg funkcije prirodnog logaritma ê neosobni realni brojevi.

guzicom.

Riješenje.

Ova funkcija je dodijeljena svim stvarnim vrijednostima x. Značajne su točke ekstrema, kao i praznine u rastu i promjeni funkcije.

Također, funkcija se mijenja na , raste na , x = 0 je maksimalna točka, prividni maksimum funkcije.

Gledamo ponašanje funkcije na nekonzistentnosti:

Na taj način, na nekonzistentnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.

Objasnili smo da kada se argument promijeni iz minus nedosljednosti u nulu (maksimalni broj bodova), vrijednost funkcije raste s nule na devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni s nule na plus nedosljednost, vrijednost funkcije mijenja od devet do nule.

Pogledajte shematizirane male.

Sada možete jasno vidjeti da je raspon funkcije .

Vrijednost množitelja vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima istog trajanja. Nemojmo odmah izvještavati o ovim vipadkama. Na stražnjicama ispod, smrad je oštriji.

Neka se opseg funkcije y = f(x) kombinira za određeni broj intervala. Kada je područje poznato, vrijednost takve funkcije pokazuje neosobna vrijednost kožne izbočine i njezina generalizacija.

guzicom.

Pronađite opseg funkcije.

Riješenje.

Standard naše funkcije nije kriv za spuštanje na nulu, tobto,.

Znamo neosobnu vrijednost funkcije na otvorenoj burzi.

Ostale funkcije negativan za ovo razdoblje, pa mu se funkcija mijenja.

Uzelo se u obzir da kada je argument minus nedosljednost, vrijednosti funkcije se asimptotski približavaju jedinici. Kada promijenite x iz minus nedosljednosti u dvije vrijednosti, funkcija se mijenja iz jedne u minus nedosljednost, tako da za kratko vrijeme, kao što vidite, funkcija poprima neosobnu vrijednost. Jedna nije uključena, fragmenti vrijednosti funkcije do nje ne dosežu, nije dovoljno asimptotski skočiti na nju minus nedosljednošću.

Diemo je sličan za otvorenu razmjenu.

Na kojem se intervalu mijenja i funkcija.

Anonimna vrijednost funkcije za taj interim je neosobna.

Na taj je način potreban opseg vrijednosti funkcije za kombiniranje višekratnika.

Grafičke ilustracije.

Okremo tragovi na periodičnim funkcijama. Opseg vrijednosti periodičnih funkcija mijenja se od neosobne vrijednosti intervala, što ovisi o razdoblju funkcije.

guzicom.

Nađi raspon sinusne funkcije y = sinx.

Riješenje.

Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Vízmemo vídrízok ta značajno bezlično značenje na nymu.

Vídrízku leže dvije točke ekstrema ta .

Izračunavamo vrijednost funkcije u tim točkama i na granicama vírízke, biramo najmanju i najvišu vrijednost:

otzhe, .

guzicom.

Pronađite opseg funkcije .

Riješenje.

Znamo da je raspon vrijednosti arkosinusa ê vídrízok víd nula do ní, onda, ili u drugom unosu. Funkcija može biti otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh apscisa osi. Takvu transformaciju na području ne treba ubrizgati, . Funkcija izaći iz rastegnut do vtrychí vzdovzh osí Oy, tobto, . 1. preostali stupanj transformacije - tse zsuv chotirma sama niz uzdovzh os ordinata. Ne isplati nas dovoditi u nervozu u podzemnoj

U ovom rangu, shukana područje vrijednosti je .

Napravimo rješenje za još jednu guzu, ali bez objašnjenja (nema potrebe za smradom, za to ću učiniti isto).

guzicom.

Definirajte opseg funkcije .

Riješenje.

Napišimo izlaznu funkciju kao . Područje vrijednosti funkcije stanja je interval. Tobto, . Todi

otzhe, .

Da bismo upotpunili sliku, razgovarajmo o opsegu vrijednosti funkcije, jer je to neprekinuti opseg funkcije. U ovom slučaju, područje imenovanja podijeljeno je točkama na praznine, a znamo njihovu besmislenu vrijednost na koži. Kombinirajući oduzimanje vrijednosti množitelja, oduzimamo područje vrijednosti izlazne funkcije. Preporuča se pogoditi 3 ljevoruke vrijednosti funkcije za pomicanje minus jedan, a ako su vrijednosti x do 3, udesno, vrijednost funkcije za pomicanje plus nedosljednosti.

