Zəngin funksiya dəyəri 4 x 3. Funksiya dəyəri sahəsi (daha çox funksiya dəyəri). Lazımi biliklərin dərk edilməsi və tətbiqi. Funksiya qiymətlərinin sahələrini bilmə yolları

D(f)- o mənalar, necə mübahisə edə bilərsən, tobto. funksiyanın əhatə dairəsi.

E(f)- həmin mənalar, funksiyanı necə adlandırmaq olar, belə. şəxsi olmayan funksiya dəyəri.

Funksiya qiymətlərinin sahələrini bilmə yolları.

funksiyanın qatlanan arqumentlərinin son qiyməti;

qiymətləndirmə/kordon metodu;

gücün qalibiyyəti, funksiyanın davamlılığı və monotonluğu;

vikoristannya pokhіdnoi;

funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinin seçilməsi;

qrafik üsul;

parametr sorğusu üsulu;

tərs funksiya üsulu.

Gəlin onların əməllərinə baxaq.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalniy pidxid qeyri-şəxs funksiyasının dəyərinə, kəsilməyən f(x) funksiyasının dəyəri təyin sahəsində f(x) funksiyasının ən böyük və ən kiçik dəyərinə bərabərdir ( yaxud onlardan birinin səhv olmadığını sübut etməkdə).

Bir baxışda funksiyanın şəxsi dəyərini bilmək lazımdır vіdrіzka üzərində:

f "(x) funksiyasının dəqiq qiymətini bilmək;

f(x) funksiyasının kritik nöqtələrini bilmək və verilmiş ip üzərində uzanmaq üçün onlardan olanları seçmək;

kəsilmənin uclarında və seçilmiş kritik nöqtələrdə funksiyanın qiymətini hesablamaq;

məlum dəyərlər arasında ən kiçik və ən əhəmiyyətlisini seçin;

Bu dəyərlər arasında funksiyanın dəyərini qoymaq zəngindir.

Təyin edilmiş funksiyanın əhatə dairəsi nədir? interval, sonra sxem özü qalib gəlir və sonra dövrün sonundakı dəyərlər intervalın sonuna qədər həyata keçirilən arqumentlə funksiyalar arasında uyğunlaşdırılır. Aralarındakı mənalar şəxssiz bir mənaya girmir.

İnter/qiymətləndirmə metodu

Funksiya dəyərinin çarpanının dəyəri üçün əvvəlcə arqumentin şəxsi dəyərini bilirik, sonra isə funksiyanın funksiyasının ən az əhəmiyyətli qiymətini tapırıq. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Sahənin mahiyyəti alt və heyvanın fasiləsiz funksiyasının qiymətləndirilməsində və qiymətləndirmələrin aşağı və yuxarı sərhədinin funksiyasının çatmasının sübutundadır. Şəxsiyyətsizliyin hər hansı bir dəyişməsi ilə, aşağı aralıq qiymətləndirmədən yuxarıya qədər bir interval olan funksiyanın dəyəri funksiyanın qeyri-daimiliyi və içindəki aşağı dəyərlərin olması ilə müəyyən edilir.

Fasiləsiz funksiyanın üstünlüyü

Transformasiya edilmiş funksiyada sahənin ikinci variantı fasiləsiz olaraq monotondur, qeyri-qanuniliyin qalib gücü isə yeni qəbul edilmiş funksiyanın şəxsiyyətsiz dəyərini qiymətləndirir.

Funksiyada qatlanan arqumentlərin son qiyməti

Funksiyanın saxlandığı aralıq funksiyaların şəxsi dəyərinin son müşahidəsinə əsasən

Əsas elementar funksiyaların dəyər sahələri

Funksiya	Anonim məna
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; bir]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Müraciət edin

Funksiyanın anonim dəyərini tapın:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Biz təyinat sahəsini bilirik: D(f)=[-3;3], çünki $9-x^(2)\geq 0$

Biz daha yaxşı bilirik: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2))))$

f"(x) = 0 əgər x = 0 olarsa. f"(x) doğru deyil, əgər $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ onda x = ±3 olarsa. Üç kritik nöqtə götürülür: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Sayaq: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Həmçinin f(x)-in ən kiçik qiyməti 0, ən yüksək qiyməti 3-dür.

Təklif: E(f) = .

DEYİL vikoristovuyuchi pokhіdnu

Ən çox və ən az vacib funksiyaları tapın:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $, sonra:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ bütün x üçün;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ bütün x(çünki $|\cos) (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Təklif: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Yoxsulların köməyinə baxmaq istəyirsənsə, onda dəyişiklik etməlisən, çünki f (x) funksiyası sətirə deyil, tam ədəd xəttinə təyin olunur.

İnter/qiymətləndirmənin Vikoristovuyuchi metodu

3 sinus dəyəri sürüşdü, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Rəqəmsal pozuntuların gücünü sürətləndirək.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (əsas pozuntunun hər üç hissəsini -4-ə vurmaqla);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Bu funksiya bütün əhatə dairəsində fasiləsiz olduğundan, bilindiyi kimi, mənasız dəyər bütün əhatə dairəsi üçün ən kiçik və ən böyük dəyərlər arasında yerləşdirilir.

Bu halda $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є funksiyasının qiyməti şəxssizdir.

3 nizamsızlıq $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ təxmini götürün $$\\ -6\leq y\leq 6 $$

x = p і x = 0 olduqda, funksiya -6 і 6 qiymətini alır, onda. aşağı və yuxarı sərhədlərə çatmaq. Kesintisiz cos(7x) və cos(x) funksiyalarının xətti kombinasiyası olaraq y funksiyası bütün ədədi oxda davamlıdır, buna görə də kəsilməz funksiyanın sərtliyinə görə -6 ilə 6 arasında olan bütün dəyərləri toplayır. daxil olmaqla və yalnız їx, çünki qeyri-bərabərlik vasitəsilə $ - 6 \leq y\leq 6$ digər dəyərlər mümkün deyil.

Həmçinin, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Sübut: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Geri dönən viraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\sol ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \sağ)\cos\sol ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \sağ) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Kosinusun qiyməti $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1-dən sonra gəlir; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Funksiya tapşırığın bütün diapazonunda fasiləsiz verildiyi üçün dəyərsiz qiymət ən kiçik və ən böyük qiymətlər arasında yerləşdirilir, belə çıxır ki, $ y = sqrt (2) \ cos ((x) funksiyasının dəyərsiz dəyəri. + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ є şəxsiyyətsiz $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Əhəmiyyətli $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Tapşırığın özü dəyişiklikdə (-∞;4) $y = \log_(0,5)(t)$ funksiyasının qiymətinin çarpanının qiymətinə endirilir. Oskіlki funksiyası $y = \log_(0,5)(t)$ yalnız t > 0 üçün təyin edilir, її interval üzrə funksiyanın qiyməti (-∞; 4) interval üzrə funksiyanın qiymətindən götürülür. (0; 4), loqarifmik funksiyanın diapazonu (0; +∞) ilə tor qişanın dəyişməsidir (-∞; 4). (0;4) intervalında bu funksiya kəsilməzdir və daha kiçikdir. t > 0 üçün qiymət +∞, t = 4 üçün isə qiymət -2, beləliklə E(y) = (-2, +∞) olur.

Hiylə funksiyanın qrafik təsvirinə əsaslanır.

