Jak poprawnie sporządzić załamanie nerwowości. Nierówności ułamkowo-racjonalne. Jak radzić sobie z niespójnościami, które mają moduł

Wpisz ax 2 + bx + 0 0, de (zamiana znaku > możliwa, sensowna, bądź jakaś inna oznaka nierówności). Wszystko jest konieczne do rozwiązania takich niezgodności z faktami teorii, widzimy, dlaczego możemy się zmienić od razu.

tyłek 1. Virishiti nerіvnіst:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
rozwiązanie,

a) Spójrzmy na parabolę y \u003d x 2 - 2x - 3, przedstawioną na ryc. 117.

Nierównomierność czystości x 2 - 2x - 3 > 0 - nie oznacza zasilania, dla którego rzędna x punkt paraboli jest dodatnia.

Z poważaniem, że y > 0, to wykres funkcji rozwinięcia jest wyższy dla osi x, przy x< -1 или при х > 3.

Otzhe, rozwiązania nierówności to wszystkie punkty otwartości o mnie(- 00 , - 1) i znajdź wszystkie punkty z zakresu otwartego krytycznego (3, +00).

Znak Vykoristovuyuchi U (znak podziału), można go zapisać w następujący sposób: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd można napisać tak: x< - 1; х > 3.

b) Nierówność x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: harmonogram rozprzestrzenianie się poniżej osi x, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nieregularność x 2 - 2x - 3 > 0 liczy się jako nierówności x 2 - 2x - 3 > 0, więc trzeba uwzględnić wyrównanie pierwiastków x 2 - 2x - 3 = 0, a następnie punkty x = -1

і x \u003d 3. W tej kolejności podane rozwiązania nie są całkowicie nierówne i wszystkie punkty zmiany (-00, - 1], a także punkty zmiany wąsów).

Praktyczni matematycy brzmią tak: przyjdź do nas, udowadniając nierówności ax 2 + bx + c\u003e 0, aby dokładnie opracować parabolę wykresu funkcji kwadratowej

y \u003d topór 2 + bx + c (jak został rozbity na kolbie 1)? Wykańczanie szkicowej małej grafiki źródło kwadratowego trójmianu (punkty poprzeczki paraboli z vіssy х) i oznaczają, gdzie prostowanie igieł paraboli przebiega w górę w dół. Ten szkicowy maluch da ci chmurę nerwowości rozv'yazannya.

tyłek 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Rozwiązanie.

1) Znamy pierwiastek trójmianu kwadratowego - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, podobnie jak wykres funkcji y \u003d -2x 2 + Zx + 9, przesuwając wszystkie x w punktach 3 i - 1,5, a kołki paraboli są wyprostowane, starsze współczynnik- Liczba ujemna - 2. Na ryc. 118 przedstawień małej grafiki.

3) Ryż Vikoristovuyuchi. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Sugestia: x< -1,5; х > 3.

Przykład 3. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Rozwiązanie.

1) Z równe 4x 2 - 4x + 1 = 0 jest znane.

2) Trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek; tse oznacza, że ​​jest to parabola, podobnie jak wykres trójmianu kwadratowego, nie zmieniaj wszystkich x, ale stoją w punktach. Głowice paraboli prosto pod górę (ryc. 119.)

3) Dla dodatkowego modelu geometrycznego, który pokazano na ryc. 119 ustalono, że nierówności są ustalane tylko w punktach, skalowanie przy wszystkich innych wartościach rzędnej wykresu jest dodatnie.
Sugestia: .
Ty śpiewasz, pamiętałeś, że w rzeczywistości tyłki 1, 2, 3 miały całą pieśń algorytm nieregularności kwadratowe rozv'yazannya, sformalizowane Yogo.

Algorytm wyprowadzania nieregularności kwadratowej ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

W pierwszym etapie algorytmu konieczna jest znajomość pierwiastka trójmianu kwadratowego. Ale korzenia nie można złamać, po co pracować? Wtedy algorytm nie zastosovuetsya, więc i tak trzeba go przestrzegać. Kluczem do tsikh mirkuvan jest podanie takich twierdzeń.

Innymi słowy, jak D< 0, а >0, to nierówność osi 2 + bx + c > 0 wygrywa dla wszystkich x; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Dowód. Harmonogram Funkcje y \u003d ax 2 + bx + c є parabola, igły są proste w górę (skalary a\u003e 0), a jaka nie zmienia wszystkich x, ponieważ trójmian kwadratowy nie ma korzenia dla umysłu. Wykres pokazano na ryc. 120. Bachimo, że przy wszystkich x harmonogram rozwinięć jest wyższy niż oś x, ale tse oznacza, że ​​przy wszystkich x, nierówności ax 2 + bx + c > 0, które miały zostać wypełnione.

Innymi słowy, jak D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 brak rozwiązania.

Dowód. Wykres funkcji y \u003d ax 2 + bx + c є parabola, igły wyprostowane (przegrzebki a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

tyłek 4. Virishiti nerіvnіst:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Znamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2x 2 - x + 4. Maj D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Starszy współczynnik trójmianu (liczba 2) jest dodatni.

Tak więc, dla Twierdzenia 1, dla wszystkich x, nierówność 2x 2 - x + 4> 0 jest pokonana, tak że wszystkie (-00 + 00) służą jako rozwiązania danej nierówności.

b) Znamy wyróżnik trójmianu kwadratowego - x 2 + Zx - 8. Maj D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Ważność: a) (-00 + 00); b) nie ma rozwiązania.

Na ofensywnym tyłku znamy jeszcze jeden sposób miringu, który zastosovuetsya na otwarciu nieregularności kwadratu.

Przykład 5. Virishity nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Rozwiązanie. Rozszerzamy trójmian kwadratowy 3x 2 - 10x + 3 na mnożniki. Do pierwiastków trójmianu є liczba 3 i do tego, przyspieszając oś 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), bierzemy 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x-)
Znacząco na liczbowym pierwiastku bezpośrednim trójmianu: 3 i (ryc. 122).

Niech x>3; wtedy x-3>0 w x->0, a następnie dodatkowe 3(x - 3)(x - ) jest dodatnie. Żwawiej, żwawiej< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Również dobutok 3(x-3)(x-) jest ujemny. Chodź, chodź, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) jest dodatnie.

Podsumowując, dochodzimy do visnovki: znaki trójmianu kwadratowego Zx 2 - 10x + 3 zmieniają się, jak pokazano na ryc. 122. Ale mamy się nazywać, dla pewnego trójmianu kwadratowego przyjmuje wartości ujemne. 3 rys. 122 robimo visnovok: trójmian kwadratowy 3x 2 - 10x + 3 nabuє wartości ujemne dla dowolnej wartości x w przedziale (, 3)
Vidpovid (, 3), w przeciwnym razie< х < 3.

Szacunek. Metoda odbicia lustrzanego, którą zastosowaliśmy na dolniku 5, nazywa się metodą interwałów (lub metodą interwałów). Wygrywaj aktywnie wygrywa w matematyce dla perfekcji racjonalny nieprawidłowości. W klasie 9 metoda interwałów jest bardziej szczegółowa.

tyłek 6. Dla dowolnej wartości parametru p kwadrat równy x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) istnieją dwa różne korzenie;

b) jest jeden korzeń;

c) nie maє -root?

Rozwiązanie. Liczbę pierwiastków wyrównania kwadratowego należy znaleźć zgodnie ze znakiem pierwszego wyróżnika D. W tym przypadku znane jest D = 25 - 4p2.

a) Wyrównanie kwadratu może mieć dwa różne pierwiastki, np. D>0, stąd zadaniem jest doprowadzenie do wyrównania nierówności 25 - 4p 2 > 0. Zabieramy równość nierówności 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Oznaki wirazy 4(p – 2,5) (p + 2,5) pokazano na ryc. 123.

Robimo visnovok, który jest nierówny 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) wyrównanie do kwadratu może mieć jeden korzeń, więc D - 0.
Wstawiliśmy więcej, D = 0 dla p = 2,5 lub p = -2,5.

To samo z wartościami tsikh parametru podano kwadrat równy tylko jednemu pierwiastkowi.

c) Kwadrat nie jest równy pierwiastkowi, jak D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Bierzemy 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, gwiazdy (rozdz. Rys. 123) p< -2,5; р >2.5. Przy wartościach tsikh podanego parametru kwadrat nie ma pierwiastka.

Vidpovid: a) przy p(-2,5, 2,5);

b) przy p = 2,5 po porodzie = -2,5;
c) w r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algebra. Klasa 8: Navch. dla zagalnosvіt. instalacja - widok 3., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001r. - 223 s.: il.

Pomoc dla ucznia online, Matematyka do pobrania dla klasy 8, planowanie tematyczne kalendarza

Liniowe nazywane są niespójnościami lewa i prawa część takich funkcji liniowych o nieznanej wielkości. Przed nimi widać np. zdenerwowanie:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Nierówności Suvori: topór+b>0 lub topór+b<0

2) Nieprawidłowości nieścisłe: topór + b≤0 lub topór+b≫ 0

Spójrzmy. Jeden z boków równoległoboku staje się 7 cm. Jaka może być długość drugiego boku, aby obwód równoległoboku był większy niż 44 cm?

Chodź po stronie shukana x zobacz Tym razem obwód równoległoboku będzie miał reprezentacje (14 + 2x) zobacz Nieregularność 14 + 2x > 44 є model matematyczny Problem z obwodem równoległoboku. Jak w tej nierówności wymień zmianę x Na przykład na liczbę 16 bierzemy wtedy prawidłową nierówność liczbową 14 + 32 > 44. W tym przypadku wydaje się, że liczba 16 jest taka sama jak różnica między 14 + 2x > 44.

