Za dużo wartości funkcji 4 x 3. Obszar wartości funkcji (większa wartość funkcji). Niezbędne zrozumienie i zastosowanie wiedzy. Sposoby poznania obszarów wartości funkcji

D(f)- te znaczenia, jak można argumentować, tobto. zakres funkcji.

E(f)- te znaczenia, jak można nazwać funkcję, tzw. bezosobowa wartość funkcji.

Sposoby poznania obszarów wartości funkcji.

ostatnia wartość składanych argumentów funkcji;

ocena/metoda kordonowa;

zwycięstwo władzy, ciągłość i monotonia funkcji;

vikoristannya pokhіdnoi;

wybór największej i najmniejszej wartości funkcji;

metoda graficzna;

metoda żądania parametrów;

metoda funkcji odwrócenia.

Spójrzmy na ich czyny.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalny pidkhid do wartości bezosobowej wartości funkcji nieprzerywalnej f(x) jest równa wartości największej i najmniejszej wartości funkcji f(x) w zakresie istotności (lub udowodnieniu, że jedna z nich nie jest zły).

Na pierwszy rzut oka konieczne jest poznanie bezosobowej wartości funkcji na vіdrіzka:

znać dokładną wartość funkcji f "(x);

znać punkty krytyczne funkcji f(x) i wybierać te z nich, aby leżeć na zadanym wątku;

obliczyć wartość funkcji na końcach cięcia i w wybranych punktach krytycznych;

spośród znanych wartości wybierz najmniej i najbardziej znaczące;

Dobrze jest umieścić wartość funkcji pomiędzy tymi wartościami.

Jaki jest zakres przypisanej funkcji? interwał, wygrywa sam schemat, a następnie wartości na końcu cyklu są dopasowywane między funkcjami z argumentem ćwiczącym do końca przedziału. Znaczenia między nie wchodzą w bezosobowe znaczenie.

Metoda interwałowa/szacowania

Dla wartości mnożnika wartości funkcji najpierw znamy bezosobową wartość argumentu, a następnie znajdujemy najmniej znaczącą wartość funkcji funkcji. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Istota pola tkwi w ocenie nieprzerwanej funkcji dna i bestii oraz wykazaniu zasięgu funkcji dolnej i górnej granicy ocen. Przy każdej zmianie bezosobowości wartość funkcji w przedziale od dolnej oceny pośredniej do górnej jest determinowana nietrwałością funkcji i obecnością w niej wartości dolnych.

Dominacja funkcji nieprzerwanej

Drugi wariant pola w funkcji przekształconej jest nieprzerwanie monotonny, podczas gdy zwycięska moc nieprawidłowości ocenia bezosobową wartość nowo przyjętej funkcji.

Ostatnia wartość składanych argumentów w funkcji

Opierając się na ostatnim spojrzeniu na bezosobową wartość funkcji pośrednich, z których funkcja jest przechowywana

Obszary wartości głównych funkcji elementarnych

Funkcjonować	Anonimowe znaczenie
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; jeden]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Zastosować

Znajdź anonimową wartość funkcji:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Znamy obszar docelowy: D(f)=[-3;3], ponieważ 9-x^(2)\geq 0$

Wiemy lepiej: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, jeśli x = 0. f"(x) nie jest prawdziwe, jeśli $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $, to x = ±3. Zabierane są trzy punkty krytyczne: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Policzmy: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Najmniejsza wartość f(x) to 0, najwyższa to 3.

Sugestia: E(f) = .

NIE vikoristovuyuchi pokhіdnu

Znajdź najważniejsze i najmniej ważne funkcje:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , a następnie:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ dla wszystkich x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ dla wszystkich x(ponieważ $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Sugestia: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Jeśli chcesz zadbać o pomoc biednych, musisz dokonać zmiany, ponieważ funkcja f (x) jest przypisana nie do wiersza, ale do całej osi liczbowej.

Metoda inter/oszacowania Vikoristovuyuchi

3 wartość sinusowa przesunęła, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Przyspieszmy potęgę nieprawidłowości liczbowych.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (mnożąc wszystkie trzy części nieprawidłowości bazowej przez -4);

$1\równ 5 - 4\sin(x)\równ 9$

Ponieważ ta funkcja jest nieprzerwana we wszystkich obszarach przydziału, to nic nieznacząca wartość jest umieszczana między najmniejszą a największą wartością w całym obszarze przypisania, co jest prawdą.

W tym przypadku wartość funkcji $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є bezosobowa.

3 nieprawidłowości $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ oszacuj $$\\ -6\leq y\leq 6 $$

Gdy x = p і x = 0, funkcja przyjmuje wartość -6 і 6, a następnie. osiągnąć dolną i górną granicę. Jako liniowa kombinacja funkcji bezprzerwowych cos(7x) i cos(x), funkcja y jest ciągła na całej osi liczbowej, dlatego ze względu na sztywność funkcji bezprzerwowej kumuluje wszystkie wartości od -6 do 6 włącznie i tylko їx, ponieważ przez nierówności $ - 6 \leq y\leq 6$ inne wartości nie są możliwe.

Również E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Dowód: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Odwracalny viraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Wartość cosinusa jest następująca: $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Ponieważ funkcja jest podana bez przerwy w całym zakresie przypisania, to bezwartościowa wartość jest umieszczana między najmniejszą a największą wartością, jak się okazuje, bezwartościowa wartość funkcji $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ є bezosobowe $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Znacząco $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Samo zadanie sprowadza się do wartości mnożnika wartości funkcji $y = \log_(0,5)(t)$ przy zmianie (-∞;4). Funkcja Oskіlki $y = \log_(0,5)(t)$ jest przypisana tylko dla t > 0 , її wartość funkcji na przedziale (-∞;4) jest brana z wartości funkcji na przedziale (0;4), czyli zmiana siatkówki (-∞; 4) o zakresie (0; +∞) funkcji logarytmicznej. Na przedziale (0;4) funkcja ta jest nieprzerwana i mniejsza. Dla t > 0 wartość wynosi +∞, a dla t = 4 wartość wynosi -2, więc E(y) = (-2, +∞).

Sztuczka opiera się na graficznej reprezentacji funkcji.

Po przekształceniu funkcji jest możliwe: y 2 + x 2 = 25, ponadto y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Kolejne przypuszczenie jest takie, że $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jest równe stawce o promieniu r.

