Ketik ax 2 + bx + 0 0, de (penggantian tanda > mungkin, masuk akal, menjadi tanda ketidakrataan lainnya). Semuanya diperlukan untuk memecahkan ketidakkonsistenan seperti itu dengan fakta-fakta teori, kita dapat melihat mengapa kita dapat berubah sekaligus.
pantat 1. Virishiti nerіvnіst:
a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
larutan,
a) Mari kita lihat parabola y \u003d x 2 - 2x - 3, digambarkan pada gambar. 117.
Ketidakrataan Virishity x 2 - 2x - 3 > 0 - tidak berarti catu daya, yang ordinat x titik parabolanya positif.
Dengan hormat, bahwa y > 0, maka grafik fungsi ekspansi lebih tinggi untuk sumbu x, di x< -1 или при х > 3.
Otzhe, solusi untuk ketidakrataan adalah titik keterbukaan tentang saya(- 00 , - 1), dan temukan semua titik dari rentang kritis terbuka (3, +00).
Vykoristovuyuchi tanda U (tanda pembagian), dapat ditulis seperti ini: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd dapat ditulis seperti ini: x< - 1; х > 3.
b) Ketidakrataan x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: Jadwal menyebar di bawah sumbu x, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
c) Ketidakteraturan x 2 - 2x - 3 > 0 dihitung sebagai ketidakrataan x 2 - 2x - 3 > 0, jadi perlu menyertakan perataan akar x 2 - 2x - 3 = 0, lalu titik x = -1
x \u003d 3. Dalam urutan ini, solusi yang diberikan tidak sepenuhnya tidak merata dan semua titik perubahan (-00, - 1], serta titik perubahan kumis.
Matematikawan praktis terdengar seperti ini: datanglah kepada kami, buktikan ketidakrataan ax 2 + bx + c\u003e 0, untuk secara akurat mengembangkan parabola grafik fungsi kuadrat
y \u003d ax 2 + bx + c (bagaimana itu dihancurkan di pantat 1)? Menyelesaikan grafik kecil yang samar akar dari trinomial persegi (titik palang parabola z vіssy ) dan menandakan, di mana pelurusan jarum parabola menanjak ke bawah. Si kecil samar ini akan memberi Anda awan kegugupan rozv'yazannya.
pantat 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Larutan.
1) Kita tahu akar trinomial kuadrat - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.
2) Parabola, seperti grafik fungsi y \u003d -2x 2 + Zx + 9, menggeser semua x pada titik 3 i - 1.5, dan pin parabola diluruskan ke bawah, yang lebih tua koefisien- Angka negatif - 2. Pada gambar. 118 representasi grafis kecil.
3) Nasi Vikoristovuyuchi. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Saran: x< -1,5; х > 3.
Contoh 3. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Larutan.
1) Z sama dengan 4x 2 - 4x + 1 = 0 diketahui.
2) Sebuah trinomial persegi memiliki satu akar; tse berarti bahwa itu adalah parabola, seperti grafik trinomial persegi, tidak mengubah semua x, tetapi berdiri di titik. Kepala parabola lurus ke atas bukit (Gbr. 119.)
3) Untuk model geometris tambahan, yang ditunjukkan pada Gambar. 119, ditetapkan bahwa ketidakrataan hanya diatur dalam poin, penskalaan pada semua nilai lain dari ordinat grafik adalah positif.
Saran: .
Anda, bernyanyi-lagu, ingat bahwa sebenarnya pantat 1, 2, 3 memiliki keseluruhan nyanyian algoritma rozv'yazanya persegi penyimpangan, yogo diformalkan.
Algoritma untuk menurunkan ketidakteraturan kuadrat ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)
Pada tahap pertama, algoritma perlu mengetahui akar dari trinomial kuadrat. Tapi akarnya tidak bisa dipatahkan, mengapa bekerja? Kemudian algoritma tidak zastosovuetsya, maka, perlu untuk mengamati pula. Kunci untuk tsikh mirkuvan adalah memberikan teorema seperti itu.
Dengan kata lain, seperti D< 0, а >0, maka ketidakrataan ax 2 + bx + c > 0 menang untuk semua x; navpaki, nerіvnіst sebagai 2 + bх +< 0 не имеет решений.
Bukti.
Jadwal fungsi y \u003d ax 2 + bx + c parabola, jarumnya lurus menanjak (skalar a\u003e 0) dan yak tidak mengubah semua x, karena trinomial kuadrat tidak memiliki akar pikiran. Grafiknya ditunjukkan pada gambar. 120. Bachimo, bahwa dengan semua x jadwal ekspansi lebih tinggi dari sumbu x, tetapi ce berarti bahwa dengan semua x, ketidakrataan ax 2 + bx + c > 0, yang seharusnya diselesaikan.
Dengan kata lain, seperti D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 tidak ada solusi.
Bukti. Grafik fungsi y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
pantat 4. Virishiti nerіvnіst:
a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.
a) Kita tahu diskriminan trinomial persegi 2x 2 - x + 4. May D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Koefisien senior dari trinomial (nomor 2) adalah positif.
Jadi, untuk Teorema 1, untuk semua x, ketidakrataan 2x 2 - x + 4 > 0 diatasi, sehingga semua (-00 + 00) berfungsi sebagai solusi dari ketidakrataan yang diberikan.
b) Kita tahu diskriminan dari trinomial persegi - x 2 + Zx - 8. Mei D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Validitas: a) (-00 + 00); b.tidak ada solusi.
Di pantat ofensif, kita tahu satu lagi cara miring, yang zastosovetsya pada pembukaan penyimpangan persegi.
Contoh 5. Virishity nerіvnіst 2 - 10х + 3< 0.
Larutan. Kami memperluas trinomial persegi 3x 2 - 10x + 3 menjadi pengali. Ke akar trinomial nomor 3 i untuk itu, percepatan ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), kita ambil 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Signifikan pada akar langsung numerik dari trinomial: 3 i (Gbr. 122).
Biarkan x> 3; maka x-3>0 x->0, maka, i tambahan 3(x - 3)(x - ) adalah positif. Ayo ayo< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Juga, dobutok 3(x-3)(x-) adalah negatif. Ayo, ayo, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) positif.
Ringkasnya, kita sampai pada visnovka: tanda-tanda trinomial persegi Zx 2 - 10x + 3 berubah seperti yang ditunjukkan pada gambar. 122. Tapi kita dipanggil, untuk beberapa trinomial persegi dibutuhkan nilai negatif. 3 gambar. 122 robimo visnovok: trinomial kuadrat 3x 2 - 10x + 3 nabuє nilai negatif untuk setiap nilai x dalam interval (, 3)
Vidpovid (, 3), sebaliknya< х < 3.
Menghormati. Metode pencerminan, yang kami gunakan pada butt 5, disebut metode interval (atau metode interval). Menang aktif menang dalam matematika untuk kesempurnaan rasional penyimpangan. Di kelas 9, metode interval lebih rinci.
pantat 6. Untuk nilai parameter apa pun p kuadrat sama dengan x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ada dua akar yang berbeda;
b) ada satu akar;
c) bukan maє -root?
Larutan. Banyaknya akar dari persamaan kuadrat harus dicari sesuai dengan tanda diskriminan pertama D. Dalam hal ini, D = 25 - 4p2 diketahui.
a) Penjajaran bujur sangkar dapat memiliki dua akar yang berbeda, seperti D>0, oleh karena itu, tugasnya adalah membangun penjajaran ketidakrataan 25 - 4r 2 > 0. Kami menghilangkan persamaan ketidakrataan 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Tanda-tanda virusse 4(p – 2.5) (p + 2.5) ditunjukkan pada gambar. 123.
Robimo visnovok, yang tidak merata 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
B) perataan persegi mungkin memiliki satu root, jadi D - 0.
Kami memasukkan lebih banyak, D = 0 untuk p = 2,5 atau p = -2,5.
Sama dengan nilai tsikh parameter yang diberikan kuadrat sama mungkin hanya satu akar.
c) Kuadrat tidak sama dengan akar, seperti D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Kami mengambil 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5) > 0, bintang (div. Gbr. 123) p< -2,5; р >2.5. Dengan nilai tsikh dari parameter yang diberikan, kuadrat tidak memiliki akar.
Vidpovid: a) di p(-2.5, 2.5);
b) pada p = 2,5 abor = -2,5;
c) di r< - 2,5 или р > 2,5.
Mordkovich A.G., Aljabar. Kelas 8: Laut. untuk zagalnosvіt. instalasi - tampilan ke-3., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 hal.: il.
Bantuan untuk anak sekolah online, Unduhan Matematika untuk kelas 8, perencanaan tematik kalender
Linier disebut inkonsistensi bagian kiri dan kanan dari fungsi linier tersebut yang besarnya tidak diketahui. Sebelum mereka, orang dapat melihat, misalnya, kegugupan:
2x-1-x +3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .
1) ketidakrataan Suvori: kapak+b>0 atau kapak+b<0
2) Penyimpangan tidak ketat: kapak+b≤0 atau kapak+b≫ 0
Mari lihat. Salah satu sisi jajar genjang menjadi 7 cm. Berapa panjang sisi yang lain sehingga keliling jajar genjang lebih besar dari 44 cm?
Ayo shukana sisi stok x lihat Kali ini, keliling jajaran genjang akan memiliki representasi (14 + 2x) lihat Ketidakteraturan 14 + 2x > 44 model matematika Soal tentang keliling jajar genjang. Seperti dalam ketidakrataan ini, ganti perubahannya x Pada, misalnya, angka 16, maka kita mengambil ketidakrataan numerik yang benar 14 + 32 > 44. Dalam hal ini, tampaknya angka 16 sama dengan selisih antara 14 + 2x > 44.
Kegugupan Rozvyazanyam sebutkan arti dari perubahan itu, seolah-olah itu adalah binatang buas dari mereka, dalam ketidakrataan numerik yang benar.
Otzhe, kulit dari angka 15.1; 20;73 bertindak sebagai ketidakrataan rozvyazkoy 14 + 2x > 44, dan angka 10, misalnya, bukan rozvyazky yang sama.
Virishiti nerіvnіst berarti memasang semua solusi, atau membawa, bahwa solusi itu tidak ada.
Rumusan rozv'yazannya ketidakrataan mirip dengan rumusan akar kesejajaran. Namun, tidak lazim untuk menyebut "akar kegugupan".
Dominasi kesetaraan numerik dilengkapi dengan kesetaraan virishuvati. Jadi kekuatan inkonsistensi numerik akan membantu mengatasi inkonsistensi.