Funksiyanın çevrilməsindən sonra mümkündür: y 2 + x 2 = 25, üstəlik, y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Növbəti təxmin belədir ki, $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ r radiuslu paya bərabərdir.

Zaman tsikh zamezhennya cədvəli verilmiş bərabərləşdirmə є yuxarı pіvkola s koordinatları cob üzrə mərkəzi і radius, daha çox 5 bərabərdir. Aydındır ki, scho E(y) = .

Təklif: E(y) = .

Vikoristan ədəbiyyatı

EDI rəhbərlərinin funksiyalarının əhəmiyyəti sahəsi, Minyuk İrina Borisivna

Bir funksiyanın şəxsi mənasını başa düşmək üçün Belyaeva I., Fedorova S.

Funksiyanın şəxsi dəyərinin əhəmiyyəti

Qəbul imtahanlarında riyaziyyatın tapşırığını necə nümayiş etdirmək olar, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Çox vaxt tapşırıqların bölüşdürülməsi sərhədlərində, seqmentə təyin edilmiş sahənin funksiyasının qeyri-şəxsi dəyərini şukati ilə əlaqələndiririk. Məsələn, pozulduğu halda işləmək lazımdır fərqli növlər pozuntular, virazivlərin qiymətləndirilməsi və in.

Bu material çərçivəsində bir funksiyanın əhəmiyyət sahəsinin nə olduğunu müəyyən etmək mümkündür, biz hesablaya biləcəyimiz əsas üsulları təqdim edəcəyik və fərqli bir qatlama dərəcəsinin tapşırığını təhlil edəcəyik. Aydınlıq üçün mövqelər qrafiklərlə təsvir edilmişdir. Bu məqaləni oxuduqdan sonra funksiyanın əhatə dairəsi ilə bağlı bütün məlumatları götürəcəksiniz.

Pochnemo əsas vəzifələrdir.

Randevu 1

Cari x intervalında y = f (x) funksiyasının dəyərsiz dəyəri bütün dəyərlərin dəyərsiz dəyəridir, çünki funksiya bütün x ∈ X dəyərləri üzərində təkrarlanan zaman verilir.

Randevu 2

y = f (x) funksiyasının dəyər diapazonu bütün її qiymətlərinin adsız dəyəridir ki, təkrarlanan zaman x z x ∈ (f) dəyərini ala bilsin.

Faktiki funksiyanın dəyər sahəsi E(f) olaraq qəbul edilir.

Bir funksiyanın dəyərinin çoxalmasını başa düşmək üçün onun dəyərinin eyni sahəsinə başlamayın. Anlama dəyərləri yalnız bu halda bərabər olacaqdır, çünki x dəyərinin intervalı, dəyəri naməlum olduqda, təyin edilmiş funksiya sahəsindən zbіgaєtsya dəyəri.

Dəyərlər diapazonu ilə y = f (x) sağ hissəsinin ifadəsi üçün x dəyişikliyinin məqbul dəyərlər diapazonunu fərqləndirmək də vacibdir. f (x) ifadəsi üçün icazə verilən dəyərlərin sahəsi x və funksiyaya təyin edilmiş sahə olacaqdır.

Aşağıda deyaki butslarını göstərən bir illüstrasiya yerləşdirilməlidir. Mavi xətlər funksiyaların qrafikləri, qırmızılar asimptotlar, ordinat oxundakı eyni xətlərin nöqtələri funksiya dəyərinin bütün sahələridir.

Aydındır ki, bütün O y üçün qrafiklər tərtib edilərkən funksiyanın əhatə dairəsi nəzərə alına bilər. Kimin üçün bir nömrə və şəxssiz nömrələr, üç, interval, açıq interval, ədədi intervalların birləşməsi və başqaları ola bilər.

Gəlin funksiyanın əhatə dairəsini bilməyin əsas yollarına nəzər salaq.

Sadəcə olaraq y = f (x) qeyri-daimi funksiyasının qiymətinin [a ilə işarələnən cari sayğaca vurulmasını təyin edək; b]. Biz bilirik ki, funksiya istənilən istiqamətdə fasiləsiz olaraq yeni minimum və maksimuma çatır, yəni ən böyük m a x x ∈ a ; b f (x) ən kiçik qiymətdir m i n x ∈ a ; bf(x). Yenə də m i n x ∈ a-nı nəzərə alırıq; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , çıxış funksiyasının şəxsi dəyərini ehtiva edəcək. Üzərində işləməli olduğumuz şey budur - yalnız minimum və maksimum nöqtələri hansı nöqtədə göstərəcəyini bilmək lazımdır.

Gəlin bir tapşırığı götürək, bunun üçün sahəni arcsine təyin etmək lazımdır.

omba 1

Umov: y = a r c sin x -in qiymətini tapın.

Həll

Vəhşi yamacda arksinus üçün təyin olunan sahə yuxarıya qədər uzanır [-1; bir]. Təyin olunmuş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini yenisinə təyin etməliyik.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Biz bilirik ki, bu funksiya [-1 intervalında genişlənmiş x-in bütün qiymətləri üçün müsbət olacaq; 1 ] , belə ki, regionu genişləndirməklə funksiya artım sürətinin arksinusuna təyin edilir. Beləliklə, ən kiçik dəyər x-də, bərabər - 1-də və ən böyük - x-də, 1-ə bərabər qəbul ediləcəkdir.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Bu yolla arcsine funksiyasının dəyərinin sahəsi daha bahadır E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2.

Təklif: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

omba 2

Umov: Verilmiş alt sətirdə y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 dəyərlərinin diapazonunu hesablayın [1; 4].

Həll

İşləməyimiz lazım olan hər şey, müəyyən bir interval üçün funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini hesablamaqdır.

Ekstremum nöqtəni təyin etmək üçün aşağıdakı hesablamanı hesablamaq lazımdır:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

İndi verilmiş funksiyanın kəsik intervallarında və x 2 = 15 - 33 8 nöqtələrində qiymətini bilirik; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Deməli, funksiyanın şəxsi dəyəri 117 - 165 33 512 fərqi ilə müəyyən edilir; 32.

Təklif: 117 - 165 33 512 ; 32 .

(a; b) intervallarında y = f (x) kəsilməz funksiyasının şəxssiz qiymətinin qiymətinə keçək, üstəlik, a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Ən böyük və ən kiçik nöqtələrin, eləcə də müəyyən bir intervalda artım və dəyişiklik arasındakı intervalların təyin edilməsi ilə başlayaq. Əgər belədirsə, biz uyğunsuzluq üzrə intervalları və / və ya sərhədləri birtərəfli sərhədləri virahuvat lazımdır. Başqa sözlə, funksiyanın davranışını verilmiş ağıllara təyin etməliyik. Kimin üçün bizə lazım olan bütün məlumatlar lazım ola bilər.

omba 3

Umov:(-2; 2) intervalı üzrə y = 1 x 2 - 4 funksiyasının diapazonunu hesablayın.

Həll

Verilmiş sətirdə funksiyanın ən çox və ən kiçik qiymətini göstəririk

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Biz 0-a bərabər olan maksimum qiymətə çatdıq, lakin eyni nöqtədə funksiyanın işarəsini və enişə getmək üçün qrafiki dəyişmək lazımdır. Div. illüstrasiya üçün:

Beləliklə, y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 funksiyanın maksimum qiyməti olacaqdır.

