Kako pravilno nacrtati slom nervoze. Frakciono-racionalne neravnine. Kako se nositi s nedosljednostima, koje imaju modul

Upišite ax 2 + bx + 0 0, de (zamjena znaka > moguća, razumna, biti neki drugi znak neravnine). Sve je potrebno za rješavanje ovakvih nedosljednosti sa činjenicama teorije, možemo vidjeti zašto možemo odjednom promijeniti.

guza 1. Virishiti nerívníst:

a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
rješenje,

a) Pogledajmo parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3, prikazanu na sl. 117.

Neravnina viskoznosti x 2 - 2x - 3 > 0 - ne znači napajanje, za koju je ordinata x tačka parabole pozitivna.

Pošto je y > 0, onda je graf funkcije proširenja viši za x osu, na x< -1 или при х > 3.

Otzhe, rješenja za neravnine su sve tačke otvorenosti o meni(- 00 , - 1) i pronađite sve tačke otvoreno-kritičnog raspona (3, +00).

Vykoristovuyuchi znak U (znak podjele), može se napisati ovako: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vídpovíd se može napisati ovako: x< - 1; х > 3.

b) Neravnina x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: rasporedširenje ispod x ose, jakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nepravilnost x 2 - 2x - 3 > 0 se računa kao neravnina x 2 - 2x - 3 > 0, tako da morate uključiti poravnanje korijena x 2 - 2x - 3 = 0, a zatim tačke x = -1

í x \u003d 3. Ovim redoslijedom, data rješenja nisu potpuno neujednačena i sve tačke promjene (-00, - 1], kao i tačke promjene brkova.

Praktični matematičari zvuče ovako: dođite kod nas, dokazujući neravninu os 2 + bx + c\u003e 0, da precizno razvijemo parabolu grafa kvadratne funkcije

y \u003d sjekira 2 + bx + c (kako je razbijeno o zadnjicu 1)? Završavam skiciranu malu grafiku root kvadratnog trinoma (tačke prečke parabole z víssy h) i označavaju gdje je ispravljanje igala parabole uzbrdo prema dolje. Ovaj skiciran mališan će vam dati oblak rozv'yazannya nervoze.

guza 2. Virishity nerívníst - 2h2+Zh+9< 0.
Rješenje.

1) Znamo korijen kvadratnog trinoma - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, poput grafika funkcije y = -2x 2 + Zx + 9, pomiče sve x u tačkama 3 i - 1,5, a igle parabole su ispravljene prema dolje, one starije koeficijent- Negativan broj - 2. Na sl. 118 prikaza malih grafika.

3) Vikoristovuyuchi pirinač. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Prijedlog: x< -1,5; х > 3.

Primjer 3. Virishiti nerívníst 4h 2 - 4h + 1< 0.
Rješenje.

1) Poznato je Z jednako 4x 2 - 4x + 1 = 0.

2) Kvadratni trinom ima jedan korijen; tse znači da je to parabola, kao graf kvadratnog trinoma, ne mijenja sve x, već stoji u tačkama. Glave parabole ravno uz brdo (Sl. 119.)

3) Za dodatni geometrijski model, koji je prikazan na sl. 119, utvrđeno je da je neravnina postavljena samo u tačkama, skaliranje na svim ostalim vrijednostima ordinate grafa je pozitivno.
Prijedlog: .
Ti si, pevaj-pesmo, setio se da su u stvari dupe 1, 2, 3 imale ceo spev algoritam rozv'yazannya kvadratne nepravilnosti, formalizirani yogo.

Algoritam za izvođenje kvadratne nepravilnosti ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

U prvoj fazi algoritma potrebno je poznavati korijen kvadratnog trinoma. Ali korijen se ne može slomiti, zašto raditi? Tada algoritam ne zastosovuetsya, onda, potrebno ga je svejedno promatrati. Ključ za tsikh mirkuvan je davanje takvih teorema.

Drugim riječima, poput D< 0, а >0, tada neravnina ax 2 + bx + c > 0 pobjeđuje za sve x; navpaki, nerívníst ah 2 + bh + s< 0 не имеет решений.
Dokaz. Raspored funkcije y \u003d ax 2 + bx + c ê parabola, igle su ravne uzbrdo (skalari a\u003e 0) i jak ne mijenja sve x, jer kvadratni trinom nema korijen za um. Grafikon je prikazan na sl. 120. Bachimo, da je sa svim x raspored proširenja veći od ose x, ali tse znači da je sa svim x neravnina ax 2 + bx + c > 0, što je trebalo biti završeno.

Drugim riječima, poput D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nema rješenja.

Dokaz. Grafikon funkcije y \u003d ax 2 + bx + c ê parabola, igle koje su ispravljene prema dolje (skalope a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

guza 4. Virishiti nerívníst:

a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Znamo diskriminanta kvadratnog trinoma 2x 2 - x + 4. May D = (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Stariji koeficijent trinoma (broj 2) je pozitivan.

Dakle, za teoremu 1, za sve x, neravnina 2x 2 - x + 4> 0 je prevaziđena, tako da svi (-00 + 00) služe kao rješenja za datu neravninu.

b) Znamo diskriminanta kvadratnog trinoma - x 2 + Zx - 8. May D = Z2 - 4 (-1) (-8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Valjanost: a) (-00 + 00); b) nema rješenja.

Kod ofanzivne zadnjice, poznajemo još jedan način miringa, koji se zastosovuje na otvaranju kvadratnih neravnina.

Primjer 5. Virishity nerívníst Zh 2 - 10h + 3< 0.
Rješenje. Proširujemo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 u množitelje. Do korijena trinoma ê broj 3 i do toga, ubrzavajući ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2), uzimamo 3x 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Značajno na numeričkom direktnom korijenu trinoma: 3 i (Sl. 122).

Neka je x> 3; onda je x-3>0 í x->0, tada je i dodatno 3(x - 3)(x - ) pozitivno. Hajde, hajde< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Također, dobutok 3(x-3)(x-) je negativan. Hajde, hajde, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitivno.

Sumirajući, dolazimo do visnovke: predznaci kvadratnog trinoma Zx 2 - 10x + 3 se mijenjaju kao što je prikazano na sl. 122. Ali mi se zovemo, za neki kvadratni trinom on uzima negativne vrijednosti. 3 sl. 122 robimo visnovok: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 nabuê negativne vrijednosti za bilo koju vrijednost x u intervalu (, 3)
Vidpovid (, 3), inače< х < 3.

Poštovanje. Metoda zrcaljenja, koju smo koristili na stražnjici 5, zove se metoda intervala (ili metoda intervala). Pobjeda aktivno pobjeđuje u matematici za savršenstvo racionalno nepravilnosti. U 9. razredu metoda intervala je detaljnija.

guza 6. Za bilo koju vrijednost parametra p kvadrat jednak je x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) postoje dva različita korijena;

b) postoji jedan korijen;

c) ne maê -root?

Rješenje. Broj korijena kvadratnog izjednačenja nalazi se prema predznaku prve diskriminante D. U ovom slučaju je poznato D = 25 - 4p2.

a) Kvadratno poravnanje može imati dva različita korijena, kao što je D>0, stoga je zadatak izgraditi do poravnanja neravnina 25 - 4p 2 > 0. Oduzimamo jednakost neravnine 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaci viraze 4(p – 2,5) (p + 2,5) prikazani su na sl. 123.

Robimo visnovok, koji je neparan 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratno poravnanje može imati jedan korijen, tako da je D - 0.
Ubacili smo više, D = 0 za p = 2,5 ili p = -2,5.

Isto je i sa tsikh vrijednostima parametra dat je kvadrat jednak samo jednom korijenu.

c) Kvadrat nije jednak korijenu, kao D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Uzimamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, zvijezde (razd. sl. 123) p< -2,5; р >2.5. Sa tsikh vrijednostima datog parametra, kvadrat nema korijen.

Vidpovid: a) na p(-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 abor = -2,5;
c) na r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. Ocjena 8: Navch. za zagalnosvít. instalacija - 3. pogled., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 str.: il.

Pomoć za školarca online, Matematika za 8. razred preuzimanje, kalendarsko-tematsko planiranje

Linearne se nazivaju nedosljednosti lijevi i desni dio takvih linearnih funkcija neke nepoznate veličine. Pred njima se vidi npr. nervoza:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Suvori neravnine: ax+b>0 ili ax+b<0

2) Nestriktne nepravilnosti: ax+b≤0 ili ax+b≫ 0

Hajde da pogledamo. Jedna od stranica paralelograma postaje 7 cm. Kolika može biti dužina druge strane, pa da obim paralelograma bude veći od 44 cm?

Hajde na šukanu stranu dionice X vidi Ovaj put, perimetar paralelograma će imati prikaze (14 + 2x) vidi Nepravilnost 14 + 2x > 44 ê matematički model Zadatak o perimetru paralelograma. Kao u ovoj neravnini, zamijenite promjenu X Na, na primjer, broju 16, tada uzimamo tačnu brojčanu neravninu 14 + 32 > 44. U ovom slučaju se čini da je broj 16 isti kao razlika između 14 + 2x > 44.

Rozvyazanyam nervoza navedite značenje promjene, kao da je zvijer od njih, u ispravnoj brojčanoj neujednačenosti.

Otzhe, koža iz brojeva 15,1; 20;73 djeluje kao rozvyazkoy neravnina 14 + 2x > 44, a broj 10, na primjer, nije isti rozvyazky.

Virishiti nerívníst znači instalirati sva rješenja, ili donijeti, da rješenje ne postoji.

