Cum să întocmești corect defalcarea nervozității. Denivelare fracțională-rațională. Cum să faceți față neconcordanțelor, care au un modul

Tastați ax 2 + bx + 0 0, de (înlocuire semn > posibil, sensibil, fie un alt semn de denivelare). Totul este necesar pentru a rezolva astfel de neconcordanțe cu faptele teoriei, putem vedea de ce ne putem schimba dintr-o dată.

fundul 1. Virishiti nerіvnist:

a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
soluţie,

a) Să ne uităm la parabola y \u003d x 2 - 2x - 3, prezentată în fig. 117.

Denivelarea virismului x 2 - 2x - 3 > 0 - nu înseamnă alimentare cu energie, pentru care ordonata x punctul parabolei este pozitiv.

Cu respect, că y > 0, atunci graficul funcției de expansiune este mai mare pentru axa x, la x< -1 или при х > 3.

Otzhe, soluțiile la denivelări sunt toate punctele de deschidere Despre mine(- 00 , - 1) și găsiți toate punctele din intervalul critic deschis (3, +00).

Vykoristovuyuchi semnul U (semnul subdiviziunii), se poate scrie astfel: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd poate fi scris astfel: x< - 1; х > 3.

b) Denivelări x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: programa răspândirea sub axa x, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Neregularitatea x 2 - 2x - 3 > 0 contează drept denivelare x 2 - 2x - 3 > 0, deci trebuie să includeți alinierea rădăcinii x 2 - 2x - 3 = 0, apoi punctele x = -1

і x \u003d 3. În această ordine, soluțiile date nu sunt complet inegale și toate punctele de schimbare (-00, - 1], precum și punctele de schimbare mustață.

Matematicienii practici sună așa: navіscho us, viruyuchi nerіvnіst ах 2 + bх + с > 0, pentru a fi cu exactitate un grafic parabolă al unei funcții pătratice

y \u003d ax 2 + bx + c (cum a fost spart pe fundul 1)? Terminând micul grafic schițat rădăcină a trinomului pătrat (punctele barei transversale a parabolei z vіssy х) și semnifică, unde îndreptarea acelor parabolei este în sus în jos. Acest micuț anevoios vă va oferi un nor de nervozitate rozv'yazannya.

fundul 2. Virism nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Soluţie.

1) Știm rădăcina trinomului pătrat - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, ca un grafic al funcției y \u003d -2x 2 + Zx + 9, deplasând tot x la punctele 3 i - 1,5, iar pinii parabolei sunt îndreptați în jos, cei mai mari coeficient- Număr negativ - 2. În fig. 118 reprezentări de mici grafice.

3) Orez Vikoristovuyuchi. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Sugestie: x< -1,5; х > 3.

Exemplul 3. Virishiti nerіvnist 4х 2 - 4х + 1< 0.
Soluţie.

1) Z egal 4x 2 - 4x + 1 = 0 este cunoscut.

2) Un trinom pătrat are o rădăcină; tse înseamnă că este o parabolă, ca un grafic al unui trinom pătrat, nu schimbați tot x, ci stați în puncte. Capetele parabolei drept în sus pe deal (Fig. 119.)

3) Pentru un model geometric suplimentar, care este prezentat în Fig. 119, se stabilește că denivelarea este stabilită numai în puncte, scalarea la toate celelalte valori ale ordonatei graficului este pozitivă.
Sugestie: .
Tu, sing-song, ți-ai amintit că de fapt fundurile 1, 2, 3 aveau o cântare întreagă algoritm rozv'yazannya pătrat nereguli, yogo formalizate.

Algoritm pentru derivarea neregularității pătrate ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

În prima etapă, algoritmul trebuie să cunoască rădăcina trinomului pătrat. Dar rădăcina nu poate fi spartă, de ce să lucreze? Atunci algoritmul nu zastosovuetsya, atunci, este necesar să-l respecte oricum. Cheia pentru tsikh mirkuvan este de a da astfel de teoreme.

Cu alte cuvinte, la fel ca D< 0, а >0, atunci denivelarea ax 2 + bx + c > 0 câștigă pentru tot x; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Dovada. Programa funcții y \u003d ax 2 + bx + c є parabola, acele sunt drepte în sus (scalari a\u003e 0) și yak nu schimbă tot x, deoarece trinomul pătrat nu are rădăcină pentru minte. Graficul este prezentat în fig. 120. Bachimo, că cu tot x programul de expansiune este mai mare decât axa x, dar tse înseamnă că cu tot x, denivelarea ax 2 + bx + c > 0, care trebuia să fie finalizată.

Cu alte cuvinte, la fel ca D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nicio solutie.

Dovada. Graficul funcției y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

fundul 4. Virishiti nerіvnist:

a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Știm discriminantul trinomului pătrat 2x 2 - x + 4. Mai D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Coeficientul senior al trinomului (numărul 2) este pozitiv.

Deci, pentru teorema 1, pentru tot x, denivelarea 2x 2 - x + 4> 0 este depășită, astfel încât toate (-00 + 00) servesc ca soluții la denivelarea dată.

b) Știm discriminantul trinomului pătrat - x 2 + Zx - 8. Mai D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Valabilitate: a) (-00 + 00); b) nu există soluție.

La fundul ofensiv, știm încă o modalitate de a miring, care zastosovetsya la deschiderea de nereguli pătrat.

Exemplul 5. Virism nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Soluţie. Extindem trinomul pătrat 3x 2 - 10x + 3 în multiplicatori. La rădăcinile trinomului є numărul 3 i până la aceea, accelerând ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), luăm 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Semnificativ pe rădăcina numerică directă a trinomului: 3 i (Fig. 122).

Fie x> 3; atunci x-3>0 і x->0, atunci, i suplimentar 3(x - 3)(x - ) este pozitiv. Haide haide< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. De asemenea, dobutok 3(x-3)(x-) este negativ. Hai, hai, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) este pozitiv.

Rezumând, ajungem la visnovka: semnele trinomului pătrat Zx 2 - 10x + 3 se schimbă așa cum se arată în fig. 122. Dar trebuie să fim numiți, pentru un trinom pătrat ia valori negative. 3 fig. 122 robimo visnovok: trinom pătrat 3x 2 - 10x + 3 nabuє valori negative pentru orice valoare a lui x în intervalul (, 3)
Vidpovid (, 3), altfel< х < 3.

Respect. Metoda oglinzii, pe care am folosit-o pe capul 5, se numește metoda intervalelor (sau metoda intervalelor). Câștigă câștigă în mod activ la matematică pentru perfecțiune raţional nereguli. În clasa a IX-a, metoda intervalelor este mai detaliată.

fundul 6. Pentru orice valoare a parametrului p pătrat egal cu x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) există două rădăcini diferite;

b) există o singură rădăcină;

c) nu maє -rădăcină?

Soluţie. Numărul de rădăcini ale egalizării pătrate se află după semnul primului discriminant D. În acest caz, D = 25 - 4p2 este cunoscut.

a) O aliniere pătrată poate avea două rădăcini diferite, cum ar fi D>0, prin urmare, sarcina este de a construi până la alinierea denivelărilor 25 - 4p 2 > 0. Înlăturăm egalitatea denivelărilor 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Semnele virasei 4(p – 2,5) (p + 2,5) sunt prezentate în fig. 123.

Robimo visnovok, care este neuniform 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) alinierea pătratului poate avea o singură rădăcină, deci D - 0.
Am inserat mai multe, D = 0 pentru p = 2,5 sau p = -2,5.

Același lucru cu valorile tsikh ale parametrului primește un pătrat egal cu o singură rădăcină.

c) Pătratul nu este egal cu rădăcina, ca D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Luăm 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, stele (div. Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Cu valorile tsikh ale parametrului dat, pătratul nu are rădăcină.

Vidpovid: a) la p(-2,5, 2,5);

b) la p = 2,5 abor = -2,5;
c) la r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebră. Clasa a 8-a: Navch. pentru zagalnosvіt. instalare - a treia vedere., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 p.: il.

Ajutor pentru un școlar online, descărcare Matematică pentru clasa a 8-a, planificare tematică calendaristică

Liniare se numesc inconsistențe partea stângă și dreaptă a unor astfel de funcții liniare de o magnitudine necunoscută. În fața lor se poate vedea, de exemplu, nervozitate:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Suvori denivelări: ax+b>0 sau topor+b<0

2) Nereguli nestricte: ax+b≤0 sau topor+b≫ 0

Hai să aruncăm o privire. Una dintre laturile paralelogramului devine 7cm. Care poate fi lungimea celeilalte laturi, astfel incat perimetrul paralelogramului sa fie mai mare de 44 cm?

Haideți pe partea shukana a stocului X vezi De data aceasta, perimetrul paralelogramului va avea reprezentari (14 + 2x) vezi Neregularitate 14 + 2x > 44 є model matematic Problemă despre perimetrul unui paralelogram. Ca și în această denivelare, înlocuiți schimbarea X Pe, de exemplu, numărul 16, atunci luăm denivelarea numerică corectă 14 + 32 > 44. În acest caz, se pare că numărul 16 este același cu diferența dintre 14 + 2x > 44.

nervozitate Rozvyazanyam numiți sensul schimbării, de parcă ar fi o fiară a lor, în denivelarea numerică corectă.

