Previše vrijednosti funkcije 4 x 3. Područje vrijednosti funkcije (veća vrijednost funkcije). Neophodno razumevanje i primena znanja. Načini poznavanja područja vrijednosti funkcije

D(f)- ta značenja, kako se može argumentovati, tobto. opseg funkcije.

E(f)- ta značenja, kako se funkcija može imenovati, dakle. vrijednost bezlične funkcije.

Načini poznavanja područja vrijednosti funkcije.

posljednja vrijednost preklopnih argumenata funkcije;

metoda procjene/kordona;

pobjednost moći, kontinuitet i monotonija funkcije;

vikoristannya pokhídnoi;

izbor najveće i najmanje vrijednosti funkcije;

grafička metoda;

metoda zahtjeva parametara;

metoda povratne funkcije.

Pogledajmo njihova djela.

Vikoristovuyuchi pokhídnu

Zagalniy pidkhid do vrijednosti impersonalne vrijednosti neprekidne funkcije f(x) jednaka je vrijednosti najveće i najmanje vrijednosti funkcije f(x) u opsegu značaja (ili u dokazivanju da je jedna od njih nije pogrešno).

Na prvi pogled, potrebno je znati bezličnu vrijednost funkcije na vídrízka:

znati tačnu vrijednost funkcije f "(x);

poznavati kritične tačke funkcije f(x) i odabrati one od njih tako da leže na datoj niti;

izračunati vrijednost funkcije na krajevima reza i na odabranim kritičnim tačkama;

među poznatim vrijednostima izabrati najmanju i najznačajniju;

Bogato je staviti vrijednost funkcije između ovih vrijednosti.

Koji je opseg dodijeljene funkcije? interval, tada je sama shema pobjednička, a zatim se vrijednosti na kraju ciklusa pobjeđuju između funkcija s argumentom koji se primjenjuje do kraja intervala. Značenja između ne ulaze u bezlično značenje.

Metoda među/procjene

Za vrijednost množitelja, vrijednost funkcije je najprije poznata kao vrijednost argumenta, a zatim nalazimo najmanju značajnu vrijednost funkcije. Vikoristovuyuchi nerívností - vyznayut mezhí.

Suština polja je u procjeni neprekinute funkcije dna i zvijeri, te dokazu dosega funkcije donje i gornje granice procjena. Uz bilo kakvu promjenu bezličnosti, vrijednost funkcije s intervalom od donje međuprocjene do gornje određena je nestalnošću funkcije i prisustvom nižih vrijednosti u njoj.

Dominacija neprekidne funkcije

Druga varijanta konvertovane funkcije smatra se neprekinuto monotonom, dok pobednička snaga nepravilnosti vrednuje bezličnu vrednost nove preuzete funkcije.

Posljednja vrijednost argumenata preklapanja u funkciji

Na osnovu posljednjeg pogleda na bezličnu vrijednost međufunkcija, iz koje je funkcija pohranjena

Područja vrijednosti glavnih elementarnih funkcija

Funkcija	Anonimno značenje
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; jedan]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Prijavite se

Pronađite anonimnu vrijednost funkcije:

Vikoristovuyuchi pokhídnu

Znamo odredišno područje: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$

Znamo bolje: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) nije tačno ako je $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ onda je x = ±3. Oduzete su tri kritične tačke: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3; Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Takođe, najmanja vrijednost f(x) je 0, a najveća vrijednost je 3.

Prijedlog: E(f) = .

NE vikoristovuyuchi pokhídnu

Pronađite najvažnije i najmanje važne funkcije:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Prijedlog: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Ako želite da se pobrinete za pomoć siromašnima, onda morate napraviti promjenu, jer funkcija f (x) nije dodijeljena pravoj, već cijeloj brojevnoj pravoj.

Vikoristovuyuchi metoda inter/procjene

3 sinusna vrijednost skliznula, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Ubrzajmo snagu brojčanih nepravilnosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (množenjem sva tri dijela osnovne nepravilnosti sa -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Pošto je ova funkcija neprekidna u svim područjima dodjele, onda se besmislena vrijednost postavlja između najmanje i najveće vrijednosti u cijelom području dodjele, kao što je i istina.

U ovom slučaju, vrijednost funkcije $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ ê je bezlična.

3 nepravilnosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ uzeti procjenu $$\\ -6\leq y\leq 6 $ $

Kada je x = p í x = 0, funkcija poprima vrijednost -6 í 6, tada. dostići donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija besprekidnih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana na cijeloj numeričkoj osi, pa zbog krutosti funkcije bez prekida akumulira sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući i samo í̈x, jer zbog neravnine $ - 6 \leq y\leq 6$ druge vrijednosti nisu moguće.

Takođe, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Dokaz: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Reverzibilni viraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Vrijednost kosinusa slijedi $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Pošto je funkcija data bez prekida u cijelom rasponu dodjele, tada se bezvrijedna vrijednost postavlja između najmanje i najveće vrijednosti, kako se ispostavilo, bezvrijedna vrijednost funkcije $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ ê bezličan $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Značajno $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Sam zadatak se svodi na vrijednost množitelja vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na promjeni (-∞;4). Oskílki funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ je dodijeljena samo za t > 0, njena vrijednost funkcije na intervalu (-∞;4) uzima se iz vrijednosti funkcije na intervalu (0;4), što je promjena retine (-∞; 4) s rasponom (0; +∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je neprekidna i manja. Za t > 0, vrijednost je +∞, a za t = 4 vrijednost je -2, pa je E(y) = (-2, +∞).

Trik je baziran na grafičkom prikazu funkcije.

Nakon transformacije funkcije moguće je: y 2 + x 2 = 25, štaviše, y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Sljedeća pretpostavka je da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednako ulozi poluprečnika r.

Kada tsikh zamezhennya raspored daje izjednačavanje ê gornji pívkola s centar na kob koordinata í poluprečnik, koji je više jednak 5. Očigledno, scho E(y) = .