Na taj način je područje funkcije podijeljeno u tri intervala.

Mogu li imati funkciju . Oscilki, dakle

Dakle, neosobna vrijednost izlazne funkcije za interval je ê [-6; 2].

Na posljednjem intervalu moguće je imati konstantnu funkciju y = -1. Stoga se neosobna vrijednost vanjske funkcije za privremeni zbraja iz jednog elementa.

Funkcija je dodijeljena svim stvarnim vrijednostima argumenta. Z'yasuêmo promiski povećanje i promjenu funkcije.

Pokhídna se pretvara u nulu na x=-1 i x=3. Značajno qi točke na brojčanoj osi i značajno slične predznake na podintervalima.

Funkcija se mijenja u , Rast za [-1; 3] , x=-1 bod do minimuma, x=3 boda do maksimuma.

Izračunajmo minimalnu i maksimalnu funkciju:

Preokretanje ponašanja funkcije na nekonzistentnosti:

Naplaćena je još jedna mezhu.

Više shematski stolice.

Prilikom promjene argumenta iz minus neograničenosti u -1, vrijednost funkcije se mijenja iz plus beskonačnost u -2e , pri promjeni argumenta s -1 na 3 vrijednost funkcije raste s -2e na , kada se mijenja argument iz 3 do plus beskonačnost, vrijednost domene se mijenja, ali ne dostižu nulu.

Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova za razumijevanje.

Imenovanje: Ako je skin broj množitelja dvojke x postavljen na jedan y, tada se čini da je funkcija y(x) dodijeljena ovom množitelju. Kada se x naziva neovisnim argumentom promjene, a y se naziva prazna vrijednost promjene funkcije, to je jednostavno funkcija.

Da tako kažemo, ono što mijenja y je funkcija promjene x.

Nakon što ste označili valjanost određenog slova, na primjer, f, napišite ručno: y=f (x), tako da vrijednost y dolazi iz argumenta x za dodatnu valjanost f. (Pročitajte: y je jednak f u x.) Simbol f (x) označava vrijednost funkcije, koja odgovara vrijednosti argumenta, koji je jednak x.

Primjer 1 Neka je funkcija određena formulom y=2x 2 –6. Tada se može napisati da je f(x) = 2x2-6. Znamo vrijednost funkcije x, jednaku, na primjer, 1; 2,5;-3; pa znamo f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

S poštovanjem, zapis ima oblik y=f (x) umjesto f da živi drugim slovima: g, onda.

Odredište: Opseg funkcije - vrijednost x, koji imaju istu funkciju.

Ako je funkcija zadana formulom, a opseg funkcije nije dodijeljen, onda je važno da se opseg funkcije doda vrijednosti argumenta, za što formula nema smisla.

Inače, očito je opseg funkcije dodijeljen formulom, vrijednost argumenta, tih, kao da je moguće dovesti do diy-a, kao što možemo vikonirati. Trenutno poznajemo samo njih dvoje. Ne možemo dijeliti s nulom i ne možemo uzeti kvadratni korijen negativnog broja.

Oznaka: Upotrijebite vrijednost, ako prihvatite promjenu ulijeta, odredite područje vrijednosti funkcije.

Opseg određene funkcije, koja opisuje stvarni proces, leži u umovima specifičnih umova i procesa. Na primjer, ustajalost duljine duljine duljine smicanja, ovisno o temperaturi zagrijavanja t, izražava se formulom, de l 0 duljine duljine duljine duljine duljine duljine duljine i koeficijenta linearne ekspanzije. Formula maê sens za bilo koju vrijednost t je dodijeljena. Međutim, opseg funkcije l = g (t) je interval od nekoliko desetaka stupnjeva, za koji je pravičan zakon linearne ekspanzije.

guzicom.

Odredite raspon funkcije y=arcsinx.

Riješenje.

Područje dodijeljeno arcsinusu ê vídrízok [-1; 1] . Upoznajmo najvažniju i najmanje važnu funkciju za svaku nit.

Pokhídna je pozitivna za sve x iz intervala (-1; 1) , dakle, funkcija arcsinusa raste u cijelom rasponu oznake. Otzhe, najmanje važno je nabuvaê x=-1, a najviše kod x=1.