ax 2 + bx + 0 0, de yazın (işarənin dəyişdirilməsi > mümkün, həssas, qeyri-bərabərliyin başqa əlaməti olsun). Nəzəriyyə faktları ilə bu cür uyğunsuzluqları həll etmək üçün hər şey lazımdır, biz niyə bir anda dəyişə biləcəyimizi görə bilərik.
omba 1. Virishiti nerіvnіst:
a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
həll,
a) Əncirdə təsvir olunan y \u003d x 2 - 2x - 3 paraboluna baxaq. 117.
Virishity qeyri-bərabərliyi x 2 - 2x - 3 > 0 - enerji təchizatı demək deyil, bunun üçün x ordinatının parabolanın nöqtəsi müsbətdir.
Hörmətlə, y > 0 olarsa, genişlənmə funksiyasının qrafiki x oxu üçün daha yüksəkdir, x-də< -1 или при х > 3.
Otzhe, qeyri-bərabərliyin həlli bütün açıqlıq nöqtələridir mənim haqqımda(- 00 , - 1) və açıq-kritik diapazonun bütün nöqtələrini tapın (3, +00).
Vykoristovuyuchi işarəsi U (bölmə əlaməti), bu kimi yazıla bilər: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd belə yazıla bilər: x< - 1; х > 3.
b) Qeyri-bərabərlik x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: cədvəli x oxunun altına yayılaraq, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
c) Qaydasızlıq x 2 - 2x - 3 > 0 qeyri-bərabərlik kimi sayılır x 2 - 2x - 3 > 0, ona görə də siz x 2 - 2x - 3 = 0, sonra x = -1 nöqtələrini daxil etməlisiniz.
і x \u003d 3. Bu qaydada verilən həllər tamamilə qeyri-bərabər deyil və bütün dəyişiklik nöqtələri (-00, - 1], həmçinin bığların dəyişmə nöqtələri.
Praktik riyaziyyatçılar belə səslənirlər: kvadrat funksiyanın qrafikinin parabolasını dəqiq inkişaf etdirmək üçün balta 2 + bx + c\u003e 0 qeyri-bərabərliyini sübut edərək bizə gəlin.
y \u003d ax 2 + bx + c (bu, 1-də necə parçalandı)? Eskizli kiçik qrafiki tamamlayır kök kvadrat trinomialın (parabolanın çarpaz çubuğunun nöqtələri z vіssy х) və işarə edir ki, burada parabolanın iynələrinin düzəldilməsi yoxuşa doğrudur. Bu sketchy kiçik bir rozv'yazannya əsəbilik bir bulud verəcək.
omba 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Həll.
1) Kvadrat trinomialın kökünü bilirik - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.
2) Parabola, y \u003d -2x 2 + Zx + 9 funksiyasının qrafiki kimi, bütün x nöqtələrini 3 i - 1,5 nöqtələrində dəyişdirir və parabolanın sancaqları aşağı düzəldilir, böyüklər əmsal- Mənfi rəqəm - 2. Şek. Kiçik qrafikanın 118 təsviri.
3) Vikoristovuyuchi düyü. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Təklif: x< -1,5; х > 3.
Misal 3. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Həll.
1) Z bərabər 4x 2 - 4x + 1 = 0 məlumdur.
2) Kvadrat üçhəmin bir kökü var; tse o deməkdir ki, o, kvadrat trinomialın qrafiki kimi paraboladır, bütün x-i dəyişməyib, nöqtələrdə dayanır. Parabolanın başları təpəyə düz (Şəkil 119.)
3) Şəkildə göstərilən əlavə həndəsi model üçün. 119-da müəyyən edilir ki, qeyri-bərabərlik yalnız nöqtələrlə müəyyən edilir, qrafikin ordinatının bütün digər qiymətlərində miqyaslama müsbətdir.
Təklif: .
Sən, mahnı oxu, xatırladın ki, əslində 1, 2, 3-də bütöv bir nəğmə var idi. alqoritm rozv'yazannya kvadrat pozuntular, rəsmiləşdirilmiş yogo.
Kvadrat nizamsızlığın alınması alqoritmi ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c)< 0)
Birinci mərhələdə alqoritm kvadrat trinomialın kökünü bilməlidir. Ancaq kök qırıla bilməz, niyə işləmək lazımdır? Sonra alqoritm zastosovuetsya deyil, onda, hər halda onu müşahidə etmək lazımdır. Tsikh mirkuvanın açarı belə teoremləri verməkdir.
Başqa sözlə, D< 0, а >0, onda baltanın qeyri-bərabərliyi 2 + bx + c > 0 bütün x üçün qalib gəlir; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Sübut.
Cədvəl funksiyaları y \u003d ax 2 + bx + c є parabola, iynələr yuxarıya doğru düzəldilir (skalyar a > 0) və onlar bütün x-i dəyişmir, çünki kvadrat trinomialın ağıl üçün kökü yoxdur. Qrafik Şəkildə göstərilmişdir. 120. Bachimo, bütün x ilə genişləndirmə cədvəli x oxundan yüksəkdir, lakin ce bütün x ilə tamamlanmalı olan qeyri-bərabərliyin ax 2 + bx + c > 0 olduğunu bildirir.
Başqa sözlə, D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 həlli yoxdur.
Sübut. y \u003d ax 2 + bx + c funksiyasının qrafiki< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
omba 4. Virishiti nerіvnіst:
a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.
a) 2x 2 - x + 4 kvadrat trinomialın diskriminantını bilirik. May D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Trinomialın böyük əmsalı (2 nömrə) müsbətdir.
Beləliklə, Teorem 1 üçün, bütün x üçün, 2x 2 - x + 4> 0 qeyri-bərabərliyi aradan qaldırılır ki, hamısı (-00 + 00) verilmiş qeyri-bərabərliyin həlli kimi xidmət edir.
b) Biz kvadrat trinomialın diskriminantını bilirik - x 2 + Zx - 8. May D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Etibarlılıq: a) (-00 + 00); b) həlli yoxdur.
Hücum edən budda, kvadrat pozuntuların açılışında zastosovetsya olan daha bir əyilmə yolunu bilirik.
Misal 5. Virishity nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Həll. 3x 2 - 10x + 3 kvadrat trinomialını çarpanlara genişləndiririk. Üçbucaqlı є 3 i kökünün köklərinə, ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) sürətləndirərək, 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) alırıq. 3) (x - )
Əhəmiyyətli dərəcədə trinomialın ədədi birbaşa kökündə: 3 i (şək. 122).
Qoy x> 3; onda x-3>0 і x->0, onda, i əlavə 3(x - 3)(x - ) müsbətdir. Hadi, gəl< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Həmçinin, dobutok 3(x-3)(x-) mənfidir. Hadi, gəl, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) müsbətdir.
Xülasə edərək, visnovkaya gəlirik: kvadrat trinomial Zx 2 - 10x + 3 işarələri şəkildə göstərildiyi kimi dəyişir. 122. Ancaq bizi çağırmaq lazımdır, bəzi kvadrat trinomiallar üçün mənfi qiymətlər alır. 3 şək. 122 robimo visnovok: kvadrat trinomial 3x 2 - 10x + 3 nabuє intervalında x hər hansı bir dəyəri üçün mənfi dəyərlər (, 3)
Vidpovid (, 3), əks halda< х < 3.
Hörmət. 5-ci butt üzərində istifadə etdiyimiz güzgü üsuluna intervallar üsulu (və ya intervallar üsulu) deyilir. Win, mükəmməllik üçün riyaziyyatda fəal şəkildə qalib gəlir rasional pozuntular. 9-cu sinifdə intervallar metodu daha ətraflı izah olunur.
omba 6. Parametrin istənilən dəyəri üçün p kvadrat bərabər x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) iki fərqli kök var;
b) bir kök var;
c) kök deyil?
Həll. Kvadrat bərabərləşdirmənin köklərinin sayını birinci diskriminant D işarəsinə görə tapmaq lazımdır. Bu halda D = 25 - 4p2 məlumdur.
a) Kvadrat düzülüşü D>0 kimi iki fərqli kökə malik ola bilər, buna görə də vəzifə 25 - 4p 2 > 0 qeyri-bərabərliyinin düzülməsinə qədər qurmaqdır. 4r 2 - 25 qeyri-bərabərliyinin bərabərliyini götürürük< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Virase 4(p – 2.5) (p + 2.5) əlamətləri şək.də göstərilmişdir. 123.
Robimo visnovok, qeyri-bərabər 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
b) kvadrat düzülüşü bir kök ola bilər, ona görə də D - 0.
Daha çox daxil etdik, p = 2.5 və ya p = -2.5 üçün D = 0.
Parametrin tsikh dəyərləri ilə eyni, yalnız bir kökə bərabər bir kvadrat verilir.
c) Kvadrat D kimi kökə bərabər deyil< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
4p 2 - 25 > 0 alırıq; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, ulduzlar (bölmə Şəkil 123) p< -2,5; р >2.5. Verilmiş parametrin tsikh dəyərləri ilə kvadratın kökü yoxdur.
Vidpovid: a) p(-2.5, 2.5);
b) p = 2,5 abor = -2,5-də;
c) r-də< - 2,5 или р > 2,5.
Mordkoviç A.G., Cəbr. 8-ci sinif: Navch. zagalnosvіt üçün. quraşdırma - 3-cü görünüş., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 s.: il.
Məktəbliyə kömək online, Riyaziyyat 8-ci sinif yükləmək, təqvim-tematik planlaşdırma
Xətti uyğunsuzluqlar adlanır bəzi naməlum böyüklükdə belə xətti funksiyaların sol və sağ hissəsi. Onlardan əvvəl, məsələn, əsəbilik görmək olar:
2x-1-x +3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .
1) Suvori qeyri-bərabərliyi: ax+b>0 və ya balta+b<0
2) Qeyri-ciddi pozuntular: ax+b≤0 və ya balta+b≫ 0
Gəlin nəzər salaq. Paraleloqramın tərəflərindən biri 7 sm olur. Paraleloqramın perimetri 44 sm-dən böyük olması üçün qarşı tərəfin uzunluğu nə qədər ola bilər?
Səhmlərin şukana tərəfinə gəlin X bax Bu dəfə paraleloqramın perimetri təsvirlərə sahib olacaq (14 + 2x) bax Düzensizlik 14 + 2x > 44 є riyazi model Paraleloqramın perimetri ilə bağlı məsələ. Bu qeyri-bərabərlikdə olduğu kimi, dəyişikliyi dəyişdirin X On, məsələn, sayı 16, onda biz düzgün ədədi qeyri-bərabərlik almaq 14 + 32 > 44. Bu halda, görünür 16 sayı 14 + 2x > 44 arasındakı fərqlə eynidir.
Rozvyazanyam əsəbilik dəyişikliyin mənasını, sanki onların bir heyvanı kimi, düzgün ədədi qeyri-bərabərlikdə adlandırın.
Otzhe, 15.1 nömrələrindən dəri; 20;73 rozvyazkoy qeyri-bərabərlik 14 + 2x> 44 kimi akt və məsələn, 10 sayı eyni rozvyazky deyil.
Virishiti nerіvnіst bütün həlləri quraşdırmaq və ya həllin mövcud olmadığını gətirmək deməkdir.
Qeyri-bərabərliyin rozv'yazannyasının tərtibi uyğunlaşmanın kökünün formuluna bənzəyir. Yenə də "əsəbiliyin kökünü" təyin etmək adət deyil.
Ədədi ekvivalentliyin üstünlüyü virishuvati ekvivalentliyi ilə tamamlandı. Beləliklə, ədədi uyğunsuzluqların gücü uyğunsuzluqları aradan qaldırmağa kömək edəcəkdir.
