Terlalu banyak nilai fungsi 4 x 3. Area nilai fungsi (nilai fungsi lebih besar). Diperlukan pemahaman dan penerapan pengetahuan. Cara mengetahui area nilai fungsi

D(f)- arti itu, bagaimana Anda bisa membuat argumen, tobto. lingkup fungsi.

E(f)- arti itu, bagaimana fungsinya bisa dinamai, jadi. nilai fungsi impersonal.

Cara mengetahui luas daerah nilai fungsi.

nilai terakhir dari argumen lipat fungsi;

metode penilaian/penutupan;

kemenangan kekuasaan, kesinambungan dan kemonotonan fungsi;

vikoristannya pokhіdnoi;

pemilihan nilai fungsi terbesar dan terkecil;

metode grafis;

metode permintaan parameter;

metode fungsi pembalikan.

Mari kita lihat perbuatan mereka.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalniy pidkhid hingga nilai nilai impersonal dari fungsi tak terputus f(x) sama dengan nilai terbesar dan nilai terkecil dari fungsi f(x) dalam rentang signifikansi (atau dalam membuktikan bahwa salah satunya tidak salah).

Sekilas, perlu diketahui nilai impersonal dari fungsi di vіdrіzka:

mengetahui nilai pasti dari fungsi f”(x);

untuk mengetahui titik-titik kritis dari fungsi f(x) dan untuk memilihnya, sehingga terletak pada utas yang diberikan;

menghitung nilai fungsi pada ujung-ujung potongan dan pada titik-titik kritis yang dipilih;

di antara nilai-nilai yang diketahui, pilih yang paling sedikit dan paling signifikan;

Sangat kaya untuk menempatkan nilai fungsi di antara nilai-nilai ini.

Apa ruang lingkup fungsi yang ditugaskan? selang, maka skema itu sendiri menang, dan kemudian nilai di akhir siklus menang antara fungsi dengan argumen yang dijalankan hingga akhir interval. Makna antara tidak masuk ke dalam makna impersonal.

Metode antar/estimasi

Untuk nilai pengali, nilai fungsi terlebih dahulu diketahui nilai argumennya, kemudian dicari nilai signifikan terkecil dari fungsi tersebut. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Esensi lapangan terletak pada penilaian fungsi bawah dan binatang yang tidak terputus, dan bukti jangkauan fungsi batas bawah dan atas penilaian. Dengan setiap perubahan impersonalitas, nilai fungsi dengan interval dari penilaian sementara yang lebih rendah ke yang lebih tinggi ditentukan oleh ketidakkekalan fungsi dan keberadaan nilai yang lebih rendah di dalamnya.

Dominasi fungsi tanpa gangguan

Varian kedua dari fungsi yang dikonversi dianggap monoton tanpa henti, sedangkan kekuatan kemenangan dari ketidakteraturan mengevaluasi nilai impersonal dari fungsi baru yang diambil.

Nilai terakhir dari argumen lipat dalam fungsi

Berdasarkan pandangan terakhir dari nilai impersonal dari fungsi antara, dari mana fungsi tersebut disimpan

Area nilai fungsi dasar utama

Fungsi	Arti anonim
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; satu]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; /2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; /2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; )

Berlaku

Temukan nilai anonim dari suatu fungsi:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Kita tahu daerah tujuan: D(f)=[-3;3], karena $9-x^(2)\geq 0$

Kita tahu lebih baik: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 jika x = 0. f"(x) tidak benar jika $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ maka x = ±3. Tiga titik kritis diambil: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Mari kita hitung: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Juga, nilai f(x) terkecil adalah 0, nilai tertinggi adalah 3.

Saran: E(f) = .

BUKAN vikoristovuyuchi pokhіdnu

Temukan fungsi yang paling dan paling tidak penting:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , maka:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ untuk semua x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ untuk semua x(karena $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Saran: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Jika Anda ingin mengurus bantuan orang miskin, maka Anda perlu melakukan perubahan, karena fungsi f (x) ditugaskan bukan ke garis, tetapi ke garis bilangan bulat.

Metode antar/estimasi Vikoristovuyuchi

3 nilai sinus meluncur, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Mari kita percepat kekuatan ketidakteraturan numerik.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (kalikan ketiga bagian ketidakteraturan dasarnya dengan -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Karena fungsi ini tidak terputus di semua area penugasan, maka nilai yang tidak berarti ditempatkan di antara nilai terkecil dan terbesar di seluruh area penugasan, sebagaimana adanya.

Dalam hal ini, nilai fungsi $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ impersonal.

3 ketidakberaturan $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ ambil taksiran $$\\ -6\leq y\leq 6 $ $

Ketika x = p x = 0, fungsi tersebut mengambil nilai -6 6, maka. mencapai batas bawah dan atas. Sebagai kombinasi linier dari fungsi tanpa interupsi cos(7x) dan cos(x), fungsi y kontinu pada seluruh sumbu numerik, oleh karena itu, karena kekakuan fungsi tanpa interupsi, ia mengakumulasikan semua nilai dari -6 hingga 6 inklusif, dan hanya x, karena melalui ketidakrataan $ - 6 \leq y\leq 6$ nilai lain tidak mungkin.

Juga, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Bukti: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Viraz yang dapat dibalik $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \kanan)\cos\kiri ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \kanan) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Nilai cosinus mengikuti $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Karena fungsi diberikan tanpa gangguan pada seluruh rentang penugasan, maka nilai tak bernilai ditempatkan di antara nilai terkecil dan terbesar, ternyata, nilai tak bernilai dari fungsi $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ impersonal $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Signifikan $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Tugas itu sendiri direduksi menjadi nilai pengali dari nilai fungsi $y = \log_(0,5)(t)$ pada perubahan (-∞;4). Fungsi Oskіlki $y = \log_(0,5)(t)$ ditetapkan hanya untuk t > 0 , nilai fungsi pada interval (-∞;4) diambil dari nilai fungsi pada interval (0;4), yaitu perubahan retina (-∞; 4) dengan range (0; +∞) dari fungsi logaritma. Pada interval (0;4) fungsi ini tidak terputus dan lebih kecil. Untuk t > 0, nilainya adalah +∞, dan untuk t = 4, nilainya adalah -2, jadi E(y) = (-2, +∞).

Triknya didasarkan pada representasi grafis dari fungsi tersebut.

Setelah transformasi fungsi dimungkinkan: y 2 + x 2 = 25, apalagi, y 0, |x| 5.

Tebakan berikutnya adalah bahwa $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ sama dengan taruhan dengan radius r.

Ketika jadwal tsikh zamezhennya diberikan pemerataan pusat pіvkola atas pada tongkol koordinat radius, yang lebih sama dengan 5. Jelas, scho E(y) = .

Saran: E(y) = .

