Kako ispravno sastaviti slom nervoze. Razlomno-racionalna neravnina. Kako se nositi s nedosljednostima, koje imaju modul

Upišite ax 2 + bx + 0 0, de (zamjena znaka > moguća, razumna, biti neki drugi znak neravnine). Sve je potrebno za rješavanje takvih nedosljednosti s činjenicama teorije, možemo vidjeti zašto se možemo promijeniti odjednom.

guza 1. Virishiti nerívníst:

a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
riješenje,

a) Pogledajmo parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3, prikazanu na sl. 117.

Neravnomjernost virisnosti x 2 - 2x - 3 > 0 - ne znači napajanje, za koju je x ordinata točka parabole pozitivna.

Naime, ako je y > 0, tada je graf funkcije proširenja viši za os x, na x< -1 или при х > 3.

Otzhe, rješenja za neravnine su sve točke otvorenosti o meni(- 00 , - 1) i pronađite sve točke otvoreno-kritičnog raspona (3, +00).

Vykoristovuyuchi znak U (znak podjele), može se napisati ovako: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vídpovíd može se napisati ovako: x< - 1; х > 3.

b) Neravnine x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: rasporedširenje ispod x osi, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nepravilnost x 2 - 2x - 3 > 0 se računa kao neravnina x 2 - 2x - 3 > 0, tako da morate uključiti poravnanje korijena x 2 - 2x - 3 = 0, a zatim točke x = -1

í x \u003d 3. Ovim redoslijedom data rješenja nisu potpuno neujednačena i sve točke promjene (-00, - 1], kao i točke promjene brkova.

Praktični matematičari zvuče ovako: dođite k nama, dokazujući neravninu osi 2 + bx + c\u003e 0, kako bismo točno razvili parabolu grafa kvadratne funkcije

y \u003d sjekira 2 + bx + c (kako je razbijena o kundak 1)? Dovršavanje skicirane male grafike korijen kvadratnog trinoma (točke prečke parabole z víssy h) i označavaju gdje je ravnanje igala parabole uzbrdo prema dolje. Ovaj skiciran mali će vam dati oblak rozv'yazannya nervoze.

guza 2. Virishity nerívníst - 2h2+Zh+9< 0.
Riješenje.

1) Znamo korijen kvadratnog trinoma - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, poput grafa funkcije y \u003d -2x 2 + Zx + 9, pomiče sve x u točkama 3 i - 1,5, a igle parabole su ispravljene prema dolje, one starije koeficijent- Negativan broj - 2. Na sl. 118 prikaza malih grafika.

3) Vikoristovuyuchi riža. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Prijedlog: x< -1,5; х > 3.

Primjer 3. Virishiti nerívníst 4h 2 - 4h + 1< 0.
Riješenje.

1) Poznato je Z jednako 4x 2 - 4x + 1 = 0.

2) Kvadratni trinom ima jedan korijen; tse znači da je to parabola, kao graf kvadratnog trinoma, ne mijenja sve x, već stoji u točkama. Glave parabole ravno uz brdo (slika 119.)

3) Za dodatni geometrijski model, koji je prikazan na sl. 119, utvrđeno je da je neravnina postavljena samo u točkama, skaliranje na svim ostalim vrijednostima ordinate grafa je pozitivno.
Prijedlog: .
Ti si, pjevaj-pjesmo, sjetio se da su u stvari kundaci 1, 2, 3 imali cijelu pjesmu algoritam rozv'yazannya kvadratne nepravilnosti, formalizirani yogo.

Algoritam za izvođenje kvadratne nepravilnosti ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

U prvoj fazi algoritam treba znati korijen kvadratnog trinoma. Ali korijen se ne može slomiti, zašto raditi? Tada algoritam ne zastosovuetsya, onda, potrebno ga je svejedno promatrati. Ključ za tsikh mirkuvan je dati takve teoreme.

Drugim riječima, poput D< 0, а >0, tada neravnina ax 2 + bx + c > 0 pobjeđuje za sve x; navpaki, nerívníst ah 2 + bh + s< 0 не имеет решений.
Dokaz. Raspored funkcije y \u003d ax 2 + bx + c ê parabola, igle su ispravljene uzbrdo (skalari a > 0) i ne mijenjaju sve x, jer kvadratni trinom nema korijen za um. Grafikon je prikazan na sl. 120. Bachimo, da je sa svim x raspored proširenja veći od osi x, ali ce znači da je kod svih x neravnina ax 2 + bx + c > 0, što je trebalo biti dovršeno.

Drugim riječima, poput D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nema rješenja.

Dokaz. Grafikon funkcije y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

zadnjica 4. Virishiti nerívníst:

a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Znamo diskriminant kvadratnog trinoma 2x 2 - x + 4. May D = (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Stariji koeficijent trinoma (broj 2) je pozitivan.

Dakle, za teorem 1, za sve x, neravnina 2x 2 - x + 4> 0 je prevladana, tako da svi (-00 + 00) služe kao rješenja zadane neravnine.

b) Znamo diskriminant kvadratnog trinoma - x 2 + Zx - 8. Svibanj D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Valjanost: a) (-00 + 00); b) nema rješenja.

Na napadnu stražnjicu, znamo još jedan način miringa, koji zastosovetsya na otvaranju kvadratnih nepravilnosti.

Primjer 5. Virishity nerívníst Zh 2 - 10h + 3< 0.
Riješenje. Proširujemo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 u množitelje. Do korijena trinoma ê broj 3 i na to, ubrzavajući ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), uzimamo 3x 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Značajno na numeričkom izravnom korijenu trinoma: 3 i (slika 122).

Neka je x> 3; tada je x-3>0 í x->0, tada je i dodatni 3(x - 3)(x - ) pozitivan. Hajde hajde< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Također, dobutok 3(x-3)(x-) je negativan. Hajde, hajde, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivno.

Sumirajući, dolazimo do visnovke: znakovi kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3 mijenjaju se kao što je prikazano na sl. 122. Ali treba nas zvati, za neki kvadratni trinom on uzima negativne vrijednosti. 3 sl. 122 robimo visnovok: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 nabuê negativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x u intervalu (, 3)
Vidpovid (, 3), inače< х < 3.

Poštovanje. Metoda zrcaljenja, koju smo koristili na stražnjici 5, zove se metoda intervala (ili metoda intervala). Pobjeda aktivno pobjeđuje u matematici za savršenstvo racionalno nepravilnosti. U 9. razredu je detaljnija metoda intervala.

guza 6. Za bilo koju vrijednost parametra p kvadrat jednak je x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) postoje dva različita korijena;

b) postoji jedan korijen;

c) ne maê -root?

Riješenje. Broj korijena kvadratnog izjednačenja nalazi se prema predznaku prvog diskriminanta D. U ovom slučaju poznato je D = 25 - 4p2.

a) Kvadratno poravnanje može imati dva različita korijena, poput D>0, stoga je zadatak izgraditi do poravnanja neravnina 25 - 4p 2 > 0. Oduzimamo jednakost neravnine 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znakovi viraze 4(p – 2,5) (p + 2,5) prikazani su na sl. 123.

Robimo visnovok, koji je neujednačen 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratno poravnanje može imati jedan korijen, pa je D - 0.
Ubacili smo više, D = 0 za p = 2,5 ili p = -2,5.

Isto je s tsikh vrijednostima parametra dat je kvadrat jednak samo jednom korijenu.

c) Kvadrat nije jednak korijenu, kao D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Uzimamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, zvijezde (razd. slika 123) p< -2,5; р >2.5. Uz tsikh vrijednosti zadanog parametra, kvadrat nema korijen.

Vidpovid: a) na p(-2,5, 2,5);

b) kod p = 2,5 abor = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. razred: Navch. za zagalnosvít. instalacija - 3. pogled., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 str.: il.

Pomoć za školarca online, Matematika za 8. razred preuzimanje, kalendarsko-tematsko planiranje

Linearne se nazivaju nedosljednosti lijevi i desni dio takvih linearnih funkcija neke nepoznate veličine. Pred njima se vidi npr. nervoza:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Suvori neravnine: ax+b>0 ili sjekira+b<0

2) Nestroge nepravilnosti: ax+b≤0 ili sjekira+b≫ 0

Pogledajmo. Jedna od stranica paralelograma postaje 7cm. Kolika može biti duljina druge stranice, pa je opseg paralelograma veći od 44 cm?

Hajde na shukana stranu dionice x vidi Ovaj put, opseg paralelograma će imati prikaze (14 + 2x) vidi Nepravilnost 14 + 2x > 44 ê matematički model Zadatak o perimetru paralelograma. Kao u ovoj neravnini, zamijenite promjenu x Na, primjerice, broju 16, tada uzimamo točnu brojčanu neravninu 14 + 32 > 44. U ovom slučaju se čini da je broj 16 isti kao razlika između 14 + 2x > 44.

Rozvyazanyam nervoza imenovati značenje promjene, kao da je zvijer od njih, u ispravnoj brojčanoj neravnomjernosti.

Otzhe, koža iz brojeva 15,1; 20;73 djeluje kao rozvyazkoy neravnina 14 + 2x > 44, a broj 10, na primjer, nije isti rozvyazky.

Virishiti nerívníst znači instalirati sva rješenja, ili donijeti, da rješenje ne postoji.

Formulacija rozv'yazannya neravnina slična je formularu korijena poravnanja. Ipak, nije uobičajeno označavati "korijen nervoze".

Dominaciju numeričke ekvivalencije nadopunila je virishuvati ekvivalentnost. Dakle, sama moć brojčanih nedosljednosti pomoći će u prevladavanju nedosljednosti.