Otzhe, piele de la numerele 15,1; 20;73 acționează ca o denivelare rozvyazkoy 14 + 2x > 44, iar numărul 10, de exemplu, nu este același rozvyazky.

Virishiti nerіvnistînseamnă a instala toate soluțiile, sau a aduce, că soluția nu există.

Formularea rozv'yazannya de neuniformitate este similară cu formularul rădăcinii de aliniere. Totuși, nu este obișnuit să se desemneze „rădăcina nervozității”.

Dominanța echivalenței numerice a fost completată de echivalența virishuvati. Deci însăși puterea inconsecvențelor numerice va ajuta la depășirea inconsecvențelor.

Echivalența Virishuyuchi, schimbăm yogo-nhim, vom ierta mai mult echivalența, dar deși egală cu cea dată. În spatele unei astfel de scheme, se cunosc consecințele și inconsecvențele. La schimbarea egalizării pe egal cu aceasta, egalizarea este coroborată de teorema despre transferul adunărilor dintr-o parte a egală cu lungimea și înmulțirea ambelor părți ale egalului cu același în același număr cu zero. În cazul rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdminnіst yogo z іvnyannіm, yak argumentând în faptul că dacă soluția іvіnnіnіnі poate fi înțeleasă greșit doar prin setarea vihіdnіnіnіа. Neregulile au așa în fiecare zi, astfel încât o soluție impersonală nu este posibil să le prezinte. Pentru asta este important să înțelegem, axa săgeților<=>- tse semn de echivalent, chi egal, transformare. Transformarea se numește egal, sau echivalent precum duhoarea nu schimbă decizia impersonală.

Reguli similare pentru iritabilitatea rozv'yazannya.

De parcă ar fi mutat ceva dintr-o parte a denivelării în alta, înlocuind semnul cu cel opus, atunci înlăturăm denivelările, echivalente cu cea dată.

Dacă înmulțiți (împărțiți) părțile jignitoare ale nervozității cu același număr pozitiv, atunci eliminăm denivelarea echivalentă cu cea dată.

Dacă înmulțiți (împărțiți) părțile ofensatoare ale denivelării cu același număr negativ, înlocuind semnul denivelării cu prelungirea, atunci eliminăm denivelarea, care este echivalentă cu cea dată.

Vikoristovuyuchi qi reguli numărând iritabilitatea inferioară.

1) Să aruncăm o privire asupra inconsecvenței 2x - 5 > 9.

Tse denivelări liniare, știm decizia yogo și discutabil înțelegerea principală.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 s-au mutat în partea stângă cu semn opus), apoi au împărțit totul la 2 și poate x > 7. Vom aplica o soluție bogată la orice X

Am eliminat directivele pozitive. Decizie semnificativ impersonală sau ca o nervozitate x > 7, sau ca un interval x(7; ∞). Și cum rămâne cu deciziile private despre nervozitate? De exemplu, x=10- tse private vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- este si o varianta privata a nervozitatii.

Există o mulțime de decizii private, dar sarcina noastră este să cunoaștem toate deciziile. Iar decizia, de regulă, este impersonală.

Rozberemo fundul 2:

2) Eliminați nervozitatea 4a - 11 > a + 13.

Virishima yoga: A hai sa ne miscam intr-un cioc, 11 trece la următoarea carte, ia 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nervozitatea poate arăta A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Tezh aparent impersonal A< 8 , dar deja pe axă A.

Vidpovid sau scrie ca nervozitatea a< 8, либо A(-∞;8), 8 nu este inclus.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din motive, am extins Politica de confidențialitate, așa cum este descris, deoarece am colectat informațiile dvs. Fiți amabili, citiți politica noastră de confidențialitate și spuneți-ne dacă aveți întrebări despre mâncare.

Selectarea informațiilor personale selectate

Sub informațiile personale sunt date date, deoarece este posibil să câștigi pentru identificarea unui individ cântăreț și o legătură cu acesta.

Este posibil să vi se solicite informațiile dumneavoastră personale dacă ne contactați.

Mai jos, există câteva exemple de tipuri de informații personale, după cum putem alege și după cum putem selecta astfel de informații.

Cum colectăm informațiile personale:

• Dacă depuneți o cerere pe site, putem colecta diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail si etc.

Cum colectăm informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale colectate de noi ne permit să vă contactăm și să vă spunem despre oferte unice, promoții și altele, să le vizităm și să le găsim pe cele mai apropiate.
• Din când în când, vă putem vikoristovuvat informațiile personale pentru a consolida mementourile și mementourile importante.
• De asemenea, putem colecta informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și alte înregistrări cu o metodă de îmbunătățire a serviciilor, pe care sperăm că vi se oferă prin recomandarea serviciilor noastre.
• Pe măsură ce participați la extrageri de premii, la concursuri sau la un stimulent similar, putem câștiga informații, sperăm, pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile dumneavoastră către terți.

Vinyatki:

• Este necesar – în conformitate cu legea, ordinul judiciar, controlul judiciar și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților de stat de pe teritoriul Federației Ruse – să dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs., și mai important, că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru siguranță, menținerea ordinii și a legii sau alte vipadkiv importante.
• În perioade de reorganizare, agravare sau vânzare, putem transfera informații personale care sunt colectate de noi, a treia persoană - către infractor.

Protector al informațiilor personale

Trăim în străinătate - inclusiv administrativ, tehnic și fizic - pentru protecția informațiilor dumneavoastră personale sub formă de risipă, furt și vikoristannya fără scrupule, precum și acces neautorizat, dezvăluire, modificare a încălcării respective.

Menținerea confidențialității la o companie similară

Pentru a vă schimba informațiile personale astfel încât informațiile dumneavoastră personale să fie păstrate în siguranță, aducem contactelor noastre cu norme de confidențialitate și securitate și respectăm cu strictețe regulile de confidențialitate.

Astăzi, prieteni, nu va exista nici un sentiment de zi cu zi. Ca înlocuitor al lor, te voi îndrepta către cerșetorul cu unul dintre cei mai răi adversari la cursul de algebră de clase 8-9.

Deci, ați înțeles totul corect: treceți la inconsecvențele cu modulul. Să aruncăm o privire la câteva dintre principiile principale, pentru ajutorul cărora veți învăța să depășiți aproape 90% din astfel de sarcini. Și ce zici de 10% reshtoyu? Ei bine, vom vorbi despre ele într-o lecție bună.

Cu toate acestea, înainte de asta, cum să rezolv cum să o accept acolo, aș dori să ghicesc două fapte, care ar fi necesar să le cunoaștem. În caz contrar, veți examina cunoștințele despre materialul lecției de astăzi.

Ce vrei să știi

Este clar că pentru a rezolva inconsecvențele cu modulul, este necesar să cunoști două cuvinte:

1. Cum deranjează nervozitatea;
2. Ce este un modul?

Să începem de la un alt punct.

Funcția modulului

Totul este simplu aici. Є două funcții: algebrică și grafică. Pentru cob - algebric:

Programare. Modulul numărului $x$ este fie numărul în sine, deoarece nu este vizibil pentru mine, fie numărul, care este opus ție, ca și celălalt $x$, este încă negativ.

Înregistrați-o astfel:

\[\stanga| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Pentru a spune simplu, modulul este „un număr fără minus”. Eu însumi în această dualitate (aici, de la ultimul număr, nu trebuie lucrat nimic, dar aici se întâmplă să ridic un minus acolo) și folosesc toată plierea pentru studenții-pochatkivtsiv.

Design mai geometric. De asemenea, este bine de știut, dar vom fi mai puțin probabil să mergem la cel nou în moduri pliabile și chiar speciale, un pidkhіd geometric de succes pentru algebric (spoiler: nu astăzi).

Programare. Fie marcat punctul $a$ pe linia numerică. Același modul $ \ stânga | x-a \right|$ este apelat de la punctul $x$ până la punctul $a$ de pe această linie.

Dacă doriți să traversați imaginea, atunci o puteți vedea pe kshtalt tsogo:

Design grafic al modulului

Deci, ce altceva, din desemnarea modulului, se vede imediat puterea cheii: modulul numărului este întotdeauna egal cu mărimea. Acest fapt va fi un fir roșu pentru a trece prin tot discursul nostru de astăzi.

Virishennya nerіvnosti. Metoda intervalului

Acum să aruncăm o privire asupra nervozității. Їхісує impersonal, dar sarcina noastră imediat este să-l ucidem pe virishuvati dorind să fie cel mai simplu dintre ei. Tі, scho zvoditsya la nereguli liniare și metoda de navіt a intervalelor.

Pe acest subiect, am două lecții grozave (mіzh іnshim, mai mult, mai maro - recomand vivchiti):

1. Metoda intervalului pentru nereguli (mai ales uitați-vă la videoclip);
2. Inconsecvențe fracționale-raționale - chiar și o lecție generală, dar apoi nu te sătura de mâncare.