Nerwowość Rozvyazanyam nazwij znaczenie zmiany, jakby to była ich bestia, we właściwej liczbowej nierówności.

Otzhe, skóra z numerów 15.1; 20;73 działają jak nierówności rozvyazkoy 14 + 2x > 44, a na przykład liczba 10 to nie to samo rozvyazky.

Virishiti nerіvnіst oznacza zainstalowanie wszystkich rozwiązań lub doprowadzenie do tego, że rozwiązanie nie istnieje.

Sformułowanie rozv'yazannya nierówności jest podobne do formuły korzenia wyrównania. Mimo to nie jest zwyczajowo określane jako „źródło nerwowości”.

Dominację równoważności liczbowej uzupełniła równoważność virishuvati. Tak więc sama moc niespójności liczbowych pomoże przezwyciężyć niespójności.

Virishyuchi równy, zmieniamy drugiego, bardziej wybaczamy równemu, ale równemu danemu. Za takim schematem zna się konsekwencje i niekonsekwencje. Zmieniając wyrównanie na równe, wyrównanie potwierdza twierdzenie o przejściu dodawania z jednej części równej długości i mnożeniu obu części równej tej samej w tej samej liczbie co zero. W przypadku rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdminnіst yogo z іvnyannіm, jaka spiera się o to, czy rozwiązanie іvіnnіnіnі może być źle zrozumiane tylko przez ustawienie vihіdnіnіnіnіа. Nieprawidłowości mają taki sposób na co dzień, że bezosobowego rozwiązania nie można im przedstawić. Do tego ważne jest, aby zrozumieć, oś strzał<=>- znak równoważny tse, równy chi, transformacja. Transformacja nazywa się równy, lub równowartość jak smród nie zmienia bezosobowej decyzji.

Podobne zasady dotyczące drażliwości rozv'yazannya.

Jakby coś miało być przesunięte z jednej części nierówności na drugą, zamieniając znak na przeciwny, to usuwamy nierówności równoważne z daną.

Jeśli pomnożymy (podzielimy) obrażające części nerwowości przez tę samą liczbę dodatnią, to usuniemy nierówności odpowiadające podanej.

Jeśli pomnożymy (podzielimy) naruszające części nierówności przez tę samą liczbę ujemną, zastępując znak nierówności przedłużeniem, to usuniemy nierówności, które są równoważne z daną.

Vikoristovuyuchi qi przepisy prawne licząc mniejszą drażliwość.

1) Rzućmy okiem na niespójność 2x - 5 > 9.

Tse nierówności liniowe, znamy decyzję Yogo i dyskusyjnie główne zrozumienie.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 przesuniętych w lewą część z przeciwnym znakiem), potem podzielili wszystko przez 2 i może x > 7. Do wszystkiego zastosujemy bogate rozwiązanie x

Usunęliśmy pozytywne dyrektywy. Zdecydowanie bezosobowa decyzja lub jako nerwowość x > 7, lub jako przedział x(7; ∞). A co z prywatnymi decyzjami o nerwowości? Na przykład, x=10- tse private vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- to także prywatny wariant nerwowości.

Jest wiele prywatnych decyzji, ale naszym zadaniem jest poznanie wszystkich decyzji. A decyzja z reguły jest bezosobowa.

Rozberemo tyłek 2:

2) Wyeliminuj nerwowość 4a - 11 > a + 13.

Joga Virishima: ale ruszajmy w jednym dziobie, 11 przejdź do następnej książki, weź 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nerwowość może wyglądać a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Tezh najwyraźniej bezosobowe a< 8 , ale już na osi ale.

Vidpovid lub pisz jak zdenerwowanie a< 8, либо ale(-∞;8), 8 nie jest wliczony w cenę.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z powodów rozszerzyliśmy Politykę prywatności, zgodnie z opisem, ponieważ zebraliśmy Twoje dane. Bądź uprzejmy, przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania dotyczące jedzenia.

Wybór wybranych danych osobowych

Pod danymi osobowymi podane są dane, ponieważ można wygrać w celu identyfikacji śpiewającej osoby i powiązania z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych, jeśli skontaktujesz się z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, jakie możemy wybrać i jakie możemy wybrać takie informacje.

Jak zbieramy dane osobowe:

• Jeśli złożysz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itd.

Jak zbieramy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych, odwiedzać i znajdować najbliższe.
• Od czasu do czasu możemy vikoristovuvat Twoje dane osobowe, aby wzmocnić ważne przypomnienia i przypomnienia.
• Możemy również zbierać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i innych zapisów metodą ulepszania usług, którą mamy nadzieję przekazujemy Państwu polecając nasze usługi.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniach nagród, konkursach lub podobnych wpisach motywacyjnych, mamy nadzieję, że możemy zdobyć informacje, które pozwolą nam zarządzać takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy Twoich danych osobom trzecim.

Winiatki:

• Konieczne jest – zgodnie z prawem, nakazem sądowym, kontrolą sądową i/lub na podstawie próśb publicznych lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnienie swoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, co ważniejsze, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, utrzymania prawa i porządku lub innych ważnych vipadkiv.
• W czasach reorganizacji, obciążania lub sprzedaży możemy przekazać dane osobowe, które zebraliśmy przez nas, osobę trzecią - sprawcy.

Ochrona danych osobowych

Mieszkamy za granicą - w tym administracyjną, techniczną i fizyczną - w celu ochrony Twoich danych osobowych w postaci odpadów, kradzieży i pozbawionej skrupułów vikoristannya, a także nieuprawnionego dostępu, ujawnienia, zmiany tego naruszenia.

Zachowanie prywatności w firmie partnerskiej

W celu zmiany Twoich danych osobowych w taki sposób, aby Twoje dane osobowe były bezpieczne, wprowadzamy w kontaktach normy poufności i bezpieczeństwa oraz ściśle przestrzegamy zasad poufności.

Dziś, przyjaciele, nie będzie codzienności i sentymentu. W ich zastępstwie pokieruję Cię bez żadnej siły, aby pokonać jednego z najgorszych przeciwników na kursie algebry 8-9 klasy.

Więc wszystko dobrze zrozumiałeś: przejdź do niespójności z modułem. Przyjrzyjmy się niektórym głównym zasadom, za pomocą których nauczysz się pokonywać blisko 90% takich zleceń. A co z 10% reshtoyu? Cóż, porozmawiamy o nich na dobrej lekcji.

Jednak przed tym, jak uporządkować, jak to tam przyjąć, chciałbym odgadnąć dwa fakty, które należałoby poznać. W przeciwnym razie sprawdzisz znajomość materiału dzisiejszej lekcji.

Co chcesz wiedzieć

Oczywistym jest, że aby usunąć niezgodności z modułem, trzeba znać dwa słowa:

1. Jak szaleje nerwowość;
2. Co to jest moduł?

Zacznijmy od innego punktu.

Funkcja modułu

Tutaj wszystko jest proste. Є dwie funkcje: algebraiczna i graficzna. Dla kolby - algebraiczne:

Wizyta, umówione spotkanie. Moduł liczby $x$ to albo sama liczba, ponieważ nie jest dla mnie widoczna, albo liczba, która jest przeciwna do ciebie, jako druga $x$, jest nadal ujemna.

Nagraj to tak:

\[\lewo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Mówiąc prościej, moduł to „liczba bez minusa”. Ja sam w tej dwoistości (tutaj, od ostatniej liczby, nic nie trzeba pracować, ale tutaj zdarza się, że zbieram tam minus) i używam wszystkich spasowań dla studentów-poczatków.

Bardziej geometryczny wzór. Dobrze też wiedzieć, ale będzie mniej prawdopodobne, że podejdziemy do nowego w składany, a nawet specjalny sposób, geometryczny pidkhіd udany dla algebraiki (spoiler: nie dzisiaj).

Wizyta, umówione spotkanie. Niech punkt $a$ będzie zaznaczony na osi liczbowej. Ten sam moduł $ \ lewo | x-a \right|$ jest wywoływana od punktu $x$ do punktu $a$ w tej linii.

Jeśli chcesz przekreślić obraz, możesz to zobaczyć na kshtalt tsogo:

Projekt graficzny modułu

Co więc innego, z oznaczenia modułu, od razu widać kluczową moc: moduł liczby jest zawsze równy wielkości. Ten fakt będzie czerwoną nitką do przejrzenia całego naszego dzisiejszego dyskursu.

Virishennya nerіvnosti. Metoda interwałowa

Przyjrzyjmy się teraz nerwowości. Może to bezosobowe, ale naszym zadaniem od razu jest zabicie virishuvati chcących być najprostszym z nich. Tі, scho zvoditsya do nieprawidłowości liniowych i metoda interwałów.

Na ten temat mam dwie świetne lekcje (mіzh іnshim, więcej, bardziej brązowy - polecam vivchiti):

1. Metoda interwałowa dla nieprawidłowości (zwłaszcza spójrz na wideo);
2. Niespójności ułamkowo-racjonalne - nawet ogólna lekcja, ale wtedy nie masz dość jedzenia.

Jeśli wiesz wszystko, jeśli zdanie „przejdźmy od nierówności do równości” nie brzmi, jakbyś był szalenie zmęczony zabijaniem się o ścianę, to jesteś gotowy: uprzejmie prosimy o piekło do głównej lekcji :)

1. Nieregularność umysłu „Moduł mniej niż funkcja”

To jedno z najbardziej rozbudowanych zadań z modułami. Konieczne jest przezwyciężenie nierówności umysłu:

\[\lewo| f\prawo| \ltg\]

Rolą funkcji $f$ i $g$ mogą być wielomiany. Zastosuj takie niespójności:

\[\begin(wyrównaj) & \left| 2x+3\prawo| \ltx+7; \\ & \lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \lewo| ((x)^(2))-2\lewo| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\koniec(wyrównaj)\]

Wszystkie smród są dosłownie w jednym rzędzie za schematem:

\[\lewo| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]

Nie ma znaczenia, czy moduł jest oszczędzony, ale możemy usunąć leżącą u podstaw niespójność (inaczej ten sam, system dwóch niespójności). Prote cey transfer vrakhovu absolutnie wszystko możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; akscho negatywnie - cała ta sama praktyka; I navit dla najbardziej nieodpowiedniej funkcji domu $f$ chi $g$ wszystko to samo.