Sastra Wikoristan

Area signifikansi fungsi di kepala EDI, Minyuk Irina Borisivna

Demi memahami makna impersonal dari suatu fungsi, Belyaeva I., Fedorova S.

Signifikansi nilai impersonal dari fungsi

Cara mendemonstrasikan tugas matematika di ujian masuk, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Paling sering, di perbatasan pembagian tugas, kita dibawa ke shukati nilai impersonal dari fungsi area yang ditugaskan ke segmen. Misalnya, perlu bekerja jika terjadi pelanggaran jenis yang berbeda penyimpangan, penilaian viraziv dan dalam.

Dalam kerangka materi ini, dimungkinkan untuk menentukan apa area signifikansi suatu fungsi, kami akan memperkenalkan metode utama yang dapat kami gunakan untuk menghitung, dan kami akan menganalisis tugas dengan tingkat pelipatan yang berbeda. Untuk kejelasan, posisi diilustrasikan oleh grafik. Setelah membaca artikel ini, Anda akan mengambil semua informasi tentang ruang lingkup fungsi.

Pochnemo z tugas dasar.

Janji 1

Nilai tak bernilai dari fungsi y = f (x) pada interval saat ini x adalah nilai tak bernilai dari semua nilai, karena fungsi diberikan saat iterasi pada semua nilai x X .

Janji 2

Rentang nilai fungsi y = f(x) adalah nilai tanpa nama dari semua nilai , sehingga dapat mengambil nilai x z x (f) saat iterasi selesai.

Area nilai dari fungsi yang sebenarnya diambil sebagai E(f).

Untuk menghormati pemahaman tentang perkalian nilai suatu fungsi, jangan memulai area yang sama dengan nilainya. Nilai pemahaman akan sama hanya dalam kasus itu, karena interval nilai x, ketika nilainya tidak diketahui, nilainya bervariasi dari area fungsi yang ditentukan.

Penting juga untuk membedakan antara rentang nilai dan rentang nilai yang dapat diterima dari perubahan x untuk ekspresi bagian kanan y = f (x) . Area nilai x yang dapat diterima untuk ekspresi f (x) dan akan menjadi area yang ditetapkan untuk fungsi tersebut.

Sebuah ilustrasi harus ditempatkan di bawah, yang menunjukkan puntung deyaki. Garis biru adalah grafik fungsi, garis merah adalah asimtot, titik-titik garis yang sama pada sumbu ordinat adalah seluruh area nilai fungsi.

Jelas bahwa ruang lingkup fungsi dapat diperhitungkan saat mendesain grafik untuk semua O y . Untuk siapa Anda dapat memiliki satu nomor, dan nomor impersonal, tiga, interval, interval terbuka, kombinasi interval numerik dan lain-lain.

Mari kita lihat cara utama untuk mengetahui ruang lingkup fungsi.

Mari kita tentukan perkalian nilai fungsi tidak permanen y = f (x) dengan pencacah arus, dilambangkan dengan [a; B]. Kita tahu bahwa fungsi tidak terputus ke segala arah, mencapai minimum dan maksimum yang baru, yaitu yang terbesar m a x x a ; b f(x) adalah nilai terkecil m i n x a ; bf(x). Sekali lagi, kita memperhitungkan m i n x a; bf(x); m a x x a; b f (x) , yang akan berisi nilai impersonal dari fungsi output. Hanya itu yang perlu kita kerjakan - hanya perlu mengetahui titik mana yang menunjukkan titik minimum dan maksimum.

Mari kita ambil tugas, yang perlu menetapkan area ke arcsine.

pantat 1

Umroh: tentukan nilai y = a r c sin x .

Larutan

Di lereng liar, area yang ditetapkan untuk arcsine diperpanjang ke atas [-1; satu]. Kita perlu menetapkan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang ditugaskan ke yang baru.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Kita tahu bahwa fungsi ini akan positif untuk semua nilai x, diperluas dalam interval [-1; 1 ] , sehingga dengan memperluas wilayah, fungsi tersebut ditetapkan ke arcsinus dari laju pertumbuhan. Jadi, nilai terkecil akan diterima di x, sama dengan - 1, dan terbesar - di x, sama dengan 1.

m i n x - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - 2 m a x x - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = 2

Dengan cara ini, luas nilai fungsi arcsinus lebih mahal E (ar c sin x) = - 2 ; 2 .

Saran: E (a r c sin x) \u003d - 2; 2

pantat 2

Umroh: Hitung range nilai y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 pada substring yang diberikan [1; 4].

Larutan

Yang perlu kita kerjakan hanyalah menghitung nilai terbesar dan terkecil dari fungsi untuk interval tertentu.

Untuk menentukan titik ekstrem, Anda perlu menghitung perhitungan berikut:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 1; ;4;x 3 = 15 + 33 8 2. 59 1; 4

Sekarang kita tahu nilai fungsi yang diberikan dalam interval potongan dan titik x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Jadi, nilai fungsi impersonal ditentukan oleh selisih 117 - 165 33 512; 32 .

Saran: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Mari kita beralih ke nilai nilai impersonal dari fungsi tak terputus y = f (x) dalam interval (a; b), apalagi, a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Mari kita mulai dengan penunjukan titik terbesar dan terkecil, serta interval antara pertumbuhan dan perubahan pada interval tertentu. Jika demikian, kita perlu virahuvat batas-batas sepihak dalam interval dan / atau batas-batas inkonsistensi. Dengan kata lain, kita perlu menetapkan perilaku fungsi ke pikiran yang diberikan. Untuk siapa kita mungkin memerlukan semua data yang diperlukan.

pantat 3

Umroh: hitung jangkauan fungsi y = 1 x 2 - 4 pada interval (-2; 2).

Larutan

Kami menunjukkan nilai paling dan paling sedikit dari fungsi pada baris yang diberikan

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 x = 0 (- 2 ; 2)

Kami telah mencapai nilai maksimum, yaitu sama dengan 0, tetapi pada titik yang sama perlu untuk mengubah tanda fungsi dan grafik untuk turun. Div. untuk ilustrasi:

Jadi y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 akan menjadi nilai maksimum dari fungsi tersebut.

Sekarang perilaku fungsi signifikan untuk x tersebut, yang merupakan ruas kanan - 2 dari ruas kanan dan ke + 2 dari ruas kiri. Dengan kata lain, kita tahu batas satu sisi:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Kita telah melihat bahwa nilai fungsi meningkat dari inkonsistensi minus hingga - 14 todi, jika argumen berubah dalam rentang -2 hingga 0. Dan jika argumen berubah dari 0 menjadi 2, nilai fungsi berubah menjadi minus tak terhingga. Kemudian, nilai tak berarti dari fungsi yang diberikan pada interval yang diperlukan adalah (- ; - 1 4 ) .