Prijedlog: E(y) = .

Wikoristan literature

Područje značaja funkcija na čelu EDI-ja, Minyuk Irina Borisivna

Radi razumijevanja bezličnog značenja funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.

Značaj bezlične vrijednosti funkcije

Kako demonstrirati zadatak iz matematike na prijemnim ispitima, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Najčešće, na granicama distribucije zadataka, dolazimo do šukati bezličnu vrijednost funkcije područja dodijeljenog segmentu. Na primjer, potrebno je raditi u slučaju kršenja različite vrste nepravilnosti, ocjene viraziv i in.

U okviru ovog materijala moguće je odrediti koje je područje značaja funkcije, uvest ćemo glavne metode pomoću kojih možemo izračunati, a analizirat ćemo zadatak različitog stupnja savijanja. Radi jasnoće, pozicije su ilustrovane grafikonima. Nakon čitanja ovog članka, oduzet ćete sve informacije o opsegu funkcije.

Pochnemo íz osnovne dužnosti.

Zakazivanje 1

Bezvrijedna vrijednost funkcije y = f (x) na trenutnom intervalu x je bezvrijedna vrijednost svih vrijednosti, jer se funkcija daje pri iteraciji preko svih vrijednosti x ∈ X.

Zakazivanje 2

Opseg vrijednosti funkcije y = f (x) je bezimena vrijednost svih í̈ vrijednosti, tako da može poprimiti vrijednost x z x ∈ (f) kada se ponavlja.

Područje vrijednosti stvarne funkcije se uzima kao E(f).

Da biste poštovali razumijevanje množenja vrijednosti funkcije, nemojte započinjati istu oblast njene vrijednosti. Vrijednosti razumijevanja bit će jednake samo u tom slučaju, jer interval vrijednosti x, kada je vrijednost nepoznata, vrijednost varira od područja naznačene funkcije.

Također je važno razlikovati raspon vrijednosti i raspon prihvatljivih vrijednosti promjene x za izraz desnog dijela y = f (x). Područje dopuštenih vrijednosti x za izraz f (x) i bit će područje koje je dodijeljeno funkciji.

Dole treba staviti ilustraciju, koja prikazuje deyaki kundake. Plave linije su grafovi funkcija, crvene su asimptote, tačke istih linija na osi ordinata su cijele površine vrijednosti funkcije.

Očigledno je da se opseg funkcije može uzeti u obzir prilikom dizajniranja grafike za sve O y . Za koga možete imati jedan broj, a bezlične brojeve, tri, interval, otvoreni interval, kombinaciju numeričkih intervala i drugo.

Pogledajmo glavne načine poznavanja opsega funkcije.

Hajde da samo dodijelimo množenje vrijednosti nestalne funkcije y = f (x) trenutnim brojačem, označenim sa [a; b]. Znamo da je funkcija neprekidna u bilo kojem smjeru, dostižući svoj novi minimum i maksimum, odnosno najveći m a x x ∈ a ; b f (x) je najmanja vrijednost m i n x ∈ a ; bf(x). Opet, uzimamo u obzir m i n x ∈ a; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , koji će sadržavati bezličnu vrijednost izlazne funkcije. To je sve na čemu trebamo poraditi - potrebno je samo znati na kojoj tački naznačiti tačke minimuma i maksimuma.

Uzmimo zadatak za koji je potrebno dodijeliti područje arksinusu.

guza 1

Umov: saznati vrijednost y = a r c sin x .

Rješenje

Na divljoj padini, područje dodijeljeno arksinusu je prošireno do vrha [-1; jedan]. Moramo dodijeliti najveću i najmanju vrijednost dodijeljene funkcije novoj.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Znamo da će ova funkcija biti pozitivna za sve vrijednosti x, proširene u intervalu [-1; 1 ] , tako da se proširenjem regije funkcija dodjeljuje arksinusu stope rasta. Dakle, najmanja vrijednost će biti prihvaćena na x, jednaka - 1, a najveća - na x, jednaka 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Na taj način je površina vrijednosti funkcije arcsinus skuplja E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

prijedlog: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

guza 2

Umov: Izračunajte raspon vrijednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na datom podnizu [1; 4].

Rješenje

Sve što trebamo razraditi je izračunati najveću i najmanju vrijednost funkcije za dati interval.

Da biste odredili tačku ekstrema, morate izračunati sljedeći izračun:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Sada znamo vrijednost date funkcije u intervalima reza i tačaka x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Dakle, bezlična vrijednost funkcije određena je razlikom 117 - 165 33 512; 32 .

prijedlog: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Prijeđimo na vrijednost bezlične vrijednosti neprekinute funkcije y = f (x) u intervalima (a; b), štaviše, a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Počnimo s označavanjem najveće i najmanje tačke, kao i intervala između rasta i promjene na datom intervalu. Ako je tako, morat ćemo virahuvat jednostrane granice u intervalima i/ili granicama na nedosljednosti. Drugim riječima, trebamo dodijeliti ponašanje funkcije datim umovima. Za koga će nam možda trebati svi potrebni podaci.

guza 3

Umov: izračunati opseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (-2; 2).

Rješenje

Prikazujemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na datoj liniji

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Dostigli smo maksimalnu vrijednost, koja je jednaka 0, ali je u istom trenutku potrebno promijeniti predznak funkcije i graf da ide na pad. Div. za ilustraciju:

Dakle, y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 će biti maksimalna vrijednost funkcije.

Sada je ponašanje funkcije značajno za takav x, koji je desna strana - 2 s desne strane i do + 2 s lijeve strane. Drugim riječima, znamo jednostrane granice:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Vidjeli smo da se vrijednost funkcije povećava od minus nedosljednosti do -14 todi, ako se argument promijeni u rasponu od -2 do 0. A ako se argument promijeni sa 0 na 2, vrijednost funkcije se mijenja u minus beskonačnost. Kasnije će besmislena vrijednost date funkcije na traženom intervalu biti (- ∞ ; - 1 4 ) .

prijedlog: (- ∞ ; - 1 4 ] .

guza 4

Umov: unesite anonimnu vrijednost y = t g x u datom intervalu - π 2; π 2 .