Virishuyuchi ekvivalentliyi, biz yogo іnhim dəyişdiririk, biz ekvivalentliyi daha çox bağışlayacağıq, lakin verilənə bərabər olsa da. Belə bir sxemin arxasında nəticələr və uyğunsuzluqlar məlumdur. Bərabərliyi ona bərabər olanda dəyişdirərkən, bərabərləşdirmə bərabər uzunluğuna bərabər olan bir hissədən əlavələrin köçürülməsi və eyni bərabərin hər iki hissəsinin sıfırla eyni sayda vurulması haqqında teoremlə təsdiqlənir. rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdminnіst yogo z іvnyannіm halında, yak həlli іvіnnіnіnі yalnız vihіdnіnіnіnіa təyin etməklə səhv başa düşülə biləcəyi ilə mübahisə edir. Qanunsuzluqların hər gün belə bir yolu var ki, onlara şəxsiyyətsiz bir həll təqdim etmək mümkün deyil. Bunun üçün oxların oxunu başa düşmək vacibdir<=>- ekvivalentin tse işarəsi, chi bərabər, çevrilmə. Çevrilmə adlanır bərabər, və ya ekvivalentüfunət qoxusu şəxsiyyətsiz qərarı dəyişməz kimi.
rozv'yazannya qıcıqlanma üçün oxşar qaydalar.
Sanki bir şey qeyri-bərabərliyin bir hissəsindən digərinə köçürülməli idi, işarəni əksi ilə əvəz etdikdə, verilənə bərabər olan qeyri-bərabərliyi götürürük.
Əgər əsəbiliyin pozucu hissələrini eyni müsbət ədədə vurarsanız (bölsəniz), verilənə bərabər olan qeyri-bərabərliyi götürürük.
Əgər qeyri-bərabərliyin pozucu hissələrini eyni mənfi ədədə vurarsanız (bölsəniz), qeyri-bərabərliyin işarəsini uzanma ilə əvəz etsəniz, verilənə bərabər olan qeyri-bərabərliyi götürürük.
Vikoristovuyuchi qi qaydalar aşağı qıcıqlanmanın hesablanması.
1) Gəlin uyğunsuzluğa nəzər salaq 2x - 5 > 9.
Tse xətti qeyri-bərabərlik, biz yogo qərar və müzakirə əsas anlayış bilirik.
2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 əks işarə ilə sol hissəyə keçdi), sonra hər şeyi 2-yə və bəlkə də böldülər x > 7. Hər şeyə zəngin bir həll tətbiq edəcəyik x
Biz müsbət göstərişləri götürdük. Əhəmiyyətli dərəcədə şəxsiyyətsiz qərar və ya əsəbilik kimi x > 7, ya da x(7; ∞) intervalı kimi. Bəs əsəbiliklə bağlı şəxsi qərarlar haqqında nə demək olar? Misal üçün, x=10- tse özəl vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- həm də əsəbiliyin özəl variantıdır.
Şəxsi qərarlar çoxdur, amma bizim vəzifəmiz bütün qərarları bilməkdir. Və qərar, bir qayda olaraq, şəxsi deyil.
Rozberemo butt 2:
2) Əsəbiliyi aradan qaldırın 4a - 11 > a + 13.
Virishima yoga: a bir dimdiklə hərəkət edək, 11 növbəti kitaba keçin, 3a-nı götürün< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 əsəbilik görünə bilər a<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .
Tezh, görünür, şəxsiyyətsizdir a< 8 , lakin artıq oxda a.
Vidpovid və ya əsəbilik kimi yazmaq a< 8, либо a(-∞;8), 8 daxil deyil.
Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Səbəblərə görə, məlumatlarınızı topladığımız üçün Məxfilik Siyasətini təsvir edildiyi kimi genişləndirdik. Mehriban olun, məxfilik siyasətimizi oxuyun və qida ilə bağlı hər hansı sualınız varsa, bizə bildirin.
Seçilmiş şəxsi məlumatların seçilməsi
Şəxsi məlumatların altında məlumat verilir, çünki müğənninin şəxsiyyətini və onunla əlaqəni müəyyən etmək üçün qalib gəlmək mümkündür.
Bizimlə əlaqə saxlasanız, sizdən şəxsi məlumatlarınız tələb oluna bilər.
Aşağıda, seçə biləcəyimiz və seçə biləcəyimiz kimi şəxsi məlumat növlərinin bəzi nümunələri var.
Şəxsi məlumatı necə toplayırıq:
- Saytda ərizə təqdim etsəniz, adınızı, telefon nömrənizi, ünvanınızı daxil olmaqla müxtəlif məlumatları toplaya bilərik e-poçt və s.
Şəxsi məlumatlarınızı necə toplayırıq:
- Bizim tərəfimizdən toplanan şəxsi məlumatlar bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digərləri haqqında sizə məlumat verməyə, ziyarət etməyə və ən yaxın olanları tapmağa imkan verir.
- Zaman zaman biz vacib xatırlatmaları və xatırlatmaları gücləndirmək üçün şəxsi məlumatlarınızı vikoristovuvat edə bilərik.
- Biz həmçinin xidmətlərimizi təkmilləşdirmək üsulu ilə audit, məlumatların və digər qeydlərin təhlili kimi daxili məqsədlər üçün şəxsi məlumatları toplaya bilərik və ümid edirik ki, bu, xidmətlərimizi tövsiyə etməklə sizə verilir.
- Uduş tirajlarında, yarışmalarda və ya oxşar həvəsləndirici girişdə iştirak etdiyiniz zaman, ümid edirik ki, bu cür proqramları idarə etmək üçün məlumat qazana bilərik.
Məlumatın üçüncü şəxslərə açıqlanması
Biz sizin məlumatlarınızı üçüncü şəxslərə açıqlamırıq.
Vinyatki:
- Lazımdır - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə baxışına və / və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Biz həmçinin sizin haqqınızda məlumatı, daha da vacibi, bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, asayişin qorunması və ya digər mühüm vipadkiv üçün zəruri və ya uyğun olduğunu açıqlaya bilərik.
- Yenidən qurulma, ağırlaşdıran və ya satma zamanı biz tərəfimizdən toplanan şəxsi məlumatları, üçüncü şəxsə - cinayət törədənə ötürə bilərik.
Şəxsi məlumatların qoruyucusu
Biz xaricdə yaşayırıq - inzibati, texniki və fiziki daxil olmaqla - tullantılar, oğurluq və vicdansız vikoristannya şəklində şəxsi məlumatlarınızın qorunması, habelə icazəsiz giriş, açıqlama, bu pozuntunun dəyişdirilməsi.
Həmyaşıd şirkətdə məxfiliyinizi qorumaq
Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsizliyini təmin etmək üçün şəxsi məlumatlarınızı dəyişdirmək üçün kontaktlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik normalarını gətiririk və məxfilik qaydalarına ciddi şəkildə əməl edirik.
Bu gün, dostlar, heç bir gündəlik sökmə və əhval-ruhiyyə olmayacaq. Onların əvəzi olaraq, 8-9-cu sinif cəbr kursunda ən pis rəqiblərdən birini məğlub etmək üçün heç bir güc olmadan sizə istiqamət verəcəyəm.
Beləliklə, siz hər şeyi düzgün başa düşdünüz: modulla uyğunsuzluqları araşdırın. Gəlin bəzi əsas prinsiplərə nəzər salaq, onların köməyi ilə bu cür tapşırıqların 90%-ə yaxınının öhdəsindən gəlməyi öyrənəcəksiniz. Bəs 10% reshtoyu haqqında nə demək olar? Yaxşı, yaxşı bir dərsdə onlar haqqında danışacağıq.
Bununla belə, ondan əvvəl, orada necə qəbul ediləcəyini necə başa düşmək olar, bilmək lazım olan iki faktı təxmin etmək istərdim. Əks halda, bugünkü dərsin materialı ilə bağlı bilikləri yoxlayacaqsınız.
Nə bilmək lazımdır
Aydındır ki, modulla uyğunsuzluqları aradan qaldırmaq üçün iki söz bilmək lazımdır:
- Əsəbilik necə qəzəblənir;
- Modul nədir?
Başqa bir nöqtədən başlayaq.
Modulun funksiyası
Burada hər şey sadədir. Є iki funksiya: cəbri və qrafik. Cob - cəbr üçün:
Təyinat. $x$ ədədinin modulu ya mənə görünmədiyi üçün ədədin özüdür, ya da digər $x$ kimi sizə əks olan ədəd hələ də mənfidir.
Bunu belə qeyd edin:
\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]
Sadə dillə desək, modul “mənfi olmayan rəqəmdir”. Mən özüm bu ikilikdəyəm (burada, son nömrədən heç bir şey işlənməyə ehtiyac yoxdur, amma burada bir minus götürmək olur) və mən tələbələr-pochatkivtsiv üçün bütün qatlamalardan istifadə edirəm.
Daha çox həndəsi dizayn. Bunu bilmək də yaxşıdır, lakin biz qatlana bilən və hətta xüsusi üsullarla yenisinə qədər getmə ehtimalımız az olacaq, həndəsi pidkhіd cəbr üçün müvəffəq olur (spoiler: bu gün deyil).
Təyinat. Nömrə xəttində $a$ nöqtəsi qeyd olunsun. Eyni modul $ \ sol | x-a \right|$ bu xəttin $x$ nöqtəsindən $a$ nöqtəsinə çağırılır.
Şəkli keçmək istəyirsinizsə, onu kshtalt tsogo-da görə bilərsiniz:
Modulun qrafik dizaynı Başqa nə, modulun təyin edilməsindən dərhal açar gücü görür: ədədin modulu həmişə böyüklüyünə bərabərdir. Bu fakt bizim bugünkü danışıqlarımızın hamısından keçmək üçün qırmızı iplik olacaq.
Virishennya nerіvnosti. İnterval üsulu
İndi əsəbiliyə nəzər salaq. Їхісує şəxsiyyətsiz, lakin bizim vəzifəmiz bir anda virishuvati öldürməkdir və onlardan ən sadəsi olmaq istəyir. Tі, scho zvoditsya xətti pozuntular və navіt intervalları üsulu.
Bu mövzuda iki böyük dərsim var (mіzh іnshim, daha çox, daha çox qəhvəyi - vivchiti tövsiyə edirəm):
- Düzensizliklər üçün interval üsulu (xüsusilə videoya baxın);
- Fraksiyalı-rasional uyğunsuzluqlar - hətta ümumi bir dərs, amma sonra yeməkdən kifayət qədər almırsınız.
Əgər siz hər şeyi bilirsinizsə, “gəlin qeyri-bərabərlikdən bərabərliyə keçək” ifadəsi özünüzü divara çırpmaqdan dəlicəsinə yorulduğunuz kimi səslənmirsə, deməli hazırsınız: əsas dərsə qədər sizi cəhənnəmə diləyirik. . :)
1. Ağılın qeyri-müntəzəmliyi "Funksiyadan az modul"
Bu modullarla ən geniş tapşırıqlardan biridir. Ağılın qeyri-bərabərliyini aradan qaldırmaq lazımdır:
\[\sol| f\sağ| \ltg\]
$f$ və $g$ funksiyalarının rolu çoxhədli ola bilər. Belə uyğunsuzluqları tətbiq edin:
\[\begin(align) & \left| 2x+3\sağ| \ltx+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\sol| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]
Bütün iylər sxemin arxasında sözün əsl mənasında bir cərgədədir:
\[\sol| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g\dörd \sol(\Sağ ox \sol\( \başla(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(düzləşdir) \sağ.\sağ)\]
Modulun qorunub saxlanmasının əhəmiyyəti yoxdur, lakin biz əsas uyğunsuzluğu aradan qaldıra bilərik (əks halda, eyni, iki uyğunsuzluq sistemi). Prote cey transfer vrakhovu tamamilə hər şey mümkün problemlər: modulun altındakı rəqəm müsbət olarsa, metod işləyir; akscho mənfi - hamısı eyni təcrübə; Və evin ən qeyri-adekvat funksiyası üçün navit $f$ chi $g$ metodu hamısı eyni işləyir.