Kiedy harmonogram tsikh zamezhennya podano wyrównanie є górne centrum pіvkola s na kolbie współrzędnych w promieniu, który jest bardziej równy 5. Oczywiście scho E(y) = .

Sugestia: E(y) = .

Literatura wikoristanu

Obszar znaczenia funkcji na czele EDI, Minyuk Irina Borisivna

Aby zrozumieć bezosobowe znaczenie funkcji, Belyaeva I., Fedorova S.

Znaczenie bezosobowej wartości funkcji

Jak zademonstrować zadanie matematyki na egzaminach wstępnych, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Najczęściej na granicy podziału zadań sprowadza się do shukati bezosobową wartość funkcji obszaru przypisanego do segmentu. Na przykład konieczna jest praca w przypadku naruszenia różne rodzaje nieprawidłowości, oceny viraziv i in.

W ramach tego materiału można określić, jaki jest obszar istotności funkcji, przedstawimy główne metody, za pomocą których możemy obliczyć, oraz przeanalizujemy zadanie o różnym stopniu fałdowania. Dla jasności pozycje zilustrowano wykresami. Po przeczytaniu tego artykułu zabierzesz wszystkie informacje o zakresie funkcji.

Pochnemo to podstawowe obowiązki.

Spotkanie 1

Bezwartościowa wartość funkcji y = f (x) na bieżącym przedziale x jest bezwartościową wartością wszystkich wartości, ponieważ funkcja jest podawana podczas iteracji po wszystkich wartościach x ∈ X .

Spotkanie 2

Zakres wartości funkcji y = f (x) jest bezimienną wartością wszystkich wartości її, tak że przy iteracji może przyjąć wartość x z x ∈ (f).

Przyjmuje się, że obszar wartości rzeczywistej funkcji to E(f).

Aby uszanować zrozumienie mnożenia wartości funkcji, nie rozpoczynaj tego samego obszaru jej wartości. Tylko w tym przypadku wartości zrozumienia będą równe, ponieważ przedział wartości x, gdy wartość jest nieznana, wartość różni się od obszaru przypisanej funkcji.

Ważne jest również rozróżnienie między zakresem wartości a zakresem dopuszczalnych wartości zmiany x dla wyrażenia prawej części y = f (x) . Obszar dopuszczalnych wartości x dla wyrażenia f(x) i będzie obszarem przypisanym do funkcji.

Poniżej należy umieścić ilustrację przedstawiającą tyłki deyaki. Linie niebieskie to wykresy funkcji, czerwone to asymptoty, punkty tych samych linii na osi rzędnych to całe obszary wartości funkcji.

Oczywistym jest, że zakres funkcji można uwzględnić przy projektowaniu grafiki dla wszystkich O y . Dla kogo możesz mieć jedną liczbę i liczby bezosobowe, trzy, przedział, przedział otwarty, kombinację przedziałów liczbowych i inne.

Przyjrzyjmy się głównym sposobom poznania zakresu funkcji.

Przypiszmy po prostu pomnożenie wartości funkcji niestałej y = f (x) przez bieżący licznik, oznaczonej przez [a; b]. Wiemy, że funkcja jest nieprzerwana w dowolnym kierunku, osiągając swoje nowe minimum i maksimum, czyli największe ma x x ∈ a ; b f (x) jest najmniejszą wartością m i n x ∈ a ; bf(x). Ponownie bierzemy pod uwagę m i n x ∈ a; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , który będzie zawierał bezosobową wartość funkcji wyjściowej. To wszystko, nad czym musimy popracować - trzeba tylko wiedzieć, w którym punkcie wskazać punkty minimum i maksimum.

Weźmy zadanie, do którego konieczne jest przypisanie obszaru do łuku.

tyłek 1

Umow: znajdź wartość y = a r c sin x .

Rozwiązanie

Na dzikim zboczu obszar przypisany do łuku jest wydłużony do góry [-1; jeden]. Nowej funkcji musimy przypisać największą i najmniejszą wartość przypisanej funkcji.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Wiemy, że ta funkcja będzie dodatnia dla wszystkich wartości x, rozwiniętych w przedziale [-1; 1 ] , tak że przez rozszerzenie regionu, funkcja jest przypisana do łuku sinusoidalnego tempa wzrostu. Tak więc najmniejsza wartość zostanie przyjęta w x, równa - 1, a największa - w x, równa 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 ma x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

W ten sposób obszar wartości funkcji arcsine jest droższy E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Sugestia: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

tyłek 2

Umow: Oblicz zakres wartości y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na podanym podciągu [1; 4].

Rozwiązanie

Jedyne, co musimy wypracować, to obliczyć największe i najmniejsze wartości funkcji dla danego przedziału.

Aby określić punkt ekstremum, musisz obliczyć następujące obliczenia:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Teraz znamy wartość danej funkcji w przedziałach cięcia i punktach x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 r (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Tak więc bezosobowa wartość funkcji jest określona przez różnicę 117 - 165 33 512; 32 .

Sugestia: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Przejdźmy do wartości bezosobowej wartości funkcji nieprzerwanej y = f (x) w przedziałach (a; b), ponadto a; +∞, -∞; b,-∞; +∞.

Zacznijmy od wyznaczenia punktów największych i najmniejszych oraz odstępów między wzrostem a zmianą na danym przedziale. Jeśli tak, będziemy musieli virahuvat jednostronne granice w odstępach i / lub granice niespójności. Innymi słowy, musimy przypisać zachowanie funkcji do danych umysłów. Dla kogo możemy potrzebować wszystkich niezbędnych danych.

tyłek 3

Umow: obliczyć zakres funkcji y = 1 x 2 - 4 na przedziale (-2; 2).

Rozwiązanie

W danym wierszu pokazujemy największą i najmniejszą wartość funkcji

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Osiągnęliśmy wartość maksymalną, która jest równa 0, ale w tym samym momencie należy zmienić znak funkcji i wykres, aby przejść do spadku. Dyw. dla ilustracji:

Zatem y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 będzie maksymalną wartością funkcji.

Teraz zachowanie funkcji ma znaczenie dla takiego x, czyli prawej strony - 2 od prawej i do + 2 od lewej. Innymi słowy, znamy granice jednostronne:

brak x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = brak x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ ogranicz x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = ogranicz x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Widzieliśmy, że wartość funkcji wzrasta od minus niespójność do -14 todi, jeśli argument zmienia się w zakresie od -2 do 0. A jeśli argument zmieni się z 0 na 2, wartość funkcji zmieni się na minus nieskończoność. Później bezsensowną wartością danej funkcji na wymaganym przedziale będzie (- ∞ ; - 1 4 ) .