İndi funksiyanın davranışı belə x üçün əhəmiyyətlidir, bu sağ tərəfdir - sağ tərəfdən 2 və sol tərəfdən + 2. Başqa sözlə, biz birtərəfli sərhədləri bilirik:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Gördük ki, arqument -2 ilə 0 diapazonunda dəyişirsə, funksiyanın dəyəri mənfi uyğunsuzluqdan - 14 todi-yə qədər artır. Arqument 0-dan 2-yə dəyişirsə, funksiyanın dəyəri mənfi sonsuzluğa dəyişir. Daha sonra verilən funksiyanın tələb olunan interval üzrə mənasız qiyməti (- ∞ ; - 1 4 ) olacaqdır.

Təklif: (- ∞ ; - 1 4 ] .

omba 4

Umov: verilmiş intervalda y = t g x anonim dəyəri daxil edin - π 2; π 2.

Həll

Biz bilirik ki, β-nin tangensi - π 2-ə bənzəyir; π 2 müsbət olsun, ona görə də funksiya artır. İndi funksiyanın verilmiş sərhədlərdə necə işlədilməsi vacibdir:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Arqument vid - π 2-dən π 2-yə dəyişdirilərkən funksiyanın artan qiymətini mənfi uyğunsuzluqdan üstəgəl uyğunsuzluğa çıxardıq və deyə bilərik ki, bu funksiyanın şəxsiyyətsiz həlli bütün həqiqi ədədlərin şəxsiyyətsizliyi olacaqdır.

Təklif: - ∞ ; + ∞ .

omba 5

Umov: təyin, funksiyanın diapazonu, natural loqarifmi y = ln x .

Həll

Funksiyanın verildiyini və təyin edildiyini bilirik müsbət dəyərlər arqument D(y) = 0; +∞. Verilmiş interval üzrə Pohіdna müsbət olacaq: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, yeni funksiyaların artması var. Onlar bizə bunun üçün birtərəfli sərhəd təyin etmək ehtiyacını verdilər, əgər arqument 0 (sağ tərəfdə) düzgündürsə və x uyğunsuzluq düzgün deyilsə:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Biz götürdük ki, x-in dəyərini sıfırdan sonsuza üstəgəl dəyişəndə funksiyanın dəyəri mənfi uyğunsuzluqdan artı uyğunsuzluğa qədər böyüyür. Beləliklə, bütün real ədədlərin çoxu var - ce və є təbii loqarifm funksiyasının dəyərinin sahəsi.

Təklif: bütün həqiqi ədədlərin çarpanı natural loqarifmin funksiyasının dəyərinin sahəsidir.

omba 6

Umov: y = 9 x 2 + 1 funksiyasının diapazonunun hansı olduğunu müəyyən edin.

Həll

Tsya funksiyası є x-nin həqiqi ədəd olduğunu xatırlamaq üçün oxuyur. Ən çox və ən az vacib funksiyaları, eləcə də boşluqları, böyümə və dəyişiklikləri sayaq:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Nəticələrdə funksiyanın azalacağını qeyd etdik ki, x ≥ 0; daha doğrusu, x ≤ 0; dəyişən zaman maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9-a nöqtə qoymayacaq, bu daha bahalı 0 .

Uyğunsuzluqda funksiyanı necə işlətməyimizlə maraqlanırıq:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Qeyddən görünür ki, y dəfə funksiyasının qiyməti asimptotik olaraq 0-a yaxınlaşır.

Podib'єmo subbags: arqument mənfi uyğunsuzluqdan sıfıra dəyişirsə, funksiyanın dəyəri 0-dan 9-a qədər böyüyür. Arqumentin dəyəri 0-dan üstəgəl uyğunsuzluğa dəyişirsə, funksiyanın dəyəri 9-dan 0-a düşəcək. Bir balacasının qiymətini təsəvvür etdik:

Yenisində görmək olar ki, funksiya dəyərinin diapazonu E(y) = (0; 9) intervalı olacaqdır.

Təklif: E(y) = (0; 9]

Beləliklə, y = f(x) funksiyasının [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , onda belə araşdırmaları özümüz aparmalıyıq.

Və necə vipadku var, necə deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv üçün təyin olunan sahə? Sonra bu intervalların dərilərindəki anonim dəyəri hesablamalıyıq və onları birləşdirməliyik.

omba 7

Umov: y = x x - 2 diapazonunun nə olacağını müəyyən edin.

Həll

Oskіlki znamennik functionії günahkar deyil, lakin 0-a znacheniya , sonra D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞.

Birinci sıraya funksiya dəyərinin çarpanını təyin etməklə başlayaq - ∞; 2, bu açıq vəddir. Biz bilirik ki, funksiya yeni funksiyada azalacaq, beləliklə funksiya mənfi olacaq.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Sonra arqument y birbaşa mənfi uyğunsuzluğu dəyişərsə, funksiyanın qiyməti asimptotik olaraq 1-ə yaxınlaşır. Əgər x-in dəyəri mənfi uyğunsuzluqdan 2-yə düşərsə, o zaman dəyər 1-dən mənfi uyğunsuzluğa qədər azalacaq, yəni. intervalın gələcək qiyməti üzrə funksiya - ∞ ; bir . Təkcə, düşüncələrimiz istisna olmaqla, її funksiyasının dəyərinin qırıntıları çatmır, əksinə ona asimptotik şəkildə yaxınlaşır.

Açıq mübadilə üçün 2; + ∞ vikonuєmo belə sami dії. Yenisinin funksiyası da azdır:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Verilmiş vіdrіzka üzrə funksiyanın dəyəri dəyərsiz 1-ə təyin edilir; +∞. Beləliklə, bizə ağıl üçün verilən funksiyanın dəyərinin sahəsi lazımdır - ∞; 1 və 1; +∞.

Təklif: E(y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞.

Diaqramı yoxlaya bilərsiniz:

Xüsusi dalğalanmalar dövri funksiyalardır. Bu dəyər sahəsi qeyri-şəxs dəyərdən funksiya müddətindən asılı olan intervala dəyişir.

omba 8

Umov: Sahəni sinus y = sin x dəyərinə təyin edin.

Həll

Sinus 2 pi olmaq üçün bir dövr kimi dövri bir funksiyaya yatır. Beremo vіdrіzok 0; 2 π yenisində şəxsiyyətsiz dəyərin nə olacağına heyranam.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 sərhədində; 2 π funksiyası ekstremum π 2 і x = 3 π 2 nöqtələri olacaqdır. Onlardakı funksiyanın əhəmiyyətinin niyə daha vacib olduğuna nəzər salaq, həmçinin vіdrіzka sərhədlərində, bundan sonra ən çox və ən az əhəmiyyətli olanı seçirik.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Təklif: E (sin x) = - 1; bir .

Statik, displey, loqarifmik, triqonometrik, tərs triqonometrik kimi funksiyaların dəyər sahəsini bilmək lazımdırsa, əsas elementar funksiyalar haqqında məqaləni yenidən oxuya bilərsiniz. Nəzəriyyə, burada təklif etdiyimiz kimi, verilmiş dəyəri tərsinə çevirməyə imkan verir. Їх Bazhano vivchiti, üfunət qəlpələri tez-tez albalı gününün saatlarında lazımdır. Əgər siz əsas funksiyaların sahələrini bilirsinizsə, həndəsi çevrilmənin köməyi üçün elementar olanları götürmüş kimi funksiyaların sahələrini asanlıqla öyrənə bilərsiniz.

omba 9

Umov: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 diapazonunu təyin edin.

