Príliš veľa funkčných hodnôt 4 x 3. Oblasť funkčných hodnôt (väčšia funkčná hodnota). Potrebné pochopenie a aplikácia vedomostí. Spôsoby poznania oblastí funkčných hodnôt

D(f)- tie významy, ako sa dá argumentovať, tobto. rozsah funkcie.

E(f)- tie významy, ako sa dá funkcia pomenovať, tak. hodnota neosobnej funkcie.

Spôsoby poznania oblastí funkčných hodnôt.

posledná hodnota skladacích argumentov funkcie;

posudzovacia/kordónová metóda;

víťaznosť moci, kontinuita a monotónnosť funkcie;

vikoristannya pokhіdnoi;

výber najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie;

grafická metóda;

metóda požiadavky na parametre;

metóda reverznej funkcie.

Pozrime sa na ich skutky.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalniy pidkhid do hodnoty neosobnej hodnoty neprerušiteľnej funkcie f(x) sa rovná hodnote najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie f(x) v rozsahu významnosti (alebo pri dokazovaní, že jedna z nich nemá chybu).

Na prvý pohľad je potrebné poznať neosobnú hodnotu funkcie na vіdrіzka:

poznať presnú hodnotu funkcie f "(x);

poznať kritické body funkcie f(x) a vybrať tie z nich tak, aby ležali na danom vlákne;

vypočítajte hodnotu funkcie na koncoch rezu a vo vybraných kritických bodoch;

spomedzi známych hodnôt vyberte najmenšiu a najvýznamnejšiu;

Je bohaté umiestniť hodnotu funkcie medzi tieto hodnoty.

Aký je rozsah pridelenej funkcie? interval, potom vyhrá samotná schéma a potom sa hodnoty na konci cyklu priradia medzi funkcie s argumentom, ktorý sa uplatňuje až do konca intervalu. Významy medzi nevstupujú do neosobného významu.

Metóda inter/odhad

Pre hodnotu násobiteľa hodnoty funkcie najskôr poznáme neosobnú hodnotu argumentu a potom nájdeme najmenej významnú hodnotu funkcie funkcie. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Podstata odboru spočíva v posúdení neprerušenej funkcie dna a zveri a preukázaní dosahu funkcie spodnej a hornej hranice posudkov. Pri akejkoľvek zmene neosobnosti je hodnota funkcie s intervalom od dolného priebežného hodnotenia po vyššie určená nestálosťou funkcie a prítomnosťou nižších hodnôt v nej.

Dominancia neprerušovanej funkcie

Druhý variant poľa v transformovanej funkcii je neprerušovane monotónny, pričom víťazná sila nepravidelností hodnotí neosobnú hodnotu novej prevzatej funkcie.

Posledná hodnota skladacích argumentov vo funkcii

Na základe posledného pohľadu na neosobnú hodnotu medziľahlých funkcií, z ktorých je funkcia uložená

Oblasti hodnôt hlavných elementárnych funkcií

Funkcia	Anonymný význam
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; jeden]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Použiť

Nájdite anonymnú hodnotu funkcie:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Cieľovú oblasť poznáme: D(f)=[-3;3], pretože $9-x^(2)\geq 0$

Vieme lepšie: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, ak x = 0. f"(x) nie je pravdivé, ak $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $, potom x = ±3. Odoberú sa tri kritické body: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Počítajme: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Taktiež najmenšia hodnota f(x) je 0, najvyššia hodnota je 3.

Návrh: E(f) = .

NIE vikoristovuyuchi pokhіdnu

Nájdite najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $, potom:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ pre všetky x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ pre všetky x(pretože $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Návrh: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ak sa chcete starať o pomoc chudobným, tak treba urobiť zmenu, pretože funkcia f (x) nie je priradená k čiare, ale k celej číselnej rade.

Vikoristovuyuchi metóda inter/odhad

3 sínusová hodnota sa posunula, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Zrýchlime silu číselných nepravidelností.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (vynásobenie všetkých troch častí základnej nezrovnalosti -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Keďže táto funkcia je neprerušovaná vo všetkých oblastiach priradenia, potom je nezmyselná hodnota umiestnená medzi najmenšou a najväčšou hodnotou v celej oblasti zadania, ako je to pravda.

V tomto prípade je hodnota funkcie $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є neosobná.

3 nezrovnalosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ použiť odhad $$\\ -6\leq y\leq 6 $ $

Keď x = p і x = 0, funkcia nadobudne hodnotu -6 і 6, potom. dosiahnuť dolnú a hornú hranicu. Ako lineárna kombinácia prerušovaných funkcií cos(7x) a cos(x) je funkcia y spojitá na celej číselnej osi, preto, aby bola neprerušovanou funkciou, akumuluje všetky hodnoty od -6 do 6 vrátane a iba їx, pretože v dôsledku $nezrovnalostí \leq y\leq 6$ nie sú možné iné hodnoty.

Tiež E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Dôkaz: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Reverzibilný vírus $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Hodnota kosínusu nasleduje $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Keďže funkcia je daná bez prerušenia na celom rozsahu priradenia, potom sa bezhodnotová hodnota umiestni medzi najmenšiu a najväčšiu hodnotu, ako sa ukazuje, bezhodnotová hodnota funkcie $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 )))$ є neosobné $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Významne $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Samotná úloha sa redukuje na hodnotu násobiteľa hodnoty funkcie $y = \log_(0,5)(t)$ pri zmene (-∞;4). Oskіlkiho funkcia $y = \log_(0,5)(t)$ je priradená len pre t > 0 , її hodnota funkcie na intervale (-∞; 4) je prevzatá z hodnoty funkcie na intervale (0; 4), čo je zmena sietnice (-∞; 4) s rozsahom (0; +∞) logaritmickej funkcie. Na intervale (0;4) je táto funkcia neprerušovaná a menšia. Pre t > 0 je hodnota +∞ a pre t = 4 je hodnota -2, takže E(y) = (-2, +∞).

Trik je založený na grafickom znázornení funkcie.

Po transformácii funkcie je možné: y 2 + x 2 = 25, navyše y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Ďalší odhad je, že $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ sa rovná stávke s polomerom r.

V prípade zámen v grafe tohto zarovnania je horná čiara centrovaná na klas súradníc a má polomer rovný 5. Je zrejmé, že E(y) = .