Virishuyuchi ekvivalentnost, mijenjamo yogo ínhim, više ćemo oprostiti ekvivalentnost, ali jednaku danoj. Iza takve sheme znaju se posljedice i nedosljednosti. Prilikom promjene izjednačenja na jednakom njemu, izjednačenje se potvrđuje teoremom o prijenosu sabiraka iz jednog dijela jednakog na duljinu i množenju oba dijela jednakog na isti u istom broju kao nula. U slučaju rozvyazanní nerívnínosti ê istotna vídminníst yogo z ívnyanní, yak polyaê u stvari, scho be-yake rješenje ívnínínía ê íto je samo pídstanovkoy víhídní íívníannya. Nepravilnosti imaju takav način svaki dan, tako da im nije moguće iznijeti bezlično rješenje. Za to je važno razumjeti, os strelica<=>- tse znak ekvivalenta, chi jednak, transformacija. Transformacija se zove jednak, ili ekvivalent kao što smrad ne mijenja bezličnu odluku.

Slična pravila za rozv'yazannya razdražljivost.

Kao da se nešto premješta s jednog dijela neravnine na drugi, zamjenjujući znak suprotnim, tada oduzimamo neravninu, ekvivalentnu zadanoj.

Ako vrijeđajuće dijelove nervoze pomnožite (podijelite) s istim pozitivnim brojem, onda oduzimamo neravninu jednaku zadanoj.

Ako vrijeđajuće dijelove neravnine pomnožite (podijelite) s istim negativnim brojem, zamjenjujući predznak neravnine produljenjem, tada oduzimamo neravninu, koja je ekvivalentna zadanoj.

Vikoristovuyuchi qi propisi računajući nižu razdražljivost.

1) Pogledajmo nedosljednost 2x - 5 > 9.

Tse linearne neravnine, znamo yogo odluku i diskutabilno glavno razumijevanje.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 pomaknuto u lijevi dio sa suprotnim predznakom), onda su sve podijelili na 2 i možda x > 7. Na sve ćemo primijeniti bogato rješenje x

Oduzeli smo pozitivne direktive. Značajno neosobna odluka ili kao nervoza x > 7, ili kao interval x(7; ∞). A što je s privatnim odlukama o nervozi? Na primjer, x=10- tse privatna vyshennya tsíêí̈ nerívností, x=12- to je i privatna varijanta nervoze.

Puno je privatnih odluka, ali naš je zadatak znati sve odluke. A odluka je, u pravilu, neosobna.

Rozberemo guza 2:

2) Uklonite nervozu 4a - 11 > a + 13.

Virishima joga: a krenimo u jednom kljunu, 11 prijeđite na sljedeću knjigu, uzmite 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nervoza može izgledati a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Tezh očito bezličan a< 8 , ali već na osi a.

Vidpovid ili pisati kao nervoza a< 8, либо a(-∞;8), 8 nije uključeno.

Vaša privatnost nam je važna. Iz razloga smo proširili Politiku privatnosti, kako je opisano, jer smo prikupili vaše podatke. Budite ljubazni, pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja o hrani.

Odabir odabranih osobnih podataka

Ispod osobnih podataka daju se podaci, jer je moguće dobiti za identifikaciju pjevača i poveznicu s njim.

Od vas će se možda tražiti vaši osobni podaci ako nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo birati i kakve možemo birati takve informacije.

Kako prikupljamo osobne podatke:

• Ako podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu email i tako dalje.

Kako prikupljamo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo vas o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim posjetama te najbližim ponudama.
• S vremena na vrijeme možemo iskoristiti vaše osobne podatke kako bismo ojačali važne podsjetnike i podsjetnike.
• Također možemo prikupljati osobne podatke za interne svrhe, kao što su revizija, analiza podataka i drugih zapisa s metodom poboljšanja usluga, za koju se nadamo da ćete dobiti preporuku naših usluga.
• Dok sudjelujete u nagradnim igrama, natjecanjima ili sličnim poticajnim prijavama, možemo dobiti informacije, nadamo se, za upravljanje takvim programima.

Odavanje informacija trećim osobama

Vaše podatke ne otkrivamo trećim osobama.

Vinyatki:

• Potrebno je - prema zakonu, sudskom nalogu, sudskoj reviziji i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na teritoriju Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti informacije o vama, što je još važnije, da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, održavanje reda i zakona ili druge važne vipadkiv.
• U trenucima reorganizacije, otežavanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupljamo mi, treća osoba, na prekršitelja.

Zaštitnik osobnih podataka

Živimo u inozemstvu - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - radi zaštite vaših osobnih podataka u obliku rasipanja, krađe i beskrupuloznog vikoristannya, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, promjene tog kršenja.

Održavanje vaše privatnosti u vršnjačkoj tvrtki

Kako bismo promijenili vaše osobne podatke kako bi vaši osobni podaci bili sigurni, u naše kontakte donosimo norme povjerljivosti i sigurnosti te se strogo pridržavamo pravila o povjerljivosti.

Danas, prijatelji, neće biti svakodnevnih šmrcova i sentimenta. Kao zamjenu za njih, bez ikakve snage ću vas uputiti da pobijedite jednog od najgorih protivnika u tečaju algebre od 8. do 9. razreda.

Dakle, sve ste ispravno razumjeli: razgovarajte o nedosljednostima s modulom. Pogledajmo neka od glavnih načela uz pomoć kojih ćete naučiti prevladati blizu 90% takvih zadataka. A što je s 10% reshtoyu? Pa, o njima ćemo na dobroj lekciji.

No, prije toga, kako to riješiti kako to tamo prihvatiti, htio bih pogoditi dvije činjenice, koje bi bilo potrebno znati. Inače ćete provjeriti poznavanje gradiva današnjeg sata.

Što trebate znati

Očito je da je za rješavanje nedosljednosti s modulom potrebno znati dvije riječi:

1. Kako bjesni nervoza;
2. Što je modul?

Krenimo od druge točke.

Funkcija modula

Ovdje je sve jednostavno. Ê dvije funkcije: algebarska i grafička. Za klip - algebarski:

Ugovoreni sastanak. Modul broja $x$ je ili sam broj, jer meni nije vidljiv, ili je broj, koji je suprotan vama, kao drugi $x$, još uvijek negativan.

Snimite to ovako:

\[\lijevo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Pojednostavljeno rečeno, modul je "broj bez minusa". Ja sam u ovoj dvojnosti (ovdje, od posljednjeg broja, ništa ne treba raditi, ali ovdje se događa pospremiti minus tamo) i sve preklapanje je za studente-pochatkivtsiv.

Više geometrijskog dizajna. Također je dobro znati, ali manje je vjerojatno da ćemo doći do novog u sklopivim i nekako posebnim načinima, geometrijskom pidkhídu uspješnom za algebarsku (spoiler: ne danas).

Ugovoreni sastanak. Neka je točka $a$ označena na brojevnoj liniji. Isti modul $ \ lijevo | x-a \right|$ se poziva od točke $x$ do točke $a$ na ovoj liniji.

Ako želite prijeći sliku, onda je možete vidjeti na kshtalt tsogo:

Grafički dizajn modula

Pa što drugo, iz oznake modula, odmah se vidi ključna snaga: modul broja uvijek je jednak veličini. Ova činjenica bit će crvena nit koja prolazi kroz sav naš današnji diskurs.

Virishennya nerívnosti. Intervalna metoda

Pogledajmo sada nervozu. On je bezličan, ali naš je zadatak odmah ubiti virishuvati želeći biti najjednostavniji od njih. Tí, scho zvoditsya na linearne nepravilnosti, i navít metoda intervala.

Na ovu temu imam dvije sjajne lekcije (mízh ínshim, više, više smeđe - preporučujem vivchiti):

1. Intervalna metoda za nepravilnosti (posebno pogledajte video);
2. Frakcijsko-racionalne nedosljednosti - čak i opća lekcija, ali tada ne dobivate dovoljno hrane.

Ako sve znate, ako fraza “idemo iz neravnine u jednakost” ne zvuči kao da ste ludo umorni od ubijanja u zid, onda ste spremni: ljubazno vas molimo do vraga do glavne lekcije . :)

1. Nepravilnost uma "Modul manji od funkcije"

Ovo je jedan od najopsežnijih zadataka s modulima. Potrebno je prevladati neujednačenost uma:

\[\lijevo| f\desno| \ltg\]

Uloga funkcija $f$ i $g$ mogu biti, inače, polinomi. Primijenite takve nedosljednosti:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \desno|-3 \desno| \lt 2. \\\end(poravnati)\]

Svi smradovi su doslovno u jednom redu iza sheme:

\[\lijevo| f\desno| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnati) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnati) \točno točno)\]

Nije bitno je li modul pošteđen, ali možemo ukloniti temeljnu nedosljednost (inače, istu, sustav dvije nedosljednosti). Prote cey prijenos vrakhovu apsolutno sve mogući problemi: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; akscho negativno - sve isto praksa; I navit za najneadekvatniju funkciju kuće $f$ chi $g$ metoda svejedno rade.

Očito, krivite hranu: zar ne može biti jednostavnije? Nažalost, nije moguće. Tko ima cijelu značajku modula.

Vtím, drži se filozofiranja. Zapjevajmo grančicu dana:

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

Riješenje. Također, pred nama je klasični nerívníst um "manji modul" - ništa prepraviti. Vježbajte algoritam:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| f\desno| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3\desno| \lt x+7\Strelica udesno -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(poravnati)\]

Nemojte žuriti s otvaranjem lukova, ispred kojih je "minus": koliko god je to moguće, kroz žurbi ćete se prepustiti figurativnom oprostu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\lijevo\( \početak(poravnati) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \početak(poravnati) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(poravnati) \desno.\]

Zadatak je bio do dvije elementarne nepravilnosti. Značajno njihov viríshennia na paralelnim brojčanim linijama:

Peretin višestruki

Peretin tsikh se umnožio i bit će jasno.

