Тым көп функция мәндері 4 x 3. Функция мәнінің аумағы (функцияның мәні үлкенірек). Қажетті білімді түсіну және қолдану. Функция мәндерінің облыстарын білу жолдары

D(f)- сол мағыналар, қалай дәлелдеуге болады, тобто. функцияның ауқымы.

E(f)- сол мағыналар, функцияны қалай атауға болады, сондықтан. тұлғалық емес функция мәні.

Функция мәндерінің облыстарын білу жолдары.

функцияның бүктелетін аргументтерінің соңғы мәні;

бағалау/кордон әдісі;

күштің жеңістілігі, функцияның үздіксіздігі мен бір сарындылығы;

vikoristannya pokhіdnoi;

функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін таңдау;

графикалық әдіс;

параметрді сұрау әдісі;

кері функция әдісі.

Олардың істеріне тоқталайық.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Загалный пидхид f(x) үзілмейтін функцияның тұлғалық мәнінің мәніне дейін f(x) функциясының мәндік ауқымындағы ең үлкен және ең кіші мәнінің мәніне тең (немесе олардың біреуінің қате емес).

Бір қарағанда, функцияның тұлғалық емес мәнін білу қажет vіdrіzka бойынша:

f "(x) функциясының нақты мәнін білу;

f(x) функциясының критикалық нүктелерін білу және олардың берілген жіпте жататындай етіп таңдау;

функцияның кесіндінің ұштарында және таңдалған критикалық нүктелеріндегі мәнін есептеу;

белгілі шамалардың ішінен ең кішісін және маңыздысын таңдаңыз;

Бұл мәндердің арасына функцияның мәнін қою өте бай.

Берілген функцияның ауқымы қандай? интервал, содан кейін схеманың өзі жеңеді, содан кейін циклдің соңындағы мәндер интервалдың соңына дейін орындалатын аргументпен функциялар арасында сәйкестендіріледі. Арасындағы мағыналар тұлғасыз мағынаға енбейді.

Аралық/бағалау әдісі

Функция мәнінің көбейткішінің мәні үшін біз алдымен аргументтің тұлғалық емес мәнін білеміз, содан кейін функция функциясының ең аз мәнді мәнін табамыз. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Өрістің мәні түбі мен аңының үздіксіз қызметін бағалауда және бағалаулардың төменгі және жоғарғы шекарасының функциясының жетуін дәлелдеуде жатыр. Тұлғасыздықтың кез келген өзгерісі кезінде төменгі аралық бағалаудан жоғарғыға дейінгі аралықтағы функцияның мәні функцияның тұрақты еместігімен және ондағы төменгі мәндердің болуымен анықталады.

Үзіліссіз функцияның үстемдігі

Трансформацияланған функциядағы өрістің екінші нұсқасы үзіліссіз монотонды болып табылады, ал бұзылулардың жеңімпаз күші жаңа қабылданған функцияның тұлғалық емес мәнін бағалайды.

Функциядағы бүктеу аргументтерінің соңғы мәні

Функция сақталатын аралық функциялардың тұлғалық мәнінің соңғы көрінісі негізінде

Негізгі элементар функциялардың мән аймақтары

Функция	Анонимді мағына
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; бір]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Қолдану

Функцияның анонимдік мәнін табыңыз:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Біз баратын аймақты білеміз: D(f)=[-3;3], өйткені $9-x^(2)\geq 0$

Біз жақсырақ білеміз: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2))))$

f"(x) = 0, егер x = 0 болса. f"(x) дұрыс емес, егер $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ онда x = ±3. Үш маңызды нүкте алынып тасталады: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Есептеп көрейік: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Сондай-ақ f(x)-тің ең кіші мәні 0, ең үлкен мәні 3.

Ұсыныс: E(f) = .

vikoristovuyuchi pokhіdnu ЕМЕС

Ең маңызды және ең маңызды функцияларды табыңыз:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , содан кейін:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ барлық x үшін;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ барлық x үшін(өйткені $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Ұсыныс: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Егер сіз кедейлердің көмегіне қарағыңыз келсе, онда сізге өзгеріс енгізу керек, өйткені f (x) функциясы жолға емес, бүтін сан жолына тағайындалады.

Використовючи аралық/бағалау әдісі

3 синус мәнінің сырғымасы, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Сандық бұзушылықтардың қуатын тездетейік.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (негізгі бұзушылықтың барлық үш бөлігін -4-ке көбейту);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Бұл функция тағайындаудың барлық салаларында үзіліссіз болғандықтан, мағынасыз мән барлық тағайындау аймағындағы ең кіші және ең үлкен мәндер арасында орналастырылады, өйткені бұл шындық.

Бұл жағдайда $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є функциясының мәні тұлғасыз.

3 ретсіздік $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ бағалауды қабылдайды $$\\ -6\leq y\leq 6 $$

x = p і x = 0 болғанда, функция -6 і 6 мәнін қабылдайды, онда. төменгі және жоғарғы шекараларға жетеді. Үзіліссіз функциялардың сызықтық комбинациясы cos(7x) және cos(x), y функциясы бүкіл сандық осьте үздіксіз, сондықтан үзіліссіз функцияның қатаңдығына байланысты ол -6-дан 6-ға дейінгі барлық мәндерді жинақтайды. инклюзивті және тек їx, өйткені $ - 6 \leq y\leq 6$ теңсіздігі арқылы басқа мәндер мүмкін емес.

Сондай-ақ, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Дәлелдеу: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Қайтымды вирус $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \оң)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \оң) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Косинус мәні $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Функция тағайындаудың барлық диапазонында үзіліссіз берілгендіктен, мәнсіз мән ең кіші және ең үлкен мәндердің арасына қойылады, белгілі болғандай, функцияның мәнсіз мәні $ y = sqrt (2) \ cos ((x) + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ є жеке $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Айтарлықтай $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Тапсырманың өзі (-∞;4) өзгерісі бойынша $y = \log_(0,5)(t)$ функциясының мәнінің көбейткішінің мәніне дейін азайтылады. Oskіlki функциясы $y = \log_(0,5)(t)$ тек t > 0 үшін тағайындалады, її (-∞;4) аралықтағы функцияның мәні интервалдағы функция мәнінен алынады. (0;4), бұл логарифмдік функцияның диапазоны (0; +∞) бар ретинальды өзгеріс (-∞; 4). (0;4) аралықта бұл функция үзіліссіз және кішірек. t > 0 үшін мән +∞, ал t = 4 үшін мән -2, сондықтан E(y) = (-2, +∞).

Трик функцияның графикалық көрінісіне негізделген.

Функцияны түрлендіруден кейін мүмкін болады: y 2 + x 2 = 25, оның үстіне у ≥ 0, |x| ≤ 5.

Келесі болжам, $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ радиусы r болатын үлеске тең.