Návrh: E(y) = .

Wikoristanská literatúra

Oblasť významu funkcií na čele EDI, Minyuk Irina Borisivna

V záujme pochopenia neosobného významu funkcie Belyaeva I., Fedorova S.

Význam neosobnej hodnoty funkcie

Ako demonštrovať úlohu matematiky na prijímacích skúškach, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Najčastejšie, na hraniciach rozdelenia úloh, nás privádza k shukati neosobná hodnota funkcie oblasti priradenej segmentu. Napríklad je potrebné pracovať v prípade porušenia odlišné typy nezrovnalosti, posudky viraziv a v.

V rámci tohto materiálu je možné určiť, aká je oblasť významu funkcie, predstavíme si hlavné metódy, ktorými môžeme vypočítať, a rozoberieme úlohu iného stupňa skladania. Pre prehľadnosť sú polohy znázornené grafmi. Po prečítaní tohto článku si odnesiete všetky informácie o rozsahu funkcie.

Pochnemo іz základné povinnosti.

Menovanie 1

Bezhodnotová hodnota funkcie y = f (x) na aktuálnom intervale x je bezhodnotová hodnota všetkých hodnôt, keďže funkcia je daná pri iterácii cez všetky hodnoty x ∈ X .

Menovanie 2

Rozsah hodnôt funkcie y = f (x) je bezmenná hodnota všetkých hodnôt її, takže pri iterácii môže nadobudnúť hodnotu x z x ∈ (f).

Oblasť hodnôt skutočnej funkcie sa považuje za E(f).

Aby ste rešpektovali pochopenie násobenia hodnoty funkcie, nezačínajte rovnakú oblasť jej hodnoty. Hodnoty porozumenia budú rovnaké iba v tomto prípade, pretože interval hodnoty x, keď je hodnota neznáma, hodnota zbіgaєtsya z oblasti priradenej funkcie.

Je tiež dôležité rozlišovať medzi rozsahom hodnôt a rozsahom prijateľných hodnôt zmeny x pre vyjadrenie pravej časti y = f (x) . Oblasť prípustných hodnôt x pre výraz f (x) a bude oblasťou priradenou funkcii.

Nižšie by mala byť umiestnená ilustrácia zobrazujúca zadky deyaki. Modré čiary sú grafy funkcií, červené sú asymptoty, body tých istých čiar na zvislej osi sú celé plochy funkčnej hodnoty.

Je zrejmé, že rozsah funkcie možno zohľadniť pri návrhu grafiky pre všetky O y . Pre koho môžete mať jedno číslo a neosobné čísla, tri, interval, otvorený interval, kombináciu číselných intervalov a iné.

Poďme sa pozrieť na hlavné spôsoby poznania rozsahu funkcie.

Priraďme len násobenie hodnoty nestálej funkcie y = f (x) aktuálnym čítačom, označeným [a; b]. Vieme, že funkcia je neprerušená v žiadnom smere a dosahuje svoje nové minimum a maximum, teda najväčšie m a x x ∈ a ; b f (x) je najmenšia hodnota m i n x ∈ a ; bf(x). Opäť berieme do úvahy m i n x ∈ a; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , ktorý bude obsahovať neosobnú hodnotu výstupnej funkcie. To je všetko, na čom musíme popracovať - ​​je potrebné len vedieť, v ktorom bode označiť body minima a maxima.

Zoberme si úlohu, pre ktorú je potrebné priradiť oblasť arcsínusu.

zadok 1

Umov: zisti hodnotu y = a r c sin x .

Riešenie

Na divokom svahu je oblasť priradená arcsínusu rozšírená až po vrchol [-1; jeden]. Novej musíme priradiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu priradenej funkcie.

y "= a rc sin x" = 1 1 - x 2

Vieme, že táto funkcia bude kladná pre všetky hodnoty x, rozšírené v intervale [-1; 1 ] , takže rozšírením oblasti je funkcia priradená arkusínusu rýchlosti rastu. Takže najmenšia hodnota bude akceptovaná pri x, rovná - 1, a najväčšia - pri x, rovná 1.

mi n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Týmto spôsobom je oblasť hodnoty funkcie arcsine drahšia E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2.

Návrh: E (a rc sin x) \u003d - π 2; π 2

zadok 2

Umov: Vypočítajte rozsah hodnôt y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danom podreťazci [1; 4].

Riešenie

Všetko, čo potrebujeme, je vypočítať najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie pre daný interval.

Ak chcete určiť extrémny bod, musíte vypočítať nasledujúci výpočet:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Teraz poznáme hodnotu danej funkcie v intervaloch rezu a bodoch x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 r 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 r 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 r (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Takže neosobná hodnota funkcie je určená rozdielom 117 - 165 33 512; 32.

Návrh: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Prejdime k hodnote neosobnej hodnoty neprerušenej funkcie y = f (x) v intervaloch (a; b), navyše a; +∞, -∞; b, -°; +∞.

Začnime s označením najväčších a najmenších bodov, ako aj intervalov medzi rastom a zmenou v danom intervale. Ak áno, budeme musieť virahuvat jednostranné hranice v intervaloch a / alebo hranice nesúladu. Inými slovami, musíme priradiť správanie funkcie k daným mysliam. Pre koho môžeme potrebovať všetky potrebné údaje.

zadok 3

Umov: vypočítajte rozsah funkcie y = 1 x 2 - 4 na intervale (-2; 2).

Riešenie

Na danom riadku ukážeme najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2; 2)

Dosiahli sme maximálnu hodnotu, ktorá sa rovná 0, no v tom istom bode je potrebné zmeniť znamienko funkcie a graf ísť do pádu. Div. pre ilustráciu:

Takže y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bude maximálna hodnota funkcie.

Teraz je správanie funkcie významné pre také x, čo je pravá strana - 2 z pravej strany a do + 2 z ľavej strany. Inými slovami, poznáme jednostranné hranice:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Videli sme, že hodnota funkcie sa zvyšuje od mínus nekonzistencie až po -14 todi, ak sa argument zmení v rozsahu od -2 do 0. A ak sa argument zmení z 0 na 2, hodnota funkcie sa zmení na mínus nekonečno. Neskôr nezmyselná hodnota danej funkcie na požadovanom intervale bude (- ∞ ; - 1 4 ) .