Həll

Arkkosinin dəyərinin 0-dan pi olduğunu bilirik. Başqa sözlə, E (ar c cos x) = 0 ; π və ya 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Biz a r c cos x 3 + 5 π 7 funksiyasını tərs kosinusu uzatmaqla və oxunu O x uzatmaqla götürə bilərik, əks halda bizə heç nə verə bilməyəcəyik. Deməli, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

3 arc cos x 3 + 5 π 7 funksiyası şaquli oxun əlavə uzanması üçün tərs kosinus qövsü cos x 3 + 5 π 7-dən çıxıla bilər, ona görə də 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Finalda transformasiya zsuv uzdovzh ox O y 4 qiymtlr. Nəticə bəzi əsas qeyri-bərabərliyə malik olacaq:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Dəyər sahəsinə lazım olanı götürdük E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Təklif: E(y) = - 4; 3 pi-4.

Daha bir butt izahatsız yazılacaq, çünki şərab qarşıdakına bənzəyir.

göt 10

Umov: y = 2 2 x - 1 + 3 funksiyasının diapazonunun nə olacağını hesablayın.

Həll

Nəzərə alınan funksiyanı y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 kimi yenidən yazaq. y = x - 1 2 statik funksiyası üçün qiymət sahəsi 0 intervalına təyin ediləcək; + ∞, onda. x-1 2 > 0 . Bu mənada:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Beləliklə, E(y) = 3; +∞.

Təklif: E(y) = 3; +∞.

İndi gəlin funksiyanın əhatə dairəsini necə bilməyə, müdaxilə etməməyə nəzər salaq. Bunun üçün bütün ərazini boşluqlara ayırmalı və onların dərisindəki qeyri-şəxs mənasını bilməliyik, bundan sonra gördüklərimizi birləşdirməliyik. Daha yaxşı başa düşmək üçün, funksiyanın əsas baxış nöqtələrini təkrarlamaq üçün.

göbək 11

Umov: verilmiş funksiya y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Sahənin її dəyərini hesablayın.

Həll

Bu funksiya x-in bütün qiymətlərinə təyin edilir. Arqumentin 3 və 3-ə bərabər olan dəyərləri ilə davamlılıq üçün təhlil aparaq:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Arqumentin dəyəri ilə birinci növün fasiləsiz genişlənməsi ola bilər - 3 . Funksiyanın yeni dəyərinə yaxınlaşdıqda - 2 sin 3 2 - 4-ə qədər, x sağ tərəfdən - 3-ə qədər olduqda, dəyərlər - 1-ə qədər hərəkət edəcək.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Ola bilər ki, 3-cü nöqtədə başqa cins axtarışı yoxdur. Funksiya bərabər deyilsə, її dəyərləri - 1-ə, funksiya sağa bərabərdirsə - mənfi uyğunsuzluğa yaxındır.

Bundan əlavə, təyin edilmiş funksiyanın bütün sahəsi 3 intervala bölünür (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Onlardan birincisində y = 2 sin x 2 - 4 funksiyasını götürdük. Oskіlki - 1 ≤ sin x ≤ 1 məqbuldur:

1 ≤ günah x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Deməli, bu interval üçün (- ∞ ; - 3] funksiyanın qiyməti yoxdur - [ - 6 ; 2 ] .

Sonuncu intervalda (- 3 ; 3 ) y = - 1 sabit funksiyası var idi. Otzhe, bütün şəxsiyyətsiz її znachen bəzən bir nömrəyə qədər qurulacaq - 1.

Başqa bir intervalda 3; + ∞ y = 1 x - 3 funksiyasından istifadə edə bilərik. Won є kürək, buna y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Deməli, x > 3 üçün çıxış funksiyasının şəxssiz qiyməti 0-a qatdır; +∞. İndi nəticələr ümumiyyətlə götürülür: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Təklif: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Həll qrafikdə göstərilir:

göbək 12

Umov: є funksiyası y = x 2 – 3 e x . Şəxsi olmayan mənasını qiymətləndirin.

Həll

Vaughn arqumentin faktiki rəqəmlər olan bütün mənasına təyin olunur. Əhəmiyyətli odur ki, bəzi intervallar üçün artım, bəziləri üçün isə azalma funksiyası verilir:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Biz bilirik ki, x = - 1 və x = 3 kimi 0-a getmək yaxşıdır. Nin bütövlükdə iki nöqtə qoyaq və z'yasuemo kimi işarələr intervallarda eyni olacaq.

Funksiya (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i [ - 1 üzərində böyüyür; 3]. Minimum bal - 1, maksimum - 3 olacaq.

İndi funksiyanın əsas dəyərlərini bilirik:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Uyğunsuzluqda funksiyanın davranışına baxırıq:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Digər vasitəçinin hesablanması üçün Lopital qaydasından istifadə edilmişdir. Təsəvvür etmək olar ki, bizim həllimiz qrafikaya keçib.

Görünür ki, arqument mənfi uyğunsuzluqda -1-ə dəyişsə belə, funksiyanın dəyəri artı uyğunsuzluqda -2e-ə qədər azalacaq. Şərab 3-dən üstəgəl qeyri-dəqiqliyə dəyişirsə, o zaman dəyər 6 e - 3-dən 0-a düşəcək, lakin 0 varsa, çatmaq mümkün olmayacaq.

Bu ardıcıllıqla E(y) = [- 2 e; +∞).

Təklif: E(y) = [-2e; +∞)

Mətndəki əfv necə yadda qaldı, mehriban olun, baxın və Ctrl + Enter düymələrini basın

Funksiya və onunla əlaqəli hər şeyin başa düşülməsi ağıl nöqtəsinə deyil, ənənəvi olaraq qatlanmış vəziyyətə gətirilir. Funksiyanın necə olduğunu aşkar etmək və təyinat sahəsini və funksiyanın əhəmiyyət (dəyişiklik) sahəsini ЄДІ є-ə hazırlaşmağın daşını ayıraq.
Təyin olunmuş funksiya sahəsi ilə onun əhəmiyyət sahəsi arasında fərq qoymamağı öyrənmək qeyri-adi deyil.
Və təyin edilmiş funksiyanın sahəsini dəyişdirmək vəzifəsi kimi, biz də mənimsəməyi öyrənirik, sonra funksiyanın şəxsi mənasını dəyişdirmək vəzifəsi çimalı çətinliklərinin qoxusunu tələb edir.
Meta tsi єї statti: funksiyanın dəyərini bilmək üsullarını bilmək.
Bu mövzuların nəzərdən keçirilməsi nəticəsində nəzəri material işlənib hazırlanmış, çoxsaylı funksiyaların əhəmiyyətinə dair məsələlərin həlli üsulları nəzərdən keçirilmiş, tələbələrin müstəqil işi üçün didaktik material seçilmişdir.
Bu məqalə riyaziyyatdan seçmə kurslarda "Funksiyanın əhəmiyyət sahəsi" üçün tələbələrin buraxılış və giriş işlərinə hazırlanmasında müəllim ola bilər.

I. Funksiya sahəsinin təyini.

y \u003d f (x) funksiyasının sahəsi (çarpan) dəyəri E (y) belə nömrələrin sayı adlanır y 0 , dəri üçün z x 0 belə bir rəqəm var ki: f (x 0) \u003d y 0 .