Aydındır ki, yeməyi günahlandırın: daha sadə ola bilməzmi? Təəssüf ki, bu mümkün deyil. Kim modulun bütün xüsusiyyətinə malikdir.
Vtіm, fəlsəfəyə sadiq qalın. Günün budağını oxuyaq:
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| 2x+3\sağ| \ltx+7\]
Həll. Həmçinin, bizdən əvvəl klassik nerіvnіst mind "kiçik modul" - heç bir şey yenidən etmək. Alqoritm üçün məşq:
\[\begin(align) & \left| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3\sağ| \lt x+7\Sağ ox -\sol(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(align)\]
Qarşısında "mənfi" olan tağları açmağa tələsməyin: mümkün qədər, tələsik, məcazi bir əfvlə əylənəcəksiniz.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \sağa.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağa.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağ.\]
Tapşırıq iki elementar pozuntuya qədər idi. Paralel ədədi xətlərdə əhəmiyyətli dərəcədə їх virіshennia:
Çoxlu Peretin
Peretin tsikh çoxaldı və aydın olacaq.
Uyğunluq: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]
Həll. Sifariş artıq xırda-xırda yığılıb. Kob üçün başqa bir əlavəni sağa köçürərək moduldan istifadə edirik:
\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]
Aydındır ki, biz "kiçik modul" formasının yeni qeyri-bərabərliyi ilə qarşılaşırıq, ona görə də modula artıq mövcud alqoritm üçün icazə veririk:
\[-\left(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]
Yoluxucu hörmət oxu: sizə deyim ki, mən qandallı bığlıyam. Ale, əsas metamızın nə olduğunu bir daha təxmin edəcəm savadlı virishiti nerіvnіst və otrimati vіdpovіd. Daha sonra, bu dərsdə aşkar edilən hər şeyi hərtərəfli mənimsəmiş olsanız, özünüzü istədiyiniz kimi bükə bilərsiniz: qolları açın, mənfi cəhətlər əlavə edin və s.
Və bizim üçün, kob üçün, sadəcə olaraq, pisliyin məhvedici mənfi cəhətlərinə oyanacağıq:
\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ)=\sol(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \sol(x+1 \sağ) =3\sol(x+1\sağ)\]
İndi əsas əsəbiliyin bütün tağları açılıb:
Gəlin metro əsəbinə keçək. Bu dəfə nişanlar daha ciddi olacaq:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalayın) \sağa.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( düzləşdirin)\sağa.\]
Qeyri-bərabərlik pozuntuları kvadratlara bölünür və fasilələr üsulu ilə pozulur (lakin sizə deyim: bunun nə olduğunu bilmirsiniz, əksinə, modulları hələ qəbul etməyin). Gəlin birinci qeyri-bərabərliyə keçək:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\sol(x+5\sağ)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(hizalayın)\]
Bachimo kimi, çıxışda qeyri-bərabər, hətta elementar idi. İndi sistemin başqa bir əsəbiliyinə nəzər salaq. Burada Vyet teoreminin zastosuvatı baş verir:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \sağ)\left(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(hizalayın)\]
İki paralel xəttdəki rəqəmləri əhəmiyyətli dərəcədə çıxarın (birinci qeyri-bərabərlik üçün okrema və digəri üçün okrema):
Əminəm ki, nizamsızlıqlar sistemini bizimlə parçalayaraq, kölgə çarpanlarının sətirlərini təkrarlayacağıq: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.
Uyğunluq: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Düşünürəm ki, onların tətbiqindən sonra həll sxemi sərhədsiz məna kəsb etdi:
- Bütün digər əlavələri qeyri-bərabərliyin əsas hissəsinə köçürərək modulu mənimsəyin. Bu şəkildə biz $\left| ağlın uyğunsuzluğunu nəzərə alırıq f\sağ| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerіvnіst, yuxarıda təsvir edilən sxem üçün modulu ayırdı. Müəyyən bir məqamda subvariant əsəbilikdən dərisi tamamilə bərpa oluna bilən iki müstəqil virus sisteminə keçmək lazımdır.
- Nareşti, bu iki müstəqil hecanın həllindən məhrum olmaq - və bütün götürdüklərimiz qalıqdır.
Bənzər bir alqoritm, modul funksiyadan böyükdürsə, hücum tipli kobudluqlar üçün istifadə olunur. Bununla belə, ciddi "ale" bir budaq var. Birdən qi "ale" haqqında danışaq.
2. Ağılın qeyri-müntəzəmliyi "Modul funksiyadan daha çox şeydir"
Onlar belə görünür:
\[\sol| f\sağ| \gt g\]
Ön tərəfə bənzəyir? Belə görünür. Prote vyrishyuyutsya belə zavdannya zovsыm fərqli şəkildə. Formal olaraq, sxem gəlir:
\[\sol| f\sağ| \gt g\Sağ ox \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(düzləşdirin) \sağa.\]
Başqa sözlə, iki nöqtəni görə bilərik:
- Digər tərəfdən, sadəcə modulu görməməzlikdən gəlir - virishhuєmo normal uyğunsuzluq;
- Əsasən 3-cü modulu mənfi işarə ilə genişləndirək və sonra qeyri-bərabərliyin pozan hissəsini işarədən kiçik olan -1-ə vuracağıq.
Bu variantda onların kvadrat yay, tobto var. ikisinin evliliyi ola biler.
Hörməti yenidən qaytarın: biz bir sistemin qarşısında deyilik, amma sukupnist, vіdpovіdі şəxsiyyətlərdə birləşirlər, lakin dəyişmirlər. Ön nöqtəni görmək vacibdir!
Vzagali, z ob'ednannymi və zəngin uchnіv sutsіlna plutanina da peretina, onu təkrar-təkrar tsommu qidalanmasında sıralayaq:
- "∪" - ob'ednannya əlamətidir. Əslində, "U" hərfi bizə gəldiyi kimi stilizə edilmişdir ingilis filmiє “Birlik”, tobto kimi abbreviatura. "Birlik".
- "∩" xəttin işarəsidir. Tsya crap səs gəlmədi, ancaq "∪" əvvəl yazılmış kimi sadəcə vinil.
Yadda saxlamağı asanlaşdırmaq üçün bu işarələrə qədər rəngləmək kifayətdir ki, kelixlər görünsün (ox yalnız narkomaniya və alkoqolizm təbliğatında məni bir anda çağırmağa ehtiyac duymur: bütün dərsi öyrənsən, onda sən artıq narkotik aludəçisidirlər):
Rіznitsya mizh retinom və ob'єdnannyam mnozhin Rus tse-nin tərcüməsində bu, aşağıdakı mənaları ifadə edir: birləşmə (təchizat) hər iki dəstdən öz elementlərini ehtiva edir, yəni dəridən az deyil; və tor qişanın oxuna (sisteminə) yalnız eyni zamanda birinci çarpan, digərində olan elementlər daxildir. Buna görə də, çoxlu tətillərin çoxluğu yoxdur.
Daha məntiqli oldu? Məndən yaxşı. Gəlin məşqə keçək.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]
Həll. Sxem üçün Diemo:
\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Sağ ox \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \sağ) \\end(align) \ sağ .\]
Virishuemo dəri nerіvnіnі suupnostі:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \sağa.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \sağa.\]
Demək istəyirəm ki, mən dərini rəqəm xətti ilə çoxaldacağam və sonra onları birləşdirəcəyik:
Çoxluqların birləşməsi
Tamamilə aydındır ki, $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Təklif: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]
Həll. Yaxşı, nə? Bu heç nə - hamısı eyni. Gəlin modul ilə qeyri-bərabərlikdən iki qeyri-bərabərliyin birləşməsinə keçək:
\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Sağ ox \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]
Dərinin qıcıqlanmasını aradan qaldırır. Təəssüf ki, kök artıq orada olmayacaq.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(hizalayın)\]
Digər əsəbiliyin də bir oyunu var:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(hizalayın)\]
İndi iki oxda nömrələri hesablamaq lazımdır - dəri qeyri-bərabərliyi üçün bir ox. Bununla belə, nöqtələri düzgün ardıcıllıqla qeyd etmək lazımdır: rəqəm nə qədər yüksəkdirsə, nöqtə bir o qədər sağa köçürülür.
I oxu burada bizi yoxlayır. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ rəqəmlərinə gəldikdə isə hər şey aydındır ) , ona görə də cəmi azdır) , $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ ədədləri ilə mənfidən böyükdür), sonra qalanları ilə cüt, hər şey o qədər də aydın deyil. Hansı daha böyükdür: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ və ya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme say xətlərində і, vlasne, vіdpovіd nöqtələrinin təşkili.
Beləliklə, gəlin nəzər salaq:
\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]
Kökü təsdiqlədik, qeyri-bərabərliyin hər iki tərəfindən mənfi rəqəmləri götürdük, buna görə də təhqir edən tərəfləri kvadratlaşdırmaq hüququmuz var:
\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]
Düşünürəm ki, mən başa düşdüm ki, $4\sqrt(13) \gt 3$, $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, baltalardakı qalan nöqtələr aşağıdakı kimi yerləşdiriləcəkdir:
Çirkin kök vipadok
Düşünürəm ki, biz sukupnіst görürük, buna görə də kölgə çoxalmalarının dəyişdirilməsi deyil, birləşmə lazımdır.
Cavab: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\sağ)$
Baxit kimi, bizim sxemimiz həm sadə, həm də çətin işlərdə möcüzəvi şəkildə işləyir. Belə bir insan üçün yeganə "zəif yer" irrasional ədədləri bacarıqla balanslaşdırmaq ehtiyacıdır (və çevirmək: kökdən çox deyil). Alya rasyona bir okremium (və hətta ciddi bir dərs) təqdis olunacaq. Və gedək.
3. Görünməz "quyruqlar" ilə nizamsızlıqlar
Ən yaxşılardan uzaqlaşdıq. Qeyri-bərabər ağılın qiyməti:
\[\sol| f\sağ| \gt\left| g\right|\]
Göründüyü kimi, birdən danışacağımız alqoritm modul üçün daha yaxşıdır. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє stendi nevid'єmnі vrazi:
Bu vəzifələrin işi nədir? Sadəcə unutmayın:
Görünməz "quyruqları" olan nizamsızlıqlar təbii dünyanın təhqiredici hissələrinə səbəb ola bilər. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu deyil vynikne.
Qarşımızda bir kvadratda tsikavitime zvedennya var - vіn yuxu modulları ki, kök:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\end(hizalayın)\]
Ox yalnız kvadratın kökündən aldatmaq lazım deyil:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \right|\ne f\]
Modulu quraşdırmağı unutmağı öyrənsəniz, o anda şəxsiyyətsiz əfvlərə icazə verildi! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі irrasional rіvnyannya), tse bir anda zaglyuvatymosya deyil. Günün spratını daha aydın görək:
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]
Həll. Yenə də iki sözə hörmət edirik:
- Tse suvora nerіvnіst deyil. Rəqəm xəttindəki Krapki qırılacaq.
- Uyğunsuzluğun təhqiredici tərəfləri aydın görünmür (modulun gücü: $ \ sol | f \ sol (x \ sağ) \ sağ | \ ge 0 $).