Návrh: (- ∞ ; - 1 4 ] .

zadok 4

Umov: zadajte anonymnú hodnotu y = t g x v danom intervale - π 2; π 2.

Riešenie

Vieme, že dotyčnica β je podobná ako - π 2; π 2 je kladné, takže funkcia rastie. Teraz je dôležité, ako spustiť funkciu v daných hraniciach:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Pri zmene argumentu vid - π 2 na π 2 sme odčítali prírastkovú hodnotu funkcie od mínusovej nekonzistencie k plusovej nekonzistencii a môžeme povedať, že neosobným riešením tejto funkcie bude neosobnosť všetkých reálnych čísel.

Návrh: - ∞ ; + ∞ .

zadok 5

Umov: označte, čo je rozsah funkcie, prirodzený logaritmus y = ln x .

Riešenie

Vieme, že funkcia je daná a priradená pri kladné hodnoty argument D(y) = 0; +∞. Pohіdna na danom intervale bude kladná: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, nový má zvýšenie funkcií. Dali nám potrebu určiť na to jednostrannú hranicu, ak je argument správny 0 (na pravej strane) a ak x nie je správna nekonzistencia:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Odobrali sme, že pri zmene hodnoty x z nuly na nekonečno plus hodnota funkcie rastie z mínusovej nekonzistencie na plusovú nekonzistenciu. Existuje teda veľa všetkých reálnych čísel - ce a є oblasť hodnoty funkcie prirodzeného logaritmu.

Návrh: multiplikátor všetkých reálnych čísel je oblasťou hodnoty funkcie prirodzeného logaritmu.

zadok 6

Umov: určte, ktorý je rozsah funkcie y = 9 x 2 + 1 .

Riešenie

Funkcia Tsya є pamätajte, že x je skutočné číslo. Spočítajme najdôležitejšie a najmenej dôležité funkcie, ako aj medzery a rast a zmeny:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Vo výsledkoch sme naznačili, že funkcia bude klesať, takže x ≥ 0; skôr, že x < 0; nedosiahne bod na maximum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 pri zmene, ktorá je drahšia 0 .

Zaujímalo by nás, ako ovládať funkciu pri nekonzistencii:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Zo záznamu je vidieť, že hodnota funkcie y krát sa asymptoticky blíži k 0.

Podib'єmo subbags: ak sa argument zmení z mínusovej nekonzistencie na nulu, potom hodnota funkcie narastie z 0 na 9 . Ak sa hodnota argumentu zmení z 0 na plus nekonzistentnosť, potom hodnota funkcie klesne z 9 na 0 . Cenu sme si predstavovali pre malého:

Na novom je vidieť, že rozsahom hodnoty funkcie bude interval E(y) = (0; 9)

Návrh: E(y) = (0; 9]

Potrebujeme teda priradiť neosobnú hodnotu funkcie y = f(x) na intervaloch [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , potom musíme takéto vyšetrovania vykonať sami.

A ako máte vipadku, ako je oblasť priradená k deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv? Potom musíme vypočítať anonymnú hodnotu týchto intervalov na koži a skombinovať ich.

zadok 7

Umov: určiť, aký rozsah bude y = x x - 2 .

Riešenie

Oskіlki znamennik functionії nie je vinný, ale znacheniya na 0 , potom D (y) = - ∞ ; 2* 2; +∞.

Začnime priradením násobiteľa hodnoty funkcie prvému riadku - ∞; 2, čo je jasný prísľub. Vieme, že funkcia na novej klesne, takže funkcia bude záporná.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Ak potom argument zmení y priamo mínus nekonzistentnosť, hodnota funkcie sa asymptoticky priblíži k 1 . Ak sa hodnota x zníži z mínus nekonzistentnosti na 2, potom sa hodnota zníži z 1 na mínus nekonzistentnosť, tzn. funkcia na budúcej hodnote intervalu - ∞ ; jeden . Samostatne, okrem našich úvah, čriepky hodnoty funkcie її nedosahujú, skôr sa k nej asymptoticky približujú.

Pre otvorenú výmenu 2; + ∞ vikonuєmo so sami dії. Funkcia na novom je tiež menšia:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Hodnota funkcie na danej vіdrіzke je priradená k bezhodnotovej 1; +∞. Potrebujeme teda, že oblasť hodnoty funkcie, daná pre myseľ, bude kombinovaná násobkami - ∞; 1 a 1; +∞.

Návrh: E(y) = -∞; 1 x 1; +∞.

Môžete si pozrieť graf:

Osobitné výkyvy sú periodické funkcie. Táto oblasť hodnoty sa mení z neosobnej hodnoty na interval, ktorý závisí od obdobia funkcie.

zadok 8

Umov: Nastavte plochu na hodnotu sínusu y = sin x.

Riešenie

Sínus leží na periodickej funkcii, ako je obdobie, ktoré sa stane 2 pi. Beremo vіdrіzok 0; 2 π žasnem, aká bude neosobná hodnota na novom.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Na hranici 0; 2 funkcie π budú body extrému π 2 і x = 3 π 2 . Poďme sa pozrieť na to, prečo je dôležitosť funkcie v nich dôležitejšia, ako aj na hranice vіdrіzka, po ktorých vyberáme to najdôležitejšie a najmenej dôležité.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Návrh: E (sin x) = -1; jeden .

Ak potrebujete poznať oblasť hodnoty takých funkcií, ako sú statické, zobrazovacie, logaritmické, trigonometrické, reverzné trigonometrické, potom si môžete znova prečítať článok o základných elementárnych funkciách. Teória, ako tu navrhujeme, umožňuje zvrátiť danú hodnotu. Їх Bazhano vivchiti, črepy smradu sú často potrebné v hodine čerešňového dňa. Ak poznáte oblasti hlavných funkcií, môžete ľahko poznať oblasti funkcií, ako keby ste odobrali tie elementárne za pomoc geometrickej transformácie.

zadok 9

Umov: nastavte rozsah y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Riešenie

Vieme, že hodnota arkozínu je 0 až pí. Inými slovami, E (ar c cos x) = 0 ; π alebo 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Funkciu a r c cos x 3 + 5 π 7 môžeme preniesť na inverzný kosínus tak, že ju natiahneme a natiahneme os O x , inak nám nebudeme môcť dať nič. Takže 0 ≤ a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Funkciu 3 oblúk cos x 3 + 5 π 7 možno odčítať od inverzného kosínusového oblúka cos x 3 + 5 π 7 pre dodatočné natiahnutie vertikálnej osi, takže 0 ≤ 3 oblúk cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Vo finále je transformácia zsuv uzdovzh os O y o 4 hodnoty. Výsledok bude mať určité základné nerovnosti:

0 - 4 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Odobrali sme, aká oblasť hodnoty bude potrebná E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Návrh: E(y) = -4; 3 pi-4.

