Napíšte ax 2 + bx + 0 0, de (náhrada znamienka > možné, rozumné, byť iným znakom nerovnosti). Všetko je potrebné na vyriešenie takýchto nezrovnalostí s faktami teórie, vidíme, prečo sa môžeme zmeniť naraz.
zadok 1. Virishiti nerіvnіst:
a) x 2 - 2 x - 3 > 0; b) x 2 - 2 x - 3< 0;
c) x 2 - 2 x - 3 > 0; d) x 2 - 2 x - 3< 0.
Riešenie,
a) Pozrime sa na parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3, znázornenú na obr. 117.
Nerovnomernosť virishity x 2 - 2x - 3 > 0 - neznamená napájanie, pre ktoré je x ordinácia bodu paraboly kladná.
Ak je y > 0, potom je graf expanznej funkcie vyšší pre os x, pri x< -1 или при х > 3.
Otzhe, riešenia nerovností sú všetky body otvorenosti o mne(- 00 , - 1) a nájdite všetky body otvoreného kritického rozsahu (3, +00).
Vykoristovuyuchi znamienko U (znamenie rozdelenia), môže byť napísané takto: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd možno napísať takto: x< - 1; х > 3.
b) Nerovnosť x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: harmonogramšírenie pod osou x, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
c) Nepravidelnosť x 2 - 2x - 3 > 0 sa počíta ako nerovnosť x 2 - 2x - 3 > 0, takže musíte zahrnúť zarovnanie koreňov x 2 - 2x - 3 = 0, potom body x = -1
і x \u003d 3. V tomto poradí uvedené riešenia nie sú úplne nerovnomerné a všetky body zmeny (-00, - 1], ako aj body zmeny fúzov.
Praktickí matematici znejú takto: navіscho us, viruyuchi nerіvnіst ах 2 + bх + с > 0, aby to bol presne parabolický graf kvadratickej funkcie
y \u003d sekera 2 + bx + c (ako to bolo rozbité na zadok 1)? Dokončenie útržkovitej malej grafiky koreňštvorcovej trojčlenky (body priečnika paraboly z vіssy х) a znamenajú, kde je narovnanie ihiel paraboly do kopca. Tento povrchný malý vám dá oblak nervozity rozv'yazannya.
zadok 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Riešenie.
1) Poznáme koreň štvorcového trinomu - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.
2) Parabola, ako graf funkcie y \u003d -2x 2 + Zx + 9, posunutie všetkých x v bodoch 3 i - 1,5 a kolíky paraboly sú narovnané nadol, staršie koeficient- Záporné číslo - 2. Na obr. 118 znázornení malej grafiky.
3) Ryža Vikoristovuyuchi. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Návrh: x< -1,5; х > 3.
Príklad 3 Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Riešenie.
1) Z rovné 4x 2 - 4x + 1 = 0 je známe.
2) Štvorcový trojčlen má jednu odmocninu; tse znamená, že je to parabola, ako graf štvorcovej trojčlenky, nemeňte všetky x, ale stoja v bodoch. Hlavy paraboly priamo do kopca (obr. 119.)
3) Pre dodatočný geometrický model, ktorý je znázornený na obr. 119 sa zistilo, že nerovnomernosť je nastavená iba v bodoch, škálovanie na všetkých ostatných hodnotách súradnice grafu je kladné.
Návrh: .
Ty si, spievaj, pamätal si, že v skutočnosti mali zadky 1, 2, 3 celý spev algoritmus rozv'yazannya štvorcových nezrovnalostí, formalizované jogo.
Algoritmus na odvodenie štvorcovej nepravidelnosti ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)
V prvej fáze musí algoritmus poznať odmocninu štvorcového trinomu. Ale koreň sa nedá zlomiť, načo pracovať? Potom algoritmus nie je zastosovuetsya, potom je potrebné ho aj tak pozorovať. Kľúčom k tsikh mirkuvan je dať takéto vety.
Inými slovami, ako D< 0, а >0, potom nerovnosť ax 2 + bx + c > 0 vyhráva pre všetky x; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Dôkaz.
Rozvrh funkcie y \u003d ax 2 + bx + c є parabola, ihly sú priamo do kopca (skaláry a\u003e 0) a yak nemení všetky x, pretože štvorcová trojčlenka nemá koreň mysle. Graf je znázornený na obr. 120. Bachimo, že pri všetkých x je rozvrh expanzií vyšší ako os x, ale tse znamená, že pri všetkých x je nerovnosť ax 2 + bx + c > 0, ktorá mala byť dokončená.
Inými slovami, ako D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 žiadne riešenie.
Dôkaz. Graf funkcie y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
zadok 4. Virishiti nerіvnіst:
a) 2 x 2 - x + 4 > 0; b) -x2 + Zx - 8> 0.
a) Poznáme diskriminant štvorcového trinomu 2x 2 - x + 4. Máj D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Vyšší koeficient trinomu (číslo 2) je kladný.
Pre vetu 1 je teda pre všetky x prekonaná nerovnosť 2x 2 - x + 4> 0, takže všetky (-00 + 00) slúžia ako riešenia danej nerovnomernosti.
b) Poznáme diskriminant štvorcového trinomu - x 2 + Zx - 8. Máj D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Platnosť: a) (-00 + 00); b) neexistuje riešenie.
Pri útočnom zadku poznáme ešte jeden spôsob miringu, ktorý zastosovuetsya pri otvorení štvorcových nepravidelností.
Príklad 5. Virishity nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Riešenie. Štvorcový trojčlen rozšírime 3x 2 - 10x + 3 na násobiče. Ku koreňom trojčlenky є číslo 3 i k tomu, zrýchlenie ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), vezmeme 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Výrazne na číselnej priamej odmocnine trojčlenky: 3 i (obr. 122).
Nech x > 3; potom x-3>0 і x->0, potom aj ďalšie 3(x - 3) (x - ) je kladné. Poď poď< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Taktiež dobutok 3(x-3)(x-) je negatívny. Poď, poď, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3) (x -) je kladné.
Suma sumárum sa dostávame k visnovke: znamienka štvorcového trojčlenu Zx 2 - 10x + 3 sa menia ako na obr. 122. Ale máme sa volať, pre nejakú štvorcovú trojčlenku nadobúda záporné hodnoty. 3 obr. 122 robimo visnovok: štvorcový trojčlen 3x 2 - 10x + 3 nabuє záporné hodnoty pre ľubovoľnú hodnotu x v intervale (, 3)
Vidpovid (, 3), inak< х < 3.
Rešpekt. Metóda zrkadlenia, ktorú sme použili na zadku 5, sa nazýva metóda intervalov (alebo metóda intervalov). Win aktívne vyhráva v matematike pre dokonalosť racionálny nezrovnalosti. V 9. ročníku je metóda intervalov podrobnejšia.
zadok 6. Pre akúkoľvek hodnotu parametra p štvorec sa rovná x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) existujú dva rôzne korene;
b) existuje jeden koreň;
c) nie maє -root?
Riešenie. Počet koreňov štvorcového vyrovnania sa zistí podľa znamienka prvého diskriminantu D. V tomto prípade je známe D = 25 - 4p2.
a) Štvorcové zarovnanie môže mať dva rôzne korene, napríklad D>0, preto úlohou je vybudovať zarovnanie s nerovnomernosťou 25 - 4p 2 > 0. Odoberieme rovnosť nerovnosti 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Známky virázy 4(p – 2,5) (p + 2,5) sú znázornené na obr. 123.
Robimo visnovok, čo je nerovnomerné 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
b) štvorcové zarovnanie môže mať jeden koreň, takže D - 0.
Vložili sme viac, D = 0 pre p = 2,5 alebo p = -2,5.
To isté s hodnotami parametra tsikh je dané druhou mocninou, ktorá sa rovná iba jednej odmocnine.
c) Druhá mocnina sa nerovná odmocnine, ako D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Berieme 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, hviezdy (oddel. Obr. 123) p< -2,5; р >2.5. S hodnotami tsikh daného parametra nemá štvorec odmocninu.
Vidpovid: a) pri p(-2,5, 2,5);
b) pri p = 2,5 abor = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.
Mordkovich A. G., Algebra. 8. ročník: Navch. pre zagalnosvіt. inštalácia - 3. pohľad., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 s.: il.
Pomoc pre školáka online, Matematika pre 8. ročník na stiahnutie, kalendárovo-tematické plánovanie
Lineárne sa nazývajú nekonzistencieľavá a pravá časť takýchto lineárnych funkcií nejakej neznámej veľkosti. Pred nimi je vidieť napríklad nervozitu:
2x-1-x +3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .
1) Suvoriho nerovnosti: ax+b>0 alebo sekera+b<0
2) Neprísne nezrovnalosti: ax+b≤0 alebo sekera+b≫ 0
Pozrime sa. Jedna zo strán rovnobežníka má 7 cm. Aká môže byť dĺžka druhej strany, aby obvod rovnobežníka bol väčší ako 44 cm?
Poď na shukana strane zásob X pozri Tentoraz bude mať obvod rovnobežníka znázornenia (14 + 2x) pozri Nepravidelnosť 14 + 2x > 44 є matematický model Problém s obvodom rovnobežníka. Ako v tejto nerovnosti, vymeňte zmenu X napríklad na čísle 16, potom vezmeme správnu číselnú nerovnomernosť 14 + 32\u003e 44. V tomto prípade sa zdá, že číslo 16 je rovnaké ako rozdiel medzi 14 + 2x\u003e 44.
Rozvyazanyam nervozita pomenovať význam zmeny, ako keby to bola zver z nich, v správnej číselnej nerovnomernosti.
Otzhe, koža z čísel 15,1; 20;73 pôsobiť ako rozvyazkoy nerovnosť 14 + 2x > 44, a číslo 10, napríklad, nie je rovnaké rozvyazky.
Virishiti nerіvnіst znamená nainštalovať všetky riešenia, alebo priniesť, že riešenie neexistuje.
Formulácia rozv'yazannya nerovností je podobná formulácii koreňa zarovnania. Napriek tomu nie je zvykom označovať „koreň nervozity“.