Formulacija rozv'yazannya neravnina slična je formularu korijena poravnanja. Ipak, nije uobičajeno označavati "korijen nervoze".

Dominacija numeričke ekvivalencije je nadopunjena virišuvati ekvivalentnošću. Dakle, sama moć brojčanih nedosljednosti će pomoći da se nedosljednosti prevaziđu.

Virishyuchi jednak, mi mijenjamo drugi, više oprostiti jednak, ali jednak datom. Iza takve šeme su poznate posljedice i nedosljednosti. Prilikom promjene izjednačenja na jednakom njemu, izjednačenje je potvrđeno teoremom o prijenosu sabiraka iz jednog dijela jednakog na dužinu i množenju oba dijela jednakog na isti u istom broju kao nula. U slučaju rozvyazanní nerívnínosti ê istotna vídminníst yogo z ívnyanním, jak argument u činjenici da li rješenje ívínníníní može biti pogrešno shvaćeno samo postavljanjem vihídnínínínía. Nepravilnosti imaju takav način svaki dan, tako da im nije moguće iznijeti bezlično rješenje. Za to je važno razumjeti, osovinu strelica<=>- tse znak ekvivalenta, chi jednako, transformacije. Transformacija se zove jednak, ili ekvivalentan kao što smrad ne menja bezličnu odluku.

Slična pravila za rozv'yazannya razdražljivost.

Kao da se nešto premješta sa jednog dijela neravnine na drugi, zamjenjujući znak suprotnim, onda oduzimamo neravninu, ekvivalentnu datoj.

Ako vrijeđajuće dijelove nervoze pomnožite (podijelite) istim pozitivnim brojem, onda oduzimamo neravninu koja je ekvivalentna datoj.

Ako pomnožite (podijelite) povrijeđene dijelove neravnine sa istim negativnim brojem, zamjenjujući predznak neravnine produženjem, onda oduzimamo neravninu, koja je ekvivalentna datoj.

Vikoristovuyuchi qi pravila računajući nižu razdražljivost.

1) Hajde da pogledamo nedoslednost 2x - 5 > 9.

Tse linearne neravnine, znamo yogo odluku i diskutabilno glavno razumijevanje.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 pomaknuto u lijevi dio sa suprotnim predznakom), onda su sve podijelili na 2 i možda x > 7. Za sve ćemo primijeniti bogato rješenje x

Oduzeli smo pozitivne direktive. Značajno bezlična odluka ili kao nervoza x > 7, ili kao interval x(7; ∞). A što je s privatnim odlukama o nervozi? Na primjer, x=10- tse privatna vyshennya tsíêí̈ nerívností, x=12- to je takođe privatna varijanta nervoze.

Ima puno privatnih odluka, ali naš zadatak je da znamo sve odluke. A odluka je, po pravilu, bezlična.

Rozberemo zadnjica 2:

2) Uklonite nervozu 4a - 11 > a + 13.

Virishima joga: ali krenimo u jednom kljunu, 11 pređite na sledeću knjigu, uzmite 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 može izgledati nervoza a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Tež očigledno bezličan a< 8 , ali već na osi ali.

Vidpovid ili pisati kao nervoza a< 8, либо ali(-∞;8), 8 nije uključeno.

Vaša privatnost nam je važna. Iz razloga smo proširili Politiku privatnosti, kako je opisano, pošto smo prikupili vaše podatke. Budite ljubazni, pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja o hrani.

Odabir odabranih ličnih podataka

Ispod ličnih podataka daju se podaci, jer je moguće pobijediti za identifikaciju pjevača i vezu sa njim.

Od vas će možda biti zatražene vaše lične informacije ako nas kontaktirate.

U nastavku se nalaze neki primjeri tipova ličnih podataka koje možemo birati i koje možemo birati takve informacije.

Kako prikupljamo lične podatke:

• Ako podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email i sl.

Kako prikupljamo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i kažemo vam o jedinstvenim ponudama, promocijama i ostalom, posjetite i pronađemo najbliže.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo ojačali važne podsjetnike i podsjetnike.
• Također možemo prikupljati lične podatke za interne svrhe, kao što su revizija, analiza podataka i drugih evidencija uz metodu poboljšanja usluga, za koje se nadamo da ćete dobiti preporuku naših usluga.
• Dok učestvujete u izvlačenju nagrada, takmičenjima ili sličnim poticajnim prijavama, možemo dobiti informacije, nadamo se, za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Vaše podatke ne otkrivamo trećim osobama.

Vinyatki:

• Potrebno je - prema zakonu, sudskom nalogu, sudskoj reviziji, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Također možemo otkriti informacije o vama, što je još važnije, da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnost, održavanje reda i zakona ili druge važne vipadkive.
• U trenucima reorganizacije, otežavanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupljamo mi, treća osoba - na prekršioca.

Zaštitnik ličnih podataka

Živimo u inostranstvu – uključujući administrativne, tehničke i fizičke – radi zaštite vaših ličnih podataka u obliku rasipanja, krađe i beskrupuloznog korišćenja, kao i neovlašćenog pristupa, otkrivanja, promene tog kršenja.

Održavanje vaše privatnosti u vršnjačkoj kompaniji

Kako bismo promijenili vaše osobne podatke kako bi vaši lični podaci bili sigurni, u naše kontakte donosimo norme povjerljivosti i sigurnosti te se striktno pridržavamo pravila o povjerljivosti.

Danas, prijatelji, neće biti svakodnevnih šmrcova i sentimenta. Kao zamenu za njih, bez ikakve snage ću vas uputiti da pobedite jednog od najgorih protivnika na kursu algebre od 8. do 9. razreda.

Dakle, sve ste ispravno shvatili: razgovarajte o nedosljednostima s modulom. Pogledajmo neke od glavnih principa uz pomoć kojih ćete naučiti prevladati blizu 90% takvih naloga. A šta je sa 10% reshtoyu? Pa, pričaćemo o njima na dobroj lekciji.

Međutim, prije toga, kako to riješiti kako to tamo prihvatiti, nagađam dvije činjenice koje bi bilo neophodno znati. U suprotnom ćete provjeriti znanje o gradivu današnje lekcije.

Šta treba da znate

Očigledno je da je za rješavanje nedosljednosti sa modulom potrebno znati dvije riječi:

1. Kako nervoza bjesni;
2. Šta je modul?

Počnimo od druge tačke.

Funkcija modula

Ovdje je sve jednostavno. Ê dvije funkcije: algebarska i grafička. Za klip - algebarski:

Imenovanje. Modul broja $x$ je ili sam broj, jer meni nije vidljiv, ili je broj koji je suprotan vama, kao drugi $x$, i dalje negativan.

Snimite to ovako:

\[\lijevo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]

Pojednostavljeno rečeno, modul je „broj bez minusa“. Ja sam u ovoj dualnosti (ovdje, od posljednjeg broja, ništa ne treba raditi, ali ovdje se dešava da pokupim minus tamo) i koristim sve preklapanje za studente-pochatkivtsiv.

Više geometrijskog dizajna. Također je dobro znati, ali manje je vjerovatno da ćemo doći do novog na sklopive, pa čak i posebne načine, geometrijski pidkhíd uspješan za algebarsku (spoiler: ne danas).

Imenovanje. Neka je tačka $a$ označena na brojevnoj pravoj. Isti modul $ \ lijevo | x-a \right|$ se poziva od tačke $x$ do tačke $a$ na ovoj pravoj.

Ako želite da pređete sliku, onda je možete videti na kshtalt tsogo:

Grafički dizajn modula

Pa šta drugo, iz oznake modula, odmah se vidi ključna snaga: modul broja je uvijek jednak veličini. Ova činjenica će biti crvena nit koja prolazi kroz sav naš današnji diskurs.

Virishennya nerívnosti. Intervalna metoda

Pogledajmo sada nervozu. On je bezlično, ali naš zadatak je odmah da ubijemo virishuvati želeći da budemo najjednostavniji od njih. Tí, scho zvoditsya na linearne nepravilnosti, i navít metoda intervala.

Na ovu temu imam dvije odlične lekcije (mízh ínshim, više, više smeđe - preporučujem vivchiti):

1. Intervalna metoda za nepravilnosti (posebno pogledajte video);
2. Frakcijsko-racionalne nedosljednosti - čak i opća lekcija, ali tada ne dobivate dovoljno hrane.

Ako sve znate, ako fraza "pređimo iz neravnine u jednakost" ne zvuči kao da ste ludo umorni od ubijanja u zid, onda ste spremni: ljubazno vas molimo do đavola do glavne lekcije . :)

1. Nepravilnost uma "Modul manje od funkcije"

Ovo je jedan od najopsežnijih zadataka s modulima. Neophodno je prevazići neujednačenost uma:

\[\lijevo| f\right| \ltg\]

Uloga funkcija $f$ i $g$ mogu biti, ili inače, polinomi. Primijenite takve nedosljednosti:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(poravnati)\]

Svi smradovi su bukvalno u jednom redu iza šeme:

\[\lijevo| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnati) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnati) \desno.\desno)\]

Nije bitno da li je modul pošteđen, ali možemo ukloniti osnovnu nedosljednost (inače, isti, sistem od dvije nedosljednosti). Prote cey transfer vrakhovu apsolutno sve mogući problemi: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; akscho negativno - sve isto praksa; I navit za najneadekvatniju funkciju kuće $f$ chi $g$ metoda svejedno radi.

Očigledno, krivite hranu: zar ne može biti jednostavnije? Nažalost, to nije moguće. Ko ima sve karakteristike modula.