Кезде tsikh zamezhennya кестесі берілген теңестіру є жоғарғы pіvkola s орталығы координаталар кобында і радиусы, ол 5-ке тең. Әлбетте, scho E(y) = .

Ұсыныс: E(y) = .

Використан әдебиеті

ЕДИ басшыларының функцияларының маңыздылығы саласы Минюк Ирина Борисивна

Функцияның тұлғасыз мағынасын түсіну үшін Беляева И., Федорова С.

Функцияның тұлғалық емес мәнінің маңызы

Қабылдау емтиханында математика тапсырмасын қалай көрсету керек, И.И.Мельников, И.Н.Сергеев

Көбінесе, тапсырмаларды бөлу шекарасында біз сегментке тағайындалған аймақ функциясының тұлғалық емес мәнін шукатиге жеткіземіз. Мысалы, бұзылған жағдайда жұмыс істеу керек әртүрлі түрлерібұзушылықтар, вирустарды бағалау және в.

Осы материалдың аясында функцияның маңыздылық аймағы қандай екенін анықтауға болады, біз есептеуге болатын негізгі әдістерді енгіземіз және бүктелудің басқа дәрежесінің тапсырмасын талдаймыз. Түсінікті болу үшін позициялар графиктермен суреттелген. Осы мақаланы оқығаннан кейін сіз функцияның ауқымы туралы барлық ақпаратты алып тастайсыз.

Почнемо негізгі міндеттер.

Кездесу 1

Ағымдағы x интервалындағы y = f (x) функциясының мәнсіз мәні барлық мәндердің мәнсіз мәні болып табылады, өйткені функция барлық x ∈ X мәндерін қайталау кезінде беріледі.

Кездесу 2

y = f (x) функциясының мәндер диапазоны барлық її мәндерінің атаусыз мәні болып табылады, осылайша ол қайталау кезінде x z x ∈ (f) мәнін қабылдай алады.

Нақты функцияның мән аймағы E(f) деп алынады.

Функцияның мәнін көбейтуді түсіну үшін оның мәнінің бірдей аймағын бастамаңыз. Түсіну мәндері тек сол жағдайда ғана тең болады, өйткені x мәнінің аралығы, мәні белгісіз болған кезде, мән тағайындалған функцияның аймағынан өзгереді.

y = f (x) оң жақ бөлігін өрнектеу үшін мәндер диапазоны мен рұқсат етілген мәндер диапазоны арасындағы айырмашылықты анықтау маңызды x өзгерісі . f (x) өрнегі үшін рұқсат етілген мәндер ауданы x және функцияға тағайындалған аумақ болады.

Төменде деяки бөксесін көрсететін иллюстрация болуы керек. Көк сызықтар – функциялардың графиктері, қызылдар – асимптоталар, ордината осіндегі бірдей түзулердің нүктелері – функция мәнінің барлық облыстары.

Барлық O y үшін графиканы жобалау кезінде функцияның ауқымын ескеруге болатыны анық. Кім үшін сізде бір сан және жеке емес сандар, үш, интервал, ашық интервал, сандық интервалдардың тіркесімі және т.б. болуы мүмкін.

Функцияның ауқымын білудің негізгі жолдарын қарастырайық.

Тұрақты емес функцияның y = f (x) мәнін ағымдағы санауышқа көбейтуді ғана тағайындайық, оны [a; b]. Функция кез келген бағытта үзіліссіз, өзінің жаңа минимумы мен максимумына жететінін білеміз, яғни ең үлкен m a x x ∈ a ; b f (x) - ең кіші мән m i n x ∈ a ; bf(x). Тағы да m i n x ∈ a ескереміз; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , онда шығыс функциясының жеке емес мәні болады. Міне, біз жұмыс істеуіміз керек - ең төменгі және максимум нүктелерін қай нүктеде көрсету керектігін білу ғана.

Тапсырманы алайық, ол үшін ауданды доғасына беру керек.

бөксе 1

Умов: y = a r c sin x мәнін табыңыз.

Шешім

Жабайы беткейде доға сызығына тағайындалған аумақ жоғары [-1; бір]. Бізге тағайындалған функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін жаңасына тағайындау керек.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Бұл функция [-1 аралықта кеңейтілген x-тің барлық мәндері үшін оң болатынын білеміз; 1 ] , сондықтан аймақты кеңейту арқылы функция өсу жылдамдығының доғасына тағайындалады. Сонымен, ең аз мән x-те қабылданады, тең - 1, ал ең үлкен - x-те, 1-ге тең.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Осылайша, arcsine функциясы мәнінің ауданы қымбатырақ E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2.

Ұсыныс: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

бөксе 2

Умов:Берілген ішкі жолдағы y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 мәндерінің ауқымын есептеңіз [1; 4].

Шешім

Бізге жұмыс істеу керек нәрсе - берілген интервал үшін функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін есептеу.

Экстремум нүктесін анықтау үшін келесі есептеуді есептеу керек:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Енді берілген функцияның мәнін кесу аралықтарында және х 2 = 15 - 33 8 нүктелерінде білеміз; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈512 2 . 08 ж 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ж (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Сонымен, функцияның тұлғасыз мәні 117 - 165 33 512 айырмасымен анықталады; 32 .

Ұсыныс: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Үзіліссіз функцияның y = f (x) тұлғасыз мәнінің мәніне (a; b) аралықтарына көшейік, оның үстіне a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Ең үлкен және ең кіші нүктелерді, сондай-ақ берілген аралықтағы өсу мен өзгерістер арасындағы аралықтарды белгілеуден бастайық. Олай болса, аралықтарда және/немесе сәйкессіздік бойынша шекараларда біржақты шекараларды virahuvat қажет болады. Басқаша айтқанда, функцияның әрекетін берілген ақыл-ойларға тағайындауымыз керек. Кімге бізге барлық қажетті деректер қажет болуы мүмкін.

бөксе 3

Умов:(-2; 2) интервалында у = 1 x 2 - 4 функциясының диапазонын есептеңіз.

Шешім

Берілген жолда функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін көрсетеміз

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Біз максималды мәнге жеттік, ол 0-ге тең, бірақ сол нүктеде құлауға өту үшін функцияның таңбасын және графигін өзгерту қажет. Бөлім. иллюстрация үшін:

Сонымен y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 функцияның ең үлкен мәні болады.

Енді функцияның әрекеті мұндай х үшін маңызды, оның оң жағы - оң жақтан 2 және сол жақтан + 2. Басқаша айтқанда, біз біржақты шекараларды білеміз:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Аргумент -2-ден 0-ге дейінгі аралықта өзгерсе, функцияның мәні минус сәйкессіздіктен - 14 тоди-ге дейін өсетінін көрдік. Ал егер аргумент 0-ден 2-ге өзгерсе, функцияның мәні минус шексіздікке өзгереді. Кейінірек берілген функцияның қажетті интервалдағы мағынасыз мәні (- ∞ ; - 1 4 ) болады.