Dominancia numerickej ekvivalencie bola doplnená virishuvati ekvivalenciou. Takže samotná sila numerických nezrovnalostí pomôže prekonať nezrovnalosti.
Virishuyuchi ekvivalencia, meníme yogo іnhim, viac odpustíme ekvivalenciu, ale aj keď rovnú danej. Za takouto schémou človek pozná dôsledky a nezrovnalosti. Pri zmene vyrovnania na rovnom je vyrovnanie potvrdené teorémou o prenose sčítaní z jednej časti rovnej dĺžky a násobení oboch častí rovnej tej istej v rovnakom počte ako nula. V prípade rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdmіnіst yogo z іvnyannіm, yak argumentovať v tom, že či je riešenie іvіnіnіnіa іє trvіnіnіnіt ііііііnіnhi. Nezrovnalosti majú každý deň taký spôsob, že im nie je možné predložiť neosobné riešenie. Na to je dôležité pochopiť os šípok<=>- tse znak ekvivalentu, chi sa rovná, premena. Transformácia sa nazýva rovný, alebo ekvivalent ako smrad nezmení neosobné rozhodnutie.
Podobné pravidlá pre rozv'yazannya podráždenosť.
Akoby sa malo niečo premiestniť z jednej časti nerovnosti do druhej po nahradení znamienka opačným, potom nerovnosť, ktorá je ekvivalentná danej, odstránime.
Ak vynásobíte (vydelíte) urážlivé časti nervozity rovnakým kladným číslom, odoberieme nerovnomernosť zodpovedajúcu danej.
Ak vynásobíte (vydelíte) urážlivé časti nerovnosti rovnakým záporným číslom, pričom znamienko nerovnosti nahradíte predĺžením, odoberieme nerovnosť, ktorá je ekvivalentná danej.
Vikoristovuyuchi qi predpisov počítanie nižšej dráždivosti.
1) Poďme sa pozrieť na nezrovnalosť 2x - 5 > 9.
Tse lineárna nerovnosť, poznáme rozhodnutie o jogu a diskutované hlavné chápanie.
2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 presunutých do ľavej časti s opačným znamienkom), potom všetko vydelili 2 a možno x > 7. Na všetko aplikujeme bohaté riešenie X
Odobrali sme pozitívne smernice. Výrazne neosobné rozhodnutie alebo ako nervozita x > 7, alebo ako interval x(7; ∞). A čo súkromné rozhodnutia o nervozite? Napríklad, x=10- tse súkromné vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- je to tiež súkromný variant nervozity.
Existuje veľa súkromných rozhodnutí, ale našou úlohou je poznať všetky rozhodnutia. A rozhodnutie je spravidla neosobné.
Rozberemo zadok 2:
2) Odstráňte nervozitu 4a - 11 > a + 13.
Virišima joga: a poďme sa pohybovať jedným zobákom, 11 prejdite na ďalšiu knihu, vezmite 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 môže vyzerať nervozita a<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .
Tezh zjavne neosobný a< 8 , ale už na osoh a.
Vidpovid alebo píš ako nervozita a< 8, либо a(-∞;8), 8 nie je súčasťou dodávky.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z dôvodov sme rozšírili Zásady ochrany osobných údajov, ako je popísané, keď sme zhromaždili vaše informácie. Buďte láskaví, prečítajte si naše zásady ochrany osobných údajov a dajte nám vedieť, ak máte nejaké otázky týkajúce sa jedla.
Výber vybraných osobných údajov
V rámci osobných údajov sú uvedené údaje, nakoľko je možné vyhrať za identifikáciu spievajúceho jedinca a prepojenie s ním.
Ak nás kontaktujete, môžete byť požiadaní o vaše osobné údaje.
Nižšie je uvedených niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré si môžeme vybrať a ako si môžeme vybrať takéto informácie.
Ako zhromažďujeme osobné údaje:
- Ak odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy email atď.
Ako zhromažďujeme vaše osobné údaje:
- Nami zhromaždené osobné údaje nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných, navštíviť a nájsť tých najbližších.
- Z času na čas môžeme vikoristovuvat vaše osobné údaje na posilnenie dôležitých pripomienok a pripomienok.
- Osobné údaje môžeme zhromažďovať aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a iné záznamy s metódou zlepšovania služieb, o ktorej dúfame, že vám ju poskytneme odporúčaním našich služieb.
- Keď sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaží alebo podobných motivačných príspevkov, môžeme vyhrať informácie, dúfajme, že na riadenie takýchto programov.
Sprístupnenie informácií tretím osobám
Vaše údaje neposkytujeme tretím osobám.
Vinyatki:
- Je nevyhnutné – v súlade so zákonom, súdnym príkazom, súdnym preskúmaním a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež odhaliť informácie o vás, čo je ešte dôležitejšie, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné pre bezpečnosť, zachovanie zákona a poriadku alebo iné dôležité vipadkiv.
- V čase reorganizácie, priťažovania alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme my, tretia osoba, preniesť na páchateľa.
Ochranca osobných údajov
Žijeme v zahraničí - vrátane administratívnych, technických a fyzických - na ochranu vašich osobných údajov vo forme odpadu, krádeže a bezohľadného vikoristannya, ako aj neoprávneného prístupu, zverejnenia, zmeny tohto porušenia.
Zachovanie súkromia v partnerskej spoločnosti
S cieľom zmeniť vaše osobné údaje tak, aby boli vaše osobné údaje v bezpečí, prinášame na naše kontakty normy dôvernosti a bezpečnosti a prísne dodržiavame pravidlá dôvernosti.
Dnes, priatelia, nebudú každodenné sople a sentiment. Ako náhradu za nich vás bez akejkoľvek sily nasmerujem, aby ste porazili jedného z najhorších súperov v kurze algebry pre 8.-9.
Takže ste všetko pochopili správne: prejdite na nezrovnalosti s modulom. Poďme sa pozrieť na niektoré z hlavných princípov, s pomocou ktorých sa naučíte prekonať takmer 90 % takýchto zákaziek. A čo 10% reshtoyu? Nuž, povieme si o nich na dobrej lekcii.
Predtým by som však rád uhádol dva fakty, ktoré by bolo potrebné vedieť. V opačnom prípade preveríte znalosti látky z dnešnej lekcie.
Čo potrebujete vedieť
Je zrejmé, že na vyriešenie nezrovnalostí s modulom je potrebné poznať dve slová:
- Ako zúri nervozita;
- Čo je modul?
Začnime z iného bodu.
Funkcia modulu
Všetko je tu jednoduché. Є dve funkcie: algebraická a grafická. Pre klas - algebraické:
Vymenovanie. Modul čísla $x$ je buď samotné číslo, pretože ho nevidím, alebo číslo, ktoré je oproti vám, ako ostatné $x$, je stále záporné.
Zaznamenajte si to takto:
\[\left| x \vpravo|=\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]
Zjednodušene povedané, modul je „číslo bez mínusu“. Ja sám v tejto dualite (tu, od posledného čísla, nič nie je potrebné pracovať, ale tu sa stane, že tam vyberie mínus) a používam všetky skladanie pre študentov-pochatkivtsiv.
Viac geometrický dizajn. Je tiež dobré vedieť, ale bude menej pravdepodobné, že budeme chodiť k novému skladacím a dokonca špeciálnym spôsobom, geometrický pidkhіd úspešný pre algebraiku (spoiler: dnes nie).
Vymenovanie. Na číselnej osi nech je vyznačený bod $a$. Rovnaký modul $ \ vľavo | x-a \right|$ sa volá z bodu $x$ do bodu $a$ na tomto riadku.
Ak chcete prekrížiť obrázok, môžete ho vidieť na kshtalt tsogo:
Grafický návrh modulu No a čo iné, z označenia modulu je hneď vidieť kľúčová sila: modul čísla sa vždy rovná veľkosti. Táto skutočnosť sa bude niesť ako červená niť, ktorá sa bude ťahať celým naším dnešným diskurzom.
Virishennya nerіvnosti. Intervalová metóda
Teraz sa pozrime na tú nervozitu. Їхісує neosobné, ale našou úlohou je okamžite zabiť virishuvati, ktorí chcú byť tým najjednoduchším z nich. Tі, scho zvoditsya na lineárne nepravidelnosti, a navыt metóda intervalov.
Na túto tému mám dve skvelé lekcie (mіzh іnshim, viac, viac hnedé - odporúčam vivchiti):
- Intervalová metóda pre nezrovnalosti (najmä pozrite sa na video);
- Zlomkovo-racionálne nezrovnalosti - dokonca aj všeobecná lekcia, ale potom nemáte dostatok jedla.
Ak viete všetko, ak veta „poďme od nerovnosti k rovnosti“ neznie tak, že ste šialene unavení zo zabíjania sa o stenu, potom ste pripravení: prosíme vás do pekla až do hlavnej lekcie . :)
1. Nepravidelnosť mysle "Modul menší ako funkcia"
Ide o jednu z najrozsiahlejších úloh s modulmi. Je potrebné prekonať nerovnosť mysle:
\[\left| f\vpravo| \ltg\]
Úlohou funkcií $f$ a $g$ môžu byť alebo inak polynómy. Použite takéto nezrovnalosti:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left| 2x+3\vpravo| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \vpravo|-3 \vpravo| \lt 2. \\\end(zarovnať)\]
Všetky smrady sú doslova v jednom rade za schémou:
\[\left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g\quad \left(\Šípka doprava \doľava\( \začiatok(zarovnanie) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\vpravo)\]
Nezáleží na tom, či je modul ušetrený, ale môžeme odstrániť základnú nekonzistenciu (inak to isté, systém dvoch nezrovnalostí). Prote cey transfer vrakhovu uplne vsetko možné problémy: ak je číslo pod modulom kladné, metóda funguje; akscho negatívne - všetky rovnaké praktiky; a navit pre najnevhodnejsiu funkciu domu $f$ chi $g$ metoda vsetko rovnaka praca.
Samozrejme, obviňujte jedlo: nemôže to byť jednoduchšie? Bohužiaľ to nie je možné. Kto má celú funkciu modulu.