Oczywiście obwiniaj jedzenie: czy nie może być prostsze? Niestety nie jest to możliwe. Kto ma całą funkcję modułu.

Ale trzymaj się filozofowania. Zaśpiewajmy gałązkę dnia:

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| 2x+3\prawo| \ltx+7\]

Rozwiązanie. Ponadto przed nami jest klasyczny „mniejszy moduł” umysłu nerіvnіst - aby niczego nie przerabiać. Przećwicz algorytm:

\[\begin(wyrównaj) & \left| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \lewo| 2x+3\prawo| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]

Nie spiesz się z otwieraniem łuków, przed którymi znajduje się „minus”: w miarę możliwości, poprzez pośpiech, oddasz się symbolicznemu ułaskawieniu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(wyrównaj) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Zadanie polegało na maksymalnie dwóch elementarnych nieprawidłowościach. Znacząco їх virіshennia na równoległych liniach liczbowych:

Wielokrotność Peretina

Peretin tsikh pomnożyło się i będzie jasne.

Dopasowanie: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Rozwiązanie. Zamówienie jest już trochę złożone. W przypadku kolby używamy modułu, przenosząc kolejny dodatek w prawo:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]

Oczywiście mamy do czynienia z nową nierównomiernością postaci „mniejszy moduł”, dlatego dopuszczamy moduł dla istniejącego już algorytmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Oś szacunku do zarażenia: powiem ci, jestem troch bochenets w wąsach z kajdanami. Ale, zgadnę jeszcze raz, jaka jest nasza kluczowa meta kompetentnie virishiti nerіvnіst i otrimati vіdpovіd. Później, jeśli dokładnie opanowałeś wszystko, co ujawniono w tej lekcji, możesz się przekręcić, jak chcesz: otwórz ramiona, dodaj minusy itp.

A dla nas, dla kolby, po prostu obudzimy się z podważającym minusem zła:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]

Teraz wszystkie łuki ukrytej nerwowości zostały otwarte:

Przejdźmy do nerwowości metra. Tym razem zakładki będą poważniejsze:

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\w prawo.\]

Przestępstwa nierówności są do kwadratu i naruszane metodą interwałów (ale powiem ci: nie wiesz, co to jest, raczej nie bierz jeszcze modułów). Przejdźmy do pierwszej nierówności:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\lewo(x+5\prawo)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\koniec(wyrównaj)\]

Jak bachimo, przy wyjściu szedł nierówno kwadratowo, nawet, jakby był elementarny. Przyjrzyjmy się teraz kolejnej nerwowości systemu. Tam zdarza się twierdzenie zastosuvat Viet:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\koniec(wyrównaj)\]

Znacząco odejmij liczby na dwóch równoległych liniach (okrema dla pierwszej nierówności i okrema dla drugiej):

No cóż, na pewno dzieląc z nami system nieprawidłowości powtórzymy wiersze mnożników cieniowania: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.

Dopasuj: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myślę, że po ich zastosowaniu schemat rozwiązania miał graniczny sens:

1. Zasymiluj moduł, przenosząc wszystkie inne dodatki na główną część nierówności. W ten sposób uwzględniamy niespójność umysłu $\left| f\prawo| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerіvnіst, oszczędzając moduł dla schematu opisanego powyżej. W pewnym momencie konieczne jest przejście od podwariantowej nerwowości do systemu dwóch niezależnych wirusów, których skórę można całkowicie naprawić.
3. Nareshti, być pozbawionym rozwiązania tych dwóch niezależnych sylab - a wszystko, co zabieramy, to pozostałości.

Podobny algorytm stosuje się do szorstkości typu ofensywnego, jeśli moduł jest większy niż funkcja. Jest jednak gałązka poważnego „ale”. Porozmawiajmy od razu o qi „ale”.

2. Nieregularność umysłu „Moduł to więcej niż funkcja”

Wyglądają tak:

\[\lewo| f\prawo| \gt g\]

Wygląda na przód? To wygląda jak. Prote vyrishyuyutsya tak zavdannya zovsіm w inny sposób. Formalnie schemat nadchodzi:

\[\lewo| f\prawo| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(align) \right.\]

Innymi słowy, widzimy dwa punkty:

1. Z drugiej strony po prostu zignoruj ​​moduł - normalna niespójność virishhuєmo;
2. Zasadniczo rozszerzmy moduł 3 o znak minus, a następnie pomnożymy naruszającą część nierówności przez −1, czyli mniej niż znak.

W tym wariancie posiadają kwadratową kokardę, tobto. może małżeństwo dwojga mogłoby.

Oddaj ponownie szacunek: nie stoimy przed systemem, ale sukupnistą, w vіdpovіdі impersonals jednoczą się, ale się nie zmieniają. Ważne jest, aby zobaczyć pierwszy punkt!

Vzagali, z ob'ednannymi i peretina w bogatej uchnіv sutsіlna plutanina, uporządkujmy to w żywieniu tsommu raz za razem:

• "∪" - jest znakiem ob'ednannya. W rzeczywistości litera „U” została wystylizowana, tak jak do nas przyszła od angielski filmє skrót jak „Union”, tobto. "Unia".
• „∩” to znak linii. Tsya bzdura dźwięk nie przyszedł, ale po prostu winyl taki, jak został napisany przed „∪”.

Aby było łatwiej zapamiętać, pomaluj po prostu te znaki, aby widać było kielichy (oś tylko nie musi mnie od razu wzywać w propagandzie narkomanii i alkoholizmu: jeśli nauczysz się całej lekcji, to ty są już narkomanami):

Rіznitsya mizh retinom i ob'єdnannyam mnozhin

W tłumaczeniu rosyjskiego tse oznacza to: związek (zaopatrzenie) zawiera w sobie elementy z obu zbiorów, czyli nie mniej niż skóra; a oś (układ) siatkówki obejmuje tylko te elementy, które jednocześnie znajdują się w pierwszym mnożniku, a w drugim. Dlatego nie ma już wielokrotności wielu wakacji.

Czy stało się to bardziej sensowne? Od ja dobrze. Przejdźmy do praktyki.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]

Rozwiązanie. Diemo dla schematu:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right .\]

Skóra Virishuemo nerіvnіnі suupnostі:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(wyrównaj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(wyrównaj) \right.\]

To znaczy pomnożę skórkę przez linię liczbową, a następnie połączymy je:

Kombinacja wielokrotności

Jest dość oczywiste, że $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sugestia: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Rozwiązanie. Więc co? To nic - wszystko jedno. Przejdźmy przez nierówność modułem do agregacji dwóch nierówności:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(wyrównaj) \w prawo.\]

Łagodzi podrażnienia skóry. Niestety korzenia już tam nie będzie.

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\koniec(wyrównaj)\]

Druga nerwowość również ma trochę gry:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\koniec(wyrównaj)\]

Teraz musisz obliczyć liczby na dwóch osiach - jedna oś dla nierówności skóry. Konieczne jest jednak zaznaczanie kropek w odpowiedniej kolejności: im wyższa liczba, tym bardziej kropka została przesunięta w prawo.

І oś tutaj sprawdza nas. Jeśli chodzi o liczby $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ wszystko jest jasne ), więc suma jest również mniejsza) , z liczbami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ liczba jest większa niż ujemna), a następnie z resztą para, wszystko nie jest takie jasne. Co jest większe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme rozmieszczając punkty na liniach liczbowych і, vlasne, vіdpovіd.

Przyjrzyjmy się więc:

\[\begin(macierz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(macierz)\]

Potwierdziliśmy pierwiastek, odjęliśmy liczby ujemne z obu stron nierówności, więc mamy prawo do kwadratu stron naruszających:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(macierz)\]

Chyba zdałem sobie sprawę, że $4\sqrt(13) \gt 3$, że $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, pozostałe punkty na osiach zostaną ułożone w następujący sposób:

Vipadok brzydkiego korzenia

Zgaduję, widzimy sukupnіst, dlatego konieczne jest posiadanie jointa, a nie przetasowanie wielokrotności cieniowania.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Podobnie jak Bachite, nasz program cudownie sprawdza się zarówno w przypadku prostych, jak i trudnych zadań. Jedynym „słabym miejscem” dla takiej osoby jest potrzeba umiejętnego zrównoważenia liczb niewymiernych (i kolei: to nie więcej niż pierwiastek). Alya zostanie poświęcona okremium na racje (a nawet poważną lekcją). I chodźmy.

3. Nieprawidłowości z niewidocznymi „ogonami”

Uciekliśmy od najlepszych. Cena nierównego umysłu:

\[\lewo| f\prawo| \gt\lewo| g\prawo|\]

Pozornie algorytm, o którym zaraz porozmawiamy, jest lepszy dla modułu. W pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє stoją gwarantowane nevid'єmnі vrazi:

Jaka jest praca tych zadań? Tylko pamiętaj:

Nieprawidłowości z niewidocznymi „ogonami” mogą powodować obrażanie części świata przyrody. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya w tsomu nie vynikne.

