Szacunek!
Do tych є dodatkovі
materiały w Special Distribution 555.
Dla cichych, którzy zdecydowanie „nie za…”
I dla spokoju, kto "czy wiedziałeś...")
Co jest „nierówność kwadratu”? Bez jedzenia!) Weź to be-jak kwadrat równy i zastąp nowy znak "=" (Rіvno) o tym, czy istnieje odznaka nerwowości ( > ≥ < ≤ ≠ ), widzimy nierówności kwadratu. Na przykład:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Cóż, masz to...)
Nie jestem tutaj darma zv'yazav rіvnyannya, że nerіvnostі. Po prawej, w tym pierwszym szydełku wiśni cokolwiek nieregularność kwadratu - virishiti równe, dla którego niespójność jest zerwana. Z powodów – brak wyrównania kwadratu virishuvati automatycznie prowadzi do całkowitej awarii nierówności. Czy zrozumiałeś napięcia?) Jak, cud, jak virovat, być jak kwadrat równy. Wszystko jest tam raportowane. Na tej lekcji sami zajmiemy się nerwami.
Gotowy na eliminację nerwowości może wyglądać: levoruch - trójmian kwadratowy topór 2 +bx+c, praworęczny - zero. Oznaką nerwowości może być absolutnie be-yakim. Pierwsze dwa tyłki tutaj już gotowy do wiśni. Trzeci tyłek musi być przygotowany.
Jak ci się podoba cała strona...
Zanim zaczniemy mówić, mam dla Ciebie kilka innych stron internetowych.)
Możesz ćwiczyć na niedopałkach virishenny i rozpoznać swoją riven. Testowanie z ponowną weryfikacją mitteva. Vchimosya - z zainteresowaniem!)
możesz dowiedzieć się o funkcjach i podobnych.
Nerіvnіst - tse liczbowe spіvvіdshennya, scho іlustruє wielkość liczb jak jeden sam. Nervnosti szeroko zastosovutsya, szukając wartości w naukach stosowanych. Nasz kalkulator pomoże Ci uporać się z tak trudnym tematem, jako sposób na rozwikłanie liniowych nierówności.
Czym jest nerwowość
Nierówna spivvіdnoshennia w prawdziwym życiu spіvvіdnosya z stała pіvnyannâm raznyh ob'ektiv: więcej chi niższe, więcej chi bliżej, ważniejsze chi łatwiejsze. Intuicyjnie możemy intuicyjnie zrozumieć, że jeden obiekt jest większy, większy lub ważniejszy od drugiego, ale w rzeczywistości zawsze należy szukać równych liczb, aby scharakteryzować rzeczywiste wartości. Możliwe jest wyrównanie obiektów dla dowolnego znaku, a w każdym przypadku możemy zsumować nierówności liczbowe.
Jeśli nie ma takiej samej wielkości dla poszczególnych umysłów, stajemy się równi pod względem ich wartości liczbowej. Jeśli nie, to zastępując znak „równie” możemy wskazać, czy jest to inaczej różnica między tymi wartościami. Dwie liczby lub obiekty matematyczne mogą być większe niż „>”, mniejsze niż „<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.
Oznaki nieprawidłowości w dzisiejszym nowoczesnym wyglądzie przewidział brytyjski matematyk Thomas Garriot, który w 1631 roku opublikował książkę o nieregularnym spluwaniu. Znaki większe niż „>” i mniejsze niż „<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.
Wizja niespójności
Nieprawidłowości, podobnie jak równości, są różnego rodzaju. Liniowe, kwadratowe, logarytmiczne i wykazujące nierówne spajanie są opracowywane przy użyciu różnych metod. Jednak niezależnie od metody, czy to nierówności pleców, konieczne jest doprowadzenie go do standardowego wyglądu. W tym celu wygrywa się te same przekształcenia, identyczne z rodzajami równości.
Ta sama przemiana drażliwości
Takie przemiany viraz są już podobne do ducha równych sobie, jednak smród jest zniuansowany, ponieważ ważne jest, aby strzec się godziny rozvyazuvannya drażliwości.