Vtіm, drž sa filozofovania. Poďme si zaspievať vetvičku dňa:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| 2x+3\vpravo| \ltx+7\]
Riešenie. Tiež je pred nami klasický nerіvnіst mind "menší modul" - nič prerobiť. Cvičenie pre algoritmus:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\vpravo| \lt x+7\šípka doprava -\vľavo(x+7 \vpravo) \lt 2x+3 \lt x+7 \\koniec (zarovnanie)\]
Neponáhľajte sa s otváraním oblúkov, pred ktorými je „mínus“: čo najviac si vďaka zhonu doprajete obrazné odpustenie.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
Úlohou boli až dve elementárne nezrovnalosti. Výrazne їх virіshennia na paralelných číselných líniách:
Peretin mnohonásobný
Peretin tsikh sa premnožil a bude jasný.
Zhoda: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0\]
Riešenie. Objednávka je už maličkosť poskladaná. Pre klas používame modul a prenášame ďalší dodatok doprava:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Je zrejmé, že čelíme novej nerovnomernosti formulára „menší modul“, takže povoľujeme modul pre už existujúci algoritmus:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Os úcty k nákaze: poviem vám, som trocha bochenets іz fúzy s okovami. Ale, znova uhádnem, čo je naša kľúčová meta kompetentne virishiti nerіvnіst a otrimati vіdpovіd. Neskôr, ak si dôkladne osvojíte všetko, čo je v tejto lekcii odhalené, môžete sa krútiť, ako chcete: otvorte náruč, pridajte mínusy atď.
A pre nás, pre klas, sa len prebudíme do podkopávajúceho mínus zla:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]
Teraz sa otvorili všetky oblúky základnej nervozity:
Prejdime k nervozite z metra. Tentoraz budú karty vážnejšie:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( zarovnať)\vpravo.\]
Priestupky nerovností sú štvorcové a porušované metódou intervalov (ale poviem vám: neviete, čo to je, radšej si moduly ešte neberte). Prejdime k prvej nerovnosti:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\left(x+5\right)=0; \&(x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(zarovnať)\]
Ako bachimo, na výstupe to išlo nerovnomerne do štvorca, dokonca, ako keby to bolo elementárne. Teraz sa pozrime na ďalšiu nervozitu systému. Tam sa stane zastosuvat Vietovu vetu:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(zarovnať)\]
Výrazne odčítajte čísla na dvoch rovnobežných čiarach (okrema pre prvú nerovnosť a okrema pre druhú):
Som si istý, že po rozbití systému nezrovnalostí s nami zopakujeme riadky násobiteľov tieňovania: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.
Zhoda: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Myslím si, že po ich aplikácii mala schéma riešenia hraničný zmysel:
- Asimilujte modul a preneste všetky ostatné prírastky do hlavnej časti nerovnosti. Týmto spôsobom berieme do úvahy nekonzistentnosť mysle $\left| f\vpravo| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerіvnіst, ktorý ušetril modul pre schému opísanú vyššie. V istom momente je potrebné prejsť od podvariantnej nervozity k systému dvoch nezávislých vírusov, ktorých koža sa dá úplne opraviť.
- Nareshti, byť zbavený riešenia týchto dvoch nezávislých slabík - a všetko, čo si berieme, je zvyšok.
Podobný algoritmus sa používa pre drsnosti útočného typu, ak je modul väčší ako funkcia. Je tu však vetvička vážneho „ale“. Poďme sa hneď porozprávať o qi „ale“.
2. Nepravidelnosť mysle „Modul je viac ako funkcia“
Vyzerajú takto:
\[\left| f\vpravo| \gt g\]
Vyzerá ako vpredu? Vyzerá to ako. Prote vyrishyuyutsya tak zavdannya zovsіm iným spôsobom. Formálne prichádza schéma:
\[\left| f\vpravo| \gt g\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\koniec(zarovnanie) \doprava.\]
Inými slovami, môžeme vidieť dva body:
- Na druhej strane jednoducho ignorujte modul - virishhuєmo normálna nekonzistentnosť;
- V podstate rozšírme modul 3 o znamienko mínus a potom vynásobíme problematickú časť nerovnosti −1, čo je menej ako znamienko.
V tomto variante majú hranatú mašľu, tobto. možno manželstvo dvoch by mohlo.
Opätujte rešpekt: nie sme pred systémom, ale sukupnistom, pri vіdpovіdі neosobnosti sa spájajú, ale nemenia sa. Je dôležité vidieť predný bod!
Vzagali, z ob'ednannymi a peretina pri bohatých uchnіv sutsіlna plutanina, poďme znova a znova triediť toto jedlo:
- "∪" - je znakom ob'ednannya. V skutočnosti bolo písmeno „U“ štylizované, ako k nám prišlo anglický filmє skratka ako „Union“, tobto. "Únia".
- "∩" je značka riadku. Tsya blbosť, zvuk neprišiel, ale len vinyl, ako bol napísaný pred „∪“.
Aby ste si to ľahšie zapamätali, namaľujte až po tieto znaky, aby bolo vidieť keliky (osa ma nemusí hneď volať pri propagácii drogovej závislosti a alkoholizmu: ak sa naučíte celú lekciu, potom už ste drogovo závislý):
Rіznitsya mizh retinom a ob'єdnannyam mnozhin V preklade ruského tse to znamená nasledovné: zväzok (zásobovanie) zahŕňa vlastné prvky z oboch súborov, teda nie menej ako ten kožný; a sietnicová os (systém) zahŕňa len tie prvky, ktoré sú súčasne v prvom multiplikátore a v druhom. Preto už neexistujú násobky viacerých dovoleniek.
Stalo sa to rozumnejšie? Od mňa dobre. Prejdime k praxi.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\]
Riešenie. Diemo pre schému:
\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\Šípka doprava \vľavo[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\vľavo(5-4x \vpravo) \\koniec (zarovnanie) \ vpravo .\]
Pokožka virishuemo nerіvnіnі suupnostі:
\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
Myslím tým, že vynásobím kožu číselným riadkom a potom ich spojíme:
Kombinácia násobkov
Je celkom zrejmé, že $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Návrh: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gtx\]
Riešenie. No čo? Že nič – všetko jedno. Poďme cez nerovnosť s modulom k agregácii dvoch nerovností:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]
Zmierňuje podráždenosť pokožky. Bohužiaľ, koreň tam už nebude.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&(x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(zarovnať)\]
Ďalšia nervozita má tiež trocha hry:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(zarovnať)\]
Teraz musíte vypočítať čísla na dvoch osiach - jedna os pre nerovnosť pokožky. Je však potrebné označiť bodky v správnom poradí: čím vyššie číslo, tým viac bola bodka posunutá doprava.
Os tu nás kontroluje. Čo sa týka čísel $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ všetko je jasné) , takže súčet je tiež menší) , s číslami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ číslo je väčšie ako záporné), potom so zvyškom pár, všetko nie je také jasné. Čo je väčšie: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ alebo $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme usporiadanie bodov na číselných radoch і, vlasne, vіdpovіd.
Poďme sa teda pozrieť:
\[\začiatok(matica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matica)\]
Potvrdili sme koreň, odobrali sme záporné čísla z oboch strán nerovnomernosti, takže máme právo odmocniť urážlivé strany:
\[\začiatok(matica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\koniec (matica)\]
Myslím, že som si uvedomil, že $4\sqrt(13) \gt 3$, že $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, ostatné body na osiach budú usporiadané takto:
Vipadok škaredého koreňa
Hádam, vidíme sukupnіst, preto je potrebné mať kĺb, a nie preskupenie násobkov tieňovania.
Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\vpravo)$
Rovnako ako Bachite, naša schéma zázračne funguje pre jednoduché aj ťažké úlohy. Jediným „slabým miestom“ pre takúto osobu je potreba kompetentne vyvážiť iracionálne čísla (a obrátiť sa: nie je to viac ako koreň). Alya bude zasvätená okremium na dávky (a dokonca aj vážna lekcia). A poďme.
3. Nezrovnalosti s neviditeľnými "chvosty"
Ušli sme od najlepších. Cena nerovnomernej mysle:
\[\left| f\vpravo| \gt\left| g\vpravo|\]
Zdá sa, že algoritmus, o ktorom budeme hovoriť hneď, je pre modul lepší. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє zaručený nevid'єmnі vrazi:
Čo je náplňou týchto úloh? Len si pamätaj:
Nepravidelnosti s neviditeľnými „chvosty“ môžu spôsobiť urážlivé časti prírodného sveta. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu nie je vynikne.
Sme pred nami tsikavitime zvedennya v námestí - vіn spacie moduly, ktoré root:
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(\vľavo| f \vpravo| \vpravo))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\end(zarovnať)\]
Os len nemusí byť oklamaná od odmocniny štvorca:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \vpravo|\ne f\]
V tej chvíli boli povolené neosobné omilostenia, ak ste sa naučili zabudnúť nainštalovať modul! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі iracionálne rіvnyannya), tse nie naraz zaglyuvatymosya. Pozrime sa jasnejšie na šprot dňa:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| x+2 \vpravo|\ge \ľavo| 1-2x \vpravo|\]
Riešenie. Opäť rešpektujeme dve slová:
- Tse nie je suvora nerіvnіst. Krapki na číselnej osi bude zlomený.
- Útočné stránky nekonzistentnosti nie sú jasne viditeľné (sila modulu: $ \ vľavo | f \ vľavo (x \ vpravo) \ vpravo | \ ge 0 $).
Môžeme tiež vyrovnať urážlivé časti nerovností, aby sme sa zbavili modulu a odstránili úlohu pomocou najlepšej metódy intervalov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(\vľavo| x+2 \vpravo| \vpravo))^(2))\ge ((\vľavo(\vľavo| 1-2x \vpravo| \vpravo) )^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\end(zarovnať)\]
Vo zvyšku fázy som trochu podvádzal: zmena postupnosti doplnkov, skrátenie parity modulu (v skutočnosti vynásobením $1-2x$ -1).