Saran: (- ∞ ; - 1 4 ] .

pantat 4

Umov: masukkan nilai anonim y = t g x pada interval tertentu - 2; 2 .

Larutan

Kita tahu bahwa tangen dari mirip dengan - 2; 2 menjadi positif, sehingga fungsinya berkembang. Sekarang penting bagaimana menjalankan fungsi dalam batasan yang diberikan:

lim x → 2 + 0 t g x = t g - 2 + 0 = - lim x → 2 - 0 t g x = t g 2 - 0 = +

Kami mengurangi nilai inkremental fungsi dari inkonsistensi minus menjadi inkonsistensi plus ketika mengubah argumen vid - 2 menjadi 2 dan kita dapat mengatakan bahwa solusi impersonal dari fungsi ini adalah impersonalitas semua bilangan real.

Saran: - ∞ ; + ∞ .

pantat 5

Umroh: tentukan, yang merupakan jangkauan fungsi, logaritma natural y = ln x .

Larutan

Kita tahu bahwa fungsi diberikan dan ditetapkan pada nilai positif argumen D(y) = 0; +∞. Pohіdna pada interval yang diberikan akan positif: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, yang baru memiliki peningkatan fungsi. Mereka memberi kami kebutuhan untuk menetapkan batas satu sisi untuk itu, jika argumennya benar 0 (di sisi kanan), dan jika x tidak benar, inkonsistensi:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - lim x → ln x = ln + = +

Kami mengambil bahwa nilai fungsi tumbuh dari inkonsistensi minus menjadi inkonsistensi plus ketika mengubah nilai x dari nol menjadi tak terhingga plus. Jadi, ada banyak semua bilangan real - ce dan luas dari nilai fungsi logaritma natural.

Saran: pengali semua bilangan real adalah luas dari nilai fungsi logaritma natural.

pantat 6

Umroh: tentukan jangkauan fungsi y = 9 x 2 + 1 .

Larutan

Fungsi Tsya bernyanyi untuk diingat bahwa x adalah bilangan real. Mari kita hitung fungsi yang paling dan paling tidak penting, serta kesenjangan dan pertumbuhan dan perubahan:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 x = 0 y " 0 x 0 y " 0 x ≤ 0

Dalam hasil, kami menunjukkan bahwa fungsi akan berkurang, sehingga x 0; sebaliknya, bahwa x 0; tidak akan membuat poin maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 saat mengubah, yang lebih mahal 0 .

Kami bertanya-tanya bagaimana cara mengoperasikan fungsi pada inkonsistensi:

lim x → - 9 x 2 + 1 = 9 - 2 + 1 = 9 1 + = + 0 lim x → + 9 x 2 + 1 = 9 + 2 + 1 = 9 1 + = +0

Dapat dilihat dari catatan bahwa nilai fungsi y kali asimtotik mendekati 0.

Subbag Podib'єmo: jika argumen berubah dari inkonsistensi minus menjadi nol, maka nilai fungsi bertambah dari 0 menjadi 9 . Jika nilai argumen berubah dari 0 menjadi inkonsistensi plus, maka nilai fungsi akan turun dari 9 menjadi 0 . Kami membayangkan harga untuk si kecil:

Dapat dilihat pada yang baru bahwa rentang nilai fungsi akan menjadi interval E(y) = (0; 9)

Saran: E(y) = (0; 9]

Jadi kita perlu menetapkan nilai impersonal dari fungsi y = f(x) pada interval [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ) , (- ; b ), maka kita perlu melakukan penyelidikan sendiri.

Dan bagaimana Anda memiliki vipadku, bagaimana area yang ditetapkan untuk deyakoї funktsії o'dnannyam kіlkoh promizhkіv? Kemudian kita perlu menghitung nilai anonim pada kulit s dari interval ini dan menggabungkannya.

pantat 7

Umroh: tentukan jangkauannya y = x x - 2 .

Larutan

Oskіlki znamennik functionії tidak bersalah tapi znacheniya ke 0 , maka D (y) = - ; 2 2; +∞.

Mari kita mulai dengan menetapkan pengali dari nilai fungsi ke baris pertama - ; 2, yang merupakan janji yang jelas. Kita tahu bahwa fungsi akan menurun pada yang baru, sehingga fungsi akan negatif.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - - 2 = 1 - 0

Kemudian, jika argumen mengubah y secara langsung dikurangi inkonsistensi, nilai fungsi secara asimtotik mendekati 1 . Jika nilai x berkurang dari inkonsistensi minus menjadi 2, maka nilainya akan berkurang dari inkonsistensi minus 1, yaitu. fungsi pada nilai masa depan dari interval - ; satu . Sendirian, kecuali refleksi kita, pecahan nilai fungsi tidak mencapainya, melainkan mendekatinya secara asimtotik.

Untuk pertukaran terbuka 2; + vikonuєmo jadi sami dії. Fungsi pada yang baru juga kurang:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + - 2 = 1 + 0

Nilai fungsi pada vіdrіzka yang diberikan ditetapkan ke 1 yang tidak bernilai; +∞. Jadi, kita membutuhkan luas dari nilai fungsi, yang diberikan untuk pikiran, akan digabungkan dengan kelipatan - ; 1 dan 1; +∞.

Saran: E(y) = -∞; 1 1; +∞.

Anda dapat memeriksa grafik:

Fluktuasi tertentu adalah fungsi periodik. Area nilai ini berubah dari nilai impersonal ke interval itu, yang bergantung pada periode fungsi.

pantat 8

Umroh: Atur area ke nilai sinus y = sin x.

Larutan

Sinus terletak pada fungsi periodik, seperti periode menjadi 2 pi. Beremo vіdrіzok 0; 2 saya kagum pada apa yang akan menjadi nilai impersonal pada yang baru.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 cos x = 0 x = π 2 + k , k Z

Pada batas 0; 2 fungsi akan menjadi titik ekstrem 2 x = 3 2 . Mari kita lihat mengapa pentingnya fungsi di dalamnya lebih penting, serta di perbatasan vіdrіzka, setelah itu kita memilih yang paling dan paling tidak signifikan.

y (0) = sin 0 = 0 y 2 = sin 2 = 1 y 3 2 = sin 3 2 = - 1 y (2 ) = sin (2 ) = 0 min x 0 ; 2 sin x = sin 3 2 = - 1, maks x 0; 2 sinx \u003d dosa 2 \u003d 1

Saran: E (sin x) = - 1; satu .

Jika Anda perlu mengetahui luas dari nilai fungsi tersebut, seperti statis, tampilan, logaritma, trigonometri, trigonometri terbalik, maka Anda dipersilakan untuk membaca kembali artikel tentang fungsi dasar dasar. Teorinya, seperti yang kami sarankan di sini, memungkinkan Anda untuk membalikkan nilai yang diberikan. Bazhano vivchiti, serpihan bau busuk sering dibutuhkan pada jam-jam hari ceri. Jika Anda mengetahui luas dari fungsi utama, Anda dapat dengan mudah mengetahui luas fungsi, seolah-olah menghilangkan yang dasar untuk bantuan transformasi geometris.

pantat 9

Umroh: tentukan kisaran y = 3 a r c cos x 3 + 5 7 - 4 .