Vtim, drži se filozofiranja. Zapevajmo grančicu dana:

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7\]

Rješenje. Također, pred nama je klasični nerívníst um "manji modul" - ništa prepraviti. Vježbajte algoritam:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3\desno| \lt x+7\Strelica desno -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\kraj (poravnati)\]

Nemojte žuriti da otvarate lukove, ispred kojih je "minus": koliko god je to moguće, kroz žurbi ćete se prepustiti figurativnom pomilovanju.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Zadatak je bio do dvije elementarne nepravilnosti. Značajno njihov viríshennia na paralelnim numeričkim linijama:

Peretin multiple

Peretin tsikh se umnožio i biće jasno.

Podudaranje: $x\in \levo(-\frac(10)(3);4 \desno)$

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]

Rješenje. Narudžba je već sitnica presavijena. Za klip koristimo modul, prenoseći još jedan dodatak na desno:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]

Očigledno, suočeni smo sa novom neujednačenošću oblika „manji modul“, pa dopuštamo modul za već postojeći algoritam:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Osovina zaraze poštuje: da vam kažem, ja sam troch bochenets íz brkove sa okovima. Ale, pogodit ću opet koji je naš ključni meta kompetentno virishiti nerívníst i otrimati vídpovíd. Kasnije, ako ste dobro savladali sve što je otkriveno u ovoj lekciji, možete se uvijati kako želite: raširite ruke, dodajte minuse itd.

A za nas, za klip, samo ćemo se probuditi na minus koji potkopava zlo:

\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lijevo(x+1\desno)\]

Sada su se otvorili svi svodovi osnovne nervoze:

Pređimo na nervozu u podzemnoj željeznici. Ovaj put će tabovi biti ozbiljniji:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]

Zamjeranja zbog neujednačenosti su kvadratna i narušena metodom intervala (ali reći ću vam: ne znate šta je to, još bolje nemojte preuzimati module). Pređimo na prvu neravninu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\lijevo(x+5\desno)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(poravnati)\]

Kao bachimo, na izlazu je išlo neravnomjerno, ravnomjerno, kao da je elementarno. Pogledajmo sada još jednu nervozu sistema. Tu se dešava da zastosuvat Vietovu teoremu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(poravnati)\]

Značajno oduzmite brojeve na dvije paralelne prave (okrema za prvu neravninu i okrema za drugu):

Pa, siguran sam da ćemo, razdvajajući sistem nepravilnosti sa nama, ponoviti redove množitelja senčenja: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse ê vídpovíd.

Podudaranje: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$

Mislim da je nakon njihove primjene shema rješenja imala granični smisao:

1. Asimilirajte modul, prenoseći sve ostale dodatke na glavni dio neravnine. Na ovaj način uzimamo u obzir nedosljednost uma $\left| f\right| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerívníst, pošto je poštedio modul za gore opisanu shemu. U nekom trenutku, potrebno je preći sa podvarijantne nervoze na sistem dva nezavisna virusa, čija se koža može potpuno popraviti.
3. Nareshti, biti lišen rešenja ova dva nezavisna sloga - i sve što oduzimamo je ostatak.

Sličan algoritam se koristi za grubosti napadačkog tipa, ako je modul veći od funkcije. Međutim, postoji grančica ozbiljnog "ale". Hajdemo odmah o qi "ale".

2. Nepravilnost uma "Modul je više od funkcije"

izgledaju ovako:

\[\lijevo| f\right| \gt g\]

Izgleda kao prednji? Izgleda. Prote vyrishyuyutsya tako zavdannya zovsím na drugačiji način. Formalno, shema dolazi:

\[\lijevo| f\right| \gt g\Strelica udesno \levo[ \begin(poravnati) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(poravnati) \desno.\]

Drugim riječima, možemo vidjeti dvije tačke:

1. S druge strane, jednostavno zanemarite modul - virishhuêmo normalna nedosljednost;
2. Hajde da suštinski proširimo modul 3 sa predznakom minus, a zatim ćemo pomnožiti uvredljivi deo neravnine sa −1, što je manje od predznaka.

U ovoj varijanti imaju četvrtastu mašnu, tobto. možda bi brak dvoje mogao.

Opet uzvratite poštovanje: nismo pred sistemom, već sukupnistom, kod vídpovídí bezličnih ujedinjuju, ali se ne mijenjaju. Važno je vidjeti prednju tačku!

Vzagali, z ob'ednannymi i peretina u bogatoj uchnív sutsílna plutanina, hajde da to iznova i iznova sredimo u tsommu prehrani:

• "∪" - je znak ob'ednannya. Zapravo, slovo “U” je stilizovano, kako nam je i došlo engleski filmê skraćenica poput “Union”, tobto. "Unija".
• "∩" je oznaka linije. Tsya sranje zvuk nije došao, već samo vinil kao što je napisano prije "∪".

Da biste lakše zapamtili, samo obojite do ovih znakova, tako da se vide keliksi (samo osovina ne treba odmah da me zove u propagandi narkomanije i alkoholizma: ako naučite svu lekciju, onda ćete već ste narkoman):

Ríznitsya mizh retinom i ob'êdnannyam mnozhin

U prijevodu ruskog tse, to znači sljedeće: sjedinjenje (snabdijevanje) uključuje vlastite elemente iz oba skupa, to jest ništa manje od kožnog; a osovina (sistem) retine uključuje samo one elemente, koji se istovremeno nalaze u prvom multiplikatoru, a u drugom. Dakle, više nema višestrukih odmora.

Da li je postalo razumnije? Od mene dobro. Pređimo na praksu.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]

Rješenje. Diemo za shemu:

\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Strelica desno \levo[ \početak(poravnati) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\levo(5-4x \desno) \\end(poravnati) \ desno .\]

Virishuemo kožu nerívníní suupností:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(poravnati) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Mislim, pomnožit ću kožu brojevnom linijom, a onda ćemo ih kombinirati:

Kombinacija višestruka

Sasvim je očigledno da je $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Prijedlog: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]

Rješenje. Pa, šta? To ništa - svejedno. Idemo kroz neravnine sa modulom do agregacije dvije neravnine:

\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\kraj (poravnaj) \desno.\]

Ublažava iritaciju kože. Nažalost, root više neće biti tamo.

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(poravnati)\]

Druga nervoza takođe ima trošak igre:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(poravnati)\]

Sada trebate izračunati brojeve na dvije ose - jedna osa za neravnine kože. Međutim, potrebno je označiti tačke ispravnim redoslijedom: što je broj veći, to je tačka više pomjerena udesno.

Í os ovdje nas provjerava. Što se tiče brojeva $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sve je jasno ) , tako da je i zbir manji) , sa brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ broj je veći od negativnog), zatim sa ostatkom par, nije sve tako jasno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Víd vídpovídí tse nídpovídí tse sleazyme raspoređivanje tačaka na brojevnim pravima í, vlasne, vídpovíd.

Pa hajde da pogledamo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Potvrdili smo korijen, skinuli negativne brojeve s obje strane neravnine, tako da imamo pravo kvadrirati pogrešne strane:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Mislim da sam shvatio da je $4\sqrt(13) \gt 3$, da je $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, ostale tačke na osi će biti raspoređene na sljedeći način:

Vipadok ružnog korijena

Pretpostavljam, vidimo sukupníst, zato je potrebno imati džoint, a ne preslagivanje višestrukih sjenčanja.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Kao i Bachite, naša shema čudesno radi i za jednostavne i za teške zadatke. Jedino "slabo mjesto" za takvu osobu je potreba za kompetentnim balansiranjem iracionalnih brojeva (i okret: to nije više od korijena). Alya će biti posvećena okremijumu za obroke (pa čak i ozbiljnu lekciju). I idemo.

3. Nepravilnosti sa nevidljivim "repovima"

Pobjegli smo od najboljih. Cijena neujednačenog uma:

\[\lijevo| f\right| \gt\lijevo| g\desno|\]

Čini se da je algoritam, o kojem ćemo odmah govoriti, bolji za modul. Vín pratsyuê vsíh nerívnosti, de lívoruch i pravoruê stoje zajamčeno nevid'êmní vrazi:

Kakav je rad ovih zadataka? Samo se sjeti:

Nepravilnosti sa nevidljivim "repovima" mogu uzrokovati vrijeđanje dijelova prirodnog svijeta. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu not vynikne.

Pred nama smo tsikavitime zvedennya u kvadratu - vín moduli za spavanje koji korijen:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\end(poravnati)\]

Osa samo ne mora biti prevarena iz korijena kvadrata:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Bezlična pomilovanja su bila dozvoljena u tom trenutku, ako ste naučili da zaboravite instalirati modul! Ale tse zovsím ínsha ístoríya (tse níbí iracionalna rívnyannya), tse nije odjednom zaglyuvatymosya. Pogledajmo jasnije papalinu dana:

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \levo| 1-2x \desno|\]

Rješenje. Opet, poštujemo dvije riječi:

1. Tse ne suvora nerívníst. Krapki na brojevnoj liniji će biti slomljen.
2. Uvredljive strane nedosljednosti se jasno ne vide (snaga modula: $ \ lijevo | f \ lijevo (x \ desno) \ desno | \ ge 0 $).

Također, možemo kvadrirati uvredljive dijelove neravnine kako bismo se riješili modula i eliminisali zadatak koristeći najbolju metodu intervala:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\end(poravnati)\]

U ostatku faze, malo sam prevario: promijenio redoslijed dodataka, skratio paritet modula (zapravo, množenjem $1-2x$ sa -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) desno)\desno)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Virishuemo metodom intervala. Idemo od neravnine ka poravnanju:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(poravnati)\]

Očigledno, korijen se nalazi na brojevnoj pravoj. Još jednom: brkovi mrlja farbovani, krhotine nervoze - ne Suvora!