Dacă știi totul, dacă expresia „să trecem de la denivelare la egalitate” nu sună ca și cum te-ai săturat nebunește să te sinucizi de perete, atunci ești gata: te rugăm cu drag să mergi la dracu la lecția principală . :)

1. Neregularitatea minții „Modul mai puțin decât funcția”

Aceasta este una dintre cele mai extinse sarcini cu module. Este necesar să depășim denivelările minții:

\[\stanga| f\right| \ltg\]

Rolul funcțiilor $f$ și $g$ poate fi, sau altfel, polinoame. Aplicați astfel de inconsecvențe:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\dreapta| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\stânga| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Toate mirosurile sunt literalmente într-un singur rând în spatele schemei:

\[\stanga| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Nu contează dacă modulul este cruțat, dar putem elimina inconsecvența de bază (altfel, la fel, sistemul a două inconsecvențe). Prote cey transfer vrakhovu absolut totul posibile probleme: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; akscho negativ - toate aceeași practică; si navit pentru cea mai neadecvata functie a casei $f$ chi $g$ metoda tot aceeasi munca.

Evident, dă vina pe mâncare: nu poate fi mai simplu? Din păcate, nu este posibil. Cine are întreaga caracteristică a modulului.

Vtіm, rămâneți la filosofare. Să cântăm o crenguță a zilei:

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| 2x+3\dreapta| \ltx+7\]

Soluţie. De asemenea, în fața noastră este o minte clasică nerіvnіst „modul mai mic” - să nu schimbe nimic. Practică pentru algoritm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți arcurile, în fața cărora este un „minus”: pe cât posibil, prin graba, vă veți răsfăța cu o iertare figurată.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Sarcina a fost până la două nereguli elementare. Semnificativ їх virіshennia pe linii numerice paralele:

Peretin multiplu

Peretin tsikh s-a înmulțit și va fi clar.

Potrivire: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Comanda este deja un fleac pliat. Pentru cob, folosim modulul, transferând un alt addendum la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, ne confruntăm cu o nouă denivelare a formei „modul mai mic”, așa că permitem modulul pentru algoritmul deja existent:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Axa de contagiune respect: lasă-mă să-ți spun, sunt troch bochenets іz mustache cu cătușe. Ale, voi ghici din nou care este meta-ul nostru cheie competent virishiti nerіvnіst și otrimati vіdpovіd. Mai târziu, dacă ai stăpânit temeinic tot ce este dezvăluit în această lecție, te poți răsuci după cum dorești: deschide brațele, adaugă minusuri etc.

Și pentru noi, pentru cob, ne vom trezi doar cu minusul subminator al răului:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum, toate arcadele nervozității de bază au fost deschise:

Să trecem la nervozitatea de la metrou. De data aceasta, filele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Resentimentele denivelărilor sunt pătrate și încălcate de metoda intervalelor (dar vă spun: nu știți ce este, mai bine nu vă ocupați de module). Să trecem la prima denivelare:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\left(x+5\right)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(align)\]

Ca un bachimo, la ieșire a pătrat neuniform, chiar, parcă ar fi elementar. Acum să aruncăm o privire la o altă nervozitate a sistemului. Acolo se întâmplă cu teorema lui zastosuvat Viet:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(align)\]

Scădeți semnificativ numerele de pe două drepte paralele (okrema pentru prima denivelare și okrema pentru cealaltă):

Ei bine, sunt sigur că, împărțind sistemul de nereguli cu noi, vom repeta liniile multiplicatorilor de umbrire: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.

Potrivire: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aplicarea lor, schema soluției a avut un sens limită:

1. Asimilați modulul, transferând toate celelalte completări în partea principală a denivelărilor. În acest fel, luăm în considerare inconsecvența minții $\left| f\right| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerіvnіst, după ce a cruțat modulul pentru schema descrisă mai sus. La un moment dat, este necesar să treceți de la nervozitatea subvariantă la un sistem de doi viruși independenți, a căror piele poate fi reparată complet.
3. Nareshti, să fim lipsiți de soluția acestor două silabe independente - și tot ceea ce luăm este restul.

Un algoritm similar este utilizat pentru rugozități de tip ofensiv, dacă modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există o crenguță de „ale” serioasă. Să vorbim deodată despre qi „ale”.

2. Neregularitatea minții „Modulul este mai mult decât o funcție”

Arata asa:

\[\stanga| f\right| \gt g\]

Arata ca fata? Arată ca. Prote vyrishyuyutsya so zavdannya zovsіm într-un mod diferit. Formal, vine schema:

\[\stanga| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, putem vedea două puncte:

1. Pe de altă parte, pur și simplu ignora modul - virishhuєmo inconsecvență normală;
2. În esență, să extindem modulul 3 cu un semn minus și apoi vom înmulți partea ofensătoare a denivelării cu −1, care este mai mică decât semnul.

In aceasta varianta au o fundita patrata, tobto. poate căsătoria a doi ar putea.

Întoarce-ți din nou respectul: nu suntem în fața unui sistem, ci a unui sukupnist, la vіdpovіdі impersonali se unesc, dar nu se schimbă. Este important să vezi punctul din față!

Vzagali, z ob'ednannymi și peretina la bogat uchnіv sutsіlna plutanina, să sortăm această mâncare din nou și din nou:

• „∪” - este un semn al ob'ednannya. De fapt, litera „U” a fost stilizată, așa cum ne-a venit de la noi film englezescє abreviere ca „Unire”, tobto. "Uniune".
• „∩” este semnul liniei. Tsya crap, sunetul nu a venit, ci doar vinil așa cum a fost scris înainte de „∪”.

Pentru a vă aminti mai ușor, pictați până la aceste semne, astfel încât kelikh-urile să fie văzute (numai că axa nu trebuie să mă sune imediat în propaganda dependenței de droguri și alcoolismului: dacă înveți toată lecția, atunci vei sunteți deja dependent de droguri):

Rіznitsya mizh retinom și ob'єdnannyam mnozhin

În traducerea Tse din rusă, înseamnă următoarele: uniunea (aprovizionarea) include elemente ale ambilor multipli în propriul său, adică nu mai puțin decât pielea; iar axa (sistemul) retiniană include doar acele elemente, care în același timp se află în primul multiplicator, și în celălalt. Prin urmare, nu mai există multipli de vacanțe multiple.

A devenit mai sensibil? De la eu bine. Să trecem la practică.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Diemo pentru schema:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right .\]

Virishuemo skin nerіvnіnі suupnostі:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Adică, voi lua o înmulțire cu o dreaptă numerică și apoi le vom combina:

Combinație de multipli

Este destul de evident că $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sugestie: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Soluţie. Deci ce? Acel nimic - tot la fel. Să trecem prin denivelările cu modulul până la agregarea a două denivelări:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Ameliorează iritabilitatea pielii. Din păcate, rădăcina nu va mai fi acolo.

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(align)\]

Cealaltă nervozitate are și un troch de joc:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(align)\]

Acum trebuie să atribuiți numere pe două axe - o axă pentru neuniformitatea pielii. Cu toate acestea, este necesar să marcați punctele în ordinea corectă: cu cât numărul este mai mare, cu atât punctul a fost mutat mai mult spre dreapta.

Axa І aici ne verifică. În ceea ce privește numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ totul este clar ) , deci și suma este mai mică) , cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ numărul este mai mare decât negativ), apoi cu restul cuplul, totul nu este atât de clar. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme aranjarea punctelor pe liniile numerice і, vlasne, vіdpovіd.

Deci haideți să aruncăm o privire:

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am confirmat rădăcina, am îndepărtat numerele negative de pe ambele părți ale denivelării, așa că avem dreptul de a pătra laturile ofensatoare:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că mi-am dat seama că $4\sqrt(13) \gt 3$, că $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, restul punctelor de pe axe vor fi aranjate astfel:

Vipadok de rădăcină urâtă

Bănuiesc că vedem sukupnіst, de aceea este necesar să existe o articulație, și nu o remaniere a multiplilor de umbrire.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

La fel ca Bachite, schema noastră funcționează miraculos atât pentru sarcini simple, cât și pentru cele grele. Singurul „loc slab” pentru o astfel de persoană este nevoia de a echilibra în mod competent numerele iraționale (și întoarce: nu este mai mult decât o rădăcină). Alya i se va consacra un okremium rațiilor (și chiar o lecție serioasă). Și să mergem.

3. Nereguli cu „cozi” invizibile

Ne-am îndepărtat de cei mai buni. Prețul minții neuniforme:

\[\stanga| f\right| \gt\left| g\dreapta|\]

Aparent, algoritmul, despre care vom vorbi imediat, este mai bun pentru modul. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє stau garantat nevid'єmnі vrazi:

Care este munca acestor sarcini? Doar aminteste-ti:

Neregulile cu „cozi” invizibile pot provoca ofensare părți ale lumii naturale. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya la tsomu nu vynikne.