Podudaranje: $x\in \lijevo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Riješenje. Narudžba je već sitnica presavijena. Za klip koristimo modul, prenoseći još jedan dodatak udesno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očito, suočeni smo s novom neravninom oblika „manji modul“, pa dopuštamo modul za već postojeći algoritam:

\[-\lijevo(-3\lijevo(x+1 \desno) \desno) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Os zaraze poštivanje: dopustite da vam kažem, ja sam troch bochenets íz brkove s okovima. Ale, opet ću pogoditi koji je naš ključni meta kompetentno virishiti nerívníst i otrimati vídpovíd. Uostalom, ako ste temeljito savladali sve što je otkriveno u ovoj lekciji, možete se izvrtati kako želite: raširite ruke, dodajte minuse itd.

A za nas, za klip, samo ćemo se probuditi na minus koji potkopava zlo:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lijevo(x+1\desno)\]

Sada su se otvorili svi lukovi temeljne nervoze:

Prijeđimo na nervozu u podzemnoj željeznici. Ovaj put kartice će biti ozbiljnije:

\[\lijevo\( \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Prekršaji neravnine se kvadriraju i krše metodom intervala (ali ja ću vam reći: ne znate što je to, dapače, nemojte još preuzimati module). Prijeđimo na prvu neravninu:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\lijevo(x+5\desno)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(poravnati)\]

Kao bachimo, na izlazu je išao neravno kvadratno, čak, kao da je elementarno. Pogledajmo sada još jednu nervozu sustava. Tu se događa zastosuvat Vietov teorem:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lijevo(x-3 \desno)\lijevo(x+2 \desno)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(poravnati)\]

Značajno oduzmite brojeve na dvije paralelne prave (okrema za prvu neravninu i okrema za drugu):

Pa, siguran sam, cijepajući s nama sustav nepravilnosti, ponovit ćemo redove množitelja sjenčanja: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse ê vídpovíd.

Podudaranje: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon njihove primjene shema rješenja imala granični smisao:

1. Asimilirajte modul, prenoseći sve ostale dodatke na glavni dio neravnine. Na taj način uzimamo u obzir nedosljednost uma $\left| f\desno| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerívníst, pošto je poštedio modul za gore opisanu shemu. U nekom trenutku potrebno je prijeći s podvarijantne nervoze na sustav dva neovisna virusa čija se koža može potpuno popraviti.
3. Nareshti, biti lišen rješenja ova dva nezavisna sloga - a sve što oduzimamo je ostatak.

Sličan algoritam se koristi za grubosti napadačkog tipa, ako je modul veći od funkcije. Ipak, postoji grančica ozbiljnog "ale". Hajdemo odmah o qi "ale".

2. Nepravilnost uma "Modul je više od funkcije"

izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\]

Izgleda kao prednji? Izgleda kao. Prote vyrishyuyutsya tako zavdannya zovsím na drugačiji način. Formalno, shema dolazi:

\[\lijevo| f\desno| \gt g\Strelica udesno \left[ \begin(poravnati) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(poravnati) \desno.\]

Drugim riječima, možemo vidjeti dvije točke:

1. S druge strane, jednostavno zanemarite modul - virishhuêmo normalna nedosljednost;
2. Proširimo modul 3 u biti sa predznakom minus, a zatim ćemo pomnožiti vrijeđajući dio neravnine s −1, što je manje od predznaka.

U ovoj varijanti imaju četvrtastu mašnu, tobto. možda bi brak dvoje mogao.

Opet uzvratite poštovanje: nismo pred sustavom, nego sukupnist, kod vídpovídí bezličnih ujedinjuju, ali se ne mijenjaju. Važno je vidjeti prednju točku!

Vzagali, z ob'ednannymi i peretina u bogatoj uchnív sutsílna plutanina, razvrstajmo to u tsommu prehrani iznova i iznova:

• "∪" - je znak ob'ednannya. Zapravo, slovo "U" je stilizirano, kako nam je došlo engleski filmê skraćenica poput “Unija”, tobto. "Unija".
• "∩" je oznaka linije. Tsya, sranje, zvuk nije došao, već samo vinil kao što je napisano prije "∪".

Da biste lakše zapamtili, samo slikajte do ovih znakova, tako da se vide keliksi (samo osovina me ne treba odmah zvati u propagandi ovisnosti o drogama i alkoholizmu: ako naučite svu lekciju, onda ćete već ste ovisnik o drogama):

Ríznitsya mizh retinom i ob'êdnannyam mnozhin

U prijevodu ruskog tse, to znači sljedeće: sjedinjenje (opskrba) uključuje vlastite elemente iz oba skupa, to jest, ništa manje od kožnog; a os (sustav) retine uključuje samo one elemente, koji su u isto vrijeme u prvom množitelju, a u drugom. Stoga više nema višestrukih odmora.

Je li postalo razumnije? Od mene dobro. Idemo dalje na praksu.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Riješenje. Diemo za shemu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Strelica desno \lijevo[ \početak(poravnati) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\lijevo(5-4x \desno) \\end(poravnati) \ desno .\]

Virishuemo nerívníní suupností kože:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(poravnati) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Mislim, pomnožit ću kožu brojevnom linijom, a zatim ćemo ih kombinirati:

Kombinacija višekratnika

Sasvim je očito da je $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Prijedlog: $x\in \lijevo(\frac(4)(7);+\infty \desno)$

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

Riješenje. Pa, što? To ništa - svejedno. Idemo kroz neravnine s modulom do združivanja dviju neravnina:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Ublažava razdražljivost kože. Nažalost, korijena više neće biti.

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(poravnati)\]

Druga nervoza također ima trošak igre:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(poravnati)\]

Sada trebate izračunati brojeve na dvije osi - jedna os za neravnine kože. Međutim, potrebno je točke označiti ispravnim redoslijedom: što je broj veći, to je točka više pomaknuta udesno.

Í os ovdje provjerava nas. Što se tiče brojeva $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sve je jasno ) , pa je i zbroj manji) , s brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ broj je veći od negativnog), zatim s ostatkom par, nije sve tako jasno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Víd vídpovídí tse nídpovídí tse sleazyme raspoređivanje točaka na brojevnim pravcima í, vlasne, vídpovíd.

Pa pogledajmo:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Potvrdili smo korijen, skinuli negativne brojeve s obje strane neravnine, tako da imamo pravo kvadrirati pogrešne strane:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Mislim da sam shvatio da je $4\sqrt(13) \gt 3$, da je $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, ostale točke na osi bit će raspoređene na sljedeći način:

Vipadok ružnog korijena

Pretpostavljam, vidimo sukupníst, zato je potrebno imati joint, a ne preslagivanje višekratnika sjenčanja.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\desno)$

Kao i Bachite, naša shema čudesno radi i za jednostavne i za teške zadatke. Jedino "slabo mjesto" za takvu osobu je potreba za kompetentnim balansiranjem iracionalnih brojeva (i okret: to nije više od korijena). Alya će biti posvećena okremiju za obroke (pa čak i ozbiljnu lekciju). I idemo.

3. Nepravilnosti s nevidljivim "repovima"

Pobjegli smo od najboljih. Cijena neujednačenog uma:

\[\lijevo| f\desno| \gt\lijevo| g\desno|\]

Čini se da je algoritam, o kojem ćemo odmah govoriti, bolji za modul. Vín pratsyuê vsíh nerívnosti, de lívoruch i pravoruê stajati zajamčeno nevid'êmní vrazi:

Kakav je rad ovih zadataka? Samo zapamti:

Nepravilnosti s nevidljivim "repovima" mogu uzrokovati vrijeđanje dijelova prirodnog svijeta. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya na tsomu ne vynikne.

Mi smo ispred nas tsikavitime zvedennya u kvadratu - vín moduli za spavanje koji korijen:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(\lijevo| f \desno| \desno))^(2))=((f)^(2)); \&((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\end(poravnati)\]

Os samo ne treba prevariti iz korijena kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\lijevo| f \desno|\ne f\]

U tom trenutku su dopuštena neosobna pomilovanja, ako ste naučili zaboraviti instalirati modul! Ale tse zovsím ínsha ístoríya (tse níbí iracionalna rívnyannya), tse ne odjednom zaglyuvatymosya. Pogledajmo jasnije papalinu dana:

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \lijevo| 1-2x \desno|\]

Riješenje. Opet, poštujemo dvije riječi:

1. Tse ne suvora nerívníst. Krapki na brojevnoj liniji bit će razbijen.
2. Uvredljive strane nedosljednosti očito nisu vidljive (snaga modula: $ \ lijevo | f \ lijevo (x \ desno) \ desno | \ ge 0 $).

Također, možemo izjednačiti uvredljive dijelove neravnine kako bismo se riješili modula i eliminirali zadatak koristeći najbolju metodu intervala:

\[\begin(poravnati) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\end(poravnati)\]

U ostatku faze, malo sam varao: promijenio redoslijed zbrajanja, skraćivao paritet modula (zapravo, množio $1-2x$ s -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) desno)\desno)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \desno)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Virishuemo metodom intervala. Idemo od neravnine do poravnanja:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(poravnati)\]

Očigledno, korijen se nalazi na brojevnoj liniji. Još jednom: brkovi mrlja farbovani, krhotine nervoze - ne Suvora!

Zvílnennya prema znaku modula

Valjda za one koji su posebno beskompromisni: uzimamo znakove iz ostatka neravnine, kao da je bula zapisana prije prijelaza u ravnu. Ja zafarbovuyemo regija, yakí treba u istoj neravnine. Naš vipad ima $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Pa od mene sve. Zadatak je gotov.

Prijedlog: $x\in \lijevo[ -\frac(1)(3);3 \desno]$.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \lijevo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Riješenje. Robimo svejedno. Ne komentiram - samo se čudim slijedu radnji.