Kesetaraan Virishuyuchi, kami mengubah yogo nhim, kami akan lebih memaafkan kesetaraan, tetapi meskipun sama dengan yang diberikan. Di balik skema seperti itu, orang tahu konsekuensi dan inkonsistensi. Ketika mengubah persamaan pada yang sama dengan itu, persamaan dikuatkan oleh teorema tentang transfer penambahan dari satu bagian yang sama dengan protilezhnu dan perkalian dari kedua bagian yang sama dengan angka yang sama dengan nol . Dalam kasus rozvyazannі nerіvnіnosti istotna vіdminnіst yogo z vnyannіm, yak berdebat dalam kenyataan bahwa apakah solusi vіnnіnn dapat disalahpahami hanya dengan menetapkan vihіdnnnа. Penyimpangan memiliki cara seperti itu setiap hari, sehingga solusi impersonal tidak mungkin dihadirkan kepada mereka. Untuk itu penting untuk dipahami, sumbu panah<=>- tanda tse setara, chi sama, transformasi. Transformasi disebut setara, atau setara seperti bau busuk tidak mengubah keputusan impersonal.
Aturan serupa untuk iritabilitas rozv'yazanya.
Seolah-olah sesuatu dipindahkan dari satu bagian ketidakrataan ke bagian lain, setelah mengganti tanda dengan yang berlawanan, maka kita menghilangkan ketidakrataan, setara dengan yang diberikan.
Jika Anda mengalikan (membagi) bagian kegugupan yang menyinggung dengan angka positif yang sama, maka kami menghilangkan ketidakrataan yang setara dengan yang diberikan.
Jika Anda mengalikan (membagi) bagian ketidakrataan yang menyinggung dengan angka negatif yang sama, mengganti tanda ketidakrataan dengan perpanjangan, maka kita menghilangkan ketidakrataan, yang setara dengan yang diberikan.
Vikoristovuyuchi qi peraturan menghitung iritabilitas yang lebih rendah.
1) Mari kita lihat inkonsistensi 2x - 5 > 9.
Tse ketidakrataan linier, kita tahu keputusan yogo dan membahas pemahaman utama.
2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 pindah ke bagian kiri dengan tanda yang berlawanan), lalu mereka membagi semuanya dengan 2 dan mungkin x > 7. Kami akan menerapkan solusi kaya untuk semuanya x
Kami telah mengambil arahan positif. Keputusan yang sangat impersonal atau sebagai kegugupan x > 7, atau sebagai interval x(7; ). Dan bagaimana dengan keputusan pribadi tentang kegugupan? Sebagai contoh, x=10- tse pribadi vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- itu juga merupakan varian pribadi dari kegugupan.
Ada banyak keputusan pribadi, tetapi tugas kita adalah mengetahui semua keputusan. Dan keputusannya, sebagai suatu peraturan, tidak bersifat pribadi.
Rozberemo pantat 2:
2) Menghilangkan kegugupan 4a - 11 > a + 13.
Yoga Virishima: sebuah mari kita bergerak dalam satu paruh, 11 pindah ke buku berikutnya, ambil 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 kegugupan mungkin terlihat sebuah<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>sebuah< 8 .
Tezh tampaknya impersonal sebuah< 8 , tapi sudah di poros sebuah.
Vidpovid atau menulis seperti gugup a< 8, либо sebuah(-∞;8), 8 tidak termasuk.
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan kami telah memperluas Kebijakan Privasi, seperti yang dijelaskan, karena kami telah mengumpulkan informasi Anda. Bersikap baiklah, baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan tentang makanan.
Pemilihan informasi pribadi yang dipilih
Di bawah informasi pribadi, data diberikan, karena dimungkinkan untuk memenangkan identifikasi individu penyanyi dan tautan dengannya.
Anda mungkin dimintai informasi pribadi Anda jika Anda menghubungi kami.
Di bawah ini, ada beberapa contoh jenis informasi pribadi, seperti yang dapat kita pilih, dan sebagaimana kita dapat memilih informasi tersebut.
Bagaimana kami mengumpulkan informasi pribadi:
- Jika Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda surel dan sebagainya.
Bagaimana kami mengumpulkan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan lainnya, mengunjungi dan menemukan yang terdekat.
- Dari waktu ke waktu kami dapat vikoristovuvat informasi pribadi Anda untuk memperkuat pengingat penting dan pengingat.
- Kami juga dapat mengumpulkan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti audit, analisis data dan catatan lainnya dengan metode peningkatan layanan, yang kami harap diberikan kepada Anda dengan merekomendasikan layanan kami.
- Saat Anda mengikuti undian berhadiah, kompetisi, atau entri insentif serupa, kami dapat memenangkan informasi, semoga, untuk mengelola program semacam itu.
Pengungkapan informasi kepada orang ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi Anda kepada orang ketiga.
Vinyatki:
- Hal ini diperlukan - menurut hukum, perintah pengadilan, peninjauan kembali, dan / atau atas dasar permintaan publik atau permintaan dari otoritas negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda, bahkan yang lebih penting, bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau tepat untuk keselamatan, menjaga hukum dan ketertiban, atau vipadkiv penting lainnya.
- Pada saat reorganisasi, memperparah atau menjual, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang dikumpulkan oleh kami, orang ketiga - kepada pelaku.
Pelindung informasi pribadi
Kami tinggal di luar negeri - termasuk administratif, teknis dan fisik - untuk perlindungan informasi pribadi Anda dalam bentuk pemborosan, pencurian dan vikoristannya yang tidak bermoral, serta akses yang tidak sah, pengungkapan, perubahan pelanggaran itu.
Menjaga privasi Anda di perusahaan sejenis
Untuk mengubah informasi pribadi Anda sehingga informasi pribadi Anda tetap aman, kami membawa norma kerahasiaan dan keamanan ke kontak kami, dan kami secara ketat mengikuti aturan kerahasiaan.
Hari ini, teman-teman, tidak akan ada ingus dan sentimen setiap hari. Sebagai pengganti mereka, saya akan mengarahkan Anda tanpa kekuatan apa pun untuk mengalahkan salah satu lawan terburuk di kursus aljabar kelas 8-9.
Jadi, Anda memahami semuanya dengan benar: membahas inkonsistensi dengan modul. Mari kita lihat beberapa prinsip utama, untuk bantuannya Anda akan belajar mengatasi hampir 90% dari tugas-tugas tersebut. Dan bagaimana dengan 10% reshtoyu? Nah, kita akan membicarakannya dalam pelajaran yang bagus.
Namun, sebelum itu, bagaimana memilah bagaimana menerimanya di sana, saya ingin menebak dua fakta, yang perlu diketahui. Jika tidak, Anda akan memeriksa pengetahuan materi pelajaran hari ini.
Apa yang perlu Anda ketahui?
Jelas bahwa untuk menyelesaikan inkonsistensi dengan modul, perlu diketahui dua kata:
- Bagaimana kegugupan mengamuk;
- Apa itu modul?
Mari kita mulai dari titik lain.
Fungsi modul
Semuanya sederhana di sini. dua fungsi: aljabar dan grafik. Untuk tongkol - aljabar:
Janji temu. Modulus angka $x$ adalah angka itu sendiri, karena tidak terlihat oleh saya, atau angka, yang berlawanan dengan Anda, seperti $x$ lainnya, masih negatif.
Rekam seperti ini:
\\[\kiri| x \kanan|=\kiri\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]
Sederhananya, modul adalah "angka tanpa minus". Saya sendiri dalam dualitas ini (di sini, dari nomor terakhir, tidak ada yang perlu bekerja, tapi di sini kebetulan mengambil minus di sana) dan saya menggunakan semua lipat untuk siswa-pochatkivtsiv.
Lebih banyak desain geometris. Ini juga bagus untuk diketahui, tetapi kita akan cenderung berjalan ke yang baru dengan cara yang dapat dilipat dan bahkan khusus, pidkhіd geometris berhasil untuk aljabar (spoiler: tidak hari ini).
Janji temu. Biarkan titik $a$ ditandai pada garis bilangan. Modul yang sama $ \ kiri | x-a \right|$ dipanggil dari titik $x$ ke titik $a$ pada baris ini.
Jika Anda ingin mencoret gambar, maka Anda dapat melihatnya di kshtalt tsogo:
Desain grafis modul Jadi apa lagi, dari penunjukan modul, orang langsung melihat kekuatan utama: modulus bilangan selalu sama dengan besarnya. Fakta ini akan menjadi benang merah untuk melalui semua wacana kita hari ini.
Virishennya nerіvnosti. Metode interval
Sekarang mari kita lihat kegugupannya. impersonal, tapi tugas kita sekaligus adalah untuk membunuh virishuvati ingin menjadi yang paling sederhana dari mereka. Tі, scho zvoditsya untuk ketidakteraturan linier, dan metode navіt interval.
Pada topik ini, saya memiliki dua pelajaran hebat (mіzh nshim, lebih banyak, lebih banyak cokelat - saya sarankan vivchiti):
- Metode interval untuk penyimpangan (terutama lihat video);
- Inkonsistensi fraksional-rasional - bahkan pelajaran umum, tetapi kemudian Anda tidak mendapatkan cukup makanan.
Jika Anda tahu segalanya, jika frasa "ayo beralih dari ketidakrataan ke kesetaraan" tidak terdengar seperti Anda sangat lelah membunuh diri sendiri di dinding, maka Anda siap: kami dengan hormat meminta Anda untuk masuk ke pelajaran utama . :)
1. Ketidakteraturan pikiran "Modul kurang dari fungsi"
Ini adalah salah satu tugas yang paling luas dengan modul. Hal ini diperlukan untuk mengatasi ketidakrataan pikiran:
\\[\kiri| f\kanan| \ltg\]
Peran fungsi $f$ dan $g$ dapat berupa polinomial. Terapkan inkonsistensi seperti itu:
\[\begin(align) & \left| 2x+3\kanan| \ltx+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\left| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\akhiri(sejajarkan)\]
Semua bau secara harfiah dalam satu baris di belakang skema:
\\[\kiri| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \benar, benar)\]
Tidak masalah jika modul disimpan, tetapi kita dapat menghilangkan inkonsistensi yang mendasarinya (jika tidak, sama, sistem dua inkonsistensi). Prote cey transfer vrakhovu benar-benar segalanya kemungkinan masalah: jika angka di bawah modul positif, berarti metode berhasil; akscho negatif - semua praktik yang sama; dan navit untuk fungsi rumah yang paling tidak memadai metode $f$ chi $g$ semuanya bekerja sama.
Jelas, salahkan makanannya: tidak bisakah lebih sederhana? Sayangnya, itu tidak mungkin. Siapa yang memiliki seluruh fitur modul.