Pierwsza transformacja jest identyczna z analogiczną operacją z równościami. Po obu stronach nerwowego splotu możesz dodać lub wybrać ten sam numer lub viraz z nieznanym x, z którym oznaka nerwowości stanie się zbyt duża. Najczęściej ta metoda zastosovetsya w uproszczeniach formy, jakby przenosząc członków wirusa przez znak nierówności, zmieniając znak liczby na przedłużenie. Aby przejść do zmiany znaku samego członka, a następnie + R po przeniesieniu przez dowolny znak nierówności, zmień na - R i navpaki.
Kolejna transformacja może mieć dwa punkty:
- Dozwolone jest mnożenie lub dzielenie przez tę samą liczbę dodatnią. Oznaka zdenerwowania nie zmieni się w żadnych okolicznościach.
- Przestępstwa po stronie nerwowości mogą być dzielone lub mnożone przez tę samą liczbę ujemną. Znak zdenerwowania zmieni się na przeciwny.
W przeciwnym razie ta sama transformacja niespójności może być poważną różnicą w przypadku pojawienia się równoważności. Po pierwsze, kiedy mnożymy/dzielimy przez liczbę ujemną, znak nerwowej wirazy zawsze zmieni się na odwrót. W inny sposób dzielenie lub mnożenie części płatności jest dozwolone tylko przez liczbę, a nie przez jakikolwiek viraz, którego nie można pomścić. Po prawej, w tym, czego nie możemy wiedzieć na pewno, liczba jest większa lub mniejsza od zera, nie wiadomo, bo ta inna transformacja również jest w stagnacji do nierówności, w tym do liczb. Przyjrzyjmy się tym zasadom w tyłkach.
Zastosuj rozvyazuvannya nerіvnosti
Na czele algebry stoją różne zadania dotyczące niespójności. Dajmy nam viraz:
6x − 3(4x + 1) > 6.
W przypadku spadix ucha można go przenieść w lewo, a wszystkie liczby są praworęczne.
6x − 12x > 6 + 3
Konieczne jest, abyśmy obniżyli szkodliwą część wirusa o -6, do tego, że jeśli znamy nieznany x, znak nierówności zmieni się w przeciwnym kierunku.
W przypadku virishhenni tsієї nerіnostі mi vikoristovuvaly obraził tę samą transformację: przeniósł wszystkie liczby w prawo jako znak i podzielił obraźliwe strony spіvvіdnoshennia na liczbę ujemną.
Nasz program to kalkulator do radzenia sobie z nieścisłościami liczbowymi, aby nie mścić się na nieznanym. Program ma następujące twierdzenia dla trzech liczb spіvvіdnoshen:
- yakscho A< B то A–C< B–C;
- jeśli A > B, to A-C > B-C.
Wiceszef Członków A–C Możesz powiedzieć, czy arytmetyka: dodawanie, mnożenie lub dodawanie. W ten sposób kalkulator automatycznie obliczy nierówności sum, detaliczne, kreatywne czy ułamkowe.
Visnovok
W prawdziwym życiu nervnosti ćwierkają tak często, jakby były równe. Oczywiście wiedza na temat rozwoju nerwowości może nie być potrzebna. Jednak w naukach stosowanych powszechnie znana jest nerwowość tych układów. Na przykład różne badania problemów gospodarki światowej prowadzą do fałdowania systemów nieregularności liniowych i kwadratowych, a diakoni nierówności błękitu – w sposób jednoznaczny dowodzący podstaw poszczególnych obiektów. Vykoristovyte nasze programy do korekcji nierówności liniowych lub ponownej weryfikacji własnych wkładów.
Dziś, przyjaciele, nie będzie codzienności i sentymentu. W ich zastępstwie pokieruję Cię bez żadnej siły, aby pokonać jednego z najgorszych przeciwników na kursie algebry 8-9 klasy.
Więc wszystko dobrze zrozumiałeś: przejdź do niespójności z modułem. Przyjrzyjmy się niektórym głównym zasadom, za pomocą których nauczysz się pokonywać blisko 90% takich zadań. A co z 10% reshtoyu? Cóż, porozmawiamy o nich na dobrej lekcji.