Sugestia: (- ∞ ; - 1 4 ] .

tyłek 4

Umov: wprowadź anonimową wartość y = t g x w zadanym przedziale - π 2; π 2 .

Rozwiązanie

Wiemy, że tangens β jest podobny do - π 2; π 2 być dodatnie, więc funkcja rośnie. Teraz istotne jest, jak uruchomić funkcję w podanych granicach:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Przy zmianie argumentu vid - π 2 na π 2 odjęliśmy wartość przyrostową funkcji od minus niezgodność do plus niespójność i możemy powiedzieć, że bezosobowym rozwiązaniem tej funkcji będzie bezosobowość wszystkich liczb rzeczywistych.

Sugestia: - ∞ ; + ∞ .

tyłek 5

Umow: wyznaczenie, czyli zakres funkcji, logarytm naturalny y = ln x .

Rozwiązanie

Wiemy, że funkcja jest podana i przypisana w wartości dodatnie argument D(y) = 0; +∞. Pohіdna w danym przedziale będzie dodatnia: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, nowy ma wzrost funkcji. Dali nam potrzebę wyznaczenia jednostronnej granicy dla tego, jeśli argument jest poprawny 0 (po prawej stronie), a jeśli x nie jest poprawną niespójnością:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Odjęliśmy, że wartość funkcji rośnie od minus niespójności do plus niespójności przy zmianie wartości x od zera do nieskończoności plus. Tak więc istnieje wiele wszystkich liczb rzeczywistych - ce i є obszar wartości funkcji logarytmu naturalnego.

Sugestia: mnożnikiem wszystkich liczb rzeczywistych jest obszar wartości funkcji logarytmu naturalnego.

tyłek 6

Umow: określić, który jest zakresem funkcji y = 9 x 2 + 1 .

Rozwiązanie

Funkcja Tsya є śpiewaj dla pamięci, że x jest liczbą rzeczywistą. Policzmy najważniejsze i najmniej ważne funkcje, a także luki oraz wzrost i zmianę:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

W wynikach wskazaliśmy, że funkcja zmniejszy się, tak że x ≥ 0; raczej, że x ≤ 0; nie wskaże maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 podczas zmiany, co jest droższe 0 .

Zastanawiamy się, jak operować funkcją na niespójności:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Z zapisu widać, że wartość funkcji y razy asymptotycznie zbliża się do 0.

Podib'єmo subbags: jeśli argument zmienia się z minus niespójność na zero, to wartość funkcji rośnie od 0 do 9 . Jeśli wartość argumentu zmieni się z 0 na plus niespójność, to wartość funkcji spadnie z 9 do 0 . Wyobraziliśmy sobie cenę za malucha:

Na nowym widać, że zakresem wartości funkcji będzie przedział E(y) = (0; 9)

Sugestia: E(y) = (0; 9]

Musimy więc przypisać bezosobową wartość funkcji y = f(x) na przedziałach [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞ ) , (- ∞ ; b ), to musimy sami przeprowadzić takie badania.

A jak masz vipadku, w jaki sposób obszar jest przypisany do deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv? Następnie musimy obliczyć anonimową wartość na skórze tych interwałów i połączyć je.

tyłek 7

Umow: określić, jaki będzie zakres y = x x - 2 .

Rozwiązanie

Oskіlki znamennik funkcjiії nie winny, ale znacheniya do 0 , wtedy D (y) = - ∞ ; 2 2; +∞.

Zacznijmy od przypisania pierwszego wiersza mnożnika wartości funkcji - ∞; 2, co jest jasną obietnicą. Wiemy, że funkcja zmniejszy się na nowej, więc funkcja będzie ujemna.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Następnie, jeśli argument zmienia się bezpośrednio y minus niespójność, wartość funkcji asymptotycznie zbliża się do 1 . Jeśli wartość x zmniejszy się z minus niespójność do 2, to wartość zmniejszy się z 1 do minus niespójność, czyli. funkcja na przyszłej wartości przedziału - ∞ ; jeden . Samotnie, poza naszymi refleksjami, odłamki wartości funkcji її nie docierają do niej, a raczej asymptotycznie do niej zbliżają się.

Do otwartej wymiany 2; + ∞ vikonuєmo so sami dії. Funkcja na nowym jest również mniejsza:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Wartość funkcji na danej vіdrіzka jest przypisana do bezwartościowego 1; +∞. Potrzebujemy więc obszaru, w którym wartość funkcji, podana dla umysłu, zostanie połączona przez wielokrotności - ∞; 1 i 1; +∞.

Sugestia: E(y) = -∞; 1 1; +∞.

Możesz sprawdzić wykres:

Szczególne fluktuacje są funkcjami okresowymi. Ten obszar wartości zmienia się od wartości bezosobowej do tego przedziału, który zależy od okresu funkcjonowania.

tyłek 8

Umow: Ustaw obszar na wartość sinusa y = sin x.

Rozwiązanie

Sinus sprowadza się do funkcji okresowej, jak okres, który zmienia się w 2 pi. Beremo vіdrіzok 0; 2 π Podziwiam, jaka będzie bezosobowa wartość nowego.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Na granicy 0; 2 funkcje π będą punktami ekstremum π 2 і x = 3 π 2 . Przyjrzyjmy się, dlaczego ważność funkcji w nich jest ważniejsza, a także na granicach vіdrіzki, po czym wybieramy najbardziej i najmniej znaczącą.

y (0) = grzech 0 = 0 y π 2 = grzech π 2 = 1 y 3 π 2 = grzech 3 π 2 = - 1 y (2 π) = grzech (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d grzech π 2 \u003d 1

Sugestia: E (sin x) = - 1; jeden .