Həmçinin, moduldan xilas olmaq və ən yaxşı interval metodundan istifadə edərək tapşırığı aradan qaldırmaq üçün qeyri-bərabərliyin təhqiredici hissələrini kvadratlaşdıra bilərik:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \sağ))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \sağ| \sağ)) ) ^ (2)); \\ & ((\sol(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\end(hizalayın)\]
Mərhələnin qalan hissəsində bir az fırıldaq etdim: əlavələrin ardıcıllığını dəyişdirmək, modulun paritetini qısaltmaq (əslində $1-2x$-ı -1-ə vurmaq).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]
Virishuemo intervallar üsulu ilə. Gəlin qeyri-bərabərlikdən uyğunlaşmaya keçək:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(hizalayın)\]
Görünür, kök say xəttində tapılır. Bir dəfə də: bığları farbovani ləkələri, əsəb qırıqları - Suvora deyil!
Zvіlnennya modulun işarəsinə görə
Xüsusilə barışmaz olanlar üçün güman edirəm: qeyri-bərabərliyin qalan hissəsindən işarələr alırıq, sanki bula bərabərliyə keçiddən əvvəl yazılmışdır. Mən rayon zafarbovuyemo, yakі eyni qeyri-bərabərlik lazımdır. Vipadımızda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ var.
Yaxşı, hər şeydən. Tapşırıq bitdi.
Təklif: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]
Həll. Robimo eynidir. Şərh etmirəm - sadəcə hərəkətlərin ardıcıllığına heyranam.
Bir kvadrat götürək:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) ) ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağa))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \sol(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]
Interval üsulu:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ox x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(hizalayın)\]
Say xəttində yalnız bir kök:
Vidpovid - tsiliy interval
Təklif: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Başın qalan hissəsinə az hörmət. Tələbələrimdən birinə tam hörmət etdiyim kimi, alt modulun təhqirləri bu əsəbilikdə açıq şəkildə müsbətdir, ona görə də modulun işarəsi sağlamlığa zərər vermədən buraxıla bilər.
Ale tse artıq zovsіm іnshiy rіven razdumіv ki, іnshі pіdkhіd yoqo zehni olaraq nasledkіv metodu adlandırmaq olar. Okremou urotsi-də yeni haqqında. İndi isə keçək bugünkü dərsin yekun hissəsinə, yəni universal alqoritmdir və bu, əbədi olaraq tətbiq olunur. Navit sonra, bütün irəli olanlar gücsüz olduğu ortaya çıxdı.
4. Variantların sadalanması üsulu
Və niyə bütün priyomi kömək etmir? Necə olur ki, qeyri-bərabərlik görünməz quyruqlardan qaynaqlanmır, modul necə daxil edilmir, necə başlaya bilər?
Sonra bütün riyaziyyatın böyük artilleriyası mərhələyə keçir - sadalama üsulu. Moduldan yüzlərlə pozuntu belə görünür:
- Bütün pіdmodulnі vrazi yazın və onları sıfıra bərabərləşdirin;
- Rozvyazati otrimani rіvnyannya ki, vіznázchiti znaydenі korenі bir ədədi düz xətt üzərində;
- Kіlka dіlyanok-da birbaşa rozіb'єtsya, belə bir dəri modulunun ortası işarəni düzəldə bilər və bu, birmənalı olaraq rozkrivaєєtsya;
- Virishiti nerіvnіst on kozhnіy belə dilyanci (üstlük üçün 2-ci bənddə kök-kordoniya, otrimaniyə baxa bilərsiniz). Birliyin nəticələri - tse i bude vіdpovіd.
Yaxşı, yak? Zəif? Asan! Uzun müddətə. Praktik olaraq baxaq:
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\sol| x+2 \sağ| \lt\sol| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Həll. Tsya crap qıcıqlanmaq yoxdur $ \ sol | f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ və ya $\left| f\sağ| \lt\sol| g \right|$, hər şey qaydasındadır.
Submodul virazi yazırıq, onları sıfıra bərabərləşdiririk və kökünü bilirik:
\[\begin(align) & x+2=0\Sağ ox x=-2; \& x-1=0\Sağ ox x=1. \\end(hizalayın)\]
Birlikdə nömrəni düz üç süjetə ayıran iki kökümüz var, bu dərilərin ortasında modul birmənalı şəkildə açılır:
Say xəttini submodul funksiyaların sıfırları ilə bölmək
dəri okremo baxaq.
1. $x \lt -2$ verin. Todi mənfi pіdmodulnі virazi təhqir edir, mən vihіdna nerіvnіst belə yazıram:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(hizalayın)\]
Zdobuli dosit yalnız obmezhennya. $x \lt -2$ olan qalan müavinətlərlə yoga hərəkət edək:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Sağ ox x\in \varnothing \]
Aydındır ki, $x$-ın dəyişməsi bir gecədə -2-dən az ola bilməz, lakin 1,5-dən çox ola bilməz. Bu biznes üçün heç bir həll yoxdur.
1.1. Okremo yaxın kordon vipadok $x=-2$ baxın. Gəlin bu rəqəmi uyğunsuzluq olmadan və yoxlanılmaqla təsəvvür edək: niyə qalib gəlir?
\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \sol| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Sağ ox \varheç nə. \\end(hizalayın)\]
Dilçinin bizi ağlasığmaz qeyri-bərabərlik həddinə çatdırdığı göz qabağındadır. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh yanlış, і $x=-2$ vіdpovіd getməyin.
2. İndi $-2 \lt x \lt 1$ verin. Kitabxana modulu artıq bir artı ilə hazırlanır, lakin doğru modul hələ də mənfidir. Maemo:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\son (hizalayın)\]
Mən onu vikidnoy vimoqoy ilə yenidən dəyişirəm:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Sağ ox x\in \varheç bir şey \]
Boş şəxsiyyətsiz həlli təzələyirəm, eyni zamanda -2,5-dən az və -2-dən çox olan belə nömrələrin heç bir qəlpəsi yoxdur.
2.1. Okremy vipadoku yeniləyirəm: $ x = 1 $. Təsəvvür edək ki, çıxış qeyri-bərabərdir:
\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt\sol| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Sağ ox \var heç nə. \\end(hizalayın)\]
Ön "şəxsi düşmə" kimi, $x=1$ rəqəmi açıq şəkildə düşməyə daxil edilmir.
3. Qalan parça düz: $x \gt 1$. Burada bütün modullar artı işarəsi ilə əyilmişdir:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
Xarici mübadilələrin çoxluğunu yenidən nəzərdən keçirirəm:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Sağ ox x\in \sol(4,5;+\infty) \sağ)\]
Yaxşı, alın! Biz povіddu olacaq interval bilirdi.
Təklif: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Nasamkinets - bir hörmət, bəlkə də real tapşırıqlar yerinə yetirildikdə sizi pis əfvlərdən xilas edir:
Virishennya nerіvіvnosti z modulları zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. İzolyasiya edilmiş nöqtələr daha yavaş tutulur. Həlllər arasında (kіnets vіdrіzka) təhlil edilən diapazonun hüdudlarından kənara çıxması üçün tələyə düşmə ehtimalı daha yüksəkdir.
O vaxtdan bəri, sanki kordonlar (bu "özəl vipadkilər" özləri) mühafizəçilərə girmirlər, sonra mayzhe, mahnı oxuyaraq, mühafizəçilərə və şər sahəsinə getməyin - bu kordonlara girmək hüququ. І navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh vіdpovіdyami olacaq.
Qərarınızı dəyişdirsəniz, bu barədə unutmayın.
Və ümumi obsyazy bugünkü rasional uyğunsuzluqlar geri çevrilə bilər. Daha doğrusu, nəinki hamı virishuvaya bilər. Az adam işləyə bilər.
Kliçko
Tsey dərsi çətin olacaq. Döşəmələr zhorstdur, buna görə də yoga bitməzdən əvvəl Vibrandan daha azdır. Bunun üçün oxumaqdan əvvəl qadınların, bağırsaqların, qadın uşaqlarının və ... ekranlarını təmizləməyi məsləhət görürəm.
O qarazd, həqiqətən hər şey sadədir. Ola bilsin ki, siz intervallar metodunu mənimsəmisiniz (hələ buna yiyələnməmisiniz - dönüb oxumağı məsləhət görürəm) və $P\left(x \right) \gt 0$, de formasının qeyri-bərabərliyini aradan qaldırmağı öyrənmisiniz. $P\left(x \right)$ zəngin üzv və ya əlavə zəngin üzv.
Hörmət edirəm ki, sizin üçün oxumağınız vacib deyil, məsələn, belə bir oyunun oxu (nitqdən əvvəl, istiləşmə üçün cəhd edin):
\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \sağ)\left(x-1 \sağ)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \sağ)((\left(x-5 \sağ))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]
İndi troxlar qatlana bilər və biz təkcə zəngin terminlərə deyil, həm də ağılın rasional fraksiyalarının adlarına baxa bilərik:
burada $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ özləri $((a)_(n))((x)^(n))+( formasının zəngin şərtləridir. ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ və ya belə zəngin terminlər daha çoxdur.
Tse i bude rasional nerіvnіst. Mühüm məqam bannermanda $x$ dəyişikliyinin olmasıdır. Məsələn, rasional qeyri-bərabərlik oxu:
\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \sağ))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \sağ))\ge 0. \\\end(align)\]
Və tse rasional deyil, zvichaynisinka nerіvnіst, çünki fasilələr üsulu ilə pozulur:
\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]
İrəliləyərək, indi sizə deyəcəm: rasional uyğunsuzluqlarla mübarizə aparmağın ən azı iki yolu var, lakin bizə artıq məlum olan intervallar metoduna qədər işləmək hələ də mümkündür. Bunun üçün ilk növbədə yollarını müəyyənləşdirək, köhnə faktları təxmin edək, əks halda yeni materialın heç bir faydası olmayacaq.
Nə bilmək lazımdır
Çox vacib faktlar yoxdur. Düzdür, bizə daha az chotiri lazımdır.
Qısaldılmış düsturlar
Belə ki, belə: üfunət bizə shkіlnoї riyaziyyat proqramı protyag pereslіduvaty edəcək. Mən də universitetdəyəm. Düsturları çox bitirməliyik, lakin bundan artığına ehtiyacımız yoxdur:
\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \sağ))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \sağ)\left(a+b \sağ); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \sağ)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\sağ); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \sağ)\left(((a)^(2))+ab+(b)^( 2 ))\sağ). \\ \end(hizalayın)\]
İki düsturun qalan hissəsinə hörmət edin - cəmin cəmi və kubların fərqi (və pərakəndə satışların cəminin cəmi deyil!). Yadda saxlamaq asandır, ilk qövsün əlamətinin zbіgaєtsya zі əlaməti xarici virazі, digər əks işarədə isə xarici virazu olduğunu xatırlamaq asandır.
Xətti düzülmə
Ən sadəi $ax+b=0$ formasına bərabərdir, burada $a$ və $b$ bərabər tam ədədlərdir, üstəlik $a\ne 0$. Belə ekvivalentlik sadəcə tərsinə çevrilir:
\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(hizalayın)\]
Mən təyin edəcəm ki, $a\ne 0$ olsa belə, $a$ əmsalına bölmək hüququm var. Tsya vomoga tamamilə məntiqlidir, $a=0$ üçün qırıqlar biz oxunu götürürük:
Əvvəla, kim bərabərdirsə, onun $x$ dəyişməsi yoxdur. Görünən odur ki, bu, bizdə günah deyil ki, benteziyət (biz tutaq ki, həndəsədə tələyə düşürük və tez-tez sağırıq), amma yenə də xətti bərabərliyimiz yoxdur.