Bez vysvetlenia sa zapíše ešte jeden zadok, pretože víno je podobné tomu vpredu.

zadok 10

Umov: vypočítajte, aký bude rozsah funkcie y = 2 2 x - 1 + 3 .

Riešenie

Prepíšme danú funkciu, napríklad y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 . Pre statickú funkciu y = x - 1 2 bude oblasť hodnôt priradená intervalu 0; + ∞ teda. x-12 > 0. V tomto duchu:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Takže E(y) = 3; +∞.

Návrh: E(y) = 3; +∞.

Teraz sa pozrime na to, ako poznať rozsah funkcie, ako sa nenechať prerušiť. Na to potrebujeme rozbiť celú oblasť na medzery a poznať ich neosobný význam na koži, po čom spojíme tie, ktoré sme videli. Pre lepšie pochopenie z dôvodu zopakovania hlavných uhlov pohľadu na funkciu.

zadok 11

Umov: daná funkcia y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Vypočítajte hodnotu plochy її.

Riešenie

Táto funkcia je priradená všetkým hodnotám x. Urobme analýzu kontinuity s hodnotami argumentu rovnými - 3 a 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 hriech x 2 - 4 = 2 hriech - 3 2 - 4 = - 2 hriech 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Môže ísť o neprerušovanú expanziu prvého druhu s hodnotou argumentu -3. Keď sa priblížite k novej hodnote funkcie, posuňte sa nahor na - 2 sin 3 2 - 4 a keď je x na pravej strane na - 3, hodnoty sa posunú nahor na - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Je možné, že v bode 3 sa nehľadá iný rod. Ak sa funkcia nerovná, hodnoty її sú blízke - 1, ak sa funkcia rovná vpravo - mínus nekonzistentnosť.

Otzhe, celá oblasť priradenej funkcie je rozdelená na 3 intervaly (- ∞ ; - 3 ), (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Na prvom z nich sme odobrali funkciu y = 2 sin x 2 - 4 . Oskіlki - 1 ≤ hriech x ≤ 1 je prijateľné:

1 ≤ hriech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Takže pre tento interval (- ∞ ; - 3] funkcia nemá žiadnu hodnotu - [ - 6 ; 2 ] .

Na poslednom intervale (- 3 ; 3 ) bola konštantná funkcia y = - 1 . Otzhe, všetky neosobné її znachen občas budú postavené na jedno číslo - 1.

Na inom intervale 3; + ∞ môžeme použiť funkciu y = 1 x - 3 . Vyhrané є piky, k tomu y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Takže neosobná hodnota výstupnej funkcie pre x > 3 je násobkom 0; +∞. Teraz sú výsledky vo všeobecnosti odstránené: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Návrh: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Riešenie je znázornené v grafe:

zadok 12

Umov: є funkcia y = x 2 – 3 e x . Oceniť neosobný význam.

Riešenie

Vaughnovi je priradený celý význam argumentu, čo sú skutočné čísla. Je príznačné, že pre niektoré intervaly je daná funkcia nárastu a pre niektoré z nich zníženia:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Vieme, že je dobré ísť na 0 ako x = - 1 a x = 3 . Dajme dva body na celok a z'yasuёmo, ako znamenia bude matka intervalov.

Funkcia sa zmení na (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i rastie na [ - 1 ; 3]. Minimálny bod bude - 1, maximálny - 3.

Teraz poznáme hlavné hodnoty funkcie:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Pozrime sa na správanie funkcie pri nekonzistencii:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Na výpočet druhého sprostredkovateľa sa použilo Lopitalovo pravidlo. Je predstaviteľné, že naše riešenie prešlo do grafiky.

Je vidieť, že hodnota funkcie sa zníži v plusovej nekonzistencii na -2e, aj keď sa argument zmení v mínusovej nekonzistencii na -1. Ak sa víno zmení z 3 na plus nepresnosti, potom hodnota klesne z 6 e - 3 na 0, ale ak je 0, nebude dosah.

V tomto poradí E(y) = [-2 e; +∞).

Návrh: E(y) = [-2e; +∞)

Ako ste si spomenuli na pardon v texte, buďte láskaví, pozrite si to a stlačte Ctrl + Enter

Pochopenie funkcie a všetkého, čo je s ňou spojené, je dovedené do tradične poskladaného, ​​nie do pointy mysle. Vyzdvihnime kameňom zameranie na to, ako funkcia a príprava na ЄДІ є oblasť určenia a oblasť významu (zmeny) funkcie.
Nie je nezvyčajné naučiť sa nerozlišovať medzi oblasťou pridelenej funkcie a oblasťou jej významu.
A tak ako úlohu zmeniť oblasť pridelenej funkcie, ktorú sa učíme zvládnuť, potom úloha zmeniť neosobný význam funkcie vyvoláva zápach chimalských ťažkostí.
Meta tsi єї statti: poznať metódy poznania hodnoty funkcie.
Výsledkom preberania týchto tém bol vypracovaný teoretický materiál, zvažované metódy riešenia úloh pre význam viacerých funkcií, vybraný didaktický materiál pre samostatnú prácu študentov.
Tento článok môže byť učiteľom pri príprave študentov na promócie a úvodné štúdium, pre tých „Oblasť významu funkcie“ vo voliteľných výberových predmetoch matematiky.

I. Označenie rozsahu funkcie.

Hodnota plochy (násobiteľa) E (y) funkcie y \u003d f (x) sa nazýva počet takýchto čísel y 0, pre kožu z existuje také číslo x 0, že: f (x 0) \u003d y 0.

Uhádnite oblasť hlavnej elementárne funkcie.

Pozrime sa na tabuľku.