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2x-1 \vpravo))^(2))-((\vľavo(x+2 \vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) vpravo)\vpravo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Virishuemo metódou intervalov. Poďme od nerovností k zarovnaniu:
\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-3 \vpravo)\ľavý(3x+1 \vpravo)=0; \&(x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(zarovnať)\]
Zdá sa, že koreň sa nachádza na číselnej osi. Ešte raz: fúzy od farbív, čriepky nervozity - nie Suvora!
Zvіlnennya podľa znamenia modulu
Hádam pre tých, ktorí sú obzvlášť nekompromisní: zo zvyšku nerovností berieme znaky, ako keby bula bola zapísaná pred prechodom na rovnú. Aj zafarbovuyemo región, yakі potrebovať v rovnakej nerovnosti. Náš vipad má $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
No, zo všetkého. Úloha sa skončila.
Návrh: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \vpravo|\]
Riešenie. Robimo rovnako. Nekomentujem - len sa čudovať sledu akcií.
Zoberme si štvorec:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le (\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \vpravo| \vpravo))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \vpravo)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Intervalová metóda:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Šípka vpravo x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\šípka doprava D=16-40 \lt 0\šípka doprava \varnothing. \\end(zarovnať)\]
Iba jeden koreň na číselnej osi:
Vidpovid - tsiliy interval
Návrh: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Malý rešpekt k zvyšku hlavy. Akoby som presne rešpektoval jedného z mojich študentov, urážky podmodulu sú v tejto nervozite jednoznačne pozitívne, takže znak modulu možno vynechať bez ujmy na zdraví.
Ale tse už zovsіm іnshiy rіven razdumіv, že іnshі pіdkhіd yogo možno mentálne nazvať metódou nasledkіv. O novom v okremou urotsi. A teraz prejdime k poslednej časti dnešnej lekcie, ktorou je univerzálny algoritmus, ktorý sa praktizuje večne. Navit teda, ak by sa všetci tí vpredu ukázali ako bezmocní.
4. Metóda pre výpočet možností
A prečo všetky priyomi nepomáhajú? Ako nerovnomernosť nespôsobia neviditeľné chvosty, ako sa nedá do modulu vojsť, ako sa dá spustiť?
Potom na scénu vstupuje veľké delostrelectvo všetkej matematiky – metóda sčítania. Stovky nezrovnalostí z modulu vyzerajú takto:
- Zapíšte si všetky pіdmodulnі vrazi a prirovnajte ich k nule;
- Rozvyazati otrimani rіvnyannya, že vіznázchiti znaydenі korenі na jednej číselnej priamke;
- Priamo rozіb'єtsya na kіlka dіlyanok, stred takého koženého modulu môže fixovať značku a to je jednoznačne rozkrivаєєtsya;
- Virishiti nerіvnіst na kozhnіy takých dilyanci (môžete sa pozrieť na root-cordoni, otrimani v bode 2 pre nadradenosť). Výsledky združenia - tse i bude vіdpovіd.
No jaka? slabý? Jednoduché! Na dlhú dobu. Pozrime sa prakticky:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| x+2 \vpravo| \lt\left| x-1 \vpravo|+x-\frac(3)(2)\]
Riešenie. Tsya svinstvo nenechajte sa rozčuľovať $ \ left | f\vpravo| \lt g$, $\left| f\vpravo| \gt g$ alebo $\left| f\vpravo| \lt\left| g \right|$, to je v poriadku.
Napíšeme submodulárne virazi, prirovnáme ich k nule a poznáme koreň:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+2=0\šípka doprava x=-2; \& x-1=0\Šípka doprava x=1. \\end(zarovnať)\]
Dokopy máme dva korene, ktoré rozdeľujú číslo rovno do troch grafov, uprostred týchto skinov sa modul jednoznačne odvíja:
Rozdelenie číselného radu nulami submodulárnych funkcií
Pozrime sa na kožu okremo.
1. Dajte $x \lt -2$. Todi uráža pіdmodulnі virazi negatívne, ja vihіdna nerіvnіst prepíšem takto:
\[\začiatok(zarovnanie) & -\vľavo(x+2 \vpravo) \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]
Zdobuli dosit len obmezhennya. Presuňme jogu so zvyškom kvót, ktoré $x \lt -2$:
\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]
Je zrejmé, že zmena $x$ nemôže byť cez noc menšia ako -2, ale väčšia ako 1,5. Pre tento biznis neexistuje žiadne riešenie.
1.1. Okremo sa pozrite na takmer kordón vipadok $x=-2$. Predstavme si toto číslo pri absencii nejednotnosti a overiteľne: prečo je víťazné?
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \vpravo|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing. \\end(zarovnať)\]
Je evidentné, že nás lingvista napálil do neskutočnej nerovnomernosti. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh zle, і $x=-2$ nechodia do vіdpovіd.
2. Teraz dajte $-2 \lt x \lt 1$. Modul knižnice sa už vyvíja s plusom, ale ten pravý je stále s mínusom. Maemo:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\koniec (zarovnanie)\]
Znova to mením pomocou vikidnoy vimogoy:
\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]
Obnovujem prázdne neosobné riešenie, nie sú tam čriepky takých čísel, ktoré sú zároveň menšie ako -2,5 a viac ako -2.
2.1. Obnovujem okremy vipadok: $ x = 1 $. Predstavme si, že výstup je nerovnomerný:
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \ľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=1)) \\ & \left| 3\vpravo| \lt\left| 0 \vpravo|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing. \\end(zarovnať)\]
Podobne ako pri prednom „súkromnom poklese“ číslo $x=1$ zjavne nie je zahrnuté v poklese.
3. Zostávajúci kus rovno: $x \gt 1$. Tu sú všetky moduly zakrivené so znamienkom plus:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \koniec (zarovnanie)\ ]
Znovu premýšľam o množstve externých výmen:
\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\in \left(4,5;+\infty) \správny)\]
No, vezmite si to! Vedeli sme interval, ktorý bude povіddu.
Návrh: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Nasamkinets - jeden rešpekt, ktorý vás možno zachráni pred zlými odpusteniami, keď sú splnené skutočné úlohy:
Virishennya nerіvіvnosti z modulov zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Izolované bodky sa zachytávajú pomalšie. Je pravdepodobnejšie, že sa zachytí tak, že medzi riešeniami (kіnets vіdrіzka) presahujú hranice analyzovaného rozsahu.
Pretože, ako keby kordóny (tieto „súkromné vipadki“ samotné) nevstúpili do stráží, potom mayzhe, spevom, nechoďte k strážcom a oblasti zla - právo vstúpiť do týchto kordónov. І navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh bude vіdpovіdyami.
Pamätajte na to, ak zmeníte svoje rozhodnutie.
A dnešné racionálne nezrovnalosti vo všeobecných obsyazy možno zvrátiť. Presnejšie, virishuvovať môže nielen každý. Pracovať vie málokto.
Kličko
Lekcia Tsey bude ťažká. Podlahy sú zhorst, takže pred koncom jogy je to menej ako Vibran. K tomu vám pred čítaním odporúčam vyčistiť obrazovky žien, čriev, ženských detí a ...
Ten garazd, naozaj všetko je jednoduché. Je možné, že ste si osvojili metódu intervalov (ešte ste ju nezvládli - odporúčam otočiť a prečítať) a naučili ste sa prekonávať nerovnomernosť tvaru $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ bohatý člen alebo doplnkový bohatý člen.
Rešpektujem, že nie je dôležité, aby ste spievali napríklad os takejto hry (pred rečou to skúste na rozcvičku):
\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]
Teraz sú trochsy skladateľné a môžeme sa pozrieť nielen na bohaté pojmy, ale aj na názvy racionálnych zlomkov mysle:
kde $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ sú samotné bohaté výrazy vo forme $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ alebo existuje viac takýchto bohatých výrazov.
Tse i bude racionálny nerіvnіst. Dôležitým momentom je prítomnosť zmeny $x$ u bannermana. Napríklad os racionálnej nerovnosti:
\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \vpravo))\ge 0. \\\koniec (zarovnanie)\]
A tse nie je racionálne, ale zvichaynisinka nerіvnіst, pretože je porušená metódou intervalov:
\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]
V skoku dopredu vám poviem hneď teraz: existujú minimálne dva spôsoby, ako sa vysporiadať s racionálnymi nezrovnalosťami, ale stále je možné dopracovať sa k nám už známej metóde intervalov. Aby sme to dosiahli, poďme najprv zistiť spôsoby, hádať staré fakty, inak nebude nový materiál k ničomu.
Čo potrebujete vedieť
Nie je veľa dôležitých faktov. Správne, potrebujeme menej chotiri.
Skrátené vzorce
Takže, tak: smrad bude pereslіduvaty nás protyag nás shkіlnoї matematický program. Aj ja na univerzite. Potrebujeme veľa dokončiť vzorce, ale nepotrebujeme viac ako toto:
\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\vpravo); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\správny). \\ \end(zarovnať)\]
Rešpektujte zvyšok dvoch vzorcov - súčet súčtu a rozdielu kociek (a nie súčet súčtu maloobchodných cien!). Je ľahké si zapamätať, zapamätať si, že znak prvého oblúka je zbіgaєtsya zі znak vonkajšieho virazі a druhý opačný znak vonkajšieho virazu.
Lineárne zarovnanie
Najjednoduchšie sa rovná tvaru $ax+b=0$, kde $a$ a $b$ sú rovnaké celé čísla, navyše $a\ne 0$. Takáto ekvivalencia je jednoducho obrátená:
\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(zarovnať)\]
Priradím, že mám právo deliť koeficientom $a$, aj keď $a\ne 0$. Tsya vomoga je úplne logická, úlomky za $a=0$ odoberáme os, ktorá:
Po prvé, kto je rovný, nezmení sa o $x$. Zdanlivo to nie je naša chyba bentezhity (ako by sme sa chytili, povedzme, v geometrii a často dojili), no napriek tomu stále nemáme lineárnu rovnosť.