Jednak przed tym, jak uporządkować, jak to tam przyjąć, chciałbym odgadnąć dwa fakty, które należałoby poznać. W przeciwnym razie sprawdzisz znajomość materiału dzisiejszej lekcji.
Co chcesz wiedzieć
Oczywistym jest, że aby usunąć niezgodności z modułem, trzeba znać dwa słowa:
- Jak szaleje nerwowość;
- Co to jest moduł?
Zacznijmy od innego punktu.
Funkcja modułu
Tutaj wszystko jest proste. Є dwie funkcje: algebraiczna i graficzna. Dla kolby - algebraiczne:
Wizyta, umówione spotkanie. Moduł liczby $x$ jest albo tą samą liczbą, która nie jest ujemna, ale liczba przeciwna do ciebie, czyli zewnętrzna $x$, jest nadal ujemna.
Nagraj to tak:
\[\lewo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]
Mówiąc prościej, moduł to „liczba bez minusa”. Ja sam w tej dwoistości (tutaj, od ostatniej liczby, nic nie trzeba pracować, ale tutaj zdarza się, że zbieram tam minus) i używam wszystkich spasowań dla studentów-poczatków.
Bardziej geometryczny wzór. Dobrze też wiedzieć, ale będzie mniej prawdopodobne, że podejdziemy do nowego w składany, a nawet specjalny sposób, geometryczny pidkhіd udany dla algebraiki (spoiler: nie dzisiaj).
Wizyta, umówione spotkanie. Niech punkt $a$ będzie zaznaczony na osi liczbowej. Ten sam moduł $ \ lewo | x-a \right|$ jest wywoływana od punktu $x$ do punktu $a$ w tej linii.
Jeśli chcesz przekreślić obraz, możesz to zobaczyć na kshtalt tsogo:
Projekt graficzny modułu Co więc innego, z oznaczenia modułu, od razu widać kluczową moc: moduł liczby jest zawsze równy wielkości. Ten fakt będzie czerwoną nitką do przejrzenia całego naszego dzisiejszego dyskursu.
Virishennya nerіvnosti. Metoda interwałowa
Przyjrzyjmy się teraz nerwowości. Może to bezosobowe, ale naszym zadaniem od razu jest zabicie virishuvati chcących być najprostszym z nich. Tі, scho zvoditsya do nieprawidłowości liniowych i metoda interwałów.
Na ten temat mam dwie świetne lekcje (mіzh іnshim, więcej, bardziej brązowy - polecam vivchiti):
- Metoda interwałowa dla nieprawidłowości (zwłaszcza spójrz na wideo);
- Niespójności ułamkowo-racjonalne - nawet ogólna lekcja, ale wtedy nie masz dość jedzenia.
Jeśli wiesz wszystko, jeśli zdanie „przejdźmy od nierówności do równości” nie brzmi, jakbyś był szalenie zmęczony zabijaniem się o ścianę, to jesteś gotowy: uprzejmie prosimy o piekło do głównej lekcji :)
1. Nieregularność umysłu „Moduł mniej niż funkcja”
To jedno z najbardziej rozbudowanych zadań z modułami. Konieczne jest przezwyciężenie nierówności umysłu:
\[\lewo| f\prawo| \ltg\]
Rolą funkcji $f$ i $g$ mogą być wielomiany. Zastosuj takie niespójności:
\[\begin(wyrównaj) & \left| 2x+3\prawo| \ltx+7; \\ & \lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \lewo| ((x)^(2))-2\lewo| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\koniec(wyrównaj)\]
Wszystkie smród są dosłownie w jednym rzędzie za schematem:
\[\lewo| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]
Nie ma znaczenia, czy moduł jest oszczędzony, ale możemy usunąć leżącą u podstaw niespójność (inaczej ten sam, system dwóch niespójności). Prote cey transfer vrakhovu absolutnie wszystko możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; akscho negatywnie - cała ta sama praktyka; I navit dla najbardziej nieodpowiedniej funkcji domu $f$ chi $g$ wszystko to samo.