Başqa bir şəkildə, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna əmanət $b $ əmsalı azdır. Əgər $b$ sıfırdırsa, bizim bərabərləşdirməmiz $0=0$ kimi görünə bilər. Tsya qısqanclığı virna zavzhdadır; əks halda, $x$ ədəddir (bu kimi səslənir: $x\in \mathbb(R)$). Əgər $b$ əmsalı sıfıra bərabər deyilsə, o zaman $b=0$ bərabərliyi qalib gəlir. cavab yoxdur (\varnothing$-da $x\ qeyd edildi və "boş həll boş" oxuyun).
Bütün bu qıvrımlardan qurtulmaq üçün sadəcə $a\ne 0$ götürün ki, antroxlar bizi uzaq düşüncələrlə əhatə etməsin.
Kvadrat düzülüşü
Kvadrat oxunun nə adlandığını təxmin edəcəm:
Burada levoruç başqa bir addımın zəngin terminidir, üstəlik, mən $a\ne 0$ dəyişirəm (və indi kvadrat bərabərləşdirmə əvəzinə onu xətti olaraq götürürük). Virishuyutsya diskriminant vasitəsilə belə rivnyannya:
- $D \gt 0$ kimi, biz iki fərqli kök alırıq;
- Əgər $ D = $ 0 olarsa, onda bir kök və başqa bir çoxillik olacaq (çoxluğun dəyəri nədir və həyatın üç trohunu necə sığortalamaq olar). Yaxud da demək olar ki, iki bərabər kök var;
- $D \lt 0$ üçün kök yoxdur və hər hansı $x$ üçün $a((x)^(2))+bx+c$ zəngin termininin işarəsi $ əmsalının işarəsi ilə əvəz olunur. a$. Bu, sözün əsl mənasında, bir saatlıq cəbr dərsləri üçün rozpo_sti haqqında unutduqları bir həqiqətdir.
Kök hər şey üçün düsturla hörmət edilir:
\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]
Zvіdsi, çıxışdan əvvəl, diskriminant haqqında obmezhennya. Mənfi ədədin adje kvadrat kökündən istifadə edilmir. Zəngin alimlərin kökünün başında motor sıyığı olduğundan, bütün dərsi xüsusi olaraq yazdım: cəbrdə kök nədir və necə rahuvati etmək olar - hətta oxumağı məsləhət görürəm.
Podії z rasional fraksiyaları
Yuxarıda yazılanların hamısı, bilirsiniz, intervallar üsulundan istifadə edirdilər. Birdən təhlil edə bildiyimiz, keçmişin analoqu ola bilməyənlərin oxu isə tamamilə yeni faktdır.
Təyinat. Rasional drіb - tse viraz ağıl
\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ))\]
burada $P\left(x \right)$ və $Q\left(x \right)$ zəngin terminlərdir.
Aydındır ki, belə bir fraksiyadan qeyri-bərabərliyi aradan qaldırmaq asandır - sağ əlli "daha çox" və ya "az" işarəsini aid etmək kifayətdir. Mən gözə çarpan şəkildə mənə bir az verdim, scho virishuvati belə zavdannya - biri razı qaldı, orada hər şey daha sadədir.
Problemlər hətta belə fraksiyaların açıq-aşkar çoxluğu ilə başlayır. Onları yuxu bannerinə gətirə bilərsiniz - və eyni zamanda çox sayda xəyali əfvlərə icazə verilir.
Buna görə də, rasional bərabərliklərə müvəffəqiyyətlə nail olmaq üçün möhkəm iki bacarıq əldə etmək lazımdır:
- $P\left(x \right)$ zəngin termininin amillərə parçalanması;
- Vlasne, yuxu pankartına çəkilişlər gətirir.
Çarpan seqmentləri necə yerləşdirmək olar? Bir növ sadə. Zəngin bir zehnimizə sahib çıxaq
Yoqanı sıfıra bərabərləşdiririk. $n$-ci addımı bərabərləşdiririk:
\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]
Etiraf etmək lazımdır ki, biz bərabərliyin dəyərini pozduq və $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ kökünü götürdük (lağ etməyin: daha böyük vipadkіv kök ikidən çox olmayacaq). Bu halda, çıxış zəngin terminimiz aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\sol(x) -((x)_(1)) \sağ)\cdot \left(x-((x)_(2)) \sağ)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \sağ) \son(align)\]
hamıdan məndən! Ehtiyatlı olun: böyük əmsalı $((a)_(n))$ heç yerdə yoxdur - qandalların önünə bir çarpan əlavə edəcəyik və lazım gələrsə, onu s tsikh qandalları olub-olmamasına əlavə edə bilərsiniz ( təcrübə göstərir ki, $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ orta kök mayzhe zavzhdi є fraksiyaları ilə).
menecer. Virazdan soruşun:
\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]
Həll. İlk dəfə olaraq pankartlara heyran qalırıq: bütün iylər xətti binomiallardır və çarpanları qoymaq üçün heç bir şey yoxdur. Beləliklə, rəqəmləri çarpanlara qoyaq:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\sol(x-\frac(3)(2) \sağ)\left(x-1 \sağ)=\sol(2x- 3\sağ)\sol(x-1\sağ); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sol(x+2 \sağ)\left(x-\frac(2)(5) \sağ)=\sol(x +2 \sağ)\sol(2-5x \sağ). \\end(hizalayın)\]
Hörməti çevirmək üçün: başqa bir zəngin üzv üçün, bizim sxemimizə uyğun olaraq, sonuncu üçün böyük əmsalı "2" yayın önündə arxaya söykənir və sonra birinci yayına töhfələr verəcəyik, orada qırıqlar yararsız idi. .
Eyni şey üçüncü zəngin bölmədə də oldu, yalnız bükülmüş dolaşıqların başqa bir sırası var. Bununla birlikdə, başqa bir qövsə daxil olma nəticəsində "−5" əmsalı (xatırlayın: çarpanı bir və yalnız bir qövsdə daxil edə bilərsiniz!), Bu, bizi atış kökləri ilə əlaqəli uyğunsuzluqlardan xilas etdi.
İlk zəngin üzvə gəldikdə, orada hər şey sadədir: birinci kök ya standart olaraq diskriminant vasitəsilə qarışdırılır, ya da Vyetna nəzəriyyəsi üçün.
Gəlin vihіdnogo virazu-ya müraciət edək və çarpanlara bölünmüş rəqəmlərlə yoqonu yenidən yazaq:
\[\begin(matris) \frac(\left(x+5 \sağ)\left(x-4 \sağ))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \sağ)\left( x-1 \sağ))(2x-3)-\frac(\sol(x+2 \sağ)\sol(2-5x \sağ))(x+2)= \\ =\sol(x+5) \sağ)-\sol(x-1 \sağ)-\sol(2-5x \sağ)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \son (matris)\]
Təklif: $5x+4$.
Baxit kimi, heç bir şey qatlanmır. 7-8-ci siniflər üçün riyaziyyat kifayət deyil - bu qədər. Bütün çevrilmələrin mənası polygaєdir, belə ki, qatlama və dəhşətli asılmaları götürmək daha asan olur, bu da məşq etmək asandır.
Ale, bundan narahat olma. Bunun üçün, bir anda, biz tapşırığa daha ciddi baxa bilərik.
Ale, biz bunu əvvəldən ayıracağıq, iki fraksiyanı yuxu bannerinə necə gətirəcəyik. Alqoritm çox sadədir:
- Çarpanların üzərinə pankartları düzün;
- Birinci bannerə baxın və digər bannerdə olan çarpanları yenisinə əlavə edin, birincini müdafiə edin. Otrimany tvir yuxu pankartı olacaq;
- Z'yasuvati, belə çarpan dermal çekim ala deyil, belə ki, bannermen yanğın bərabər oldu.
Ola bilsin ki, bütün alqoritm sizə sadəcə mətnlə, zəngin şəkildə yazılmış şəkildə veriləcək. Buna görə də hər şeyi konkret bir nümunə üzərində təhlil edəcəyik.
menecer. Virazdan soruşun:
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \sağ)\cdot \left(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \sağ)\]
Həll. Belə ob'єmnі zavdannya daha yaxşı virishuvati hissələri. Birinci tağda dayananları yazırıq:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]
Vіdminu vіd ön zavdannya-da, burada bannermenlərdən hər şey o qədər də sadə deyil. Gəlin onlardan dərilərin çarpanlarına qoyaq.
$((x)^(2))+2x+4$ kvadrat üçhəcmini çoxaltmaq olmaz, $((x)^(2))+2x+4=0$ bərabər hissəcikləri kökləmək olmaz (mənfi diskriminant). Dəyişmədən yoganı tərk edirik.
Başqa bir əlamət - kub vurma termini $((x)^(3))-8$ - kublar fərqinə görə və qısa vurmanın düsturlarına yayılmaq asandır:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \sağ)\sol((x) ^(2))+2x+4 \sağ)\]
Daha heç bir şey çarpanlara bölünə bilməz, birinci qövsdə qırıqlar xətti binomial dayanır, digərində isə real köklər olmadığı üçün tikintini artıq bilirik.
Nareshti, üçüncü pankart düzülə bilməyən xətti binardır. Bu rütbədə qısqanclığımız gələcəkdə görünəcək:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))-\frac(1)(x-2)\]
Tamamilə aydındır ki, $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ortaq məxrəc olacaq və bütün kəsrləri yeniyə endirmək üçün bir, birinci kəsri $\left(x-2 \right)$ üzərinə vurmaq lazımdır, mən isə $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ üzərində qalacağam. Belə gətirmək üçün daha azından xilas olaq:
\[\begin(matris) \frac(x\cdot \left(x-2 \sağ))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \ sağ))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x +4 \sağ))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \sağ)+\left(((x)^(2))+8 \sağ)-\sol(((x) )^(2))+2x+4 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sol(x-2 \sağ)\ sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ)). \\ \son (matris)\]
Başqa bir sıraya hörməti qaytarın: əgər pankart artıq alovlanırsa, deməli. üç okremix atış yerinə bir böyük yazdıq, varto yox, bir dəfə də olsun, kaman qurtardı. Qarşınızda bir sıra yazmaq və deyək ki, üçüncü fraksiyadan əvvəl, mənfi dayanaraq işarələmək daha tezdir - və siz heç yerə getməyəcəksiniz, ancaq yayının qarşısındakı nömrələr kitabında "asılır". Sizə qeyri-şəxsi əfvləri əsirgəməyək.
Yaxşı, cərgənin qalan hissəsində çarpanların üzərinə nömrələr qoyun. Tim daha böyükdür, bu dəqiq kvadratdır və biz yenə sürətli vurma düsturlarının köməyinə gələcəyik. Maemo:
\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \frac(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ) )=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]
İndi başqa bir yay ilə onu öz-özünə sıralayacağıq. Burada ekvivalentlik üçün kiçik bir misra yazacam:
\[\begin(matris) \frac(((x)^(2))))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ) ^(2))))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac((x)^ ( 2)))(\sol(x-2 \sağ)\left(x+2 \sağ))+\frac(2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x-2 \) sağ) )\cdot \left(x+2 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x) -2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \sağ)\sol(x+2 \ sağ). \\ \son (matris)\]
Gəlin son günə dönək və televizora heyran olaq:
\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\sol(x-2) ) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(1)(x+2)\]
Uyğunluq: \[\frac(1)(x+2)\].
Bu tapşırığın mənası, öndəki kimi eynidir: rasional olaraq nə qədər soruşa biləcəyinizi, ağılla növbəti transformasiyaya necə keçəcəyinizi göstərin.
İndi, əgər hər şeyi bilirsinizsə, keçək bugünkü dərsimizin əsas mövzusuna - atılan rasional bərabərsizliklərin kulminasiya nöqtəsinə. Daha çox, öz əsəbləriniz üçün belə bir hazırlıqdan sonra qazan kimi çırpınacaqsınız.