Funkcia	Anonymný význam
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; jeden]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Tiež sa rešpektuje, že oblasťou hodnoty akéhokoľvek polynómu párového štádia je interval, de n je najväčšia hodnota polynómu.

II. Výkonnosť funkcií

Pre úspešné rozpoznanie neosobnej funkcie je potrebné dobre poznať silu základných elementárnych funkcií, najmä ich oblasti významu, oblasť významu a povahu monotónnosti. Navodujme silu neprerušovaných, monotónnych diferenciačných funkcií, ktoré najčastejšie víťazia, keď sú známe neosobné hodnoty funkcií.

Dominancia 2 a 3 spravidla získavajú silu základnej funkcie bez prerušenia v oblasti ich menovania. Vzhľadom na najjednoduchšie a najkratšie riešenie problému hodnoty multiplikátora možno hodnotu funkcie dosiahnuť na základe autority 1, aj keď na určenie monotónnosti funkcie možno použiť nekonzistentné metódy. Riešenie je jednoduchšie, ako funkcia, predtým - pár je nepárový, pravidelne tenký. Týmto spôsobom je potrebné pri vykonávaní úloh o dôležitosti znásobenia hodnoty funkcie v prípade potreby prehodnotiť a vyhrať nad útočnou silou funkcie:

• neprerušovaný;
• monotónnosť;
• diferenciácia;
• párovanie, rozpájanie, periodicita je tenká.

Nepríjemná úloha poznať neosobný význam funkcie sociálnej orientácie:

a) pre najjednoduchšie odhady a limit: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 potom);

b) zobrazenie celého štvorca: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) o transformácii trigonometrických virazív: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) dosiahnutie monotónnosti funkcie x 1/3 + 2 x-1 zvyšuje R.

III. Poďme sa pozrieť na metódy poznania oblastí funkčných hodnôt.

a) posledná hodnota skladacích argumentov funkcie;
b) spôsob hodnotenia;
c) dosiahnutie moci, absencia prerušenia a monotónnosť funkcie;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) výber najvyššej a najnižšej hodnoty funkcie;
e) grafická metóda;
g) metóda požiadavky na parametre;
h) metóda reverznej funkcie.

Rozkriёmo podstatou týchto metód na konkrétne zadky.

Príklad 1. Nájdite rozsah hodnôt E(y) funkcie y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Tento zadok môžeme vyriešiť metódou postupnej hodnoty skladacích argumentov funkcie. Keď vidíme nový štvorec pod logaritmom, transformujeme funkciu

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І postupne poznáme neosobný význam її skladacích argumentov:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Výrazne t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim sam sa na burze dostane k hodnote multiplikatora hodnoty funkcie y = log 0,5 t. (-∞;4) . Keďže funkcia y = log 0,5 t je priradená len pre vašu myseľ, potom sa anonymná hodnota na intervale (-∞; 4) zmení z anonymnej hodnoty funkcie na intervale (0; 4), čo je interval intervalu (-∞; 4) s rozsahom (0; + ∞) logaritmickej funkcie. Na intervale (0;4) je táto funkcia neprerušovaná a menšia. o t> 0 won pragne +∞, a kedy t = 4 nastavuje hodnotu -2, až E(y) =(-2, +∞).

Príklad 2. Nájdite rozsah funkcie

y = cos7x + 5cosx

Tento zadok vidíme na metóde posudkov, ktorej podstata je v posúdení neprerušenej funkcie dna a vrchu a v preukázaní dosahu funkcie spodnej a hornej hranice posudkov. Pri akejkoľvek zmene neosobnosti je hodnota funkcie s intervalom od dolného priebežného hodnotenia po vyššie určená nestálosťou funkcie a prítomnosťou nižších hodnôt v nej.

Z nepravidelností -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 berieme skóre -6≤y?6. Keď x = p і x = 0, funkcia nadobudne hodnotu -6 і 6, potom. dosiahnuť dolnú a hornú hranicu. Ako lineárna kombinácia neprerušiteľných funkcií cos7x a cosx je funkcia y neprerušiteľná na celej číselnej osi, preto vďaka sile neprerušiteľnej funkcie získava všetky hodnoty od -6 do 6 vrátane a iba їх, to znamená, že v dôsledku nezrovnalostí v hodnotách -6≤y je to nemožné. Otzhe, E(y)= [-6;6].

Príklad 3. Nájdite rozsah hodnôt E(f) funkcie f(x)= cos2x + 2cosx.

Podľa vzorca kosínusu kostice kuta transformujeme funkciu f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1, čo je významné t= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E (cosx) =

[-1;1], potom rozsah funkcie f(x) zbіgaєtsya s neosobnou hodnotou funkcie g (t)= 2t 2 + 2t - 1 dozadu [-1; 1], ako to vieme grafickou metódou. Vyvolanie grafu funkcie y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 na interval [-1; 1], vieme E(f) = [-1,5; 3].

Rešpekt - do významnosti neosobného významu funkcie je potrebné vytvoriť bohatú úlohu s parametrom, spojenú, čo je dôležitejšie, s množstvom rozdielov a množstvom rozdielov. Napríklad rovný f(x)\u003d ale je dovolené urobiť to viac, ak

aE(f) Podobne rovnakí f(x)\u003d a môže chcieť jeden koreň, roztovaniya na deyakomu priestore X, alebo nemá rovnaký koreň na tomto medzipriestore vtedy a len vtedy, ak klame alebo neklame neosobná hodnota funkcie f(x) na intervale X. f(x)≠ ale, f(x)> a i atď. Zokrema, f(x)≠ a pre všetky prípustné hodnoty ​​х yakso a E(f)

Butt 4. Pre akúkoľvek hodnotu parametra a rovná sa (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) existuje jeden koreň pre odsadenie [-4;-1].

Zapíšme si rovnosť pohľadu (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Zostávajúci rovní môžu chcieť iba jeden koreň na vdrіzku [-4;-1] a iba vtedy, ak existujú neosobné hodnoty funkcie f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) na zadnej strane [-4;-1]. Poznáme neosobnosť, víťaznú silu, neprerušenosť a monotónnosť funkcie.