Suntem în fața noastră tsikavitime zvedennya într-un pătrat - în module de dormit care rădăcinează:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\end(align)\]

Numai axa nu trebuie să fie înșelată de la rădăcina pătratului:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

Iertarea impersonală era permisă în acel moment, dacă ai învățat să uiți să instalezi modulul! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі rіvnyannya irațională), tse nu deodată zaglyuvatymosya. Să vedem mai clar șprotul zilei:

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Din nou, respectăm două cuvinte:

1. Tse nu suvora nerіvnіst. Krapki de pe linia numerică va fi rupt.
2. Părțile ofensive ale inconsecvenței nu sunt în mod clar vizibile (puterea modulului: $ \ stânga | f \ stânga (x \ dreapta) \ dreapta | \ ge 0 $).

De asemenea, putem pătra părțile de insultă ale denivelărilor pentru a scăpa de modul și a elimina sarcina folosind cea mai bună metodă de intervale:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\end(align)\]

În restul etapei, am înșelat puțin: schimbarea secvenței de suplimente, scurtarea parității modulului (de fapt, prin înmulțirea $1-2x$ cu -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Virishuemo prin metoda intervalelor. Să trecem de la denivelare la aliniere:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(align)\]

Aparent, rădăcina se găsește pe linia numerică. Inca o data: mustati de pete de farbovani, cioburi de nervozitate - nu Suvora!

Zvіlnennya conform semnului modulului

Presupun că pentru cei care sunt deosebit de intransigenți: luăm semne din restul denivelărilor, de parcă bula ar fi fost notă înainte de trecerea la egal. Am regiunea zafarbovuyemo, yakі au nevoie în aceeași denivelare. Vipad-ul nostru are $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ei bine, din tot. Sarcina s-a terminat.

Sugestie: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Robimo la fel. Nu comentez - doar mă minuneți de succesiunea acțiunii.

Să luăm un pătrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) ) ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervalului:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

O singură rădăcină pe linia numerică:

Vidpovid - interval tsiliy

Sugestie: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Puțin respect pentru restul capului. De parcă l-am respectat întocmai pe unul dintre elevii mei, insultele submodulului sunt clar pozitive în această nervozitate, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Ale tse deja zovsіm іnshiy rіven razdumіv că іnshі pіdkhіd yogo poate fi numit mental metoda nasledkіv. Despre noul în okremou urotsi. Și acum să trecem la partea finală a lecției de astăzi, adică un algoritm universal, care este practicat pentru totdeauna. Navit atunci, dacă toți cei din față s-au dovedit a fi neputincioși.

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Și de ce nu ajută toți priyomi? Cum poate denivelările să nu fie cauzate de cozi invizibile, cum să nu fie introdus modulul, cum poate începe?

Atunci intră în scenă marea artilerie a tuturor matematicii - o metodă de enumerare. Sute de nereguli din modul arată astfel:

1. Notează toate pіdmodulnі vrazi și echivalează-le cu zero;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya care vіznázchiti znaydenі korenі pe o linie dreaptă numerică;
3. Direct rozіb'єtsya pe kіlka dіlyanok, mijlocul unui astfel de modul de piele poate fixa marcajul și aceasta este fără ambiguitate rozkrivаєєtsya;
4. Virishiti nerіvnіst pe kozhnіy astfel de dilyanci (vă puteți uita la rădăcină-cordoni, otrimani în punctul 2 pentru supremație). Rezultatele asociației - tse i bude vіdpovіd.

Ei bine iac? Slab? Uşor! Pentru mult timp. Să ne uităm practic:

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Tsya crap nu te irita $ \ stânga | f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ sau $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, e în regulă.

Scriem virazi submodulare, le echivalăm cu zero și cunoaștem rădăcina:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \& x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\end(align)\]

Împreună avem două rădăcini, care împart numărul direct în trei parcele, în mijlocul acestor skinuri modulul se desfășoară fără ambiguitate:

Împărțirea liniei numerice cu zerourile funcțiilor submodulare

Să ne uităm la pielea okremo.

1. Dați $x \lt -2$. Todi insultă pіdmodulnі virazi negative, i vihіdna nerіvnіst rescrie astfel:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]

Zdobuli dosit doar obmezhennya. Să mutăm yoga cu restul alocațiilor care $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Este evident că schimbarea $x$ nu poate fi mai mică de -2 peste noapte, ci mai mult de 1,5. Nu există o soluție pentru această afacere.

1.1. Okremo uită-te la vipadok aproape de cordon $x=-2$. Să ne imaginăm acest număr în absența inconsecvenței și verificabil: de ce este învingător?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Este evident că lingvistul ne-a escrocat până la o neuniformitate incredibilă. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh greșit, і $x=-2$ nu intra în vіdpovіd.

2. Acum da $-2 \lt x \lt 1$. Modulul de bibliotecă este deja dezvoltat cu un plus, dar cel potrivit este încă cu un minus. Maemo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\end(align)\]

Îl schimb din nou cu un vikidnoy vimogoy:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Reînnoiesc soluția impersonală goală, nu există cioburi de astfel de numere, care sunt mai mici de -2,5 în același timp și mai mult de -2.

2.1. Reînnoiesc okremy vipadok: $ x = 1 $. Să ne imaginăm că ieșirea este neuniformă:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dreapta| \lt\left| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing. \\end(align)\]

Similar cu „scăderea privată” din față, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în drop.

3. Piesa rămasă dreaptă: $x \gt 1$. Aici, toate modulele sunt curbate cu un semn plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Regândesc din nou multiplicitatea schimburilor externe:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \dreapta)\]

Ei bine, ia-l! Știam intervalul, care va fi povіddu.

Sugestie: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nasamkinets - un respect, deoarece, poate, te salvează de iertarea proastă atunci când sarcinile reale sunt îndeplinite:

Virishennya nerіvіvnosti z modules zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Punctele izolate se captează mai încet. Este mai probabil să prindeți astfel încât între soluții (kіnets vіdrіzka) să depășească limitele intervalului analizat.

Deoarece, ca și cum cordoniile (aceste „vipadki private” înșiși) nu intră în paznici, atunci mayzhe, cântând, nu merge la paznici și în zona dreptului răului pentru a intra în aceste cordoane. І navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh va fi vіdpovіdyami.

Amintiți-vă despre asta, dacă vă schimbați decizia.

Și inconsecvențele raționale de astăzi în obsyazy general pot fi inversate. Mai precis, nu numai toată lumea poate virishuvate. Puțini oameni pot lucra.
Klitschko

Lecția Tsey va fi grea. Podelele sunt zhorst, așa că înainte de sfârșitul yoga, este mai puțin decât Vibran. Pentru asta, înainte de stiuletul lecturii, vă recomand să curățați ecranele femeilor, intestinelor, copiilor femeilor și...

Că garazd, într-adevăr totul este simplu. Este posibil să fi stăpânit metoda intervalelor (totuși nu ați stăpânit-o - vă recomand întoarcerea și citirea) și să fi învățat să depășiți denivelările formei $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ membru bogat sau membru bogat suplimentar.

Respect că nu este important pentru tine să cânți, de exemplu, axa unui astfel de joc (înainte de vorbire, încearcă-l pentru o încălzire):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Acum, troch-urile sunt pliabile și ne putem uita nu doar la termeni bogați, ci și la numele fracțiilor raționale ale minții:

unde $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ sunt ei înșiși termeni bogați de forma $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, sau există mai mulți astfel de termeni bogați.

Tse i bude nerіvnіst rațional. Un moment important este prezenta unei schimbari de $x$ la bannerman. De exemplu, axa denivelării raționale:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(align)\]

Și tse nu este rațional, ci zvichaynisinka nerіvnіst, deoarece este încălcat de metoda intervalelor:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Trecând înainte, vă spun chiar acum: există cel puțin două moduri de a face față inconsecvențelor raționale, dar este totuși posibil să mergeți la metoda intervalelor deja cunoscută nouă. Pentru aceasta, în primul rând, să descoperim căile, să ghicim faptele vechi, altfel noul material nu va fi de nici un folos.

Ce vrei să știi

Nu sunt multe fapte importante. Corect, avem nevoie de mai puțină chotiri.

Formule abreviate

Deci, așa: duhoarea ne va pereslіduvaty protyag ne shkіlnoї program de matematică. Si eu la universitate. Trebuie să terminăm multe formule, dar nu avem nevoie de mai mult decât atât:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\dreapta); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\dreapta). \\ \end(align)\]

Respectați restul celor două formule - suma sumei și diferența de cuburi (și nu suma sumei retailului!). Este ușor de reținut, de reținut, că semnul primului arc este același cu semnul celui exterior, iar semnul opus al celui exterior.

Alinierea liniară

Cel mai simplu este egal cu forma $ax+b=0$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi egale, în plus $a\ne 0$. O astfel de echivalență este pur și simplu inversată:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Voi atribui că am dreptul de a împărți la coeficientul $a$, chiar dacă $a\ne 0$. Tsya vomoga este complet logic, cioburi pentru $a=0$ eliminăm axa care:

În primul rând, cine este egal nu are nicio schimbare de $x$. Aparent, nu este vina noastră să benign (e ca trapleyaetsya, să spunem, în geometrie, în plus, să-l mulgem des), dar totuși, nu avem deja un egal liniar.