Jesteśmy przed nami tsikavitime zvedennya na kwadracie - w modułach do spania, które zakorzeniają:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\koniec(wyrównaj)\]

Oś tylko nie musi być oszukiwana od pierwiastka kwadratu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \prawo|\ne f\]

W tym momencie dozwolone było bezosobowe ułaskawienie, jeśli nauczyłeś się zapominać o zainstalowaniu modułu! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі irracjonalny rіvnyannya), tse nie od razu zaglyuvatymosya. Zobaczmy wyraźniej szprota dnia:

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \w prawo|\]

Rozwiązanie. Ponownie szanujemy dwa słowa:

1. Tse nie suvora nerіvnіst. Krapki na osi liczbowej zostaną zerwane.
2. Obraźliwe strony niespójności są wyraźnie niewidoczne (moc modułu: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

Możemy również wyrównać obraźliwe części nierówności, aby pozbyć się modułu i wyeliminować zadanie, stosując najlepszą metodę interwałów:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\koniec(wyrównaj)\]

W dalszej części etapu trochę oszukałem: zmiana kolejności dodatków, skrócenie parzystości modułu (właściwie przez pomnożenie $1-2x$ przez -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) w prawo)\w prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Virishuemo metodą interwałów. Przejdźmy od nierówności do wyrównania:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\koniec(wyrównaj)\]

Najwyraźniej korzeń znajduje się na osi liczbowej. Jeszcze raz: wąsy plamek farbovani, odłamki nerwowości - nie Suvora!

Zvіlnennya zgodnie ze znakiem modułu

Chyba dla tych, którzy są szczególnie bezkompromisowi: bierzemy znaki od reszty nierówności, jakby buła została spisana przed przejściem na równe. I region zafarbovuyemo, jaka potrzebna jest w tej samej nierówności. Nasz vipad ma $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Cóż, ze wszystkiego. Zadanie się skończyło.

Sugestia: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Rozwiązanie. Robimo tak samo. Nie komentuję - po prostu podziwiam kolejność działań.

Weźmy kwadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda interwałowa:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnic. \\koniec(wyrównaj)\]

Tylko jeden korzeń na osi liczbowej:

Vidpovid - interwał tsiliy

Sugestia: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Niewielki szacunek dla reszty głowy. Jakby dokładnie szanując jednego z moich uczniów, obelgi podmodułu są wyraźnie pozytywne w tej nerwowości, więc znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.

Ale tse już zovsіm іnshiy rіven razdumіv, że іnshі pіdkhіd yogo można nazwać mentalnie metodą nasledkіv. O nowościach w okremou urotsi. A teraz przejdźmy do końcowej części dzisiejszej lekcji, czyli uniwersalnego algorytmu, który jest praktykowany od zawsze. Navit więc, gdyby wszyscy przednie okazali się bezsilni.

4. Sposób wyliczania opcji

A dlaczego wszystkie priyomi nie pomagają? Jak nierówność nie może być spowodowana niewidzialnymi ogonami, jak nie wejść do modułu, jak można go uruchomić?

Wtedy na scenę wkracza wielka artyleria wszelkiej matematyki - metoda liczenia. Setki nieprawidłowości z modułu wygląda tak:

1. Zapisz wszystkie pіdmodulnі vrazi i zrównaj je z zero;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya, że ​​vіznázchiti znaydenі korenі na jednej numerycznej linii prostej;
3. Bezpośrednio rozіb'єtsya na kіlka dіlyanok, środek takiego skórzanego modułu może naprawić znak i jest to jednoznacznie rozkrivаєєtsya;
4. Virishiti nerіvnіst na kozhnіy takich dilyanci (możesz spojrzeć na root-cordoni, otrimani w punkcie 2 dla supremacji). Wyniki stowarzyszenia - tse i bude vіdpovіd.

Cóż, jaka? Słaby? Łatwo! Przez długi czas. Spójrzmy praktycznie:

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\lewo| x+2 \prawo| \lt\lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Rozwiązanie. Bzdura Tsya nie denerwuj się $ \ left | f\prawo| \lt g$, $\lewo| f\prawo| \gt g$ lub $\lewo| f\prawo| \lt\lewo| g \right|$, w porządku.

Piszemy submodularne virazi, przyrównujemy je do zera i znamy pierwiastek:

\[\begin(wyrównaj) & x+2=0\Strzałka w prawo x=-2; \& x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\koniec(wyrównaj)\]

Razem mamy dwa pierwiastki, które dzielą liczbę wprost na trzy działki, w środku tych skórek moduł jednoznacznie się rozwija:

Dzielenie osi liczbowej zerami funkcji submodularnych

Spójrzmy na okremo skóry.

1. Daj $x \lt -2$. Todi obraża pіdmodulnі virazi negatywnie, ja vihіdna nerіvnіst przepisuję w ten sposób:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\koniec(wyrównaj)\]

Zdobuli dosit po prostu obmezhennya. Przenieśmy jogę z resztą dodatków, które $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnic \]

Oczywistym jest, że zmiana $x$ nie może być mniejsza niż -2 w ciągu nocy, ale większa niż 1,5. Nie ma rozwiązania dla tego biznesu.

1.1. Okremo spójrz na vipadok w pobliżu kordonu $x=-2$. Wyobraźmy sobie tę liczbę przy braku niespójności i weryfikowalnych: dlaczego jest zwycięska?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lewo| -3 \prawo|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnic. \\koniec(wyrównaj)\]

Widać, że językoznawca oszukał nas do granic niewiarygodnych nierówności. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh źle, $ x = -2 $ nie idź w vіdpovіd.

2. Teraz daj $-2 \lt x \lt 1$. Moduł biblioteczny jest już rozwijany z plusem, ale ten właściwy jest nadal z minusem. Maemo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\koniec(wyrównaj)\]

Zmieniam to na nowo z vikidnoy vimogoy:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Odnawiam puste rozwiązanie bezosobowe, nie ma odłamków takich liczb, które są jednocześnie mniejsze niż -2,5, a więcej niż -2.

2.1. Odnawiam okremy vipadok: $ x = 1 $. Wyobraźmy sobie, że zjazd jest nierówny:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lewo| 3\prawo| \lt\lewo| 0 \prawo|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strzałka w prawo \varnic. \\koniec(wyrównaj)\]

Podobnie jak w przypadku pierwszego „prywatnego zrzutu”, liczba $x=1$ wyraźnie nie jest uwzględniona w zrzutu.

3. Pozostały kawałek prosto: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są zakrzywione ze znakiem plus:

\[\begin(wyrównaj) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(wyrównaj)\ ]

Ponownie zastanawiam się nad wielością wymian zewnętrznych:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \prawidłowy)\]

Cóż, weź to! Znaliśmy interwał, który będzie povіddu.

Sugestia: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nasamkinets - jeden szacunek, być może uchroni cię przed złymi przebaczeniami, gdy zostaną spełnione prawdziwe zadania:

Virishennya nerіvіvnosti z modułów zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Pułapka izolowanych kropek jest wolniejsza. Bardziej prawdopodobne jest pułapkowanie, aby między rozwiązaniami (kіnets vіdrіzka) wykraczały poza granice analizowanego zakresu.

Skoro tak jakby kordony (te „prywatne vipadki” same) nie wchodziły do ​​straży, to mayzhe, pojedynczo, nie idź do straży i obszaru zła, aby wejść do tych kordonów. І navpaki: kordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh będzie vіdpovіdyami.

Pamiętaj o tym, jeśli zmienisz swoją decyzję.

A dzisiejsze racjonalne niespójności w ogólnych obsyazach można odwrócić. Dokładniej, nie tylko każdy może wirować. Niewiele osób może pracować.
Kliczko

Lekcja Tsey będzie trudna. Podłogi są zhorst, więc przed końcem jogi to mniej niż Vibran. Do tego, przed kolbą czytania, polecam oczyścić ekrany kobiet, jelit, dzieci kobiet i ...

Ten garazd, naprawdę wszystko jest proste. Możliwe, że opanowałeś metodę interwałów (ale jeszcze jej nie opanowałeś - polecam obracanie i czytanie) i nauczyłeś się pokonywać nierówność postaci $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ członek bogaty lub dodatkowy członek bogaty.

Szanuję, że nie jest ważne, abyś śpiewał na przykład oś takiej gry (przed przemówieniem spróbuj na rozgrzewkę):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Teraz trochy są składane i możemy spojrzeć nie tylko na bogate terminy, ale także na nazwy racjonalnych frakcji umysłu:

gdzie $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ same w sobie są wyrazami bogatymi w postaci $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1)+...+((a)_(0))$ lub jest więcej takich bogatych terminów.

Tse i bude racjonalny nerіvnіst. Ważnym momentem jest obecność zmiany $x$ u chorążego. Na przykład oś racjonalnych nierówności:

\[\begin(wyrównaj) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(wyrównaj)\]

A tse nie jest racjonalne, ale zvichaynisinka nerіvnіst, ponieważ jest naruszane metodą interwałów:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Idąc do przodu, powiem ci już teraz: istnieją co najmniej dwa sposoby radzenia sobie z racjonalnymi niespójnościami, ale nadal można pracować nad znaną nam metodą interwałów. W tym celu przede wszystkim wymyślmy sposoby, zgadnijmy stare fakty, w przeciwnym razie nowy materiał nie będzie przydatny.

Co chcesz wiedzieć

Nie ma wielu ważnych faktów. Racja, potrzebujemy mniej chotiri.

Skrócone formuły

Tak więc: smród będzie pereslіduvaty nas protyag nam shkіlnoї program matematyczny. Ja też na uniwersytecie. Musimy dużo kończyć formuły, ale nie potrzebujemy więcej niż to:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\prawo); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\prawidłowy). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Szanuj pozostałe dwie formuły - sumę sumy i różnicę kostek (a nie sumę sumy sprzedaży detalicznej!). Łatwo zapamiętać, zapamiętać, że znak pierwszego łuku jest tym samym, co znak zewnętrznego i przeciwny znak zewnętrznego.