Na druhej strane [-4;-1] funkcia y = xІ + 4 je bez prerušenia, menej i je kladné, takže funkcia g(x) = 1/(x 2 + 4) je neprerušovaný a zbіlshuєtsya pri tsemu vіdrіzku, oskіlki pre rozpodіlі na pozitívnej funkcii sa povaha monotónnosti funkcie mení na predĺženie. Funkcia h(x) =(x + 5) 1/2 je bez prerušenia a rastie vo vlastnej galérii D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, na vіdrіzku [-4;-1], deva, navyše pozitívna. Rovnaká funkcia f(x)=g(x) h(x), rovnako ako pridanie dvoch neprerušovaných, rastúcich a pozitívnych funkcií, je tiež neprerušené a zvýšené o dodatočné [-4;-1], takže existuje neosobná hodnota o [-4;-1] є dodatočné [ f(-4); f(-1)]=. Tiež sa rovná riešeniu dvojnásobku [-4;-1], navyše jedna (pre kvalitu spojitej monotónnej funkcie), s 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Rešpekt. Prípustnosť rovnaká f(x) = a na aktuálnom intervale X sa rovná platnosti hodnoty parametra ale hodnota neosobnej funkcie f(x) na X. Otzhe, neosobná hodnota funkcie f(x) pre interval X sa zmení z hodnoty parametra ale, pre rovnych f(x) = a Chcem jeden koreň pre oblasť plesu H. Zokrema E(f) funkcie f(x) zbіgaєtsya s anonymnou hodnotou parametra ale, pre rovnych f(x) = a Chcem jeden koreň.

Príklad 5. Nájdite rozsah hodnôt E(f) funkcie

Otvorenie zadku metódou zadávania parametra, zgіdno z E(f) zbіgaєtsya s anonymnou hodnotou parametra ale, pre rovných

Chcem jeden koreň.

Keď a = 2 sa rovná lineárne - 4x - 5 = 0 s nenulovým koeficientom pre nenulové x, neexistuje žiadne riešenie. Keď sa a≠2 rovná štvorcu, potom môže byť odviazané buď a iba ak je diskriminant

Oskіlki bod a = 2 ležať vo vіdrіzku

potom shukanim hodnotu parametra ale, znamená, vážim si oblasť E(f) byť všetko vіdrіzok.

Za nie prechodný vývoj metódy zavedenia parametra s danou neosobnou hodnotou funkcie možno považovať metódu reverznej funkcie, za účelom ktorej je potrebné kontrolovať hodnotu funkcie. f(x)=y s parametrom y. Yakshcho tse rovná môže byť jedným z riešení x = g(y), potom rozsah E(f) vonkajšie funkcie f(x) uniknúť z oblasti určenia D(g) slinná funkcia g(y). Yakshcho je rovný f(x)=y maє kіlka riešenie x = g 1 (y), x = g 2 (y) a tak ďalej E(f) lepšia integrácia oblastí funkcií g 1 (y), g 2 (y) atď.

Príklad 6. Nájdite oblasť hodnoty E(y) funkcie y = 5 2/(1-3x).

Z rovnaké

poznáme reverznú funkciu x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x môže byť teda jediným riešením

E(y) = D(x) = (0; 1) (25;+°).

Keďže oblasť priradenej funkcie sa sčítava z desaťročí intervalov a funkcia na rôznych intervaloch je daná rôznymi vzorcami, potom pre význam oblasti hodnoty funkcie je potrebné poznať anonymnú hodnotu funkcie na intervale pokožky a zoberte ich spolu.

Príklad 7. Nájdite oblasti významu f(x)і f(f(x)), de

f(x) na burze (-∞; 1], de vyhral z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Výrazne t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na burze (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, v strede (0; 4], ako vieme, vikorista g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na promizhku (0;4] dobre g'(t) je priradené, aby tam začínalo od nuly o t = 3. O 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) zmenšuje sa a intervaly (3; 4) rastú, prekypujú neprerušovaným intervalom horčice (0; 4), básnik g. (3)= 9 - najmenšia hodnota funkcie pre prekladanie (0; 4], maximálna hodnota však nie je možná, takže s t→0 funkcia pravej ruky g(t)→+∞. Todi, pre kvalitu neprerušovanej funkcie, neosobná hodnota funkcie g(t) na intervale (0; 4], čo znamená, že nemám žiadny význam f(x) na (-∞;-1], byť promin.

Teraz sú kombinované intervaly neosobným významom funkcie f(f(x)), zmysluplne t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de t funkciu f(t)= 2 cos( x-1) 1/2+ 7 a znova prijmite všetky hodnoty od 5 do 9 vrátane, tj. hodnotovej oblasti E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Podobne vedieť z = f(f(x)), môžete poznať rozsah E(f3) funkcie f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 atď. Prekonaj to, čo E(f3) = .

Najuniverzálnejšia metóda na výpočet násobenia funkčnej hodnoty a odčítanie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie pre daný interval.

Príklad 8. Pre niektoré hodnoty parametra R nerovnosť 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x výhra pre všetkých -1 ≤ x< 2.

Po vymenovaní t = 2 x, zapíšme si nerovnosti vzhľadu p ≠ t 3 - 2 t 2 + t. tak jaka t = 2 x- funkcia nepretržitého rastu zapnutá R, potom pre -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R zobraziť hodnotu funkcie f(t) = t3 - 2t2 + t pri 0,5 ≤ t< 4.

Poznáme poradie anonymnej hodnoty funkcie f(t) na vіdrіzku, de márne všade, kam môžem ísť f'(t) = 3t2 - 4t + 1. Otzhe, f(t) diferencovane, neskoršie a bez prerušenia vetra. Z rovnaké f'(t) = 0 poznáme kritické body funkcie t=1/3, t=1, v prvom rade si nemôžeš ľahnúť na kamaráta, ale na kamaráta youma. tak jaka f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, potom pre kvalitu diferencovanej funkcie je 0 najmenšia a 36 je najvyššia hodnota funkcie f(t) na vіdrіzku. Todi f(t), ako non-stop funkcia akceptuje všetky hodnoty od 0 do 36 vrátane, navyše hodnotu 36 nadobúda len vtedy, keď t = 4 navyše pre 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna je kladná pre všetky intervaly x z (-1; 1), takže funkcia arcsínusu sa zvyšuje v celom rozsahu priradenia. Opäť platí, že najmenšia hodnota výhry je pri x = -1 a najväčšia pri x = 1.

Odčítali sme definičný obor funkcie od arksínusu .

zadok.