Ұсыныс: (- ∞ ; - 1 4 ] .

бөксе 4

Умов: берілген интервалда анонимді мәнді енгізіңіз y = t g x - π 2; π 2.

Шешім

β-ның тангенсі - π 2-ге ұқсас екенін білеміз; π 2 оң болады, сондықтан функция өседі. Енді берілген шекараларда функцияны қалай іске қосу керектігі маңызды:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

vid - π 2 аргументін π 2-ге ауыстырған кезде функцияның қосымша мәнін минус сәйкессіздіктен плюс сәйкессіздікке алып тастадық және бұл функцияның тұлғалық емес шешімі барлық нақты сандардың тұлғасыздығы болады деп айта аламыз.

Ұсыныс: - ∞ ; + ∞ .

бөксе 5

Умов:тағайындау, бұл функцияның диапазоны, y = ln x натурал логарифмі.

Шешім

Функцияның берілген және тағайындалғанын білеміз оң мәндераргументі D(y) = 0; +∞. Берілген интервалдағы Pohіdna оң болады: y "= ln x" = 1 x. Отже, жаңасының функциялары ұлғайған. Олар бізге бір жақты шекараны белгілеу қажеттілігін берді, егер аргумент дұрыс 0 болса (оң жақта), ал егер x сәйкессіздік дұрыс болмаса:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Біз x мәнін нөлден шексіздік плюсіне өзгерткен кезде функция мәні минус сәйкессіздіктен плюс сәйкессіздікке дейін өсетінін алып тастадық. Сонымен, барлық нақты сандар өте көп - ce және є натурал логарифм функциясының мәнінің ауданы.

Ұсыныс:барлық нақты сандардың көбейткіші натурал логарифм функциясының мәнінің ауданы болып табылады.

бөксе 6

Умов: y = 9 x 2 + 1 функциясының диапазоны қайсысы екенін анықтаңыз.

Шешім

Tsya є функциясы x нақты сан екенін есте сақтайды. Ең маңызды және ең аз функцияларды, сонымен қатар олқылықтар мен өсу мен өзгерістерді санап көрейік:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Нәтижелерде біз функцияның төмендейтінін көрсеттік, осылайша x ≥ 0; керісінше, бұл x ≤ 0; өзгерту кезінде y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 максимумына нүкте жасамайды, бұл қымбатырақ 0 .

Біз сәйкессіздікте функцияны қалай басқаруға болатынын білеміз:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Жазбадан y еселік функциясының мәні асимптоталық түрде 0-ге жақындайтынын көруге болады.

Podib'єmo ішкі сөмкелері: егер аргумент минус сәйкессіздіктен нөлге өзгерсе, онда функцияның мәні 0-ден 9-ға дейін өседі. Егер аргументтің мәні 0-ден плюс сәйкессіздікке өзгерсе, онда функцияның мәні 9-дан 0-ге дейін төмендейді. Біз кішкене бағаны елестеттік:

Функция мәнінің диапазоны E(y) = (0; 9) интервалы болатынын жаңадан көруге болады.

Ұсыныс: E(y) = (0; 9]

Демек, [a; б) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , онда мұндай зерттеулерді өзіміз жүргізуіміз керек.

Ал сіз қалай vipadku бар, қалай deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv тағайындалған ауданы? Содан кейін біз осы аралықтардың s терідегі анонимді мәнін есептеп, оларды біріктіруіміз керек.

бөксе 7

Умов: y = x x - 2 диапазонының қандай болатынын анықтаңыз.

Шешім

Oskіlki znamennik functionії кінәлі емес, бірақ 0-ге дейін znacheniya , содан кейін D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞.

Бірінші жолға функция мәнінің көбейткішін тағайындаудан бастайық - ∞; 2, бұл анық уәде. Функцияның жаңасында төмендейтінін білеміз, сондықтан функция теріс болады.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Содан кейін аргумент y-ді тікелей минус сәйкессіздікті өзгертсе, функцияның мәні асимптоталық түрде 1-ге жақындайды. Егер х-тің мәні минус сәйкессіздіктен 2-ге дейін төмендесе, онда мән 1-ден минус сәйкессіздікке дейін төмендейді, яғни. интервалдың болашақ мәні бойынша функция - ∞ ; бір . Жалғыз, біздің ойларымызды қоспағанда, її функциясының мәнінің сынықтары оған жетпейді, керісінше асимптоталық түрде жақындайды.

Ашық биржа үшін 2; + ∞ vikonuєmo сондықтан sami dії. Жаңа нұсқадағы функция да аз:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Берілген vіdrіzka бойынша функцияның мәні мәні жоқ 1-ге тағайындалады; +∞. Сонымен, бізге ес үшін берілген функция мәнінің ауданы қажет - ∞ еселіктері арқылы біріктіріледі; 1 және 1; +∞.

Ұсыныс: E(y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞.

Сіз диаграмманы тексере аласыз:

Ерекше ауытқулар периодтық функциялар болып табылады. Мәннің бұл аймағы тұлғалық емес мәннен функция периодына байланысты интервалға өзгереді.

бөксе 8

Умов:Ауданды y = sin x синусының мәніне орнатыңыз.

Шешім

Синус периодты функцияға жатады, период сияқты 2 пи болады. Беремо vіdrіzok 0; 2 π Мен жаңасына қандай тұлғалық емес құндылық болатынына таң қаламын.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 шекарасында; 2 π функциясы π 2 і x = 3 π 2 экстремум нүктелері болады. Неліктен олардағы функцияның маңыздылығы, сондай-ақ vіdrіzka шекараларында маңыздырақ екенін қарастырайық, содан кейін біз ең көп және ең аз маңыздыны таңдаймыз.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Ұсыныс: E (sin x) = - 1; бір .

Егер сізге статикалық, дисплей, логарифмдік, тригонометриялық, кері тригонометриялық сияқты функциялардың мәнінің ауданын білу қажет болса, онда негізгі элементар функциялар туралы мақаланы қайта оқуға болады. Теория, біз ұсынғандай, берілген мәнді кері қайтаруға мүмкіндік береді. Їх Bazhano vivchiti, иістің сынықтары шие күні сағатында жиі қажет. Егер сіз негізгі функциялардың облыстарын білсеңіз, геометриялық түрлендірудің көмегімен қарапайым функцияларды алып тастағандай функциялардың облыстарын оңай білуге болады.

бөксе 9

Умов: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 диапазонын орнатыңыз.