Jeśli chcesz poznać obszar wartości takich funkcji, jak statyczna, wyświetlająca, logarytmiczna, trygonometryczna, odwrotna trygonometryczna, to zapraszamy do ponownego przeczytania artykułu o podstawowych funkcjach elementarnych. Teoria, jak tutaj sugerujemy, pozwala odwrócić podaną wartość. Їх Bazhano vivchiti, odłamki smrodu są często potrzebne o godzinie wiśniowego dnia. Jeśli znasz obszary głównych funkcji, możesz łatwo poznać obszary funkcji, jakby odejmując te podstawowe dla pomocy transformacji geometrycznej.

tyłek 9

Umow: ustaw zakres y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Rozwiązanie

Wiemy, że wartość arcus cosinus wynosi od 0 do pi. Innymi słowy, E(ar c cos x) = 0 ; π lub 0 ≤ arc cos x ≤ π. Możemy przyjąć funkcję a r c cos x 3 + 5 π 7 do odwrotności cosinusa rozciągając ją i rozciągając oś O x , inaczej nie będziemy w stanie nic nam dać. Zatem 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Funkcję 3 arc cos x 3 + 5 π 7 można odjąć od arc cosinus arc cos x 3 + 5 π 7 dla dodatkowego rozciągnięcia osi pionowej, więc 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . W finale transformacja to zsuv uzdovzh oś O y o 4 wartości. Wynik będzie miał pewne podstawowe nierówności:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Zabraliśmy, jaki obszar wartości będzie potrzebny E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Sugestia: E(y) = -4; 3 pi-4.

Jeszcze jeden tyłek zostanie spisany bez wyjaśnienia, bo wino jest podobne do tego z przodu.

tyłek 10

Umow: obliczyć, jaki będzie zakres funkcji y = 2 2 x - 1 + 3 .

Rozwiązanie

Przepiszmy podaną w pamięci funkcję, np. y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Dla funkcji statycznej y = x - 1 2, obszar wartości zostanie przypisany do przedziału 0; + ∞, więc. x-1 2 > 0 . W tej żyle:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

A więc E(y) = 3; +∞.

Sugestia: E(y) = 3; +∞.

Przyjrzyjmy się teraz, jak poznać zakres funkcji, jak nie zostać przerwanym. Dla których musimy rozbić cały obszar na luki i poznać bezosobowe znaczenie na ich skórze, po czym jednoczymy te, które widzieliśmy. Dla lepszego zrozumienia, w celu powtórzenia głównych punktów widzenia funkcji.

tyłek 11

Umow: dana funkcja y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Oblicz wartość powierzchni її.

Rozwiązanie

Ta funkcja jest przypisana do wszystkich wartości x. Przeprowadźmy analizę ciągłości z wartościami argumentu równymi - 3 i 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Może być nieprzerwaną ekspansją pierwszego rodzaju o wartość argumentu - 3 . Zbliżając się do nowej wartości funkcji, przesuń się do -2 sin 3 2 - 4, a gdy x wynosi do -3 z prawej strony, wartości przesuną się do -1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Możliwe, że w punkcie 3 nie ma wyszukiwania innego rodzaju. Jeśli funkcja nie jest równa, wartości її są zbliżone do - 1, jeśli funkcja jest równa prawej stronie - do minus niespójności.

Otzhe, cały obszar przypisanej funkcji jest podzielony na 3 przedziały (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3] , (3 ; + ∞) .

Na pierwszym z nich odjęliśmy funkcję y = 2 sin x 2 - 4 . Oskіlki - 1 ≤ sin x ≤ 1 jest dopuszczalne:

1 ≤ grzech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Czyli dla tego przedziału (-∞ ; - 3] funkcja nie ma wartości - [ - 6 ; 2 ] .

Na ostatnim przedziale (-3 ; 3 ) była stała funkcja y = -1 . Otzhe, wszystkie bezosobowe її znachen czasami będą budowane do jednej liczby - 1.

W innym przedziale 3; + ∞ możemy użyć funkcji y = 1 x - 3 . Wygrana є pik, do tego y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Tak więc bezosobowa wartość funkcji wyjścia dla x > 3 jest wielokrotnością 0; +∞. Teraz generalnie odejmuje się wyniki: E(y) = - 6; - 2 - 1 ∪ 0; +∞.

Sugestia: E(y) = -6; - 2 - 1 ∪ 0; +∞.

Rozwiązanie pokazano na wykresie:

tyłek 12

Umov: є funkcja y = x 2 – 3 e x . Doceń bezosobowe znaczenie.

Rozwiązanie

Vaughn jest przypisany do wszystkich znaczeń argumentu, które są rzeczywistymi liczbami. Co istotne, dla niektórych przedziałów podana jest funkcja wzrostu, a dla niektórych malejąca:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Wiemy, że dobrze jest iść do 0, jak x = - 1 i x = 3 . Umieśćmy dwa punkty na całości i z'yasuёmo, jak znaki będą matką interwałów.

Funkcja zmieni się na (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i rośnie na [ - 1 ; 3]. Minimalny punkt to - 1, maksymalny - 3.

Teraz znamy główne wartości funkcji:

r(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e r (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Przyglądamy się zachowaniu funkcji na niezgodności:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = brak x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = brak x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = brak x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 brak x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Do obliczenia drugiego pośrednika zastosowano regułę Lopitala. Można sobie wyobrazić, że nasze rozwiązanie przeszło na grafikę.

Można zauważyć, że wartość funkcji zmniejszy się z plusem niespójności do -2e, nawet jeśli argument zmieni się z minusem niespójności na -1. Jeśli wino zmieni się z 3 na plus niedokładności, to wartość spadnie z 6 e - 3 na 0, ale jeśli będzie 0, nie będzie zasięgu.

W tej kolejności E(y) = [-2 e; +∞).

Sugestia: E(y) = [-2e; +∞)

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Zrozumienie funkcji i wszystkiego, co z nią związane, sprowadza się do tradycyjnie złożonego, a nie do sedna. Wyróżnijmy kamieniem skupienie się na funkcji i przygotowaniu do ЄДІ є obszaru oznaczenia oraz obszaru istotności (zmiany) funkcji.
Nierzadko uczy się nie rozróżniać obszaru przypisywanej funkcji od obszaru jej znaczenia.
I tak jak zadanie zmiany obszaru przypisanej funkcji, uczymy się opanowywać, tak zadanie zmiany bezosobowego znaczenia funkcji wywołuje smród trudności chimali.
Meta tsi єї statti: znajomość metod poznania wartości funkcji.
W wyniku przeglądu tych tematów opracowano materiał teoretyczny, rozważono metody rozwiązywania problemów o znaczeniu wielu funkcji, wybrano materiał dydaktyczny do samodzielnej pracy studentów.
Ten artykuł może być nauczycielem w przygotowaniu studentów do studiów magisterskich i wstępnych, dla tych „Obszar znaczenia funkcji” na fakultatywnych zajęciach z matematyki.