Uzmimo kvadrat:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno| \desno))^(2))\le ((\lijevo(\lijevo ) ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\lijevo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\lijevo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\puta \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \desno)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervala:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strelica desno D=16-40 \lt 0\Strelica desno \varništa. \\end(poravnati)\]

Samo jedan korijen na brojevnoj liniji:

Vidpovid - tsiliy interval

Prijedlog: $x\in \lijevo[ -1,5;+\infty \desno)$.

Malo poštovanja prema ostatku glave. Kao da je poštovao jednog od mojih učenika, uvrede podmodula su jasno pozitivne u ovoj nervozi, znak modula se može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ale tse već zovsím ínshiy ríven razdumív da ínshí pídkhíd yogo se mentalno može nazvati metodom nasledkív. O novom u okremou urotsi. A sada prijeđimo na završni dio današnje lekcije, to je univerzalni algoritam koji se prakticira zauvijek. Navit onda, ako su se svi prednjaci pokazali nemoćnima.

4. Metoda za nabrajanje opcija

A zašto svi priyomi ne pomažu? Kako neravnine ne uzrokuju nevidljivi repovi, kako se ne ulazi u modul, kako se može pokrenuti?

Tada na pozornicu stupa velika artiljerija cijele matematike – metoda nabrajanja. Stotine nepravilnosti iz modula izgleda ovako:

1. Zapišite sve pídmodulní vrazi i izjednačite ih s nulom;
2. Rozvyazati otrimani rívnyannya da víznázchiti znaydení korení na jednoj numeričkoj ravnoj liniji;
3. Izravno rozíb'êtsya na kílka dílyanok, sredina takvog kožnog modula može popraviti oznaku i to je nedvosmisleno rozkrivaêêtsya;
4. Virishiti nerívníst na kozhníy takve dilyanci (možete pogledati korijen-cordoni, otrimani u točki 2 za nadmoć). Rezultati udruge - tse i bude vídpovíd.

Pa jak? Slab? Lako! Dugo vremena. Pogledajmo praktično:

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt\lijevo| x-1 \desno|+x-\frac(3)(2)\]

Riješenje. Tsya sranje nemoj se iritirati $ \ lijevo | f\desno| \lt g$, $\lijevo| f\desno| \gt g$ ili $\lijevo| f\desno| \lt\lijevo| g \right|$, to je u redu.

Pišemo submodularne virazi, izjednačavamo ih s nulom i znamo korijen:

\[\begin(align) & x+2=0\Strelica desno x=-2; \& x-1=0\Strelica desno x=1. \\end(poravnati)\]

Zajedno imamo dva korijena, koji broj razbijaju ravno u tri dijagrama, u sredini ovih skinova modul se nedvosmisleno odvija:

Dijeljenje brojevnog pravca s nulama submodularnih funkcija

Pogledajmo kožu okremo.

1. Dajte $x \lt -2$. Todi vrijeđa pídmodulní virazi negativno, ja vihídna nerívníst prepišem ovako:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(poravnati)\]

Zdobuli dosit samo obmezhennya. Pomaknimo jogu s ostatkom dodataka koji $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightright x\in \varnothing \]

Očito je da promjena $x$ ne može biti manja od -2 preko noći, već veća od 1,5. Za ovaj posao ne postoji rješenje.

1.1. Okremo pogledaj na kordonski vipadok $x=-2$. Zamislimo samo ovaj broj u nedostatku nedosljednosti i provjerljivo: zašto je pobjednički?

\[\begin(poravnaj) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lijevo| -3 \desno|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Strelica desno \varništa. \\end(poravnati)\]

Očito je da nas je jezikoslovac prevario do nevjerojatne neujednačenosti. Otzhe, vyhídne nerívníst tezh krivo, í $x=-2$ ne idu u vídpovíd.

2. Sada dajte $-2 \lt x \lt 1$. Libary modul se već razvija s plusom, ali desni je još uvijek s minusom. Maemo:

\[\begin(poravnati) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\end(poravnati)\]

Iznova ga mijenjam s vikidnoy vimogoy:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Strelica desno x\in \varnothing \]

Obnavljam prazno bezlično rješenje, nema krhotina takvih brojeva, koji su istovremeno manji od -2,5, a više od -2.

2.1. Obnavljam okremy vipadok: $ x = 1 $. Zamislimo da je izlaz neravnomjeran:

\[\begin(poravnaj) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt\lijevo| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strelica desno \varništa. \\end(poravnati)\]

Slično prednjem "privatnom ispadanju", broj $x=1$ očito nije uključen u ispuštanje.

3. Preostali komad ravno: $x \gt 1$. Ovdje su svi moduli zakrivljeni sa znakom plus:

\[\početak(poravnati) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnati)\ ]

Ponovno razmišljam o mnoštvu vanjskih razmjena:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightright x\in \left(4,5;+\infty) \pravo)\]

Pa, shvati! Znali smo interval, koji će biti povíddu.

Prijedlog: $x\in \lijevo(4,5;+\infty \desno)$

Nasamkinets - jedno poštovanje, jer će vas možda spasiti od loših pomilovanja kada se ispune stvarni zadaci:

Virishennya nerívívnosti z moduli zvích ê sutsílní mníníní nítíníy prímíy - ínvílí í vídrízki. Izolirane točke zarobljavaju se sporije. Vjerojatnije je zamka tako da između rješenja (kínets vídrízka) nadilaze granice analiziranog raspona.

Od tada, kao da kordoni (sami ovi "privatni vipadki") ne ulaze u straže, onda mayzhe, pjevajući, ne idu na straže i područje zla - pravo ulaska u ove kordone. Í navpaki: kordon uvíyshov u vídpovíd — otzhe, í yakís oblastí navpakí tezh bit će vídpovídyami.

Zapamtite to, ako promijenite svoju odluku.

A današnje racionalne nedosljednosti u općoj obsyazy mogu se preokrenuti. Točnije, virišuju ne mogu samo svi. Malo ljudi može raditi.
Kličko

Tsey lekcija će biti teška. Podovi su zhorst, pa je pred kraj joge manje od Vibrana. Na to, prije početka čitanja, preporučam da počistite ekrane od žena, crijeva, ženske djece i...

Taj garazd, stvarno je sve jednostavno. Moguće je da ste savladali metodu intervala (a ipak je niste savladali - preporučujem okretanje i čitanje) i naučili prevladati neravnine oblika $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ bogati član ili dopunski bogati član.

Poštujem da ti nije važno pjevati npr. osovinu takve igre (prije govora probaj za zagrijavanje):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\lijevo(2((x)^(2))-3x-20 \desno)\lijevo(x-1 \desno)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Sada su trohovi sklopivi i možemo pogledati ne samo bogate pojmove, već i imena racionalnih frakcija uma:

gdje su $P\left(x \right)$ í $Q\left(x \right)$ sami bogati pojmovi oblika $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ili ima još takvih bogatih pojmova.

Tse ja bude racionalna nerívníst. Važan trenutak je prisutnost promjene od $x$ na bannermanu. Na primjer, os racionalne neravnine:

\[\begin(poravnati) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\lijevo(3-x \desno))^(2))\lijevo(4-((x)^( 2)) \desno))\ge 0. \\\end(align)\]

I tse nije racionalno, već zvichaynisinka nerívníst, jer se krši metodom intervala:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Preskačući, reći ću vam odmah: postoje barem dva načina rješavanja racionalnih nedosljednosti, ali još uvijek je moguće raditi na metodi intervala koja nam je već poznata. Za to, prije svega, smislimo načine, pogodimo stare činjenice, inače novi materijal neće biti od koristi.

Što trebate znati

Nema mnogo bitnih činjenica. Dobro, trebamo manje čotirija.

Skraćene formule

Dakle, tako: smrad će nam pereslíduvaty protyag nas shkílnoí̈ matematički program. I ja na sveučilištu. Moramo puno završiti formule, ali ne trebamo više od ovoga:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\lijevo(a-b \desno)\lijevo(a+b \desno); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\lijevo(a+b \desno)\lijevo(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\desno); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\pravo). \\ \end(poravnati)\]

Poštujte ostale dvije formule - zbroj zbroja i razlike kocki (a ne zbroj zbroja maloprodaje!). Lako je zapamtiti, zapamtiti da je znak prvog luka zbígaêtsya zí znak vanjskog virazí, au drugom suprotnom znaku vanjskog virazu.

Linearno poravnanje

Najjednostavniji je jednak obliku $ax+b=0$, gdje su $a$ i $b$ jednaki cijeli brojevi, štoviše $a\ne 0$. Takva je ekvivalentnost jednostavno obrnuta:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(poravnati)\]

Dodijelit ću da imam pravo podijeliti s koeficijentom $a$, čak i ako je $a\ne 0$. Tsya vomoga je potpuno logična, krhotine za $a=0$ oduzimamo os koja:

Prije svega, tko je jednak, nema promjene od $x$. Naizgled, nismo mi krivi za bentežiti (kao da zarobljavamo, recimo, u geometriji, a često muzemo), ali svejedno, još uvijek nemamo linearnog ravnog.

Na drugi način, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna depozit manji od koeficijenta $b$. Ako je $b$ nula, onda naše izjednačavanje može izgledati kao $0=0$. Tsya je ljubomora virna zavzhda; inače, $x$ je broj (zvuči ovako: $x\in \mathbb(R)$). Ako koeficijent $b$ nije jednak nuli, onda je jednakost $b=0$ pobjednička. nema odgovora (zapisano $x\u \varnothing$ i pročitano "prazno rješenje prazno").

Da biste se riješili svih ovih nabora, samo uzmite $a\ne 0$, da nas antrokovi ne okružuju u dalekim mislima.