Zvílnennya prema znaku modula

Valjda za one koji su posebno beskompromisni: uzimamo znakove iz ostatka neravnine, kao da je bula zapisana prije prelaska na ravnu. Ja zafarbovuyemo region, yakí treba u istoj neravnine. Naš vipad ima $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Pa, od mene sve. Zadatak je završen.

Prijedlog: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]

Rješenje. Robimo svejedno. Ne komentarišem - samo se čudim redosledu radnji.

Uzmimo kvadrat:

\[\begin(poravnati) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\puta \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervala:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strelica desno D=16-40 \lt 0\Strelica desno \varnothing. \\end(poravnati)\]

Samo jedan korijen na brojevnoj pravoj:

Vidpovid - tsiliy interval

Prijedlog: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Malo postovanja za ostatak glave. Kao da sam tačno uvažavao jednog od svojih učenika, uvrede podmodula su u ovoj nervozi jasno pozitivne, pa se znak modula može izostaviti bez štete po zdravlje.

Ale tse već zovsím ínshiy ríven razdumív da ínshí pídkhíd yogo se mentalno može nazvati metodom nasledkív. O novom u okremou urotsi. A sada pređimo na završni dio današnje lekcije, to je univerzalni algoritam, koji se vječno praktikuje. Navit onda, ako se svi prednjaci ispostavi da su nemoćni.

4. Metoda za nabrajanje opcija

A zašto svi priyomi ne pomognu? Kako neravnine ne izazivaju nevidljivi repovi, kako se ne ulazi u modul, kako se može pokrenuti?

Tada na scenu stupa velika artiljerija sve matematike – metoda nabrajanja. Stotine nepravilnosti iz modula izgleda ovako:

1. Zapišite sve pídmodulní vrazi i izjednačite ih sa nulom;
2. Rozvyazati otrimani rívnyannya koji víznázchiti znaydení korení na jednoj numeričkoj pravoj liniji;
3. Izravno rozíb'êtsya na kílka dílyanok, sredina takvog kožnog modula može popraviti oznaku i to je nedvosmisleno rozkrivaêêtsya;
4. Virishiti nerívníst na kozhníy takve dilyanci (možete pogledati korijen-cordoni, otrimani u tački 2 za nadmoć). Rezultati udruženja - tse i bude vídpovíd.

Pa jak? Slabo? Lako! Za dugo vremena. Pogledajmo praktično:

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\lijevo| x+2 \desno| \lt\lijevo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Rješenje. Tsya sranje nemoj se iritirati $ \ lijevo | f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ ili $\left| f\right| \lt\lijevo| g \right|$, to je u redu.

Pišemo submodularne virazi, izjednačavamo ih sa nulom i znamo korijen:

\[\begin(align) & x+2=0\Strelica desno x=-2; \& x-1=0\Strelica desno x=1. \\end(poravnati)\]

Zajedno imamo dva korijena, koji dijele broj ravno u tri dijagrama, u sredini ovih skinova modul se nedvosmisleno odvija:

Dijeljenje brojevne linije sa nulama submodularnih funkcija

Pogledajmo okremo kožu.

1. Dajte $x \lt -2$. Todi vrijeđa pídmodulní virazi negativno, ja vihídna nerívníst prepišem ovako:

\[\begin(poravnati) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(align)\]

Zdobuli dosit samo obmezhennya. Pomjerimo jogu s ostatkom dodataka koji $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Očigledno je da promjena $x$ ne može biti manja od -2 preko noći, već veća od 1,5. Za ovaj posao ne postoji rješenje.

1.1. Okremo pogled na vipadok blizu kordona $x=-2$. Zamislimo samo ovaj broj u nedostatku nedosljednosti i provjerljivo: zašto je pobjednički?

\[\begin(poravnati) & ((\levo. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lijevo| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Strelica desno \varnothing. \\end(poravnati)\]

Očigledno je da nas je lingvista prevario do nevjerovatne neujednačenosti. Otzhe, vyhídne nerívníst tezh pogrešno, í $x=-2$ ne ide u vídpovíd.

2. Sada dajte $-2 \lt x \lt 1$. Bibliotečki modul se već razvija sa plusom, ali desni je još uvijek sa minusom. Maemo:

\[\begin(poravnati) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\end(poravnati)\]

Iznova ga mijenjam sa vikidnoy vimogoy:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obnavljam prazno bezlično rješenje, nema krhotina takvih brojeva koji su istovremeno manji od -2,5, a veći od -2.

2.1. Obnavljam okremy vipadok: $ x = 1 $. Zamislimo da je izlaz neravan:

\[\begin(poravnati) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt\lijevo| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strelica desno \varništa. \\end(poravnati)\]

Slično prednjem “privatnom ispadanju”, broj $x=1$ očigledno nije uključen u ispuštanje.

3. Preostali komad ravno: $x \gt 1$. Ovdje su svi moduli zakrivljeni sa znakom plus:

\[\početak(poravnati) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnati)\ ]

Ponovo razmišljam o mnoštvu eksternih razmjena:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \desno)\]

Pa, uhvati ga! Znali smo interval, koji će biti povíddu.

Prijedlog: $x\in \lijevo(4,5;+\infty \desno)$

Nasamkinets - jedno poštovanje, kako bi vas, možda, spasilo od loših pomilovanja kada su stvarni zadaci ispunjeni:

Virishennya nerívívnosti z moduli zvích ê sutsílní mníníní nítíníy prímíy - ínvílí í vídrízki. Izolovane tačke zarobljavaju sporije. Veća je vjerovatnoća da će se zamka tako da između rješenja (kínets vídrízka) prelaze granice analiziranog raspona.

Od tada, kao da kordoni (sami ovi "privatni vipadki") ne ulaze u straže, onda mayzhe, pjevajući, ne idu na straže i područje zla-pravo ulaska u ove kordone. Í navpaki: kordon uvíyshov u vídpovíd — otzhe, í yakís oblastí navpakí tezh će biti vídpovídyami.

Zapamtite to, ako promijenite svoju odluku.

A današnje racionalne nedosljednosti u općoj opsjazi mogu se preokrenuti. Tačnije, ne mogu samo svi da virišu. Malo ljudi može raditi.
Kličko

Lekcija će biti teška. Podovi su zhorst, tako da je pred kraj joge manje od Vibrana. Na to, prije početka čitanja, preporučujem da počistite ekrane od žena, crijeva, ženske djece i...

Taj garazd, stvarno je sve jednostavno. Moguće je da ste savladali metodu intervala (a ipak je niste savladali - preporučujem okretanje i čitanje) i naučili da savladate neravnine oblika $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \right)$ bogati član ili dodatni bogati član.

Poštujem da ti nije važno pjevati npr. osovinu takve igre (prije govora probaj za zagrijavanje):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \desno)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Sada su trohovi sklopivi i možemo pogledati ne samo bogate termine, već i imena racionalnih frakcija uma:

gdje su $P\left(x \right)$ í $Q\left(x \right)$ sami po sebi bogati termini oblika $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ili ima više takvih bogatih pojmova.

Tse i bude racionalna nerívníst. Važan momenat je prisustvo promjene od $x$ na bannermanu. Na primjer, os racionalne neravnine:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \desno))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \desno))\ge 0. \\\end(poravnati)\]

I tse nije racionalno, već zvichaynisinka nerívníst, jer se krši metodom intervala:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Preskačući, reći ću vam odmah: postoje barem dva načina da se nosite s racionalnim nedosljednostima, ali je još uvijek moguće raditi na metodi intervala koji su nam već poznati. Za to, prije svega, smislimo načine, pogodimo stare činjenice, inače novi materijal neće biti od koristi.

Šta treba da znate

Nema mnogo bitnih činjenica. Dobro, treba nam manje čotirija.

Skraćene formule

Dakle, tako: smrad će nam pereslíduvaty protyag nas shkílnoí̈ program matematike. I ja na fakultetu. Moramo puno završiti formule, ali ne treba nam više od ovoga:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \desno)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\desno); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\desno). \\ \end(poravnati)\]

Obratite pažnju na ostale dvije formule - zbir zbroja i razlike kocki (a ne zbir sume maloprodaje!). Lako je zapamtiti, zapamtiti, da je znak prvog luka isti kao znak spoljašnjeg, a suprotan znak spoljašnjeg.

Linearno poravnanje

Najjednostavniji je jednak obliku $ax+b=0$, gdje su $a$ i $b$ jednaki cijeli brojevi, štaviše $a\ne 0$. Takva ekvivalencija je jednostavno obrnuta:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(poravnati)\]

Dodijelit ću da imam pravo podijeliti sa koeficijentom $a$, čak i ako je $a\ne 0$. Tsya vomoga je potpuno logično, krhotine za $a=0$ oduzimamo os koja:

Prije svega, ko je jednak nema promjenu od $x$. Naizgled, nismo mi krivi što smo benigni (to je kao trapleja se, recimo, u geometriji, štaviše, da ga često muzemo), ali svejedno, nemamo već linearnog ravnog.

Na drugi način, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna depozit manji od koeficijenta $b$. Ako je $b$ nula, onda naše izjednačavanje može izgledati kao $0=0$. Tsya je ljubomora virna zavzhda; inače, $x$ je broj (zvuči ovako: $x\in \mathbb(R)$). Ako koeficijent $b$ nije jednak nuli, onda je jednakost $b=0$ pobjednička. nema odgovora (zapisano $x\u \varnothing$ i pročitano "prazno rješenje prazno").