Larutan

Kita tahu bahwa nilai arccosine adalah 0 hingga pi. Dengan kata lain, E (ar c cos x) = 0 ; atau 0 a r c cos x . Kita dapat mengambil fungsi a r c cos x 3 + 5 7 ke kosinus terbalik dengan meregangkannya dan meregangkan sumbu O x , jika tidak, kita tidak akan dapat memberikan apa pun kepada kita. Jadi, 0 a r c cos x 3 + 5 7 .

Fungsi 3 arc cos x 3 + 5 7 dapat dikurangkan dari arc cosinus arc cos x 3 + 5 7 untuk tambahan peregangan sumbu vertikal, jadi 0 3 arc cos x 3 + 5 7 3 . Di final, transformasi adalah zsuv uzdovzh axis O y dengan 4 nilai. Hasilnya akan memiliki beberapa ketidakrataan yang mendasarinya:

0 - 4 3 a r c cos x 3 + 5 7 - 4 3 - 4 - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 7 - 4 3 - 4

Kami mengambil berapa luas nilai yang akan dibutuhkan E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Saran: E(y) = - 4; 3 pi-4.

Satu pantat lagi akan ditulis tanpa penjelasan, karena anggur mirip dengan yang di depan.

pantat 10

Umroh: hitung berapa jangkauan fungsinya y = 2 2 x - 1 + 3 .

Larutan

Mari kita tulis ulang fungsi yang diberikan dalam pikiran, seperti y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Untuk fungsi statis y = x - 1 2, area nilai akan ditetapkan ke interval 0; + , lalu. x-1 2 > 0 . Dalam nada ini:

2 x - 1 - 1 2 > 0 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Jadi, E(y) = 3; +∞.

Saran: E(y) = 3; +∞.

Sekarang mari kita lihat bagaimana mengetahui ruang lingkup fungsi, bagaimana tidak terputus. Untuk itu kita perlu memecah seluruh area menjadi celah dan mengetahui makna impersonal pada kulitnya, setelah itu kita menyatukan yang telah kita lihat. Untuk pemahaman yang lebih baik, demi mengulangi sudut pandang utama fungsi.

pantat 11

Umroh: fungsi yang diberikan y = 2 sin x 2 - 4 , x - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Hitung nilai luas .

Larutan

Fungsi ini diberikan untuk semua nilai x. Mari kita lakukan analisis untuk kontinuitas dengan nilai argumen, sama - 3 dan 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 lim x → - 3 - 0 f (x) lim x → - 3 + 0 f (x)

Mungkin ekspansi tanpa gangguan dari jenis pertama dengan nilai argumen - 3 . Saat mendekati nilai baru fungsi, naik ke - 2 sin 3 2 - 4, dan ketika x naik ke - 3 dari sisi kanan, nilainya akan naik ke - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = +

Kemungkinan tidak ada pencarian untuk genus yang berbeda pada poin 3. Jika fungsinya tidak sama, nilai mendekati - 1, jika fungsinya sama dengan kanan - hingga minus inkonsistensi.

Otzhe, seluruh area dari fungsi yang diberikan dibagi menjadi 3 interval (- ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ) .

Pada yang pertama, kami menghilangkan fungsi y = 2 sin x 2 - 4 . Oskіlki - 1 sin x 1 dapat diterima:

1 dosa x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Jadi, untuk interval ini (- ; - 3] fungsi tidak memiliki nilai - [ - 6 ; 2 ] .

Pada interval terakhir (- 3 ; 3 ) terdapat sebuah konstanta fungsi y = - 1 . Otzhe, semua znachen impersonal kadang-kadang akan dibangun hingga satu nomor - 1.

Pada interval lain 3; + kita dapat menggunakan fungsi y = 1 x - 3 . Menangkan sekop, untuk itu y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + lim x → + 1 x - 3 = 1 + - 3 = 1 + + 0

Jadi, nilai impersonal dari fungsi keluaran untuk x > 3 adalah kelipatan 0; +∞. Sekarang hasilnya biasanya diambil: E(y) = - 6; - 2 - 1 0; +∞.

Saran: E(y) = - 6; - 2 - 1 0; +∞.

Solusinya ditunjukkan dalam grafik:

pantat 12

Umov: fungsi y = x 2 – 3 e x . Menghargai makna impersonal.

Larutan

Vaughn ditugaskan untuk semua arti argumen, yang merupakan angka aktual. Secara signifikan, untuk beberapa interval, fungsi kenaikan diberikan, dan untuk beberapa di antaranya turun:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Kita tahu bahwa bagus untuk pergi ke 0 seperti x = - 1 dan x = 3 . Mari kita menempatkan dua poin secara keseluruhan dan z'yasuёmo, seperti tanda akan menjadi ibu dari interval.

Fungsi akan berubah menjadi (- ; - 1 ) [ 3 ; + ) saya tumbuh pada [ - 1 ; 3]. Poin minimum adalah - 1, maksimum - 3.

Sekarang kita tahu nilai utama fungsi:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Kami melihat perilaku fungsi pada inkonsistensi:

lim x → - x 2 - 3 ex = - 2 - 3 e - = + + 0 = + lim x → + x 2 - 3 ex = + 2 - 3 e + = + + = = lim x → + x 2 - 3 "ex" = lim x → + 2 xex = + + = = lim x → + 2 x "(ex)" = 2 lim x → + 1 contoh = 2 1 + = + 0

Untuk perhitungan perantara lainnya, aturan Lopital digunakan. Bisa dibayangkan bahwa solusi kami telah beralih ke grafis.

Terlihat bahwa nilai fungsi akan berkurang pada inkonsistensi plus menjadi -2e meskipun argumen berubah pada inkonsistensi minus menjadi -1. Jika anggur berubah dari 3 menjadi plus ketidakakuratan, maka nilainya akan turun dari 6 e - 3 menjadi 0, tetapi jika ada 0, tidak akan ada jangkauan.

Dalam urutan ini, E(y) = [- 2 e; +∞).