Nájdite anonymnú hodnotu funkcie na vіdrіzku.

Riešenie.

Pozrime sa na najdôležitejšiu a najmenej dôležitú funkciu v tomto vlákne.

Je príznačné, že extrémny bod, ktorý leží vo vіdrіzku:

Výpočet hodnoty výstupnej funkcie na koncoch rezu a v bodoch :

Otzhe, neosobná hodnota funkcie na vіdrіzku є vіdrіzok .

Teraz si ukážeme, ako poznať hodnotu neprerušenej funkcie y = f(x) v intervaloch (a; b) , .

Zo začiatku priraďujeme body extrému, extrémnym funkciám, intervalom rastu a zmeny funkcie na danom intervale. Boli vypočítané na intervaloch intervalu a (alebo) medzi na nekonzistencii (teda na správaní funkcie na intervaloch intervalu alebo na nekonzistencii). Existuje dostatok informácií na to, aby sme poznali neosobnú hodnotu funkcie v takýchto intervaloch.

zadok.

Označte neosobnú hodnotu funkcie na intervale (-2; 2).

Riešenie.

Poznáme body extrému funkcie, ktoré sú vynaložené na interval (-2; 2):

Krapka x = 0 je bod maxima, preto je potrebné pri jeho prechode zmeniť znamienko z plus na mínus a graf funkcie sa akoby zväčšoval až do pádu.

є vіdpovіdny maximálna funkciaії.

Rozumieme správaniu funkcie pri x, ktorá je do -2 pravotočivá a pri x, ktorá je do 2 złiva, takže poznáme jednostranné hranice:

Čo sme zobrali: pri zmene argumentu id -2 na nulu sa hodnota funkcie zvýši z mínus nekonzistentnosti na mínus štvrtinu (maximum funkcie pri x = 0 ), keď sa argument id zmení z nuly na 2, hodnota funkcie klesá do nekonečna. V tomto poradí neosobná hodnota funkcie na intervale (-2; 2) є .

zadok.

Zadajte hodnotu násobiteľa funkcie k dotyčnici y = tgx na intervale.

Riešenie.

Funkcia podobná dotyčnici na intervale je kladná čo naznačuje rast funkcie. Sledujte správanie funkcie na hraniciach intervalu:

Týmto spôsobom pri zmene argumentu hodnota funkcie rastie z mínusovej nekonzistencie na plusovú nekonzistenciu, to znamená, že hodnota dotyčnice na tomto intervale je hodnotou všetkých reálnych čísel.

zadok.

Nájdite rozsah funkcie prirodzeného logaritmu y = lnx.

Riešenie.

Funkcia prirodzeného logaritmu je priradená kladným hodnotám argumentu . V akom intervale je kladný O raste funkcií na novom sa neoplatí hovoriť. Poznáme jednostrannú hranicu funkcie, keď je argument pravotočivý až po nulu, a hranicu v x, ktorá je správna až do plusovej nekonzistencie:

Bachimo, pre zmenu x z nuly na plusovú nekonzistenciu, hodnota funkcie rastie z mínusovej nekonzistencie na plusovú nekonzistenciu. Otzhe, rozsah funkcie prirodzeného logaritmu є neosobné reálne čísla.

zadok.

Riešenie.

Táto funkcia je priradená všetkým skutočným hodnotám x. Významné sú extrémne body, ako aj medzery v raste a zmene funkcie.

Tiež sa funkcia mení v , rastie v , x = 0 je maximálny bod, zdanlivé maximum funkcie.

Pozrime sa na správanie funkcie pri nekonzistencii:

Týmto spôsobom sa pri nekonzistencii hodnoty funkcie asymptoticky približujú k nule.

Vysvetlili sme, že keď sa argument zmení z mínusovej nekonzistencie na nulu (maximálny počet bodov), hodnota funkcie narastie z nuly na deväť (do maxima funkcie), a keď sa x zmení z nuly na plusovú nekonzistenciu, hodnota funkcie sa zmení z deviatej na nulu.

Pozrite sa na schematické maličkosti.

Teraz môžete jasne vidieť, že rozsah funkcie je .

Hodnota násobiteľa hodnoty funkcie y = f(x) na intervaloch rovnakého trvania. O týchto vipadkách sa hneď nehlásime. Pri zadkoch nižšie je smrad ostrejší.

Nech je rozsah funkcie y = f(x) kombinovaný pre niekoľko intervalov. Keď je oblasť známa, hodnota takejto funkcie je indikovaná neosobnou hodnotou kožného výbežku a jeho zovšeobecnením.

zadok.

Nájdite rozsah funkcie.

Riešenie.

Štandard našej funkcie nie je vinný zostupom na nulu, tobto,.

Poznáme neosobnú hodnotu funkcie na otvorenej burze.

Ďalšie funkcie negatívne pre tento medzičas, tak sa mu mení funkcia.

Zohľadnilo sa, že keď je argument mínus nekonzistentnosť, hodnoty funkcie sa asymptoticky približujú k jednote. Keď zmeníte x z mínusovej nekonzistencie na dve hodnoty, funkcia sa zmení z jednej na mínusovú nekonzistenciu, takže na krátky čas, ako vidíte, funkcia nadobudne neosobnú hodnotu. Jeden nie je zahrnutý, fragmenty hodnoty funkcie ho nedosahujú, nestačí naň asymptoticky skočiť mínusovou nekonzistenciou.

Diemo je podobné pre otvorenú výmenu.

V akom intervale sa funkcia tiež mení.

Anonymná hodnota funkcie pre tento prechod je neosobná.

Týmto spôsobom je potrebný rozsah hodnoty funkcie na kombinovanie násobkov.

Grafické ilustrácie.

Okremo stopy na periodických funkciách. Rozsah hodnoty periodických funkcií sa mení z neosobnej hodnoty intervalu, ktorá závisí od periódy funkcie.

zadok.

Nájdite rozsah funkcie sínus y = sinx.

Riešenie.

Táto funkcia je periodická s periódou dvoch pi. Vіzmemo vіdrіzok ta výrazne neosobný význam na nymu.

Vіdrіzku ležia dva body extrému ta .

Vypočítame hodnotu funkcie v týchto bodoch a na hraniciach vіrіzka, vyberieme najmenšiu a najvyššiu hodnotu:

Otzhe, .

zadok.