Da biste se riješili svih ovih nabora, samo uzmite $a\ne 0$, kako nas antrokovi ne bi okružili u dalekim mislima.

Kvadratno poravnanje

Pogodit ću kako se zove kvadratna os:

Ovdje je levoruch bogat pojam drugog koraka, štaviše, mijenjam $a\ne 0$ (i sada umjesto kvadratnog izjednačavanja, uzimamo to linearno). Virishuyutsya tako rivnyannya kroz diskriminant:

1. Kao i $D \gt 0$, uzimamo dva različita korijena;
2. Ako je $ D = $ 0, tada će postojati jedan korijen, a drugi višestrukost (kolika je cijena za višestrukost i kako íí̈ osigurati tri trohi života). Ili se može reći da postoje dva jednaka korijena;
3. Za $D \lt 0$, nema korijena, a predznak bogatog pojma $a((x)^(2))+bx+c$ za bilo koji $x$ zamijenjen je znakom koeficijenta $ a$. To je, do tačke govora, čak i otrcana činjenica, o kojoj zaboravljaju na rozpo_sti za sat vremena algebre.

Sam korijen se poštuje za sve po formuli:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvídsi, prije govora, obmezhennya na diskriminant. Adje kvadratni korijen negativnog broja se ne koristi. Pošto korijen bogatih učenjaka ima motornu kašu u glavi, posebno sam zapisao cijelu lekciju: šta je korijen u algebri i kako se rahuvati - čak preporučujem da ga pročitate.

Podíí̈ z racionalnim razlomcima

Sve što je gore napisano, znate, koristili su metodu intervala. A osovina onih koje možemo analizirati odjednom, ne može biti analogna prošlosti, apsolutno je nova činjenica.

Imenovanje. Racionalni dríb - tse viraz um

\[\frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno))\]

gdje su $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ bogati pojmovi.

Očigledno je da je lako ukloniti neravnine iz takvog razlomka - dovoljno je pripisati znak "više" ili "manje" desnorukom. Dao sam mi malo vidljivo, scho virishuvati tako zavdannya - jedan zadovoljan, sve je jednostavnije tamo.

Problemi počinju čak i kada imate izraženu papalinu takvih frakcija. Možete ih dovesti do zastave za spavanje - a istovremeno je dozvoljen veliki broj maštovitih pomilovanja.

Stoga je za uspješno postizanje racionalnih jednakih potrebno čvrsto steći dvije vještine:

1. Dekompozicija bogatog pojma $P\left(x \right)$ na faktore;
2. Vlasne, dovodeći pucnjeve do usnulog transparenta.

Kako rasporediti segmente množitelja? Nekako jednostavno. Hajde da imamo bogatog člana uma

Jogu izjednačavamo sa nulom. Uzimamo izjednačavanje $n$-tog koraka:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Doduše, prekršili smo vrijednost jednakosti i oduzeli korijen $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nemojte se podsmjehivati: veći vipadkív od korijen neće imati više od dva) . U ovom slučaju, naš izraz bogatog izlaza može se prepisati na sljedeći način:

\[\begin(poravnati) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \desno)\cdot \left(x-((x)_(2)) \desno)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \desno) \end(poravnati)\]

Od mene sve! Pazite: viši koeficijent $((a)_(n))$ nema nigdje - dodaćemo množitelj ispred okova, a ako je potrebno, možete ga dodati da li s tsikh okovi ( praksa pokazuje da sa $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ srednji korijen može zavzhdi ê razlomke).

Menadžer. Pitajte Viraza:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Rješenje. Po prvi put se čudimo banerima: svi smradovi su linearni binomi i nema šta da se stavi na množitelje. Dakle, stavimo brojeve u množitelje:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\desno)\lijevo(x-1\desno); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \desno)\lijevo(2-5x \desno). \\end(poravnati)\]

Da okrenemo poštovanje: za još jednog bogatog člana, viši koeficijent "2" za najnoviji kapacitet naše šeme je naslonjen ispred pramca, a onda ćemo dati doprinos prvom luku, tamo su krhotine bile pokvarene .

Isto je postalo i u trećem bogatom dijelu, samo što je tu još jedan red presavijenih zapleta. Međutim, koeficijent "−5" kao rezultat uvođenja u drugi luk (zapamtite: množitelj možete uneti u jedan i samo u jednom luku!), što nas je poštedelo nedoslednosti povezanih sa izbačenim korenima.

Što se tiče prvog bogatog člana, tu je sve jednostavno: prvi korijen se promiješa ili standardno kroz diskriminanta, ili za Vietovu teoriju.

Okrenimo se vihídnogo virazu i prepišemo yogo brojevima podijeljenim na množitelje:

\[\begin(matrica) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \desno))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \desno)-\left(x-1 \desno)-\left(2-5x \desno)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrica)\]

Prijedlog: $5x+4$.

Kao bahit, ništa se sklapa. Nema dovoljno matematike za 7-8 razred - to je sve. Smisao svih transformacija u tome je poligaê, tako da je lakše skinuti savijanje i strašno vješanje, što je lako prakticirati.

Ale, ne brini za to. Na to odmah možemo ozbiljnije sagledati zadatak.

Ale, razdvojit ćemo to od početka, kako dovesti dva razlomka do uspavanog banera. Algoritam je izuzetno jednostavan:

1. Postavite transparente na multiplikatore;
2. Pogledajte prvi baner i novom dodajte množitelje koje ima drugi baner, zaštitite prvi. Otrimany tvir će biti zastava za spavanje;
3. Z'yasuvati, takvi multiplikatori ne pokupe dermalne udarce, tako da su barjaci postali jednaki vatri.

Moguće je da će vam cijeli algoritam biti dat jednostavno tekstom, na bogato napisan način. Stoga ćemo sve analizirati na konkretnom primjeru.

Menadžer. Pitajte Viraza:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \desno)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno\]

Rješenje. Takav ob'êmní zavdannya bolje virishuvati dijelove. Zapisujemo one koji stoje na prvom luku:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Na vídminu víd prednjem zavdannya, ovdje od natpisa sve nije tako jednostavno. Stavimo to u multiplikatore skinova od njih.

Kvadratni trinom $((x)^(2))+2x+4$ se ne može množiti, jednaki dijelovi $((x)^(2))+2x+4=0$ ne mogu biti ukorijenjeni (negativan diskriminant). Napuštamo jogu bez promjene.

Drugi znak - kubni termin množenja $((x)^(3))-8$ - s obzirom na razliku kocki, lako je razložiti za formule kratkog množenja:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \desno)\left(((x) ^(2))+2x+4 \desno)\]

Ništa se više ne može podijeliti na množitelje, krhotine u prvom luku predstavljaju linearni binom, a u drugom - već znamo konstrukciju, jer nema pravih korijena.

Nareshti, treći baner je linearni binarni fajl, koji se ne može postaviti. U ovom rangu naša ljubomora će izgledati u budućnosti:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \desno))-\frac(1)(x-2)\]

Sasvim je očigledno da će $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ biti zajednički imenilac, i da sve razlomke svede na novi , potrebno je pomnožiti prvi razlomak na $\left(x-2 \right)$, a ja ću ostati na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Riješimo se manjeg da donesemo ovako:

\[\begin(matrica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ desno))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \desno))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \desno))(\left(x-2 \desno)\left(((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \desno)\ lijevo(((x)^(2))+2x+4 \desno)). \\ \end(matrica)\]

Vratite poštovanje u drugi red: ako baner već plamti, onda. umjesto tri okremikh hica, napisali smo jedan sjajan, ne varto, za jednom, luk je pošteđen. Brže je ispisati red ispred sebe i označiti to, recimo, prije trećeg razlomka, stojeći minus - i nećeš nikuda, već "visiti" u knjižici s brojevima ispred mašne. Tse da vas poštedim bezličnih pomilovanja.

Pa, u ostatku reda položite brojeve na množiteljima. Tim je veći, što je tačan kvadrat, a mi ćemo opet priskočiti u pomoć formulama brzog množenja. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sada ćemo to riješiti samo još jednom mašnom. Ovdje ću samo napisati mali stih ekvivalentnosti:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x ) ^(2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \desno)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \ desno) )\cdot \left(x+2 \desno))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x -2 \desno)\levo(x+2 \desno))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\levo(x-2 \desno)\levo(x+2 \ desno). \\ \end(matrica)\]

Okrenimo se poslednjem danu i divimo se TV-u:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Podudaranje: \[\frac(1)(x+2)\].

Smisao ovog zadatka je isti, kao na prednjoj strani: pokažite koliko možete racionalno tražiti, kako razumno ići u sljedeću transformaciju.

Sada, ako sve znate, pređimo na glavnu temu današnje lekcije - kulminaciju racionalnih nejednakosti. Tim više, posle takve pripreme za sopstvenu nervozu zveckaćeš kao lonac.

Glavni način da se prevaziđu racionalne nedoslednosti

Ísnuê yak najmanje dva koraka do razv'yazannya racionalne nerívívnosti. Na prvi pogled osvrćemo se na jedan od njih – onaj koji je široko prihvaćen u školskom kursu matematike.

Ale, leđa uz leđa, bitno važan detalj. Sve nedosljednosti su podijeljene u dvije vrste:

1. Suvori: $f\left(x \right) \gt 0$ ili $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestrogo: $f\left(x\right)\ge 0$ ili $f\left(x \right)\le 0$.