Într-un alt mod, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna depozit mai puțin decât coeficientul $b$. Dacă $b$ este zero, atunci egalizarea noastră poate arăta ca $0=0$. Gelozia Tsya este virna zavzhda; în caz contrar, $x$ este un număr (sună astfel: $x\in \mathbb(R)$). Dacă coeficientul $b$ nu este egal cu zero, atunci egalitatea lui $b=0$ va fi victorioasă. nu există niciun răspuns (înregistrați $x\în \varnothing$ și citiți „o soluție goală”).

Pentru a scăpa de toate aceste pliuri, trebuie doar să luați $a\ne 0$, astfel încât antrocii să nu ne înconjoare în gânduri îndepărtate.

Alinierea pătratului

Voi ghici cum se numește axa pătrată:

Aici levoruch este un termen bogat al unui alt pas, în plus, schimb $a\ne 0$ (și acum în loc de egalizare pătrată, o luăm liniar). Virishuyutsya așa rivnyannya prin discriminant:

1. Ca $D \gt 0$, luăm două rădăcini diferite;
2. Dacă $ D = $ 0, atunci va exista o rădăcină și o altă multiplicitate (care este costul multiplicității și cum să se asigure despre cele trei trohi ale vieții). Sau se poate spune că există două rădăcini egale;
3. Pentru $D \lt 0$, nu există rădăcină, iar semnul termenului bogat $a((x)^(2))+bx+c$ pentru orice $x$ este înlocuit cu semnul coeficientului $ a$. Asta, până la capăt, este chiar un fapt banal, despre care uită de rozpo_sti pentru o oră de lecții de algebră.

Rădăcina însăși este respectată pentru tot prin formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, înainte de vorbire, obmezhennya pe discriminant. Rădăcina pătrată adje a unui număr negativ nu este folosită. Deoarece rădăcina savanților bogați are un terci motor în cap, am notat special toată lecția: care este rădăcina în algebră și cum să rahuvati - chiar recomand să o citești.

Podії z fracții raționale

Tot ce s-a scris mai sus, știi, au folosit metoda intervalelor. Iar axa celor pe care le putem analiza deodată, nu poate fi analogă cu trecutul, este un fapt absolut nou.

Programare. Rational drіb - tse viraz mind

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt termeni bogați.

Este evident că este ușor să eliminați denivelările dintr-o astfel de fracție - este suficient să atribuiți semnul „mai mult” sau „mai puțin” dreptaci. Mi-am dat puțin vizibil, scho virishuvati so zavdannya - unul mulțumit, totul este mai simplu acolo.

Problemele încep chiar dacă cineva are un șprot pronunțat de astfel de fracții. Le puteți aduce pe un banner adormit - și, în același timp, sunt permise un număr mare de grațieri imaginative.

Prin urmare, pentru o realizare cu succes a egalilor raționali, este necesar să dobândiți ferm două abilități:

1. Descompunerea termenului bogat $P\left(x \right)$ în factori;
2. Vlasne, aducând focuri la un banner adormit.

Cum să așezați segmentele multiplicatoare? Cam simplu. Să avem un membru bogat al minții

Echivalăm yoga cu zero. Luăm egalizarea pasului $n$-a:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Desigur, am încălcat valoarea egalității și am luat rădăcina $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nu batjocori: vipadkіv mai mare al rădăcina nu va avea mai mult de două) . În acest caz, termenul nostru bogat de ieșire poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

De la mine toți! Aveți grijă: coeficientul senior $((a)_(n))$ nu se găsește nicăieri - vom adăuga un multiplicator în fața cătușelor și, dacă este necesar, îl puteți adăuga la cătușele s tsikh sau nu ( practica arată că cu $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ rădăcină mijlocie mayzhe zavzhdi є fracții).

Administrator. Întreabă-l pe Viraz:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Soluţie. Pentru prima dată, ne minunăm de bannere: toate mirosurile sunt binoame liniare și nu există nimic de pus pe multiplicatori. Deci, să punem numerele în multiplicatori:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\dreapta)\stanga(x-1\dreapta); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta). \\end(align)\]

Pentru a îndrepta respectul: pentru un alt membru bogat, coeficientul senior „2” pentru cea mai recentă capacitate a schemei noastre este aplecat pe spate în fața arcului, iar apoi vom aduce contribuții la primul arc, cioburi de acolo au fost dezamăgiți. .

La fel a devenit și în a treia secțiune bogată, doar că există o altă ordine de încurcături pliate. Cu toate acestea, coeficientul „−5” ca urmare a introducerii într-un alt arc (rețineți: puteți introduce un multiplicator într-un singur arc!), ceea ce ne-a scutit de inconsecvențele asociate cu rădăcinile împușcate.

În ceea ce privește primul membru bogat, totul este simplu acolo: prima rădăcină este amestecată fie standard prin discriminant, fie pentru teoria vieții.

Să ne întoarcem la vihіdnogo virazu și să rescriem yogo cu numere împărțite în multiplicatori:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Sugestie: $5x+4$.

Ca bachite, nimic pliabil. Nu este suficientă matematică pentru clasele 7-8 - asta-i tot. Sensul tuturor transformărilor în aceasta este poligaє, astfel încât este mai ușor să eliminați plierea și agățarea groaznică, care este ușor de practicat.

Ale, nu-ți face griji. La asta, dintr-o dată, putem privi mai serios sarcina.

Ale, o vom desprinde de la început, cum să aducem două fracții într-un banner adormit. Algoritmul este extrem de simplu:

1. Așezați bannere pe multiplicatori;
2. Uită-te la primul banner și adaugă celui nou multiplicatorii pe care îi are celălalt banner, protejează-l pe primul. Otrimany tvir va fi un banner de dormit;
3. Z'yasuvati, astfel de multiplicatori nu ridica shot-uri dermice, astfel încât bannermen au devenit egale cu focul.

Posibil, întreg algoritmul îți va fi dat pur și simplu prin text, într-un mod bogat scris. Prin urmare, vom analiza totul pe un exemplu concret.

Administrator. Întreabă-l pe Viraz:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Soluţie. Astfel de părți ob'єmnі zavdannya virishuvati mai bune. Îi notăm pe cei care stau la primul arc:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Pe vіdminu vіd front zavdannya, aici de la bannermen totul nu este atât de simplu. Să-l punem în multiplicatori de skin-uri de la ei.

Trinomul pătrat $((x)^(2))+2x+4$ nu poate fi înmulțit, fragmentele egale $((x)^(2))+2x+4=0$ nu pot fi înrădăcinate (discriminant negativ). Lăsăm yoga fără schimbare.

Un alt semn - termenul de înmulțire cubică $((x)^(3))-8$ - în ceea ce privește diferența de cuburi, este ușor de descompus pentru formulele înmulțirii scurte:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

Nimic mai poate fi împărțit în multiplicatori, cioburi în primul arc stau un binom liniar, iar în celălalt - cunoaștem deja construcția, deoarece nu există rădăcini reale.

Nareshti, al treilea banner este un binar liniar, care nu poate fi așezat. În acest rang, gelozia noastră va arăta în viitor:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \dreapta))-\frac(1)(x-2)\]

Este destul de evident că $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ va fi numitorul comun și pentru a reduce toate fracțiile la una nouă , este necesar să înmulțim prima fracție pe $\left(x-2 \right)$, iar eu voi rămâne pe $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Să scăpăm de mai puțin pentru a aduce așa:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ dreapta))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta)). \\ \end(matrice)\]

Întoarce-te cu privire la alt rând: dacă bannerul este deja aprins, atunci. în loc de trei lovituri okremikh, am scris unul grozav, nu varto, pentru o dată, arcul a fost cruțat. Este mai rapid să scrieți un rând în fața dvs. și să semnificați că, să spunem, înainte de a treia fracțiune, stând în minus - și nu veți merge nicăieri, ci „atârnat” în cartea de numere în fața arcului. Pentru a vă scuti de iertare impersonală.

Ei bine, în restul rândului, așezați numerele pe multiplicatori. Tim este mai mare, ceea ce este un pătrat exact și vom veni din nou în ajutorul formulelor înmulțirii rapide. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum o vom rezolva de la sine cu un alt arc. Aici voi scrie doar un mic vers de echivalență:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \ dreapta) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x -2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \ dreapta). \\ \end(matrice)\]

Să trecem la ultima zi și să ne minunem de televizor:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Potrivire: \[\frac(1)(x+2)\].

Sensul acestei sarcini este același, ca și în față: arată cât de mult poți cere rațional, cum să treci cu rațiune la următoarea transformare.

Acum, dacă știți totul, să trecem la subiectul principal al lecției de astăzi - punctul culminant al inegalităților raționale. Tim mai mult, după o astfel de pregătire pentru propria ta nervozitate vei zăngăni ca o oală.