Iným spôsobom, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna vklad menej ako koeficient $ b$. Ak je $b$ nula, potom naše vyrovnanie môže vyzerať ako $0=0$. Tsya žiarlivosť je virna zavzhda; v opačnom prípade je $x$ číslo (znie takto: $x\in \mathbb(R)$). Ak sa koeficient $b$ nerovná nule, potom je víťazná rovnosť $b=0$. neexistuje žiadna odpoveď (zaznamenané $x\in \varnothing$ a čítané "prázdne riešenie prázdne").
Aby ste sa zbavili všetkých týchto záhybov, stačí vziať $a\ne 0$, aby nás vo vzdialených myšlienkach neobklopovali antrochy.
Štvorcové zarovnanie
Uhádnem, ako sa volá štvorcová os:
Tu je levoruch bohatým pojmom ďalšieho kroku, navyše mením $a\ne 0$ (a teraz namiesto štvorcovej ekvalizácie to berieme lineárne). Virishuyutsya tak rivnyannya prostredníctvom diskriminačného:
- Podobne ako $D \gt 0$, máme dva rôzne korene;
- Ak $ D = $ 0, potom bude existovať jeden koreň a ďalší násobok (aká je cena násobnosti a ako sa poistiť na tri trohi života). Alebo možno povedať, že existujú dva rovnaké korene;
- Pre $D \lt 0$ neexistuje koreň a znamienko bohatého výrazu $a((x)^(2))+bx+c$ pre ľubovoľné $x$ je nahradené znamienkom koeficientu $ $. To je do reči dokonca otrepaný fakt, na ktorý zabudnú na rozpo_sti na hodinu algebry.
Samotný koreň je rešpektovaný pre všetko podľa vzorca:
\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]
Zvіdsi, pred prejavom, obmezhennya na diskriminačné. Odmocnina adje zo záporného čísla sa nepoužíva. Keďže koreň bohatých učencov má v hlave motorickú kašu, špeciálne som napísal celú lekciu: čo je koreň v algebre a ako rahuvati - dokonca odporúčam prečítať si ju.
Podії z racionálnych zlomkov
Všetko, čo bolo napísané vyššie, viete, použili metódu intervalov. A os tých, ktoré môžeme analyzovať naraz, nemôžu byť analogické s minulosťou, je úplne nový fakt.
Vymenovanie. Racionálny drіb - tse viraz myseľ
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]
kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú bohaté pojmy.
Je zrejmé, že z takého zlomku je ľahké odstrániť nerovnosť - stačí priradiť znamienko „viac“ alebo „menej“ pravák. Trochu som mi dal viditeľne, scho virishuvati so zavdannya - jeden spokojný, tam je všetko jednoduchšie.
Problémy začínajú, aj keď má človek výrazný šprot takýchto zlomkov. Môžete ich priniesť do spiaceho transparentu – a zároveň je povolené veľké množstvo nápaditých odpustkov.
Preto je pre úspešné dosiahnutie racionálnych rovní potrebné pevne získať dve zručnosti:
- Dekompozícia bohatého pojmu $P\left(x \right)$ na faktory;
- Vlasne, prinášajúce zábery na spiaci transparent.
Ako rozložiť segmenty multiplikátora? Akési jednoduché. Majme bohatého člena mysle
Jogu prirovnávame k nule. Urobíme vyrovnanie $n$-tého kroku:
\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]
Pravdaže, porušili sme hodnotu rovnosti a odobrali sme koreň $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (neposmievajte sa: čím väčší vipadkіv koreň nebude mať viac ako dva). V tomto prípade možno náš výraz bohatý na výstup prepísať takto:
\[\začiatok(zarovnanie) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \vpravo) \end(zarovnať)\]
Odo mňa všetkých! Dávajte pozor: seniorský koeficient $((a)_(n))$ nikde nenájdete - pred okovy pridáme násobiteľ a v prípade potreby ho môžete pridať k tomu, či s tsikh okovy alebo nie ( prax ukazuje, že s $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ stredný koreň mayzhe zavzhdi є zlomky).
manažér. Opýtajte sa Viraza:
\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]
Riešenie. Prvýkrát žasneme nad transparentmi: všetky smrady sú lineárne dvojčlenky a na násobilky nie je čo dať. Takže dajme čísla do násobiteľov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+x-20=\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vľavo(x-\frac(3)(2) \vpravo)\vľavo(x-1 \vpravo)=\vľavo(2x- 3\vpravo)\vľavo(x-1\vpravo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(x-\frac(2)(5) \vpravo)=\vľavo(x +2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo). \\end(zarovnať)\]
Aby som zmenil rešpekt: pre ďalšieho bohatého člena je najvyšší koeficient „2“ pre najnovšiu kapacitu našej schémy naklonený dozadu pred lukom a potom prispejeme k prvému úklonu, úlomky tam boli mimo. .
To isté sa stalo v treťom bohatom oddiele, len je tam iné poradie poskladaných zapletení. Koeficient "−5" v dôsledku zavedenia do iného oblúka (pamätajte: multiplikátor môžete zadať v jednom a iba v jednom oblúku!), čo nás ušetrilo nezrovnalostí spojených s výstrelmi.
Čo sa týka prvého bohatého člena, tam je všetko jednoduché: prvý koreň sa premieša buď štandardne cez diskriminant, alebo pre teóriu Viet.
Obráťme sa na vihіdnogo virazu a prepíšme yogo s číslami rozdelenými na multiplikátory:
\[\začiatok(matica) \frac(\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo))(x-4)-\frac(\vľavo(2x-3 \vpravo)\vľavo( x-1 \vpravo))(2x-3)-\frac(\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo))(x+2)= \\ =\vľavo(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matica)\]
Odporúčanie: $ 5x + 4 $.
Ako bachit, nič skladacie. Málo matematiky pre ročníky 7-8 – to je všetko. Zmysel všetkých premien v tom je polygaє, takže je ľahšie odstrániť skladanie a hrozné zavesenie, čo sa dá ľahko nacvičiť.
Ale, netráp sa tým. Odrazu sa môžeme na úlohu pozrieť vážnejšie.
Ale, rozoberieme to od začiatku, ako vniesť dva zlomky do spiaceho bannera. Algoritmus je veľmi jednoduchý:
- Rozložte bannery na multiplikátory;
- Pozrite sa na prvý banner a pridajte k novému násobiteľa, ktorý má druhý banner, protežte prvý. Otrimany tvir budú spiacim praporom;
- Z'yasuvati, takéto multiplikátory nezachytia dermálne strely, takže bannermani sa vyrovnali ohňu.
Celý algoritmus vám možno bude daný jednoducho textom, bohato napísaným spôsobom. Preto si všetko rozoberieme na konkrétnom príklade.
manažér. Opýtajte sa Viraza:
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]
Riešenie. Takéto ob'єmnі zavdannya lepšie virishuvati diely. Zapisujeme tých, ktorí stoja pri prvom oblúku:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]
Na vіdminu vіd front zavdannya, tu od bannermen všetko nie je tak jednoduché. Dajme to do multiplikátorov šupiek z nich.
Štvorcový trojčlen $((x)^(2))+2x+4$ nemožno vynásobiť, rovnaké zlomky $((x)^(2))+2x+4=0$ nemožno odmocniť (záporný diskriminant). Opúšťame jogu bez zmeny.
Ďalšie znamienko - člen kubického násobenia $((x)^(3))-8$ - s ohľadom na rozdiel kociek a je ľahké ho rozložiť pre vzorce krátkeho násobenia:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \vpravo)\]
Nič viac sa nedá rozdeliť na multiplikátory, črepy v prvom oblúku stoja lineárne binome a v druhom - už poznáme konštrukciu, keďže neexistujú žiadne skutočné korene.
Nareshti, tretí banner je lineárny binárny súbor, ktorý nie je možné rozložiť. V tejto hodnosti bude naša žiarlivosť vyzerať v budúcnosti:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]
Je celkom zrejmé, že $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ bude spoločným menovateľom a zredukovať všetky zlomky na nové jeden, je potrebné vynásobiť prvý zlomok na $\left(x-2 \right)$ a ja zostanem na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Zbavme sa menej, aby sme si priniesli takto:
\[\začiatok(matica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ vpravo))+\frac(((x)^(2))+8)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo)). \\ \end(matica)\]
Vráťte rešpekt k inému riadku: ak už banner svieti, potom. namiesto troch okremikh striel sme napisali jednu skvelu, nie varto, raz sa luk ušetril. Je rýchlejšie napísať pred seba riadok a označiť to, povedzme, pred tretí zlomok, stojace mínus - a nemôžete ísť nikam, ale „visieť“ v číselníku pred lukom. Tse, aby som vás ušetril neosobných odpustení.
Vo zvyšku riadku rozložte čísla na násobiteľoch. Tim je väčší, čo je presný štvorec a opäť si prídeme na pomoc pri vzorcoch rýchleho násobenia. Maemo:
\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Teraz to vyriešime sami ďalším lukom. Tu napíšem len malý verš o ekvivalencii:
\[\begin(matica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((( ( x)^(2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))+\frac(2\cdot \vľavo(x+2 \vpravo))(\vľavo(x-2 \ vpravo) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x -2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \ správny). \\ \end(matica)\]
Vráťme sa k poslednému dňu a žasneme nad televíziou:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 ) \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))=\frac(1)(x+2)\]
Zhoda: \[\frac(1)(x+2)\].
Zmysel tejto úlohy je rovnaký, ako vpredu: ukážte, koľko si môžete racionálne pýtať, ako ísť s rozumom do ďalšej transformácie.
Ak už všetko viete, prejdime k hlavnej téme dnešnej lekcie – kulminácii prestrelených racionálnych nerovností. Tim viac, po takejto príprave na vlastnú nervozitu budeš čľapkať ako hrniec.
Hlavný spôsob, ako prekonať racionálne nezrovnalosti
Іsnuє yak aspoň dva kroky k razv'yazannya racionálne nerіvіvnosti. V skratke sa pozrieme na jeden z nich – ten, ktorý je široko akceptovaný školským kurzom matematiky.