Kvadratno poravnanje

Pogodit ću kako se zove kvadratna os:

Ovdje je levoruch bogat pojam drugog koraka, štoviše, mijenjam $a\ne 0$ (i sada umjesto kvadratnog izjednačavanja, uzimamo to linearno). Virishuyutsya tako rivnyannya kroz diskriminant:

1. Poput $D \gt 0$, uzimamo dva različita korijena;
2. Ako je $ D = $ 0, tada će postojati jedan korijen, a drugi višestrukost (koliki je trošak za višestrukost i kako íí̈ osigurati oko tri trohi života). Ili se može reći da postoje dva jednaka korijena;
3. Za $D \lt 0$ nema korijena, a predznak bogatog pojma $a((x)^(2))+bx+c$ za bilo koji $x$ zamijenjen je predznakom koeficijenta $ a$. To je, do točke govora, čak i otrcana činjenica, o kojoj zaboravljaju na rozpo_sti za sat vremena satova algebre.

Sam korijen se poštuje za sve po formuli:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvídsi, prije govora, obmezhennya na diskriminant. Adje kvadratni korijen negativnog broja se ne koristi. Budući da korijen bogatih učenjaka ima motornu kašu u glavi, posebno sam zapisao cijelu lekciju: što je korijen u algebri i kako se rahuvati - čak preporučujem čitanje.

Podíí̈ z racionalnim razlomcima

Sve što je gore napisano, znate, koristili su metodu intervala. A os onih koje možemo analizirati odjednom, ne može biti analogna prošlosti, apsolutno je nova činjenica.

Ugovoreni sastanak. Racionalni dríb - tse viraz um

\[\frac(P\lijevo(x \desno))(Q\lijevo(x \desno))\]

gdje su $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ bogati pojmovi.

Očito je da je lako ukloniti neravnine iz takvog razlomka - dovoljno je pripisati znak "više" ili "manje" dešnjaku. Dao sam mi malo vidljivo, scho virishuvati tako zavdannya - jedan zadovoljan, sve je jednostavnije tamo.

Problemi počinju čak i kad netko ima izraženu papalinu takvih frakcija. Možete ih dovesti do zastave za spavanje - a pritom je dopušten veliki broj maštovitih oprosta.

Stoga je za uspješno postizanje racionalnih jednakih potrebno čvrsto steći dvije vještine:

1. Dekompozicija bogatog pojma $P\left(x \right)$ na faktore;
2. Vlasne, prinoseći pucnjeve uspavanom transparentu.

Kako rasporediti segmente množitelja? Nekako jednostavno. Imajmo bogatog člana uma

Jogu izjednačavamo s nulom. Uzimamo izjednačavanje $n$-tog koraka:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Doduše, prekršili smo vrijednost jednakosti i oduzeli korijen $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ne podsmjehujte se: veći je vipadkív od korijen neće imati više od dva) . U ovom slučaju, naš izraz bogatog izlaza može se prepisati na sljedeći način:

\[\begin(poravnati) & P\lijevo(x \desno)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\lijevo(x -((x)_(1)) \desno)\cdot \left(x-((x)_(2)) \desno)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \desno) \end(poravnati)\]

Od mene sve! Pazite: viši koeficijent $((a)_(n))$ nema nigdje - dodat ćemo množitelj ispred okova, a ako je potrebno, možete ga dodati da li s tsikh okovi ( praksa pokazuje da s $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ srednji korijen mayzhe zavzhdi ê razlomci).

Menadžer. Pitaj Viraza:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Riješenje. Po prvi put se čudimo transparentima: svi smradovi su linearni binomi i nema se što staviti na množitelje. Pa stavimo brojeve u množitelje:

\[\početi(poravnati) & ((x)^(2))+x-20=\lijevo(x+5 \desno)\lijevo(x-4 \desno); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\desno)\lijevo(x-1\desno); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\lijevo(x+2 \desno)\lijevo(x-\frac(2)(5) \desno)=\lijevo(x +2 \desno)\lijevo(2-5x \desno). \\end(poravnati)\]

Da okrenemo poštovanje: za još jednog bogatog člana, stariji koeficijent "2" za najnoviji kapacitet naše sheme se naslanja ispred pramca, a onda ćemo dati doprinos prvom luku, tamo su krhotine bile pokvarene .

Isti su postali i u trećem bogatom dijelu, samo što je tu još jedan red sklopljenih zapleta. Međutim, koeficijent "−5" kao rezultat uvođenja u drugi luk (zapamtite: množitelj možete unijeti u jedan i samo u jednom luku!), što nas je poštedjelo nedosljednosti povezanih s izbačenim korijenima.

Što se tiče prvog bogatog člana, tu je sve jednostavno: prvi korijen se miješa ili standardno kroz diskriminant, ili za teoriju Vieta.

Okrenimo se vihídnogo virazu i prepišimo yogo s brojevima podijeljenim u množitelje:

\[\begin(matrica) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \desno))(2x-3)-\frac(\lijevo(x+2 \desno)\lijevo(2-5x \desno))(x+2)= \\ =\lijevo(x+5 \desno)-\lijevo(x-1 \desno)-\lijevo(2-5x \desno)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \kraj (matrica)\]

Prijedlog: 5x+4$.

Kao bachit, ništa se sklapa. Nema dovoljno matematike za 7-8 razred - to je sve. Smisao svih transformacija u tome je poligaê, tako da je lakše skinuti preklapanje i strašno vješanje, što je lako vježbati.

Ale, ne brini za to. Na to, odmah, možemo ozbiljnije pogledati zadatak.

Ale, rastaviti ćemo to od početka, kako donijeti dva razlomka na zastavu za spavanje. Algoritam je vrlo jednostavan:

1. Postavite transparente na množitelje;
2. Pogledajte prvi banner i novom dodajte množitelje koje ima drugi banner, zaštitite prvi. Otrimany tvir bit će usnuli stijeg;
3. Z'yasuvati, takvi multiplikatori ne pokupe dermalne pucnje, tako da su barjaci postali jednaki vatri.

Moguće je da će vam cijeli algoritam biti dan jednostavno tekstom, na bogato napisan način. Stoga ćemo sve analizirati na konkretnom primjeru.

Menadžer. Pitaj Viraza:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

Riješenje. Takav ob'êmní zavdannya bolje virishuvati dijelove. Zapisujemo one koji stoje na prvom luku:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Na vídminu víd prednjem zavdannya, ovdje od transparenta sve nije tako jednostavno. Stavimo to u množitelje skinova od njih.

Kvadratni trinom $((x)^(2))+2x+4$ ne može se množiti, jednaki dijelovi $((x)^(2))+2x+4=0$ ne mogu se ukorijeniti (negativan diskriminant). Napuštamo jogu bez promjene.

Još jedan znak - kubni množenje pojam $((x)^(3))-8$ - s obzirom na razliku kocaka i lako je raširiti za formule kratkog množenja:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x) ^(2))+2x+4 \desno)\]

Ništa se više ne može podijeliti na množitelje, krhotine u prvom luku stoje linearni binom, a u drugom - već znamo konstrukciju, jer nema pravih korijena.

Nareshti, treći banner je linearni binarni zapis, koji se ne može postaviti. U ovom rangu naša će ljubomora u budućnosti izgledati:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \desno))-\frac(1)(x-2)\]

Sasvim je očito da će $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ biti zajednički nazivnik, a sve razlomke svesti na novi prvo, potrebno je prvi razlomak pomnožiti na $\left(x-2 \right)$, a ja ću ostati na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Riješimo se manjeg da donesemo ovako:

\[\begin(matrica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ desno))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \desno))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \desno))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \desno))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo (((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\ lijevo(((x)^(2))+2x+4 \desno)). \\ \kraj (matrica)\]

Vratite poštovanje u drugi red: ako banner već blješti, onda. umjesto tri okremikh hica, napisali smo jedan sjajan, ne varto, za jedanput, luk je pošteđen. Brže je ispisati red ispred sebe i označiti to, recimo, prije trećeg razlomka, stoji minus - i ne možeš nikamo, nego "visiš" u knjizi brojeva ispred mašne. Tse da vas poštedim bezličnih oprosta.

Pa, u ostatku reda položite brojeve na množiteljima. Tim je veći, što je točan kvadrat, a mi ćemo opet priskočiti u pomoć formulama brzog množenja. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \frac(((\levo(x-2 \desno))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sada ćemo to riješiti samo s drugom mašnom. Ovdje ću samo napisati mali stih o ekvivalentnosti:

\[\begin(matrica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \ desno) )\cdot \left(x+2 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x -2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \ pravo). \\ \kraj (matrica)\]

Okrenimo se posljednjem danu i začudimo se TV-u:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Podudaranje: \[\frac(1)(x+2)\].

Smisao ovog zadatka je isti, kao na prednjoj strani: pokažite koliko možete racionalno tražiti, kako razumno ići u sljedeću transformaciju.

Sada, ako sve znate, prijeđimo na glavnu temu današnje lekcije - kulminaciju racionalnih nejednakosti. Tim više, nakon takve pripreme za vlastitu nervozu zveket ćeš kao lonac.

Glavni način prevladavanja racionalnih nedosljednosti

Ísnuê yak najmanje dva koraka do razv'yazannya racionalne nerívívnosti. Na prvi pogled osvrnut ćemo se na jedan od njih – onaj koji je široko prihvaćen u školskom kolegiju matematike.

Ale, leđa uz leđa, bitno važan detalj. Sve nedosljednosti podijeljene su u dvije vrste:

1. Suvori: $f\lijevo(x \desno) \gt 0$ ili $f\lijevo(x \desno) \lt 0$;
2. Nestrogo: $f\left(x\right)\ge 0$ ili $f\left(x \right)\le 0$.