Oczywiście obwiniaj jedzenie: czy nie może być prostsze? Niestety nie jest to możliwe. Kto ma całą funkcję modułu.
Ale trzymaj się filozofowania. Zaśpiewajmy gałązkę dnia:
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| 2x+3\prawo| \ltx+7\]
Rozwiązanie. Ponadto przed nami jest klasyczny „mniejszy moduł” umysłu nerіvnіst - aby niczego nie przerabiać. Przećwicz algorytm:
\[\begin(wyrównaj) & \left| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \lewo| 2x+3\prawo| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]
Nie spiesz się z otwieraniem łuków, przed którymi znajduje się „minus”: w miarę możliwości, poprzez pośpiech, oddasz się symbolicznemu ułaskawieniu.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(wyrównaj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(wyrównaj) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Zadanie polegało na maksymalnie dwóch elementarnych nieprawidłowościach. Znacząco їх virіshennia na równoległych liniach liczbowych:
Wielokrotność Peretina
Peretin tsikh pomnożyło się i będzie jasne.
Dopasowanie: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Rozwiązanie. Zamówienie jest już trochę złożone. W przypadku kolby używamy modułu, przenosząc kolejny dodatek w prawo:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]
Oczywiście mamy do czynienia z nową nierównomiernością formy „mniejszy moduł”, dlatego dopuszczamy moduł dla już istniejącego algorytmu:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Oś szacunku do zarażenia: powiem ci, jestem troch bochenets w wąsach z kajdanami. Ale, zgadnę jeszcze raz, jaka jest nasza kluczowa meta kompetentnie virishiti nerіvnіst i otrimati vіdpovіd. Później, jeśli dokładnie opanowałeś wszystko, co ujawniono w tej lekcji, możesz się przekręcić, jak chcesz: otwórz ramiona, dodaj minusy itp.
A dla nas, dla kolby, po prostu obudzimy się z podważającym minusem zła:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]
Teraz wszystkie łuki ukrytej nerwowości zostały otwarte:
Przejdźmy do nerwowości metra. Tym razem zakładki będą poważniejsze:
\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]
\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\w prawo.\]
Przestępstwa nierówności są do kwadratu i naruszane metodą interwałów (ale powiem ci: nie wiesz, co to jest, raczej nie bierz jeszcze modułów). Przejdźmy do pierwszej nierówności:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\lewo(x+5\prawo)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\koniec(wyrównaj)\]
Jak bachimo, przy wyjściu szedł nierówno kwadratowo, nawet, jakby był elementarny. Przyjrzyjmy się teraz kolejnej nerwowości systemu. Tam zdarza się twierdzenie zastosuvat Viet:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\koniec(wyrównaj)\]
Znacząco odejmij liczby na dwóch równoległych liniach (okrema dla pierwszej nierówności i okrema dla drugiej):
No cóż, na pewno dzieląc z nami system nieprawidłowości powtórzymy wiersze mnożników cieniowania: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.
Dopasuj: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Myślę, że po ich zastosowaniu schemat rozwiązania miał graniczny sens:
- Zasymiluj moduł, przenosząc wszystkie inne dodatki na główną część nierówności. W ten sposób uwzględniamy niespójność umysłu $\left| f\prawo| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerіvnіst, oszczędzając moduł dla schematu opisanego powyżej. W pewnym momencie konieczne jest przejście od podwariantowej nerwowości do systemu dwóch niezależnych wirusów, których skórę można całkowicie naprawić.
- Nareshti, być pozbawionym rozwiązania tych dwóch niezależnych sylab - a wszystko, co zabieramy, to pozostałości.
Podobny algorytm stosuje się do szorstkości typu ofensywnego, jeśli moduł jest większy niż funkcja. Jest jednak gałązka poważnego „ale”. Porozmawiajmy od razu o qi „ale”.