Ale, chrbtom k sebe, výrazne dôležitý detail. Všetky nezrovnalosti sú rozdelené do dvoch typov:
- Suvori: $f\left(x \right) \gt 0$ alebo $f\left(x \right) \lt 0$;
- Neobmedzené: $f\left(x\right)\ge 0$ alebo $f\left(x \right)\le 0$.
Nezrovnalosti iného typu sa dajú ľahko zredukovať na prvé, rovnako ako žiarlivosť:
Nie je moc "dodatočné" $f\left(x \right)=0$ vyrobiť takú neprijateľnú vec, akou je farbovanie bodov - spoznali sme ich v intervalovej metóde. V opačnom prípade neexistujú žiadne rozdiely medzi striktnými a neprísnymi nezrovnalosťami, takže sa pozrime na univerzálny algoritmus:
- Vyberte všetky nenulové prvky z jednej strany vo forme nerovností. Napríklad levoruch;
- Prineste všetky zlomky na štandardný banner (keďže sa takéto zlomky javia ako šprot), prineste podobné. Potom, pokiaľ je to možné, rozložíme na číselník a banner na násobilkách. Prečo teda inak odoberáme nerovnomernosť tvaru $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - znak nerovnomernosti.
- Nastavme číslo na nulu: $ P \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja a otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... späť na nulu: $Q \left(x \right)\ne 0$. Samozrejmosťou je, že rozdiel sa rovná $Q\left(x \right)=0$ a berieme odmocninu $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (nie je pravdepodobné, že v referenčných súboroch takéhoto koreňa budú viac ako tri).
- Všetky korene (a s hviezdami a bez) sú uvažované na jednej číselnej priamke, navyše koreň bez hviezd je farbovanizovaný as hviezdami - vo vakolota.
- Umiestňujeme znamienka „plus“ a „mínus“, tieto intervaly si vyberieme, ako potrebujeme. Ak nerovnosť môže vyzerať $f\left(x \right) \gt 0$, potom sa intervaly označené "plus" budú opakovať. Ak $f\left(x \right) \lt 0$, potom nás zaujímajú intervaly s mínusmi.
Prax ukazuje, že najťažšie je vyvolať odseky 2 a 4 - kompetentnú transformáciu a správne umiestnenie čísel v poradí rastu. Po zvyšok času buďte úctivejší: značky vždy umiestňujeme do špirály zvyšok nerovnosti, zaznamenaný pred prechodom do rovnej. Toto je univerzálne pravidlo, ktoré je horšie ako metóda intervalov.
Rovnaká schéma є. Poďme sa zamestnať.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]
Riešenie. Máme pred sebou úplnú nevyhnutnosť tvaru $f\left(x \right) \lt 0$. Je zrejmé, že body 1 a 2 našej schémy sú už zlé: všetky prvky nerovností vyberá levoruch, na spiaci banner nie je potrebné nič priniesť. Prejdime k tretiemu odseku.
Prirovnajme číslo k nule:
\[\begin(align) & x-3=0; \&x=3. \end(align)\]
І banner:
\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(zarovnať)\]
Na každú oblasť sa niekto nalepí a aj pre predstavu je potrebné zapísať $x+7\ne 0$, aby pomohla ODZ (nedá sa deliť na nulu, os je všetko). Ale potom sme nám dali škvrnky, ktoré pochádzali z bannera, takže keď si už skladáte záložky, nevarto - píšte znak rovnocennosti a nebojte sa. Za cenu sa nedá nič znížiť.
Štvrtý bod. Je dôležité odobrať koreň na číselnej osi:
Fúzy vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora
Vzdávajte úctu: všetky body vikoloty. A tu je to už nepodstatné: z číselníka pochádzali body z transparentu.
Čudujeme sa znameniam. Zoberme si číslo $((x)_(0)) \gt 3$. Napríklad $((x)_(0))=100$ (prípadne s rovnakým úspechom môžete vziať $((x)_(0))=3,1$ alebo $((x)_(0) ) = 1 000 000 USD). Berieme:
Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv máme pozitívnu oblasť. A pri prechode cez kožu koreňa sa znamienko zmení (takže nezačnete, ale je to lepšie). Prejdime k piatemu bodu: umiestnime značky a vyberieme potrebu:
Obraciame sa na zvyšok nervozity, ako bula pred rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, čas sa kráti, aj keď sa nebili každý deň.
Oskіlki potrebuje odstrániť nerovnomernosť tvaru $f\left(x \right) \lt 0$, vytieňoval som interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - v jednotlivých hodnotách so znamienkom „mínus“. Tse є vіdpovіd.
Návrh: $x\in \left(-7;3 \right)$
Odo mňa všetkých! Hiba ťažké? Nie, nie je to ťažké. Pravda, úloha bola jednoduchšia. Zároveň dokážeme utriediť neplechu a pozrieť sa na „záludnú“ nezrovnalosť. Na druhej strane už takéto prezentácie nebudem dávať – len vyzdvihnem kľúčové momenty. Zagalom, zariaďme jogu tak, aby bola vyhotovená na nezávislom robotickom chi іspіtі.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]
Riešenie. Nezaškodí vidieť $ f \ vľavo (x \ vpravo) \ ge 0 $. Všetky nenulové prvky sú vybrané zlé, neexistujú žiadne odlišné znaky. Poďme do Rivnyanu.
dátum:
\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(7x+1 \vpravo)\ľavý(11x+2 \vpravo)=0 \\ & 7x+1=0\šípka doprava ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\šípka doprava ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(zarovnať)\]
Banner:
\[\začiatok(zarovnanie) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(zarovnať)\]
Neviem, v čom bol problém, keď som to nastavoval, ale koreň nešiel oveľa lepšie: bolo by dôležité umiestniť ich na číselnú priamku. І aj s koreňom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ je všetko viac-menej jasné (existuje len jedno kladné číslo - bude pravotočivé), potom $ ((x)_(1) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$
Z'yasuvati tse je možné napríklad takto:
\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ) ))\]
Prepáčte, nemusím vysvetľovať, prečo je číselný rozdiel $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Ako je to potrebné, odporúčam hádať, ako víťazné kutilstvo so zlomkami.
A máme na mysli všetky tri korene na číselnej priamke:
Krapki z číselnej knihy zafarbovanie, z transparentu - vikolot
Umiestňujeme značky. Môžete napríklad vziať $((x)_(0))=1$ a zmeniť znamienko každého bodu:
\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(x \vpravo)=\frac(\vľavo(7x+1 \vpravo)\vľavo(11x+2 \vpravo))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]
Zvyšok nervozity pred rovným bol $f\left(x \right)\ge 0$, takže musíme kliknúť na znamienko plus.
Odobrali dva multiplikátory: jeden je významný dvojnásobok a druhý je priame skóre na číselnej osi.
Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$
Je dôležité rešpektovať počet čísel, ktoré predstavujeme pre znamienko na správnom intervale. Absolútne neobov'yazkovo podstavlyat číslo v blízkosti pravého koreňa. Môžete si vziať milliardi alebo to nazvať „plus-nedôveryhodnosť“ - v každom prípade je znak bohatého člena, ktorý stojí pri oblúku, numeralista alebo bannerman, označený výlučne znakom seniorského koeficientu.
Pozrime sa ešte raz na funkciu $f\left(x \right)$ pre zvyšok nerovností:
Tento záznam má tri bohaté pojmy:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((P)_(1))\vľavo(x \vpravo)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \&Q\left(x\right) = 13x-4. \end(align)\]
Všetky samohlásky sú lineárne binomy a všetky vyššie koeficienty (čísla 7, 11 a 13) sú kladné. Neskôr, pri zdôvodňovaní oblúka veľkých čísel, budú samotné bohaté divízie pozitívne.
Tse môže byť postavený povrchne skladací, trochu na chrbte, ak pochopíme, že je to ľahké. Vo vážnych nezrovnalostiach nám nahradenie „plus-neúplnosti“ umožní meniť znamienka rýchlejšie, nižšie ako štandardné $((x)_(0))=100$.
S takýmito úlohami onedlho skončíme. Pozrime sa na alternatívny spôsob rozuzlenia dribno-racionálnych nezrovnalostí.
Alternatívny spôsob
Túto recepciu mi navrhol jeden z mojich študentov. Sám som ho nijako nerešpektoval, ale prax ukázala, že veľa učenia je efektívnejšie pri zvládaní nervozity takýmto spôsobom.
Otzhe, vyhіdnі danі і і і sami. Je potrebné odstrániť výstrel-racionálny nesúlad:
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]
Zamyslime sa: prečo je bohatý výraz $Q\left(x \right)$ "vyšší" ako bohatý výraz $P\left(x \right)$? Ako sa máme pozerať na väčšie skupiny koreňov (s hviezdou alebo bez hviezdy), myslieť na bodky atď.? Všetko je jednoduché: zlomok má určenú oblasť, je to dobré pre každý drib, ktorý môže mať menší zmysel, ak je to znak nuly.
V iných ohľadoch to medzi čitateľom a bannermanom nie je jednoduché: jednoducho to prirovnáme k nule, vtipkujeme o odmocni, potom to myslíme na číselnej priamke. Tak prečo nie nahradiť výstrel riadok (v skutočnosti - znamenie rozpodіlu) s najväčšími multiplikátormi, a všetky ODZ pomôcť predpísať pre zdanlivo okremoi nervozita? Napríklad takto:
\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]
Rešpektovať: takýto pidhіd môže zavolať úlohu na metódu intervalov, ale v tomto prípade nie je možné skomplikovať rozhodnutie. Aj tak môžeme bohatý výraz $Q\left(x \right)$ povýšiť na nulu.
Pozrime sa, ako to funguje na skutočných úlohách.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]
Riešenie. Opäť prejdime k intervalovej metóde:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\šípka doprava \ľavá\( \začiatok(zarovnanie) & \ľavá(x+8 \vpravo)\ľavá(x-11 \vpravo) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]
Prvá nerovnosť je elementárna. Stačí prirovnať kožný oblúk k nule:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+8=0\šípka doprava ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Šípka doprava ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]
S ďalším nerivnistyu je všetko jednoduché:
Na číselnej osi priradíme body $((x)_(1))$ a $((x)_(2))$. Usі smrdí vikolotі, skіlki nerіvnіst suvore:
Pravá škvrna sa objavila ako dievčina. Tse je v pohode.Rešpektujte bod $x=11$. Vyjdite ako „dvіchi vykolot“: z jednej strany sme vikolyuєmo її cez závažnosť nervozity, z druhej strany - cez dodatočnú silu ODZ.