Nepravilnosti drugog tipa se lako mogu svesti na prvu, kao i ljubomora:

Nije puno "dodatnih" $f\left(x \right)=0$ za proizvodnju tako neprihvatljive stvari kao što su farbovanie točke - upoznali smo ih u metodi intervala. Inače, nema razlike između strogih i nestrogih nepravilnosti, pa pogledajmo univerzalni algoritam:

1. Odaberite sve elemente koji nisu nula s jedne strane u obliku neravnina. Na primjer, levoruch;
2. Donesite sve razlomke na standardni banner (jer se takvi razlomci pojavljuju kao papalina), donesite slične. Zatim ćemo, koliko je to moguće, izložiti na knjigu brojeva i transparent na množitelji. Pa zašto inače oduzimamo neravninu oblika $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "kvačica" - znak neravnine.
3. Postavimo broj na nulu: $ P \ lijevo (x \ desno) = 0 $. Viríshuêmo tserívnyannja i otrimuêêêmo rínínya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... natrag na nulu: $Q \lijevo(x \desno)\ne 0$. Naravno, istina je da je razlika jednaka $Q\left(x \right)=0$, a uzimamo korijen $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (malo je vjerojatno da će ih biti više od tri u referentnim datotekama takvog korijena).
4. Svi korijeni (i sa zvijezdama i bez njih) smatraju se na jednoj numeričkoj ravnoj liniji, štoviše, korijen bez zvijezda je farbovaniziran, a sa zvijezdama - u vakoloti.
5. Postavljamo znakove "plus" i "minus", biramo te intervale, koliko nam je potrebno. Ako neravnina može izgledati $f\left(x \right) \gt 0$, tada će se intervali označeni s "plus" ponoviti. Ako je $f\left(x \right) \lt 0$, onda se pitamo intervalima s minusima.

Praksa pokazuje da je najteže pozvati paragrafe 2 i 4 - kompetentnu transformaciju i ispravan raspored brojeva prema rastu. Pa, za ostatak vremena, budite s više poštovanja: uvijek postavljamo znakove, spiralno dalje ostatak neravnine, zabilježen prije prijelaza na jednaku. Ovo je univerzalno pravilo, koje je inferiorno u odnosu na metodu intervala.

Ista shema ê. Hajdemo se zauzeti.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Riješenje. Pred nama je totalna neizbježnost oblika $f\left(x \right) \lt 0$. Očito, točke 1 i 2 naše sheme već su zle: sve elemente neravnine bira levoruch, ništa ne treba donositi na zastavu za spavanje. Prijeđimo na treći odlomak.

Izjednačimo broj s nulom:

\[\begin(poravnati) & x-3=0; \&x=3. \end(poravnati)\]

Í banner:

\[\begin(poravnati) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(poravnati)\]

Za svako područje se netko zalijepi, a i za ideju je potrebno zapisati $x+7\ne 0$, da pomogne ODZ (ne može se dijeliti na nulu, os je sve). Ali onda smo nam dali spekle, koji su dolazili iz bannera, pa kad jednom sastavite svoje tabove, nemojte varto - napišite znak jednakosti i ne brinite. Ništa se ne može sniziti za cijenu.

Četvrta točka. Važno je oduzeti korijen na brojevnoj liniji:

Brkovi točke vikolotí, oskílki nerívníst — suvora

odati poštovanje: sve točke vikoloty. A ovdje je već nevažno: iz knjige brojeva, bodovi su došli s transparenta.

Čudimo se znakovima. Uzmimo broj $((x)_(0)) \gt 3$. Na primjer, $((x)_(0))=100$ (alternativno, s istim uspjehom, možete uzeti $((x)_(0))=3,1$ ili $((x)_(0) ) = 1.000.000 USD). Uzimamo:

Otzhe, pravoruch víd usíh korenív imamo pozitivno područje. A kada prolazite kroz kožu korijena, znak se mijenja (tako da nećete početi, ali bolje je). Prijeđimo na petu točku: postavljamo znakove i biramo potrebu:

Okrećemo se ostatku nervoze, kao bula prije rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, vrijeme je na izmaku, pa makar se nisu tukli svaki dan.

Oskílki treba eliminirati neravninu oblika $f\left(x \right) \lt 0$, zasjenio sam interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - u pojedinačnim vrijednostima sa znakom "minus". Tse ê vídpovíd.

Prijedlog: $x\in \lijevo(-7;3 \desno)$

Od mene sve! Hiba teško? Ne, nije teško. Istina, zadatak je bio lakši. Istodobno, možemo riješiti nestašluk i pogledati "škakljivu" nedosljednost. S druge strane, više neću davati takve prezentacije – jednostavno ću istaknuti ključne momente. Zagalom, uredimo jogu na način da se napravi na neovisnom robotskom chi íspítí.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(\lijevo(7x+1 \desno)\lijevo(11x+2 \desno))(13x-4)\ge 0\]

Riješenje. Ne škodi vidjeti $ f \ lijevo (x \ desno) \ ge 0 $. Svi elementi različiti od nule su izabrani zli, nema različitih znakova. Idemo u Rivnyan.

datum:

\[\begin(poravnati) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Strelica desno ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Strelica desno ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(poravnati)\]

banner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(poravnati)\]

Ne znam u čemu je bio problem kad sam ga postavljao, ali korijen nije prošao puno bolje: bilo bi važno staviti ih na numeričku ravnu crtu. Í čak i s korijenom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ sve je više-manje jasno (postoji samo jedan pozitivan broj - bit će dešnjak), onda $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse moguće je, na primjer, ovako:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ) ))\]

Žao mi je, ne moram objašnjavati zašto je brojčana razlika $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Kako je potrebno, preporučam da nagađate kako pobjednički diy s razlomcima.

I mislimo na sva tri korijena na numeričkoj ravnoj liniji:

Krapki iz brojevne knjige zafarbovani, sa transparenta - vikolot

Postavljamo znakove. Na primjer, možete uzeti $((x)_(0))=1$ i promijeniti predznak svake točke:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]

Ostatak nervoze prije jednakih je bio $f\left(x \right)\ge 0$, tako da moramo kliknuti znak plus.

Oduzeli su dva množitelja: jedan je značajan dvojnik, a drugi izravni rezultat na brojevnoj liniji.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Važno je poštivati ​​broj brojeva, kao što predstavljamo za znak na desnom intervalu. Apsolutno neobov'yazkovo podstavlyat broj blizu desnog korijena. Možete uzeti miljardi ili to nazvati "plus-ne-nevjerojatno" - u svakom slučaju, znak bogatog člana, koji stoji na luku, numeralist ili bannerman, označen je isključivo znakom senior koeficijenta.

Pogledajmo još jednom funkciju $f\left(x \right)$ za ostatak neravnine:

Ovaj zapis ima tri bogata pojma:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\lijevo(x \desno)=11x+2; \&Q\lijevo(x\desno) = 13x-4. \end(poravnati)\]

Svi samoglasnici su linearni binomi, a svi viši koeficijenti (brojevi 7, 11 i 13) su pozitivni. Kasnije, kada se potkrijepi luk velikih brojeva, i same bogate podjele bit će pozitivne.

Tse se može izgraditi površno sklopivim, malo na leđima, ako razumijemo to je lako učiniti. U ozbiljnim nedosljednostima, zamjena "plus-nepotpunosti" omogućit će nam bržu promjenu predznaka, niže od standardnog $((x)_(0))=100$.

Uskoro ćemo šutjeti s takvim zadacima. Pogledajmo alternativni način razotkrivanja dribno-racionalnih nedosljednosti.

Alternativni način

Ovaj prijem mi je predložio jedan od mojih učenika. Ni sam ga ni na koji način nisam poštivao, ali praksa je pokazala da je puno učenja učinkovitije u suočavanju s nervozom na takav način.

Otzhe, vyhídní daní í í í sami. Potrebno je otkloniti shot-racionalnu nedosljednost:

\[\frac(P\lijevo(x \desno))(Q\lijevo(x \desno)) \gt 0\]

Razmislimo: zašto je bogati pojam $Q\left(x \right)$ "viši" od bogatog pojma $P\left(x \right)$? Kako bismo trebali gledati na veće skupine korijena (sa ili bez zvijezde), razmišljati o točkama itd.? Sve je jednostavno: razlomak ima određeno područje, dobro je za svaki dríb koji ima manje smisla od toga, ako je znak nule.

U ostalom, između brojnika i bannermana nije lako: samo ga izjednačimo s nulom, šalimo se s korijenom, onda ga mislimo na numeričkoj ravnoj crti. Zašto onda ne zamijeniti metak liniju (zapravo - znak rozpodílu) s najvećim množiteljima, a sve ODZ pomoći u propisivanju za naizgled okremoi nervozu? Na primjer, ovako:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Strelica desno \levo\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Za poštovanje: takav pidhíd smije pozvati zadatak na metodu intervala, ali u tom slučaju nije moguće komplicirati odluku. Svejedno, bogati pojam $Q\left(x \right)$ možemo podići na nulu.

Pogledajmo kako to radi na stvarnim zadacima.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Riješenje. Opet, prijeđimo na metodu intervala:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Strelica desno \levo\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(poravnati) \desno.\]

Prva neravnina je elementarna. Samo izjednačite luk kože s nulom:

\[\begin(align) & x+8=0\Strelica desno ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Strelica udesno ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

S drugim nerivnistyu, sve je jednostavno:

Dodjeljujemo točke $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$ na brojevnoj liniji. Usí smrdi vikolotí, skílki nerívníst suvore:

Desna se mrlja pojavila kao djevojačka djevojka. Tse je dobro.

Poštujte točku $x=11$. Izađite, poput "dvíchi vykolot": s jedne strane, mi vikolyuêmo í̈í̈ kroz ozbiljnost nervoze, s druge strane - kroz dodatnu snagu ODZ-a.