Principala modalitate de a depăși inconsecvențele raționale

Іsnuє yak cel puțin doi pași pentru a razv'yazannya rațional nerіvіvnosti. Dintr-o privire, ne vom uita la unul dintre ele - cel care este larg acceptat de cursul de matematică din școală.

Ale, spate în spate, un detaliu semnificativ important. Toate inconsecvențele sunt împărțite în două tipuri:

1. Prezentare: $f\left(x \right) \gt 0$ sau $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestrict: $f\left(x\right)\ge 0$ sau $f\left(x \right)\le 0$.

Neregulile de alt tip pot fi ușor reduse la primul, precum și gelozia:

Nu este mult „suplimentar” $f\left(x \right)=0$ pentru a produce un astfel de lucru inacceptabil precum umplerea unui punct - am ajuns să-i cunoaștem mai mult prin metoda intervalului. În caz contrar, nu există diferențe între neregulile stricte și ne-strictive, așa că haideți să aruncăm o privire la un algoritm universal:

1. Selectați toate elementele diferite de zero dintr-o parte sub formă de denivelări. De exemplu, levoruch;
2. Aduceți toate fracțiile la banner-ul standard (deoarece astfel de fracții apar ca un șprot), aduceți altele asemănătoare. Apoi, pe cât posibil, vom așeza pe cartea de numere și bannerul pe multiplicatori. Deci, de ce altfel eliminăm denivelarea formei $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - un semn de denivelare.
3. Să setăm numărul la zero: $ P \ stânga (x \ dreapta) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... înapoi la zero: $Q \left(x \right)\ne 0$. Desigur, este adevărat că diferența este egală cu $Q\left(x \right)=0$ și luăm rădăcina $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (este puțin probabil să fie mai mult de trei în fișierele de referință ale unei astfel de rădăcini).
4. Toate rădăcinile (și cu stele, și fără) sunt considerate pe o singură linie dreaptă numerică, în plus, rădăcina fără stele este farbovanizată, iar cu stele - în vakolota.
5. Punem semnele „plus” și „minus”, alegem acele intervale, după cum avem nevoie. Dacă denivelarea poate arăta $f\left(x \right) \gt 0$, atunci intervalele marcate cu „plus” vor fi repetate. Dacă $f\left(x \right) \lt 0$, atunci ne întrebăm la intervalele cu minusuri.

Practica arată că cel mai dificil lucru este să evocați punctele 2 și 4 - transformarea competentă și plasarea corectă a numerelor în ordinea creșterii. Ei bine, în restul timpului, fii mai respectuos: mereu punem semne, în spirală restul denivelărilor, înregistrate înainte de trecerea la egal. Aceasta este o regulă universală, care este inferioară metodei intervalelor.

Aceeași schemă є. Să ne ocupăm.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Soluţie. Avem în fața noastră o inevitabilitate totală de forma $f\left(x \right) \lt 0$. Evident, paragrafele 1 și 2 ale schemei noastre sunt deja vikonan: toate elementele de denivelare sunt alese de levoruch, nimic nu trebuie adus pe bannerul de dormit. Să trecem la al treilea paragraf.

Să echivalăm numărul cu zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \&x=3. \end(align)\]

І banner:

\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

Pentru fiecare zonă, cineva se lipește, și chiar și pentru o idee este necesar să se noteze $x+7\ne 0$, astfel încât ODZ să ajute (nu se poate împărți la zero, axa este tot). Dar apoi ne-am dat pete, care au venit din banner, așa că odată ce îți compui filele, nu te varto - scrie un semn de echivalență într-un mod mâzgălit și nu-ți face griji. Nimic nu poate fi coborât pentru un preț.

Al patrulea punct. Este important să eliminați rădăcina de pe linia numerică:

Puncte de mustață vikolotі, oskіlki nerіvnіst - suvora

Dă respect: toate punctele de vikoloty. Și aici este deja lipsit de importanță: din cartea de numere, punctele au venit din banner.

Ne minunăm de semne. Să luăm numărul $((x)_(0)) \gt 3$. De exemplu, $((x)_(0))=100$ (alternativ, cu același succes, puteți lua $((x)_(0))=3,1$ sau $((x)_(0) ) = 1.000.000 USD). Luăm:

Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv avem o zonă pozitivă. Și când treceți prin pielea rădăcinii, semnul se schimbă (deci nu veți începe, dar este mai bine). Să trecem la al cincilea punct: plasăm semnele și alegem nevoia:

Ne întoarcem la restul nervozității, ca o bula înainte de rozvyazannyan ryvnyan. Vlasne, e fără timp, chiar dacă nu s-au bătut în fiecare zi.

Oskіlki trebuie să elimine neuniformitatea formei $f\left(x \right) \lt 0$, am umbrit intervalul $x\in \left(-7;3 \right)$ - în valori individuale cu semnul „minus”. Tse є vіdpovіd.

Sugestie: $x\în \left(-7;3 \right)$

De la mine toți! Hiba dificil? Nu, nu este greu. Adevărat, sarcina a fost mai ușoară. În același timp, putem rezolva răul și ne uităm la inconsecvența „delicată”. Pe de altă parte, nu voi mai face astfel de prezentări - voi evidenția pur și simplu punctele cheie. Zagalom, haideți să aranjăm yoga în așa fel încât să fie realizată pe un chi robot independent.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Soluţie. Nu strică să vezi $ f \ stânga (x \ dreapta) \ ge 0 $. Toate elementele diferite de zero sunt alese rele, nu există semne diferite. Să mergem la Rivnian.

Data:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Banner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Nu știu care a fost problema când l-am configurat, dar rădăcina nu a mers mult mai bine: ar fi important să le așezi pe o linie dreaptă numerică. І chiar și cu rădăcina $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ totul este mai mult sau mai puțin clar (există un singur număr pozitiv - va fi dreptaci), atunci $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse este posibil, de exemplu, astfel:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ) ))\]

Îmi pare rău, nu trebuie să explic de ce diferența numerică este $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Deoarece este necesar, vă recomand să ghiciți cum să câștigați cu fracții.

Și ne referim la toate cele trei rădăcini pe o linie dreaptă numerică:

Krapki din cartea de numere zafarbovani, din banner - vikolot

Punem semne. De exemplu, puteți lua $((x)_(0))=1$ și puteți schimba semnul fiecărui punct:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]

Restul nervozității dinaintea egalului a fost $f\left(x \right)\ge 0$, așa că trebuie să facem clic pe semnul plus.

Au luat doi multiplicatori: unul este dublul semnificativ, iar celălalt este scorul direct pe linia numerică.

Răspuns: $x\în \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Este important să respectați numărul de numere, așa cum reprezentăm pentru semnul din intervalul potrivit. Absolut neobov'yazkovo podstavlyat număr aproape de rădăcina dreaptă. Puteți lua milliardi-ul sau îl puteți numi „plus-non-incredibilitate” - în fiecare caz, semnul membrului bogat, care stă la arc, numeralist sau bannerman, este semnificat exclusiv prin semnul coeficientului senior.

Să ne uităm din nou la funcția $f\left(x\right)$ pentru restul denivelărilor:

Această înregistrare are trei termeni bogati:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \&Q\left(x\dreapta) = 13x-4. \end(align)\]

Toate vocalele sunt binoame liniare, iar toți coeficienții seniori (numerele 7, 11 și 13) sunt pozitivi. Mai târziu, la fundamentarea arcului numerelor mari, diviziunile bogate în sine vor fi pozitive.

Tse poate fi construit superficial pliabil, puțin pe spate, dacă înțelegem că este ușor de făcut. În neconcordanțe serioase, înlocuirea „plus-incompletitate” ne va permite să schimbăm semnele mai rapid, mai mic decât standardul $((x)_(0))=100$.

În curând vom tăce cu astfel de sarcini. Să aruncăm o privire la o modalitate alternativă de a dezlega inconsecvențele dribno-raționale.

Mod alternativ

Această recepție mi-a fost sugerată de unul dintre elevii mei. Eu însumi nu l-am respectat în niciun fel, dar practica a arătat că multă învățare este mai eficientă în a face față nervozității în acest fel.

Otzhe, vyhіdnі danі і i і sami. Este necesar să se elimine inconsecvența rațională a tragerii:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Să ne gândim: de ce termenul bogat $Q\left(x \right)$ este „mai mare” decât termenul bogat $P\left(x \right)$? Cum ar trebui să ne uităm la grupurile mai mari de rădăcini (cu sau fără stea), să ne gândim la puncte etc.? Totul este simplu: fracțiunea are o zonă desemnată, este bine pentru orice drіb maє simț mai puțin decât atât, dacă este un semn de zero.

În alte privințe, între numărător și bannerman nu este ușor: îl echivalăm doar cu zero, glumim despre rădăcină, apoi o spunem pe o linie dreaptă numerică. Atunci de ce să nu înlocuiți linia de împușcare (de fapt - un semn de rozpodіlu) cu cei mai mari multiplicatori și toate ODZ ajută la prescrierea nervozității aparent okremoi? De exemplu, așa:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Să acorde respect: unui astfel de pidhіd îi este permis să cheme sarcina la metoda intervalelor, dar în acest caz nu este posibil să se complice decizia. Cu toate acestea, putem ridica termenul bogat $Q\left(x\right)$ la zero.