Шешім

Арккосинаның мәні 0-ден пиге дейін екенін білеміз. Басқаша айтқанда, E (ar c cos x) = 0 ; π немесе 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Кері косинусқа a r c cos x 3 + 5 π 7 функциясын оны созу және O x осін созу арқылы алуға болады, әйтпесе бізге ештеңе бере алмаймыз. Сонымен, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

3 arc cos x 3 + 5 π 7 функциясын тік осьтің қосымша созылуы үшін доғаның косинусы arc cos x 3 + 5 π 7-ден шегеруге болады, сондықтан 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Финалда түрлендіру zsuv uzdovzh осі O y 4 мәндер бойынша. Нәтижеде кейбір біркелкіліктер болады:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Біз мәннің ауданына не қажет болатынын алып тастадық E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Ұсыныс: E(y) = - 4; 3 pi-4.

Тағы бір бөксені түсіндірместен жазып алады, өйткені шарап алдыңғыға ұқсайды.

бөксе 10

Умов:функцияның диапазоны қандай болатынын есептеңіз y = 2 2 x - 1 + 3 .

Шешім

y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 сияқты берілген функцияны қайта жазайық. y = x - 1 2 статикалық функция үшін мән аймағы 0 интервалына тағайындалады; + ∞, содан кейін. x-1 2 > 0 . Осы бағытта:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Сонымен, E(y) = 3; +∞.

Ұсыныс: E(y) = 3; +∞.

Енді функцияның ауқымын қалай білуге болатынын, қалай үзілмеу керектігін қарастырайық. Ол үшін біз бүкіл аумақты бос орындарға бөліп, олардың терісіндегі тұлғалық емес мағынаны білуіміз керек, содан кейін біз көрген нәрселерді біріктіреміз. Жақсырақ түсіну үшін, функцияның негізгі көзқарастарын қайталау үшін.

бөксе 11

Умов:берілген функция y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Ауданның її мәнін есептеңіз.

Шешім

Бұл функция x-тің барлық мәніне тағайындалады. 3 және 3-ке тең аргумент мәндерімен үздіксіздікке талдау жасайық:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Аргумент мәні бар бірінші түрдегі үзіліссіз кеңеюі мүмкін - 3 . Функцияның жаңа мәніне жақындаған кезде - 2 sin 3 2 - 4-ке дейін жылжытыңыз, ал оң жақтан x - 3-ке дейін болса, мәндер - 1-ге дейін жылжиды.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

3-ші нүктеде басқа текті іздеу жоқ болуы мүмкін. Егер функция тең болмаса, її мәндері - 1-ге жақын, егер функция оңға тең болса - минус сәйкессіздікке.

Otzhe, тағайындалған функцияның бүкіл аймағы 3 интервалға бөлінеді (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Олардың біріншісінде y = 2 sin x 2 - 4 функциясын алып тастадық. Oskіlki - 1 ≤ sin x ≤ 1 қолайлы:

1 ≤ күнә x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Сонымен, бұл интервал үшін (- ∞ ; - 3] функцияның мәні жоқ - [ - 6 ; 2 ] .

Соңғы интервалда (- 3 ; 3 ) y = - 1 тұрақты функциясы болды. Otzhe, барлық жеке емес її znachen кейде бір санға дейін салынады - 1.

Басқа аралықта 3; + ∞ y = 1 x - 3 функциясын қолдануға болады. Won є spade, оған y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Сонымен, х > 3 үшін шығару функциясының тұлғасыз мәні 0-ге еселік; +∞. Енді нәтижелер негізінен алынып тасталды: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Ұсыныс: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Шешімі графикте көрсетілген:

бөксе 12

Умов: є функциясы y = x 2 – 3 e x . Жеке емес мағынаны бағалаңыз.

Шешім

Вон нақты сандар болып табылатын аргументтің барлық мағынасына тағайындалады. Маңыздысы, кейбір интервалдар үшін ұлғайту функциясы беріледі, ал кейбіреулері үшін төмендеу:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Біз x = - 1 және x = 3 сияқты 0-ге бару жақсы екенін білеміз. белгілері интервалдар анасы болады сияқты, тұтас және z'yasuёmo екі ұпай қоямыз.

Функция (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i [ - 1 бойынша өсуде; 3]. Ең төменгі ұпай – 1, максимум – 3 болады.

Енді біз функцияның негізгі мәндерін білеміз:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Сәйкессіздік бойынша функцияның әрекетін қарастырамыз:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Басқа делдалды есептеу үшін Лопитал ережесі қолданылды. Біздің шешіміміз графикаға көшкенін елестетуге болады.

Аргумент минус сәйкессіздікте -1-ге өзгерсе де, функцияның мәні плюс сәйкессіздікте -2e-ге дейін төмендейтінін көруге болады. Егер шарап 3-тен плюс дәлсіздіктерге дейін өзгерсе, онда мән 6 e - 3-тен 0-ге дейін төмендейді, бірақ 0 болса, қол жеткізу болмайды.

Осы ретпен E(y) = [- 2 e; +∞).

Ұсыныс: E(y) = [-2e; +∞)

Мәтіндегі кешірім қалай есте қалды, мейірімді болыңыз, оны көріңіз және Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Функцияны және онымен байланысты барлық нәрсені түсіну ақылға емес, дәстүрлі түрде бүктелгенге жеткізіледі. Функцияның ЄДІ є-ге дайындалу мен тағайындалу аймағы мен функцияның маңыздылық (өзгерту) аймағын қалай қарастыратынын таспен бөліп көрейік.
Тағайындалған функция аймағы мен оның маңыздылық аймағын ажыратпауды үйрену сирек емес.
Тағайындалған функцияның аймағын өзгерту міндеті сияқты, біз меңгеруді үйренеміз, содан кейін функцияның тұлғалық емес мағынасын өзгерту міндеті химали қиындықтарының иісін шақырады.
Meta tsi єї statti: функцияның мәнін білу әдістерін білу.
Осы тақырыптарды қарастыру нәтижесінде теориялық материал әзірленді, көп функциялардың маңыздылығына есептер шығару әдістері қарастырылды, студенттердің өзіндік жұмысы үшін дидактикалық материал таңдалды.
Бұл мақала студенттерді дипломдық және кіріспе сабақтарға дайындауда, математикадан элективті курстардағы «Функцияның маңыздылық аймағы» үшін мұғалім бола алады.

I. Функцияның қолданылу саласын белгілеу.

y \u003d f (x) функциясының ауданы (көбейткіш) мәні E (y) мұндай сандардың саны деп аталады y 0 , z мұқабасы үшін x 0 саны бар, ол: f (x 0) \u003d y 0 .

Негізгі ауданды болжаңыз элементар функциялар.

Кестеге қарайық.

Функция	Анонимді мағына
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; бір]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
у = доғасы х	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
у = арктан х	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Сондай-ақ, жұпталған кезеңнің кез келген көпмүшесінің мәнінің ауданы саңылау, de n көпмүшенің ең үлкен мәні болып табылады.