Rješenje

Znamo da je tangent od β sličan - π 2; π 2 biti pozitivan, tako da funkcija raste. Sada je značajno kako pokrenuti funkciju u datim granicama:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Oduzeli smo inkrementalnu vrijednost funkcije od minus nedosljednosti u plus nekonzistentnost kada smo promijenili argument vid - π 2 u π 2 i možemo reći da će bezlično rješenje ove funkcije biti impersonalnost svih realnih brojeva.

prijedlog: - ∞ ; + ∞ .

guza 5

Umov: označiti, što je opseg funkcije, prirodni logaritam y = ln x .

Rješenje

Znamo da je funkcija data i dodijeljena u pozitivne vrijednosti argument D(y) = 0; +∞. Pohídna na datom intervalu će biti pozitivna: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, novi ima povećanje funkcija. Dali su nam potrebu da odredimo jednostranu granicu za to, ako je argument tačan 0 (na desnoj strani), i ako x nije tačna nedosljednost:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Oduzeli smo da vrijednost funkcije raste od minus nekonzistentnosti u plus nekonzistentnost pri promjeni vrijednosti x sa nule na beskonačnost plus. Dakle, postoji puno svih realnih brojeva - ce i ê područje vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.

prijedlog: množitelj svih realnih brojeva je površina vrijednosti funkcije prirodnog logaritma.

guza 6

Umov: odrediti koji je raspon funkcije y = 9 x 2 + 1 .

Rješenje

Tsya funkcija ê sing za um da je x realan broj. Izbrojimo najvažnije i najmanje važne funkcije, kao i praznine i rast i promjene:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

U rezultatima smo naznačili da će se funkcija smanjiti, tako da je x ≥ 0; nego da je x ≤ 0; neće dati tačku na maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 kada se mijenja, što je skuplje 0 .

Pitamo se kako upravljati funkcijom na nekonzistentnosti:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Iz zapisa se može vidjeti da se vrijednost funkcije y puta asimptotski približava 0.

Podib'êmo subbags: ako se argument promijeni iz minus nedosljednosti na nulu, tada vrijednost funkcije raste od 0 do 9. Ako se vrijednost argumenta promijeni sa 0 na plus nedosljednost, tada će vrijednost funkcije pasti sa 9 na 0. Zamislili smo cijenu za malu:

Na novom se može vidjeti da će raspon vrijednosti funkcije biti interval E(y) = (0; 9)

prijedlog: E(y) = (0; 9]

Dakle, trebamo dodijeliti bezličnu vrijednost funkciji y = f(x) na intervalima [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , onda moramo sami provesti takva istraživanja.

A kako imate vipadku, kako je područje dodijeljeno deyakoí̈ funktsíí̈ ê o'dnannyam kílkoh promizhkív? Zatim moramo izračunati anonimnu vrijednost na skinu s ovih intervala i kombinirati ih.

guza 7

Umov: odrediti koji će raspon biti y = x x - 2 .

Rješenje

Oskílki znamennik functioníí̈ nije kriv, ali znacheniya na 0 , tada D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞.

Počnimo sa dodjeljivanjem množitelja vrijednosti funkcije prvom redu - ∞; 2, što je jasno obećanje. Znamo da će funkcija pasti na novom, tako da će funkcija biti negativna.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Zatim, ako se argument promijeni y direktno minus nedosljednost, vrijednost funkcije asimptotski se približava 1. Ako se vrijednost x smanji sa minus nedosljednosti na 2, tada će se vrijednost smanjiti sa 1 na minus nekonzistentnost, tj. funkcija na budućoj vrijednosti intervala - ∞ ; jedan . Sami, osim naših refleksija, krhotine vrijednosti funkcije í̈í ne dosežu, već joj se asimptotski približavaju.

Za otvorenu razmjenu 2; + ∞ vikonuêmo so sami díí̈. Funkcija na novom je također manja:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vrijednost funkcije na datoj vídrízki se dodjeljuje bezvrijednoj 1; +∞. Dakle, trebamo područje vrijednosti funkcije, datog za um, kombinirati višekratnicima - ∞; 1 i 1; +∞.

prijedlog: E(y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞.

Možete pogledati grafikon:

Posebne fluktuacije su periodične funkcije. Ovo područje vrijednosti mijenja se iz bezlične vrijednosti u taj interval, koji ovisi o periodu funkcije.

guza 8

Umov: Postavite područje na vrijednost sinusa y = sin x.

Rješenje

Sinus leže na periodičnu funkciju, kao da period postaje 2 pi. Beremo vídrízok 0; 2 π čudim se šta će na novom biti bezlična vrijednost.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Na granici 0; 2 π funkcije će biti tačke ekstrema π 2 í x = 3 π 2 . Pogledajmo zašto je značaj funkcije u njima važniji, kao i na granicama vídrízke, nakon čega biramo najznačajnije i najmanje značajne.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 = 1

prijedlog: E (sin x) = - 1; jedan .