Să vedem cum funcționează în sarcini reale.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Soluţie. Din nou, să trecem la metoda intervalului:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Prima denivelare este elementară. Echivalează arcul pielii cu zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

Cu un alt nerivnistyu, totul este simplu:

Atribuim punctele $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$ pe linia numerică. Usі pute vikolotі, skіlki nerіvnіst suvore:

Paiul din dreapta a apărut ca fecioara unei fete. Tse este bine.

Respectați punctul $x=11$. Ieșiți, ca un „dvіchi vykolot”: dintr-o parte, ne vikolyuєmo її prin severitatea nervozității, de cealaltă parte - prin puterea suplimentară a ODZ.

Aveți un fel de vipadku, tse va fi doar bătut la obiect. De aceea plasăm semne pentru denivelări $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - rămâneți, așa cum ne-am luptat înaintea ei, când am început să virishuvati egal:

Suntem gâdilați de zone pozitive, dar putem vedea dezechilibrul în minte $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Nu a mai fost timp să scrieți vіdpovіd.

Vidpovid. $x\în \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Pe exemplul acestei hotărâri, vreau să vă păzesc în prezența unei ample grațieri în rândul studenților de vârstă mijlocie. Și pentru tine: nu deschide fundurile neregulilor! Navpaki, încercați să răspândiți totul pe multiplicatori - este mai bine să cereți soluția și să vă eliberați de problemele impersonale.

Acum hai să încercăm ceva mai pliat.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Soluţie. Nu strica să priviți $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, așa că aici trebuie să urmați cu respect punctele zafarbovannymi.

Să trecem la metoda intervalului:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nou 0. \\\end(align) \right.\]

Să trecem la aliniere:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Rightarrow((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:

Toate rădăcinile scăzute sunt afișate pe linia numerică:

Ca un punct deodată și un vikolot, și un farbovan, este respectat de un vikolot

Știu că două puncte „se suprapun” unul la unul - este normal, așa că fii sigur. Este important, mai puțin sensibil, ce punct, numit deodată pentru o vikoloty și un brăzdat, de fapt, o vikoloty. Tobto. „Vikolyuvannya” este un bricolaj puternic, inferior „zafarbovannya”.

Este absolut logic, chiar dacă alegem puncte, ne place să adăugăm la semnul funcției, dar nu participăm la spectacolul în sine. Și astfel, la un moment dat, numărul încetează să ne domine (de exemplu, nu ajunge la ODZ), jurăm pe el până la sfârșitul sarcinii.

Zagalom, a filozofa. Punem semne și zafarbovuyemo în intervale, după cum este marcat de un semn minus:

Vidpovid. $x\în \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Vreau să vă reînnoiesc respectul pentru cauză:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Încă o dată: nu deschide niciodată brațele unor asemenea egali! Mai bine îți faci bagajele. Amintiți-vă: dobutok este egal cu zero, dacă doriți ca unul dintre multiplicatori să fie egal cu zero. Otzhe, Dane Rivnyannya pur și simplu „s-a întins” pentru un șprot de bibelouri, de parcă ar fi încălcat în fața noastră.

Forma multiplicității rădăcinii

Din zilele precedente este ușor să ne amintim că cea mai mare pliere este să devină cea mai inconsecventă, până la cel care trebuie să cuseze în ele pentru pete.

Dar în lume există și mai mult rău - este un multiplu al rădăcinii în nervozitate. Aici ochiurile sunt deja aduse nu în spatele punctelor zafarbovanimi de acolo - aici semnul denivelării s-ar putea să nu se schimbe la trecerea prin puncte.

Nu am văzut încă nimic similar în acest domeniu (deși o problemă similară a fost adesea observată în metoda intervalului). Prin urmare, introducem o nouă definiție:

Programare. Rădăcina egală $((\left(x-a \right))^(n))=0$ este egală $x=a$ și se numește rădăcina $n$-multiplicității.

Vlasne, nu ni se poate spune exact valoarea multiplicității. Este important dacă acestea sunt pereche sau nepereche, numărul întreg este $n$. Pentru că:

1. Deoarece $x=a$ este rădăcina multiplicității perechii, atunci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin aceasta;
2. În primul rând, deoarece $x=a$ este rădăcina multiplicității nepereche, semnul funcției se schimbă.

Cu o vedere privată a rădăcinii unei multiplicități nepereche, în fața ei, a privit această școală: există o multiplicitate încrucișată de vechi singuri.

eu mai mult. În fața lui, de parcă am fi virishuvati zavdannya, dorind să-ți transformăm respectul într-o subtilitate, ca și cum ar fi evident pentru un educator bine-recunoscut, ale a uimit pochatkіvtsіv bogat. Și pentru ea însăși:

Rădăcina multiplicității $ n $ este de vină numai pentru cădere, dacă întregul pas este format în același pas: $ ((\ stânga (xa \ dreapta)) ^ (n)) $, și nu $ \ stânga (((x) ^ ( n ))-a\dreapta)$.

Încă o dată: arcul $((\left(xa \right))^(n))$ ne dă rădăcina $x=a$ a multiplicității $n$ și axa arcului $\left(((x )^(n)) -a \right)$ altfel, așa cum este folosit adesea, $(a-((x)^(n)))$ ne oferă o rădăcină (altfel două rădăcini, cum ar fi $n$ - un tip) a primei multiplicităţi independent, în funcţie de motivul pentru care i $n$.

Nivel:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Totul este clar aici: tot arcul era condus la treapta a cincea, așa că la ieșire am luat rădăcina treptei a cincea. Și deodată:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Am luat două rădăcini, dar insultele duhoarei pot fi prima multiplicitate. Axa Abo mai mult:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Lasă-mă să nu te bat până la a zecea treaptă. Golovne, scho 10 este numărul tipului, pot exista două rădăcini în ieșire, iar mirosul din nou poate fi prima multiplicitate.

Zagalom fii respectuos: multiplicitatea de vina este doar una, daca treptele sunt aduse până la tot arcul, și nu mai puțin la schimbare.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) ) \right))^(5)))\ge 0\]

Soluţie. Să încercăm într-un mod alternativ prin trecerea de la privat la creație:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\dreapta.\]

Alegem cu prima denivelare prin metoda intervalelor:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \dreapta))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\&x+4=0\Săgeată la dreapta x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

Dodatkovo virishuemo prieten nervozitate. De fapt, deja am cântat yogo, dar dacă nu am continuat până la decizie, este mai bine să cântăm yogo din nou:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Pentru a întoarce respectul: nu există multiplicități zilnice în restul nervozității. Corect: cât de diferit, de câte ori să câștigi punctul $x=-7$ pe linia numerică? Vrei o dată, vrei de cinci ori - rezultatul va fi același: ultimul punct.

Tot ceea ce am luat este semnificativ pe o linie dreaptă numerică:

După cum am spus, punctul $x=-7$ din rezultat va fi marcat. Multiplicitatea aranjamentelor este de a depăși denivelările căilor de intervale.

Am uitat să pun semnele:

Oskіlki dot $x=0$ este rădăcina multiplicității pereche, semnul pentru tranziție nu se schimbă. Alte puncte pot avea o multiplicitate nepereche și totul este simplu cu ele.

Vidpovid. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Respectați din nou $x=0$. Prin pereche, se dă vina pe multiplicitatea efectului de cicavi: levoruch-ul din el este tot umplut, dreptaciul este același, chiar acel punct este complet umplut.

Pentru a vă reaminti, nu este necesar să apăsați timp de o oră pentru a înregistra sunetul. Tobto. nu trebuie să scrieți nimic pe kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (dacă doriți formal, acest lucru ar fi corect). Să scriem imediat $x\în \left[ -4;6 \right]$.

Astfel de efecte sunt mai puțin posibile cu multiplicitatea perechii de rădăcină. Eu în comanda în avans a mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" efect tsgogo. Sunteți gata?

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Soluţie. De data aceasta urmam schema standard. Să echivalăm numărul cu zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \& x-4 = 0 \ Săgeată la dreapta ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

І banner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, rădăcina bannerului (precum znirochki) va fi bătută, iar de la numeral - zafarbovano.

Punem semne și zone hașurate, marcate cu „plus”:

Krapka $x = $3 - izolat. Această parte a vіdpovіdі

Înainte de asta, cum să scrieți opinia reziduală, priviți cu respect imaginea:

1. Krapka $x=1$ are câțiva multipli, dar vicola în sine. De asemenea, dacă se întâmplă să aveți un etaj cu două etaje: trebuie să scrieți $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nu $x\in \ stânga(-\ infty ;2\dreapta)$.
2. Krapka $x=3$ poate fi, de asemenea, înmulțit atunci când este umplut. Aranjament de semne pentru a confirma că punctul în sine este la putere cu noi, ale krok levoruch-right - suntem târâți în regiune, deoarece cu siguranță nu suntem la putere. Astfel de puncte se numesc izolate și sunt scrise ca $x\în \left\( 3 \right\)$.