I. Oznaczenie zakresu funkcji.

Wartość obszaru (mnożnika) E (y) funkcji y \u003d f (x) nazywana jest liczbą takich liczb y 0 , dla skóry z istnieje taka liczba x 0, że: f (x 0) \u003d y 0 .

Zgadnij obszar głównego podstawowe funkcje.

Spójrzmy na stół.

Funkcjonować	Anonimowe znaczenie
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; jeden]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcus sin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = łuki x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Uznaje się również, że obszarem wartości dowolnego wielomianu etapu sparowanego jest przerwa, de n jest największą wartością wielomianu.

II. Potęga funkcji

Do pomyślnego rozpoznania funkcji bezosobowej konieczne jest dobre poznanie siły podstawowych funkcji elementarnych, a zwłaszcza ich obszarów znaczenia, obszaru znaczenia i charakteru monotonii. Indukujmy moc nieprzerwanych, monotonnych funkcji różnicujących, które najczęściej zwyciężają, gdy znane są bezosobowe wartości funkcji.

Dominacja 2 i 3 z reguły zdobywają od razu moc funkcji elementarnej bez przerwy w ich obszarze powołania. Mając najprostsze i najkrótsze rozwiązanie problemu wartości mnożnika, wartość funkcji można osiągnąć na podstawie autorytetu 1, mimo że można zastosować niespójne metody do określenia monotoniczności funkcji. Rozwiązanie jest prostsze, jako funkcja, wcześniej - para jest niesparowana, okresowo cienka. W ten sposób, wykonując zadania dotyczące ważności mnożenia wartości funkcji, w razie potrzeby należy ponownie przemyśleć i zdobyć ofensywną siłę funkcji:

nieprzerwany;
monotonia;
różnicowanie;
parowanie, rozparowywanie, okresowość jest cienka.

Niezręczne zadanie poznania bezosobowego znaczenia funkcji orientacji społecznej:

a) dla najprostszych oszacowań i granicy: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1);

b) zobaczenie pełnego kwadratu: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) o transformacji trygonometrycznej viraziv: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) osiągnięcie monotoniczności funkcji x 1/3 + 2 x-1 zwiększa R.

III. Przyjrzyjmy się sposobom poznania obszarów wartości funkcji.

a) ostatnia wartość składanych argumentów funkcji;
b) sposób oceny;
c) osiągnięcie władzy, brak przerwy i monotonia funkcji;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) wybór najwyższej i najniższej wartości funkcji;
e) metoda graficzna;
g) sposób żądania parametrów;
h) metoda funkcji odwrócenia.

Rozkriёmo esencja tych metod na konkretnych tyłkach.

Przykład 1. Znajdź zakres wartości E(y) funkcje y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Możemy rozwiązać ten tyłek metodą sekwencyjnej wartości składanych argumentów funkcji. Widząc nowy kwadrat pod logarytmem, przekształcamy funkcję

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І kolejno poznajemy bezosobowe znaczenie її składanych argumentów:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Znacznie T= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Sam Tim, aby dostać się do wartości mnożnika wartości funkcji y = log 0,5 t na giełdzie (-∞;4) . Ponieważ funkcja y = log 0,5 t jest przypisana tylko dla twojego umysłu, to anonimowa wartość na przedziale (-∞; 4) zostaje zmieniona z anonimowej wartości funkcji na przedziale (0; 4), która jest przedziałem przedziału (-∞; 4) o zakresie (0; + ∞) funkcji logarytmicznej. Na przedziale (0;4) funkcja ta jest nieprzerwana i mniejsza. Na T> 0 won pragne +∞, a kiedy t = 4 ustawia wartość -2, do E(y) =(-2, +∞).

Przykład 2. Znajdź zakres funkcji

y = cos7x + 5cosx

Widać to za pomocą metody ocen, której istotą jest ocena nieprzerwanej funkcji dolnego i górnego oraz udowodnienie zasięgu funkcji dolnej i górnej granicy ocen. Przy każdej zmianie bezosobowości wartość funkcji w przedziale od dolnej oceny pośredniej do górnej jest determinowana nietrwałością funkcji i obecnością w niej wartości dolnych.

Z nieprawidłowości -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 przyjmujemy wynik -6≤y?6. Gdy x = p і x = 0, funkcja przyjmuje wartość -6 і 6, a następnie. osiągnąć dolną i górną granicę. Jako liniowa kombinacja funkcji nieprzerywalnych cos7x i cosx, funkcja y jest nieprzerywalna na całej osi numerycznej, dlatego dzięki sile funkcji nieprzerywalnej uzyskuje wszystkie wartości od -6 do 6 włącznie, a tylko їх, czyli przez niezgodności w wartościach -6≤y jest to niemożliwe. Otzhe, E(y)= [-6;6].

Przykład 3. Znajdź zakres wartości E(f) Funkcje f(x)= cos2x + 2cosx.

Zgodnie ze wzorem na cosinus kuty z fiszbinami przekształcamy funkcję f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 to jest znaczące T= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E(cosx) =

[-1;1], to zakres funkcji f(x) zbіgaєtsya z bezosobową wartością funkcji g (T)= 2t 2 + 2t - 1 do tyłu [-1; 1], jak wiemy metodą graficzną. Indukowanie wykresu funkcji y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 na interwał [-1; 1], wiemy E(f) = [-1,5; 3].

Szacunek - aż do doniosłości bezosobowego znaczenia funkcji, konieczne jest stworzenie bogatego zadania z parametrem, związanym, co ważniejsze, z różnicą oraz liczbą różnic i nieprawidłowości. Na przykład równe f(x)\u003d ale dozwolone jest robienie tego więcej, jeśli

aE(f) Podobnie, równy f(x)\u003d a może chcieć jednego korzenia, roztovaniya w przestrzeni deyakomu X, lub nie mieć tego samego korzenia w tej przestrzeni międzyprzestrzennej wtedy i tylko wtedy, jeśli kłamie lub nie kłamie bezosobowej wartości funkcji f(x) na przedziale X. f(x)≠ ale, f(x)> ja itd. Zokrema, f(x)≠ i dla wszystkich dopuszczalnych wartości х yakso a E(f)

Butt 4. Dla dowolnej wartości parametru a równe (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) istnieje jeden pierwiastek dla wcięcia [-4;-1].