Ako trebate znati područje vrijednosti takvih funkcija, kao što su statičke, prikazne, logaritamske, trigonometrijske, reverzne trigonometrijske, onda ste dobrodošli da ponovo pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija, kao što ovdje predlažemo, omogućava vam da obrnete datu vrijednost. Kako Bazhano vivchiti, krhotine smrada su često potrebne u vrijeme trešnje dana. Ako znate područja glavnih funkcija, lako možete znati područja funkcija, kao da oduzimate elementarne uz pomoć geometrijske transformacije.

guza 9

Umov: postavite opseg y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Rješenje

Znamo da je vrijednost arkosinusa od 0 do pi. Drugim riječima, E (ar c cos x) = 0 ; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo uzeti u inverzni kosinus tako što ćemo je rastegnuti i rastegnuti os O x , inače nam nećemo moći ništa dati. Dakle, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Funkcija 3 arc cos x 3 + 5 π 7 može se oduzeti od arc kosinusa arc cos x 3 + 5 π 7 za dodatno rastezanje vertikalne ose, tako da je 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . U finalu, transformacija je zsuv uzdovzh os O y za 4 vrijednosti. Rezultat će imati neke osnovne neravnine:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Oduzeli smo ono što će biti potrebno za površinu vrijednosti E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

prijedlog: E(y) = - 4; 3 pi-4.

Još jedan kundak biće zapisan bez objašnjenja, jer vino je slično onome ispred.

guza 10

Umov: izračunaj koliki će raspon funkcije biti y = 2 2 x - 1 + 3 .

Rješenje

Prepišimo funkciju koju imamo na umu, kao što je y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Za statičku funkciju y = x - 1 2, područje vrijednosti će biti dodijeljeno intervalu 0; + ∞, onda. x-1 2 > 0 . U ovom smislu:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Dakle, E(y) = 3; +∞.

prijedlog: E(y) = 3; +∞.

Sada pogledajmo kako znati opseg funkcije, kako se ne prekidati. Za koje treba da razbijemo cijelo područje u praznine i spoznamo njihovo bezlično značenje na koži, nakon čega ujedinimo one koje smo vidjeli. Radi boljeg razumijevanja, radi ponavljanja glavnih tačaka gledišta funkcije.

guza 11

Umov: zadana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte vrijednost površine.

Rješenje

Ova funkcija je dodijeljena svim vrijednostima x. Napravimo analizu kontinuiteta sa vrijednostima argumenta, jednakim - 3 i 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Može biti neprekidna ekspanzija prve vrste sa vrijednošću argumenta - 3 . Kada se približavate novoj vrijednosti funkcije, pomaknite se na - 2 sin 3 2 - 4, a kada je x do - 3 s desne strane, vrijednosti će se pomjeriti na - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Moguće je da u tački 3 nema traženja drugog roda. Ako funkcija nije jednaka, njene vrijednosti su blizu - 1, ako je funkcija jednaka desno - na minus nedosljednost.

Dakle, cijelo područje dodijeljene funkcije podijeljeno je na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Na prvom od njih oduzeli smo funkciju y = 2 sin x 2 - 4 . Oskílki - 1 ≤ sin x ≤ 1 je prihvatljivo:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Dakle, za ovaj interval (- ∞ ; - 3] funkcija nema vrijednost - [ - 6 ; 2 ] .

Na posljednjem intervalu (- 3 ; 3 ) postojala je konstantna funkcija y = - 1 . Otzhe, svi bezlični njeni značeni ponekad će biti izgrađeni do jednog broja - 1.

Na drugom intervalu 3; + ∞ možemo koristiti funkciju y = 1 x - 3 . Osvojio je pik, da bi y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Dakle, bezlična vrijednost izlazne funkcije za x > 3 je višekratnik 0; +∞. Sada su rezultati generalno oduzeti: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

prijedlog: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Rješenje je prikazano na grafikonu:

guza 12

Umov: ê funkcija y = x 2 – 3 e x . Cijenite bezlično značenje.

Rješenje

Vaughnu je pripisano svo značenje argumenta, a to su stvarni brojevi. Značajno je da je za neke intervale data funkcija povećanja, a za neke opadanja:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Znamo da je dobro ići na 0 kao x = - 1 i x = 3 . Stavimo dvije točke na cjelinu i z'yasuëmo, kao znakovi će biti majka intervala.

Funkcija će se promijeniti u (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i raste na [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1, maksimalni - 3.

Sada znamo glavne vrijednosti funkcije:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Gledamo ponašanje funkcije na nekonzistentnosti:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Za obračun drugog posrednika korišteno je Lopitalovo pravilo. Zamislivo je da je naše rješenje prešlo na grafiku.

Može se vidjeti da će se vrijednost funkcije smanjiti u plusu nedosljednosti na -2e čak i ako se argument promijeni u minus nekonzistentnosti na -1. Ako se vino promijeni sa 3 na plus nepreciznosti, tada će vrijednost pasti sa 6 e - 3 na 0, ali ako je 0, neće biti dosega.

Ovim redom, E(y) = [- 2 e; +∞).

prijedlog: E(y) = [-2e; +∞)

Kako ste zapamtili pomilovanje u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter

Razumijevanje funkcije i svega što je s njom povezano dovedeno je do tradicionalno složenog, a ne do točke uma. Izdvojimo kamenom fokus na to kako funkcionira i priprema za ÊDÍ ê područje označavanja i područje značaja (promjene) funkcije.
Nije neuobičajeno da naučite da ne pravite razliku između područja dodijeljene funkcije i područja njenog značaja.
Čim naučimo da savladamo zadatak promjene područja dodijeljene funkcije, tada zadatak promjene bezličnog značenja funkcije zahtijeva smrad chimali poteškoća.
Meta tsi êí̈ statti: poznavanje metoda poznavanja vrijednosti funkcije.
Kao rezultat sagledavanja ovih tema, razvijen je teorijski materijal, razmotrene su metode rješavanja zadataka na značaj više funkcija, odabran je didaktički materijal za samostalan rad studenata.
Ovaj članak može biti nastavnik u pripremi studenata za maturske i uvodne studije, za one „Oblast značaja funkcije“ u izbornim izbornim predmetima iz matematike.

I. Označavanje opsega funkcije.

Vrijednost površine (množitelja) E (y) funkcije y = f (x) naziva se brojem takvih brojeva y 0, za kožu z postoji takav broj x 0 da je: f (x 0) = y 0.

Pogodite područje glavnog elementarne funkcije.

Pogledajmo tabelu.