Wyrównanie liniowe

Najprostszy ma postać $ax+b=0$, gdzie $a$ i $b$ są równymi liczbami całkowitymi, a ponadto $a\ne 0$. Taka równoważność jest po prostu odwrócona:

\[\begin(wyrównaj) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Przypiszę, że mam prawo podzielić przez współczynnik $a$, nawet jeśli $a\ne 0$. Tsya vomoga jest całkowicie logiczna, odłamki dla $a=0$ usuwamy oś, która:

Po pierwsze, każdy, kto jest równy, nie ma zmiany $x$. Pozornie to nie nasza wina, że ​​jesteśmy łagodni (to jest jak trapleyaetsya, powiedzmy, w geometrii, zresztą często ją doić), ale mimo wszystko nie mamy już liniowej równości.

W inny sposób, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna depozyt mniej niż współczynnik $ b $. Jeśli $b$ wynosi zero, to nasze wyrównanie może wyglądać tak: 0$=0$. Zazdrość Tsya to virna zavzhda; w przeciwnym razie $x$ to liczba (brzmi tak: $x\in \mathbb(R)$). Jeżeli współczynnik $b$ nie jest równy zero, to zwycięska jest równość $b=0$. nie ma odpowiedzi (zapisano $x\w \varnothing$ i przeczytano "puste rozwiązanie puste").

Aby pozbyć się tych wszystkich fałd, po prostu weź $a\ne 0$, aby antrochy nie otaczały nas odległymi myślami.

Wyrównanie do kwadratu

Domyślam się, jak nazywa się oś kwadratowa:

Tutaj levoruch jest bogatym wyrazem innego kroku, co więcej, zmieniam $a\ne 0$ (i teraz zamiast wyrównania kwadratów, robimy to liniowo). Virishuyutsya tak rivnyannya przez dyskryminację:

1. Podobnie jak $D \gt 0$, bierzemy dwa różne pierwiastki;
2. Jeśli $ D = $ 0, to będzie jeden pierwiastek, a druga krotność (jaki jest koszt wielokrotności i jak ubezpieczyć trzy trohi życia). Można też powiedzieć, że istnieją dwa równe pierwiastki;
3. Dla $D \lt 0$ nie ma pierwiastka, a znak wyrazu bogatego $a((x)^(2))+bx+c$ dla dowolnego $x$ jest zastępowany znakiem współczynnika $ $. To wręcz banalny fakt, o którym zapominają o rozpo_sti na godzinę lekcji algebry.

Sam korzeń jest szanowany za wszystko według formuły:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, przed mową, obmezhennya na dyskryminację. Adje pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej nie jest używany. Ponieważ korzeń bogatych uczonych ma w głowie owsiankę motoryczną, specjalnie spisałem całą lekcję: czym jest korzeń w algebrze i jak rahuvati - nawet polecam ją przeczytać.

Podії z ułamkami wymiernymi

Wszystko, co zostało napisane powyżej, wiecie, używali metody interwałów. A oś tych, które możemy od razu przeanalizować, nie może być analogiczna do przeszłości, jest zupełnie nowym faktem.

Wizyta, umówione spotkanie. Racjonalne drіb - tse viraz mind

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

gdzie $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ są terminami rozszerzonymi.

Oczywiste jest, że z takiej frakcji łatwo jest usunąć nierówności - wystarczy przypisać znak „więcej” lub „mniej” praworęcznym. Dałem mi trochę widocznie, scho virishuvati tak zavdannya - jeden zadowolony, tam wszystko jest prostsze.

Problemy zaczynają się nawet, gdy ma się wyraźny szprot takich frakcji. Możesz je przywieźć do śpiącego sztandaru - a jednocześnie dopuszcza się dużą liczbę pomysłowych ułaskawień.

Dlatego dla pomyślnego osiągnięcia racjonalnych równości konieczne jest mocne nabycie dwóch umiejętności:

1. Dekompozycja wyrazu bogatego $P\left(x \right)$ na czynniki;
2. Vlasne, przynosząc strzały do ​​śpiącego sztandaru.

Jak rozłożyć segmenty mnożnika? Trochę proste. Miejmy bogatego członka umysłu

Jogę przyrównujemy do zera. Wykonujemy wyrównanie $n-tego kroku:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1)((x)^(n-1)+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Trzeba przyznać, że naruszyliśmy wartość równości i odebraliśmy pierwiastek $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nie szydzić: większe vipadkіv z korzeń będzie miał nie więcej niż dwa) . W takim przypadku nasz wyjściowy termin bogaty może zostać przepisany w następujący sposób:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \w prawo) \end(wyrównaj)\]

Od wszystkich! Uważaj: nigdzie nie ma współczynnika seniora $((a)_(n))$ - dodamy mnożnik przed kajdanami, a jeśli to konieczne, możesz dodać go do tego, czy kajdany s tsikh ( praktyka pokazuje, że z $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ środkowy pierwiastek mayzhe zavzhdi є ułamki).

Menedżer. Zapytaj Viraza:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Rozwiązanie. Po raz pierwszy zachwycamy się banerami: wszystkie smród to dwumiany liniowe i nie ma co umieszczać na mnożnikach. Wstawmy więc liczby do mnożników:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\prawo)\lewo(x-1\prawo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \prawo)\lewo(2-5x \prawo). \\koniec(wyrównaj)\]

Odwracając szacunek: dla innego bogatego członka starszy współczynnik „2” dla ostatniej pojemności naszego programu to odchylanie się do tyłu przed łukiem, a następnie wniesiemy wkład do pierwszego łuku, odłamki tam nie zostały walnięte .

To samo stało się w trzecim bogatym odcinku, tylko istnieje inny rząd złożonych splotów. Natomiast współczynnik „−5” w wyniku wprowadzenia do innego łuku (pamiętaj: mnożnik można wpisać w jednym i tylko w jednym łuku!), co oszczędziło nam niezgodności związanych z pierwiastkami strzałowymi.

Jeśli chodzi o pierwszego bogatego członka, wszystko jest tam proste: pierwszy korzeń jest przetasowany albo standardowo przez dyskryminator, albo dla teorii Viet.

Przejdźmy do vihіdnogo virazu i przepiszmy yogo liczbami podzielonymi na mnożniki:

\[\begin(macierz) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \koniec(matryca)\]

Sugestia: 5$x+4$.

Jak bachit, nic się nie składa. Za mało matematyki dla klas 7-8 - to wszystko. Sensem wszelkich przemian jest w tym poligaє, dzięki czemu łatwiej jest usunąć składanie i straszne zwisanie, co jest łatwe do przećwiczenia.

Ale, nie martw się o to. Do tego od razu możemy poważniej przyjrzeć się zadaniu.

Ale oderwiemy to od początku, jak sprowadzić dwie frakcje do śpiącego sztandaru. Algorytm jest niezwykle prosty:

1. Rozłóż banery na mnożnikach;
2. Spójrz na pierwszy baner i dodaj do nowego mnożniki, które ma drugi baner, obroń pierwszy. Otrimany tvir będzie śpiącym sztandarem;
3. Z'yasuvati, takie multiplikatory nie odbierają strzałów skórnych, tak że chorążowie stali się równi ogniu.

Możliwe, że cały algorytm zostanie ci przekazany po prostu przez tekst, w bogato napisany sposób. Dlatego przeanalizujemy wszystko na konkretnym przykładzie.

Menedżer. Zapytaj Viraza:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \prawo)\]

Rozwiązanie. Takie ob'єmnі zavdannya lepsze części virishuvati. Wypisujemy tych, którzy stoją na pierwszym łuku:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Na vіdminu vіd front zavdannya, tutaj od chorążych wszystko nie jest takie proste. Wrzućmy to do mnożników skórek z nich.

Trójmianu kwadratowego $((x)^(2))+2x+4$ nie można pomnożyć, równych odłamków $((x)^(2))+2x+4=0$ nie można zakorzenić (dyskryminant ujemny). Jogę zostawiamy bez zmian.

Kolejny znak - wyraz mnożenia sześciennego $((x)^(3))-8$ - ze względu na różnicę sześcianów łatwo rozłożyć na wzory na krótkie mnożenie:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \prawo)\]

Nic więcej nie da się podzielić na mnożniki, odłamki w pierwszym łuku stoją w postaci dwumianu liniowego, a w drugim – znamy już konstrukcję, bo pierwiastków rzeczywistych nie ma.

Nareshti, trzeci baner jest liniowym binarnym, którego nie można rozłożyć. W tym rankingu nasza zazdrość będzie wyglądać w przyszłości:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Jest całkiem oczywiste, że wspólnym mianownikiem będzie $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ i sprowadzić wszystkie ułamki do nowego , należy pomnożyć pierwszy ułamek przez $\left(x-2 \right)$, a ja pozostanę na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Pozbądźmy się mniej, aby przynieść tak:

\[\begin(macierz) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ lewo(((x)^(2))+2x+4 \prawo)). \\ \koniec(matryca)\]

Odwróć szacunek do innego rzędu: jeśli baner już się pali, to w takim razie. zamiast trzech strzałów okremikh napisaliśmy jeden wielki, nie varto, chociaż raz oszczędzono łuku. Szybciej napisać wiersz przed sobą i zaznaczyć, że powiedzmy przed trzecim ułamkiem stojącym minusem - i nigdzie nie pójdziesz, tylko „wisisz” w spisie numerów przed dziobem. Tse by oszczędzić ci bezosobowe przebaczenie.