Imati neku vrstu vipadku, tse će samo biti pretučen do točke. Zato postavljamo znakove za neravnine $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ostanite, kako smo se prije toga borili, kako smo počeli virišuvati jednake:

Golicaju nas pozitivna područja, ali možemo vidjeti neravnotežu u umu $f\left(x \right) \gt 0$ - njih i zafarbuêmo. Više nije bilo vremena za zapisivanje vídpovída.

Vidpovid. $x\in \lijevo(-\infty ;-8 \desno)\bigcup \left(11;+\infty \desno)$

Na primjeru ove odluke želim vas čuvati u prisutnosti širokog pomilovanja među srednjovječnim studentima. I sebi: ne otvaraj lukove nepravilnosti! Navpaki, pokušaj sve raširiti na množitelje - bolje je tražiti rješenje i osloboditi te bezličnih problema.

Pokušajmo sada nešto složenije.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(\left(2x-13 \desno)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Riješenje. Ne škodi pogledati $ f \ lijevo (x \ desno) \ le 0 $, tako da ovdje morate s poštovanjem slijediti zafarbovannymi točke.

Prijeđimo na metodu intervala:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(poravnati) \desno.\]

Idemo dalje na poravnanje:

\[\begin(poravnati) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Strelica desno ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Strelica desno((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Strelica desno ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(poravnati)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:

Svi oduzeti korijeni prikazani su na brojevnoj liniji:

Kao bod odjednom i vikolot, i farbovan, poštuje ga vikolot

Znam da se dvije točke "preklapaju" jedna na jednu - to je normalno, pa budite sigurni. Važno je, manje razumno, koja točka, imenovana odjednom za vikolotiju i izbrazdanu, zapravo, vikolotu. Tobto. "Vikolyuvannya" je jaka diy, niža "zafarbovannya".

Apsolutno je logično, čak i ako biramo bodove, volimo dodati znak funkcije, ali sami ne sudjelovati u emisiji. I tako, u nekom trenutku, brojka nam prestane dominirati (npr. ne dođe do ODZ-a), kunemo se u nju do kraja zadatka.

Zagalom, filozofirati. Postavljamo znakove i zafarbovuyemo í intervale, što je označeno znakom minus:

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \desno)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Želim obnoviti vaše poštovanje prema cilju:

\[\lijevo(2x-13 \desno)\lijevo(12x-9 \desno)\lijevo(15x+33 \desno)=0\]

Još jednom: nikada ne otvarajte ruke takvim jednakima! Bolje spakuj kofere. Zapamtite: dobutok je jednak nuli, ako želite da jedan od množitelja bude jednak nuli. Otzhe, Dane Rivnyannya jednostavno se "raširi" za papalinu ukrasa, kao da krše pred nama.

Oblik višestrukosti korijena

Iz prethodnih dana lako se prisjetiti da je najveće savijanje postati najnedosljedniji, onome tko ih mora ušivati ​​za mrlje.

Ali u svijetu je još više zla – ono je višestruko korijena u nervozi. Ovdje su šavovi već dovedeni ne iza zafarbovanih točaka tamo - ovdje se znak neravnine možda neće promijeniti prilikom prolaska kroz točke.

Na ovom području još nismo vidjeli ništa slično (iako je sličan problem često zabilježen u intervalnoj metodi). Stoga uvodimo novu definiciju:

Ugovoreni sastanak. Jednaki korijen $((\left(x-a \right))^(n))=0$ jednak je $x=a$ i naziva se korijenom $n$-višestrukosti.

Vlasne, ne može nam se točno reći vrijednost višestrukosti. Važno je da li su upareni ili nespareni, cijeli broj je $n$. Jer:

1. Budući da je $x=a$ korijen višestrukosti para, tada se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz nju;
2. Prije svega, kako je $x=a$ korijen nesparene višestrukosti, predznak funkcije se mijenja.

S privatnim pogledom na korijen nesparene mnogostrukosti, ispred nje, pogledao je ovu školu: postoji ukršteno mnoštvo starih samaca.

ja više. Ispred njega, kao da smo virishuvati zavdannya, želeći pretvoriti vaše poštovanje za jednu suptilnost, kao da je to očito poznatom pedagogu, ale je zapanjio bogatih pochatkívtsív. I za sebe:

Za pad je kriv samo korijen višestrukosti $ n $, ako se u ovom koraku formira cijela mnogostrukost: $ ((\ lijevo (xa \ desno)) ^ (n)) $, a ne $ \ lijevo (((x) ^ ( n ))-a\desno)$.

Još jednom: luk $((\left(xa \desno))^(n))$ daje nam korijen $x=a$ višestrukosti $n$, a os luka $\left(((x )^(n)) -a \right)$ inače, kao što se često koristi, $(a-((x)^(n)))$ nam daje korijen (inače dva korijena, kao $n$ - tip) prvog višestrukosti neovisno o tome što i $n$.

Razina:

\[((\lijevo(x-3 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=3\lijevo(5k \desno)\]

Ovdje je sve jasno: cijeli luk je vođen do pete stepenice, pa smo na izlazu oduzeli korijen pete stepenice. I odjednom:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Strelica desno ((x)^(2))=4\Strelica desno x=\pm 2\]

Oduzeli smo dva korijena, ali uvrede smrada mogu biti prva višestrukost. Više osi:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Strelica desno ((x)^(10))=1024\Strelica desno x=\pm 2\]

Da te ne pobijedim do desete stepenice. Golovne, scho 10 je tipov broj, mogu biti dva korijena u izlazu, a smrad opet može biti prva višestrukost.

Zagalom budi poštovan: mnoštvo krivnji je samo jedno, ako stepenice su dovedene do cijelog luka, a ne manje do promjene.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(((x)^(2))((\lijevo(6-x \desno))^(3))\lijevo(x+4 \desno))((\lijevo(x+7 ) \desno))^(5)))\ge 0\]

Riješenje. Pokušajmo na alternativni način kroz prijelaz iz privatnog u stvaranje:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\pravo.\]

S prvom neravninom biramo metodom intervala:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \desno))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Strelica desno x=0\lijevo(2k \desno); \\ & ((\lijevo(6-x \desno))^(3))=0\Strelica desno x=6\lijevo(3k \desno); \\&x+4=0\Strelica desno x=-4; \\ & ((\lijevo(x+7 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=-7\lijevo(5k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Dodatkovo virishuemo prijatelj nervoza. Zapravo, yogo smo već otpjevali, ali ako nismo krenuli do odluke, bolje je opet otpjevati yogo:

\[((\lijevo(x+7 \desno))^(5))\ne 0\Strelica desno x\ne -7\]

Za vraćanje poštovanja: u ostatku nervoze nema dnevnih višestrukosti. Točno: koliko različito, koliko puta osvojiti bod $x=-7$ na brojevnoj liniji? Želite jednom, poželite pet puta - rezultat će biti isti: posljednja točka.

Sve što smo uzeli značajno je na numeričkoj ravnoj liniji:

Kao što sam rekao, točka $x=-7$ u rezultatu će biti označena. Mnoštvo rasporeda je da se prevlada neravnomjernost načina intervala.

Zaboravili ste postaviti znakove:

Oskílki točka $x=0$ je korijen uparene višestrukosti, predznak za prijelaz se ne mijenja. Ostale točke mogu imati nesparenu višestrukost, a s njima je sve jednostavno.

Vidpovid. $x\in \lijevo(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left[ -4;6 \desno]$

Ponovno odajte poštovanje za $x=0$. Kroz par se okrivljuje mnogostrukost cicavi efekta: levoruch u njemu sav je nabijen, dešnjak je isti, baš ta točka je potpuno nabijena.

Podsjetimo, za snimanje zvuka nije potrebno zalijevanje vodom sat vremena. Tobto. ne trebate ništa pisati na kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (ako želite formalno, ovo bi bilo točno). Odmah napišimo $x\in \lijevo[ -4;6 \desno]$.

Takvi su učinci manje mogući s višestrukom parom korijena. Ja u napredujućem zapovjedništvu mi zítknemosya íz zvorotnym "vyyavom" tsgogo efekt. Jesi li spreman?

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(((\lijevo(x-3 \desno))^(4))\lijevo(x-4 \desno))(((\lijevo(x-1 \desno))^(2)) \lijevo(7x-10-((x)^(2)) \desno))\ge 0\]

Riješenje. Ovaj put slijedimo standardnu ​​shemu. Izjednačimo broj s nulom:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\lijevo(x-3 \desno))^(4))=0\Strelica desno ((x)_(1))=3\lijevo(4k \desno); \& x-4 = 0 \ Strelica udesno ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

Í banner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\lijevo(x-1 \desno))^(2))=0\Strelica desno x_(1)^(*)=1\lijevo(2k \desno); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Strelica desno x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(poravnati)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor nerívníst uma $f\left(x \right)\ge 0$, korijen zastave (kao znirochki) bit će pretučen, a od broja - zafarbovano.

Postavljamo znakove i šrafirana područja, označena s "plus":

Krapka $x = 3 $ - izolirana. Tse dio vídpovídí

Prije toga, kako zapisati preostalo mišljenje, s poštovanjem pogledajte sliku:

1. Krapka $x=1$ ima par višekratnika, ali sama vicola. Također, ako slučajno imate double-decker: trebate napisati $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a ne $x\in \ lijevo(-\ infty ;2\desno)$.
2. Krapka $x=3$ može se i pomnožiti í kad se puni. Raspored znakova za potvrdu da je sama točka na vlasti kod nas, ale krok levoruch-desno - uvučeni smo u regiju, jer definitivno nismo na vlasti. Takve se točke nazivaju izoliranim i pišu se kao $x\in \left\( 3 \right\)$.

Ujedinjujemo sve otrimani shmatochki u velikom broju i zapisujemo dokaze.