Zapiszmy równość celownika (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Pozostali równi mogą chcieć tylko jednego korzenia na vdrіzka [-4;-1] i tylko wtedy, gdy istnieją bezosobowe wartości funkcji f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) na rewersie [-4;-1]. Znamy bezosobowość, zwycięską moc, nieprzerwaną i monotonię funkcji.

Z drugiej strony [-4;-1] funkcja y = xІ + 4 jest nieprzerwana, mniej i jest dodatnie, więc funkcja g(x) = 1/(x 2 + 4) jest nieprzerwany i zbіlshuєtsya w tsmuy vіdrіzku, oskіlki dla rozpodіlі na funkcję dodatnią, natura monotoniczności funkcji zmienia się na przedłużenie. Funkcjonować h(x) =(x + 5) 1/2 jest nieprzerwane i rośnie we własnej galerii D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, na vіdrіzku [-4;-1], deva, zresztą pozytywne. Ta sama funkcja f(x)=g(x) h(x), podobnie jak dodanie dwóch nieprzerwanych, rosnących i dodatnich funkcji, jest również nieprzerwane i powiększone o dodatkową [-4;-1], więc istnieje wartość bezosobowa o [-4;-1] є dodatkowa [ f(-4); f(-1)]=. Jest również równy rozwiązaniu podwójnej [-4;-1], a ponadto jedynki (dla jakości ciągłej funkcji monotonicznej), przy 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Szacunek. Dopuszczalność równa f(x) = a na bieżącym przedziale X jest równy ważności wartości parametru ale bezosobowa wartość funkcji f(x) na X. Otzhe, bezosobowa wartość funkcji f(x) dla przedziału X zmienia się od wartości parametru ale, dla tych równych f(x) = a Czy mogę chcieć jeden korzeń dla obszaru balu H. Zokrema E(f) Funkcje f(x) zbіgaєtsya z anonimową wartością parametru ale, dla tych równych f(x) = a Czy chcę jednego korzenia.

Przykład 5. Znajdź zakres wartości E(f) Funkcje

Otwieranie kolby metodą wprowadzania parametru, zgіdno z E(f) zbіgaєtsya z anonimową wartością parametru ale, dla tych równych

Czy chcę jednego korzenia.

Gdy a = 2 równa się liniowo - 4x - 5 = 0 z niezerowym współczynnikiem dla niezerowego x, nie ma rozwiązania. Gdy a≠2 jest równe kwadratowi, to można go rozwiązać albo i tylko wtedy, gdy jest wyróżnikiem

Oskіlki punkt a = 2, aby leżeć w vіdrіzku

wtedy shukanim wartość parametru ale, oznacza, ja cenię obszar E(f) bądź wszystkim vіdrіzok.

Jako pośrednie rozwinięcie metody wprowadzania parametru o danej wartości bezosobowej funkcji można rozważyć metodę funkcji odwrócenia, dla której konieczne jest sprawdzenie wartości funkcji f(x)=y, z parametrem y. Yakshcho tse equal może być jednym rozwiązaniem x = g(y), to zakres E(f) funkcje zewnętrzne f(x) ucieczka z miejsca spotkania D(g) funkcja śliny g(y). Yakshcho jest równy f(x)=y ma rozwiązanie kіlka x = g 1 (y), x = g 2 (y) i tak dalej, więc E(f) lepsza integracja obszarów funkcji g 1 (t), g 2 (t) itd.

Przykład 6. Znajdź obszar wartości E(y) funkcje y = 5 2/(1-3x).

Z równe

znamy funkcję odwrócenia x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

W takim razie Oskіlki rіvnyannya schodo x może być jedynym rozwiązaniem

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Ponieważ obszar funkcji przypisanej sumuje się z dziesięcioleci przedziałów, a funkcja na różnych przedziałach jest podawana różnymi wzorami, to dla istotności obszaru wartości funkcji wymagana jest znajomość anonimowego wartość funkcji na interwale skóry i weź je razem.

Przykład 7. Znajdź obszary o znaczeniu f(x)і f(f(x)), de

f(x) na giełdzie (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Znacząco t = 4x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na giełdzie (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, w środku (0; 4], jak wiemy, vicorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na promieżku (0;4] dobry g'(t) jest przypisany do rozpoczęcia tam od zera o t=3. O 0<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) maleje, a przerwy (3; 4) rosną, przepełnione nieprzerwaną przerwą musztardową (0; 4), poeta g (3)= 9 - najmniejsza wartość funkcji dla przeplotu (0; 4], jednak maksymalna wartość nie jest możliwa, więc przy t→0 funkcja prawej ręki g(t)→+∞. Todi, za jakość nieprzerwanej funkcji, bezosobową wartość funkcji g(t) na przedziale (0; 4], co oznacza, że nie mam znaczenia f(x) na (-∞;-1], bądź promin.

Teraz połączone interwały są bezosobowym znaczeniem funkcji f(f(x)), sensownie t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de T funkcjonować f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 i ponownie zaakceptuj wszystkie wartości od 5 do 9 włącznie, czyli. obszar wartości E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Podobnie, wiedząc z = f(f(x)), możesz poznać zasięg E(f3) Funkcje f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 itd. Pozbądź się tego, co? E(f3) = .

Najbardziej uniwersalna metoda obliczania mnożenia wartości funkcji i odejmowania największej i najmniejszej wartości funkcji dla danego przedziału.

Przykład 8. Dla niektórych wartości parametru r nierówności 8 x - p 2x+1 – 2x wygraj dla wszystkich -1 ≤ x< 2.

Po wyznaczeniu t = 2x, zapiszmy nierówność wyglądu p ≠ t 3 - 2t 2 + t. więc jaka t = 2x- funkcja nieprzerwanego wzrostu włączona R, wtedy dla -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда r zobacz wartość funkcji f(t) = t 3 - 2t 2 + t przy 0,5 ≤ t< 4.