Vtіm, tetap berpegang pada filosofi. Mari kita nyanyikan setangkai hari ini:
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| 2x+3\kanan| \ltx+7\]
Larutan. Juga, sebelum kita adalah "modul kecil" pikiran nerіvnіst klasik - untuk membuat ulang apa-apa. Latihan untuk algoritma:
\[\begin(align) & \left| f\kanan| \lt g\Panah Kanan -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3\kanan| \lt x+7\Panah kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(sejajarkan)\]
Jangan terburu-buru membuka lengkungan, yang di depannya ada "minus": sebanyak mungkin, dengan tergesa-gesa, Anda akan menikmati pengampunan kiasan.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Tugas itu sampai dua penyimpangan dasar. Secara signifikan virіshennia pada garis numerik paralel:
Peretin banyak
Peretin tsikh berlipat ganda dan akan jelas.
Cocokkan: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]
Larutan. Pesanan sudah sedikit dilipat. Untuk tongkolnya, kami menggunakan modul, mentransfer tambahan lain ke kanan:
\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]
Jelas, kami dihadapkan dengan ketidakrataan baru dari bentuk "modul yang lebih kecil", jadi kami mengizinkan modul untuk algoritma yang sudah ada:
\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]
Axis penularan rasa hormat: izinkan saya memberitahu Anda, saya troch bochenets z kumis dengan belenggu. Ale, saya akan menebak lagi apa meta kunci kami kompeten virishiti nerіvnіst dan otrimati vіdpovіd. Nantinya, jika Anda sudah benar-benar menguasai semua yang terungkap dalam pelajaran ini, Anda bisa memelintir diri sendiri sesuai keinginan: buka lengan, tambah minus, dll.
Dan bagi kami, untuk tongkolnya, kami hanya akan bangun dengan kekurangan kejahatan yang merusak:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kiri(x+1\kanan)\]
Sekarang, semua lengkungan kegugupan yang mendasarinya telah dibuka:
Mari kita beralih ke kegugupan kereta bawah tanah. Kali ini tabnya akan lebih serius:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \kanan.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rata kanan.\]
Kebencian terhadap ketidakrataan bersifat persegi dan dilanggar oleh metode interval (tetapi saya akan memberi tahu Anda: Anda tidak tahu apa itu, lebih baik jangan mengambil modul). Mari kita beralih ke ketidakrataan pertama:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\kiri(x+5\kanan)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\akhir(sejajarkan)\]
Seperti bachimo, di pintu keluarnya menjadi persegi yang tidak rata, bahkan, seperti dasar. Sekarang mari kita lihat kegugupan lain dari sistem. Itu terjadi pada teorema zastosuvat Viet:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\akhir(sejajarkan)\]
Kurangi secara signifikan angka pada dua garis paralel (okrema untuk ketidakrataan pertama dan okrema untuk yang lain):
Yah, saya yakin, dengan memecah sistem ketidakteraturan dengan kami, kami akan mengulangi garis pengganda bayangan: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse vіdpovіd.
Cocokkan: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Saya pikir setelah aplikasi mereka, skema solusinya masuk akal:
- Asimilasi modul, transfer semua tambahan lain ke bagian utama ketidakrataan. Dengan cara ini, kami memperhitungkan inkonsistensi pikiran $\left| f\kanan| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerіvnіst, setelah menyimpan modul untuk skema yang dijelaskan di atas. Pada titik tertentu, perlu untuk beralih dari kegugupan subvarian ke sistem dua virus independen, yang kulitnya dapat diperbaiki sepenuhnya.
- Nareshti, untuk kehilangan solusi dari dua suku kata independen ini - dan yang kita ambil hanyalah sisanya.
Algoritma serupa digunakan untuk kekasaran tipe ofensif, jika modul lebih besar dari fungsinya. Namun, ada setangkai "ale" yang serius. Mari kita bicara tentang qi "ale" sekaligus.
2. Ketidakteraturan pikiran "Modul lebih dari fungsi"
Mereka terlihat seperti ini:
\\[\kiri| f\kanan| \gtg\]
Tampak depan? Sepertinya. Prote vyrisyuyutsya sehingga zavdannya zovsіm dengan cara yang berbeda. Secara formal, skema akan datang:
\\[\kiri| f\kanan| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(align) \right.\]
Dengan kata lain, kita dapat melihat dua poin:
- Di sisi lain, abaikan saja modul - inkonsistensi normal virishhuєmo;
- Mari kita pada dasarnya memperluas modul 3 dengan tanda minus, dan kemudian kita akan mengalikan bagian yang menyinggung dari ketidakrataan dengan 1, yang lebih kecil dari tandanya.
Dalam varian ini, mereka memiliki busur persegi, tobto. mungkin pernikahan dua bisa.
Kembalikan rasa hormat lagi: kita tidak di depan sistem, tapi sukupnist, di vіdpovіdі impersonal mereka bersatu, tetapi tidak berubah. Penting untuk melihat titik depan!
Vzagali, z ob'ednannymi dan peretina di rich uchnіv sutsіlna plutanina, mari kita selesaikan dalam nutrisi tsommu lagi dan lagi:
- "∪" - adalah tanda ob'ednannya. Faktanya, huruf "U" dibuat dengan gaya, seperti yang kita dapatkan dari film bahasa inggris singkatan seperti "Union", tobto. "Persatuan".
- "∩" adalah tanda garis. Omong-omong suara tidak datang, tetapi hanya vinyl seperti yang ditulis sebelum "∪".
Agar lebih mudah diingat, lukis saja sampai tanda-tanda ini, sehingga terlihat kelikh (sumbu saja tidak perlu memanggil saya sekaligus dalam propaganda kecanduan narkoba dan alkoholisme: jika Anda mempelajari semua pelajaran, maka Anda sudah menjadi pecandu narkoba):
Rіznitsya mizh retinom dan ob'єdnanyam mnozhin Dalam terjemahan tse Rusia, itu berarti sebagai berikut: serikat (persediaan) termasuk dalam elemen sendiri dari kedua set, yang tidak kurang dari satu kulit; dan sumbu retina (sistem) hanya mencakup elemen-elemen itu, yang pada saat yang sama berada di pengganda pertama, dan di yang lain. Oleh karena itu, tidak ada lagi kelipatan dari beberapa liburan.
Apakah itu menjadi lebih masuk akal? Dari saya baik. Mari kita lanjutkan untuk berlatih.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]
Larutan. Diemo untuk skema:
\\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right .\]
Kulit virishuemo nerіvnіnі suupnostі:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Maksud saya, saya akan mengalikan kulit dengan garis bilangan, dan kemudian kita akan menggabungkannya:
Kombinasi kelipatan
Sangat jelas bahwa $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Saran: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]
Larutan. Nah, apa? Itu tidak ada - semua sama. Mari kita membahas ketidakrataan dengan modul ke agregasi dua ketidakrataan:
\\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Panah kanan \kiri[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\end(sejajarkan) \kanan.\]
Ini mengurangi iritasi kulit. Sayangnya, root tidak akan ada lagi.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\akhir(sejajarkan)\]
Kegugupan lainnya juga memiliki banyak permainan:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& H=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\akhir(sejajarkan)\]
Sekarang Anda perlu menghitung angka pada dua sumbu - satu sumbu untuk ketidakrataan kulit. Namun, perlu untuk menandai titik-titik dalam urutan yang benar: semakin tinggi angkanya, semakin banyak titik yang dipindahkan ke kanan.
sumbu di sini memeriksa kami. Adapun angka $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ semuanya jelas ) , jadi jumlahnya juga lebih sedikit) , dengan angka $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ lebih besar dari negatif), kemudian dengan sisa pasangan, semuanya tidak begitu jelas. Mana yang lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse jorok mengatur titik-titik pada garis bilangan , vlasne, vіdpovіd.
Jadi mari kita lihat:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Kami mengkonfirmasi akarnya, menghilangkan angka negatif dari kedua sisi ketidakrataan, jadi kami memiliki hak untuk mengkuadratkan sisi yang menyinggung:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Saya rasa saya menyadari bahwa $4\sqrt(13) \gt 3$, bahwa $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, sisa poin pada sumbu akan diatur sebagai berikut:
Vipadok dari akar jelek
Saya kira, kita melihat sukupnіst, itu sebabnya perlu ada joint, dan bukan reshuffle kelipatan shading.
Tanggapan: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\kanan)$
Seperti Bachite, skema kami secara ajaib bekerja baik untuk tugas-tugas sederhana maupun yang sulit. Satu-satunya "tempat lemah" untuk orang seperti itu adalah kebutuhan untuk menyeimbangkan bilangan irasional secara kompeten (dan berbalik: itu tidak lebih dari akar). Alya akan ditahbiskan okremium untuk jatah (dan bahkan pelajaran serius). Dan mari kita pergi.
3. Penyimpangan dengan "ekor" yang tidak terlihat
Kami lolos dari yang terbaik. Harga pikiran yang tidak rata:
\\[\kiri| f\kanan| \gt\kiri| g\kanan|\]
Tampaknya, algoritme, yang akan kita bicarakan sekaligus, lebih baik untuk modul. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє dijamin nevid'єmnі vrazi:
Apa pekerjaan dari tugas-tugas ini? Ingatlah:
Penyimpangan dengan "ekor" yang tidak terlihat dapat menyebabkan bagian yang menyinggung dari dunia alami. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya di tsomu tidak vynikne.
Kami berada di depan kami tsikavitime zvedennya di kotak - vіn modul tidur yang root:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \kanan))^(2))=f. \\akhir(sejajarkan)\]
Sumbu saja tidak perlu ditipu dari akar kuadrat:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\kiri| f \kanan|\ne f\]
Pengampunan impersonal diizinkan pada saat itu, jika Anda lupa menginstal modul! Ale tse zovsіm nsha storіya (tse nіbі rіvnyannya irasional), tse tidak sekaligus zaglyuvatymosya. Mari kita lihat lebih jelas sprat hari ini:
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]
Larutan. Sekali lagi, kami menghormati dua kata:
- Tse tidak suvora nerіvnіst. Krapki pada garis bilangan akan dipatahkan.
- Sisi ofensif dari inkonsistensi tidak terlihat jelas (kekuatan modul: $ \ kiri | f \ kiri (x \ kanan) \ kanan | \ ge 0 $).
Selain itu, kita dapat menyamakan bagian yang tidak rata dari ketidakrataan untuk menghilangkan modul dan menghilangkan tugas menggunakan metode interval terbaik:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\akhir(sejajarkan)\]
Di sisa tahap, saya sedikit curang: mengubah urutan penambahan, memperpendek paritas modul (sebenarnya, mengalikan $1-2x$ dengan -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ ) kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Virishuemo dengan metode interval. Mari kita beralih dari ketidakrataan ke keselarasan:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\akhir(sejajarkan)\]
Rupanya, akarnya ditemukan pada garis bilangan. Sekali lagi: kumis bintik farbovani, pecahan gugup - bukan Suvora!