Prijedlog: $x\in \left(-\infty ;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Ugovoreni sastanak. Virishiti nerívníst - znači spoznati neosobni uspjeh joga rješenja, ili donijeti ono što je bezlično prazno.

Bilo bi dano b: što tu može biti nerazumno? To je u toj rijeci, da se bezlično može na drugačiji način staviti. Zapišimo to još jednom do kraja dana:

Pročitajte doslovno što je napisano. Promijenite "iks" da nikome ne legnete puno, da izađete zajedno (ikona "U") chotyroh okremih puno:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, što doslovno znači "svi brojevi manji od jedan, ali ne i sam";
• Interval $ \ lijevo (1; 2 \ desno) $, tada. “Svi brojevi su između 1 i 2, ali ne i sami brojevi 1 i 2”;
• Anonimni $ \ lijevo \ (3 \ desno \) $, koji se zbraja od jednog ili jednog broja - tri;
• Interval $ \ lijevo [4; 5 \ desno) $, osvetiti sve brojeve između 4 i 5, kao i samu četvorku, ali ne i pet.

Ovdje je interes treća točka. Na vídmínu víd íd ínvalív, íkí za postavljanje nebrojenih skupova brojeva í rijetko označavaju između njihovih skupova, bez $\left\(3\right\)$ postavljanja strogo jednog broja kao načina za ponovno arrahuvannya.

Kako bismo razumjeli da sami poništavamo određene brojeve koji idu do višestruke (a ne postavljene između ta dva), lukovi su pobjednički. Na primjer, oznaka $ \ lijevo \ (1; 2 \ desno \) $ sama po sebi znači "množitelj koji se zbraja od dva broja: 1 i 2", ali nije isto što i 1 do 2. U isto vrijeme , nemojte zbuniti svoje razumijevanje.

Pravilo preklapanja višestrukosti

Pa, na kraju današnje lekcije, tri prsta od Pavela Berdova.

Uvaženi znanstvenici već su pjevajući cvrkutali: a što će se, kao u kalendaru i zastavu, pojaviti isti korijen? Dakle, os, pratsyuê takvo pravilo:

Zbraja se višestrukost istog korijena. Čekati. Navít yakscho tse korijen je napisan u knjizi brojeva i na natpisu.

Ponekad je bolje virišovati, govoriti niže. U to vjerujemo sljedeći zadatak:

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \desno))\ge 0\]

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(poravnati)\]

Zasad ništa posebno. Izjednačite banner s nulom:

\[\begin(poravnati) & \left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+9x+14 \desno)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Strelica desno x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Strelica desno x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Otkrivaju se dva ista korijena: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Uvreda mayut pershu višestrukost. Također, zamjenjujemo ih s jednim korijenom $x_(4)^(*)=-2$, ali i s višestrukim brojem 1+1=2.

Osim toga, još uvijek postoje isti korijeni: $((x)_(2))=-4$ i $x_(2)^(*)=-4$. Smrad prve višestrukosti, koja će biti lišena $x_(2)^(*)=-4$ višestrukosti 1+1=2.

Da unesemo poštovanje: u obje vipadke lišili smo se samog starog korijena, a farbowe smo izbacili iz pogleda. Zato su i stigli na početak lekcije: to je kao bod odjednom, i prebijeno, i prdnuto, nama je svejedno stalo do toga.

Kao rezultat, imamo korijenje chotiri, štoviše, pojavili su se svi vikoloti:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\lijevo(2k \desno); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\lijevo(2k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Značajno ih na brojevnoj liniji s prilagođenom višestrukošću:

Postavljamo znakove i zafarbovuyemo područja koja nas zovu:

Brkovi. Svakodnevne izolirane točke i drugi problemi. Možete napisati svoje mišljenje.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Pravilo višestrukosti

Ponekad situacija postaje još neprihvatljivija: jednakost, koja može biti višestruka od korijena, sama se dovodi na isti korak. Time se mijenja mnoštvo svih vanjskih korijena.

Takav zvuk se rijetko čuje, štoviše, nema dokaza o sličnim zadacima. A pravilo je ovo:

Uz izjednačavanje koraka $n$, višestrukost svih yogo korijena također se povećava za $n$ puta.

Drugim riječima, koraci na koracima se množe na višestrukost na samom koraku. Pogledajmo pravilo u praksi:

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(x((\lijevo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))((\lijevo(x-4 \desno))^(5)) )(((\lijevo(2-x \desno))^(3))((\lijevo(x-1 \desno))^(2)))\le 0\]

Riješenje. Izjednačimo broj s nulom:

Tvir je jednak nuli, ako se želi da jedan od množitelja bude jednak nuli. S prvim množiteljem shvatio sam: $x=0$. A osovina je izazvala probleme:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\lijevo(2k \desno); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\lijevo(2k \desno)\lijevo(2k \desno) \ \ & ((x)_(2))=3\lijevo(4k \desno) \\ \end(poravnati)\]

Kao i Bachimo, jednako $((x)^(2))-6x+9=0$ može imati jedan korijen drugog višestrukosti: $x=3$. Pazimo svi da se približimo trgu. Tada višestrukost korijena postaje $2\cdot 2=4$, što smo zapisali uz presudu.

\[((\lijevo(x-4 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=4\lijevo(5k \desno)\]

Uz transparent istih svakodnevnih problema:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo(2-x \desno))^(3))((\lijevo(x-1 \desno))^(2))=0; \\ & ((\lijevo(2-x \desno))^(3))=0\Strelica desno x_(1)^(*)=2\lijevo(3k \desno); \\ & ((\lijevo(x-1 \desno))^(2))=0\Strelica desno x_(2)^(*)=1\lijevo(2k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Na zbroju smo imali pet točaka: dva vikolota i tri farbovana. Nema straha od korijena u brojevniku i znamenniku, on se jednostavno vidi na numeričkoj ravnoj liniji:

Postavljamo znakove s poboljšanim višestrukim i zafarbovuêmo intervalima koji nas zovu:

Znam jednu izoliranu točku i jednog vicolota

Kroz korijen uparene višestrukosti ponovno je oduzeto nekoliko "nestandardnih" elemenata. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ umjesto $x\in \left[ 0;2 \right)$, a točka $ x je također izolirana \u \lijevo\(3\desno\)$.

Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Yak bachite, nije tako komplicirano. Golovne - poštovanje. Ostatak lekcije posvećenja reinkarnacijama - tim, o čemu smo raspravljali na samom klipu.

Preoblikovanje prednje strane

Nervnosti, kakí mi rasberem i tsemu rasdílí, ne može se nazvati preklapanjem. Međutim, na vídmínu víd posredníh zavdní, ovdje se događa da zasosuvati navchik z teoríí̈ racionalnyh drobív — razkladannja na multipliers i brínnogo znamennik.

Detaljno smo raspravljali o hrani za klip današnje lekcije. Ako ne razumijete, što razumijete, o tome koji je jezik, preporučujem da se okrenete i ponovite. Na to nema senzibiliteta trpati metode razotkrivanja nedosljednosti, kao da "plivate" na pretvorenim kadrovima.

Kod kuće, prije govora, također će biti puno sličnih zadataka. Smrad krivnje do kraja pidrozdil. I tamo ćete biti provjereni za čak i netrivijalne aplikacije. Ale, bit ćeš u separeu, ali sad da riješimo par takvih nedosljednosti.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Riješenje. Pomicanje svega ulijevo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Donosi se na dvostruku zastavu, otvaraju se lukovi, a slični dodanki se donose u brojevnu knjigu:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) desno))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\lijevo(((x)^(2))-2x-x+2 \desno))(x\lijevo(x-1 \desno)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Sada imamo pred sobom klasični razlomački-racionalni nerívníst, vyshennya yakoí̈ više ne postaje teško. Vježbam jogu alternativnom metodom kroz metodu intervala:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(poravnati)\]

Ne zaboravite ogradu koja je došla sa transparenta:

Svi brojevi su označeni i razmijenjeni u numeričkoj ravnoj liniji:

Brkovi su korijen prve mnogostrukosti. Nema problema. Upravo smo postavili znakove koji su nam potrebni regiji:

To je sve. Možete napisati svoje mišljenje.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \desno)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \desno)$.

Zrozumílo, tse buv zovsím samo zadnjicu. Na to odmah možemo ozbiljnije pogledati zadatak. Í na govor, riven tsgo zavdannya tsílkom vídpovídaê neovisni i kontrolni roboti z íêí oni u 8. razredu.

Menadžer. Da razriješimo nervozu:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Riješenje. Pomicanje svega ulijevo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Prije toga, kako dovesti uvredljive razlomke na dvostruki banner, ove transparente rasporedimo u množitelje. Raptom vylizut iste lukove? S prvim bannerom je jednostavno:

\[((x)^(2))+8x-9=\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x+9 \desno)\]

S ostalima troch presavijen. Nemojte se ustručavati uvesti konstantu množitelja u taj luk koji se ne pojavljuje. Zapamtite: ako imate bogat pojam u broju koeficijenata, ovo je sjajan imovirnist, jer je položen u višestrukim od majke u broju koeficijenata (zaista, bit će tako, za tren vipadkiv, ako diskriminant je iracionalan).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(3x-2 \desno) \end(poravnati)\]

Yak bachimo, ê luk: $ \ lijevo (x-1 \ desno) $. Okrećemo se nervozi i navodimo uvredljive frakcije na dvostruki transparent:

\[\begin(poravnati) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ lijevo(3x-2\desno))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) ) )\lijevo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(poravnati)\]

Izjednačite banner s nulom:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( uskladiti)\]

Svakodnevne mnogostrukosti i zbígayutsya korijena. Pravoj liniji dodjeljujemo nekoliko brojeva:

Postavljamo znakove:

Zapišimo dokaze.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;-9 \desno)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \desno)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ desno)$.

Brkovi! Tako, pa pročitaj do reda.