Funkcija	Anonimno značenje
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; jedan]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Također se poštuje da je površina vrijednosti bilo kojeg polinoma uparene faze interval, de n je najveća vrijednost polinoma.

II. Snaga funkcija

Za uspješno prepoznavanje bezlične funkcije potrebno je dobro poznavati snagu osnovnih elementarnih funkcija, posebno njihova područja značaja, područje značaja i prirodu monotonije. Inducirajmo moć neprekinutih, monotonih funkcija diferencijacije, koje najčešće pobjeđuju kada su poznate bezlične vrijednosti funkcija.

Dominacija 2 i 3, u pravilu, odjednom osvajaju moć elementarne funkcije bez prekida u svom području imenovanja. S obzirom na najjednostavnije i najkraće rješenje problema vrijednosti množitelja, vrijednost funkcije se može postići na osnovu autoriteta 1, iako se za određivanje monotonosti funkcije mogu koristiti nekonzistentne metode. Rješenje je jednostavnije, kao funkcija, prije toga, - par je neuparen, povremeno mršav. Na taj način, prilikom izvršavanja zadataka o važnosti množenja vrijednosti funkcije, ako je potrebno, potrebno je preispitati i osvojiti ofanzivnu moć funkcije:

neprekidno;
monotonija;
diferencijacija;
uparivanje, rasparivanje, periodičnost je mala.

Nezgodan zadatak poznavanja bezličnog značenja funkcije društvene orijentacije:

a) za najjednostavnije procjene i granicu: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 tada);

b) vidjeti cijeli kvadrat: x 2 - 4x + 7 = (x - 2) 2 + 3;

c) o transformaciji trigonometrijskog viraziva: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) postizanje monotonosti funkcije x 1/3 + 2 x-1 povećava R.

III. Pogledajmo metode poznavanja područja vrijednosti funkcije.

a) posljednja vrijednost preklopnih argumenata funkcije;
b) način evaluacije;
c) postizanje moći, nedostatak prekida i monotonija funkcije;
d) vikoristannya pokhídnoi;
e) izbor najveće i najniže vrijednosti funkcije;
e) grafička metoda;
g) metod zahtjeva parametara;
h) metoda funkcije preokreta.

Rozkriëmo suštinu ovih metoda na određenim guzicima.

Primjer 1. Pronađite raspon vrijednosti E(y) funkcije y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Ovaj problem možemo riješiti metodom sekvencijalnih vrijednosti preklapajućih argumenata funkcije. Vidjevši novi kvadrat ispod logaritma, transformiramo funkciju

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Í sekvencijalno znamo bezlično značenje njenih sklopivih argumenata:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Značajno t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim sam da bi došao do vrijednosti množitelja vrijednosti funkcije y = log 0,5 t na razmjeni (-∞;4) . Budući da je funkcija y = log 0,5 t dodijeljena samo vašem umu, tada se anonimna vrijednost na intervalu (-∞; 4) mijenja od anonimne vrijednosti funkcije na intervalu (0; 4), a to je interval intervala (-∞; 4) sa opsegom (0; + ∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je neprekidna i manja. At t> 0 osvojio pragne +∞, i kada t = 4 postavlja vrijednost -2, na E(y) =(-2, +∞).

Primjer 2. Pronađite opseg funkcije

y = cos7x + 5cosx

Ovu zadnjicu vidimo metodom procena, čija je suština u proceni neprekidne funkcije dna i vrha i u dokazivanju dometa funkcije donje i gornje granice ocena. Uz bilo kakvu promjenu bezličnosti, vrijednost funkcije s intervalom od donje međuprocjene do gornje određena je nestalnošću funkcije i prisustvom nižih vrijednosti u njoj.

Od nepravilnosti -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 uzimamo rezultat -6≤y?6. Kada je x = p í x = 0, funkcija poprima vrijednost -6 í 6, tada. dostići donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija neprekinutih funkcija cos7x i cosx, funkcija y je neprekidna na cijeloj numeričkoj osi, stoga, zbog snage neprekidne funkcije, dobiva sve vrijednosti od -6 do 6 inkluzivno, i samo ih, odnosno kroz nedosljednosti u vrijednostima od -6≤y to je nemoguće. otzhe, E(y)= [-6;6].

Primjer 3. Pronađite raspon vrijednosti E(f) funkcije f(x)= cos2x + 2cosx.

Prateći formulu kosinusa donje kute, transformiramo funkciju f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 što je značajno t= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E(cosx) =

[-1;1], zatim raspon funkcije f(x) zbígaêtsya s bezličnom vrijednošću funkcije g (t)= 2t 2 + 2t - 1 nazad [-1; 1], kao što znamo grafičkom metodom. Induciranje grafa funkcije y = 2t 2 + 2t - 1 = 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 po intervalu [-1; 1], znamo E(f) = [-1,5; 3].

Poštovanje - do značajnosti bezličnog značenja funkcije, potrebno je kreirati bogat zadatak sa parametrom, povezan, što je još važnije, sa brojem razlika i brojem razlika. Na primjer, jednako f(x)\u003d ali je dozvoljeno učiniti više od toga, ako

aE(f) Slično, jednako f(x)\u003d mogu li htjeti jedan korijen, koji se širi na trenutni jaz X, inače ne možete imati ni jedan korijen na istom razmaku tada i samo malo, ako morate lagati ili ne lagati bezličnu vrijednost funkcije f(x) na intervalu od X. f(x)≠ ali, f(x)> a i itd. Zokrema, f(x)≠ i za sve dozvoljene vrijednosti h yakso a E(f)

Butt 4. Za bilo koju vrijednost parametra a jednaka (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) postoji jedan korijen za uvlačenje [-4;-1].

Zapišimo jednakost vida (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Preostali jednaki mogu željeti samo jedan korijen po vdrízki [-4;-1] bilo i samo ako postoje bezlične vrijednosti funkcije f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) na poleđini [-4;-1]. Znamo bezličnost, pobjedničku moć, neprekidnost i monotoniju funkcije.