Əsas sahəni təxmin edin elementar funksiyalar.

Gəlin cədvələ baxaq.

Funksiya	Anonim məna
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; bir]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Cütlənmiş mərhələnin hər hansı bir çoxhədlinin dəyər sahəsinin boşluq olduğu, de n çoxhədlinin ən böyük dəyəri olduğu da nəzərə alınır.

II. Funksiya dəyərinin əhəmiyyətli sahəsi olduqda qalib gələn funksiyaların gücü

Şəxsiyyətsiz funksiyanın müvəffəqiyyətlə tanınması üçün əsas elementar funksiyaların gücünü, xüsusən də onların əhəmiyyət sahələrini, əhəmiyyət sahəsini və monotonluğun təbiətini yaxşı bilmək lazımdır. Funksiyaların qeyri-şəxs dəyərləri məlum olduqda ən çox qalib gələn fasiləsiz, monoton diferensiallaşma funksiyalarının gücünü induksiya edək.

Dominantlıq 2 və 3, bir qayda olaraq, təyinat sahəsində fasiləsiz bir anda elementar funksiyanın gücünü qazanır. Multiplikatorun dəyəri məsələsinin ən sadə və qısa həllini nəzərə alsaq, funksiyanın monotonluğunu müəyyən etmək üçün uyğun olmayan üsullardan istifadə olunsa da, 1-ci səlahiyyət əsasında funksiyanın dəyərinə çatmaq olar. Həll daha sadədir, bir funksiya olaraq, bundan əvvəl, - cüt cütləşməmiş, vaxtaşırı nazikdir. Bu şəkildə, funksiyanın dəyərinin çoxaldılmasının vacibliyi ilə bağlı tapşırıqları yerinə yetirərkən, lazım olduqda, funksiyanın hücum gücünü yenidən nəzərdən keçirmək və qazanmaq lazımdır:

fasiləsiz;
monotonluq;
fərqləndirmə;
qoşalaşma, qoşalaşma, dövrilik incədir.

Sosial oriyentasiya funksiyasının şəxsiyyətsiz mənasını bilmək üçün yöndəmsiz tapşırıq:

a) ən sadə təxminlər və marja üçün: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 sonra);

b) tam kvadratı görmək: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) triqonometrik virazivlərin çevrilməsi üzrə: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) x 1/3 + 2 x-1 funksiyasının monotonluğuna nail olmaq R-i artırır.

III. Funksiya qiymətlərinin sahələrini bilmək üsullarına nəzər salaq.

a) funksiyanın qatlanan arqumentlərinin sonuncu qiyməti;
b) qiymətləndirmə metodu;
c) gücün əldə edilməsi, fasilənin olmaması və funksiyanın monotonluğu;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) funksiyanın ən yüksək və ən aşağı qiymətinin seçilməsi;
e) qrafik üsul;
g) parametr sorğusu üsulu;
h) tərs funksiya üsulu.

Xüsusi butts bu üsulların mahiyyəti Rozkriёmo.

Misal 1. Qiymət diapazonunu tapın E(y) funksiyaları y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Funksiyanın qatlanan arqumentlərinin dəyərinin ardıcıl olaraq qiymətləndirilməsi metodu ilə bu iti həll edə bilərik. Loqarifmin altındakı yeni kvadratı görərək, funksiyanı çeviririk

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

I ardıcıl olaraq її dağıla bilən arqumentlərin şəxsi mənasını bilirik:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5) – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Əhəmiyyətli t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Birjada y = log 0,5 t funksiyasının dəyərinin çarpanının dəyərinə çatmaq üçün özü Tim (-∞;4) . y = log 0.5 t funksiyası yalnız sizin zehniniz üçün təyin olunduğundan, o zaman intervalda olan anonim qiymət (-∞; 4) interval olan funksiyanın anonim qiymətindən (0; 4) dəyişdirilir. loqarifmik funksiyanın (0; + ∞) diapazonu ilə (-∞; 4) intervalının. (0;4) intervalında bu funksiya kəsilməzdir və daha kiçikdir. At t> 0 won pragne +∞ və nə vaxt t = 4 -2 dəyərini təyin edir E(y) =(-2, +∞).

Nümunə 2. Funksiyanın əhatə dairəsini tapın

y = cos7x + 5cosx

Biz bu buttunu qiymətləndirmə metodu ilə görə bilərik, onun mahiyyəti aşağı və yuxarının fasiləsiz funksiyasının qiymətləndirilməsində və qiymətləndirmələrin aşağı və yuxarı sərhədlərinin funksiyasının çatmasını sübut etməkdədir. Şəxsiyyətsizliyin hər hansı bir dəyişməsi ilə, aşağı aralıq qiymətləndirmədən yuxarıya qədər bir interval olan funksiyanın dəyəri funksiyanın qeyri-daimiliyi və içindəki aşağı dəyərlərin olması ilə müəyyən edilir.

Qanunsuzluqlardan -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 -6≤y?6 balı alırıq. x = p і x = 0 olduqda, funksiya -6 і 6 qiymətini alır, onda. aşağı və yuxarı sərhədlərə çatmaq. Kesintisiz cos7x və cosx funksiyalarının xətti kombinasiyası olaraq y funksiyası bütün ədədi oxda kəsilməzdir, buna görə də, kəsilməz funksiyanın gücünə görə -6-dan 6-ya qədər bütün dəyərləri qazanır. daxil olmaqla və yalnız їх, yəni -6≤y dəyərlərində uyğunsuzluqlar vasitəsilə mümkün deyil. Otzhe, E(y)= [-6;6].

Misal 3. Qiymət diapazonunu tapın E(f) funksiyaları f(x)= cos2x + 2cosx.

Alt telli kutanın kosinusunun düsturuna əməl edərək, funksiyanı çeviririk f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 əhəmiyyətlidir t= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E(cosx) =

[-1;1], sonra funksiyanın diapazonu f(x) g funksiyasının şəxsi dəyəri ilə zbіgaєtsya (t)= 2t 2 + 2t - 1 arxaya [-1; 1], qrafik üsulla bildiyimiz kimi. Funksiyanın qrafikinin induksiya edilməsi y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0.5) 2 - 1.5 interval üçün [-1; 1], bilirik E(f) = [-1,5; 3].

Hörmət - funksiyanın qeyri-şəxs mənasının əhəmiyyətinə qədər, parametrlə, daha da əhəmiyyətlisi, fərqlərin sayı və fərqlərin sayı ilə əlaqəli zəngin tapşırıq yaratmaq lazımdır. Məsələn, bərabər f(x)\u003d lakin bundan artıq etmək icazəlidir, əgər

aE(f) Eynilə, bərabər f(x)\u003d a cari boşluq X üzərinə yayılan bir kök istəyə bilərəmmi, əks halda eyni boşluqda bir kök ola bilməz və yalnız bir az, əgər yalan danışmaq və ya yalan danışmamaq lazımdırsa, funksiyanın şəxsiyyətsiz dəyəri f(x) X intervalında. f(x)≠ Amma, f(x)> a i və s. Zokrema, f(x)≠ və bütün icazə verilən dəyərlər üçün x yakso a E(f)

Butt 4. Parametrin istənilən dəyəri üçün bərabər (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) abzas üçün tək kök var [-4;-1].