Nepravilnosti drugog tipa se lako mogu svesti na prvu, kao i ljubomora:

Nije mnogo "dodatno" $f\left(x \right)=0$ za proizvodnju tako neprihvatljive stvari kao što su farbovanie tačke - upoznali smo ih u metodi intervala. Inače, nema razlike između strogih i nestrogih nepravilnosti, pa hajde da pogledamo univerzalni algoritam:

1. Odaberite sve elemente koji nisu nula s jedne strane u obliku neravnina. Na primjer, levoruch;
2. Donesite sve razlomke na standardni baner (jer se takvi razlomci pojavljuju kao papalina), donesite slične. Zatim ćemo, koliko god je to moguće, postaviti na knjigu brojeva i baner na množitelje. Pa zašto inače oduzimamo neravninu oblika $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "kvačica" - znak neravnine.
3. Postavimo broj na nulu: $ P \ lijevo (x \ desno) = 0 $. Viríshuêmo tserívnyannja i otrimuêêêmo rínínya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... nazad na nulu: $Q \levo(x \desno)\ne 0$. Naravno, tačno je da je razlika jednaka $Q\left(x \right)=0$, a uzimamo korijen $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (malo je vjerovatno da će biti više od tri u referentnim datotekama takvog korijena).
4. Svi korijeni (i sa zvijezdama, i bez njih) se smatraju na jednoj numeričkoj pravoj liniji, štaviše, korijen bez zvijezda je farbovaniziran, a sa zvijezdama - u vakoloti.
5. Postavljamo znakove "plus" i "minus", biramo te intervale, koliko nam je potrebno. Ako neravnina može izgledati $f\left(x \right) \gt 0$, tada će se intervali označeni sa "plus" ponoviti. Ako je $f\left(x \right) \lt 0$, onda se čudimo intervalima sa minusima.

Praksa pokazuje da je najteže pozvati paragrafe 2 i 4 - kompetentna transformacija i ispravan raspored brojeva po rastu. Pa, u ostatku vremena budite s više poštovanja: uvijek postavljamo znakove, spiralno napredujući ostatak neravnina, evidentiran prije prelaska na ravnopravan. Ovo je univerzalno pravilo, koje je inferiorno u odnosu na metodu intervala.

Ista shema ê. Hajde da se zaposlimo.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Rješenje. Pred nama je totalna neizbježnost oblika $f\left(x \right) \lt 0$. Očigledno, tačke 1 i 2 naše šeme su već zle: sve elemente neravnine bira levoruch, ništa ne treba donositi na zastavu za spavanje. Pređimo na treći paragraf.

Izjednačimo broj sa nulom:

\[\begin(align) & x-3=0; \&x=3. \end(poravnati)\]

Í baner:

\[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(poravnati)\]

Za svaku oblast se neko zalepi, a i za ideju je potrebno zapisati $x+7\ne 0$, da pomogne ODZ (ne može se deliti na nulu, osa je sve). Ali onda smo nam dali spekle, koji su dolazili sa banera, pa kad jednom sastavite svoje tabove, nemojte varto - napišite znak ekvivalentnosti i ne brinite. Ništa se ne može sniziti za cijenu.

Četvrta tačka. Važno je oduzeti korijen na brojevnoj pravoj:

Brkovi tačke vikolotí, oskílki nerívníst — suvora

odati poštovanje: sve tačke vikoloty. A ovdje je već nevažno: iz knjige brojeva, bodovi su dolazili sa transparenta.

Čudimo se znakovima. Uzmimo broj $((x)_(0)) \gt 3$. Na primjer, $((x)_(0))=100$ (alternativno, sa istim uspjehom, možete uzeti $((x)_(0))=3.1$ ili $((x)_(0) ) = 1.000.000 dolara). Mi uzimamo:

Otzhe, pravoruch víd usíh korenív imamo pozitivno područje. A pri prolasku kroz kožu korijena, znak se mijenja (tako da nećete početi, ali je bolje). Pređimo na petu tačku: postavljamo znakove i biramo potrebu:

Okrećemo se ostatku nervoze, kao bula prije rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, ističe vrijeme, pa makar se nisu tukli svaki dan.

Oskílki treba da eliminiše neravninu oblika $f\left(x \right) \lt 0$, zasenčio sam interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - u pojedinačnim vrednostima sa znakom "minus". Tse ê vídpovíd.

Prijedlog: $x\in \lijevo(-7;3 \desno)$

Od mene sve! Hiba teško? Ne, nije teško. Istina, zadatak je bio lakši. U isto vrijeme, možemo riješiti nestašluk i sagledati "škakljivu" nedosljednost. S druge strane, više neću davati takve prezentacije – jednostavno ću istaknuti ključne momente. Zagalom, hajde da uredimo jogu na takav način da bude napravljena na nezavisnom robotskom chi íspítí.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(\left(7x+1 \desno)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Rješenje. Ne škodi vidjeti $ f \ lijevo (x \ desno) \ ge 0 $. Svi elementi različiti od nule su izabrani zli, nema različitih znakova. Idemo u Rivnyan.

datum:

\[\begin(poravnati) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Strelica desno ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Strelica desno ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(poravnati)\]

baner:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(poravnati)\]

Ne znam u čemu je bio problem kada sam ga postavljao, ali root nije prošao mnogo bolje: bilo bi važno staviti ih na numeričku ravnu liniju. Í čak i sa korijenom $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ sve je manje-više jasno (postoji samo jedan pozitivan broj - bit će dešnjak), onda $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse je moguće, na primjer, ovako:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ) ))\]

Žao mi je, ne moram da objašnjavam zašto je brojčana razlika $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Kako je potrebno, preporučujem da pogodite kako pobjednički diy sa razlomcima.

I mislimo na sva tri korijena na numeričkoj pravoj liniji:

Krapki iz knjižice zafarbovani, sa transparenta - vikolot

Postavljamo znakove. Na primjer, možete uzeti $((x)_(0))=1$ i promijeniti predznak svake tačke:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]

Ostatak nervoze prije jednakih je bio $f\left(x \right)\ge 0$, tako da moramo kliknuti znak plus.

Oduzeli su dva množitelja: jedan je značajan dvojnik, a drugi je direktan rezultat na brojevnoj pravoj.

Odgovor: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Važno je poštovati broj brojeva, kao što predstavljamo za znak na desnom intervalu. Apsolutno neobov'yazkovo podstavlyat broj blizu desnog korijena. Možete uzeti miljardi ili to nazvati „plus-nevjerovatnost“ - u svakom slučaju, znak bogatog člana, koji stoji na luku, numeralist ili barjaktar, označen je isključivo znakom seniorskog koeficijenta.

Pogledajmo još jednom funkciju $f\left(x \right)$ za ostatak nejednakosti:

Ovaj zapis ima tri bogata pojma:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\lijevo(x \desno)=11x+2; \&Q\lijevo(x\desno) = 13x-4. \end(poravnati)\]

Svi samoglasnici su linearni binomi, a svi stariji koeficijenti (brojevi 7, 11 i 13) su pozitivni. Kasnije, kada se potkrijepi luk velikih brojeva, i same bogate podjele će biti pozitivne.

Tse se može izgraditi površno sklopivim, malo pozadi, ako razumijemo to je lako izvesti. U ozbiljnim nedosljednostima, zamjena "plus-nepotpunosti" će nam omogućiti da promijenimo znakove brže, niže od standardnog $((x)_(0))=100$.

Uskoro ćemo prestati s takvim zadacima. Hajde da pogledamo alternativni način da se razotkriju dribno-racionalne nedoslednosti.

Alternativni način

Ovaj prijem mi je predložio jedan od mojih učenika. Ni sam ga nisam poštovao ni na koji način, ali praksa je pokazala da je mnogo učenja efikasnije u rješavanju nervoze na takav način.

Otzhe, vyhídní daní í í í sami. Neophodno je otkloniti shot-racionalnu nedosljednost:

\[\frac(P\levo(x \desno))(Q\levo(x \desno)) \gt 0\]

Razmislimo: zašto je bogati termin $Q\left(x \right)$ "viši" od bogatog pojma $P\left(x \right)$? Kako bismo trebali gledati na veće grupe korijena (sa ili bez zvijezde), razmišljati o tačkama, itd.? Sve je jednostavno: razlomak ima određeno područje, dobro je za svaki dríb koji ima manje smisla od toga, ako je znak nule.

U drugim aspektima, između brojioca i bannermana nije lako: samo ga izjednačimo sa nulom, šalimo se na račun korijena, onda to mislimo na numeričkoj pravoj liniji. Zašto onda ne zamijeniti liniju šuta (zapravo - znak rozpodílu) s najvećim množiteljima, a sve ODZ pomoći da se propiše za naizgled okremoi nervozu? Na primjer, ovako:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Za poštovanje: takvom pidhidu je dozvoljeno da pozove zadatak metodom intervala, ali u tom slučaju nije moguće zakomplikovati odluku. Svejedno, bogati termin $Q\left(x \right)$ možemo podići na nulu.

Pogledajmo kako to funkcionira na stvarnim zadacima.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Rješenje. Opet, idemo na metodu intervala:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Strelica desno \levo\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(poravnati) \desno.\]

Prva neravnina je elementarna. Samo izjednačite luk kože sa nulom:

\[\begin(align) & x+8=0\Strelica desno ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Strelica desno ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(poravnati)\]

S još jednom nerivnistyu, sve je jednostavno:

Dodjeljujemo tačke $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$ na brojevnoj pravoj. Usí smrdi vikolotí, skílki nerívníst suvore:

Desna mrlja se pojavila kao djevojačka djevojka. Tse je dobro.