II. Функциялардың қуаттылығы

Жеке тұлғалық емес функцияны сәтті тану үшін негізгі элементар функциялардың күшін, әсіресе олардың мәндік аймақтарын, мәнділік аймағын және монотондылық сипатын жақсы білу қажет. Функциялардың жеке емес мәндері белгілі болған кезде жиі жеңетін үздіксіз, монотонды дифференциалдау функцияларының күшін индукциялайық.

2 және 3 үстемдік, әдетте, олардың тағайындалу аймағында үзіліссіз бірден элементар функцияның күшін жеңеді. Көбейткіш мәні мәселесінің ең қарапайым және қысқа шешімін ескере отырып, функцияның біртұтастығын анықтау үшін сәйкес келмейтін әдістерді қолдануға болатынына қарамастан, функцияның мәніне 1 өкілеттік негізінде жетуге болады. Шешім қарапайымырақ, функция ретінде, бұған дейін, - жұп жұпталмаған, мезгіл-мезгіл жұқа. Осылайша, функцияның мәнін көбейтудің маңыздылығы туралы тапсырмаларды орындау кезінде, қажет болған жағдайда, функцияның шабуылдау күшін қайта қарастыру және жеңу қажет:

үзіліссіз;
монотондылық;
дифференциация;
жұптау, жұптастыру, кезеңділік жіңішке.

Әлеуметтік бағдар функциясының тұлғалық емес мағынасын білудің ыңғайсыз міндеті:

а) ең қарапайым бағалаулар мен шек үшін: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 болса);

б) толық квадратты көру: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

в) тригонометриялық виразивтің түрленуі бойынша: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

г) x 1/3 + 2 x-1 функциясының монотондылығына жету R көбейтеді.

III. Функция мәндерінің облыстарын білу әдістерін қарастырайық.

а) функцияның бүктелетін аргументтерінің соңғы мәні;
б) бағалау әдісі;
в) билікке жету, үзілістің болмауы және функцияның монотондылығы;
г) vikoristannya pokhіdnoi;
д) функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін таңдау;
д) графикалық әдіс;
g) параметрді сұрау әдісі;
з) кері функция әдісі.

Бұл әдістердің Rozkriёmo мәні нақты бөкселерге.

Мысал 1. Мән ауқымын табыңыз E(y)функциялары y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Біз бұл түйінді функцияның жиналмалы аргументтерінің реттік мәні әдісімен шеше аламыз. Логарифм астындағы жаңа шаршыны көріп, функцияны түрлендіреміз

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І дәйекті түрде біз жиналмалы аргументтердің тұлғалық емес мағынасын білеміз:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5) – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Айтарлықтай т= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim өзі функция мәнінің көбейткішінің мәніне жету үшін y = log 0,5 t биржада (-∞;4) . y = log 0,5 t функциясы тек сіздің ойыңыз үшін тағайындалғандықтан, интервалдағы (-∞; 4) анонимді мән функцияның интервал болып табылатын (0; 4) интервалындағы анонимдік мәнінен өзгереді. логарифмдік функцияның (0; + ∞) диапазоны бар (-∞; 4) интервалының. (0;4) аралықта бұл функция үзіліссіз және кішірек. Сағат т> 0 вон прагне +∞ және қашан t = 4 -2 мәнін орнатады E(y) =(-2, +∞).

Мысал 2. Функцияның ауқымын табыңыз

у = cos7x + 5cosx

Бұл бүйтті бағалау әдісі арқылы көре аламыз, оның мәні астыңғы және жоғарының үзіліссіз қызметін бағалауда және бағалаудың төменгі және жоғарғы шекараларының функциясының жетуін дәлелдеуде. Тұлғасыздықтың кез келген өзгерісі кезінде төменгі аралық бағалаудан жоғарғыға дейінгі аралықтағы функцияның мәні функцияның тұрақты еместігімен және ондағы төменгі мәндердің болуымен анықталады.

Бұзушылықтардан -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 -6≤y?6 ұпайын аламыз. x = p і x = 0 болғанда, функция -6 і 6 мәнін қабылдайды, онда. төменгі және жоғарғы шекараларға жетеді. cos7x және cosx үзілмейтін функциялардың сызықтық комбинациясы ретінде y функциясы бүкіл сандық осьте үзілмейді, сондықтан үзілмейтін функцияның қуатына байланысты ол -6-дан 6-ға дейінгі барлық мәндерді алады. инклюзивті және тек їх, яғни -6≤y мәндеріндегі сәйкессіздіктер арқылы бұл мүмкін емес. Отже, E(y)= [-6;6].

Мысал 3. Мән ауқымын табыңыз E(f)функциялары f(x)= cos2x + 2cosx.

Құта асты сымының косинусының формуласына сүйене отырып, функцияны түрлендіреміз f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1, бұл маңызды т= cosx. Тоди f(x)= 2т 2 + 2т – 1. Оскилки E(cosx) =

[-1;1], содан кейін функцияның ауқымы f(x) g функциясының тұлғасыз мәні бар zbіgaєtsya (t)= 2t 2 + 2t - 1 артқа [-1; 1], біз графикалық әдіс арқылы білеміз. Функция графигін индукциялау y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 интервалға [-1; 1], біз білеміз E(f) = [-1,5; 3].

Сыйластық – функцияның тұлғасыз мағынасының мәнділігіне дейін, параметрмен байланысты, маңыздырақ, айырмашылықтар мен бұзушылықтар саны мен айырмашылығы бар бай тапсырма жасау керек. Мысалы, тең f(x)\u003d бірақ одан да көп істеуге рұқсат, егер

aE(f)Сол сияқты, тең f(x)\u003d a бір түбірді қалауы мүмкін, deyakomu кеңістігінде X кеңістігінде roztovaniya немесе осы аралықта бірдей түбір жоқ, содан кейін және тек содан кейін, егер өтірік немесе жатпаса, функцияның тұлғалық мәні жоқ. f(x) X интервалында. f(x)≠бірақ, f(x)>а мен т.б. Зокрема, f(x)≠және барлық рұқсат етілген мәндер үшін х яксо a E(f)

Түйін 4. Параметрдің кез келген мәні үшін тең (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) шегініс үшін бір түбір бар [-4;-1].

Көру теңдігін жазайық (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Тең болып қалу әрбір vdrіzka [-4;-1] тек бір түбірді қажет етуі мүмкін немесе функцияның жеке емес мәндері болған жағдайда ғана f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) кері [-4;-1]. Біз функцияның тұлғасыздығын, жеңетін күшін, үзіліссіздігін және монотондылығын білеміз.