Unim toate otrimani shmatochki într-un număr mare și notăm dovezile.

Sugestie: $x\în \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Programare. Virishiti nerіvnіst - rău pentru a cunoaște succesul impersonal al soluției de yoga, sau a aduce ceea ce este impersonal gol.

S-ar da b: ce poate fi nerezonabil aici? Adică în acel râu, impersonalul poate fi pus în alt mod. Să o scriem din nou până la sfârșitul zilei:

Citiți literalmente ceea ce este scris. Schimbați „iks” pentru a vă întinde foarte mult cu nimeni, pentru a ieși împreună (pictograma „U”) chotyroh okremih mult:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, care înseamnă literal „toate numerele mai mici decât unu, dar nu pe cel în sine”;
• Interval $ \ stânga (1; 2 \ dreapta) $, atunci. „Toate numerele sunt între 1 și 2, dar nu numerele în sine 1 și 2”;
• Anonim $ \ stânga \ (3 \ dreapta \) $, care se adună de la unul sau un număr - trei;
• Interval $ \ stânga [4; 5 \ dreapta) $, pentru a răzbuna toate numerele între 4 și 5, precum și cele patru în sine, dar nu și cinci.

Interesul aici este al treilea punct. Pe vіdmіnu vіd іd іnvalіv, іkі pentru a seta nenumărate seturi de numere і rar desemnați între іх іх seturi, fără $\left\(3\right\)$ setat strict un număr ca o modalitate de a re-arrahuvannya.

Pentru a înțelege că noi înșine trecem peste anumite numere care urcă la multiplu (și nu se stabilesc între cele două), arcurile sunt victorioase. De exemplu, notația $ \ stânga \ (1; 2 \ dreapta \) $ înseamnă în sine „un multiplicator care se adună din două numere: 1 și 2”, dar nu este același lucru cu 1 la 2. În același timp , nu vă încurca înțelegerea.

Regulă de pliere a multiplicităților

Ei bine, la finalul lecției de astăzi, trei degete de la Pavel Berdov.

Savanții respectați au ciripit deja cântând: și cum va fi, ca în calendar și banner, aceeași rădăcină va apărea? Deci, axa, pratsyuє o astfel de regulă:

Se adună multiplicitatea aceleiași rădăcini. Aștepta. Rădăcina Navіt yakscho tse este scrisă în cartea numerelor și în banner.

Uneori este mai bine să virishuvati, să vorbești mai jos. Pentru aceasta credem următoarea sarcină:

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \dreapta))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Până acum, nimic deosebit. Echivalează bannerul cu zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Două rădăcini identice sunt dezvăluite: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Ofensând multiplicitatea mayut pershu. De asemenea, le înlocuim cu o singură rădăcină $x_(4)^(*)=-2$, dar și cu o multiplicitate de 1+1=2.

În plus, există încă aceleași rădăcini: $((x)_(2))=-4$ și $x_(2)^(*)=-4$. Mirosul primei multiplici, care va fi lipsit de $x_(2)^(*)=-4$ multiplicitate 1+1=2.

Pentru a aduce respect: în ambele vipadkas ne-am lipsit de vechea rădăcină însăși și am aruncat farbow-urile dintr-o privire. De aceea am ajuns la începutul lecției: ca și cum punctul ar fi deodată și vicolota și zafarbovana, toți suntem la fel vvazhemo її vicolota.

În rezultat, avem rădăcini є chotiri, în plus, au apărut toate vikoloții:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

În mod semnificativ їх pe linia numerică cu multiplicitatea ajustată:

Am pus semne și zone zafarbovuyemo care ne sună:

Mustață. Puncte izolate de zi cu zi și alte probleme. Vă puteți nota părerea.

Vidpovid. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Regula multiplicității

Uneori, situația devine și mai inacceptabilă: egal, care poate fi un multiplu al rădăcinii, ea însăși este adus la același pas. Cu aceasta, multiplicitatea tuturor rădăcinilor exterioare se schimbă.

Un astfel de sunet se aude rar, în plus, nu există dovezi ale unor sarcini similare. Iar regula este aceasta:

Odată cu egalizarea pașilor $n$, multiplicitatea tuturor rădăcinilor yogo crește și ea de $n$ ori.

Cu alte cuvinte, pașii de la trepte sunt înmulțiți la multiplicitatea de pe acel pas. Să aruncăm o privire la regula în practică:

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Soluţie. Să echivalăm numărul cu zero:

Tvir este egal cu zero, dacă se dorește ca unul dintre multiplicatori să fie egal cu zero. Cu primul multiplicator mi-am dat seama: $x=0$. Și axa a dat naștere la probleme:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Ca și Bachimo, egal $((x)^(2))-6x+9=0$ poate avea o singură rădăcină a unei alte multiplicități: $x=3$. Să fim cu toții atenți să ne apropiem de piață. Apoi, multiplicitatea rădăcinii devine $2\cdot 2=4$, pe care am notat-o ​​cu un verdict.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Cu bannerul acelorași probleme de zi cu zi:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Aveam cinci puncte la sumă: două vikolots și trei farbovans. Nu există temeri de rădăcină în cartea cu cifre și znamennik, este pur și simplu văzută pe o linie dreaptă numerică:

Am plasat semne cu multiplicități îmbunătățite și intervale zafarbovuєmo care ne numesc:

Cunosc un punct izolat și un vicolot

Prin rădăcina multiplicității pereche, câteva elemente „non-standard” au fost din nou îndepărtate. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ în loc de $x\in \left[ 0;2 \right)$, iar punctul $ x este de asemenea izolat \în \stanga\(3\dreapta\)$.

Vidpovid. $x\în \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Iac bachite, nu e chiar atât de complicat. Golovne - respect. Restul lecției de dedicații la reîncarnări - tim, așa cum am discutat chiar pe cob.

Remodelarea față

Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, nu poate fi numit pliere. Cu toate acestea, pe vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, aici se întâmplă să zasosuvati navchik z teorії rationalnyh drobіv — razkladannja pe multiplicatori și brіnnogo znamennik.

Am discutat pe larg despre hrana pentru stiuletul lecției de astăzi. Dacă nu înțelegeți, ce înțelegeți, despre ce este limbajul, vă recomand să vă întoarceți și să repetați. La asta nu există nicio sensibilitate de a înghesui metodele și dezlegarea inconsecvențelor, ca și cum ai „pluti” la fotografiile convertite.

Acasă, înainte de vorbire, vor exista și o mulțime de sarcini similare. Duhoarea de vinovăție până la sfârșitul pidrozdilului. Și acolo vei fi verificat pentru aplicații chiar și non-triviale. Ale, vei fi în cabină, dar acum hai să rezolvăm câteva astfel de neconcordanțe.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Soluţie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Este adus la bannerul dublu, arcurile sunt deschise și dodanki similare sunt aduse în cartea de numere:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) dreapta))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Acum avem în fața noastră clasicul nerіvnіst fracționar-rațional, vyshennya yakoї nu mai devine dificil. Practic yoga cu o metodă alternativă prin metoda intervalelor:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Nu uitați de gardul care a venit de pe banner:

Toate numerele sunt indicate și schimbate pe o linie dreaptă numerică:

Mustața este rădăcina primei multiplicități. Fără probleme. Am pus doar semnele de care regiunea are nevoie pentru noi:

Asta e tot. Vă puteți nota părerea.

Vidpovid. $x\în \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm doar un fund. La asta putem să ne uităm la sarcina mai în serios. І la discurs, rin tsgogo zavdannya tsіlkom vіdpovidaє roboți independenți și de control z ієї cei din clasa 8.

Administrator. Pentru a dezlega nervozitatea:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Soluţie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Înainte de asta, cum să aducem fracții insultătoare într-un banner dublu, așezăm aceste bannere în multiplicatori. Raptom vylizut aceleași arcade? Cu primul banner este ușor:

\[((x)^(2))+8x-9=\stanga(x-1 \dreapta)\stanga(x+9 \dreapta)\]

Cu alții troch pliat. Nu ezitați să introduceți o constantă multiplicatoare în acel arc, drib care dispare. Amintiți-vă: dacă aveți un termen bogat în numărul de coeficienți, acesta este un mare imovirnist, deoarece este așezat în multipli ai mamei în numărul de coeficienți (într-adevăr, așa va fi, pentru o clipă de vipadkiv, dacă discriminantul este irațional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Iac bachimo, є arc: $ \ stânga (x-1 \ dreapta) $. Ne întoarcem la nervozitate și inducem fracții insultătoare la un banner dublu:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ stânga(3x-2\dreapta))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) ) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Echivalează bannerul cu zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinia)\]

Multiplicitățile de zi cu zi și rădăcinile zbіgayutsya. Atribuim mai multe numere liniei drepte:

Punem semne:

Să notăm dovezile.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ dreapta)$.

Mustață! Așa, apoi citește la rând.