Daj si nejakú vipadku, tse bude len do bodky porazený. To je dôvod, prečo umiestňujeme značky nerovností $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - zostaňte, ako sme bojovali pred tým, ako sme sa začali virishuvati rovnať:
Šteklia nás pozitívne oblasti, ale môžeme vidieť nerovnováhu v mysli $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Na zapisovanie vіdpovіd už nebol čas.
Vidpovid. $x\v \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$
Na príklade tohto rozhodnutia vás chcem strážiť v prítomnosti širokého pardonu medzi študentmi stredného veku. A pre seba: neotvárajte oblúky nezrovnalostí! Navpaki, pokúste sa všetko šíriť na multiplikátoroch - je lepšie požiadať o riešenie a zbaviť vás neosobných problémov.
Teraz skúsme niečo viac skladané.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]
Riešenie. Nezaškodí pozrieť sa $ f \ vľavo (x \ vpravo) \ le 0 $, takže tu treba úctivo dodržiavať zafarbované body.
Prejdime k intervalovej metóde:
\[\left\( \begin(zarovnať) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nie 0. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]
Prejdime k zarovnaniu:
\[\začiatok(zarovnať) & \vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0 \\ & 2x-13=0\šípka vpravo ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Šípka doprava((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\šípka doprava ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(zarovnať)\]
Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:
Všetky odčítané korene sú zobrazené na číselnej osi:
Ako bod naraz a vikolot, a farbovan, rešpektuje ho vikolotViem, že dva body sa "prekrývajú" jeden na jeden - je to normálne, takže si buďte istý. Je dôležité, menej rozumné, aký bod, menovaný naraz za vikoloty a brázdený, vlastne vikoloty. Tobto. „Vikolyuvannya“ je silné diy, nižšie „zafarbovannya“.
Je úplne logické, aj keď si vyberáme body, radi si k znaku funkcie pridajte, ale sami sa šou nezúčastňujte. A tak nám to číslo v určitom momente prestane dominovať (napríklad sa nedostane na ODZ), nadávame naň až do konca úlohy.
Zagalom, filozofovať. Umiestňujeme značky a intervaly zafarbovuyemo і, ako je označené znamienkom mínus:
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.
Chcem obnoviť vašu úctu k veci:
\[\vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0\]
Ešte raz: nikdy neotvárajte náruč takým rovným! Radšej si zbaľte kufre. Pamätajte: dobutok sa rovná nule, ak chcete, aby sa jeden z násobiteľov rovnal nule. Otzhe, Dane Rivnyannya sa jednoducho „roztiahla“ do ozdôb, akoby pred nami porušovali pravidlá.
Tvar mnohopočetnosti koreňov
Z predchádzajúcich dní si možno ľahko zapamätať, že najväčšie skladanie sa stáva tým najnekonzistentnejším, pre toho, kto v nich musí zašívať škvrnky.
Ale vo svete je ešte viac zla – je to násobok koreňa v nervozite. Tu sú stehy už privedené nie za zafarbovanými bodmi tam - tu sa znak nerovnosti nemusí meniť pri prechode cez body.
V tejto oblasti sme zatiaľ nič podobné nevideli (aj keď podobný problém bol často zaznamenaný aj pri intervalovej metóde). Preto uvádzame novú definíciu:
Vymenovanie. Rovnaký koreň $((\left(x-a \right))^(n))=0$ sa rovná $x=a$ a nazýva sa koreňom $n$-násobnosti.
Vlasne, nedá sa nám presne povedať hodnota multiplicity. Je dôležité, či sú spárované alebo nespárované, celé číslo je $n$. Pretože:
- Keďže $x=a$ je koreňom násobnosti páru, znamienko funkcie sa pri prechode cez ňu nemení;
- Po prvé, keďže $x=a$ je koreňom nepárovej násobnosti, zmení sa znamienko funkcie.
So súkromným pohľadom na koreň nepárovej mnohosti pred ňou sa pozrel na túto školu: je tam skrížená mnohosť starých singlov.
ja viac. Pred ním, ako keby sme boli virishuvati zavdannya, chcú obrátiť svoju úctu k jednej jemnosti, ako by to bolo zrejmé pre uznávaného pedagóga, ale ohromený bohatých pochatkіvtsіv. A pre seba:
Koreň násobnosti $ n $ je zodpovedný len za pád, ak sa v tomto kroku vytvorí celá násobnosť: $ ((\ vľavo (xa \ vpravo)) ^ (n)) $, a nie $ \ vľavo (((x) ^ ( n ))-a\vpravo)$.
Ešte raz: oblúk $((\left(xa \right))^(n))$ nám dáva koreň $x=a$ násobnosti $n$ a os oblúka $\left(((x) )^(n)) -a \right)$ inak, ako sa často používa, $(a-((x)^(n)))$ nám dáva koreň (inak dva korene, napríklad $n$ - chlap) prvej násobnosti nezávisle od toho, čo i $n$.
Úroveň:
\[((\vľavo(x-3 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=3\vľavo(5k \vpravo)\]
Tu je všetko jasné: celý luk bol vedený na piaty krok, takže pri výstupe sme odobrali koreň piateho kroku. A naraz:
\[\vľavo(((x)^(2))-4 \vpravo)=0\šípka vpravo ((x)^(2))=4\šípka vpravo x=\pm 2\]
Odniesli sme dva korene, ale urážky smradu môžu byť prvou mnohonásobnosťou. Abo os viac:
\[\vľavo(((x)^(10))-1024 \right)=0\šípka vpravo ((x)^(10))=1024\šípka vpravo x=\pm 2\]
Nech ťa neporazím do desiateho kroku. Golovne, scho 10 je frajerské číslo, vo výstupe môžu byť dva korene a smrad môže byť opäť prvým násobkom.
Zagalom buď úctivý: mnohorakosť viny je len jedna, ak kroky sú vyvedené do celého oblúka a nie menej na zmenu.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) ) \vpravo))^(5)))\ge 0\]
Riešenie. Skúsme to alternatívnym spôsobom cez prechod od súkromného k tvorivému:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\správny.\]
Vyberáme s prvou nerovnosťou metódou intervalov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \vpravo))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\šípka doprava x=0\vľavo(2k \vpravo); \\ & ((\vľavo(6-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x=6\vľavo(3k \vpravo); \\&x+4=0\Šípka doprava x=-4; \\ & ((\vľavo(x+7 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=-7\vľavo(5k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]
Dodatkovo virishuemo kamarát nervozita. V skutočnosti sme už spievali jogo, ale ak sme do rozhodnutia nepristúpili, je lepšie spievať jogo znova:
\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]
Aby som vrátil rešpekt: vo zvyšku nervozity nie sú žiadne denné násobky. Správne: aký rozdiel, koľkokrát vyhrať bod $x=-7$ na číselnej osi? Chcieť raz, chcieť päťkrát – výsledok bude rovnaký: posledný bod.
Všetko, čo sme odobrali, je významné na číselnej priamke:
Ako som povedal, bod $x=-7$ vo výsledku bude označený. Mnohopočetnosť usporiadaní má prekonať nerovnomernosť spôsobov intervalov.
Zabudol som umiestniť značky:
Oskіlki bodka $x=0$ je koreň párovej násobnosti, znamienko pre prechod sa nemení. Ostatné body môžu mať nepárovú násobnosť a všetko je s nimi jednoduché.
Vidpovid. $x\v \ľavo(-\infty ;-7 \vpravo)\veľký pohár \ľavý[ -4;6 \vpravo]$
Znova vzdávajte úctu $x=0$. Cez dvojicu sa obviňuje mnohopočetnosť cicavi efektu: levoruch v ňom je celý vypchatý, pravák je rovnaký, práve ten bod je úplne vypchatý.
Pripomíname, že na nahrávanie zvuku nie je potrebné hodinu zvierať vodou. Tobto. nemusíte nič písať na kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (ak chcete formálne, bolo by to správne). Okamžite napíšeme $x\in \left[ -4;6 \right]$.
Takéto efekty sú menej možné pri multiplicite koreňových párov. I v postupujúcom velenie mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" tsgogo efekt. Si pripravený?
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]
Riešenie. Tentoraz postupujeme podľa štandardnej schémy. Prirovnajme číslo k nule:
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(x-3 \vpravo))^(4))\vľavo(x-4 \vpravo)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \& x-4 = 0 \ Šípka doprava ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(zarovnať)\]
І banner:
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))\vľavo(7x-10-((x)^(2)) \vpravo)=0; \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\šípka doprava x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(zarovnať)\]
Oscilki mi virishuemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, koreň banneru (ako znirochki) bude bitý a od číslovky - zafarbované.
Umiestnili sme značky a šrafované oblasti označené „plus“:
Krapka $x = $3 - zateplená. Tse časť vіdpovіdі
Predtým, ako zapísať zvyškový názor, úctivo sa pozrite na obrázok:
- Krapka $x=1$ má pár násobkov, ale samú vikolu. Tiež, ak náhodou máte dvojposchodový: musíte napísať $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nie $x\in \ left(-\ infty ;2\right)$.
- Krapka $x=3$ sa dá aj znásobiť і, keď je vypchatá. Usporiadanie nápisov na potvrdenie, že u nás je pri moci samotný bod, ale krok levoruch-vpravo - sme vtiahnutí do kraja, keďže rozhodne nevládzeme. Takéto body sa nazývajú izolované a sú zapísané ako $x\in \left\( 3 \right\)$.
Zjednocujeme všetky otrimani shmatochki vo veľkom počte a zapisujeme dôkazy.
Návrh: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Vymenovanie. Virishiti nerіvnіst - podlý poznať neosobný úspech jogového riešenia, alebo priniesť to, čo je neosobné prázdne.