Екінші жағынан [-4;-1] y = xІ + 4 функциясы үзіліссіз, кем i оң, сондықтан функция g(x) = 1/(x 2 + 4) үзіліссіз және zbіlshuєtsya кезінде tsmuy vіdrіzku, оң функция бойынша rozpodіlі үшін oskіlki функцияның монотондылығының сипаты ұзаруға өзгереді. Функция h(x) =(x + 5) 1/2 үзіліссіз және өз галереясында өседі D(h) =[-5;+∞) мен, зокрема, vіdrіzku бойынша [-4;-1], дева, оның үстіне оң. Бірдей функция f(x)=g(x) h(x), екі үзіліссіз, өсетін және оң функцияның қосылуы сияқты, ол да үзіліссіз және қосымша [-4;-1] арқылы артады, сондықтан [-4;-1] є қосымша [-ға тұлғасыз мән бар. f(-4); f(-1)]=. Сондай-ақ, ол қос [-4;-1] шешіміне тең, сонымен қатар, бір (үздіксіз монотонды функцияның сапасы үшін), 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Құрмет. Рұқсат тең f(x) = aағымдағы X интервалында параметр мәнінің жарамдылығына тең бірақтұлғалық емес функция мәні f(x)бойынша X. Отже, функцияның тұлғасыз мәні f(x) X интервалы үшін параметр мәнінен өзгереді бірақ, тең адамдар үшін f(x) = aМен Х. Зокремнің бітіру алаңына бір тамыр алғым келеді E(f)функциялары f(x)параметрдің анонимді мәні бар zbіgaєtsya бірақ, тең адамдар үшін f(x) = aМен бір тамыр алғым келеді.

Мысал 5. Мән ауқымын табыңыз E(f)функциялары

Параметрді енгізу әдісімен бөксені ашу, zgіdno z E(f)параметрдің анонимді мәні бар zbіgaєtsya бірақ, тең адамдар үшін

Мен бір тамыр алғым келеді.

a = 2 тең сызықтық - 4x - 5 = 0 нөлге тең емес х үшін нөлдік емес коэффициентпен болғанда, шешім жоқ. a≠2 квадратқа тең болғанда, оны ажыратуға болады, егер ол дискриминант болса ғана

Oskіlki нүктесі а = 2 vіdrіzku жатуға

содан кейін параметрдің мәнін шуканим жасаймыз бірақ,демек, мен аумақты бағалаймын E(f)барлық vіdrіzok бол.

Функцияның берілген тұлғалық мәні бар параметрді енгізу әдісінің аралық емес дамуы ретінде кері функция әдісін қарастыруға болады, оның мақсаты үшін функцияның мәнін тексеру қажет. f(x)=y, y параметрімен. Якщо це тең бір шешім болуы мүмкін x = g(y), содан кейін ауқым E(f)сыртқы функциялар f(x)тағайындау аймағынан қашу D(g)сілекей функциясы g(y). Якщо тең f(x)=yмає кілка ерітіндісі x = g 1 (y), x = g 2 (y)және т.б., содан кейін E(f)функция аймақтарын жақсырақ біріктіру g 1 (y), g 2 (y)және т.б.

Мысал 6. Мәннің ауданын табыңыз E(y)функциялары y = 5 2/(1-3x).

Z тең

кері функцияны білеміз x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x жалғыз шешім болуы мүмкін, содан кейін

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Тағайындалған функцияның ауданы онжылдық аралықтардан жинақталғандықтан және әртүрлі аралықтағы функция әртүрлі формулалармен берілгендіктен, функция мәнінің ауданының маңыздылығы үшін анонимді білу қажет. тері интервалындағы функцияның мәнін анықтаңыз және оларды бірге алыңыз.

Мысал 7. Маңызды аймақтарды табыңыз f(x)і f(f(x)), де

f(x)биржада (-∞; 1], de won z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Айтарлықтай t = 4 x. Тоди f(x) = t + 9/t + 3, де 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)биржада (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, ортасында (0; 4], біз білетіндей, використ g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Промижку бойынша (0;4] жақсы g'(t)ол жерде нөлден бастау тағайындалған t=3. 0-де<т<3 она отрицательна, а при 3<т<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)азайып, аралықтары (3; 4) үлкейіп, толассыз қыша интервалымен (0; 4), ақын г. (3)= 9 – аралық үшін функцияның ең аз мәні (0; 4], алайда, максималды мән мүмкін емес, сондықтан t→0оң қол функциясы g(t)→+∞.Тоди, үзіліссіз функцияның сапасы үшін, функцияның тұлғалық емес мәні g(t)(0; 4] интервалында, бұл менің мағынасы жоқ дегенді білдіреді f(x)(-∞;-1] бойынша, промин болыңыз.

Енді біріктірілген интервалдар функцияның тұлғасыз мағынасы болып табылады f(f(x)), мағыналы t = f(x). Тоди f(f(x)) = f(t), де тфункциясы f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 және 5-тен 9-ға дейінгі барлық мәндерді қайта қабылдаңыз, яғни. құндылық аймағы E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Сол сияқты білу z = f(f(x)), ауқымын білуге болады E(f3)функциялары f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 т.б. Басыңызшы, не E(f 3) = .

Функция мәнін көбейтуді есептеудің және берілген аралық үшін функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін алудың ең әмбебап әдісі.

Мысал 8. Параметрдің кейбір мәндері үшін Рбіркелкі емес 8 x - p ≠ 2x+1 – 2xбарлығы үшін жеңіс -1 ≤ x< 2.

Тағайындады t = 2 x, көріністің біркелкі еместігін жазып көрейік p ≠ t 3 - 2t 2 + t. сондай Як t = 2 x- үзіліссіз өсу функциясы қосулы R,онда -1 ≤ x үшін< 2 переменная

2 -1 ≤ т<2 2 ↔

0,5 ≤ т< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда Рфункция мәнін көру f(t) = t 3 - 2t 2 + t 0,5 ≤ т< 4.

Функцияның анонимді мәнінің ретін білеміз f(t) vіdrіzku бойынша, мен бара алатын барлық жерде де бекер f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Отже, f(t)сараланған, кейінірек және желге үзіліссіз. Z тең f'(t) = 0функцияның критикалық нүктелерін білеміз t=1/3, t=1,Біріншіден, сен достың үстіне жата алмайсың, бірақ сен достың үстіне жатасың. сондай Як f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,онда дифференциалданған функцияның сапасы үшін 0 ең кіші, ал 36 функцияның ең үлкен мәні f(t) vіdrіzku бойынша. Тоди f(t),тоқтаусыз функция ретінде ол 0-ден 36-ға дейінгі барлық мәндерді қосады, сонымен қатар 36 мәні тек осы кезде ғана қабылдайды. t=4сонымен қатар 0,5 ≤ т үшін< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna барлық x z интервалы үшін оң (-1; 1), сондықтан доғаның функциясы тағайындаудың барлық диапазонында артады. Тағы да, ұтыстың ең аз мәні x = -1, ал ең үлкені x = 1.