Cóż, w pozostałej części rzędu ułóż liczby na mnożnikach. Tim jest większy, co jest dokładnym kwadratem, i znów przyjdziemy z pomocą wzorów szybkiego mnożenia. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Teraz rozwiążemy to sami za pomocą kolejnego łuku. Tutaj napiszę tylko mały werset równoważności:

\[\begin(macierz) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \ prawo) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x -2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \ prawidłowy). \\ \koniec(matryca)\]

Przejdźmy do ostatniego dnia i podziwiajmy telewizor:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 ) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Dopasuj: \[\frac(1)(x+2)\].

Sens tego zadania jest taki sam, jak na froncie: pokaż, o ile można racjonalnie prosić, jak rozsądnie przejść do kolejnej transformacji.

Teraz, jeśli już wszystko wiesz, przejdźmy do głównego tematu dzisiejszej lekcji - kulminacji strzałowych nierówności racjonalnych. Tim więcej, po takim przygotowaniu na własną nerwowość będziesz klekotał jak garnek.

Główny sposób na pokonanie racjonalnych niespójności

Іsnuє jaka co najmniej dwa kroki do razv'yazannya racjonalnego nerіvіvnosti. Na pierwszy rzut oka przyjrzymy się jednej z nich – tej, która jest powszechnie akceptowana przez szkolny kurs matematyki.

Ale, plecami do siebie, bardzo ważny szczegół. Wszystkie niespójności dzielą się na dwa rodzaje:

1. Suvori: $f\left(x \right) \gt 0$ lub $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nieścisłe: $f\left(x\right)\ge 0$ lub $f\left(x \right)\le 0$.

Nieprawidłowości innego rodzaju można łatwo sprowadzić do pierwszego, a także zazdrość:

Niewiele jest "dodatkowych" $f\left(x \right)=0$, aby wyprodukować coś tak niedopuszczalnego jak punkty farbovanie - poznaliśmy je w metodzie interwałowej. Poza tym nie ma różnic między nieprawidłowościami ścisłymi i nieścisłymi, więc spójrzmy na uniwersalny algorytm:

1. Zaznacz wszystkie niezerowe elementy z jednej strony w postaci nierówności. Na przykład Levoruch;
2. Przynieś wszystkie frakcje do standardowego banera (ponieważ takie frakcje pojawiają się jako szprot), przynieś podobne. Następnie, o ile to możliwe, rozłożymy się na księdze liczbowej i banerze na mnożnikach. Dlaczego więc usuwamy nierówności postaci $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - znak nierówności.
3. Ustawmy liczbę na zero: $P \ lewo (x \ prawo) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... powrót do zera: $Q \lewo(x \prawo)\ne 0$. Oczywiście prawdą jest, że różnica jest równa $Q\left(x \right)=0$ i bierzemy pierwiastek $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (jest mało prawdopodobne, aby w plikach referencyjnych takiego roota było więcej niż trzy).
4. Wszystkie korzenie (oraz z gwiazdami i bez) są rozpatrywane na jednej numerycznej linii prostej, ponadto korzeń bez gwiazd jest farbovanizowany, a z gwiazdami - w vakolota.
5. Umieszczamy znaki „plus” i „minus”, dobieramy te interwały według potrzeb. Jeśli nierówności mogą wyglądać $f\left(x \right) \gt 0$, to przedziały oznaczone znakiem „plus” będą się powtarzać. Jeśli $f\left(x \right) \lt 0$, to zastanawiamy się nad interwałami z minusami.

Praktyka pokazuje, że najtrudniejszą rzeczą jest wywołanie akapitów 2 i 4 - kompetentna transformacja i prawidłowe umieszczenie liczb w kolejności wzrostu. Cóż, przez resztę czasu bądź bardziej szanowany: zawsze umieszczamy znaki, które poruszają się po spirali reszta nierówności, zarejestrowanych przed przejściem na równe. Jest to uniwersalna zasada, gorsza od metody interwałów.

Ten sam schemat є. Zajmijmy się czymś.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Rozwiązanie. Mamy przed sobą całkowitą nieuchronność postaci $f\left(x \right) \lt 0$. Oczywiście punkty 1 i 2 naszego schematu są już niegodziwe: wszystkie elementy nierówności wybiera levoruch, nic nie trzeba przynosić do śpiącego sztandaru. Przejdźmy do trzeciego akapitu.

Przyrównajmy liczbę do zera:

\[\begin(wyrównaj) & x-3=0; \&x=3. \koniec(wyrównaj)\]

І baner:

\[\begin(wyrównaj) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Do każdego obszaru ktoś się przykleja i nawet dla pomysłu trzeba wpisać $x+7\ne 0$, żeby ODZ pomagał (nie da się dzielić do zera, oś jest cała). Ale potem dali nam plamki, które pochodziły z banera, więc kiedy już skomponujesz swoje zakładki, nie varto - napisz znak równoważności i nie martw się. Niczego nie da się obniżyć za cenę.

Czwarty punkt. Ważne jest, aby usunąć korzeń z osi liczbowej:

Punkty wąsów vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora

Okaż szacunek: wszystkie punkty vikoloty. I tutaj to już nieistotne: z księgi liczbowej punkty pochodziły z banera.

Podziwiamy znaki. Weźmy liczbę $((x)_(0)) \gt 3$. Na przykład $((x)_(0))=100$ (alternatywnie, z takim samym sukcesem, możesz wziąć $((x)_(0))=3.1$ lub $((x)_(0) ) = 1 000 000 USD). Bierzemy:

Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv mamy pozytywny obszar. A przechodząc przez skórę korzenia, znak się zmienia (więc nie zaczniesz, ale tak jest lepiej). Przejdźmy do piątego punktu: umieszczamy znaki i wybieramy potrzebę:

Zwracamy się do reszty nerwowości, jak buła przed rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, kończy się czas, nawet jeśli nie bili się codziennie.

Oskіlki muszą wyeliminować nierówność postaci $f\left(x \right) \lt 0$, zacieniłem przedział $x\in \left(-7;3 \right)$ - w pojedynczych wartościach ze znakiem „minus”. Tse є vіdpovіd.

Sugestia: $x\in \left(-7;3 \right)$

Od wszystkich! Hiba trudne? Nie, to nie jest trudne. To prawda, że ​​zadanie było łatwiejsze. Jednocześnie możemy uporządkować psoty i przyjrzeć się „podchwytliwej” niespójności. Z drugiej strony nie będę już wygłaszał takich prezentacji – po prostu zaznaczę kluczowe momenty. Zagalom, zorganizujmy jogę w taki sposób, aby została wykryta na niezależnym robota chi іspіtі.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Rozwiązanie. Nie zaszkodzi zobaczyć $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Wszystkie niezerowe elementy są wybrane jako zło, nie ma różnych znaków. Jedźmy do Rivnyan.

Data:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Transparent:

\[\begin(wyrównaj) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Nie wiem, na czym polegał problem, kiedy go konfigurowałem, ale korzeń nie poszedł dużo lepiej: ważne byłoby, aby umieścić je na prostej liczbowej linii. І nawet z pierwiastkiem $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ wszystko jest mniej więcej jasne (jest tylko jedna liczba dodatnia - będzie prawostronna), to $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse jest możliwe na przykład tak:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ) ))\]

Przepraszam, nie muszę wyjaśniać, dlaczego różnica liczbowa wynosi $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Jak trzeba, polecam zgadywać, jak zwycięsko majsterkować ułamkami.

I mamy na myśli wszystkie trzy pierwiastki na liczbowej linii prostej:

Krapki z księgi numerów zafarbovani, od sztandaru - vikolot

Umieszczamy znaki. Na przykład możesz wziąć $((x)_(0))=1$ i zmienić znak każdego punktu:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(wyrównaj)\]

Reszta nerwowości przed równaniem się równała się $f\left(x \right)\ge 0$, więc musimy kliknąć znak plus.

Odebrali dwa mnożniki: jeden to znacząca podwójna, a drugi to bezpośredni wynik na osi liczbowej.

Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ważne jest, aby przestrzegać liczby liczb, które reprezentujemy dla znaku w odpowiednim przedziale. Absolutnie liczba podstavlyat neobov'yazkovo blisko prawego korzenia. Można wziąć milliardi lub nazwać to „plus-nie-niesamowitością” – w każdym przypadku znak bogatego członka stojącego na łuku, numeralisty lub chorążego, jest oznaczony wyłącznie znakiem starszego współczynnika.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz funkcji $f\left(x \right)$ dla pozostałych nierówności:

Ten rekord ma trzy bogate terminy:

\[\begin(wyrównaj) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \&Q\lewo(x\prawo) = 13x-4. \koniec(wyrównaj)\]

Wszystkie samogłoski są dwumianami liniowymi, a wszystkie starsze współczynniki (liczby 7, 11 i 13) są dodatnie. Później, gdy uzasadnimy łuk wielkich liczb, same bogate podziały będą pozytywne.

Tse można zbudować powierzchownie składając, trochę z tyłu, jeśli rozumiemy, że jest to łatwe. W przypadku poważnych niezgodności podstawienie „plus-niezupełność” pozwoli nam na szybszą zmianę znaków, niższą niż standardowa $((x)_(0))=100$.

Niedługo zamkniemy się z takimi zadaniami. Przyjrzyjmy się alternatywnemu sposobowi rozwikłania niespójności dribno-racjonalnych.

Alternatywny sposób

To przyjęcie zaproponował mi jeden z moich uczniów. Sama go w żaden sposób nie szanowałam, ale praktyka pokazała, że ​​dużo nauki jest bardziej efektywne w radzeniu sobie z nerwowością w taki sposób.

Otzhe, vyhіdnі danі w sami. Konieczne jest wyeliminowanie niekonsekwencji strzał-racjonalności:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Zastanówmy się: dlaczego bogaty termin $Q\left(x \right)$ jest „wyższy” niż bogaty termin $P\left(x \right)$? Jak mamy patrzeć na większe grupy korzeni (z gwiazdą lub bez), myśleć o kropkach itp.? Wszystko jest proste: ułamek ma wyznaczony obszar, jest dobry dla każdego dryb, który ma mniej sensu, jeśli jest to znak zera.