Saran: E(y) = [-2e; +∞)

Bagaimana Anda mengingat pengampunan dalam teks, bersikap baik, melihatnya dan tekan Ctrl + Enter

Pemahaman tentang fungsi dan segala sesuatu yang terkait dengannya dibawa ke lipatan tradisional, bukan ke titik pikiran. Mari kita singkirkan dengan batu fokus pada bagaimana fungsi dan persiapan untuk area peruntukan dan area signifikansi (perubahan) fungsi.
Bukan hal yang aneh untuk belajar untuk tidak membedakan antara area fungsi yang ditugaskan dan area signifikansinya.
Segera setelah kita belajar menguasai tugas mengubah area fungsi yang ditetapkan, maka tugas mengubah makna impersonal dari fungsi tersebut membutuhkan kesulitan chimali.
Meta tsi statti: mengetahui metode untuk mengetahui nilai suatu fungsi.
Sebagai hasil dari meninjau topik-topik ini, materi teoretis dikembangkan, metode pemecahan masalah untuk signifikansi fungsi ganda dipertimbangkan, materi didaktik dipilih untuk pekerjaan mandiri siswa.
Artikel ini dapat menjadi guru dalam persiapan siswa untuk kelulusan dan studi pengantar, bagi mereka "Area signifikansi suatu fungsi" dalam mata kuliah pilihan pilihan dalam matematika.

I. Penunjukan ruang lingkup fungsi.

Nilai area (pengganda) E (y) dari fungsi y \u003d f (x) disebut jumlah bilangan tersebut y 0, untuk skin z ada bilangan x 0 sehingga: f (x 0) \u003d y 0.

Tebak area utama fungsi dasar.

Mari kita lihat tabelnya.

Fungsi	Arti anonim
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; satu]
y = tgx	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctgx	E(y) = (-∞;+∞)
y = busur x	E(y) = [-π/2; /2]
y = busur x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2; /2)
y = arcctg x	E(y) = (0; )

Juga dihormati bahwa luas nilai polinomial apa pun dari tahap berpasangan adalah interval, de n adalah nilai polinomial terbesar.

II. Kekuatan fungsi

Untuk keberhasilan pengenalan fungsi impersonal, perlu diketahui dengan baik kekuatan fungsi dasar dasar, terutama area signifikansi, area signifikansi, dan sifat monoton. Mari kita induksi kekuatan fungsi diferensiasi monoton yang tidak terputus, yang paling sering menang ketika nilai fungsi impersonal diketahui.

Dominasi 2 dan 3, sebagai aturan, memenangkan sekaligus kekuatan fungsi dasar tanpa gangguan di area penunjukannya. Mengingat solusi paling sederhana dan terpendek untuk masalah nilai pengali, nilai suatu fungsi dapat dicapai berdasarkan otoritas 1, meskipun metode yang tidak konsisten dapat digunakan untuk menentukan kemonotonan suatu fungsi. Solusinya lebih sederhana, sebagai fungsi, sebelum itu, - pasangan tidak berpasangan, tipis secara berkala. Dengan cara ini, ketika menjalankan tugas tentang pentingnya mengalikan nilai suatu fungsi, jika perlu, perlu untuk mempertimbangkan kembali dan memenangkan kekuatan ofensif fungsi:

tidak terputus;
kesamaan;
diferensiasi;
berpasangan, tidak berpasangan, periodisitas tipis.

Tugas canggung mengetahui makna impersonal dari fungsi orientasi sosial:

a) untuk taksiran dan limit yang paling sederhana: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 maka);

b) melihat kotak penuh: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) pada transformasi trigonometri viraziv: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) pencapaian kemonotonan fungsi x 1/3 + 2 x-1 meningkatkan R.

AKU AKU AKU. Mari kita lihat metode mengetahui area nilai fungsi.

a) nilai terakhir dari argumen lipat fungsi;
b) metode evaluasi;
c) pencapaian kekuasaan, kurangnya interupsi dan fungsi monoton;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) pilihan nilai tertinggi dan terendah dari fungsi;
e) metode grafik;
g) metode permintaan parameter;
h) metode fungsi pembalikan.

Rozkriёmo esensi dari metode ini pada puntung tertentu.

Contoh 1. Temukan rentang nilai E(y) fungsi y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Kita dapat menyelesaikan butt ini dengan metode nilai sekuensial dari argumen lipat fungsi. Melihat kotak baru di bawah logaritma, kami mengubah fungsinya

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

secara berurutan kita tahu arti impersonal dari argumen yang dapat dilipat:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Secara signifikan T= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim sendiri untuk mendapatkan nilai pengali dari nilai fungsi y = log 0,5 t di bursa (-∞;4) . Karena fungsi y = log 0,5 t ditetapkan hanya untuk pikiran Anda, maka nilai anonim pada interval (-∞; 4) diubah dari nilai anonim fungsi pada interval (0; 4), yang merupakan interval interval (-∞; 4) dengan rentang (0; + ) dari fungsi logaritma. Pada interval (0;4) fungsi ini tidak terputus dan lebih kecil. Pada T> 0 menang pragne +∞, dan kapan t = 4 menetapkan nilai -2, ke E(y) =(-2, +∞).

Contoh 2. Temukan ruang lingkup fungsi

y = cos7x + 5cosx

Hal ini dapat kita lihat melalui metode penilaian yang esensinya adalah dalam penilaian fungsi bawah dan atas yang tidak terputus dan dalam membuktikan jangkauan fungsi batas bawah dan atas penilaian. Dengan setiap perubahan impersonalitas, nilai fungsi dengan interval dari penilaian sementara yang lebih rendah ke yang lebih tinggi ditentukan oleh ketidakkekalan fungsi dan keberadaan nilai yang lebih rendah di dalamnya.

Dari ketidakteraturan -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 kita ambil skor -6≤y?6. Ketika x = p x = 0, fungsi tersebut mengambil nilai -6 6, maka. mencapai batas bawah dan atas. Sebagai kombinasi linier dari fungsi yang tidak terputus cos7x dan cosx, fungsi y tidak dapat terputus pada seluruh sumbu numerik, oleh karena itu, karena kekuatan fungsi yang tidak terputus, ia memperoleh semua nilai dari -6 hingga 6 inklusif, dan hanya , yaitu, melalui inkonsistensi dalam nilai -6≤y tidak mungkin. Otzhe, E(y)= [-6;6].

Contoh 3. Temukan rentang nilai E(f) fungsi f(x)= cos2x + 2cosx.

Mengikuti rumus kosinus kuta underwire, kami mengubah fungsi f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 yang signifikan T= cox. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E (cosx) =

[-1;1], maka rentang fungsi f(x) zbіgaєtsya dengan nilai impersonal dari fungsi g (T)= 2t 2 + 2t - 1 ke belakang [-1; 1], seperti yang kita ketahui dengan metode grafis. Menginduksi grafik fungsi y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 per interval [-1; 1], kita tahu E(f) = [-1,5; 3].