Görmə bərabərliyini yazaq (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Bərabər qalan hər bir vdrіzka [-4;-1] üçün yalnız bir kök istəyə bilər və ya yalnız funksiyanın şəxsiyyətsiz dəyərləri olduqda f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) tərs [-4;-1]. Biz funksiyanın şəxsiyyətsizliyini, qalib gücünü, fasiləsizliyini və monotonluğunu bilirik.

Digər tərəfdən [-4;-1] y = xІ + 4 funksiyası kəsilməzdir, az i müsbətdir, ona görə də funksiya g(x) = 1/(x 2 + 4) fasiləsizdir və tsemu vіdrіzku da zbіlshuєtsya, müsbət funksiya üzrə rozpodіlі üçün oskіlki funksiyanın monotonluğunun təbiəti uzadılmaya dəyişdirilir. Funksiya h(x) =(x + 5) 1/2 fasiləsizdir və öz qalereyasında böyüyür D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, on vіdrіzku [-4;-1], deva, üstəlik, müsbət. Eyni funksiya f(x)=g(x) h(x), iki fasiləsiz, artan və müsbət funksiyanın əlavə edilməsi kimi, o da əlavə [-4;-1] ilə kəsilməz və artır, buna görə də [-4;-1] є əlavə [ f(-4); f(-1)]=. Həmçinin, 0,05 ≤ a ≤ 0,4 olan ikiqat [-4;-1], üstəlik, bir (davamlı monoton funksiyanın keyfiyyəti üçün) həllinə bərabərdir.

Hörmət. İcazə bərabərdir f(x) = a cari intervalda X parametrin dəyərinin etibarlılığına bərabərdir Ammaşəxsi olmayan funksiya dəyəri f(x) X. Otzhe haqqında, funksiyanın şəxsi dəyəri f(x) X intervalı üçün parametrin qiymətindən dəyişdirilir Amma, bərabər olanlar üçün f(x) = a H. Zokremin balası sahəsinə bir kök istəyə bilərəm E(f) funksiyaları f(x) parametrin anonim dəyəri ilə zbіgaєtsya Amma, bərabər olanlar üçün f(x) = a Bir kök istəyə bilərəm.

Misal 5. Qiymət diapazonunu tapın E(f) funksiyaları

Parametrə daxil olma üsulu ilə butonun açılması, zgіdno z E(f) parametrin anonim dəyəri ilə zbіgaєtsya Amma, bərabər olanlar üçün

Bir kök istəyə bilərəm.

a = 2 xətti - 4x - 5 = 0-a bərabər olduqda, sıfırdan fərqli x üçün sıfırdan fərqli bir əmsalı ilə heç bir həll yoxdur. a≠2 kvadrata bərabər olduqda, o, yalnız diskriminant olduqda açıla bilər.

Oskіlki nöqtəsi a = 2 vіdrіzku-da yatmaq

sonra parametrin dəyərini şukanim Amma, Mən əraziyə dəyər verirəm E(f) bütün vіdrіzok olun.

Funksiyanın verilmiş qeyri-şəxsi dəyəri olan bir parametrin tətbiqi metodunun aralıq olmayan inkişafı kimi, funksiyanın dəyərini yoxlamaq lazım olan geri çevrilmə funksiyası metodunu nəzərdən keçirmək olar. f(x)=y, y parametri ilə. Yakshcho tse bərabər bir həll ola bilər x = g(y), sonra diapazon E(f) xarici funksiyalar f(x) təyinat sahəsindən qaçmaq D(g) tüpürcək funksiyası g(y). Yakshcho bərabərdir f(x)=y maє kіlka həlli x = g 1 (y), x = g 2 (y) və s, sonra E(f) funksiya sahələrinin daha yaxşı inteqrasiyası g 1 (y), g 2 (y) və s.

Misal 6. Dəyər sahəsini tapın E(y) y = 5 2/(1-3x) funksiyaları.

Z bərabərdir

x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) tərs funksiyasını bilirik. D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x yeganə həll yolu ola bilər

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Təyin edilmiş funksiyanın sahəsi onilliklər intervallarından cəmləndiyindən və müxtəlif intervallarda funksiya müxtəlif düsturlarla verildiyindən, funksiya dəyərinin sahəsinin əhəmiyyəti üçün anonimliyi bilmək tələb olunur. dəri intervalında funksiyanın dəyəri və onları birlikdə götürün.

Nümunə 7. Əhəmiyyətli sahələri tapın f(x)і f(f(x)), de

f(x) birjada (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Əhəmiyyətli dərəcədə t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) birjada (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, ortada (0; 4], bildiyimiz kimi, vikorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Promizhku üzrə (0;4] yaxşı g'(t) orada sıfırdan başlamaq təyin edilir t=3. 0-da<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) azalır və aralıqlar (3; 4) böyüyür, fasiləsiz xardal intervalı (0; 4) ilə dolur, şair g (3)= 9 - interlace üçün funksiyanın ən kiçik dəyəri (0; 4], lakin maksimum dəyər mümkün deyil, buna görə də t→0 sağ əl funksiyası g(t)→+∞. Bununla belə, fasiləsiz funksiyanın keyfiyyəti üçün, funksiyanın şəxsi dəyəri g(t)(0; 4] intervalında, yəni mənim heç bir mənası yoxdur f(x)(-∞;-1] üzərində, önə çıx.

İndi birləşmiş intervallar funksiyanın şəxsi mənasıdır f(f(x)), mənalı olaraq t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de t funksiyası f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 və 5-dən 9-a qədər olan bütün dəyərləri yenidən qəbul edin, yəni. dəyər sahəsi E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Eynilə, bilmək z = f(f(x)), diapazonu bilə bilərsiniz E(f3) funksiyaları f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 və s. Üstündən keçin, nə E(f 3) = .

Funksiya dəyərinin vurulmasının hesablanması və verilmiş interval üçün funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinin çıxılması üçün ən universal üsuldur.

Nümunə 8. Parametrin bəzi dəyərləri üçün R qeyri-bərabərlik 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x hamı üçün qələbə -1 ≤ x< 2.

təyin edərək t = 2 x, görünüşün qeyri-bərabərliyini yazaq p ≠ t 3 - 2t 2 + t. belə yak t = 2 x- fasiləsiz böyümə funksiyası R, sonra -1 ≤ x üçün< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R funksiya dəyərinə baxın f(t) = t 3 - 2t 2 + t 0,5 ≤ t-də< 4.

Biz funksiyanın anonim dəyərinin sırasını bilirik f(t) vіdrіzku haqqında, gedə biləcəyim hər yerdə boş yerə f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Otzhe, f(t) diferensial, daha sonra və küləklə kəsilmədən. Z bərabərdir f'(t) = 0 funksiyanın kritik nöqtələrini bilirik t=1/3, t=1, hər şeydən əvvəl bir dostun üstündə uzana bilməzsən, amma bir dostun üstünə uzana bilərsən. belə yak f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, onda diferensiallaşdırılmış funksiyanın keyfiyyəti üçün 0 ən kiçik, 36 isə funksiyanın ən yüksək qiymətidir. f(t) vіdrіzku haqqında. Todi f(t), fasiləsiz funksiya olaraq, 0-dan 36-ya qədər bütün dəyərləri qəbul edir, üstəlik, 36 dəyəri yalnız o zaman qəbul edir. t=4üstəlik, 0,5 ≤ t üçün< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna bütün x z intervalı (-1; 1) üçün müsbətdir, ona görə də arksinusun funksiyası təyinatın bütün diapazonunda artır. Yenə uduşun ən kiçik dəyəri x = -1, ən böyük dəyəri isə x = 1-dir.