Bolo by dané b: čo tu môže byť nerozumné? To je v tej rieke, že neosobné sa dá položiť iným spôsobom. Zapíšme si to znova až do konca dňa:
Čítajte doslova, čo je napísané. Zmeňte „iks“ tak, aby nikomu veľa neľahlo, aby ste spolu chodili von (ikona „U“) chotyroh okremih veľa:
- Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, čo doslovne znamená "všetky čísla menšie ako jedna, ale nie jedno samotné";
- Interval $ \ vľavo (1; 2 \ vpravo) $, potom. „Všetky čísla sú medzi 1 a 2, ale nie samotné čísla 1 a 2“;
- Anonymné $ \ vľavo \ (3 \ vpravo \) $, ktoré sa sčítava od jedného alebo jedného čísla - tri;
- Interval $ \ vľavo [4; 5 \ right) $, aby sa pomstili všetky čísla medzi 4 a 5, ako aj samotné štyri, ale nie päť.
Zaujímavosťou je tu tretí bod. Na vіdmіnu vіd іd іnvalіv, іkі nastaviť nespočetné množiny čísel і zriedka označíte medzi іх іх množinami, bez $\left\(3\right\)$ nastavené striktne jedno číslo ako spôsob re-arrahuvannya.
Aby sme pochopili, že my sami prepíšeme konkrétne čísla, ktoré idú až k násobku (a nie sú nastavené medzi tieto dva), oblúky sú víťazné. Napríklad zápis $ \ vľavo \ (1; 2 \ vpravo \) $ znamená sám osebe „násobiteľ, ktorý sa sčítava z dvoch čísel: 1 a 2“, ale nie je to isté ako 1 až 2. , nemýľ si svoje chápanie.
Skladacie pravidlo násobkov
No a na záver dnešnej lekcie tri prsty od Pavla Berdova.
Ctení učenci už spievali: a čo bude, ako v kalendári a zástave, objaví sa ten istý koreň? Takže os, pratsyuє také pravidlo:
Násobnosť toho istého koreňa sa sčítava. počkaj Koreň Navіt yakscho tse je zapísaný v číselníku a na banneri.
Niekedy je lepšie virishuvati, hovoriť nižšie. K tomu veríme nasledujúcej úlohe:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \vpravo))\ge 0\]
\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(zarovnať)\]
Zatiaľ nič zvláštne. Prirovnajte banner k nule:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\šípka doprava x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\šípka doprava x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(zarovnať)\]
Odhalia sa dva rovnaké korene: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Urážlivé množstvo mayut pershu. Tiež ich nahradíme jedným koreňom $x_(4)^(*)=-2$, ale aj násobkom 1+1=2.
Okrem toho existujú stále rovnaké korene: $((x)_(2))=-4$ a $x_(2)^(*)=-4$. Smrad prvej multiplicity, ktorá bude zbavená $x_(2)^(*)=-4$ multiplicita 1+1=2.
Aby sme vzbudili rešpekt: v oboch vipadkách sme sa pripravili o samotný starý koreň a z pohľadu sme vyhodili farbowsky. To je dôvod, prečo sa dostali na začiatok hodiny: je to ako bod naraz, a bolo to zbité a bolo to prd, všetci sme na tom rovnako.
Výsledkom je, že máme korene є chotiri, navyše sa objavili všetky vikoloty:
\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]
Výrazne їх na číselnej osi s upravenou násobnosťou:
Umiestňujeme značky a oblasti zafarbovuyemo, ktoré nás volajú:
Fúzy. Každodenné izolované body a iné problémy. Môžete napísať svoj názor.
Vidpovid. $x\v \ľavo(-\infty ;-7 \vpravo)\bigcup \left(4;+\infty \vpravo)$.
Pravidlo mnohosti
Niekedy sa situácia stáva ešte neprijateľnejšou: rovnosť, ktorá môže byť násobkom odmocniny, je sama privedená k rovnakému kroku. S tým sa mení mnohosť všetkých vonkajších koreňov.
Takýto zvuk je počuť len zriedka, navyše neexistujú žiadne dôkazy o podobných úlohách. A pravidlo je toto:
S vyrovnaním krokov $n$ sa tiež zvýši početnosť všetkých koreňov joga $n$ krát.
Inými slovami, kroky na krokoch sa vynásobia na množstvo na tomto kroku. Poďme sa pozrieť na pravidlo v praxi:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]
Riešenie. Prirovnajme číslo k nule:
Tvir sa rovná nule, ak sa požaduje, aby sa jeden z multiplikátorov rovnal nule. S prvým násobiteľom, ktorý som zistil: $ x = 0 $. A os spôsobila problémy:
\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vľavo (2k \vpravo)\vľavo (2k \vpravo) \ \ & ((x)_(2))=3\vľavo (4k \vpravo) \\ \end(zarovnať)\]
Rovnako ako Bachimo, rovná sa $((x)^(2))-6x+9=0$ môže mať jeden koreň inej násobnosti: $x=3$. Dajme si všetci pozor, aby sme sa priblížili k námestiu. Potom sa násobnosť koreňa zmení na $2\cdot 2=4$, čo sme zapísali s verdiktom.
\[((\vľavo(x-4 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=4\vľavo(5k \vpravo)\]
S transparentom rovnakých každodenných problémov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0; \\ & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=2\vľavo(3k \vpravo); \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(2)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]
Na súčte sme mali päť bodiek: dve vikoloty a tri farbovany. Neexistujú žiadne obavy z koreňa v číselnej knihe a znamenníku, je to jednoducho viditeľné na číselnej priamke:
Umiestňujeme značky s vylepšenými násobkami a zafarbovuєmo intervalmi, ktoré nás volajú:
Poznám jeden izolovaný bod a jeden vicolot
Prostredníctvom koreňa párovej násobnosti bolo opäť odstránených niekoľko „neštandardných“ prvkov. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ namiesto $x\in \left[ 0;2 \right)$ a bod $ x je tiež izolovaný \v \vľavo\(3\vpravo\)$.
Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Yak bachite, nie je to také zložité. Golovne - rešpekt. Zvyšok lekcie venovania sa reinkarnáciám - Tim, ako sme diskutovali na samom klase.
Pretvarovanie prednej časti
Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, nemožno nazvať skladaním. Avšak, na vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, tu sa to stane zasosuvati navchik z teorії racionálnyh drobіv — razkladannja na mul'tipliers a brіnnogo znamennik.
Podrobne sme rozobrali jedlo pre klas dnešnej lekcie. Ak nerozumiete, čomu rozumiete, o čom je reč, odporúčam obrátiť sa a zopakovať. Do toho nie je zmysel vtesnať metódy a rozlúštenie nezrovnalostí, akoby ste sa „vznášali“ na prerobených záberoch.
Doma, pred rečou, bude tiež veľa podobných úloh. Smrad viny až do konca pidrozdilu. A tam vás skontrolujú aj netriviálne aplikácie. Ale, budeš v kabínke, ale teraz poďme vyriešiť pár takýchto nezrovnalostí.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]
Riešenie. Posun všetkého doľava:
\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]
Prenesie sa na dvojitý transparent, otvárajú sa oblúky a do číselnej knihy sa prinesú podobné dodanky:
\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(x\cbodka x)(\vľavo(x-1 \vpravo)\cbodka x)-\frac(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x-1 \ ) vpravo))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\vľavo(x-1 \vpravo))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\vľavo (x-1 \vpravo))\le 0. \\\end(zarovnať)\]
Teraz máme pred sebou klasický zlomkovo-racionálny nerіvnіst, vyshennya yakoї už nie je ťažké. Jogu cvičím alternatívnou metódou cez metódu intervalov:
\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(3x-2 \vpravo)\cbodka x\cbodka \ľavý(x-1 \vpravo)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(zarovnať)\]
Nezabudnite na oplotenie, ktoré pochádza z transparentu:
Všetky čísla sú uvedené a vymenené na číselnej priamke:
Fúzy sú koreňom prvej mnohosti. Žiadne problémy. Len sme umiestnili značky, ktoré región pre nás potrebuje:
To je všetko. Môžete napísať svoj názor.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.
Zrozumіlo, tse buv zovsіm len zadok. Odrazu sa môžeme na úlohu pozrieť vážnejšie. І na prejav, rozpoltený tsgogo zavdannya tsіlkom vіdpovidaє nezávislé a riadiace roboty z ієї tí v 8 triede.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]
Riešenie. Posun všetkého doľava:
\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]
Predtým, ako priniesť urážlivé zlomky na dvojitý banner, rozložíme tieto bannery do násobiteľov. Raptom vylizut tie iste oblúky? S prvým bannerom je to jednoduché:
\[((x)^(2))+8x-9=\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\]
S ostatnými troch zložený. Neváhajte zaviesť multiplikátor-konštantu do tohto oblúka, miznúceho drivu. Pamätajte si: ak máte bohatý pojem v počte koeficientov, je to veľký imovirnista, pretože je rozložený v násobkoch matky v počte koeficientov (naozaj to tak bude, na mrknutie vipadkiv, ak diskriminant je iracionálny).
\[\začiatok(zarovnanie) & 3((x)^(2))-5x+2=3\ľavý (x-1 \vpravo)\ľavý (x-\frac(2)(3) \vpravo)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(zarovnať)\]
Jak bachimo, є luk: $ \ vľavo (x-1 \ vpravo) $. Obraciame sa na nervozitu a vyvolávame urážlivé zlomky do dvojitého transparentu:
\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(1)(\ľavý(x-1 \vpravo)\ľavý(x+9 \vpravo))-\frac(1)(\ľavý(x-1 \vpravo)\ vľavo(3x-2\vpravo))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right ) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\vľavo(3x-2 \vpravo))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(zarovnať)\]
Prirovnajte banner k nule:
\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-1 \vpravo)\ľavý(x+9 \vpravo)\ľavý(3x-2 \vpravo)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( zarovnať)\]
Každodenné multiplicity a zbіgayutsya korene. Rovnej čiare priradíme niekoľko čísel:
Umiestňujeme značky:
Napíšme dôkazy.
Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ vpravo) $.
Fúzy! Takto a potom prečítajte do riadku.