Pod innymi względami między licznikiem a chorążym nie jest łatwo: po prostu przyrównujemy to do zera, żartujemy z pierwiastka, a potem rozumiemy to na prostej numerycznej. Dlaczego więc nie zastąpić linii strzału (właściwie - znaku rozpodіlu) największymi mnożnikami, a cała ODZ pomaga przepisać pozorną nerwowość okremoi? Na przykład tak:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Oddać szacunek: taki pidhіd może nazwać zadanie metodą interwałów, ale w tym przypadku nie można skomplikować decyzji. Mimo wszystko możemy podnieść wyraz bogaty $Q\left(x \right)$ do zera.

Zobaczmy, jak to działa na prawdziwych zadaniach.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Rozwiązanie. Ponownie przejdźmy do metody interwałowej:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

Pierwsza nierówność jest elementarna. Wystarczy zrównać łuk skóry do zera:

\[\begin(wyrównaj) & x+8=0\Strzałka w prawo ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Strzałka w prawo ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(wyrównaj)\]

Z innym nerivnistyu wszystko jest proste:

Przypisujemy punkty $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$ na osi liczbowej. Usі śmierdzi vikolotі, skіlki nerіvnіst suvore:

Właściwa plamka pojawiła się jako dziewczyna dziewczyny. Tse jest w porządku.

Szanuj punkt $x=11$. Wyjdź, jak „dvіchi vykolot”: z jednej strony vikolyuєmo її przez nasilenie nerwowości, z drugiej strony - poprzez dodatkową moc ODZ.

Miej jakieś vipadku, tse zostanie po prostu pobity do rzeczy. Dlatego umieszczamy znaki na nierówności $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - zostań, tak jak walczyliśmy wcześniej, bo zaczęliśmy virishuvati równe:

Łaskotają nas obszary dodatnie, ale widzimy brak równowagi w umyśle $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Nie było już czasu na zapisanie vіdpovіd.

Widpowid. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Na przykładzie tej decyzji chcę was strzec w obliczu szerokiego ułaskawienia wśród uczniów w średnim wieku. I do siebie: nie otwieraj łuków nieprawidłowości! Navpaki, spróbuj rozłożyć wszystko na mnożniki - lepiej zapytać o rozwiązanie i uwolnić się od bezosobowych problemów.

Teraz spróbujmy czegoś bardziej złożonego.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Rozwiązanie. Nie zaszkodzi patrzeć $ f \ lewo (x \ prawo) \ le 0 $, więc tutaj musisz z szacunkiem przestrzegać punktów zafarbovannymi.

Przejdźmy do metody interwałowej:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\koniec(wyrównaj) \prawo.\]

Przejdźmy do wyrównania:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Strzałka w prawo((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Strzałka w prawo ((x)_(3))=-2,2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:

Wszystkie odjęte pierwiastki są pokazane na osi liczbowej:

Jak punkt naraz i vikolot i farbovan, jest szanowany przez vikolot

Wiem, że dwa punkty „nakładają się” jeden na jeden – to normalne, więc bądź pewny. To ważne, mniej sensowne, co za punkt, wyznaczony od razu dla vikoloty i bruzd w istocie vikoloty. Tobto. „Vikolyuvannya” to mocne diy, niższe „zafarbovannya”.

To absolutnie logiczne, nawet jeśli wybieramy punkty, lubimy dodawać do znaku funkcji, ale samemu nie brać udziału w pokazie. I tak w pewnym momencie liczba przestaje nas dominować (np. nie dociera do ODZ), przysięgamy na nią do końca zadania.

Zagalom, filozofować. Umieszczamy znaki i zafarbovuyemo w odstępach, oznaczonych znakiem minus:

Widpowid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Chcę odnowić Twój szacunek dla sprawy:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Jeszcze raz: nigdy nie otwieraj ramion równych! Lepiej spakuj walizki. Pamiętaj: dobutok jest równy zero, jeśli chcesz, aby jeden z mnożników był równy zero. Otzhe, Dane Rivnyannya po prostu „rozkłada się” na szprotki, jakby naruszały przed nami.

Kształt krotności pierwiastków

Z poprzednich dni nietrudno przypomnieć sobie, że największym złożeniem jest stać się najbardziej niespójnym, tym, który musi w nie wszyć na plamki.

Ale na świecie jest jeszcze więcej zła - to wielokrotność korzenia nerwowości. Tutaj szwy są już sprowadzone nie za punkty zafarbovanimi - tutaj znak nierówności może się nie zmienić podczas przechodzenia przez punkty.

W tej dziedzinie nie widzieliśmy jeszcze czegoś podobnego (choć podobny problem często odnotowywano w metodzie interwałowej). Dlatego wprowadzamy nową definicję:

Wizyta, umówione spotkanie. Równy pierwiastek $((\left(x-a \right))^(n))=0$ jest równy $x=a$ i jest nazywany pierwiastkiem $n$-krotności.

Vlasne, nie możemy dokładnie określić wartości wielokrotności. Ważne jest, czy są one sparowane, czy nie, całkowita liczba to $n$. Dlatego:

1. Ponieważ $x=a$ jest pierwiastkiem krotności pary, znak funkcji nie zmienia się podczas jej przechodzenia;
2. Po pierwsze, ponieważ $x=a$ jest pierwiastkiem niesparowanej krotności, znak funkcji się zmienia.

Z prywatnym spojrzeniem na pierwiastek niesparowanej wielości, przed nią spojrzał na tę szkołę: jest skrzyżowana wielość starych singli.

Ja więcej. Przed nim, jak często virishuvat zavdannya, chcąc zmienić swój szacunek na jedną subtelność, jak wydaje się to oczywiste dla uczonego uczonego, ale wjeżdżając w otępienie bogate pąki. I do siebie:

Pierwiastek wielokrotności $ n $ jest tylko odpowiedzialny za upadek, jeśli cała krotność jest utworzona w tym kroku: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $, a nie $ \ left (((x) ^ ( n ))-a\prawo)$.

Jeszcze raz: łuk $((\left(xa \right))^(n))$ daje nam pierwiastek $x=a$ krotności $n$ oraz oś łuku $\left(((x )^(n)) -a \right)$ w przeciwnym razie, jak to często się stosuje, $(a-((x)^(n)))$ daje nam pierwiastek (w przeciwnym razie dwa pierwiastki, jak $n$ - facet) pierwszej wielokrotności niezależnej od tego, co $n$.

Poziom:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tutaj wszystko jest jasne: cały smyczek został doprowadzony do piątego kroku, więc przy wyjściu zabraliśmy korzeń piątego kroku. I od razu:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Odebraliśmy dwa korzenie, ale obelgi smrodu mogą być pierwszą wielością. Oś Abo więcej:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Niech cię nie pobiję do dziesiątego stopnia. Golovne, scho 10 to numer faceta, w wyjściu mogą być dwa pierwiastki, a smród znowu może być pierwszą wielością.

Zagalom bądź pełen szacunku: wielość win jest tylko jedna, jeśli kroki są podnoszone do całego łuku, a nie mniej do zmiany.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 ) \right))^(5)))\ge 0\]

Rozwiązanie. Wypróbujmy to w alternatywny sposób poprzez przejście od prywatnego do kreacji:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5)\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\prawidłowy.\]

Z pierwszą nierównością wybieramy metodą interwałową:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\&x+4=0\Strzałka w prawo x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Dodatkovo virishuemo przyjaciel nerwowość. Właściwie już śpiewaliśmy yogo, ale jeśli nie doczekaliśmy się aż do decyzji, to lepiej znów zaśpiewać yogo:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Odwzajemniając szacunek: w pozostałej części nerwowości nie ma codziennych mnogości. Prawidłowo: jak różne, ile razy można wygrać punkt $x=-7$ na osi liczbowej? Chcę tego raz, chcę tego pięć razy - wynik będzie taki sam: ostatni punkt.

Wszystko, co zabraliśmy, ma znaczenie na prostej numerycznej:

Jak powiedziałem, punkt $x=-7$ w wyniku zostanie zaznaczony. Mnogość aranżacji ma przezwyciężyć nierównomierność dróg interwałów.

Zapomniałem umieścić znaki:

Oskіlki dot $x=0$ jest pierwiastkiem wielokrotności par, znak przejścia nie zmienia się. Inne punkty mogą mieć niesparowaną wielokrotność i wszystko jest z nimi proste.

Widpowid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ponownie okaż szacunek $x=0$. Poprzez tę parę obwiniana jest wielość efektu cicavi: cały levoruch jest wypchany, praworęczny jest taki sam, ten sam punkt jest całkowicie wypchany.

Przypominamy, że nie jest konieczne zaciskanie wody przez godzinę, aby nagrać dźwięk. Tobto. nie musisz nic pisać na kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (jeśli chcesz formalnie, byłoby to poprawne). Napiszmy od razu $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takie efekty są mniej możliwe w przypadku wielokrotności par pierwiastków. I w zaawansowanym dowództwie mi zіtknemosya іz zvorotnym „vyyavom” efekt tsgogo. Jesteś gotowy?

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Rozwiązanie. Tym razem kierujemy się standardowym schematem. Przyrównajmy liczbę do zera:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \& x-4 = 0 \ Strzałka w prawo ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(wyrównaj)\]

І baner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, korzeń sztandaru (jak znirochki) zostanie pobity, a od cyfry - zafarbovano.