2. Nieregularność umysłu „Moduł to więcej niż funkcja”
Wyglądają tak:
\[\lewo| f\prawo| \gt g\]
Wygląda na przód? To wygląda jak. Prote vyrishyuyutsya tak zavdannya zovsіm w inny sposób. Formalnie schemat nadchodzi:
\[\lewo| f\prawo| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(align) \right.\]
Innymi słowy, widzimy dwa punkty:
- Z drugiej strony po prostu zignoruj moduł - normalna niespójność virishhuєmo;
- Zasadniczo rozszerzmy moduł 3 o znak minus, a następnie pomnożymy naruszającą część nierówności przez −1, czyli mniej niż znak.
W tym wariancie posiadają kwadratową kokardę, tobto. może małżeństwo dwojga mogłoby.
Oddaj ponownie szacunek: nie stoimy przed systemem, ale sukupnistą, w vіdpovіdі impersonals jednoczą się, ale się nie zmieniają. Ważne jest, aby zobaczyć pierwszy punkt!
Vzagali, z ob'ednannymi i peretina w bogatej uchnіv sutsіlna plutanina, uporządkujmy to w żywieniu tsommu raz za razem:
- "∪" - jest znakiem ob'ednannya. W rzeczywistości litera „U” została wystylizowana, tak jak do nas przyszła od angielski filmє skrót jak „Union”, tobto. "Unia".
- „∩” to znak linii. Tsya bzdura dźwięk nie przyszedł, ale po prostu winyl taki, jak został napisany przed „∪”.
Aby było łatwiej zapamiętać, po prostu pomaluj do tych znaków, aby kielichy (oś tylko nie musiała od razu dzwonić do mnie w propagandzie narkomanii i alkoholizmu: jeśli nauczysz się całej lekcji, to już jesteś narkoman):
Rіznitsya mizh retinom i ob'єdnannyam mnozhin W tłumaczeniu rosyjskiego tse oznacza to: związek (zaopatrzenie) zawiera w sobie elementy z obu zbiorów, czyli nie mniej niż skóra; a oś (układ) siatkówki obejmuje tylko te elementy, które jednocześnie znajdują się w pierwszym mnożniku, a w drugim. Dlatego nie ma już wielokrotności wielu wakacji.
Czy stało się to bardziej sensowne? Od ja dobrze. Przejdźmy do praktyki.
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]
Rozwiązanie. Diemo dla schematu:
\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right .\]
Skóra Virishuemo nerіvnіnі suupnostі:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(wyrównaj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(wyrównaj) \right.\]
To znaczy pomnożę skórkę przez linię liczbową, a następnie połączymy je:
Kombinacja wielokrotności
Jest dość oczywiste, że $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Sugestia: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]
Rozwiązanie. Więc co? To nic - wszystko jedno. Przejdźmy przez nierówność modułem do agregacji dwóch nierówności:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(wyrównaj) \w prawo.\]
Łagodzi podrażnienia skóry. Niestety korzenia już tam nie będzie.
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\koniec(wyrównaj)\]
Druga nerwowość również ma trochę gry:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\koniec(wyrównaj)\]
Teraz musisz obliczyć liczby na dwóch osiach - jedna oś dla nierówności skóry. Konieczne jest jednak zaznaczanie kropek w odpowiedniej kolejności: im wyższa liczba, tym bardziej kropka została przesunięta w prawo.
І oś tutaj sprawdza nas. A co z liczbami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ wszystko jest jasne ), więc suma jest również mniejsza) , z liczbami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ liczba jest większa niż ujemna), a następnie z resztą para, wszystko nie jest takie jasne. Co jest większe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme rozmieszczając punkty na liniach liczbowych і, vlasne, vіdpovіd.
Przyjrzyjmy się więc:
\[\begin(macierz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(macierz)\]
Potwierdziliśmy pierwiastek, odjęliśmy liczby ujemne z obu stron nierówności, więc mamy prawo do kwadratu stron naruszających:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(macierz)\]
Chyba zdałem sobie sprawę, że $4\sqrt(13) \gt 3$, że $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, pozostałe punkty na osiach zostaną ułożone w następujący sposób:
Vipadok brzydkiego korzenia
Zgaduję, widzimy sukupnіst, dlatego konieczne jest posiadanie jointa, a nie przetasowanie wielokrotności cieniowania.
Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
Podobnie jak Bachite, nasz program cudownie sprawdza się zarówno w przypadku prostych, jak i trudnych zadań. Jedynym „słabym miejscem” dla takiej osoby jest potrzeba umiejętnego zrównoważenia liczb niewymiernych (i kolei: to nie więcej niż pierwiastek). Alya zostanie poświęcona okremium na racje (a nawet poważną lekcją). I chodźmy.
3. Nieprawidłowości z niewidocznymi „ogonami”
Uciekliśmy od najlepszych. Cena nierównego umysłu:
\[\lewo| f\prawo| \gt\lewo| g\prawo|\]
Pozornie algorytm, o którym zaraz porozmawiamy, jest lepszy dla modułu. W pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє stoją gwarantowane nevid'єmnі vrazi:
Jaka jest praca tych zadań? Tylko pamiętaj:
Nieprawidłowości z niewidocznymi „ogonami” mogą powodować obrażanie części świata przyrody. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya w tsomu nie vynikne.
Jesteśmy przed nami tsikavitime zvedennya na kwadracie - w modułach do spania, które zakorzeniają:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\koniec(wyrównaj)\]
Oś tylko nie musi być oszukiwana od pierwiastka kwadratu:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \prawo|\ne f\]
W tym momencie dozwolone było bezosobowe ułaskawienie, jeśli nauczyłeś się zapominać o zainstalowaniu modułu! Ale tse zovsim іnsha іstorіya (tse yak bi irracjonalna rіvnyannia), więc nie ugrzęźniemy od razu. Zobaczmy wyraźniej szprota dnia:
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \w prawo|\]
Rozwiązanie. Ponownie szanujemy dwa słowa:
- Tse nie suvora nerіvnіst. Krapki na osi liczbowej zostaną zerwane.
- Obraźliwe strony niespójności są wyraźnie niewidoczne (moc modułu: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).
Możemy również wyrównać obraźliwe części nierówności, aby pozbyć się modułu i wyeliminować zadanie, stosując najlepszą metodę interwałów:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\koniec(wyrównaj)\]
W dalszej części etapu trochę oszukałem: zmiana kolejności dodawania, skrócenie parzystości modułu (właściwie pomnożenie $1-2x$ przez -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) w prawo)\w prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Virishuemo metodą interwałów. Przejdźmy od nierówności do wyrównania:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\koniec(wyrównaj)\]
Najwyraźniej korzeń znajduje się na osi liczbowej. Jeszcze raz: wąsy plamek farbovani, odłamki nerwowości - nie Suvora!
Zvіlnennya zgodnie ze znakiem modułu
Chyba dla tych, którzy są szczególnie bezkompromisowi: bierzemy znaki od reszty nierówności, jakby buła została spisana przed przejściem na równe. I region zafarbovuyemo, jaka potrzebna jest w tej samej nierówności. Nasz vipad ma $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Cóż, ze wszystkiego. Zadanie się skończyło.
Sugestia: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Rozwiązanie. Robimo tak samo. Nie komentuję - po prostu podziwiam kolejność działań.
Weźmy kwadrat:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Metoda interwałowa:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnic. \\koniec(wyrównaj)\]
Tylko jeden korzeń na osi liczbowej:
Vidpovid - interwał tsiliy
Sugestia: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Niewielki szacunek dla reszty głowy. Jakby szanując jednego z moich uczniów, obelgi podmodułu są wyraźnie pozytywne w tej nerwowości, znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.
Ale tse już zovsіm іnshiy rіven razdumіv, że іnshі pіdkhіd yogo można nazwać mentalnie metodą nasledkіv. O nowościach w okremou urotsi. A teraz przejdźmy do końcowej części dzisiejszej lekcji, czyli uniwersalnego algorytmu, który jest praktykowany od zawsze. Navit więc, gdyby wszyscy przednie okazali się bezsilni.
4. Sposób wyliczania opcji
A dlaczego wszystkie priyomi nie pomagają? Jak nierówność nie może być spowodowana niewidzialnymi ogonami, jak nie wejść do modułu, jak można go uruchomić?