Zvіlnennya sesuai dengan tanda modul
Saya kira bagi mereka yang sangat tidak kenal kompromi: kami mengambil tanda-tanda dari ketidakrataan lainnya, seolah-olah bula ditulis sebelum transisi ke persamaan. Saya wilayah zafarbovuyemo, yakі perlu di ketidakrataan yang sama. Vipad kami memiliki $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Nah, dari saya semuanya. Tugas sudah berakhir.
Saran: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]
Larutan. Robimo semua sama. Saya tidak berkomentar - hanya mengagumi urutan tindakan.
Mari kita ambil persegi:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Metode interval:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Panah kanan x = -1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Panah Kanan D=16-40 \lt 0\Panah Kanan \varnothing. \\akhir(sejajarkan)\]
Hanya satu akar pada garis bilangan:
Vidpovid - interval tsiliy
Saran: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Sedikit rasa hormat untuk sisa kepala. Seolah-olah benar-benar menghormati salah satu siswa saya, penghinaan sub-modul jelas positif dalam kegelisahan ini, sehingga tanda modul dapat dihilangkan tanpa membahayakan kesehatan.
Ale tse sudah zovsіm nshiy rіven razdumіv bahwa nshі pіdkhіd yogo dapat secara mental disebut metode nasledkіv. Tentang yang baru di okremou urotsi. Dan sekarang mari kita beralih ke bagian terakhir dari pelajaran hari ini, yaitu algoritma universal, yang dipraktikkan selamanya. Navit kemudian, jika semua yang maju ternyata tidak berdaya.
4. Metode pencacahan opsi
Dan mengapa tidak semua priyomi membantu? Bagaimana ketidakrataan tidak disebabkan oleh ekor yang tidak terlihat, bagaimana modul tidak dapat dimasukkan, bagaimana memulainya?
Kemudian artileri besar dari semua matematika memasuki panggung - metode penghitungan. Ratusan penyimpangan dari modul terlihat seperti ini:
- Tuliskan semua pіdmodulnі vrazi dan samakan dengan nol;
- Rozvyazati otrimani rіvnyannya bahwa vіznázchiti znaydenі korenі pada satu garis lurus numerik;
- Langsung rozіb'єtsya di kіlka dіlyanok, bagian tengah dari modul kulit tersebut dapat memperbaiki tanda dan ini jelas rozkrivаєєtsya;
- Virishiti nerіvnіst pada kozhnіy dilyanci tersebut (Anda dapat melihat root-cordoni, otrimani di poin 2 untuk supremasi). Hasil asosiasi - tse i bude vіdpovіd.
Nah ya? Lemah? Mudah! Untuk waktu yang lama. Mari kita lihat secara praktis:
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\\[\kiri| x+2 \kanan| \lt\kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]
Larutan. Omong-omong tsya jangan kesal $ \ kiri | f\kanan| \lt g$, $\left| f\kanan| \gt g$ atau $\left| f\kanan| \lt\kiri| g \benar|$, tidak apa-apa.
Kami menulis virazi submodular, menyamakannya dengan nol dan kami tahu akarnya:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \& x-1=0\Panah kanan x=1. \\akhir(sejajarkan)\]
Bersama-sama kami memiliki dua akar, yang memecah angka menjadi tiga plot, di tengah-tengah kulit ini modul terbuka dengan jelas:
Memisahkan garis bilangan dengan nol dari fungsi submodular
Mari kita lihat kulit okremo.
1. Berikan $x \lt -2$. Todi menghina pіdmodulnі virazi negatif, saya vihіdna nerіvnіst menulis ulang seperti ini:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(align)\]
Zdobuli dosit hanya obmezhennya. Mari bergerak yoga dengan sisa uang saku yang $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Jelas bahwa mengubah $x$ tidak boleh kurang dari -2 dalam semalam, tetapi lebih dari 1,5. Tidak ada solusi untuk bisnis ini.
1.1. Okremo lihat vipadok di dekat barisan $x=-2$. Mari kita bayangkan angka ini tanpa adanya inkonsistensi dan dapat diverifikasi: mengapa menang?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \kiri| -3 \kanan|-2-1.5; \&0\lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\akhir(sejajarkan)\]
Jelas bahwa ahli bahasa telah menipu kita sampai pada titik ketidakrataan yang luar biasa. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh salah, $x=-2$ jangan masuk vіdpovіd.
2. Sekarang berikan $-2 \lt x \lt 1$. Modul perpustakaan sudah dikembangkan dengan plus, tetapi yang benar masih dengan minus. Maemo:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\akhir (sejajarkan)\]
Saya mengubahnya lagi dengan vikidnoy vimogoy:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Saya memperbarui solusi impersonal kosong, tidak ada pecahan angka seperti itu, yang kurang dari -2,5 pada saat yang sama, dan lebih dari -2.
2.1. Saya memperbarui vipadok okremy: $x = 1 $. Mari kita bayangkan bahwa jalan keluarnya tidak rata:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt\kiri| 0 \kanan|+1-1.5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\akhir(sejajarkan)\]
Mirip dengan “private drop” depan, angka $x=1$ jelas tidak termasuk dalam drop.
3. Sisa potongan lurus: $x \gt 1$. Di sini, semua modul dilengkungkan dengan tanda plus:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
Saya kembali memikirkan kembali banyaknya pertukaran eksternal:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \Baik)\]
Nah, dapatkan itu! Kami tahu intervalnya, yang akan menjadi povіddu.
Saran: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Nasamkinets - satu hal, karena, mungkin, menyelamatkan Anda dari pengampunan buruk ketika tugas nyata terpenuhi:
Virishennya nerіvіvnosti z modules zvіch sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - nvіlі vіdrіzki. Titik-titik yang terisolasi menjebak lebih lambat. Lebih mungkin untuk menjebak sehingga antara solusi (kіnets vіdrіzka) melampaui batas-batas rentang yang dianalisis.
Karena, seolah-olah penjagaan ("vipadki pribadi" ini sendiri) tidak memasuki penjaga, maka mayzhe, bernyanyi, jangan pergi ke penjaga dan area hak jahat untuk memasuki penjagaan ini. navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, yakіs oblastі navpakі tezh akan menjadi vіdpovіdyami.
Ingat tentang hal itu, jika Anda mengubah keputusan Anda.
Dan inkonsistensi rasional hari ini dalam obsyazy umum dapat dibalik. Lebih tepatnya, tidak hanya semua orang yang bisa melakukan virisuvate. Hanya sedikit orang yang bisa bekerja.
Klitschko
Pelajaran Tsey akan sulit. Lantainya zhorst, jadi sebelum yoga berakhir, ini kurang dari Vibran. Untuk itu, sebelum tongkol membaca, saya sarankan Anda membersihkan layar wanita, usus, anak-anak wanita dan ...
Garazd itu, benar-benar semuanya sederhana. Ada kemungkinan bahwa Anda telah menguasai metode interval (namun Anda belum menguasainya - saya sarankan untuk membalik dan membaca) dan telah belajar mengatasi ketidakrataan bentuk $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ anggota kaya atau anggota kaya tambahan.
Saya menghargai bahwa tidak penting bagi Anda untuk bernyanyi, misalnya, sumbu permainan seperti itu (sebelum pidato, cobalah untuk pemanasan):
\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\kiri(2((x)^(2))-3x-20 \kanan)\kiri(x-1 \kanan)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]
Sekarang trochs dapat dilipat dan kita dapat melihat tidak hanya istilah yang kaya, tetapi juga nama-nama pecahan rasional dari pikiran:
di mana $P\left(x \right)$ $Q\left(x \right)$ itu sendiri adalah suku kaya dalam bentuk $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, atau ada istilah kaya lainnya.
Tse i bude nerіvnіst rasional. Momen penting adalah adanya perubahan $x$ pada bannerman. Misalnya, sumbu ketidakrataan rasional:
\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \kanan))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \kanan))\ge 0. \\\end(align)\]
Dan tse tidak rasional, tetapi zvichaynisinka nerіvnіst, karena dilanggar oleh metode interval:
\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]
Melompat ke depan, saya akan memberi tahu Anda sekarang: setidaknya ada dua cara untuk menangani inkonsistensi rasional, tetapi masih mungkin untuk mengerjakan metode interval yang sudah kita ketahui. Untuk ini, pertama-tama, mari kita cari tahu caranya, mari kita tebak fakta-fakta lama, jika tidak materi baru tidak akan berguna.
Apa yang perlu Anda ketahui?
Tidak banyak fakta penting. Benar, kita membutuhkan lebih sedikit chotiri.
Rumus Singkat
Jadi, jadi: bau busuk akan pereslіduvaty kami protyag kami program matematika shkіlnoї. Saya di universitas juga. Kita perlu banyak menyelesaikan formula, tetapi kita tidak perlu lebih dari ini:
\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \kanan)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\kanan); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\kiri(ab \kanan)\kiri(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\Baik). \\ \end(sejajarkan)\]
Perhatikan sisa dua rumus - jumlah dari jumlah dan selisih kubus (dan bukan jumlah dari jumlah eceran!). Sangat mudah untuk diingat, untuk mengingat bahwa tanda busur pertama adalah tanda zbіgaєtsya zі dari viraz eksternal, dan dalam tanda berlawanan lainnya dari virazu eksternal.
Penjajaran linier
Yang paling sederhana sama dengan bentuk $ax+b=0$, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat yang sama, apalagi $a\ne 0$. Kesetaraan seperti itu hanya dibalik:
\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(sejajarkan)\]
Saya akan menetapkan bahwa saya memiliki hak untuk membagi dengan koefisien $a$, bahkan jika $a\ne 0$. Tsya vomoga sepenuhnya logis, pecahan untuk $a=0$ kami mengambil sumbu yang:
Pertama-tama, siapa pun yang setara tidak memiliki perubahan $x$. Tampaknya, itu bukan kesalahan kami pada bentezhity (sepertinya kami menjebak, katakanlah, dalam geometri, dan kami sering memerah susu), tetapi tetap saja, kami masih tidak memiliki persamaan linier.
Dengan cara lain, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna deposit kurang dari koefisien $b$. Jika $b$ adalah nol, maka persamaan kita mungkin terlihat seperti $0=0$. Kecemburuan Tsya adalah virna zavzhda; jika tidak, $x$ adalah angka (terdengar seperti ini: $x\in \mathbb(R)$). Jika koefisien $b$ tidak sama dengan nol, maka persamaan $b=0$ menjadi pemenang, maka. tidak ada jawaban (direkam $x\in \varnothing$ dan membaca "solusi kosong kosong").