S druge strane [-4;-1] funkcija y = xÍ + 4 je besprekidna, manje i je pozitivno, pa je funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) je neprekidan i zbílshuêtsya na tsemu vídrízku, oskílki za rozpodílí na pozitivnu funkciju priroda monotonosti funkcije se mijenja u produženje. Funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 je neprekidno i raste u vlastitoj galeriji D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, na vídrízku [-4;-1], deva, osim toga, pozitivno. Ista funkcija f(x)=g(x) h(x), kao sabiranje dvije neprekidne, rastuće i pozitivne funkcije, također je neprekinuto i uvećano za dodatni [-4;-1], tako da postoji bezlična vrijednost za [-4;-1] ê dodatni [ f(-4); f(-1)]=. Također, jednako je rješenju dvostrukog [-4;-1], štaviše, jedan (za kvalitet kontinuirane monotone funkcije), sa 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Poštovanje. Dozvolivost jednaka f(x) = a na trenutnom intervalu X jednak je validnosti vrijednosti parametra ali vrijednost bezlične funkcije f(x) na X. Otzhe, bezlična vrijednost funkcije f(x) za interval X se mijenja od vrijednosti parametra ali, za jednake f(x) = a Mogu li da želim jedan root za matursko područje H. Zokrema E(f) funkcije f(x) zbígaêtsya s anonimnom vrijednošću parametra ali, za jednake f(x) = a Mogu li htjeti jedan korijen.

Primjer 5. Pronađite raspon vrijednosti E(f) funkcije

Otvaranje kundaka metodom unosa parametra, zgídno z E(f) zbígaêtsya s anonimnom vrijednošću parametra ali, za jednake

Mogu li htjeti jedan korijen.

Kada je a = 2 jednako linearno - 4x - 5 = 0 sa koeficijentom koji nije nula za x, nema rješenja. Kada je a≠2 jednako kvadratu, onda se može odvezati ili i samo ako je diskriminant

Oskílki točka a = 2 leži u vídrízku

tada shukanim vrijednost parametra ali, znači, cijenim područje E(f) biti sve vídrízok.

Kao neposredni razvoj metode uvođenja parametra sa datom impersonalnom vrijednošću funkcije može se smatrati metoda povratne funkcije, za čiju je svrhu potrebno provjeriti vrijednost funkcije. f(x)=y, sa parametrom y. Yakshcho tse jednako može biti jedno rješenje x = g(y), zatim raspon E(f) vanjske funkcije f(x) pobjeći iz područja imenovanja D(g) funkcija pljuvačke g(y). Yakshcho je jednak f(x)=y maê kílka rješenje x = g 1 (y), x = g 2 (y) i tako dalje E(f) bolja integracija područja funkcije g 1 (y), g 2 (y) i sl.

Primjer 6. Pronađite površinu vrijednosti E(y) funkcije y = 5 2/(1-3x).

Z jednako

znamo funkciju preokreta x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskílki rívnyannya schodo x može biti jedino rješenje

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Budući da se površina dodijeljene funkcije zbraja iz višedecenijskih intervala, a funkcija na različitim intervalima data je različitim formulama, tada je za značajnost površine vrijednosti funkcije potrebno znati anonimnu vrijednost funkcije na skin intervalu i uzeti ih zajedno.

Primjer 7. Pronađite područja od značaja f(x)і f(f(x)), de

f(x) na razmjeni (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Značajno t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na razmjeni (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, u sredini (0; 4], kao što znamo, vikorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na promizhku (0;4] dobro g'(t) dodijeljeno mu je da počinje tamo na nuli u t=3. U 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) opada, a intervali (3; 4) rastu, prelivajući se neprekinutim senf intervalom (0; 4), pjesnik g. (3)= 9 - najmanja vrijednost funkcije za interlace (0; 4], međutim, maksimalna vrijednost nije moguća, tako da sa t→0 funkcija desne ruke g(t)→+∞. Todi, za kvalitet neprekinute funkcije, bezličnu vrijednost funkcije g(t) na intervalu (0; 4], što znači da nemam značenje f(x) na (-∞;-1], biti promin.

Sada, kombinovani intervali su bezlično značenje funkcije f(f(x)), smisleno t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de t funkcija f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 i ponovo prihvatiti sve vrijednosti od 5 do 9 uključujući, tj. područje vrijednosti E(fÍ) = E(f(f(x))) =.

Slično, znajući z = f(f(x)), možete znati raspon E(f3) funkcije f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 itd. Prebolite to, šta E(f 3) = .

Najuniverzalnija metoda za izračunavanje množenja vrijednosti funkcije i oduzimanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije za dati interval.

Primjer 8. Za neke vrijednosti parametra R neravnine 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x pobjeda za sve -1 ≤ x< 2.

Imenovavši t = 2 x, zapišemo neujednačenost izgleda p ≠ t 3 - 2t 2 + t. so yak t = 2 x- uključena funkcija neprekidnog rasta R, onda za -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R pogledajte vrijednost funkcije f(t) = t 3 - 2t 2 + t pri 0,5 ≤ t< 4.

Znamo redoslijed anonimne vrijednosti funkcije f(t) na vídrízku, uzalud svuda gdje mogu ići f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. otzhe, f(t) diferencirano, kasnije i bez prekida do vjetra. Z jednako f'(t) = 0 znamo kritične tačke funkcije t=1/3, t=1, pre svega, ne možeš da legneš na prijatelja, već na prijatelja youma. so yak f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, tada, za kvalitet diferencirane funkcije, 0 je najmanja, a 36 je najveća vrijednost funkcije f(t) na vídrízku. Todi f(t), kao non-stop funkcija, prihvata sve vrijednosti od 0 do 36 uključujući, štoviše, vrijednost 36 uzima samo t=4 osim toga, za 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohídna je pozitivna za sve x z interval (-1; 1), tako da funkcija arksinusa raste u cijelom rasponu dodjele. Opet, najmanja vrijednost osvojenog je pri x = -1, a najveća pri x = 1.