Arksinusuna funksiyanın oblastını çıxardıq .

butt.

Funksiyanın anonim qiymətini tapın vіdrіzku haqqında.

Həll.

Bu mövzuda ən çox və ən az vacib funksiyanı bilək.

Əhəmiyyətli dərəcədə, vіdrіzku-da olan ekstremum nöqtə:

Kəsimin uclarında və nöqtələrində çıxış funksiyasının qiymətinin hesablanması :

Otzhe, vіdrіzku є vіdrіzok üzərindəki funksiyanın şəxsiyyətsiz dəyəri .

İndi (a; b) , , y = f(x) fasiləsiz funksiyasının qiymətini necə bilmək lazım olduğunu göstərək.

Əvvəldən biz nöqtələri ekstremum, ekstremum funksiyalara, artım intervallarına və verilmiş intervalda funksiyanın dəyişməsinə təyin edirik. Onlar intervalın intervalları üzrə və (və ya) uyğunsuzluq üzrə (yəni, intervalın intervalları üzrə funksiyanın davranışı və ya uyğunsuzluq üzrə) hesablanmışdır. Belə intervallarda funksiyanın şəxsi dəyərini bilmək üçün kifayət qədər məlumat var.

butt.

(-2; 2) intervalında funksiyanın şəxssiz qiymətini təyin edin.

Həll.

(-2; 2) intervalına sərf olunan funksiyanın ekstremum nöqtələrini bilirik:

Krapka x = 0 maksimum nöqtədir, ona görə də oradan keçərkən artı işarəsini mənfiyə dəyişmək lazımdır və funksiyanın qrafiki enişə getmək üçün artmış kimi görünür.

є vіdpovіdny maksimum funksiyaії.

Biz funksiyanın x-də -2-yə qədər sağ əlli və x-də, 2 złiva-ya qədər olan davranışını başa düşürük, ona görə də birtərəfli sərhədləri bilirik:

Nəyi götürdük: id -2 arqumenti sıfıra dəyişdirildikdə, arqument id sıfırdan dəyişdikdə, funksiyanın dəyəri mənfi uyğunsuzluqdan mənfi dörddə birinə (x = 0-da funksiyanın maksimumu) yüksəlir. 2, funksiyanın dəyəri sonsuzluğa düşür. Bu ardıcıllıqla (-2; 2) є intervalında funksiyanın şəxssiz qiyməti .

butt.

İntervalda y = tgx tangensinə funksiyanın çarpan qiymətini təyin edin.

Həll.

İntervaldakı tangensə bənzər funksiya müsbətdir funksiyanın artımını göstərir. İntervalın sərhədlərində funksiyanın davranışını izləyin:

Beləliklə, arqument dəyişdirilərkən, funksiyanın dəyəri mənfi uyğunsuzluqdan üstəgəl uyğunsuzluğa qədər böyüyür, yəni bu intervaldakı tangensin qiyməti bütün həqiqi ədədlərin qiymətidir.

butt.

y = lnx natural loqarifminin funksiyasının diapazonunu tapın.

Həll.

Təbii loqarifm funksiyası arqumentin müsbət qiymətlərinə təyin edilir . Hansı intervalda müsbətdir Yeni birində funksiyaların böyüməsi haqqında danışmağa dəyməz. Arqument sıfıra qədər sağ tərəf olduqda funksiyanın birtərəfli sərhədini və üstəgəl uyğunsuzluğa qədər düzgün olan x-dəki sərhədi bilirik:

Bachimo, x-i sıfırdan üstəgəl uyğunsuzluğa dəyişmək üçün funksiyanın dəyəri mənfi uyğunsuzluqdan artı uyğunsuzluğa qədər artır. Otzhe, natural logarifm є qeyri-şəxs real ədədlərin funksiyasının əhatə dairəsi.

butt.

Həll.

Bu funksiya bütün faktiki dəyərlərə təyin olunur x . Ekstremum nöqtələr, həmçinin funksiyanın böyüməsi və dəyişməsindəki boşluqlar əhəmiyyətlidir.

Həmçinin, funksiya --da dəyişir, -də böyüyür, x = 0 maksimum nöqtədir, funksiyanın görünən maksimumu.

Uyğunsuzluqda funksiyanın davranışına baxırıq:

Bu şəkildə, uyğunsuzluqda, funksiyanın dəyərləri asimptotik olaraq sıfıra yaxınlaşır.

Biz izah etdik ki, arqument mənfi uyğunsuzluqdan sıfıra (maksimum xal) dəyişdirildikdə, funksiyanın dəyəri sıfırdan doqquza (funksiyanın maksimumuna), x sıfırdan artı uyğunsuzluğa dəyişdirildikdə isə dəyər artır. funksiyanın doqquzdan sıfıra dəyişir.

Sxematik kiçiklərə baxın.

İndi siz aydın şəkildə görə bilərsiniz ki, funksiyanın diapazonu .

y = f(x) funksiyasının eyni uzunluqlu intervallar üzrə qiymətinin çarpanının qiyməti. Bu vipadkalar haqqında dərhal məlumat verməyək. Aşağıdakı quyruqlarda iy daha kəskin olur.

y = f(x) funksiyasının əhatə dairəsi bir sıra intervallar üçün birləşdirilsin. Sahə məlum olduqda, belə bir funksiyanın dəyəri dəri çıxıntısının şəxsiyyətsiz dəyəri və ümumiləşdirilməsi ilə göstərilir.

butt.

Funksiyanın əhatə dairəsini tapın.

Həll.

Bizim funksiyamızın standartı sıfıra enməkdə günahkar deyil, tobto,.

Biz açıq birjada funksiyanın şəxsi dəyərini bilirik.

Digər funksiyalar bu aralıq üçün mənfi, ona görə də funksiya onun üçün dəyişir.

Nəzərə alındı ki, arqument mənfi uyğunsuzluq olduqda, funksiyanın qiymətləri asimptotik şəkildə birliyə yaxınlaşır. Mənfi uyğunsuzluqda x-i iki qiymətə dəyişdirərkən, funksiya birdən mənfi uyğunsuzluğa dəyişir, beləliklə, qısa müddət ərzində, gördüyünüz kimi, funksiya şəxsiyyətsiz qiymət alır. Biri daxil edilmir, funksiyanın dəyərinin fraqmentləri ona çatmır, ona minus uyğunsuzluğu ilə asimptotik olaraq tullanmaq kifayət deyil.

Diemo açıq mübadilə üçün oxşardır.

Hansı intervalda funksiya da dəyişir.

Həmin aralıq üçün funksiyanın anonim dəyəri şəxsiyyətsizdir.

Bu şəkildə, çoxluqları birləşdirmək üçün funksiyanın dəyərinin əhatə dairəsi lazımdır.

Qrafik illüstrasiyalar.

Okremo dövri funksiyalar üzərində izlər. Dövri funksiyaların dəyərinin əhatə dairəsi funksiyanın dövründən asılı olan intervalın şəxsi dəyərindən dəyişdirilir.

butt.

y = sinx sinus funksiyasının diapazonunu tapın.

Həll.

Bu funksiya iki pi dövrü ilə dövridir. Vіzmemo vіdrіzok ta Nymu haqqında əhəmiyyətli dərəcədə şəxsiyyətsiz məna.