Untuk menghilangkan semua lipatan ini, ambil saja $a\ne 0$, sehingga antroch tidak mengelilingi kita dalam pikiran yang jauh.
Penjajaran persegi
Saya akan menebak apa yang disebut sumbu persegi:
Di sini levoruch adalah istilah yang kaya dari langkah lain, terlebih lagi, saya mengubah $a\ne 0$ (dan sekarang alih-alih pemerataan kuadrat, kami mengambilnya secara linier). Virishuyutsya jadi rivnyannya melalui diskriminan:
- Seperti $D \gt 0$, kami mengambil dua akar yang berbeda;
- Jika $D = $0, maka akan ada satu root, dan multiplisitas lain (berapa biaya untuk multiplisitas dan bagaimana memastikan tentang tiga trohi kehidupan). Atau dapat dikatakan bahwa ada dua akar yang sama;
- Untuk $D \lt 0$, tidak ada akar, dan tanda suku kaya $a((x)^(2))+bx+c$ untuk setiap $x$ diganti dengan tanda koefisien $ sebuah$ Itu, to the point of speech, bahkan fakta klise, tentang yang satu mereka lupa tentang rozpo_sti selama satu jam pelajaran aljabar.
Akarnya dihormati untuk semuanya dengan rumus:
\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]
Zvіdsi, sebelum pidato, obmezhennya pada diskriminan. Akar kuadrat adje dari bilangan negatif tidak digunakan. Karena akar cendekiawan kaya memiliki bubur motor di kepala mereka, saya secara khusus menuliskan seluruh pelajaran: apa akar dalam aljabar dan bagaimana rahuvati - saya bahkan merekomendasikan untuk membacanya.
Podії z pecahan rasional
Semua yang tertulis di atas, Anda tahu, mereka menggunakan metode interval. Dan sumbu yang dapat kita analisis sekaligus, tidak dapat dianalogikan dengan masa lalu, adalah fakta yang benar-benar baru.
Janji temu. Rasional drіb - tse viraz mind
\[\frac(P\kiri(x \kanan))(Q\kiri(x \kanan))\]
di mana $P\left(x \right)$ dan $Q\left(x \right)$ adalah istilah kaya.
Jelas bahwa mudah untuk menghilangkan ketidakrataan dari fraksi seperti itu - cukup untuk menghubungkan tanda "lebih" atau "kurang" dengan tangan kanan. Saya memberikan sedikit kepada saya terlihat, scho virisuvati jadi zavdannya - satu puas, semuanya ada sederhana.
Masalah dimulai bahkan ketika seseorang memiliki sprat yang jelas dari pecahan tersebut. Anda dapat membawa mereka ke spanduk tidur - dan pada saat yang sama sejumlah besar pengampunan imajinatif diperbolehkan.
Oleh karena itu, untuk keberhasilan pencapaian persamaan rasional, perlu dengan tegas memperoleh dua keterampilan:
- Dekomposisi suku kaya $P\left(x \right)$ menjadi faktor;
- Vlasne, membawa tembakan ke spanduk tidur.
Bagaimana cara meletakkan segmen pengganda? Jenis sederhana. Mari kita memiliki anggota pikiran yang kaya
Kami menyamakan yoga dengan nol. Kami mengambil pemerataan langkah $n$-th:
\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]
Harus diakui, kami telah melanggar nilai kesetaraan dan menghilangkan akar $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (jangan mencibir: vipadkіv yang lebih besar dari root tidak akan memiliki lebih dari dua). Dalam hal ini, istilah kaya keluaran kami dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \kanan)\cdot \kiri(x-((x)_(2)) \kanan)\cdot ...\cdot \kiri(x-((x)_( n)) \kanan) \end(sejajarkan)\]
Dari saya semua! Hati-hati: koefisien senior $((a)_(n))$ tidak dapat ditemukan - kami akan menambahkan pengganda di depan belenggu, dan jika perlu, Anda dapat menambahkannya ke apakah s tsikh belenggu atau tidak ( latihan menunjukkan bahwa dengan $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ akar tengah mayzhe zavzhdi pecahan).
Pengelola. Tanya Viraz:
\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]
Larutan. Untuk pertama kalinya, kami mengagumi spanduk: semua stink adalah binomial linier, dan tidak ada yang bisa ditambahkan ke pengganda. Jadi mari kita masukkan angka ke dalam pengganda:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\kanan)\kiri(x-1\kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kiri(x+2 \kanan)\kiri(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kiri(x +2 \kanan)\kiri(2-5x \kanan). \\akhir(sejajarkan)\]
Untuk mengubah rasa hormat: untuk anggota kaya lainnya, koefisien senior "2" untuk kapasitas terbaru untuk skema kami bersandar di depan haluan, dan kemudian kami akan memberikan kontribusi untuk haluan pertama, pecahan di sana rusak .
Hal yang sama menjadi di bagian kaya ketiga, hanya ada urutan belitan terlipat lainnya. Namun, koefisien "−5" sebagai hasil dari pengenalan ke busur lain (ingat: Anda dapat memasukkan pengali dalam satu dan hanya dalam satu busur!), yang menyelamatkan kita dari inkonsistensi yang terkait dengan akar tembakan.
Adapun anggota kaya pertama, semuanya sederhana di sana: akar pertama dikocok baik secara standar melalui diskriminan, atau untuk teori Viet.
Mari kita beralih ke vihіdnogo virazu dan menulis ulang yogo dengan angka yang dibagi menjadi pengganda:
\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \kanan))(2x-3)-\frac(\kiri(x+2 \kanan)\kiri(2-5x \kanan))(x+2)= \\ =\kiri(x+5 \kanan)-\kiri(x-1 \kanan)-\kiri(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \akhir(matriks)\]
Saran: $5x+4$.
Seperti bachite, tidak ada yang melipat. Matematika tidak cukup untuk kelas 7-8 - itu saja. Arti dari semua transformasi di dalamnya adalah poligaє, sehingga lebih mudah untuk menghilangkan lipatan dan gantung yang mengerikan, yang mudah untuk dipraktikkan.
Ale, jangan khawatir tentang itu. Untuk itu, sekaligus, kita bisa melihat lebih serius pada tugas tersebut.
Ale, kami akan memisahkannya dari awal, bagaimana membawa dua pecahan ke spanduk tidur. Algoritmanya sangat sederhana:
- Letakkan spanduk di pengganda;
- Lihatlah spanduk pertama dan tambahkan ke yang baru pengganda yang dimiliki spanduk lain, lindungi yang pertama. Otrimany tvr akan menjadi spanduk tidur;
- Z'yasuvati, pengganda tersebut tidak mengambil tembakan kulit, sehingga panji-panji menjadi sama dengan api.
Mungkin, seluruh algoritme akan diberikan kepada Anda hanya dengan teks, dengan cara yang kaya akan tulisan. Karena itu, kami akan menganalisis semuanya dengan contoh spesifik.
Pengelola. Tanya Viraz:
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]
Larutan. Bagian virishuvati ob'єmnі zavdannya seperti itu lebih baik. Kami menuliskan mereka yang berdiri di lengkungan pertama:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]
Di vіdminu vіd depan zavdannya, di sini dari bannermen semuanya tidak begitu sederhana. Mari kita masukkan ke dalam pengganda kulit dari mereka.
Trinomial kuadrat $((x)^(2))+2x+4$ tidak dapat dikalikan, pecahan $((x)^(2))+2x+4=0$ yang sama tidak dapat di-root (diskriminan negatif). Kami meninggalkan yoga tanpa perubahan.
Tanda lain - suku perkalian kubik $((x)^(3))-8$ - sehubungan dengan selisih pangkat tiga dan mudah untuk menyebarkan rumus perkalian pendek:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]
Tidak ada lagi yang dapat dibagi menjadi pengganda, pecahan di busur pertama berdiri binomial linier, dan di busur lain - kita sudah tahu konstruksinya, karena tidak ada akar nyata.
Nareshti, spanduk ketiga adalah biner linier, yang tidak dapat ditata. Di peringkat ini, kecemburuan kita akan terlihat di masa depan:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \kanan))-\frac(1)(x-2)\]
Sangat jelas bahwa $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ akan menjadi penyebut yang sama, dan untuk mengurangi semua pecahan ke yang baru satu, pecahan pertama perlu dikalikan $\left(x-2 \right)$, dan saya akan tetap di $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Mari kita singkirkan lebih sedikit untuk membawa seperti ini:
\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \kanan))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \kanan))= \\ =\frac(x\cdot \kiri(x-2 \kanan)+\kiri(((x)^(2))+8 \kanan)-\kiri(((x) )^(2))+2x+4 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\ kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan)). \\ \akhir(matriks)\]
Kembalikan rasa hormat ke baris lain: jika spanduk sudah menyala, maka. alih-alih tiga tembakan okremikh, kami menulis satu yang bagus, bukan varto, untuk sekali ini, busurnya terhindar. Lebih cepat untuk menulis baris di depan Anda dan menandakan bahwa, katakanlah, sebelum pecahan ketiga, berdiri minus - dan Anda tidak akan pergi ke mana pun, tetapi "menggantung" di buku nomor di depan haluan. Tse untuk mengampuni Anda impersonal pengampunan.
Nah, di sisa baris letakkan angka-angka pada pengganda. Tim lebih besar, yang merupakan kuadrat yang tepat, dan kami akan kembali membantu rumus perkalian cepat. Maemo:
\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Sekarang kita akan menyelesaikannya sendiri dengan busur lain. Di sini saya hanya akan menulis sedikit ayat tentang kesetaraan:
\[\begin(matriks) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2\cdot \kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x-2 \ kanan) )\cdot \kiri(x+2 \kanan))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x -2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \ Baik). \\ \akhir(matriks)\]
Mari kita beralih ke hari terakhir dan mengagumi TV:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 ) \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]
Cocokkan: \[\frac(1)(x+2)\].
Arti tugas ini sama, seperti di depan: tunjukkan seberapa banyak Anda dapat bertanya secara rasional, bagaimana menuju transformasi berikutnya dengan alasan.
Sekarang, jika Anda tahu segalanya, mari kita beralih ke topik utama pelajaran hari ini - puncak dari ketidaksetaraan rasional. Tim lebih, setelah persiapan seperti itu untuk kegugupan Anda sendiri, Anda akan berbunyi seperti pot.
Cara utama untuk mengatasi inkonsistensi rasional
snuє yak setidaknya dua langkah untuk razv'yazannya rasional nerіvіvnosti. Sekilas, kita akan melihat salah satunya - yang diterima secara luas oleh kursus matematika sekolah.