Umieszczamy znaki i zakreskowane obszary, oznaczone „plusem”:

Krapka $x = $3 - izolowana. Tse część vіdpovіdі

Zanim to zrobisz, jak zapisać szczątkową opinię, z szacunkiem spójrz na zdjęcie:

1. Krapka $x=1$ ma kilka wielokrotności, ale sama vicola. Ponadto, jeśli zdarzy ci się mieć autobus piętrowy: musisz napisać $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \ left(-\ infty ;2\right)$.
2. Krapkę $x=3 $ można również pomnożyć, gdy jest nadziewana. Rozmieszczenie znaków potwierdzających, że sam punkt jest u nas u nas u władzy, ale krok levoruch-prawda – wciągnięci nas w region, bo na pewno nie jesteśmy u władzy. Takie punkty nazywane są izolowanymi i zapisywane jako $x\in \left\( 3 \right\)$.

Łączymy wszystkich otrimani shmatochki w dużej liczbie i spisujemy dowody.

Sugestia: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Wizyta, umówione spotkanie. Virishiti nerіvnіst - znaczy poznać bezosobowy sukces rozwiązania jogi lub przynieść to, co bezosobowe, puste.

Byłoby podane b: co może być tutaj nierozsądne? To jest w tej rzece, że to, co bezosobowe, można umieścić w inny sposób. Zapiszmy to jeszcze raz do końca dnia:

Przeczytaj dosłownie to, co jest napisane. Zmień "iks", żeby nikomu dużo się nie układać, żeby wychodzić razem (ikona "U") chotyroh okremih dużo:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, co dosłownie oznacza „wszystkie liczby mniejsze niż jeden, ale nie sama”;
• Odstęp $ \ lewy (1; 2 \ prawy) $, a następnie. „Wszystkie liczby mieszczą się w przedziale od 1 do 2, ale nie same liczby 1 i 2”;
• Anonimowy $ \ lewy \ (3 \ prawy \) $, który dodaje się od jednej lub jednej liczby - trzy;
• Odstęp $ \ lewo [4; 5 \ dobrze) $, aby pomścić wszystkie liczby od 4 do 5, a także samą czwórkę, ale nie piątkę.

Zainteresowanie to trzeci punkt. Na vіdmіnu vіd іd іnvalіv, aby określić niezliczone zestawy liczb mniej oznacza mniej między tsikh naborіv, bez $\left\(3\right\)$ ustawiając ściśle jedną liczbę jako sposób na ponowne uporządkowanie.

Aby zrozumieć, że my sami nadpisujemy konkretne liczby, które idą w górę do wielokrotności (a nie między nimi), łuki są zwycięskie. Na przykład zapis $ \ lewo \ (1; 2 \ prawo \) $ oznacza sam „mnożnik, który jest sumowany z dwóch liczb: 1 i 2”, ale to nie to samo, co 1 do 2. W tym samym czasie , nie myl swojego zrozumienia.

Miarka składana krotności

Cóż, na koniec dzisiejszej lekcji trzy palce od Pawła Berdowa.

Szanowani uczeni już śpiewali śpiewająco: a co będzie, jak w kalendarzu i sztandarze, pojawi się ten sam korzeń? Więc oś, pratsyuє taka zasada:

Sumuje się wielokrotność tego samego pierwiastka. Czekać. Navіt yakscho tse root jest napisany w księdze numerów i na banerze.

Czasami lepiej jest virishuvati, mówić niżej. Do tego wierzymy w następujące zadanie:

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \prawo))\ge 0\]

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Jak dotąd nic specjalnego. Zrównaj baner z zerem:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Ujawniane są dwa takie same pierwiastki: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Obrażanie wielości mayut pershu. Zamieniamy je również na jeden pierwiastek $x_(4)^(*)=-2$, ale także na wielokrotność 1+1=2.

Ponadto nadal istnieją te same pierwiastki: $((x)_(2))=-4$ i $x_(2)^(*)=-4$. Smród pierwszej wielokrotności, która będzie pozbawiona $x_(2)^(*)=-4$ krotności 1+1=2.

Przynosić szacunek: w obu vipadkach pozbawiliśmy się samego starego korzenia, a farbow wyrzuciliśmy z oka. Dlatego doszli do początku lekcji: to jak punkt od razu, a zostało pobite, i pierdnięte, wszyscy jednak o to dbamy.

W rezultacie mamy є korzenie chotiri, ponadto pojawiły się wszystkie vikoloty:

\[\begin(wyrównaj) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Znacząco їх na osi liczbowej z dostosowaną krotnością:

Ustawiamy znaki i obszary zafarbovuyemo, które nazywają nas:

Wąsy. Codzienne izolowane punkty i inne problemy. Możesz spisać swoją opinię.

Widpowid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Zasada wielości

Czasami sytuacja staje się jeszcze bardziej nie do zaakceptowania: równa, która może być wielokrotnością pierwiastka, sama zostaje doprowadzona do tego samego kroku. Wraz z tym zmienia się wielość wszystkich zewnętrznych korzeni.

Taki dźwięk jest rzadko słyszany, ponadto nie ma dowodów na podobne zadania. A zasada jest taka:

Wraz z wyrównaniem kroków $n$ krotność wszystkich korzeni jogi również wzrasta o $n$ razy.

Innymi słowy, kroki na stopniach są mnożone przez krotność na tym samym kroku. Przyjrzyjmy się zasadzie w praktyce:

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Rozwiązanie. Przyrównajmy liczbę do zera:

Tvir jest równy zero, jeśli jeden z mnożników ma być równy zero. Przy pierwszym mnożniku wymyśliłem: $x=0$. A oś spowodowała problemy:

\[\begin(wyrównaj) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Podobnie jak Bachimo, równanie $((x)^(2))-6x+9=0$ może mieć pojedynczy pierwiastek innej krotności: $x=3$. Uważajmy wszyscy, aby zbliżyć się do placu. Następnie krotność pierwiastka wynosi $2\cdot 2=4$, co zapisaliśmy z werdyktem.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Z hasłem tych samych codziennych problemów:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Na sumie mieliśmy pięć kropek: dwa vikoloty i trzy farbovany. Nie ma obaw o pierwiastek w księdze liczebników io znamenniku, widać to po prostu na prostej liczbowej:

Umieszczamy znaki z poprawioną krotnością i interwałami zafarbovuєmo, które nazywają nas:

Znam jeden odizolowany punkt i jednego vicolot

Poprzez korzeń sparowanej wielości ponownie zabrano kilka „niestandardowych” elementów. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ zamiast $x\in \left[ 0;2 \right)$, a punkt $ x jest również izolowany \w \lewo\(3\prawo\)$.

Widpowid. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Jak bachite, to nie jest takie skomplikowane. Gołowne - szacunek. Reszta lekcji poświęceń dla reinkarnacji - tim, jak omówiliśmy na samej kolbie.

Zmiana kształtu przodu

Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, nie można nazwać składaniem. Jednak na vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, tutaj zdarza się zasosuvati navchik z teorії racjonalnyh drobіv — razkladannja na mul'tipliers i brіnnogo znamennik.

Omówiliśmy szczegółowo jedzenie dla kolby dzisiejszej lekcji. Jeśli nie rozumiesz, co rozumiesz, jaki jest język, polecam odwrócić się i powtórzyć. Do tego nie ma sensu wciskać metod rozplątywania niespójności, tak jakbyś „pływał” przy przerobionych ujęciach.

W domu, przed przemówieniem, również będzie dużo podobnych zadań. Smród winy do końca pidrozdila. I tam zostaniesz sprawdzony pod kątem nawet niebanalnych aplikacji. Ale, będziesz na stoisku, ale teraz wyjaśnijmy kilka takich niespójności.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Rozwiązanie. Przesuwam wszystko w lewo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Doprowadza się do podwójnego sztandaru, otwierają łuki, a do księgi numerycznej wprowadza się podobne dodanki:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) prawo))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Teraz mamy przed sobą klasyczny ułamkowo-racjonalny nerіvnіst, vyshennya yakoї nie staje się już trudny. Jogę ćwiczę metodą alternatywną metodą interwałów:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Nie zapomnij o ogrodzeniu, które pochodzi z transparentu:

Wszystkie liczby są wskazane i wymienione na prostej numerycznej linii:

Wąsy są korzeniem pierwszej wielości. Bez problemów. Po prostu umieściliśmy znaki, których region potrzebuje dla nas:

To wszystko. Możesz spisać swoją opinię.

Widpowid. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm tylko tyłek. Do tego od razu możemy spojrzeć na zadanie poważniej. І do przemówienia, riven tsgo zavdannya tsіlkom vіdpovіdає niezależne i kontrolujące roboty z to te w 8 klasie.

Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Rozwiązanie. Przesuwam wszystko w lewo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Wcześniej, jak wprowadzić obraźliwe frakcje do podwójnego sztandaru, układamy te sztandary w mnożniki. Raptom vylizut same łuki? Z pierwszym banerem jest to łatwe:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Z innymi trochami złożonymi. Nie wahaj się wprowadzić do tego łuku stałej mnożnikowej, znikającego dryblingu. Pamiętaj: jeśli masz bogate określenie w liczbie współczynników, jest to świetny imovirnist, ponieważ jest on ułożony w wielokrotności matki w liczbie współczynników (w rzeczywistości tak będzie, dla mrugnięcia vipadkiv, jeśli wyróżnik jest irracjonalny).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Yak bachimo, є łuk: $ \ lewy (x-1 \ prawy) $. Zwracamy się do nerwowości i skłaniamy obraźliwe frakcje do podwójnego sztandaru:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ lewo(3x-2\prawo))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right ) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \koniec(wyrównaj)\]

Zrównaj baner z zerem:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( wyrównywać)\]

Codzienne wielości i korzenie zbіgayutsya. Do linii prostej przypisujemy kilka liczb:

Umieszczamy znaki:

Zapiszmy dowody.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ dobrze)$.

Wąsy! W ten sposób, a następnie czytaj do rzędu.