Vіdrіzku yalan iki nöqtə ekstremum ta .

Bu nöqtələrdə və vіrіzka sərhədlərində funksiyanın dəyərini hesablayırıq, ən kiçik və ən yüksək dəyəri seçirik:

Otzhe, .

butt.

Funksiyanın əhatə dairəsini tapın .

Həll.

Bilirik ki, arkkosinin dəyərlərinin diapazonu є vіdrіzok sıfırdan nіyə qədərdir, onda, və ya başqa bir girişdə. Funksiya otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh ox abscissa ola bilər. Əraziyə belə bir transformasiya vurulmamalıdır ki, . Funksiya çıxmaq vtrychі vzdovzh osі üçün uzandı Oy, tobto, . Transformasiyanın 1-ci qalan mərhələsi - ordinatların uzdovzh oxundan aşağıya tək tse zsuv chotirma. Bizi metro əsəbinə salmağa dəyməz

Bu sırada, dəyərin şukana sahəsidir .

Gəlin daha bir omba üçün bir həll edək, amma izahat vermədən (qoxuya ehtiyac yoxdur, mən də bunun üçün də edəcəm).

butt.

Funksiyanın əhatə dairəsini müəyyənləşdirin .

Həll.

kimi çıxış funksiyasını yazaq . Dövlət funksiyasının dəyər sahəsi intervaldır. Tobto, . Todi

Otzhe, .

Şəkili tamamlamaq üçün funksiyanın kəsilməyən əhatə dairəsi olduğu üçün funksiyanın dəyərinin əhatə dairəsindən danışaq. Bu vəziyyətdə, təyinat sahəsi nöqtələrlə boşluqlara bölünür və onların dərisindəki mənasız dəyərini bilirik. Çarpan dəyərlərini çıxarmağı birləşdirərək, çıxış funksiyasının dəyərinin sahəsini çıxarırıq. Mənfi bir hərəkət etmək üçün 3 sol funksiya dəyərini təxmin etmək tövsiyə olunur və x sağa 3-ə qədərdirsə, funksiyanın dəyəri üstəgəl qeyri-dəqiqlikdir.

Bu şəkildə, funksiya sahəsi üç intervala bölünür.

Bir funksiyam olsun . Oscilki, onda

Beləliklə, interval üçün çıxış funksiyasının şəxsiyyətsiz qiyməti є [-6; 2].

Sonuncu intervalda y = -1 sabit funksiyasına malik olmaq mümkündür. Beləliklə, aralıq üçün xarici funksiyanın şəxsi dəyəri bir elementdən toplanır.

Funksiya arqumentin bütün faktiki dəyərlərinə təyin edilir. Z'yasuєmo promiski artım və funksiyanın dəyişməsi.

Pokhіdna x=-1 və x=3-də sıfıra çevrilir. Ədədi oxda əhəmiyyətli dərəcədə qi nöqtələri və alt intervallarda əhəmiyyətli dərəcədə oxşar işarələr.

Funksiya olaraq dəyişir , [-1 ilə artım; 3] , minimuma x=-1 bal, maksimuma x=3 bal.

Minimum və maksimum funksiyaları hesablayaq:

Uyğunsuzluqda funksiyanın davranışının dəyişdirilməsi:

Başqa bir mejuya görə ittiham edildi.

Daha sxematik stullar.

Arqument mənfi qeyri-müəyyənlikdən -1-ə dəyişdirildikdə, funksiyanın dəyəri üstəgəl sonsuzluqdan -2e-yə dəyişir, arqument -1-dən 3-ə dəyişdirildikdə, funksiyanın dəyəri -2e-dən , arqument olduqda 3-dən üstəgəl tamamlanmamış dəyərə dəyişdirilir, lakin onlar sıfıra çatmır.

Funksiya anlamaq üçün ən vacib riyazi anlayışlardan biridir.

Təyinat: Əgər ikilik çarpanının x dəri nömrəsi bir y-ə təyin edilirsə, o zaman y(x) funksiyasının çarpana təyin edildiyi görünür. X müstəqil dəyişiklik arqumenti, y isə funksiyanın aşağı dəyişmə dəyəri adlandıqda, bu, sadəcə bir funksiyadır.

Belə desək, y-ni dəyişən x-i dəyişmə funksiyasıdır.

Müəyyən bir hərfin, məsələn, f-nin etibarlılığını qeyd edərək, yazmaq asandır: y=f (x), belə ki, y-nin qiyməti f-nin əlavə etibarlılığı üçün x arqumentindən gəlir. (Oxu: y x-də f-ə bərabərdir.) f (x) simvolu x-ə bərabər olan arqumentin dəyərinə uyğun gələn funksiyanın qiymətini bildirir.

Nümunə 1 Funksiya y=2x 2 –6 düsturu ilə təyin edilsin. Onda f(x) = 2x2-6 olduğunu yazmaq olar. Biz x funksiyasının qiymətini bilirik, bərabərdir, məsələn, 1; 2.5;-3; biz f(1), f(2,5), f(–3) bilirik:

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Hörmətlə qeyd digər hərflərlə yaşamaq üçün f əvəzinə y=f (x) formasına malikdir: g, onda.

Təyinat: funksiyanın əhatə dairəsi - eyni funksiyaya malik olan x dəyəri.

Əgər funksiya düsturla verilirsə və funksiyanın əhatə dairəsi təyin edilmirsə, o zaman düsturun mənası olmayan arqumentin dəyərinə funksiyanın əhatə dairəsinin əlavə edilməsi vacibdir.

Əks halda, zahirən, düsturla verilən funksiyanın əhatə dairəsi, arqumentin dəyəridir, krem sakitdir, diyə istehsal edildiyi kimi, biz vikonate edə bilərik. Hazırda onlardan yalnız ikisini tanıyırıq. Biz sıfıra bölmək olmaz və mənfi ədədin kvadrat kökünü götürə bilmərik.

Təyinat: Dəyərdən istifadə edin, əgər boş dəyişikliyi qəbul etsəniz, funksiya dəyərinin sahəsini təyin edin.

Həqiqi prosesi təsvir edən təyin edilmiş funksiyanın əhatə dairəsi xüsusi ağılların və proseslərin şüurunda yatmaqdır. Məsələn, t qızma temperaturundan asılı olaraq kəsmə uzunluğunun uzunluğunun uzunluğunun köhnəlməsi, uzunluğunun uzunluğunun uzunluğunun uzunluğunun uzunluğunun de l 0 düsturu ilə ifadə edilir. uzunluğu və xətti genişlənmə əmsalı. t-nin istənilən dəyəri üçün maє sens düsturu təyin edilir. Bununla belə, l = g (t) funksiyasının əhatə dairəsi onlarla dərəcə intervalıdır, bunun üçün xətti genişlənmə qanunu ədalətlidir.

butt.

Funksiya diapazonunu təyin edin y=arcsinx.

Həll.

Arcsine є vіdrіzok üçün təyin olunan sahə [-1; 1] . Hər mövzu üçün ən çox və ən az vacib funksiyanı bilək.

Pokhіdna hər kəs üçün müsbətdir x intervaldan (-1; 1) , buna görə də arksinusun funksiyası təyinatın bütün diapazonunda artır. Otzhe, ən vacib şey nabuvaє x=-1, və ən çox x=1.