Ale, bolak-balik, detail yang sangat penting. Semua inkonsistensi dibagi menjadi dua jenis:
- Suvori: $f\left(x \kanan) \gt 0$ atau $f\left(x \right) \lt 0$;
- Tidak ketat: $f\left(x\right)\ge 0$ atau $f\left(x \right)\le 0$.
Penyimpangan jenis lain dapat dengan mudah dikurangi menjadi yang pertama, serta kecemburuan:
Tidak banyak "tambahan" $f\left(x \right)=0$ untuk menghasilkan hal yang tidak dapat diterima seperti poin farbovanie - kita harus mengetahuinya dalam metode interval. Jika tidak, tidak ada perbedaan antara ketidakteraturan ketat dan tidak ketat, jadi mari kita lihat algoritma universal:
- Pilih semua elemen bukan nol dari satu sisi dalam bentuk ketidakrataan. Misalnya, levoruch;
- Bawa semua pecahan ke spanduk standar (seperti pecahan muncul sebagai sprat), bawa yang serupa. Kemudian, sejauh mungkin, kami akan meletakkan di buku nomor dan spanduk di pengganda. Jadi mengapa lagi kita menghilangkan ketidakrataan dari bentuk $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - tanda ketidakrataan.
- Mari kita atur angkanya menjadi nol: $ P \ kiri (x \ kanan) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... kembali ke nol: $Q \kiri(x \kanan)\ne 0$. Memang benar bahwa selisihnya sama dengan $Q\left(x \right)=0$, dan kita ambil akarnya $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (tidak mungkin ada lebih dari tiga dalam file referensi dari root semacam itu).
- Semua akar (dan dengan bintang, dan tanpa) dianggap pada satu garis lurus numerik, apalagi, akar tanpa bintang adalah farbovanized, dan dengan bintang - di vakolota.
- Kami menempatkan tanda "plus" dan "minus", pilih interval itu, sesuai kebutuhan. Jika ketidakrataan terlihat $f\left(x \right) \gt 0$, maka interval yang ditandai dengan "plus" akan diulang. Jika $f\left(x \right) \lt 0$, maka kita bertanya-tanya pada interval dengan minus.
Latihan menunjukkan bahwa hal yang paling sulit adalah menyebutkan paragraf 2 dan 4 - transformasi yang kompeten dan penempatan angka yang benar dalam urutan pertumbuhan. Nah, untuk sisa waktu, lebih hormat: kami selalu memasang tanda, berputar-putar sisa ketidakrataan, dicatat sebelum transisi ke yang sama. Ini adalah aturan universal, yang lebih rendah daripada metode interval.
Skema yang sama . Mari kita sibuk.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]
Larutan. Di hadapan kita ada total keniscayaan dari bentuk $f\left(x \right) \lt 0$. Jelas, poin 1 dan 2 dari skema kami sudah jahat: semua elemen ketidakrataan dipilih oleh levoruch, tidak ada yang perlu dibawa ke spanduk tidur. Mari kita beralih ke paragraf ketiga.
Mari kita samakan angkanya dengan nol:
\[\begin(align) & x-3=0; \&x=3. \end(sejajarkan)\]
spanduk:
\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(sejajarkan)\]
Untuk setiap area, seseorang menempel, dan bahkan untuk sebuah ide perlu untuk menuliskan $x+7\ne 0$, sehingga ODZ membantu (tidak mungkin untuk membagi ke nol, sumbu adalah semua). Tapi kemudian kami memberi kami bintik-bintik, yang berasal dari spanduk, jadi setelah Anda membuat tab, jangan varto - tulis tanda kesetaraan dengan cara mencoret-coret dan jangan khawatir. Tidak ada yang bisa diturunkan dengan harga tertentu.
Poin keempat. Penting untuk menghilangkan akar pada garis bilangan:
Poin kumis vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora
Berikan rasa hormat: semua poin vikoloty. Dan ini sudah tidak penting: dari buku angka, poinnya berasal dari spanduk.
Kami mengagumi tanda-tandanya. Mari kita ambil angka $((x)_(0)) \gt 3$. Misalnya, $((x)_(0))=100$ (sebagai alternatif, dengan keberhasilan yang sama, Anda dapat mengambil $((x)_(0))=3.1$ atau $((x)_(0) ) = $1.000.000). Kami ambil:
Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv kita memiliki area positif. Dan ketika melewati kulit akar, tandanya berubah (jadi Anda tidak akan memulai, tetapi lebih baik). Mari kita beralih ke poin kelima: kita menempatkan tanda-tanda dan memilih kebutuhan:
Kami beralih ke sisa kegugupan, seperti bula sebelum ryvnyan rozvyazannya. Vlasne, waktu hampir habis, bahkan jika mereka tidak saling mengalahkan setiap hari.
Oskіlki perlu menghilangkan ketidakrataan bentuk $f\left(x \right) \lt 0$, saya telah menaungi interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - dalam nilai tunggal dengan tanda "minus". Tse vіdpovіd.
Saran: $x\in \left(-7;3 \right)$
Dari saya semua! Hiba sulit? Tidak, itu tidak sulit. Benar, tugasnya lebih mudah. Pada saat yang sama, kita dapat memilah-milah kerusakan dan melihat inkonsistensi yang "rumit". Di sisi lain, saya tidak akan lagi memberikan presentasi seperti itu - saya hanya akan menyoroti momen-momen penting. Zagalom, mari kita atur yoga sedemikian rupa sehingga akan dilakukan pada chi spіtі robot independen.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]
Larutan. Tidak ada salahnya melihat $f \ left (x \ kanan) \ ge 0 $. Semua elemen bukan nol dipilih jahat, tidak ada tanda yang berbeda. Ayo pergi ke Rivnyan.
tanggal:
\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Panah kanan ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(sejajarkan)\]
Spanduk:
\[\begin(align) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(sejajarkan)\]
Saya tidak tahu apa masalahnya ketika saya mengaturnya, tetapi root tidak berjalan lebih baik: penting untuk menempatkannya pada garis lurus numerik. bahkan dengan root $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ semuanya kurang lebih jelas (hanya ada satu angka positif - itu akan menjadi tangan kanan), kemudian $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$
Z'yasuvati tse dimungkinkan, misalnya, seperti ini:
\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ) ))\]
Maaf, saya tidak perlu menjelaskan mengapa perbedaan numerik adalah $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Karena perlu, saya sarankan menebak cara membuat diy yang menang dengan pecahan.
Dan yang kami maksud adalah ketiga akar pada garis lurus numerik:
Krapki dari buku nomor zafarbovani, dari spanduk - vikolot
Kami menempatkan tanda-tanda. Misalnya, Anda dapat mengambil $((x)_(0))=1$ dan mengubah tanda setiap titik:
\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]
Sisa kegugupan sebelum menyamai adalah $f\left(x \right)\ge 0$, jadi kita harus mengklik tanda plus.
Mereka mengambil dua pengali: satu adalah ganda yang signifikan, dan yang lainnya adalah skor langsung pada garis bilangan.
Tanggapan: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$
Penting untuk menghormati jumlah angka, karena kami mewakili tanda pada interval yang tepat. Benar-benar nomor podstavlyat neobov'yazkovo dekat dengan akar yang tepat. Anda dapat mengambil milliardi atau menyebutnya "plus-non-luar biasa" - dalam setiap kasus, tanda anggota kaya, yang berdiri di busur, numeralis atau bannerman, ditandai secara eksklusif oleh tanda koefisien senior.
Mari kita sekali lagi melihat fungsi $f\left(x \right)$ untuk ketidakrataan lainnya:
Catatan ini memiliki tiga istilah kaya:
\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\kiri(x \kanan)=11x+2; \&Q\kiri(x\kanan) = 13x-4. \end(sejajarkan)\]
Semua vokal adalah binomial linier, dan semua koefisien senior (angka 7, 11 dan 13) adalah positif. Kemudian, ketika membuktikan busur angka besar, divisi kaya itu sendiri akan menjadi positif.
Tse dapat dibangun secara dangkal lipat, sedikit di belakang, jika kita mengerti itu mudah dilakukan. Dalam inkonsistensi yang serius, penggantian "ketidaklengkapan plus" akan memungkinkan kita untuk mengubah tanda lebih cepat, lebih rendah dari $((x)_(0))=100$ standar.
Kami akan segera tutup mulut dengan tugas-tugas seperti itu. Mari kita lihat cara alternatif untuk mengungkap inkonsistensi dribno-rasional.
Cara alternatif
Resepsi ini disarankan kepada saya oleh salah satu murid saya. Saya sendiri tidak menghormatinya dengan cara apa pun, tetapi latihan telah menunjukkan bahwa banyak belajar lebih efektif dalam mengatasi kegugupan sedemikian rupa.
Otzhe, vyhіdnі danі sami. Hal ini diperlukan untuk menghilangkan inkonsistensi tembakan-rasional:
\[\frac(P\kiri(x \kanan))(Q\kiri(x \kanan)) \gt 0\]
Mari kita berpikir: mengapa istilah kaya $Q\left(x \right)$ "lebih tinggi" daripada istilah kaya $P\left(x \right)$? Bagaimana seharusnya kita melihat kelompok akar yang lebih besar (dengan atau tanpa bintang), memikirkan titik-titik, dll.? Semuanya sederhana: pecahan memiliki area yang ditentukan, itu bagus untuk setiap drіb maє rasa kurang dari itu, jika itu adalah tanda nol.
Dalam hal lain, antara pembilang dan pembuat panji itu tidak mudah: kita hanya menyamakannya dengan nol, kita bercanda tentang akarnya, lalu kita bersungguh-sungguh pada garis lurus numerik. Lalu mengapa tidak mengganti garis tembakan (sebenarnya - tanda rozpodіlu) dengan pengganda terbesar, dan semua ODZ membantu meresepkan kegugupan yang tampaknya okremoi? Misalnya seperti ini:
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]
Untuk menghormati: pidhіd seperti itu diperbolehkan untuk menyebut tugas dengan metode interval, tetapi dalam hal ini tidak mungkin untuk memperumit keputusan. Aje semua sama, kita dapat meningkatkan istilah kaya $Q\left(x \right)$ menjadi nol.
Mari kita lihat cara kerjanya pada tugas nyata.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]
Larutan. Sekali lagi, mari kita beralih ke metode interval:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]
Ketidakrataan pertama adalah dasar. Samakan lengkungan kulit dengan nol:
\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Panah kanan ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]
Dengan nerivnistyu lain, semuanya sederhana:
Kami menetapkan titik $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$ pada garis bilangan. Kami bau vikolot, skіlki nerіvnіst suvore:
Bintik kanan muncul sebagai gadis gadis. Tse baik-baik saja.Beri hormat pada titik $x=11$. Keluar, seperti "dvіchi vykolot": dari satu sisi, kami vikolyuєmo melalui keparahan kegugupan, dari sisi lain - melalui kekuatan tambahan ODZ.