Rasional uyğunsuzluqları aradan qaldırmağın əsas yolu
Іsnuє yak ən azı iki addım razv'yazannya rasional nerіvіvnosti. Bir baxışda onlardan birinə - məktəb riyaziyyat kursu tərəfindən geniş şəkildə qəbul edilənə baxacağıq.
Ale, arxa arxaya, əhəmiyyətli dərəcədə əhəmiyyətli bir detal. Bütün uyğunsuzluqlar iki növə bölünür:
- Suvori: $f\left(x \sağ) \gt 0$ və ya $f\left(x \sağ) \lt 0$;
- Qeyri: $f\left(x\right)\ge 0$ və ya $f\left(x \sağ)\le 0$.
Başqa bir növ pozuntular, qısqanclıq kimi asanlıqla birinciyə endirilə bilər:
Farbovanie nöqtələri kimi qəbuledilməz bir şey çıxarmaq çox da "əlavə" $f\left(x \right)=0$ deyil - biz onları interval metodunda tanıdıq. Əks halda, ciddi və qeyri-ciddi pozuntular arasında heç bir fərq yoxdur, buna görə də universal bir alqoritmə nəzər salaq:
- Bütün sıfır olmayan elementləri qeyri-bərabərlik şəklində bir tərəfdən seçin. Məsələn, levoruch;
- Bütün fraksiyaları standart bannerə gətirin (belə fraksiyalar sprat kimi görünür), oxşar olanları gətirin. Sonra, mümkün qədər, rəqəmlər kitabına və çarpanların üzərindəki bannerə yerləşdirəcəyik. Bəs niyə başqa formanın qeyri-bərabərliyini götürürük $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - qeyri-bərabərlik əlaməti.
- Nömrəni sıfıra təyin edək: $ P \ sol (x \ sağ) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... sıfıra qayıt: $Q \left(x \right)\ne 0$. Təbii ki, fərqin $Q\left(x \right)=0$ bərabər olduğu doğrudur və biz $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ kökünü götürürük. (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (belə kökün istinad fayllarında üçdən çox olma ehtimalı azdır).
- Bütün köklər (və ulduzlu və ulduzsuz) vahid ədədi düz xətt üzərində nəzərə alınır, üstəlik, ulduzsuz kök farbovanizasiya olunur, ulduzlarla isə vakolota.
- Biz "artı" və "mənfi" işarələrini qoyuruq, lazım olan intervalları seçirik. Əgər qeyri-bərabərlik $f\left(x \right) \gt 0$ kimi görünə bilərsə, onda "artı" ilə qeyd olunan intervallar təkrarlanacaq. Əgər $f\left(x \right) \lt 0$, onda biz mənfi olan intervallara təəccüb edirik.
Təcrübə göstərir ki, ən çətin şey 2 və 4-cü bəndləri çağırmaqdır - səriştəli çevrilmə və rəqəmlərin böyümə qaydasında düzgün yerləşdirilməsi. Yaxşı, qalan vaxtda daha hörmətli olun: biz həmişə spiral olaraq işarələr qoyuruq bərabərliyə keçiddən əvvəl qeydə alınan qeyri-bərabərliyin qalan hissəsi. Bu, intervallar metodundan aşağı olan universal bir qaydadır.
Eyni sxem є. Gəlin məşğul olaq.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]
Həll. Qarşımızda $f\left(x \right) \lt 0$ formasının tam qaçılmazlığı var. Aydındır ki, sxemimizin 1 və 2-ci bəndləri artıq pisdir: qeyri-bərabərliyin bütün elementləri levoruch tərəfindən seçilir, yuxu pankartına heç bir şey gətirmək lazım deyil. Üçüncü abzasa keçək.
Ədədi sıfıra bərabərləşdirək:
\[\başlamaq(align) & x-3=0; \&x=3. \end(align)\]
I banner:
\[\başlamaq(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(hizalayın)\]
Hər sahəyə kimsə yapışır, hətta ideya üçün $x+7\ne 0$ yazmaq lazımdır ki, ODZ köməklik edir (sıfıra bölmək olmur, ox hamısıdır). Amma sonra bizə bannerdən gələn ləkələr verdik, buna görə də nişanlarınızı tərtib etdikdən sonra varto etməyin - ekvivalentlik əlaməti yazın və narahat olmayın. Qiymetde hec ne endirim etmek olmaz.
Dördüncü nöqtə. Say xəttindəki kökü götürmək vacibdir:
Bığ nöqtələri vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora
Hörmət et: vikolotiyanın bütün nöqtələri. Və burada artıq əhəmiyyətsizdir: nömrələr kitabından ballar pankartdan gəldi.
İşarələrə heyran oluruq. $((x)_(0)) \gt 3$ ədədini götürək. Məsələn, $((x)_(0))=100$ (alternativ olaraq eyni müvəffəqiyyətlə $((x)_(0))=3.1$ və ya $((x)_(0) götürə bilərsiniz. ) = $1,000,000). Biz götürürük:
Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv biz müsbət sahəsi var. Kökün dərisindən keçərkən işarə dəyişir (buna görə başlamazsınız, amma daha yaxşıdır). Beşinci nöqtəyə keçək: işarələri yerləşdiririk və ehtiyacı seçirik:
Biz rozvyazannya ryvnyandan əvvəl bula kimi əsəblərin qalan hissəsinə müraciət edirik. Vlasne, hər gün bir-birlərini döyməsələr də, vaxt tükənir.
Oskіlki $f\left(x \right) \lt 0$ formasının qeyri-bərabərliyini aradan qaldırmalıdır, mən $x\in \left(-7;3 \right)$ intervalını kölgə saldım - tək dəyərlərdə "mənfi" işarəsi ilə. Tse є vіdpovіd.
Təklif: $x\in \left(-7;3 \right)$
hamıdan məndən! Hiba çətindir? Xeyr, çətin deyil. Düzdür, iş daha asan idi. Eyni zamanda, biz fitnə-fəsadları sıralaya və “çətin” uyğunsuzluğa baxa bilərik. Digər tərəfdən, mən bundan sonra belə təqdimatlar etməyəcəyəm - sadəcə əsas məqamları vurğulayacağam. Zaqalom, gəlin yoqanı elə təşkil edək ki, o, müstəqil robot çi іspіtі üzərində hazırlansın.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(\left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0\]
Həll. $ f \ sol (x \ sağ) \ ge 0 $ görmək zərər vermir. Bütün sıfır olmayan elementlər pis seçilir, fərqli əlamətlər yoxdur. Rivnyana gedək.
Tarix:
\[\begin(align) & \left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Sağ ox ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Sağ ox ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(hizalayın)\]
Banner:
\[\başla(align) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(hizalayın)\]
Onu qurarkən problemin nə olduğunu bilmirəm, amma kök daha yaxşı getmədi: onları ədədi düz xəttə qoymaq vacib olardı. І $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ kökü ilə belə hər şey az-çox aydındır (yalnız bir müsbət rəqəm var - sağ əlli olacaq), sonra $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$
Z'yasuvati tse, məsələn, bu kimi mümkündür:
\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) )))\]
Bağışlayın, ədədi fərqin niyə $-(2)/(14) olduğunu izah etməyə ehtiyac duymuram; \gt -(2)/(11)\;$? Lazım gələrsə, fraksiyalarla necə qalib gəlməyi təxmin etməyi məsləhət görürəm.
Biz ədədi düz xətt üzrə hər üç kök nəzərdə tuturuq:
Krapki rəqəmlər kitabından zafarbovani, bannerdən - vikolot
İşarələr qoyuruq. Məsələn, $((x)_(0))=1$ götürüb hər bir nöqtənin işarəsini dəyişə bilərsiniz:
\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \sağ)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \sağ)\left(11\cdot 1+2 \sağ))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]
Bərabərlikdən əvvəl qalan əsəbilik $f\left(x \right)\ge 0$ idi, ona görə də artı işarəsini vurmalıyıq.
Onlar iki çarpanı götürdülər: biri əhəmiyyətli ikiqat, digəri isə nömrə xəttində birbaşa xaldır.
Cavab: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$
Düzgün intervalda işarəni təmsil etdiyimiz üçün rəqəmlərin sayına hörmət etmək vacibdir. Mütləq neobov'yazkovo podstavlyat sayı sağ kök yaxın. Siz milyardı götürə və ya onu "artı-inanılmazlıq" adlandıra bilərsiniz - hər bir halda qövsdə duran zəngin üzvün işarəsi, rəqəmçi və ya bayraqçı yalnız böyük əmsalın işarəsi ilə işarələnir.
Qalan qeyri-bərabərlik üçün bir daha $f\left(x \right)$ funksiyasına baxaq:
Bu rekordun üç zəngin termini var:
\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\sol(x \sağ)=11x+2; \&Q\sol(x\sağ) = 13x-4. \end(align)\]
Bütün saitlər xətti binomiallardır və bütün böyük əmsallar (7, 11 və 13 rəqəmləri) müsbətdir. Daha sonra, böyük ədədlər qövsünü əsaslandırarkən, zəngin bölgülərin özləri müsbət olacaqdır.
Tse səthi qatlanan tikilə bilər, arxada bir az, başa düşsək bunu etmək asandır. Ciddi uyğunsuzluqlarda "plus-natamamlığın" əvəz edilməsi bizə işarələri daha tez dəyişməyə imkan verəcək, standart $((x)_(0))=100$-dan aşağı olacaq.
Tezliklə bu cür işlərlə ağzımızı bağlayacağıq. Gəlin dribno-rasional uyğunsuzluqları aradan qaldırmaq üçün alternativ bir yola nəzər salaq.
Alternativ yol
Bu qəbulu mənə tələbələrimdən biri təklif etmişdi. Mən özüm ona heç bir şəkildə hörmət etmirdim, amma təcrübə göstərdi ki, çoxlu öyrənmə əsəbiliklə bu cür mübarizə aparmaqda daha təsirli olur.
Otzhe, vyhіdnі danі і і sami. Atış-rasional uyğunsuzluğu aradan qaldırmaq lazımdır:
\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ)) \gt 0\]
Gəlin düşünək: nə üçün $Q\left(x \right)$ zəngin termini $P\left(x \right)$ zəngin terminindən “daha yüksəkdir”? Daha böyük kök qruplarına (ulduzlu və ya ulduzsuz) necə baxmalıyıq, nöqtələr haqqında düşünməliyik və s.? Hər şey sadədir: fraksiyanın təyin olunmuş sahəsi var, sıfır işarəsidirsə, ondan daha az olan hər hansı bir drіb üçün yaxşıdır.
Digər baxımdan, say və bannerman arasında asan deyil: biz onu sadəcə sıfıra bərabərləşdiririk, kök haqqında zarafat edirik, sonra onu ədədi düz xətt üzərində nəzərdə tuturuq. O zaman niyə atış xəttini (əslində - rozpodіlu əlaməti) ən böyük çarpanlarla əvəz etmirsiniz və bütün ODZ zahirən okremoi əsəbilik üçün təyin etməyə kömək edir? Məsələn, bu kimi:
\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\left(x \sağ)) \gt 0\Sağ ox \sol\( \begin(align) & P\left(x \sağ)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \sağ.\]
Hörmət göstərmək üçün: belə bir pidhіdə tapşırığı intervallar üsuluna çağırmağa icazə verilir, lakin bu halda qərarı çətinləşdirmək mümkün deyil. Bununla belə, zəngin $Q\left(x \right)$ terminini sıfıra yüksəldə bilərik.