Арксинусқа функцияның анықталу облысын алып тастадық .

бөксе.

Функцияның анонимдік мәнін табыңыз vіdrіzku бойынша.

Шешім.

Осы ағындағы ең маңызды және ең аз функцияны білейік.

Айтарлықтай, экстремум нүктесі, ол жатыр vіdrіzku:

Қиық ұштары мен нүктелеріндегі шығыс функциясының мәнін есептеу :

Otzhe, vіdrіzku є vіdrіzok бойынша функцияның тұлғалық мәні .

Енді y = f(x) үзіліссіз функцияның мәнін (a; b) , аралықтарында қалай білуге болатынын көрсетейік.

Басынан бастап экстремумға, экстремумға функцияларға, өсу аралықтарына және функцияның берілген аралықтағы өзгеруіне нүктелерді береміз. Олар аралық интервалдары бойынша және (немесе) арасындағы сәйкессіздік бойынша (яғни интервал интервалдары бойынша функцияның әрекеті немесе сәйкессіздік бойынша) есептелді. Мұндай интервалдардағы функцияның тұлғалық емес мәнін білу үшін жеткілікті ақпарат бар.

бөксе.

(-2; 2) аралықтағы функцияның тұлғасыз мәнін белгілеңіз.

Шешім.

Функцияның экстремумының (-2; 2) интервалына жұмсалатын нүктелерін білеміз:

Крапка x = 0 - максимум нүктесі, сондықтан ол арқылы өткенде таңбаны плюстен минусқа өзгерту керек, ал функция графигі құлауға бару үшін үлкейетін сияқты.

є vіdpovіdny максималды функцияії.

Біз функцияның әрекетін түсінеміз x нүктесінде -2 оң жақ және х нүктесінде, ол 2 złiva, сондықтан біз бір жақты шекараларды білеміз:

Біз нені алып тастадық: id -2 аргументі нөлге өзгертілгенде, аргумент идентификаторы нөлден өзгертілгенде, функция мәні минус сәйкессіздіктен минус төрттен біріне дейін артады (х = 0 кезіндегі функцияның максимумы). 2, функцияның мәні шексіздікке дейін түседі. Бұл ретпен (-2; 2) є интервалындағы функцияның тұлғалық емес мәні .

бөксе.

Интервалдағы y = tgx тангенсіне функцияның көбейткіш мәнін көрсетіңіз.

Шешім.

Интервалдағы жанамаға ұқсас функция оң болады бұл функцияның өсуін көрсетеді. Интервал шекараларында функцияның әрекетін орындаңыз:

Осылайша, аргументті өзгерту кезінде функцияның мәні минус сәйкессіздіктен плюс сәйкессіздікке дейін өседі, яғни бұл аралықтағы жанаманың мәні барлық нақты сандардың мәні болып табылады.

бөксе.

y = lnx натурал логарифмінің функциясының ауқымын табыңыз.

Шешім.

Натурал логарифм функциясы аргументтің оң мәндеріне тағайындалады . Қандай аралықта оң болады Жаңа функциялардың өсуі туралы айтудың қажеті жоқ. Аргумент нөлге дейін оң жақ болғанда функцияның бір жақты шекарасын және плюс сәйкессіздікке дейін дұрыс болатын x нүктесіндегі шекараны білеміз:

Bachimo, x мәнін нөлден плюс сәйкессіздікке өзгерту үшін функцияның мәні минус сәйкессіздіктен плюс сәйкессіздікке дейін өседі. Отже, натурал логарифм є тұлғасыз нақты сандар функциясының ауқымы.

бөксе.

Шешім.

Бұл функция барлық нақты мәндерге тағайындалады x . Экстремум нүктелері маңызды, сонымен қатар функцияның өсуі мен өзгеруіндегі бос орындар.

Сондай-ақ, функция кезінде өзгереді, өседі, x = 0 - максималды нүкте, функцияның көрінетін максимумы.

Сәйкессіздік бойынша функцияның әрекетін қарастырамыз:

Осылайша, сәйкессіздікте функцияның мәндері асимптоталық түрде нөлге жақындайды.

Аргумент минус сәйкессіздіктен нөлге өзгертілгенде (максималды нүктелер) функцияның мәні нөлден тоғызға дейін (функцияның максимумына) өсетінін түсіндірдік, ал х нөлден плюс сәйкессіздікке өзгертілгенде, мән функцияның мәні тоғыздан нөлге дейін өзгереді.

Схематикалық кішкентайларға қараңыз.

Енді сіз функцияның ауқымы екенін анық көре аласыз.

Ұзақтығы бірдей интервалдардағы у = f(x) функциясының мәнінің көбейткішінің мәні. Бұл випадкалар туралы бірден хабар бермей-ақ қояйық. Төмендегі бөкселерде иіс өткір болады.

y = f(x) функциясының ауқымы бірнеше интервалдар үшін біріктірілсін. Аймақ белгілі болған кезде мұндай функцияның мәні тері шығыңқылығының тұлғалық емес мәнімен және оны жалпылаумен көрсетіледі.

бөксе.

Функцияның ауқымын табыңыз.

Шешім.

Біздің функцияның стандарты нөлге дейін түсуге кінәлі емес, tobto,.

Ашық биржадағы функцияның тұлғалық емес мәнін білеміз.

Басқа функциялар осы аралық үшін теріс, сондықтан функция ол үшін өзгереді.

Аргумент минус сәйкессіздік болған кезде функция мәндері бірлікке асимптоталық түрде жақындайтыны ескерілді. Х-ны минус сәйкессіздіктен екі мәнге ауыстырған кезде, функция бір мәннен минус сәйкессіздікке өзгереді, осылайша, қысқа уақыт ішінде, көріп отырғаныңыздай, функция тұлғалық емес мәнді қабылдайды. Біреуі қосылмаған, функция мәнінің фрагменттері оған жетпейді, оған минус сәйкессіздік арқылы асимптотикалық түрде өту жеткіліксіз.

Diemo ашық алмасу үшін ұқсас.

Қай аралықта функция да өзгереді.

Бұл аралық функцияның анонимді мәні тұлғалық емес.

Осылайша, функция мәнінің ауқымы еселіктерді біріктіру үшін қажет.

Графикалық иллюстрациялар.

Периодтық функциялар бойынша окремо іздері. Периодтық функциялардың мәнінің ауқымы функцияның периодына байланысты интервалдың тұлғасыз мәнінен өзгертіледі.

бөксе.

y = sinx синус функциясының ауқымын табыңыз.

Шешім.

Бұл функция периоды екі пи болатын периодты. Vіzmemo vіdrіzok TA айтарлықтай nymu бойынша тұлғалық мағынасы.