Memiliki semacam vipadku, tse hanya akan dipukuli sampai ke intinya. Itulah sebabnya kami menempatkan tanda-tanda ketidakrataan $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - tetap, seperti yang kami perjuangkan sebelumnya, saat kami mulai virishuvati sama:
Kami tergelitik oleh area positif, tetapi kami dapat melihat ketidakseimbangan dalam pikiran $f\left(x \kanan) \gt 0$ - i zafarbuєmo. Tidak ada lagi waktu untuk menuliskan vіdpovіd.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$
Pada contoh keputusan ini, saya ingin menjaga Anda di hadapan pengampunan yang luas di antara siswa paruh baya. Dan untuk diri Anda sendiri: jangan buka haluan penyimpangan! Navpaki, coba sebarkan semuanya di pengganda - lebih baik menanyakan solusi dan membebaskan Anda dari masalah impersonal.
Sekarang mari kita coba sesuatu yang lebih terlipat.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]
Larutan. Tidak ada salahnya untuk melihat $ f \ kiri (x \ kanan) \ le 0 $, jadi di sini Anda harus dengan hormat mengikuti poin zafarbovannymi.
Mari kita beralih ke metode interval:
\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(align) \right.\]
Mari kita beralih ke penyelarasan:
\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Panah Kanan((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Panah kanan ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(sejajarkan)\]
Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:
Semua akar yang dikurangi ditampilkan pada garis bilangan:
Seperti titik sekaligus dan vikolot, dan farbovan, itu dihormati oleh vikolotSaya tahu dua poin "tumpang tindih" satu lawan satu - itu normal, jadi pastikan. Hal ini penting, kurang masuk akal, apa titik, ditunjuk sekaligus untuk vikoloty dan berkerut, pada kenyataannya, vikoloty. tobto. "Vikolyuvannya" adalah diy yang kuat, lebih rendah "zafarbovannya".
Sangat logis, bahkan jika kita memilih poin, ingin menambahkan tanda fungsi, tetapi jangan ambil bagian dalam pertunjukan itu sendiri. Jadi, pada titik tertentu, nomor tersebut berhenti mendominasi kami (misalnya, tidak sampai ke ODZ), kami bersumpah dengan itu sampai akhir tugas.
Zagalom, untuk berfilsafat. Kami menempatkan tanda dan interval zafarbovuyemo, seperti yang ditandai dengan tanda minus:
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.
Saya ingin memperbarui rasa hormat Anda untuk tujuan:
\[\kiri(2x-13 \kanan)\kiri(12x-9 \kanan)\kiri(15x+33 \kanan)=0\]
Sekali lagi: jangan pernah membuka tangan orang yang setara! Anda lebih baik mengemasi tas Anda. Ingat: dobutok sama dengan nol, jika Anda ingin salah satu pengali sama dengan nol. Otzhe, Dane Rivnyannya hanya "menyebar" untuk embel-embel, seolah-olah mereka melanggar di depan kami.
Bentuk multiplisitas akar
Dari hari-hari sebelumnya mudah untuk diingat bahwa lipatan terbesar adalah menjadi yang paling tidak konsisten, menjadi orang yang harus menjahitnya untuk bintik-bintik.
Tetapi di dunia bahkan ada yang lebih jahat - itu adalah kelipatan dari akar kegugupan. Di sini jahitan sudah dibawa tidak di belakang titik zafarbovanimi di sana - di sini tanda ketidakrataan mungkin tidak berubah saat melewati titik.
Kami belum melihat sesuatu yang serupa di area ini (walaupun masalah serupa sering ditemukan dalam metode interval). Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:
Janji temu. Akar sama dengan $((\left(x-a \right))^(n))=0$ sama dengan $x=a$ dan disebut akar dari $n$-multiplisitas.
Vlasne, kita tidak bisa mengatakan dengan tepat nilai dari multiplisitas. Penting apakah itu berpasangan atau tidak berpasangan, bilangan bulatnya adalah $n$. Karena:
- Karena $x=a$ adalah akar dari multiplisitas pasangan, maka tanda fungsi tidak berubah ketika melewatinya;
- Pertama-tama, karena $x=a$ adalah akar dari multiplisitas tidak berpasangan, tanda fungsi berubah.
Dengan pandangan pribadi dari akar multiplisitas yang tidak berpasangan, di depannya, tampak sekolah ini: ada multiplisitas yang disilangkan dari lajang tua.
saya lebih. Di depannya, seolah-olah kami adalah virishuvati zavdannya, ingin mengubah rasa hormat Anda menjadi satu kehalusan, seolah-olah jelas bagi seorang pendidik yang terkenal, ale membuat pochatkіvtsіv yang kaya tercengang. Dan untuk dirinya sendiri:
Akar multiplisitas $ n $ hanya untuk disalahkan atas kejatuhan, jika seluruh multiplisitas terbentuk dalam langkah ini: $ ((\ kiri (xa \ kanan)) ^ (n)) $, dan bukan $ \ kiri (((x) ^ ( n ))-a\kanan)$.
Sekali lagi: busur $((\left(xa \right))^(n))$ memberi kita akar $x=a$ dari multiplisitas $n$, dan sumbu busur $\left(((x )^(n)) -a \right)$ jika tidak, seperti yang sering digunakan, $(a-((x)^(n)))$ memberi kita sebuah akar (jika tidak, dua akar, seperti $n$ - seorang pria) dari multiplisitas pertama yang tidak bergantung pada apa yang saya $n$.
Tingkat:
\[((\kiri(x-3 \kanan))^(5))=0\Panah kanan x=3\kiri(5k \kanan)\]
Semuanya jelas di sini: seluruh busur diarahkan ke langkah kelima, jadi di pintu keluar kami mengambil akar dari langkah kelima. Dan sekaligus:
\[\kiri(((x)^(2))-4 \kanan)=0\Panah kanan ((x)^(2))=4\Panah kanan x=\pm 2\]
Kami mengambil dua akar, tetapi penghinaan dari bau busuk mungkin menjadi multiplisitas pertama. Abo sumbu lebih:
\[\kiri(((x)^(10))-1024 \kanan)=0\Panah kanan ((x)^(10))=1024\Panah kanan x=\pm 2\]
Biarkan saya tidak mengalahkan Anda ke langkah kesepuluh. Golovne, scho 10 adalah nomor pria itu, mungkin ada dua akar di output, dan baunya lagi mungkin multiplisitas pertama.
Zagalom bersikap hormat: banyaknya kesalahan hanya satu, jika langkah-langkah dibawa ke seluruh lengkungan, dan tidak kurang untuk perubahan.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \kanan))^(3))\left(x+4 \kanan))((\left(x+7 ) \kanan))^(5)))\ge 0\]
Larutan. Mari kita coba dengan cara alternatif melalui transisi dari privat ke kreasi:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Baik.\]
Kami memilih dengan ketidakrataan pertama dengan metode interval:
\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \kanan))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Panah kanan x=0\kiri(2k \kanan); \\ & ((\left(6-x \kanan))^(3))=0\Panah kanan x=6\kiri(3k \kanan); \\&x+4=0\Panah kanan x=-4; \\ & ((\left(x+7 \kanan))^(5))=0\Panah kanan x=-7\kiri(5k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]
Dodatkovo virishuemo teman kegugupan. Sebenarnya kami sudah menyanyikan yogo, tetapi jika kami tidak melakukannya sampai keputusan, lebih baik menyanyikan yogo lagi:
\[((\kiri(x+7 \kanan))^(5))\ne 0\Panah kanan x\ne -7\]
Untuk membalas rasa hormat: tidak ada keragaman harian di sisa kegugupan. Benar: seberapa berbeda, berapa kali untuk memenangkan poin $x=-7$ pada garis bilangan? Ingin sekali, ingin lima kali - hasilnya akan sama: poin terakhir.
Segala sesuatu yang kami ambil adalah signifikan pada garis lurus numerik:
Seperti yang saya katakan, titik $x=-7$ dalam hasil akan ditandai. Multiplisitas pengaturan adalah untuk mengatasi ketidakrataan cara interval.
Lupa memasang tanda:
Oskіlki dot $x=0$ adalah akar dari multiplisitas berpasangan, tanda untuk transisi tidak berubah. Poin lain dapat memiliki multiplisitas yang tidak berpasangan, dan semuanya sederhana dengan mereka.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Berikan rasa hormat pada $x=0$ lagi. Melalui pasangan, multiplisitas efek jangkrik disalahkan: levoruch di dalamnya semua diisi, tangan kanan sama, titik itu benar-benar diisi.
Sebagai pengingat, tidak perlu water-clamp selama satu jam untuk merekam suara. tobto. anda tidak perlu menulis apapun pada kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (jika anda ingin secara formal, ini akan benar). Ayo segera tulis $x\in \left[ -4;6 \right]$.
Efek seperti itu kurang mungkin dengan multiplisitas pasangan akar. Saya dalam perintah memajukan mi zіtknemosya z zvorotnym "vyyavom" efek tsgogo. Apakah kamu siap?
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(((\kiri(x-3 \kanan))^(4))\kiri(x-4 \kanan))(((\kiri(x-1 \kanan))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]
Larutan. Kali ini kami mengikuti skema standar. Mari kita samakan angkanya dengan nol:
\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\kiri(x-3 \kanan))^(4))=0\Panah kanan ((x)_(1))=3\kiri(4k \kanan); \& x-4 = 0 \ Panah kanan ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]
spanduk:
\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\kiri(x-1 \kanan))^(2))=0\Panah kanan x_(1)^(*)=1\kiri(2k \kanan); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Panah kanan x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(sejajarkan)\]
Oscilki mi virishuemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, akar spanduk (seperti znirochki) akan dipukul, dan dari angka - zafarbovano.
Kami memasang tanda dan area yang ditetaskan, ditandai dengan "plus":
Krapka $x = $3 - terisolasi. Bagian dari vіdpovіdі
Sebelum itu, cara menuliskan opini residual, perhatikan gambar dengan hormat:
- Krapka $x=1$ memiliki beberapa kelipatan, tetapi vicola itu sendiri. Juga, jika Anda memiliki pesawat bertingkat: Anda perlu menulis $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, bukan $x\in \ kiri(-\ infty ;2\kanan)$.
- Krapka $x=3$ juga bisa dikalikan saat diisi. Susunan rambu-rambu untuk menegaskan bahwa titik itu sendiri berkuasa dengan kita, ale krok levoruch-kanan - kita diseret ke wilayah itu, karena kita pasti tidak berkuasa. Titik-titik tersebut disebut terisolasi dan ditulis sebagai $x\in \left\( 3 \right\)$.