Menghormati - sampai pentingnya makna impersonal dari fungsi tersebut, perlu untuk membuat tugas yang kaya dengan parameter, terhubung, yang lebih penting, dengan jumlah perbedaan dan jumlah perbedaan. Misal sama f(x)\u003d tetapi diperbolehkan untuk melakukannya lebih dari itu, jika

aE(f) Demikian pula, sama f(x)\u003d a dapatkah saya menginginkan satu root, menyebar di celah X saat ini, jika tidak, Anda tidak dapat memiliki satu root pada celah yang sama saat itu dan hanya sedikit, jika Anda harus berbohong atau tidak berbohong nilai impersonal dari fungsi f(x) pada interval X. f(x)≠ tetapi, f(x)> saya dll. Zokrema, f(x)≠ dan untuk semua nilai yang dapat diterima yakso a E(f)

Butt 4. Untuk setiap nilai parameter a sama dengan (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) ada akar tunggal untuk indentasi [-4;-1].

Mari kita tuliskan persamaan penglihatan (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Tetap sama mungkin hanya menginginkan satu root per vdrіzka [-4;-1] baik dan hanya jika ada nilai fungsi yang tidak bersifat pribadi f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) sebaliknya [-4;-1]. Kita tahu impersonalitas, kekuatan kemenangan, ketidakterputusan dan monoton fungsi.

Di sisi lain [-4;-1] fungsi y = xІ + 4 tidak terputus, dikurangi i positif, jadi fungsi g(x) = 1/(x 2 + 4) tidak terputus dan zbіlshuєtsya di tsemu vіdrіzku, oskіlki untuk rozpodіlі pada fungsi positif sifat monotonisitas fungsi diubah menjadi perpanjangan. Fungsi h(x) =(x + 5) 1/2 tidak terputus dan tumbuh di galerinya sendiri D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, pada vіdrіzku [-4;-1], deva, apalagi, positif. Fungsi yang sama f(x)=g(x) h(x), seperti penambahan dua fungsi tak terputus, tumbuh dan positif, juga tak terputus dan bertambah dengan tambahan [-4;-1], jadi ada nilai impersonal dengan [-4;-1] tambahan [ f(-4); f(-1)]=. Juga, itu sama dengan solusi untuk ganda [-4;-1], apalagi, satu (untuk kualitas fungsi monoton kontinu), dengan 0,05 a 0,4

Menghormati. Izin sama f(x) = a pada interval X saat ini sama dengan validitas nilai parameter tetapi nilai fungsi impersonal f(x) pada X. Otzhe, nilai impersonal dari fungsi f(x) untuk interval X diubah dari nilai parameter tetapi, untuk yang setara f(x) = a Bolehkah saya menginginkan satu root untuk area prom H. Zokrem E(f) fungsi f(x) zbіgaєtsya dengan nilai parameter anonim tetapi, untuk yang setara f(x) = a Bolehkah saya ingin satu root.

Contoh 5. Temukan rentang nilai E(f) fungsi

Membuka pantat dengan metode memasukkan parameter, zgіdno z E(f) zbіgaєtsya dengan nilai parameter anonim tetapi, untuk yang setara

Bolehkah saya ingin satu root.

Ketika a = 2 sama dengan linier - 4x - 5 = 0 dengan koefisien bukan-nol untuk bukan-nol x, tidak ada solusi. Ketika a≠2 sama dengan kuadrat, maka itu dapat dilepaskan baik dan hanya jika itu adalah diskriminan

Oskіlki titik a = 2 terletak di vіdrіzku

lalu kita shukanim nilai parameternya tetapi, berarti, saya menghargai area E(f) menjadi semua vіdrіzok.

Sebagai pengembangan non-pertengahan dari metode pengenalan parameter dengan nilai fungsi impersonal yang diberikan, seseorang dapat mempertimbangkan metode fungsi pembalikan, untuk tujuan yang perlu untuk memeriksa nilai fungsi f(x)=y, dengan parameter y. Yakshcho tse equal mungkin salah satu solusinya x = g(y), maka jangkauannya E(f) fungsi eksternal f(x) melarikan diri dari area janji D(g) fungsi saliva g(y). Yakshcho sama f(x)=y solusi ma kіlka x = g 1 (y), x = g2 (y) dan seterusnya, maka E(f) integrasi yang lebih baik dari area fungsi g 1 (y), g 2 (y) dan sebagainya.

Contoh 6. Temukan luas nilai E(y) fungsi y = 5 2/(1-3x).

Z sama

kita tahu fungsi pembalikan x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x mungkin satu-satunya solusi, lalu

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Karena luas dari fungsi yang diberikan dijumlahkan dari interval puluhan tahun, dan fungsi pada interval yang berbeda diberikan oleh rumus yang berbeda, maka untuk signifikansi luas dari nilai fungsi, diperlukan untuk mengetahui anonim nilai fungsi pada interval kulit dan menyatukannya.

Contoh 7. Temukan area signifikansi f(x)і f(f(x)), de

f(x) di bursa (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Signifikan t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) di bursa (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, di tengah (0; 4], seperti yang kita ketahui, vicorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Di promizhku (0;4] bagus g'(t) itu ditugaskan untuk memulai dari nol di t=3. Pada 0<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) menurun, dan interval (3; 4) tumbuh, dipenuhi dengan interval mustard yang tidak terputus (0; 4), penyair g (3)= 9 - nilai terkecil dari fungsi untuk interlace (0; 4], namun, nilai maksimum tidak mungkin, jadi dengan t→0 fungsi tangan kanan g(t)→+. Todi, untuk kualitas fungsi yang tidak terputus, nilai impersonal dari suatu fungsi g(t) pada interval (0; 4], yang berarti saya tidak memiliki arti f(x) pada (-∞;-1], jadilah yang terdepan.

Sekarang, interval gabungan adalah makna impersonal dari fungsi f(f(x)), dengan penuh arti t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de T fungsi f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 dan terima kembali semua nilai dari 5 hingga 9 inklusif, yaitu. area nilai E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Demikian pula, mengetahui z = f(f(x)), Anda dapat mengetahui kisarannya E(f3) fungsi f(f(f(x))) = f(z) de 5 z 9 dst. Lupakan, apa? E(f 3) = .

Metode paling universal untuk menghitung perkalian nilai fungsi dan pengurangan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi untuk interval tertentu.

Contoh 8. Untuk beberapa nilai parameter R ketidakrataan 8 x - p 2x+1 – 2x menang untuk semua -1 x< 2.

Setelah ditunjuk t = 2 x, mari kita tuliskan ketidakrataan tampilan p t 3 - 2t 2 + t. jadi ya t = 2 x- fungsi pertumbuhan tanpa gangguan aktif R, maka untuk -1 x< 2 переменная

2 -1 t<2 2 ↔

0,5 t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R lihat nilai fungsi f(t) = t 3 - 2t 2 + t pada 0,5 t< 4.