Znamy kolejność anonimowej wartości funkcji f(t) na vіdrіzku, na próżno wszędzie, gdzie mogę iść f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Otzhe, f(t) zróżnicowane, później i bez przerwy na wietrze. Z równe f'(t) = 0 znamy punkty krytyczne funkcji t=1/3, t=1, przede wszystkim nie możesz położyć się na przyjacielu, ale na przyjacielu youma. więc jaka f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, wtedy dla jakości funkcji różniczkowanej 0 jest najmniejszą wartością, a 36 najwyższą wartością funkcji f(t) na vіdrіzku. Todi f(t), jako funkcja non-stop przyjmuje wszystkie wartości od 0 do 36 włącznie, ponadto wartość 36 przyjmuje tylko wtedy, gdy t=4 ponadto dla 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna jest dodatnia dla wszystkich przedziałów x z (-1; 1), więc funkcja arcus sinus wzrasta w całym zakresie przypisania. Ponownie, najmniejsza wartość wygranej jest przy x = -1, a największa przy x = 1.

Odjęliśmy dziedzinę funkcji od arcus sinus .

krupon.

Znajdź anonimową wartość funkcji na vіdrіzku.

Rozwiązanie.

Poznajmy najważniejszą i najmniej ważną funkcję w tym wątku.

Co istotne, punkt ekstremum, który leży w vіdrіzku:

Obliczanie wartości funkcji wyjściowej na końcach cięcia i w punktach :

Otzhe, bezosobowa wartość funkcji na vіdrіzku є vіdrіzok .

Pokażmy teraz, jak poznać wartość funkcji nieprzerwanej y = f(x) w przedziałach (a; b) , .

Od początku przypisujemy punkty ekstremom, funkcjom ekstremów, przedziałom wzrostu i zmiany funkcji na danym przedziale. Zostały one obliczone na przedziałach przedziału i (lub) pomiędzy na niezgodności (czyli na zachowaniu funkcji na przedziałach przedziału lub na niezgodności). Jest wystarczająco dużo informacji, aby poznać bezosobową wartość funkcji na takich interwałach.

krupon.

Wyznacz bezosobową wartość funkcji na przedziale (-2; 2).

Rozwiązanie.

Znamy punkty ekstremum funkcji, które są wydawane na przedziale (-2; 2):

Krapka x = 0 jest punktem maksimum, dlatego przy przejściu przez niego konieczna jest zmiana znaku z plusa na minus, a wykres funkcji wydaje się rosnąć, aby przejść do spadku.

є vіdpovіdny maksymalna funkcja.

Rozumiemy zachowanie funkcji w x, czyli do -2 prawoskrętnych i w x, czyli do 2 złiva, więc znamy granice jednostronne:

Co zabraliśmy: kiedy argument id -2 zmienia się na zero, wartość funkcji wzrasta od minus niespójności do minus jednej czwartej (maksimum funkcji przy x = 0 ), gdy argument id zmienia się z zera na 2, wartość funkcji spada do nieskończoności. W tej kolejności bezosobowa wartość funkcji na przedziale (-2; 2) є .

krupon.

Określ wartość mnożnika funkcji do stycznej y = tgx na przedziale.

Rozwiązanie.

Funkcja podobna do stycznej na przedziale jest dodatnia co wskazuje na wzrost funkcji. Śledź zachowanie funkcji na granicach przedziału:

W ten sposób przy zmianie argumentu wartość funkcji rośnie od minus niezgodności do plus niezgodności, czyli wartość tangensa na tym przedziale jest wartością wszystkich liczb rzeczywistych.

krupon.

Znajdź zakres funkcji logarytmu naturalnego y = lnx.

Rozwiązanie.

Do dodatnich wartości argumentu przypisywana jest funkcja logarytmu naturalnego . Na jakim przedziale jest dodatni Nie warto mówić o wzroście funkcji na nową. Znamy jednostronną granicę funkcji, gdy argument jest prawoskrętny do zera, oraz granicę w punkcie x, która jest poprawna do plus niespójność:

Bachimo, dla zmiany x od zera na plus niespójność, wartość funkcji rośnie od minus niespójności do plus niespójności. Otzhe, zakres funkcji logarytmu naturalnego bezosobowe liczby rzeczywiste.

krupon.

Rozwiązanie.

Ta funkcja jest przypisana do wszystkich wartości rzeczywistych x . Istotne są punkty ekstremum, a także luki we wzroście i zmianie funkcji.

Ponadto funkcja zmienia się w , rośnie w , x = 0 jest punktem maksymalnym, pozorne maksimum funkcji.

Przyglądamy się zachowaniu funkcji na niezgodności:

W ten sposób przy niezgodności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do zera.

Wyjaśniliśmy, że gdy argument zmienia się z minus niespójność na zero (punkty maksymalne), wartość funkcji rośnie od zera do dziewięciu (do maksimum funkcji), a gdy x zmienia się z zera na plus niespójność, wartość funkcji zmienia się od dziewięciu do zera.

Spójrz na schematyczne maluchy.

Teraz możesz wyraźnie zobaczyć, że zakres funkcji to .

Wartość mnożnika wartości funkcji y = f(x) na przedziałach o tym samym czasie trwania. Nie relacjonujmy od razu tych vipadków. Na tyłkach poniżej smród jest ostrzejszy.

Niech zakres funkcji y = f(x) będzie łączony na kilka przedziałów. Gdy obszar jest znany, o wartości takiej funkcji świadczy bezosobowa wartość wypukłości skóry i jej uogólnienie.

krupon.

Znajdź zakres funkcji.

Rozwiązanie.

Standard naszej funkcji nie jest winny schodzenia do zera, tobto.

Znamy bezosobową wartość funkcji na otwartej giełdzie.

Inne funkcje negatywny dla tego okresu przejściowego, więc funkcja zmienia się dla niego.

Wzięto pod uwagę, że gdy argument jest minus niespójność, wartości funkcji są asymptotycznie zbliżane do jedności. Kiedy zmienisz x z minusowej niespójności na dwie wartości, funkcja zmienia się z jednej na minusową niezgodność, więc na krótki czas, jak widać, funkcja przybiera bezosobową wartość. Jeden nie jest uwzględniony, fragmenty wartości funkcji nie dochodzą do niej, nie wystarczy asymptotycznie do niej przeskoczyć przez minus niespójność.

Diemo jest podobny do otwartej wymiany.

W jakim przedziale zmienia się również funkcja.

Anonimowa wartość funkcji dla tego tymczasowego jest bezosobowa.

W ten sposób zakres wartości funkcji jest potrzebny do łączenia wielokrotności.

Ilustracje graficzne.

Ślady Okremo na funkcjach okresowych. Zakres wartości funkcji okresowych zmienia się z bezosobowej wartości przedziału, która zależy od okresu funkcji.

krupon.

Znajdź zakres funkcji sinus y = sinx.