Oduzeli smo domenu funkcije arksinusu .

guza.

Pronađite anonimnu vrijednost funkcije na vídrízku.

Rješenje.

Hajde da znamo najvažniju i najmanje važnu funkciju na ovoj temi.

Značajno je da je tačka ekstrema koja leži u vídrízku:

Izračunavanje vrijednosti izlazne funkcije na krajevima reza i na tačkama :

Otzhe, bezlična vrijednost funkcije na vídrízku ê vídrízok .

Sada ćemo pokazati kako znati vrijednost neprekinute funkcije y = f(x) u intervalima (a; b), .

Od početka dodjeljujemo tačke ekstrema, ekstreme funkcija, intervale rasta i promjene funkcija na datom intervalu. Oni su izračunati na intervalima intervala i (ili) između na nekonzistentnosti (tj. ponašanju funkcije na intervalima intervala ili na nekonzistentnosti). Postoji dovoljno informacija da se zna bezlična vrijednost funkcije u takvim intervalima.

guza.

Označite bezličnu vrijednost funkcije na intervalu (-2; 2).

Rješenje.

Znamo tačke ekstrema funkcije koje se troše na interval (-2; 2):

Krapka x = 0 je maksimalna tačka, zbog čega je potrebno promeniti znak plus u minus pri prolasku kroz nju, a grafik funkcije kao da raste da bi išao na pad.

ê vídpovídny maksimalne funkcije.

Možemo razumjeti ponašanje funkcije na x, što je do -2 desno i na x, što je do 2 złiva, tako da znamo jednostrane granice:

Ono što smo oduzeli: kada se argument id -2 promijeni na nulu, vrijednost funkcije raste sa minus nedosljednosti na minus jednu četvrtinu (maksimum funkcije na x = 0), kada se id argumenta promijeni sa nule na 2, vrijednost funkcije pada na beskonačnost. Ovim redom, bezlična vrijednost funkcije na intervalu (-2; 2) ê .

guza.

Navedite vrijednost množitelja funkcije na tangentu y = tgx na intervalu.

Rješenje.

Funkcija slična tangenti na intervalu je pozitivna što ukazuje na rast funkcije. Pratite ponašanje funkcije na granicama intervala:

Na taj način, prilikom promjene argumenta, vrijednost funkcije raste od minus nedosljednosti u plus nekonzistentnost, odnosno vrijednost tangente na ovom intervalu je vrijednost svih realnih brojeva.

guza.

Odrediti opseg funkcije prirodnog logaritma y = lnx.

Rješenje.

Funkcija prirodnog logaritma se dodjeljuje pozitivnim vrijednostima argumenta . Na kojem intervalu je pozitivan O rastu funkcija na novom ne vrijedi ni govoriti. Znamo jednostranu granicu funkcije kada je argument desno do nule i granicu na x, koja je točno do plus nedosljednost:

Bachimo, za promjenu x od nule u plus nekonzistentnost, vrijednost funkcije raste sa minus nedosljednosti na plus nedosljednost. Otzhe, opseg funkcije prirodnog logaritma je bezlični realni brojevi.

guza.

Rješenje.

Ova funkcija je dodijeljena svim stvarnim vrijednostima x. Značajne su tačke ekstrema, kao i praznine u rastu i promjeni funkcije.

Također, funkcija se mijenja na , raste na , x = 0 je maksimalna tačka, prividni maksimum funkcije.

Gledamo ponašanje funkcije na nekonzistentnosti:

Na taj način, na nekonzistentnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.

Objasnili smo da kada se argument promijeni iz minus nedosljednosti u nulu (maksimalni broj bodova), vrijednost funkcije raste sa nule na devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni sa nule na plus nedosljednost, vrijednost funkcije mijenja sa devet na nulu.

Pogledajte šematski mališani.

Sada možete jasno vidjeti da je raspon funkcije .

Vrijednost množitelja vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima istog trajanja. Nemojmo odmah izvještavati o ovim vipadkama. Na zadnjici ispod, smrad je oštriji.

Neka se opseg funkcije y = f(x) kombinuje za određeni broj intervala. Kada je područje poznato, vrijednost takve funkcije je naznačena bezličnom vrijednošću kožne izbočine i njenom generalizacijom.

guza.

Pronađite opseg funkcije.

Rješenje.

Standard naše funkcije nije kriv za spuštanje na nulu, tobto,.

Znamo bezličnu vrijednost funkcije na otvorenoj berzi.

Ostale funkcije negativan za ovo privremeni period, pa mu se funkcija mijenja.

Uzelo se u obzir da kada je argument minus nedosljednost, vrijednosti funkcije se asimptotski približavaju jedinici. Prilikom promjene x u minus nekonzistentnosti na dvije vrijednosti, funkcija se mijenja iz jedne u minus nedosljednost, tako da za kratko vrijeme, kao što vidite, funkcija poprima bezličnu vrijednost. Jedan nije uključen, fragmenti vrijednosti funkcije ga ne dostižu, nije dovoljno asimptotski skočiti na njega minus nedosljednošću.

Diemo je sličan za otvorenu razmjenu.

U kom intervalu se funkcija također mijenja.

Anonimna vrijednost funkcije za taj period je bezlična.

Na ovaj način, opseg vrijednosti funkcije je potreban za kombiniranje višekratnika.

Grafičke ilustracije.

Okremo tragovi na periodičnim funkcijama. Opseg vrijednosti periodičnih funkcija se mijenja od bezlične vrijednosti intervala, što zavisi od perioda funkcije.

guza.

Pronađite opseg sinusne funkcije y = sinx.

Rješenje.

Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Vízmemo vídrízok ta značajno bezlično značenje na nymu.