Odajte poštovanje tački $x=11$. Izađite, kao „dvíchi vykolot“: s jedne strane, vikolyuêmo í̈í̈ kroz ozbiljnost nervoze, s druge strane - kroz dodatnu snagu ODZ-a.

Uzmite neku vrstu vipadku, tse će samo biti pretučen do tačke. Zato postavljamo znakove za neravnine $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ostanite, kao što smo se borili prije toga, kako smo počeli virišuvati jednake:

Golicaju nas pozitivna područja, ali možemo vidjeti neravnotežu u umu $f\left(x \right) \gt 0$ - njih i zafarbuêmo. Nije bilo više vremena da se zapiše vídpovíd.

Vidpovid. $x\in \levo(-\infty ;-8 \desno)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Na primjeru ove odluke želim da vas čuvam u prisustvu širokog pomilovanja među srednjovječnim studentima. I sebi: ne otvarajte lukove nepravilnosti! Navpaki, probaj sve raširiti na množitelje - bolje je tražiti rješenje i osloboditi te bezličnih problema.

Pokušajmo sada nešto složenije.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Rješenje. Ne škodi pogledati $ f \ lijevo (x \ desno) \ le 0 $, tako da ovdje morate s poštovanjem pratiti zafarbovane tačke.

Pređimo na metodu intervala:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(poravnati) \desno.\]

Pređimo na poravnanje:

\[\begin(poravnati) & \left(2x-13 \desno)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Strelica desno ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Strelica desno((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Strelica desno ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(poravnati)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:

Svi oduzeti korijeni prikazani su na brojevnoj pravoj:

Kao poen odjednom i vikolot, i farbovan, poštuje ga vikolot

Znam da se dvije tačke "preklapaju" jedna na jednu - to je normalno, pa budite sigurni. Važno je, manje razumno, koja tačka, imenovana odjednom za vikolotu i izbrazdanu, zapravo, vikolotu. Tobto. “Vikolyuvannya” je jaka diy, niža “zafarbovannya”.

Apsolutno je logično, čak i ako biramo bodove, volimo dodati znak funkcije, ali sami ne sudjelovati u emisiji. I tako, u nekom trenutku, broj prestaje da dominira nad nama (npr. ne dođe do ODZ-a), kunemo se u njega do kraja zadatka.

Zagalom, da filozofiram. Postavljamo znakove i zafarbovuyemo í intervale, kao što je označeno znakom minus:

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Želim da obnovim vaše poštovanje prema cilju:

\[\levo(2x-13 \desno)\levo(12x-9 \desno)\levo(15x+33 \desno)=0\]

Još jednom: nikada ne otvarajte ruke takvim jednakima! Bolje spakuj kofere. Zapamtite: dobutok je jednak nuli, ako želite da jedan od množitelja bude jednak nuli. Otzhe, Dane Rivnyannya se jednostavno „raširi“ za nekoliko nabora, kao da krše ispred nas.

Oblik višestrukosti korijena

Iz prethodnih dana lako se prisjetiti da je najveće savijanje postati najnekonzistentniji, onome ko ih mora zašiti za mrlje.

Ali u svijetu postoji još više zla - ono je višestruki korijen u nervozi. Ovdje su šavovi već dovedeni ne iza zafarbovanih tačaka tamo - ovdje se znak neravnine možda neće promijeniti prilikom prolaska kroz točke.

Još nismo vidjeli ništa slično u ovoj oblasti (iako je sličan problem često zabilježen u intervalnoj metodi). Stoga uvodimo novu definiciju:

Imenovanje. Jednaki korijen $((\left(x-a \right))^(n))=0$ je jednak $x=a$ i naziva se korijenom $n$-višestrukosti.

Vlasne, ne može nam se tačno reći vrijednost višestrukosti. Važno je da li su upareni ili neupareni, cijeli broj je $n$. jer:

1. Pošto je $x=a$ korijen višestrukosti para, onda se predznak funkcije ne mijenja kada prolazi kroz nju;
2. Prije svega, kako je $x=a$ korijen nesparene višestrukosti, predznak funkcije se mijenja.

Sa privatnim pogledom na korijen nesparene mnogostrukosti, ispred nje, pogledao je ovu školu: postoji ukršteno mnoštvo starih samaca.

Ja vise. Pred njim, kao što smo često virishuvat zavdannya, želeći da vaše poštovanje pretvorite za jednu suptilnost, kao što se čini očiglednim za učeni učenjak, ali tjerajući u stupor bogate pupoljke. I za sebe:

Za pad je kriv samo korijen višestrukosti $ n $, ako se u ovom koraku formira cijela višestrukost: $ ((\ lijevo (xa \ desno)) ^ (n)) $, a ne $ \ lijevo (((x) ^ ( n ))-a\desno)$.

Još jednom: luk $((\left(xa \desno))^(n))$ nam daje korijen $x=a$ višestrukosti $n$, a os luka $\left(((x )^(n)) -a \right)$ inače, kao što se često koristi, $(a-((x)^(n)))$ nam daje korijen (inače dva korijena, kao $n$ - tip) prvog višestrukosti nezavisno od onoga što i $n$.

Nivo:

\[((\levo(x-3 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=3\levo(5k \desno)\]

Ovdje je sve jasno: cijeli luk je vođen do pete stepenice, pa smo na izlazu oduzeli korijen pete stepenice. I odjednom:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Strelica desno ((x)^(2))=4\Strelica desno x=\pm 2\]

Oduzeli smo dva korijena, ali uvrede smrada mogu biti prva višestrukost. Više o osovini:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Strelica desno ((x)^(10))=1024\Strelica desno x=\pm 2\]

Da te ne premlatim do desetog koraka. Golovne, scho 10 je tipov broj, mogu biti dva korijena na izlazu, a smrad opet može biti prva višestrukost.

Zagalom budi poštovan: mnoštvo krivica je samo jedno, ako stepenice su dovedene do cijelog luka, a ne manje do promjene.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))((\left(x+7) ) \desno))^(5)))\ge 0\]

Rješenje. Pokušajmo to na alternativni način kroz prijelaz sa privatnog na kreiranje:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\desno.\]

Sa prvom neravninom biramo metodom intervala:

\[\begin(poravnati) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \desno))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Strelica desno x=0\levo(2k \desno); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Strelica desno x=6\left(3k \right); \\&x+4=0\Strelica desno x=-4; \\ & ((\lijevo(x+7 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=-7\levo(5k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Dodatkovo virishuemo prijatelja nervoze. Zapravo, jogo smo već pjevali, ali ako nismo krenuli do odluke, bolje je da otpjevamo jogo ponovo:

\[((\levo(x+7 \desno))^(5))\ne 0\Strelica desno x\ne -7\]

Da uzvratim poštovanje: u ostatku nervoze nema svakodnevnih mnogostrukosti. Tačno: koliko različito, koliko puta osvojiti poen $x=-7$ na brojevnoj pravoj? Želite jednom, poželite pet puta - rezultat će biti isti: posljednja tačka.

Sve što smo uzeli značajno je na numeričkoj pravoj liniji:

Kao što sam rekao, tačka $x=-7$ u rezultatu će biti označena. Mnoštvo aranžmana je da se prevaziđe neujednačenost načina intervala.

Zaboravili ste postaviti znakove:

Oskílki tačka $x=0$ je korijen uparene višestrukosti, predznak za prijelaz se ne mijenja. Ostale tačke mogu imati nesparenu višestrukost i sa njima je sve jednostavno.

Vidpovid. $x\in \levo(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left[ -4;6 \desno]$

Ponovo odajte poštovanje za $x=0$. Kroz par se okrivljuje mnogostrukost cicavi efekta: levoruch u njemu je sav nabijen, dešnjak je isti, ta tačka je potpuno nabijena.

Podsjećamo, nije potrebno da se sat vremena kopča vodom da bi se snimio zvuk. Tobto. ne morate ništa da pišete na kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (ako želite formalno, ovo bi bilo tačno). Hajdemo odmah da napišemo $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takvi efekti su manje mogući sa višestrukom parom korijena. Ja u napredujućoj komandi mi zítknemosya íz zvorotnym "vyyavom" tsgogo efekta. Da li si spreman?

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))((\left(x-1 \right))^(2)) \levo(7x-10-((x)^(2)) \desno))\ge 0\]

Rješenje. Ovaj put slijedimo standardnu ​​shemu. Izjednačimo broj sa nulom:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Strelica desno ((x)_(1))=3\left(4k \right); \& x-4 = 0 \ Strelica desno ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(poravnati)\]

Í baner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Strelica desno x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Strelica desno x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(poravnati)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor nerívníst uma $f\left(x \right)\ge 0$, korijen banera (kao znirochki) će biti prebijen, a od broja - zafarbovano.

Postavljamo znakove i šrafirana područja, označena sa "plus":

Krapka $x = $3 - izolirana. Tse dio vídpovídí

Prije toga, kako zapisati preostalo mišljenje, s poštovanjem pogledajte sliku:

1. Krapka $x=1$ ima nekoliko višestrukih, ali sama vicola. Također, ako slučajno imate dabl-deker: trebate napisati $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a ne $x\in \ lijevo(-\ infty ;2\desno)$.
2. Krapka $x=3$ se takođe može pomnožiti í kada se puni. Raspored znakova za potvrdu da je sama tačka na vlasti kod nas, ale krok levoruch-desno - uvučeni smo u region, jer definitivno nismo na vlasti. Takve tačke se nazivaju izolovane i pišu se kao $x\in \left\( 3 \right\)$.

Ujedinjujemo sve otrimane shmatočke u velikom broju i zapisujemo dokaze.