Gəlin onun real vəzifələrdə necə işlədiyini görək.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]
Həll. Yenə də interval metoduna keçək:
\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Sağ ox \sol\( \begin(align) & \left(x+8 \sağ)\left(x-11 \sağ) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(hizalayın) \sağa.\]
Birinci qeyri-bərabərlik elementardır. Yalnız dəri qövsünü sıfıra bərabərləşdirin:
\[\begin(align) & x+8=0\Sağ ox ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Sağ ox ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]
Başqa bir nerivnistyu ilə hər şey sadədir:
Rəqəm xəttində $((x)_(1))$ və $((x)_(2))$ nöqtələrini təyin edirik. Usі vikolotі iy verir, skіlki nerіvnіst suvore:
Sağ ləkə bir qızın qız kimi göründü. Tse yaxşıdır.$x=11$ nöqtəsinə hörmət edin. "Dvіchi vykolot" kimi çıxın: bir tərəfdən əsəbiliyin şiddəti ilə, digər tərəfdən - ODZ-nin əlavə gücü ilə vikolyuєmo edirik.
Bir növ vipadku var, tse sadəcə nöqtəsinə qədər döyüləcək. Buna görə də biz qeyri-bərabərlik üçün işarələr qoyuruq $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ondan əvvəl mübarizə apardığımız kimi, bərabər virishuvati etməyə başladığımızda qalın:
Müsbət sahələr bizi qıdıqlayır, lakin şüurda balanssızlığı görə bilirik $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Vіdpovіd yazmağa vaxt yox idi.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \sağ)$
Bu qərarın timsalında, orta yaşlı tələbələr arasında geniş bir əfv halında sizi qorumaq istəyirəm. Və özünüzə: pozuntuların yaylarını açmayın! Navpaki, hər şeyi çarpanlara yaymağa çalışın - həllini soruşmaq və sizi şəxsi problemlərdən azad etmək daha yaxşıdır.
İndi daha qatlanmış bir şey cəhd edək.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(\left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ))(15x+33)\le 0\]
Həll. $ f \ sol (x \ sağ) \ le 0 $ baxmaq zərər vermir, belə ki, burada hörmətlə zafarbovannymi xal riayət etmək lazımdır.
Keçək interval metoduna:
\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \sağ)\le 0, \\ & 15x+33\ 0. \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]
Düzləşdirməyə keçək:
\[\başla(align) & \left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ)\left(15x+33 \sağ)=0 \\ & 2x-13=0\Sağ ox ((x) )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Sağ ox((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Sağ ox ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(hizalayın)\]
Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:
Bütün çıxılan köklər say xəttində göstərilir:
Bir anda bir nöqtə və bir vikolot və bir farbovan kimi, bir vikolot tərəfindən hörmət edilirBilirəm ki, iki nöqtə bir-bir “üst-üstə düşür” - bu normaldır, buna görə də əmin olun. Vacibdir, daha az həssasdır, bir anda vikolotiya və cızıqlanmış, əslində vikolotiya üçün təyin edilmiş bir nöqtədir. Tobto. "Vikolyuvannya" güclü bir diy, aşağı "zafarbovannya" dır.
Tamamilə məntiqlidir, hətta bal seçsək də, funksiyanın işarəsinə əlavə etməyi xoşlayıram, amma şouda özünüz iştirak etməyin. Beləliklə, bir anda nömrə bizə üstünlük verməyi dayandırır (məsələn, ODZ-yə çatmır), tapşırığın sonuna qədər ona and içirik.
Zaqalom, fəlsəfə etmək. Mənfi işarə ilə qeyd olunduğu kimi işarələr və zafarbovuyemo і intervalları qoyuruq:
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.
Səbəb üçün hörmətinizi təzələmək istəyirəm:
\[\sol(2x-13 \sağ)\sol(12x-9 \sağ)\sol(15x+33 \sağ)=0\]
Bir daha: belə bərabərlərin qollarını heç vaxt açmayın! Çantalarınızı yığsanız yaxşı olar. Unutmayın: dobutok sıfıra bərabərdir, əgər çarpanlardan birinin sıfıra bərabər olmasını istəyirsinizsə. Otzhe, Dane Rivnyannya sadəcə gözümüzün qabağında pozan kimi, bir fırıldaq üçün "yayıldı".
Kök çoxluğunun forması
Əvvəlki günlərdən xatırlamaq asandır ki, ən böyük bükülmə ən uyğunsuz olmaqdır, ləkələr üçün onları tikmək məcburiyyətində olana.
Ancaq dünyada daha çox pislik var - bu, əsəbiliyin kökünün çoxluğudur. Burada tikişlər onsuz da oradakı zafarbovanimi nöqtələrinin arxasında deyil - burada nöqtələrdən keçərkən qeyri-bərabərlik əlaməti dəyişməyə bilər.
Biz hələ bu sahədə oxşar bir şey görməmişik (baxmayaraq ki, oxşar problem tez-tez interval metodunda qeyd olunurdu). Beləliklə, yeni bir tərif təqdim edirik:
Təyinat. Bərabər kök $((\left(x-a \right))^(n))=0$ $x=a$ bərabərdir və $n$-çoxluğun kökü adlanır.
Vlasne, bizə çoxluğun dəyərini dəqiq söyləmək olmaz. Onların qoşalaşmış və ya qoşalaşmamış olması vacibdir, tam ədəd $n$-dır. Çünki:
- $x=a$ cüt çoxluğun kökü olduğundan funksiyanın işarəsi ondan keçərkən dəyişmir;
- Əvvəla, $x=a$ qoşalaşmamış çoxluğun kökü olduğundan funksiyanın işarəsi dəyişir.
Qoşalaşmamış çoxluğun kökünə özəl baxışla, onun qarşısında bu məktəbə baxdı: köhnə subayların kəsişmiş çoxluğu var.
mən daha çox. Onun qarşısında, sanki biz virishuvati zavdannya idik, bir incəliyə hörmətinizi çevirmək istəyirik, sanki tanınmış bir pedaqoq üçün açıq-aşkar görünürdü, ale varlı pochatkіvtsіv-i sərsəm etdi. Və özünə:
$ n $ çoxluğunun kökü yalnız düşmə üçün günahkardır, əgər bütün çoxluq bu addımda formalaşırsa: $ ((\ sol (xa \ sağ)) ^ (n)) $, $ \ sol deyil. (((x) ^ ( n ))-a\right)$.
Yenə də: $((\left(xa \sağ))^(n))$ qövsü bizə $x=a$ çoxluğun kökünü və $\left(((x) qövsünün oxunu verir. )^(n)) -a \right)$ əks halda, tez-tez istifadə edildiyi kimi, $(a-((x)^(n)))$ bizə bir kök verir (əks halda iki kök, $n$ kimi - oğlan) i $n$-dan asılı olmayaraq birinci çoxluğun.
Səviyyə:
\[((\sol(x-3 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=3\sol(5k \sağ)\]
Burada hər şey aydındır: bütün yay beşinci pilləyə aparıldı, buna görə də çıxışda beşinci addımın kökünü götürdük. Və birdən:
\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Sağ ox ((x)^(2))=4\Sağ ox x=\pm 2\]
İki kökü götürdük, amma üfunətin təhqirləri birinci çoxluq ola bilər. Abo ox daha çox:
\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]
Qoy səni onuncu pilləyə qədər döyməyək. Golovne, scho 10 oğlanın nömrəsidir, çıxışda iki kök ola bilər və üfunət yenə birinci çoxluq ola bilər.
Zaqalom hörmətli olun: günahların çoxluğu yalnız birdir, əgər pillələr bütün qövsə qədər gətirilir və dəyişikliyə az deyil.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \sağ))^(3))\left(x+4 \sağ))(((\sol(x+7) ) \sağ))^(5)))\ge 0\]
Həll. Şəxsidən yaradılışa keçid yolu ilə alternativ şəkildə cəhd edək:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \sağ)\cdot ( (\left(x+7 \sağ))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \sağ))^(5))\ne 0. \\ \end(düzləşdirin) )\sağ.\]
Fasilələr üsulu ilə ilk qeyri-bərabərliklə seçirik:
\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left() x+7 \sağ))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Sağ ox x=0\sol(2k \sağ); \\ & ((\sol(6-x \sağ))^(3))=0\Sağ ox x=6\sol(3k \sağ); \\&x+4=0\Sağ ox x=-4; \\ & ((\sol(x+7 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=-7\sol(5k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Dodatkovo virishuemo dost əsəbilik. Əslində, biz artıq yoqo oxumuşuq, amma qərara qədər davam etməsək, yenidən yoqo oxumaq daha yaxşıdır:
\[((\sol(x+7 \sağ))^(5))\ne 0\Sağ ox x\ne -7\]
Hörməti qaytarmaq üçün: əsəbiliyin qalan hissəsində gündəlik çoxilliklər yoxdur. Düzgün: nə qədər fərqlidir, say xəttində $x=-7$ nöqtəsini neçə dəfə qazanmaq olar? Bir dəfə istə, beş dəfə istə – nəticə eyni olacaq: sonuncu nöqtə.
Çıxardığımız hər şey ədədi düz xəttdə əhəmiyyətlidir:
Dediyim kimi, nəticədə $x=-7$ nöqtəsi qeyd olunacaq. Tənzimləmələrin çoxluğu intervalların yollarının qeyri-bərabərliyini aradan qaldırmaqdır.
İşarələri yerləşdirməyi unutmusunuz:
Oskіlki nöqtəsi $x=0$ qoşalaşmış çoxluğun köküdür, keçid üçün işarə dəyişmir. Digər nöqtələr cütləşməmiş çoxluğa sahib ola bilər və onlarla hər şey sadədir.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Yenidən $x=0$-a hörmət edin. Cütlük vasitəsilə cicavi effektinin çoxluğu günahlandırılır: onun içindəki levoruç hamısı doldurulur, sağ əl eynidir, o nöqtə tamamilə doldurulur.
Xatırladaq ki, səsi yazmaq üçün bir saat su sıxmaq lazım deyil. Tobto. kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ üzərinə heç nə yazmağa ehtiyac yoxdur (rəsmi olaraq istəyirsinizsə, bu düzgün olardı). Dərhal $x\in \left[ -4;6 \right]$ yazaq.
Kök cütlüyü çoxluğu ilə belə təsirlər daha az mümkündür. Mən mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" tsgogo təsiri irəliləyən komanda. Siz hazırsınızmı?
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(((\left(x-3 \sağ))^(4))\left(x-4 \sağ))(((\left(x-1 \sağ))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \sağ))\ge 0\]
Həll. Bu dəfə biz standart sxemə əməl edirik. Ədədi sıfıra bərabərləşdirək:
\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\sol(x-3 \sağ))^(4))=0\Sağ ox ((x)_(1))=3\sol(4k \sağ); \& x-4 = 0 \ Sağ ox ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]
I banner:
\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \sağ)=0; \\ & ((\sol(x-1 \sağ))^(2))=0\Sağ ox x_(1)^(*)=1\sol(2k \sağ); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Sağ ox x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(hizalayın)\]
Oscilki mi virishuemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, bannerin kökü (znirochki kimi) döyüləcək və rəqəmdən - zafarbovano.
Biz "artı" ilə işarələnmiş işarələr və lyuklu sahələr qoyuruq:
Krapka $x = $3 - izolyasiya edilmiş. Vіdpovіdі Tse hissəsi
Bundan əvvəl, qalıq rəyi necə yazmaq olar, şəklə hörmətlə baxın:
- Krapka $x=1$ bir neçə qata malikdir, lakin vikolanın özü. Həmçinin, əgər təsadüfən iki mərtəbəli kompüteriniz varsa: $x\in \ yox, $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ yazmalısınız. sol(-\ infty ;2\sağ)$.