Kita tahu urutan nilai anonim dari fungsi f(t) di vіdrіzku, de sia-sia ke mana pun saya bisa pergi f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Otzhe, f(t) dibedakan, kemudian, dan tanpa gangguan angin. Z sama f'(t) = 0 kita tahu titik kritis dari fungsi t=1/3, t=1, pertama-tama, Anda tidak bisa berbaring pada teman, tetapi pada teman youma. jadi ya f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, maka, untuk kualitas fungsi terdiferensiasi, 0 adalah yang terkecil, dan 36 adalah nilai tertinggi dari fungsi tersebut f(t) di vіdrіzku. Todi f(t), sebagai fungsi non-stop, ia menerima semua nilai dari 0 hingga 36 inklusif, terlebih lagi, nilai 36 hanya membutuhkan t=4 selain itu, untuk 0,5 t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna positif untuk semua interval x z (-1; 1), sehingga fungsi arcsine tumbuh di seluruh rentang penugasan. Sekali lagi, nilai kemenangan terkecil adalah pada x = -1, dan terbesar pada x = 1.

Kami mengurangi domain fungsi ke arcsine .

pantat.

Temukan nilai anonim dari suatu fungsi di vіdrіzku.

Larutan.

Mari kita tahu fungsi terpenting dan paling tidak penting di utas ini.

Secara signifikan, titik ekstrem, yang terletak di vіdrіzku:

Menghitung nilai fungsi keluaran pada ujung-ujung pemotongan dan pada titik-titik :

Otzhe, nilai impersonal dari fungsi pada vіdrіzku vіdrіzok .

Sekarang mari kita tunjukkan bagaimana mengetahui nilai fungsi tak terputus y = f(x) dalam interval (a; b) , .

Sejak awal, kami menetapkan titik ekstrem, ekstrem fungsi, interval pertumbuhan, dan perubahan fungsi pada interval tertentu. Mereka dihitung pada interval interval dan (atau) antara pada inkonsistensi (yaitu, perilaku fungsi pada interval interval atau pada inkonsistensi). Ada informasi yang cukup untuk mengetahui nilai impersonal dari fungsi pada interval tersebut.

pantat.

Tentukan nilai impersonal dari fungsi pada interval (-2; 2).

Larutan.

Kita tahu titik-titik ekstrem dari fungsi, yang dihabiskan pada interval (-2; 2):

Krapka x = 0 adalah titik maksimum, itulah sebabnya perlu untuk mengubah tanda plus menjadi minus ketika melewatinya, dan grafik fungsi tampaknya meningkat untuk turun.

vіdpovіdny fungsi maksimumії.

Kita dapat memahami perilaku fungsi di x, yang hingga -2 tangan kanan dan di x, yang hingga 2 złiva, jadi kita tahu batas satu sisi:

Apa yang kami ambil: ketika id argumen -2 diubah menjadi nol, nilai fungsi meningkat dari minus inkonsistensi menjadi minus seperempat (maksimum fungsi pada x = 0 ), ketika id argumen diubah dari nol menjadi 2, nilai fungsi jatuh hingga tak terhingga. Dalam urutan ini, nilai impersonal dari fungsi pada interval (-2; 2) .

pantat.

Tentukan nilai pengali fungsi terhadap garis singgung y = tgx pada interval.

Larutan.

Fungsi yang mirip dengan garis singgung pada interval adalah positif yang menunjukkan pertumbuhan fungsi. Ikuti perilaku fungsi pada batas-batas interval:

Dengan cara ini, ketika mengubah argumen, nilai fungsi tumbuh dari inkonsistensi minus menjadi inkonsistensi plus, yaitu, nilai tangen pada interval ini adalah nilai semua bilangan real.

pantat.

Tentukan jangkauan fungsi logaritma natural y = lnx.

Larutan.

Fungsi logaritma natural ditetapkan ke nilai positif dari argumen . Pada interval berapa positif? Tidak ada gunanya berbicara tentang pertumbuhan fungsi pada yang baru. Kita mengetahui batas satu sisi dari fungsi ketika argumen tangan kanan hingga nol, dan batas di x, yang tepat hingga ditambah inkonsistensi:

Bachimo, untuk mengubah x dari inkonsistensi nol ke plus, nilai fungsi bertambah dari inkonsistensi minus menjadi inkonsistensi plus. Otzhe, ruang lingkup fungsi logaritma natural bilangan real impersonal.

pantat.

Larutan.

Fungsi ini ditetapkan ke semua nilai aktual x . Titik-titik ekstremnya signifikan, serta kesenjangan dalam pertumbuhan dan perubahan fungsi.

Juga, fungsi berubah pada , tumbuh di , x = 0 adalah titik maksimum, fungsi maksimum yang terlihat.

Kami melihat perilaku fungsi pada inkonsistensi:

Dengan cara ini, pada inkonsistensi, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati nol.

Kami menjelaskan bahwa ketika argumen diubah dari inkonsistensi minus ke nol (poin maksimum), nilai fungsi tumbuh dari nol menjadi sembilan (ke fungsi maksimum), dan ketika x diubah dari nol ke inkonsistensi plus, nilainya fungsi berubah dari sembilan menjadi nol.

Lihatlah skema anak-anak kecil.

Sekarang Anda dapat dengan jelas melihat bahwa rentang fungsinya adalah .

Nilai pengali nilai fungsi y = f(x) pada interval-interval durasi yang sama. Mari kita tidak segera melaporkan vipadka ini. Pada puntung di bawah, baunya lebih menyengat.

Biarkan ruang lingkup fungsi y = f(x) digabungkan untuk sejumlah interval. Ketika area diketahui, nilai fungsi tersebut ditunjukkan oleh nilai impersonal dari tonjolan kulit dan generalisasinya.

pantat.

Temukan ruang lingkup fungsi.

Larutan.

Standar fungsi kami tidak bersalah turun ke nol, tobto,.

Kita tahu nilai impersonal dari fungsi di bursa terbuka.

Fungsi lainnya negatif untuk sementara ini, jadi fungsinya berubah untuknya.

Diperhitungkan bahwa ketika argumennya minus inkonsistensi, nilai-nilai fungsi didekati secara asimtotik ke kesatuan. Saat mengubah x dalam inkonsistensi minus menjadi dua nilai, fungsi berubah dari inkonsistensi satu menjadi minus, jadi, untuk waktu yang singkat, seperti yang Anda lihat, fungsi mengambil nilai impersonal. Satu tidak disertakan, fragmen nilai fungsi tidak mencapainya, tidak cukup untuk melompat secara asimtotik dengan minus inkonsistensi.

Diemo serupa untuk pertukaran terbuka.

Pada interval mana fungsinya juga berubah.

Nilai anonim dari fungsi untuk sementara itu tidak bersifat pribadi.

Dengan cara ini, ruang lingkup nilai fungsi diperlukan untuk menggabungkan kelipatan.

Ilustrasi grafis.

Okremo menelusuri fungsi periodik. Cakupan nilai fungsi periodik diubah dari nilai interval impersonal, yang bergantung pada periode fungsi.

pantat.