Rozwiązanie.

Ta funkcja jest okresowa z okresem dwóch pi. Vіzmemo vіdrіzok ma znacznie bezosobowe znaczenie na nymu.

Vіdrіzku leżą dwa punkty ekstremum ta .

Obliczamy wartość funkcji w tych punktach i na granicach vіrіzki, wybieramy najmniejszą i najwyższą wartość:

Otzhe, .

krupon.

Znajdź zakres funkcji .

Rozwiązanie.

Wiemy, że zakres wartości arccosine є vіdrіzok od zera do nі, a następnie lub w innym wpisie. Funkcjonować może być otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh axis abscissa. Takiego przekształcenia na tym terenie nie należy wstrzykiwać, do tego . Funkcjonować wydostać się z rozciągnięty do vtrychі vzdovzh osі Oy, tobto, . Pierwszy pozostały etap transformacji - sam tse zsuv chotirma wzdłuż osi uzdovzh rzędnych. Nie warto doprowadzać nas do nerwowości metra

W tym rankingu obszar shukana o wartości to .

Zróbmy rozwiązanie jeszcze jednego tyłka, ale bez wyjaśnienia (nie ma potrzeby smrodu, zrobię to samo).

krupon.

Określ zakres funkcji .

Rozwiązanie.

Napiszmy funkcję wyjściową jak . Obszarem wartości funkcji stanu jest przedział. Tobto, . Todi

Otzhe, .

Aby uzupełnić obraz, porozmawiajmy o zakresie wartości funkcji, ponieważ jest to nieprzerwany zakres funkcji. W tym przypadku obszar spotkania jest podzielony kropkami na luki i znamy bezsensowną wartość na ich skórze. Łącząc odejmowanie wartości mnożników, odejmujemy obszar wartości funkcji wyjściowej. Zaleca się odgadnąć 3 lewoskrętne wartości funkcji do przesunięcia minus jeden, a jeśli wartości x są do 3, w prawo wartość funkcji do przesunięcia plus niespójności.

W ten sposób obszar funkcji dzieli się na trzy przedziały.

Czy mogę mieć funkcję . Oscilki więc

Zatem bezosobowa wartość funkcji wyjściowej dla przedziału wynosi є [-6; 2].

Na ostatnim przedziale możliwe jest posiadanie stałej funkcji y = -1. Dlatego bezosobowa wartość funkcji zewnętrznej w okresie przejściowym jest sumowana z jednego elementu.

Funkcja jest przypisana do wszystkich rzeczywistych wartości argumentu. Z'yasuєmo promiski wzrost i zmiana funkcji.

Pokhіdna zwraca się do zera przy x=-1 i x=3. Znacznie qi wskazuje na osi liczbowej i bardzo podobne znaki na podprzedziałach.

Funkcja zmienia się na , Wzrost o [-1; 3] , x=-1 punkt do minimum, x=3 punkt do maksimum.

Obliczmy funkcje minimum i maksimum:

Odwrócenie zachowania funkcji w przypadku niezgodności:

Za kolejne mezhu został oskarżony.

Bardziej schematycznie krzesła.

Przy zmianie argumentu z minus nieskończoność na -1 wartość funkcji zmienia się z plus nieskończoność na -2e , przy zmianie argumentu z -1 na 3 wartość funkcji wzrasta z -2e na , przy zmianie argumentu z 3 do plus nieskończoność, wartość domeny jest zmieniana, ale nie osiągają zera.

Funkcja jest jednym z najważniejszych pojęć matematycznych do zrozumienia.

Spotkanie: Jeśli numer skóry mnożnika dwójki x jest ustawiony na jeden y, to wygląda na to, że funkcja y(x) jest przypisana do tego mnożnika. Kiedy x nazywamy niezależnym argumentem zmiany, a y nazywamy odległą wartością zmiany funkcji, jest to po prostu funkcja.

Mówiąc tak, to, co zmienia y, jest funkcją zmiany x.

Po oznaczeniu ważności pewnej litery, na przykład f, napisz ręcznie: y=f (x), aby wartość y pochodziła z argumentu x oznaczającego dodatkową ważność f. (Czytaj: y jest równe f w x.) Symbol f (x) oznacza wartość funkcji, która odpowiada wartości argumentu, która jest równa x.

Przykład 1 Niech funkcja będzie określona wzorem y=2x 2 –6. Wtedy można napisać, że f(x) = 2x2-6. Znamy wartość funkcji x, równą np. 1; 2,5;-3; więc znamy f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Z całym szacunkiem zapis ma postać y=f (x) zamiast f żyć innymi literami: g, a więc.

Cel: Zakres funkcji - wartość x, które pełnią tę samą funkcję.

Jeżeli funkcja jest podana przez formułę, a zakres funkcji nie jest przypisany, to ważne jest, aby do wartości argumentu dodać zakres funkcji, dla którego formuła nie ma sensu.

W przeciwnym razie, jak widać, zakres funkcji przypisanej przez formułę, wartość argumentu, milczy, jak gdyby można było doprowadzić do diy, jak możemy vikonate. W tej chwili znamy tylko dwóch z nich. Nie możemy dzielić przez zero i nie możemy wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.

Oznaczenie: Użyj wartości, jeśli zaakceptujesz odłogową zmianę, ustal obszar wartości funkcji.

Zakres wyznaczonej funkcji, opisującej rzeczywisty proces, leży w umysłach określonych umysłów i procesów. Na przykład nieświeżość długości długości długości ścinania, w zależności od temperatury ogrzewania t, wyraża się wzorem, de l 0 długości długości długości długości długości długości długości i współczynnik rozszerzalności liniowej. Przypisywany jest wzór maє sens dla dowolnej wartości t. Natomiast zakres funkcji l = g (t) jest przedziałem dziesiątek stopni, dla którego prawo rozszerzalności liniowej jest sprawiedliwe.

krupon.

Określ zakres funkcji y=arcsinx.

Rozwiązanie.

Obszar przypisany do arcsine є vіdrіzok [-1; 1] . Poznajmy najważniejszą i najmniej ważną funkcję dla każdego wątku.

Pokhіdna jest pozytywna dla wszystkich x z przedziału (-1; 1) , zatem funkcja arcus sinus rozrasta się w całym zakresie oznaczeń. Otzhe, najmniej ważną rzeczą jest nabuvaє x=-1, a najbardziej w x=1.