- Krapka $x=3$ doldurulduqda і də çoxalda bilər. Nöqtənin özünün bizimlə iqtidarda olduğunu təsdiqləyən işarələrin düzülməsi, ale krok levoruch-sağ - biz qəti şəkildə hakimiyyətdə olmadığımıza görə bölgəyə sürüklənirik. Belə nöqtələr təcrid olunmuş adlanır və $x\in \left\( 3 \right\)$ kimi yazılır.
Biz bütün otrimani shmatochki-ni çox sayda birləşdiririk və sübutları yazırıq.
Təklif: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $
Təyinat. Virishiti nerіvnіst - demək yoga həllinin şəxsi uğurunu bilmək, ya da şəxsi olmayanı boş gətirmək.
b veriləcəkdi: burada əsassız nə ola bilər? O çayda ki, şəxsiyyətsizi başqa cür qoymaq olar. Günün sonuna qədər yenə yazaq:
Yazılanları hərfi oxuyun. Heç kəsə çox uzanmaq, birlikdə çıxmaq üçün "iks" i dəyişdirin ("U" işarəsi) chotyroh okremih çox:
- $\left(-\infty ;1 \right)$ intervalı, hərfi mənada "birdən kiçik bütün ədədlər, lakin birinin özü deyil" deməkdir;
- Interval $ \ sol (1; 2 \ sağ) $, sonra. “Bütün nömrələr 1 və 2 arasındadır, lakin 1 və 2 rəqəmlərinin özləri deyil”;
- Anonim $ \ sol \ (3 \ sağ \) $, bir və ya bir rəqəmdən toplanır - üç;
- Interval $ \ sol [4; 5 \ sağ) $, 4 ilə 5 arasındakı bütün nömrələrin, eləcə də dördün özündən intiqam almaq üçün beş deyil.
Burada maraq üçüncü məqamdır. Vіdmіnu vіd іd іd іdіdіv, іkі saysız-hesabsız ədəd dəstləri təyin etmək üçün іh іh dəstləri arasında nadir hallarda təyin olunur, $\left\(3\right\)$ olmadan yenidən arrahuvannya yolu kimi ciddi şəkildə bir nömrə təyin edin.
Çoxluğa qədər (və ikisi arasında təyin olunmayan) xüsusi nömrələri özümüzdən üstün tutduğumuzu başa düşmək üçün tağlar qalib gəlir. Məsələn, $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ qeydi özünü "iki ədəddən toplanan çarpan: 1 və 2" deməkdir, lakin 1-dən 2-yə bərabər deyil. Eyni zamanda , anlayışınızı qarışdırmayın.
Çoxluqların qatlama qaydası
Yaxşı, bugünkü dərsin sonunda Pavel Berdovdan üç barmaq.
Hörmətli alimlər artıq nəğmə ilə cingildəyirdilər: bəs təqvim və bayraqdakı kimi eyni kök necə görünəcək? Beləliklə, ox, pratsyuє belə bir qayda:
Eyni kökün çoxluğu toplanır. Gözləmək. Navіt yakscho tse kökü nömrələr kitabında və bannerdə yazılmışdır.
Bəzən virishuvati, daha aşağı danışmaq daha yaxşıdır. Bunun üçün aşağıdakı vəzifəyə inanırıq:
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \sağ)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \sağ))\ge 0\]
\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(hizalayın)\]
İndiyə qədər xüsusi bir şey yoxdur. Banneri sıfıra bərabərləşdirin:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \sağ)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Sağ ox x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Sağ ox x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(hizalayın)\]
İki eyni kök aşkar edilir: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Mayut pershu çoxluğunu təhqir edən. Həmçinin, biz onları bir köklə əvəz edirik $x_(4)^(*)=-2$, həm də 1+1=2 çoxluğu ilə.
Bundan əlavə, hələ də eyni köklər var: $((x)_(2))=-4$ və $x_(2)^(*)=-4$. $x_(2)^(*)=-4$ çoxluğu 1+1=2-dən məhrum olacaq birinci çoxluğun qoxusu.
Hörmət gətirmək üçün: hər iki vipadkada biz özümüzü köhnə kökün özündən məhrum etmişik və bir baxışdan farbozları atmışıq. Buna görə də dərsin əvvəlinə çatdılar: bu, bir anda nöqtə kimidir və döyülür və osuruldu, hamımız buna əhəmiyyət veririk.
Nəticədə, chotiri köklərimiz var, üstəlik, bütün vikolotlar ortaya çıxdı:
\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sol(2k \sağ); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Tənzimlənmiş çoxluqla say xəttində əhəmiyyətli dərəcədə їх:
Bizi çağıran işarələr və zafarbovuyemo sahələri qoyuruq:
Bığ. Gündəlik izolyasiya edilmiş nöqtələr və digər problemlər. Fikirlərinizi yaza bilərsiniz.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
Çoxluq qaydası
Bəzən vəziyyət daha da qəbuledilməz olur: bərabər, kökün qatı ola bilər, özü də eyni addıma gətirilir. Bununla da bütün zahiri köklərin çoxluğu dəyişir.
Belə bir səs nadir hallarda eşidilir, üstəlik, oxşar tapşırıqların heç bir sübutu yoxdur. Və qayda belədir:
$n$ addımlarının bərabərləşdirilməsi ilə bütün yoqo köklərinin çoxluğu da $n$ dəfə artır.
Başqa sözlə, addımlardakı addımlar elə həmin addımdakı çoxluğa vurulur. Praktikada qaydaya nəzər salaq:
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))((\left(x-4 \sağ))^(5)) )(((\left(2-x \sağ))^(3))((\left(x-1 \sağ))^(2)))\le 0\]
Həll. Ədədi sıfıra bərabərləşdirək:
Tvir sıfıra bərabərdir, əgər çarpanlardan birinin sıfıra bərabər olması istənirsə. Birinci çarpanla mən başa düşdüm: $x=0$. Və ox problemlərə səbəb oldu:
\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\sol(2k \sağ); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \sağ)\left(2k \sağ) \ \ & ((x)_(2))=3\sol(4k \sağ) \\ \end(align)\]
Bachimo kimi, bərabər $((x)^(2))-6x+9=0$ başqa çoxluğun tək kökü ola bilər: $x=3$. Meydana yaxınlaşmaq üçün hamımız diqqətli olaq. Sonra kökün çoxluğu hökmlə yazdığımız $2\cdot 2=4$ olur.
\[((\sol(x-4 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=4\sol(5k \sağ)\]
Eyni gündəlik problemlərin bayrağı ilə:
\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\sol(2-x \sağ))^(3))=0\Sağ ox x_(1)^(*)=2\left(3k \sağ); \\ & ((\sol(x-1 \sağ))^(2))=0\Sağ ox x_(2)^(*)=1\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]
Cəmdə beş nöqtəmiz var idi: iki vikolot və üç farbovan. Rəqəm kitabında və znamennikdə kök qorxusu yoxdur, sadəcə ədədi düz xəttdə görünür:
Təkmilləşdirilmiş çoxluqlar və bizi çağıran zafarbovuєmo intervalları ilə işarələr yerləşdiririk:
Mən bir təcrid nöqtəsi və bir vikolot bilirəm
Qoşalaşmış çoxluğun kökü ilə bir neçə "qeyri-standart" element yenidən götürüldü. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ əvəzinə $x\in \left[ 0;2 \right)$ və $ x nöqtəsi də təcrid olunur \solda\(3\sağ\)$.
Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Yak bachite, bu o qədər də mürəkkəb deyil. Golovne - hörmət. Reenkarnasyonlara ithaf dərsinin qalan hissəsi - Tim, biz çox kobda müzakirə etdiyimiz kimi.
Ön formanın dəyişdirilməsi
Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, qatlama adlandırmaq olmaz. Bununla belə, vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі-də, burada zasosuvati navchik z teorії rasionalnyh drobіv baş verir - çarpanlarda və brіnnogo znamennikdə razkladannja.
Biz bugünkü dərsimiz üçün yemək haqqında ətraflı danışdıq. Nə başa düşdüyünüzü, dilin nə olduğunu başa düşmürsinizsə, dönüb təkrar etməyi məsləhət görürəm. Buna uyğunsuzluqları aradan qaldırmaq üsullarını sıxışdırmaq üçün heç bir həssaslıq yoxdur, sanki çevrilmiş kadrlarda "üzərsən".
Evdə, danışmadan əvvəl, buna bənzər bir çox vəzifə də olacaq. Pidrozdil sonuna qədər günah iyi. Və orada hətta qeyri-ciddi proqramlar üçün yoxlanılacaqsınız. Ale, sən stenddə olacaqsan, amma indi bir neçə belə uyğunsuzluğu sıralayaq.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]
Həll. Hər şeyi sola köçürmək:
\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]
Qoşa bannerə gətirilir, tağlar açılır və buna bənzər dodankilər nömrə dəftərinə gətirilir:
\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) sağa))(x\cdot \left(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \sağ))(x\left(x-1 \sağ)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \sağ))\le 0. \\\end(align)\]
İndi qarşımızda klassik fraksiya-rasional nerіvnіst var, vyshennya yakoї artıq çətinləşmir. Mən intervallar üsulu ilə alternativ bir üsulla yoqa ilə məşğul oluram:
\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(hizalayın)\]
Bannerdən gələn hasarları unutma:
Bütün nömrələr ədədi düz xətt üzərində göstərilir və dəyişdirilir:
Bığ birinci çoxluğun köküdür. Problem yoxdur. Sadəcə olaraq bölgənin bizim üçün ehtiyac duyduğu işarələri qoyuruq:
Hamısı budur. Fikirlərinizi yaza bilərsiniz.
Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.
Zrozumіlo, tse buv zovsіm sadəcə bir butt. Bunun üçün bir anda vəzifəyə daha ciddi baxa bilərik. І nitqinə, riven tsgo zavdannya tsіlkom vіdpovіdaє müstəqil və nəzarət robotları z ієї 8-ci sinifdə olanlar.
menecer. Əsəbi aradan qaldırmaq üçün:
\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]
Həll. Hər şeyi sola köçürmək:
\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]
Bundan əvvəl, təhqiredici fraksiyaları ikiqat pankarta necə gətirmək olar, biz bu pankartları çarpanlara düzəldirik. Raptom eyni tağları vylizut? Birinci bannerlə bu asandır:
\[((x)^(2))+8x-9=\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ)\]
Başqaları ilə troch qatlanmış. Bu qövsə bir çarpan sabiti daxil etməkdən çəkinməyin, görünən drib. Unutmayın: əmsalların sayında zəngin bir termininiz varsa, bu, böyük bir imovirnistdir, çünki o, əmsalların sayında ananın qatlarına qoyulur (həqiqətən, vipadkiv bir göz qırpımı üçün belə olacaq, əgər diskriminant irrasionaldır).
\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \sağ)= \\ & =\sol(x-1 \sağ)\sol(3x-2 \sağ) \son(align)\]
Yak bachimo, є yay: $ \ sol (x-1 \ sağ) $. Əsəbiliyə müraciət edirik və təhqiramiz fraksiyaları ikiqat pankarta təhrik edirik:
\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ))-\frac(1)(\sol(x-1 \sağ)\ sol(3x-2\sağ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \right) ) )\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ \end(hizalayın)\]
Banneri sıfıra bərabərləşdirin:
\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( hizalayın)\]
Gündəlik çoxilliklər və zbіgayutsya kökləri. Düz xəttə bir neçə nömrə təyin edirik:
İşarələr qoyuruq:
Gəlin sübutları yazaq.
Cavab: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ sağ) $.
Bığ! Bu kimi, sonra sıraya qədər oxuyun.