Nájdite rozsah funkcie .

Riešenie.

Vieme, že rozsah hodnôt arkozínu є vіdrіzok vіd nula až nі, potom, alebo v inom zázname. Funkcia môže byť otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh axis abscissa. Takáto transformácia na plochu sa nemá injektovať, k tomu, . Funkcia dostať sa z natiahnuté do vtrychі vzdovzh osі Oy, tobto, . 1. zostávajúce štádium transformácie - tse zsuv chotirma sám dole uzdovzh osou ordinátov. Nestojí za to, aby sme nás privádzali k nervozite z metra

V tejto hodnosti je oblasťou hodnoty shukana .

Urobme riešenie na jeden zadok, ale bez vysvetlenia (netreba smrad, urobím to isté).

zadok.

Definujte rozsah funkcie .

Riešenie.

Napíšme výstupnú funkciu ako . Oblasťou hodnoty funkcie stavu je interval. Tobto, . Todi

Otzhe, .

Aby bol obraz úplný, povedzme si o rozsahu hodnoty funkcie, keďže ide o neprerušovaný rozsah funkcie. V tomto prípade je oblasť stretnutia rozdelená bodkami na medzery a poznáme ich nezmyselnú hodnotu na koži. Kombináciou odčítania hodnôt multiplikátora odčítame oblasť hodnoty výstupnej funkcie. Odporúča sa uhádnuť 3 hodnoty funkcie na ľavej strane, aby ste sa posunuli mínus jedna, a ak je x až 3 doprava, hodnota funkcie, ktorá sa má presunúť, plus nepresnosť.

Týmto spôsobom je oblasť funkcie rozdelená do troch intervalov.

Môžem mať funkciu . Oscilki teda

Neosobná hodnota výstupnej funkcie pre interval je teda є [-6; 2].

Na poslednom intervale je možné mať konštantnú funkciu y = -1. Preto sa neosobná hodnota vonkajšej funkcie pre interim sčítava z jediného prvku.

Funkcia je priradená ku všetkým skutočným hodnotám argumentu. Z'yasuєmo promiski zvýšenie a zmena funkcie.

Pokhіdna sa zmení na nulu pri x=-1 a x=3. Výrazne qi ukazuje na číselnej osi a výrazne podobné znaky na podintervaloch.

Funkcia sa zmení na , Rast o [-1; 3] , x=-1 bod na minimum, x=3 body na maximum.

Vypočítajme minimálne a maximálne funkcie:

Zvrátenie správania funkcie pri nekonzistencii:

Ďalší mezhu bol spoplatnený.

Schematickejšie stoličky.

Keď sa argument zmení z mínus neurčitosti na -1, hodnota funkcie sa zmení z plus nekonečna na -2e , keď sa argument zmení z -1 na 3, hodnota funkcie sa zvýši z -2e na , keď argument sa zmení z 3 na plus nedokončená hodnota, ale nedosiahnu nulu.

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov, ktorým treba porozumieť.

Vymenovanie: Ak je číslo vzhľadu násobiteľa dvojky x nastavené na jedno y, potom sa zdá, že tomuto násobiteľu je priradená funkcia y(x). Keď sa x nazýva nezávislý argument zmeny a y sa nazýva dolná hodnota zmeny funkcie, je to jednoducho funkcia.

Aby som to povedal, to, čo mení y, je funkcia zmeny x.

Po označení platnosti určitého písmena, napríklad f, napíšte ručne: y=f (x), takže hodnota y pochádza z argumentu x pre dodatočnú platnosť f. (Prečítajte si: y sa rovná f v x.) Symbol f (x) označuje hodnotu funkcie, ktorá sa zhoduje s hodnotou argumentu, ktorá sa rovná x.

Príklad 1 Nech je funkcia určená vzorcom y=2x 2 –6. Potom sa dá napísať, že f(x) = 2x2-6. Poznáme hodnotu funkcie x, ktorá sa rovná napríklad 1; 2,5;-3; takže vieme f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=212 –6=–4;
f(2,5)=2 2,52-6=6,5;
f(-3) = 2 (-3)2-6 = 12.

Záznam má tvar y=f (x) namiesto f na iné písmená: g, teda.

Cieľ: Rozsah funkcie - hodnota x, ktoré majú rovnakú funkciu.

Ak je funkcia daná vzorcom a nie je priradený rozsah funkcie, potom je dôležité, aby sa k hodnote argumentu pridal rozsah funkcie, pre ktorú vzorec nemá zmysel.

Inak zrejme rozsah funkcie priradenej vzorcom, hodnota argumentu, mlčí, akoby sa dalo viesť kutilstvo, ako môžeme vikonovať. Momentálne poznáme len dvoch z nich. Nemôžeme deliť nulou a nemôžeme brať druhú odmocninu zo záporného čísla.

Označenie: Použite hodnotu, ak akceptujete zmenu ladom, stanovte oblasť hodnoty funkcie.

Rozsah určenej funkcie, ktorá popisuje skutočný proces, leží v mysliach konkrétnych myslí a procesov. Napríklad zatuchnutosť dĺžky dĺžky dĺžky strihu v závislosti od teploty ohrevu t vyjadruje vzorec, de l 0 dĺžky dĺžky dĺžky dĺžky dĺžky dĺžky a koeficientu lineárnej rozťažnosti. Pre akúkoľvek hodnotu t je priradený vzorec maє sens. Rozsah funkcie l = g (t) je však interval desiatok stupňov, pre ktorý platí zákon lineárnej expanzie.

zadok.

Zadajte rozsah funkcií y=arcsinx.

Riešenie.

Oblasť priradená arcsínusu є vіdrіzok [-1; 1] . Poznáme najdôležitejšiu a najmenej dôležitú funkciu pre každé vlákno.

Pokhіdna je pozitívna pre každého X z intervalu (-1; 1) , preto funkcia arcsínusu narastá v celom rozsahu označenia. Otzhe, najmenej dôležitá vec je nabuvaє x = -1, a najviac na x=1.

Odčítali sme definičný obor funkcie od arksínusu .

Nájdite anonymnú hodnotu funkcie na vіdrіzka .

Riešenie.

Pozrime sa na najdôležitejšiu a najmenej dôležitú funkciu v tomto vlákne.

Významné extrémne body, ktoré ležia pod :