Vídrízku leže dvije točke ekstrema ta .

Izračunavamo vrijednost funkcije u ovim točkama i na granicama vírízke, biramo najmanju i najveću vrijednost:

otzhe, .

guza.

Pronađite opseg funkcije .

Rješenje.

Znamo da je raspon vrijednosti arkosinusa ê vídrízok víd nula do ní, onda, ili u drugom unosu. Funkcija može biti otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh apscisa osi. Takva transformacija na tom području se ne može ubrizgati u to, . Funkcija izaći iz rastegnut do vtrychí vzdovzh osí Oy, tobto, . 1. preostala faza transformacije - tse zsuv chotirma sama niz uzdovzh os ordinata. Ne vredi nas dovoditi u nervozu u metrou

U ovom rangu, shukana područje vrijednosti je .

Napravimo rješenje za još jednu guzu, ali bez objašnjenja (nema potrebe za smrad, ja ću isto uraditi za to).

guza.

Definirajte opseg funkcije .

Rješenje.

Napišimo izlaznu funkciju kao . Područje vrijednosti funkcije stanja je interval. Tobto, . Todi

otzhe, .

Da bismo upotpunili sliku, razgovarajmo o opsegu vrijednosti funkcije, jer je to neprekinuti opseg funkcije. U ovom slučaju, područje imenovanja podijeljeno je tačkama na praznine, a znamo njihovu besmislenu vrijednost na koži. Kombinirajući oduzimanje vrijednosti množitelja, oduzimamo područje vrijednosti izlazne funkcije. Preporučljivo je pogoditi 3 vrijednosti funkcije lijeve ruke za pomicanje minus jedan, a ako je x do 3 udesno, vrijednost funkcije za pomicanje plus nepreciznost.

Na taj način je područje funkcije podijeljeno na tri intervala.

Mogu li dobiti funkciju . Onda Oscilki

Dakle, bezlična vrijednost izlazne funkcije za interval je ê [-6; 2].

Na posljednjem intervalu moguće je imati konstantnu funkciju y = -1. Stoga se bezlična vrijednost eksterne funkcije za privremeni sabira iz jednog elementa.

Funkcija je dodijeljena svim stvarnim vrijednostima argumenta. Z'yasuêmo promiski povećanje i promjenu funkcije.

Pokhídna se pretvara u nulu na x=-1 i x=3. Značajno qi tačke na numeričkoj osi i značajno slične predznake na podintervalima.

Funkcija se mijenja u , Rast za [-1; 3] , x=-1 bod do minimuma, x=3 poena do maksimuma.

Izračunajmo minimalnu i maksimalnu funkciju:

Obrnuto ponašanje funkcije na nekonzistentnosti:

Naplaćena je još jedna mezhu.

Više shematski stolice.

Kada se argument promijeni iz minus neograničenost u -1, vrijednost funkcije se mijenja sa plus beskonačnost na -2e, kada se argument promijeni sa -1 na 3, vrijednost funkcije raste sa -2e na , kada se argument se mijenja sa 3 na plus beskonačno, vrijednost funkcije raste, ali ne dostižu nulu.

Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih koncepata za razumijevanje.

Imenovanje: Ako je broj kože množitelja dvojke x dodijeljen jednom y, onda se čini da je funkcija y(x) dodijeljena množitelju. Kada se x naziva nezavisnim argumentom promjene, a y se naziva sljedeća vrijednost promjene funkcije, to je jednostavno funkcija.

Da tako kažem, ono što mijenja y je funkcija promjene x.

Nakon što smo označili valjanost određenog slova, na primjer, f, lako je napisati: y=f (x), tako da vrijednost y dolazi iz argumenta x za dodatnu valjanost f. (Pročitajte: y je jednako f u x.) Simbol f (x) označava vrijednost funkcije, koja odgovara vrijednosti argumenta, koja je jednaka x.

Primjer 1 Neka je funkcija određena formulom y=2x 2 –6. Tada se može napisati da je f(x) = 2x2-6. Znamo vrijednost funkcije x, jednaku, na primjer, 1; 2,5;-3; pa znamo f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

S poštovanjem, zapis ima oblik y=f (x) umjesto f da živi drugim slovima: g, onda.

Odredište: Opseg funkcije - vrijednost x, koji imaju istu funkciju.

Ako je funkcija data formulom, a opseg funkcije nije dodijeljen, onda je važno da se opseg funkcije doda vrijednosti argumenta, za koji formula nema smisla.

Inače, očito, opseg funkcije, dat formulom, je vrijednost argumenta, krema je tiha, jer se proizvodi ručno, kao što možemo vikonirati. Trenutno poznajemo samo njih dvoje. Ne možemo dijeliti sa nulom i ne možemo uzeti kvadratni korijen negativnog broja.

Oznaka: Upotrijebite vrijednost, ako prihvatite promjenu usljed, odredite područje vrijednosti funkcije.

Opseg određene funkcije, koja opisuje stvarni proces, leži u umovima specifičnih umova i procesa. Na primjer, ustajalost dužine dužine dužine smicanja, ovisno o temperaturi zagrijavanja t, izražava se formulom, de l 0 dužine dužine dužine dužine dužine dužine dužine i koeficijenta linearne ekspanzije. Formula maê sens za bilo koju vrijednost t je dodijeljena. Međutim, opseg funkcije l = g (t) je interval od desetina stepeni, za koji je fer zakon linearne ekspanzije.

guza.

Odredite opseg funkcije y=arcsinx.

Rješenje.

Područje dodijeljeno arcsinusu ê vídrízok [-1; 1] . Hajde da znamo najvažniju i najmanje važnu funkciju za svaku nit.

Pokhídna je pozitivna za sve x iz intervala (-1; 1) , dakle, funkcija arcsinusa raste u cijelom rasponu oznake. Otzhe, najmanje važna stvar je nabuvaê x=-1, i većina at x=1.