Tentukan jangkauan fungsi sinus y = sinx.

Larutan.

Fungsi ini periodik dengan periode dua pi. Vіzmemo vіdrіzok ta makna impersonal yang signifikan pada nymu.

Vіdrіzku terletak dua titik ekstrim ta .

Kami menghitung nilai fungsi pada titik-titik ini dan pada batas vіrіzka, kami memilih nilai terkecil dan tertinggi:

Otzhe, .

pantat.

Temukan ruang lingkup suatu fungsi .

Larutan.

Kita tahu bahwa rentang nilai arccosine vіdrіzok vіd nol sampai nі, maka, atau di entri lain. Fungsi dapat otrimana z arccosx zsuv saya raztyaguvannyam vzdovzh sumbu absis. Transformasi seperti itu di area tersebut tidak untuk disuntikkan, untuk itu, . Fungsi keluar dari membentang ke vtrychі vzdovzh osі Oy, tobto, . Tahap 1 yang tersisa dari transformasi - tse zsuv chotirma sendirian di bawah sumbu uzdovzh dari ordinat. Tidak ada gunanya membawa kita ke kegugupan kereta bawah tanah

Di peringkat ini, area nilai shukana adalah .

Mari kita buat solusi untuk satu pantat lagi, tetapi tanpa penjelasan (tidak perlu bau, saya akan melakukan hal yang sama untuk itu).

pantat.

Tentukan ruang lingkup fungsi .

Larutan.

Mari kita tulis fungsi output seperti . Area nilai fungsi keadaan adalah intervalnya. Toto, . Todi

Otzhe, .

Untuk melengkapi gambarannya, mari kita bicara tentang ruang lingkup nilai fungsi, karena ini adalah ruang lingkup fungsi yang tidak terputus. Dalam hal ini, area janji dibagi dengan titik-titik menjadi celah, dan kita tahu nilai tidak berarti pada kulitnya. Menggabungkan pengurangan nilai pengali, kami mengurangi area nilai fungsi output. Disarankan untuk menebak 3 nilai fungsi tangan kiri untuk bergerak dikurangi satu, dan jika x sampai 3 ke kanan, nilai fungsi untuk bergerak ditambah ketidaktepatan.

Dengan cara ini, area fungsi dibagi menjadi tiga interval.

Bolehkah saya memiliki fungsi? . Oscilki, lalu

Jadi, nilai impersonal dari fungsi keluaran untuk interval adalah [-6; 2].

Pada interval terakhir, dimungkinkan untuk memiliki fungsi konstan y = -1. Oleh karena itu, nilai impersonal dari fungsi eksternal untuk sementara dijumlahkan dari satu elemen.

Fungsi tersebut ditetapkan ke semua nilai sebenarnya dari argumen. Z'yasuєmo promiski peningkatan dan perubahan fungsi.

Pokhіdna berubah menjadi nol pada x=-1 dan x=3. Titik qi secara signifikan pada sumbu numerik dan tanda yang serupa secara signifikan pada subinterval.

Fungsi berubah menjadi , Pertumbuhan sebesar [-1; 3] , x=-1 titik ke minimum, x=3 titik ke maksimum.

Mari kita hitung fungsi minimum dan maksimumnya:

Membalikkan perilaku fungsi pada inkonsistensi:

Mezhu lain dikenakan biaya.

Lebih skematis kursi.

Ketika argumen diubah dari minus indefiniteness menjadi -1, nilai fungsi berubah dari plus infinity menjadi -2e, ketika argumen diubah dari -1 menjadi 3, nilai fungsi meningkat dari -2e menjadi , ketika argumen diubah dari 3 menjadi plus tak terhingga, nilai fungsi meningkat tetapi tidak mencapai nol.

Fungsi adalah salah satu konsep matematika yang paling penting untuk dipahami.

Janji: Jika nomor kulit pengali deuce x ditetapkan ke satu y, maka tampaknya fungsi y(x) ditetapkan ke pengali. Ketika x disebut argumen perubahan independen, dan y disebut nilai perubahan bera dari fungsi, itu hanyalah sebuah fungsi.

Untuk mengatakan demikian, apa yang mengubah y adalah fungsi dari mengubah x.

Setelah menyatakan validitas suatu huruf tertentu, misalnya f, maka mudah untuk menulis: y=f (x), sehingga nilai y berasal dari argumen x untuk validitas tambahan f. (Baca: y sama dengan f di x.) Simbol f (x) menunjukkan nilai fungsi, yang cocok dengan nilai argumen, yang sama dengan x.

Contoh 1 Biarkan fungsi ditentukan dengan rumus y=2x 2 –6. Maka dapat ditulis bahwa f(x) = 2x2-6. Kita tahu nilai fungsi x, sama, misalnya, 1; 2.5;-3; jadi kita tahu f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 -6=6.5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Dengan hormat, catatan memiliki bentuk y=f (x) alih-alih f untuk hidup dalam huruf lain: g, lalu.

Tujuan: Ruang lingkup fungsi – nilai x, yang memiliki fungsi yang sama.

Jika fungsi diberikan oleh rumus dan ruang lingkup fungsi tidak ditetapkan, maka penting bahwa ruang lingkup fungsi ditambahkan ke nilai argumen, yang rumusnya tidak masuk akal.

Jika tidak, ternyata, ruang lingkup fungsi, yang diberikan oleh rumus, adalah nilai argumen, krimnya tenang, karena diproduksi ke diy, seperti yang kita dapat vikonate. Saat ini, kami hanya tahu dua dari mereka. Kita tidak bisa membagi dengan nol dan kita tidak bisa mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif.

Penunjukan: Gunakan nilai, jika Anda menerima perubahan bera, tetapkan area nilai fungsi.

Ruang lingkup fungsi yang ditunjuk, yang menggambarkan proses nyata, terletak di benak pikiran dan proses tertentu. Misalnya, staleness panjang panjang panjang geser, tergantung pada suhu pemanasan t, dinyatakan dengan rumus, de l 0 panjang panjang panjang panjang panjang panjang panjang, dan koefisien ekspansi linier. Rumus maє sens untuk setiap nilai t diberikan. Namun, ruang lingkup fungsi l = g (t) adalah interval puluhan derajat, di mana hukum ekspansi linier adil.

pantat.

Tentukan rentang fungsi y = arcsinx.

Larutan.

Area yang ditetapkan untuk arcsine vіdrіzok [-1; 1] . Mari kita tahu fungsi yang paling penting dan paling tidak penting untuk setiap utas.

Pokhіdna positif untuk semua orang x dari interval (-1; 1) , oleh karena itu, fungsi arcsine tumbuh di seluruh rentang penunjukan. Otzhe, hal yang paling tidak penting adalah nabuvaє x=-1, dan paling banyak di x=1.