Kami menyatukan semua otrimani shmatochki dalam jumlah besar dan menuliskan buktinya.
Saran: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Janji temu. Virishiti nerіvnіst - berarti untuk mengetahui kesuksesan impersonal dari solusi yoga, atau untuk membawa apa yang impersonal kosong.
Itu akan diberikan b: apa yang tidak masuk akal di sini? Di sungai itulah yang impersonal dapat diletakkan dengan cara yang berbeda. Mari kita tulis lagi sampai akhir hari:
Baca secara harfiah apa yang tertulis. Ubah "iks" menjadi tidak banyak berbaring, pergi keluar bersama (ikon "U") chotyroh okremih banyak:
- Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, yang secara harfiah berarti "semua bilangan kurang dari satu, tetapi bukan bilangan itu sendiri";
- Interval $ \ kiri (1; 2 \ kanan) $, lalu. “Semua angka antara 1 dan 2, tetapi bukan angka itu sendiri 1 dan 2”;
- Anonim $ \ kiri \ (3 \ kanan \) $, yang ditambahkan dari satu atau satu angka - tiga;
- Interval $ \ kiri [4; 5 \ kanan) $, untuk membalas semua angka antara 4 dan 5, serta empat itu sendiri, tetapi bukan lima.
Ketertarikan di sini adalah poin ketiga. Pada vіdmіnu vіd іd nvalіv, kі untuk menentukan himpunan bilangan yang tak terhitung banyaknya kurang menandakan lebih sedikit antara tsikh naborіv, tanpa $\left\(3\right\)$ menetapkan satu angka secara ketat sebagai cara untuk mengatur ulang.
Untuk memahami bahwa kita sendiri mengesampingkan angka-angka tertentu yang naik ke kelipatan (dan tidak diatur di antara keduanya), lengkungannya menang. Misalnya, notasi $ \ kiri \ (1; 2 \ kanan \) $ berarti sendiri “pengganda yang dijumlahkan dari dua angka: 1 dan 2”, tetapi tidak sama dengan 1 hingga 2. Pada saat yang sama , jangan bingung pemahaman Anda.
Aturan lipat perkalian
Nah, di akhir pelajaran hari ini, tiga jari dari Pavel Berdov.
Para cendekiawan yang dihormati telah bernyanyi berkicau: dan seperti apa, seperti di kalender dan spanduk, akar yang sama akan muncul? Jadi sumbu, pratsyuє aturan seperti itu:
Multiplisitas dari akar yang sama dijumlahkan. Tunggu. Akar Navіt yakscho tse ditulis di buku nomor, dan di spanduk.
Terkadang lebih baik virishuvati, berbicara lebih rendah. Untuk ini kami percaya tugas berikut:
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \kanan)\kiri(((x)^(2))+ 9x+14 \kanan))\ge 0\]
\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(sejajarkan)\]
Sejauh ini, tidak ada yang istimewa. Samakan spanduk dengan nol:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Panah kanan x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Panah kanan x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(sejajarkan)\]
Dua akar yang sama terungkap: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Menyinggung keragaman mayut pershu. Juga, kami menggantinya dengan satu root $x_(4)^(*)=-2$, tetapi juga dengan multiplisitas 1+1=2.
Selain itu, masih ada akar yang sama: $((x)_(2))=-4$ dan $x_(2)^(*)=-4$. Bau multiplisitas pertama, yang akan kehilangan $x_(2)^(*)=-4$ multiplisitas 1+1=2.
Untuk membawa rasa hormat: di kedua vipadka kami telah menghilangkan akar lama itu sendiri, dan kami telah membuang farbow dari pandangan sekilas. Itu sebabnya mereka berhasil sampai ke awal pelajaran: itu seperti titik sekaligus, dan itu dipukuli, dan itu kentut, kita semua sama peduli tentang itu.
Hasilnya, kami memiliki akar chotiri, apalagi, semua vikolot muncul:
\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \kanan); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]
Secara signifikan pada garis bilangan dengan multiplisitas yang disesuaikan:
Kami memasang tanda dan area zafarbovuyemo yang memanggil kami:
Kumis. Poin terisolasi sehari-hari dan masalah lainnya. Anda dapat menuliskan pendapat Anda.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
Aturan multiplisitas
Kadang-kadang situasinya menjadi lebih tidak dapat diterima: sama, yang dapat berupa kelipatan dari akar, itu sendiri dibawa ke langkah yang sama. Dengan ini, multiplisitas semua akar luar berubah.
Suara seperti itu jarang terdengar, apalagi tidak ada bukti tugas serupa. Dan aturannya adalah ini:
Dengan pemerataan langkah $n$ multiplisitas semua akar yogo juga meningkat sebesar $n$ kali.
Dengan kata lain, langkah-langkah pada langkah-langkah dikalikan dengan multiplisitas pada langkah itu sendiri. Mari kita lihat aturan dalam praktik:
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \kanan))^(2))((\left(x-4 \kanan))^(5)) )(((\kiri(2-x \kanan))^(3))((\kiri(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]
Larutan. Mari kita samakan angkanya dengan nol:
Tvir sama dengan nol, jika salah satu pengali yang diinginkan sama dengan nol. Dengan pengganda pertama saya menemukan: $x=0$. Dan poros menimbulkan masalah:
\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\kiri(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kiri(2k \kanan)\kiri(2k \kanan) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \kanan) \\ \end(align)\]
Seperti Bachimo, sama dengan $((x)^(2))-6x+9=0$ mungkin memiliki akar tunggal dari multiplisitas lain: $x=3$. Mari kita semua berhati-hati untuk mendekati alun-alun. Kemudian, multiplisitas akar menjadi $2\cdot 2=4$, yang kami tuliskan dengan sebuah keputusan.
\[((\left(x-4 \kanan))^(5))=0\Panah kanan x=4\kiri(5k \kanan)\]
Dengan spanduk masalah sehari-hari yang sama:
\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\kiri(2-x \kanan))^(3))=0\Panah kanan x_(1)^(*)=2\kiri(3k \kanan); \\ & ((\kiri(x-1 \kanan))^(2))=0\Panah kanan x_(2)^(*)=1\kiri(2k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]
Kami memiliki lima titik di jumlah: dua vikolot dan tiga farbovan. Tidak ada ketakutan dari akar dalam buku angka dan znamennik, itu hanya terlihat pada garis lurus numerik:
Kami menempatkan tanda dengan multiplisitas yang ditingkatkan dan interval zafarbovuєmo yang memanggil kami:
Saya tahu satu titik terisolasi dan satu vicolot
Melalui akar dari multiplisitas berpasangan, beberapa elemen "non-standar" kembali diambil. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ bukannya $x\in \left[ 0;2 \right)$, dan titik $ x juga terisolasi \di \kiri\(3\kanan\)$.
Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Yak bachite, itu tidak rumit. Golovne - rasa hormat. Sisa pelajaran dedikasi untuk reinkarnasi - tim, seperti yang kita diskusikan langsung.
Membentuk kembali depan
Nervnosti, kakі mi rasberem di tsemu rasdіlі, tidak bisa disebut folding. Namun, pada vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, ini terjadi pada zasosuvati navchik z teorії rationalnyh drobіv — razkladannja pada mul'tiplier dan brіnnogo znamennik.
Kami membahas secara rinci makanan untuk tongkol pelajaran hari ini. Jika Anda tidak mengerti, apa yang Anda mengerti, tentang apa bahasanya, saya sarankan berbalik dan ulangi. Untuk itu tidak ada kepekaan untuk menjejalkan metode dan mengungkap inkonsistensi, seolah-olah Anda "berenang" pada bidikan yang dikonversi.
Di rumah, sebelum pidato, juga akan ada banyak tugas serupa. Bau rasa bersalah sampai akhir pidrozdil. Dan di sana Anda akan diperiksa bahkan untuk aplikasi yang tidak sepele. Ale, Anda akan berada di stan, tetapi sekarang mari kita selesaikan beberapa ketidakkonsistenan seperti itu.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]
Larutan. Memindahkan semuanya ke kiri:
\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]
Itu dibawa ke spanduk ganda, lengkungan dibuka, dan dodanki serupa dibawa ke buku nomor:
\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) kanan))(x\cdot \kiri(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\kiri(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]
Sekarang kita memiliki sebelum kita klasik pecahan-rasional nerіvnіst, vyshennya yakoї tidak lagi menjadi sulit. Saya berlatih yoga dengan metode alternatif melalui metode interval:
\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(sejajarkan)\]
Jangan lupa pagar yang berasal dari spanduk:
Semua nomor ditunjukkan dan dipertukarkan pada garis lurus numerik:
Kumis adalah akar dari multiplisitas pertama. Tidak ada masalah. Kami hanya memasang tanda-tanda yang dibutuhkan daerah untuk kami:
Itu saja. Anda dapat menuliskan pendapat Anda.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.
Zrozumіlo, tse buv zovsіm hanya pantat. Untuk itu sekaligus kita bisa memandang tugas dengan lebih serius. untuk pidato, riven tsgo zavdannya tsіlkom vіdpovіdає robot independen dan kontrol z adalah yang di kelas 8.
Pengelola. Untuk melepaskan kegugupan:
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]
Larutan. Memindahkan semuanya ke kiri:
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]
Sebelum itu, bagaimana cara membawa pecahan yang menghina ke spanduk ganda, kami susun spanduk-spanduk ini menjadi pengganda. Raptom vylizut lengkungan yang sama? Dengan spanduk pertama mudah:
\[((x)^(2))+8x-9=\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+9 \kanan)\]
Dengan troch lain terlipat. Jangan ragu untuk memasukkan konstanta pengganda ke dalam busur itu, drib yang tidak terlihat. Ingat: jika Anda memiliki istilah yang kaya dalam jumlah koefisien, ini adalah imovirnist yang hebat, karena diletakkan dalam kelipatan ibu dalam jumlah koefisien (memang, akan begitu, untuk kedipan vipadkiv, jika diskriminannya tidak rasional).
\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]
Yak bachimo, busur: $ \ kiri (x-1 \ kanan) $. Kami beralih ke kegugupan dan mendorong fraksi yang menghina ke spanduk ganda:
\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kiri(3x-2\kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right ) )\kiri(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+9 \kanan)\kiri(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ \end(sejajarkan)\]
Samakan spanduk dengan nol:
\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( meluruskan)\]
Multiplisitas sehari-hari dan akar zbіgayutsya. Kami menetapkan beberapa angka ke garis lurus:
Kami menempatkan tanda-tanda:
Mari kita tuliskan buktinya.
Tanggapan: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ kanan)$.
Kumis! Seperti itu, lalu baca sampai baris.