Prijedlog: $x\in \left(-\infty ;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Imenovanje. Virishiti nerívníst - znači spoznati bezlični uspjeh joga rješenja, ili da ono što je bezlično isprazni.

Bilo bi dato b: šta tu može biti nerazumno? To je u toj rijeci, da se bezlično može drugačije izraziti. Hajde da to ponovo zapišemo do kraja dana:

Čitajte doslovno šta piše. Promijenite "iks" da nikome ne legnete puno, da izađete zajedno (ikona "U") chotyroh okremih puno:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, što doslovno znači "svi brojevi manji od jedan, ali ne i sam";
• Interval $ \ lijevo (1; 2 \ desno) $, zatim. “Svi brojevi su između 1 i 2, ali ne i sami brojevi 1 i 2”;
• Anonimni $ \ lijevo \ (3 \ desno \) $, koji se zbraja od jednog ili jednog broja - tri;
• Interval $ \ lijevo [4; 5 \ desno) $, da osveti sve brojeve između 4 i 5, kao i samo četiri, ali ne i pet.

Interes ovdje je treća tačka. Na vídmínu víd íd ínvalív, íkí za navođenje bezbrojnih skupova brojeva í manje označavaju manje između tsikh naborív, bez $\left\(3\right\)$ postavljenog striktno jednog broja kao načina za ponovno raspoređivanje.

Da bismo shvatili da sami poništavamo određene brojeve koji idu do višestruke (a ne postavljene između ta dva), lukovi su pobjednički. Na primjer, notacija $ \ lijevo \ (1; 2 \ desno \) $ sama po sebi znači "množitelj koji se zbraja od dva broja: 1 i 2", ali nije isto što i 1 do 2. U isto vrijeme , nemojte zbuniti svoje razumijevanje.

Pravilo preklapanja višestrukosti

Pa, na kraju današnje lekcije, tri prsta od Pavela Berdova.

Uvaženi učenjaci već su pjesmički cvrkutali: a šta će biti, kao u kalendaru i zastavu, isti korijen će se pojaviti? Dakle, os, pratsyuê takvo pravilo:

Višestrukost istog korijena se sabira. Čekaj. Navít yakscho tse root je napisan u knjizi brojeva i na baneru.

Ponekad je bolje virišovati, govoriti niže. U to vjerujemo sljedeći zadatak:

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \desno))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(poravnati)\]

Za sada ništa posebno. Izjednačite baner sa nulom:

\[\begin(poravnati) & \left(((x)^(2))-16 \desno)\left(((x)^(2))+9x+14 \desno)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Strelica desno x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Strelica desno x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Otkrivaju se dva ista korijena: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Uvreda mayut pershu višestrukost. Također, zamjenjujemo ih jednim korijenom $x_(4)^(*)=-2$, ali i sa višestrukim brojem 1+1=2.

Osim toga, još uvijek postoje isti korijeni: $((x)_(2))=-4$ i $x_(2)^(*)=-4$. Smrad prve višestrukosti, koja će biti lišena $x_(2)^(*)=-4$ višestrukosti 1+1=2.

Da unesemo poštovanje: u obe vipadke lišili smo se samog starog korena, a farbowe smo izbacili iz pogleda. Zato su i stigli na početak lekcije: to je kao tačka odjednom, i prebijeno, i prdnuto, nama je svejedno stalo do toga.

Kao rezultat, imamo korijene chotiri, štoviše, pojavili su se svi vikoloti:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \desno); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\lijevo(2k \desno). \\ \end(poravnati)\]

Značajno ih na brojevnoj pravoj s prilagođenim višestrukošću:

Postavljamo znakove i zafarbovuyemo područja koja nas zovu:

Brkovi. Svakodnevne izolovane tačke i drugi problemi. Možete napisati svoje mišljenje.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \desno)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Pravilo višestrukosti

Ponekad situacija postaje još neprihvatljivija: jednakost, koja može biti višestruka od korijena, sama se dovodi na isti korak. Time se mijenja mnoštvo svih vanjskih korijena.

Takav zvuk se rijetko čuje, štoviše, nema dokaza o sličnim zadacima. A pravilo je ovo:

Sa izjednačavanjem koraka $n$, višestrukost svih yogo korijena se također povećava za $n$ puta.

Drugim riječima, koraci na stepenicama se množe na višestrukost na samom koraku. Pogledajmo pravilo u praksi:

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\lijevo(2-x \desno))^(3))((\lijevo(x-1 \desno))^(2)))\le 0\]

Rješenje. Izjednačimo broj sa nulom:

Tvir je jednak nuli, ako se želi da jedan od množitelja bude jednak nuli. Sa prvim množiteljem sam shvatio: $x=0$. A osovina je izazvala probleme:

\[\begin(poravnati) & ((\levo(((x)^(2))-6x+9 \desno))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\levo(2k \desno); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\lijevo(4k \desno) \\ \end(poravnati)\]

Kao i Bachimo, jednako $((x)^(2))-6x+9=0$ može imati jedan korijen drugog višestrukosti: $x=3$. Pazimo svi da se približimo trgu. Tada višestrukost korijena postaje $2\cdot 2=4$, što smo zapisali uz presudu.

\[((\levo(x-4 \desno))^(5))=0\Strelica desno x=4\levo(5k \desno)\]

Sa transparentom istih svakodnevnih problema:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Strelica desno x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Strelica desno x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(poravnati)\]

Imali smo pet tačaka na zbiru: dva vikolota i tri farbovana. Nema straha od korena u brojevniku i znameniku, on se jednostavno vidi na numeričkoj pravoj liniji:

Postavljamo znakove sa poboljšanim višestrukim i zafarbovuêmo intervalima koji nas zovu:

Znam jednu izolovanu tačku i jednog vicolota

Kroz korijen uparene višestrukosti ponovo je oduzeto nekoliko „nestandardnih“ elemenata. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ umjesto $x\in \left[ 0;2 \right)$, a tačka $ x je također izolovana \in \lijevo\(3\desno\)$.

Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \desno)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Yak bachite, nije tako komplikovano. Golovne - poštovanje. Ostatak lekcije posvećenja reinkarnacijama - tim, o čemu smo razgovarali na samom klipu.

Preoblikovanje prednje strane

Nervnosti, kakí mi rasberem i tsemu rasdílí, ne može se nazvati preklapanjem. Međutim, na vídmínu víd posredníh zavdní, ovdje se dešava da zasosuvati navchik z teoríí̈ racionalnyh drobív — razkladannja na multiplikatore i brínnogo znamennik.

Detaljno smo razgovarali o hrani za klip današnje lekcije. Ako ne razumete, šta razumete, šta je jezik, preporučujem da se okrenete i ponovite. Za to nema senzibiliteta trpati metode razotkrivanja nedosljednosti, kao da "plivate" na pretvorenim kadrovima.

Kod kuće, prije govora, također će biti puno sličnih zadataka. Smrad krivice do kraja pidrozdil. I tamo ćete biti provjereni za čak i netrivijalne aplikacije. Ale, ti ćeš biti u separeu, ali sad da sredimo par takvih nedosljednosti.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Rješenje. Pomicanje svega ulijevo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Donosi se do duplog barjaka, otvaraju se svodovi, a slični dodanki se donose u brojevnu knjigu:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ) desno))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \desno))(x\left(x-1 \desno)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Sada imamo pred sobom klasičnu frakciono-racionalnu nerívníst, vyshennya yakoí̈ više ne postaje teško. Jogu se bavim alternativnom metodom kroz metodu intervala:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(poravnati)\]

Ne zaboravite ogradu koja je došla sa transparenta:

Svi brojevi su označeni i razmijenjeni na numeričkoj pravoj liniji:

Brkovi su korijen prve višestrukosti. Nema problema. Upravo smo postavili znakove koji su nam potrebni regionu:

To je sve. Možete napisati svoje mišljenje.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \desno)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumílo, tse buv zovsím samo zadnjicu. Na to odmah možemo ozbiljnije sagledati zadatak. Í do govora, riven tsgo zavdannya tsílkom vídpovídaê nezavisnih i kontrolnih robota z íêí̈ one u 8. klasi.

Menadžer. Da oslobodite nervozu:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Rješenje. Pomicanje svega ulijevo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Prije toga, kako dovesti uvredljive razlomke na dvostruki baner, ove transparente rasporedimo u množitelje. Raptom vylizut iste lukove? Sa prvim banerom je lako:

\[((x)^(2))+8x-9=\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x+9 \desno)\]

Sa ostalima troch presavijen. Nemojte se ustručavati da unesete konstantu množitelja u taj luk koji se ne pojavljuje. Upamtite: ako imate bogat pojam u broju koeficijenata, ovo je sjajan imovirnist, jer je položen u višestrukim od majke u broju koeficijenata (zaista, tako će i biti, za tren vipadkiv, ako diskriminant je iracionalan).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(3x-2 \desno) \end(poravnati)\]

Yak bachimo, ê luk: $ \ lijevo (x-1 \ desno) $. Okrećemo se nervozi i navodimo uvredljive frakcije na dupli transparent:

\[\begin(poravnati) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ lijevo(3x-2\desno))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) ) )\levo(3x-2 \desno))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(poravnati)\]

Izjednačite baner sa nulom:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( poravnati)\]

Svakodnevne mnogostrukosti i zbígayutsya korijena. Pravoj liniji dodjeljujemo nekoliko brojeva:

Postavljamo znakove:

Hajde da zapišemo dokaze.

Odgovor: $x\in \left(-\infty ;-9 \desno)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ desno)$.

Brkovi! Tako, pa pročitaj do reda.