Wtedy na scenę wkracza wielka artyleria wszelkiej matematyki - metoda liczenia. Setki nieprawidłowości z modułu wygląda tak:
- Zapisz wszystkie pіdmodulnі vrazi i zrównaj je z zero;
- Rozvyazati otrimani rіvnyannya, że vіznázchiti znaydenі korenі na jednej numerycznej linii prostej;
- Bezpośrednio rozіb'єtsya na kіlka dіlyanok, środek takiego skórzanego modułu może naprawić znak i jest to jednoznacznie rozkrivаєєtsya;
- Virishiti nerіvnіst na kozhnіy takich dilyanci (możesz spojrzeć na root-cordoni, otrimani w punkcie 2 dla supremacji). Wyniki stowarzyszenia - tse i bude vіdpovіd.
Cóż, jaka? Słaby? Łatwo! Przez długi czas. Spójrzmy praktycznie:
Menedżer. Aby rozwiązać nerwowość:
\[\lewo| x+2 \prawo| \lt\lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Rozwiązanie. Bzdura Tsya nie denerwuj się $ \ left | f\prawo| \lt g$, $\lewo| f\prawo| \gt g$ lub $\lewo| f\prawo| \lt\lewo| g \right|$, w porządku.
Piszemy submodularne virazi, przyrównujemy je do zera i znamy pierwiastek:
\[\begin(wyrównaj) & x+2=0\Strzałka w prawo x=-2; \& x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\koniec(wyrównaj)\]
Razem mamy dwa pierwiastki, które dzielą liczbę wprost na trzy działki, w środku tych skórek moduł jednoznacznie się rozwija:
Dzielenie osi liczbowej zerami funkcji submodularnych
Spójrzmy na okremo skóry.
1. Daj $x \lt -2$. Todi obraża pіdmodulnі virazi negatywnie, ja vihіdna nerіvnіst przepisuję w ten sposób:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\koniec(wyrównaj)\]
Zdobuli dosit po prostu obmezhennya. Przenieśmy jogę z resztą dodatków, które $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnic \]
Oczywistym jest, że zmiana $x$ nie może być mniejsza niż -2 w ciągu nocy, ale większa niż 1,5. Nie ma rozwiązania dla tego biznesu.
1.1. Okremo spójrz na vipadok w pobliżu kordonu $x=-2$. Wyobraźmy sobie tę liczbę przy braku niespójności i weryfikowalnych: dlaczego jest zwycięska?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lewo| -3 \prawo|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnic. \\koniec(wyrównaj)\]
Oczywistym jest, że językoznawca oszukał nas do granic niewiarygodnych nierówności. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh źle, $ x = -2 $ nie idź w vіdpovіd.
2. Teraz daj $-2 \lt x \lt 1$. Moduł biblioteczny jest już rozwijany z plusem, ale ten właściwy jest nadal z minusem. Maemo:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\koniec(wyrównaj)\]
Zmieniam to na nowo za pomocą vimoga vikidnoy:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Odnawiam puste rozwiązanie bezosobowe, nie ma odłamków takich liczb, które są jednocześnie mniejsze niż -2,5, a więcej niż -2.
2.1. Odnawiam okremy vipadok: $ x = 1 $. Wyobraźmy sobie, że zjazd jest nierówny:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lewo| 3\prawo| \lt\lewo| 0 \prawo|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strzałka w prawo \varnic. \\koniec(wyrównaj)\]
Podobnie jak w przypadku „prywatnego zrzutu” w przód, liczba $x=1$ wyraźnie nie jest uwzględniona w zrzutu.
3. Pozostały kawałek prosto: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są zakrzywione ze znakiem plus:
\[\begin(wyrównaj) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(wyrównaj)\ ]
Ponownie zastanawiam się nad wielością wymian zewnętrznych:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \prawidłowy)\]
Cóż, weź to! Znaliśmy interwał, który będzie povіddu.
Sugestia: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Nasamkinets - jeden szacunek, być może uchroni cię przed złymi przebaczeniami, gdy zostaną spełnione prawdziwe zadania:
Virishennya nerіvіvnosti z modułów zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Pojedyncze kropki łapią wolniej. Bardziej prawdopodobne jest pułapkowanie, aby między rozwiązaniami (kіnets vіdrіzka) zbіgaєtsya z granicy analizowanego zakresu.