Vіdrіzku жатыр екі нүкте экстремум ta.

Функцияның мәнін осы нүктелердегі және vіrіzka шекараларында есептейміз, біз ең кіші және ең үлкен мәнді таңдаймыз:

Отже, .

бөксе.

Функцияның ауқымын табыңыз .

Шешім.

Арккосинаның є vіdrіzok мәндерінің диапазоны нөлден nіге дейін екенін білеміз, сонда, немесе басқа жазбада. Функция otrimana z arccosx zsuv мен raztyaguvannyam vzdovzh осі абсцисса болуы мүмкін. Аймаққа мұндай түрлендіруді енгізуге болмайды, оған . Функция шығу vtrychі vzdovzh osі дейін созылды Ой, тобто, . Трансформацияның 1-ші қалған кезеңі – ординаталардың уздовж осінен төмен қарай жалғыз tse zsuv chotirma. Бізді метро жүйкесіне әкелудің қажеті жоқ

Бұл дәрежеде құндылықтың шукана аймағы бар .

Тағы бір бөксенің шешімін жасайық, бірақ түсіндірместен (сасығудың қажеті жоқ, мен де солай істеймін).

бөксе.

Функцияның ауқымын анықтаңыз .

Шешім.

Шығару функциясын былай жазайық . Күй функциясының мәнінің ауданы интервал болып табылады. Тобто, . Тоди

Отже, .

Суретті аяқтау үшін функция мәнінің ауқымы туралы айтайық, өйткені ол функцияның үзілмейтін ауқымы. Бұл жағдайда тағайындау аймағы нүктелер арқылы бос орындарға бөлінеді және біз олардың терісіндегі мағынасыз құндылықты білеміз. Көбейткіш мәндерін шегеруді біріктіре отырып, біз шығыс функциясының мәнінің ауданын шегереміз. Минус бірді жылжыту үшін функцияның 3 сол жақ мәнін болжау ұсынылады, ал егер x мәндері 3-ке дейін болса, оңға қарай жылжытылатын функцияның мәні плюс сәйкессіздіктер.

Осылайша, функция аймағы үш интервалға бөлінеді.

Менде функция бар ма? . Осцилки, содан кейін

Сонымен, интервал үшін шығыс функциясының тұлғасыз мәні є [-6; 2].

Соңғы интервалда y = -1 тұрақты функциясы болуы мүмкін. Демек, аралық үшін сыртқы функцияның тұлғалық емес мәні бір элементтен қосылады.

Функция аргументтің барлық нақты мәндеріне тағайындалады. Z'yasuєmo promiski арттыру және функцияны өзгерту.

Pokhіdna x=-1 және x=3 кезінде нөлге айналады. Сандық осьте айтарлықтай qi нүктелері және ішкі интервалдарда айтарлықтай ұқсас белгілер.

Функция келесіге өзгереді , [-1-ге өсу; 3] , минимумға x=-1 ұпай, максимумға x=3 ұпай.

Минималды және максималды функцияларды есептейік:

Сәйкессіздікте функцияның әрекетін өзгерту:

Тағы бір межу үшін айып тағылды.

Схема бойынша көбірек орындықтар.

Аргументті минус белгісіздіктен -1-ге өзгерткенде, функцияның мәні плюс шексіздіктен -2e-ге өзгереді, аргументті -1-ден 3-ке өзгерткенде, функцияның мәні -2e-ден -ге дейін, аргументті -1-ге өзгерткенде, функцияның мәні артады. 3 пен шексіздікке дейін домен мәні өзгереді, бірақ олар нөлге жетпейді.

Функция түсінуге болатын ең маңызды математикалық ұғымдардың бірі болып табылады.

Тағайындау: Егер x көбейткішінің мұқаба нөмірі бір у-ға орнатылса, онда бұл көбейткішке y(x) функциясы тағайындалған сияқты. x тәуелсіз өзгерту аргументі деп аталады, ал y функцияның кейінгі өзгерту мәні деп аталады, ол жай ғана функция болып табылады.

Олай дейтін болсақ, у-ны өзгертетін нәрсе х-ті өзгерту функциясы болып табылады.

Белгілі бір әріптің жарамдылығын белгілей отырып, мысалы, f, қолмен жазыңыз: y=f (x), у мәні f қосымша жарамдылығы үшін х аргументінен шығатындай. (Оқыңыз: y х-дегі f-қа тең.) f (x) символы х-ке тең аргументтің мәніне сәйкес келетін функцияның мәнін білдіреді.

1-мысал Функция y=2x 2 –6 формуласымен анықталсын. Сонда f(x) = 2x2-6 деп жазуға болады. Біз х функциясының мәнін білеміз, тең, мысалы, 1; 2,5;-3; сондықтан біз f(1), f(2,5), f(–3) білеміз:

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Құрметпен, жазбада басқа әріптермен өмір сүру үшін f орнына y=f (x) пішіні бар: g, содан кейін.

Мақсаты: Функцияның ауқымы - бірдей функцияға ие x мәні.

Егер функция формула арқылы берілсе және функцияның ауқымы тағайындалмаса, онда формуланың мағынасы жоқ аргумент мәніне функцияның ауқымы қосылуы маңызды.

Әйтпесе, шамасы, формуламен тағайындалған функцияның ауқымы, аргумент мәні, біз виконат жасай алатындай, дийге әкелуі мүмкін сияқты үнсіз. Қазіргі уақытта біз олардың екеуін ғана білеміз. Біз нөлге бөле алмаймыз және теріс санның квадрат түбірін ала алмаймыз.

Белгілеу: мәнді пайдаланыңыз, егер сіз күтпеген өзгерісті қабылдасаңыз, функция мәнінің аймағын орнатыңыз.

Нақты процесті сипаттайтын тағайындалған функцияның ауқымы нақты ақыл мен процестердің санасында жатыр. Мысалы, t қызу температурасына байланысты ығысу ұзындығының ұзындығының ескіруі, ұзындығының ұзындығының ұзындығының de l 0 формуласымен өрнектеледі. ұзындығының, және сызықтық кеңею коэффициенті. Кез келген t мәні үшін maє sens формуласы тағайындалады. Алайда l = g (t) функциясының ауқымы ондаған градустық интервал болып табылады, ол үшін сызықтық кеңею заңы әділетті.

бөксе.

Функциялар ауқымын көрсетіңіз y=arcsinx.

Шешім.

Арксинаға тағайындалған аймақ є vіdrіzok [-1; 1] . Әрбір ағын үшін ең маңызды және ең аз функцияны білейік.

Похідна барлығына жағымды xаралықтан (-1; 1) , демек, арксинус функциясы белгілеудің барлық диапазонында өседі. Otzhe, кем дегенде маңызды нәрсе nabuvaє болып табылады x=-1, және көпшілігінде x=1.