Skoro tak jakby kordony (te „prywatne vipadki” same) nie wchodziły do straży, to mayzhe, pojedynczo, nie idź do straży i obszaru zła, aby wejść do tych kordonów. І navpaki: kordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh będzie vіdpovіdyami.
Pamiętaj o tym, jeśli zmienisz swoją decyzję.
Nerіvnіst ce viraz c, ≤ lub ≥. Na przykład, 3x - 5 Niespójność Wirusowości oznacza poznanie wszystkich znaczeń zmiany, dla której niespójność jest poprawna. Skóra tych liczb jest rozwiązaniem niespójności, ale bezosobowym sukcesem takich rozwiązań jest joga bezosobowa decyzja. Nervnosti, jaka może tak bezosobowa decyzja, nazywa się nieprawidłowości równoważne.
Nieregularności liniowe
Zasady rozplątywania nieprawidłowości są podobne do zasad rozplątywania równości.Zasady usuwania nieprawidłowości
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c:
Zasada dodawania nieprawidłowości: Yakscho a Zasada mnożenia dla nieprawidłowości: Jak a 0 jest prawdziwe, jak ac Jak a bc też jest prawdziwe.
Podobne krzepnięcia zatrzymują się również dla a ≤ b.
Jeśli obrażające strony nerwowości pomnożą się przez liczbę ujemną, konieczna jest ponowna zmiana znaku nerwowości.
Nieprawidłowości pierwszego poziomu, podobnie jak w dolniku 1 (dolnym), nazywamy nieregularności liniowe.
tyłek 1 Aby rozwiązać skórę z takiej drażliwości. Przedstawmy bezosobowe róże.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Rozwiązanie
Czy to liczba, mniej niż 11/5, є decyzji.
Bezosobowa decyzja є (x|x
W celu ponownego rozważenia możemy narysować wykres y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Jest jednak jasne, że dla x 
Rozwiązanie anonimowe є (x|x ≤ 1), lub (-∞, 1) Wykres mnożnika rozwiązania obrazu poniżej. 
U podstaw nerwowości
Jeśli dwie niespójności są połączone słowem і, lub następnie powstaje leżąca u podstaw nerwowość. Podvіyna nerіvnіst, jaka
-3
і 2x + 5 ≤ 7
nazywa z'ednanimi, do tego w nowym vikoristano і. Rekord -3 Podstawowe niespójności można przezwyciężyć stosując różne zasady, dodając i mnożąc niespójności.
tyłek 2 Virishit -3 Rozwiązanie Mamy
Bezosobowa decyzja (x|x ≤ -1 lub x > 3). Możemy również napisać rozwiązanie dla różnych definicji przedziału i symbolu dla Stowarzyszenie lub obie wielokrotności są uwzględnione: (-∞ -1] (3, ∞) 
W przypadku ponownej weryfikacji możemy powiedzieć y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Zauważ, że dla (x|x ≤ -1 lub x > 3), y 1 ≤ y 2 lub r1 > r3 . 
Nieprawidłowości o wartościach bezwzględnych (moduł)
Nervnostі іnоdі mіstіat modułów. Kolejne cechy to zastosovuyutsya dla ich doskonałości.
Dla a > 0 ta algebraiczna wiraza x:
|x| |x| > a jest równoważne x chi x > a.
Podobne stwierdzenia dla |x| ≤ a i |x| ≥
Na przykład,
|x| |y| ≥ 1 jest równoważne y ≤ -1 lub y ≥ 1;
oraz |2x + 3| ≤ 4 jest równoważne -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
tyłek 4 Aby rozwiązać skórę z takiej drażliwości. Trzymaj się harmonogramu wielu decyzji.
a) | 3x+2 | b) |5 - 2x| ≥ 1
Rozwiązanie
a) | 3x+2 |
b) |5 - 2x| ≥ 1
Rozwiązanie anonimowe є (x|x ≤ 2 lub x ≥ 3), lub (-∞, 2] )
