Жүйкенің бұзылуын қалай дұрыс құрастыруға болады. Бөлшек-рационалды біркелкі емес. Модульі бар сәйкессіздіктермен қалай күресуге болады

ax 2 + bx + 0 0, de деп теріңіз (белгіні ауыстыру > мүмкін, ақылға қонымды, біркелкіліктің басқа белгісі болуы). Теория фактілерімен мұндай сәйкессіздіктерді шешу үшін бәрі қажет, біз неге бірден өзгере алатынымызды көре аламыз.

бөксе 1. Виришити жүйкесі:

а) х 2 - 2х - 3> 0; б) х 2 - 2х - 3< 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) х 2 - 2х - 3< 0.
шешім,

а) Суретте бейнеленген y \u003d x 2 - 2x - 3 параболасын қарастырайық. 117.

Вириштік біркелкі емес x 2 - 2x - 3 > 0 - қоректендіру көзін білдірмейді, ол үшін х ординатасы параболаның нүктесі оң болады.

Құрметпен, y > 0 болса, онда кеңейту функциясының графигі х осі үшін жоғарырақ, х кезінде< -1 или при х > 3.

Отже, біркелкі емес шешімдер барлық ашықтық нүктелері болып табылады мен туралы(- 00 , - 1) және ашық-критикалық диапазонның барлық нүктелерін (3, +00) табыңыз.

Vykoristovuyuchi белгісі U (бөлімше белгісі), оны былай жазуға болады: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd былай жазуға болады: x< - 1; х > 3.

б) Біркелкі емес x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: кестех осінен төмен таралу, яксо -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Біркелкі емес x 2 - 2x - 3 > 0 біркелкі емес деп есептеледі x 2 - 2x - 3 > 0, сондықтан түбірлерді туралау x 2 - 2x - 3 = 0, содан кейін x = -1 нүктелерін қосу керек.

і x \u003d 3. Бұл ретпен берілген шешімдер толығымен біркелкі емес және барлық өзгеру нүктелері (-00, - 1], сондай-ақ мұртты өзгерту нүктелері.

Практикалық математиктер былай естіледі: navіscho us, viruyuchi nerіvnіst ах 2 + bх + с > 0, дәл квадраттық функцияның парабола графигі болу үшін

y \u003d ax 2 + bx + c (ол 1 бөксесінде қалай сынған)? Кішкентай сызбаны аяқтау тамыршаршы үшмүшесінің (параболаның көлденең өзегінің нүктелері z vіssy х) және параболаның инелерінің түзетілуі жоғары төмен орналасқанын білдіреді. Бұл нобай кішкентай сізге rozv'yazannya жүйке бұлт береді.

бөксе 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Шешім.

1) Біз квадрат үшмүшесінің түбірін білеміз - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Парабола, y \u003d -2x 2 + Zx + 9 функциясының графигі сияқты, барлық x нүктелерін 3 i - 1,5 нүктелерінде жылжытады және параболаның түйреуіштері төмен қарай түзетіледі, үлкендері коэффициент- Теріс сан - 2. Суретте. Кішкентай графиканың 118 көрінісі.

3) Vikoristovuyuchi күріш. 118, робимо висновок: у< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Ұсыныс: x< -1,5; х > 3.

3-мысал. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Шешім.

1) Z тең 4x 2 - 4x + 1 = 0 белгілі.

2) Шаршы үшмүшенің бір түбірі бар; tse оның парабола екенін білдіреді, квадрат үшмүшенің графигі сияқты, барлық х өзгермейді, бірақ нүктелерде тұр. Параболалардың бастары төбеге қарай түзу (Cурет 119.)

3) Қосымша геометриялық модель үшін, ол суретте көрсетілген. 119, біркелкі еместік тек нүктелермен белгіленетіні, графиктің ординатасының барлық басқа мәндерінде масштабтау оң болатыны анықталды.
Ұсыныс: .
Сіз, ән айтыңыз, 1, 2, 3 бөкселерінде тұтас ән болғанын еске түсірдіңіз. алгоритм rozv'yazannya шаршы бұзушылықтар, ресми його.

ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c) квадраттық бұрмалауды шығару алгоритмі< 0)

Бірінші кезеңде алгоритм үшмүшелік квадраттың түбірін білуі керек. Бірақ тамырды бұзу мүмкін емес, неге жұмыс істеу керек? Содан кейін алгоритм zastosovuetsya емес, содан кейін, ол бәрібір оны сақтауға қажет. Цих миркуванның кілті - осындай теоремалар беру.

Басқаша айтқанда, Д< 0, а >0, онда балта 2 + bx + c > 0 біркелкі еместігі барлық х үшін жеңеді; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Дәлелдеу. Кесте функциялары y \u003d ax 2 + bx + c є парабола, инелер тік көтеріледі (скалярлар a\u003e 0) және yak барлық x-ті өзгертпейді, өйткені квадрат үшмүшесінде ақыл-ойдың түбірі жоқ. График күріште көрсетілген. 120. Бачимо, бұл барлық x кезінде кеңейтулер кестесі х осінен жоғары, бірақ tse барлық x-те аяқталуы керек болатын тегіссіздік ax 2 + bx + c > 0 екенін білдіреді.

Басқаша айтқанда, Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 шешімі жоқ.

Дәлелдеу. y \u003d ax 2 + bx + c функциясының графигі< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

бөксе 4. Виришити жүйкесі:

а) 2х 2 - х + 4> 0; б) -х 2 + Zx - 8> 0.

а) 2x 2 - x + 4 шаршы үшмүшесінің дискриминантын білеміз. Мамыр D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Үшмүшенің үлкен коэффициенті (2 саны) оң.

Сонымен, 1-теорема үшін барлық х үшін 2x 2 - x + 4> 0 біркелкі еместігі еңсеріледі, осылайша барлығы (-00 + 00) берілген біркелкісіздіктің шешімі ретінде қызмет етеді.

б) Біз квадрат үшмүшесінің дискриминантын білеміз - x 2 + Zx - 8. Мамыр D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Жарамдылық мерзімі: a) (-00 + 00); б) шешімі жоқ.

Шабуылдық бөкседе біз шаршы бұзушылықтарды ашу кезінде zastosovetsya миринг тағы бір жолын білеміз.

5-мысал. Virishity nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Шешім. 3x 2 - 10x + 3 үшмүшелігін көбейткіштерге кеңейтеміз. Ө саны 3 i үшмүшесінің түбірлеріне ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) үдету арқылы біз 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) аламыз. 3) (x - )
Үшмүшенің сандық тура түбірінде айтарлықтай: 3 i (122-сурет).

x> 3 болсын; онда x-3>0 і x->0, онда, i қосымша 3(x - 3)(x - ) оң болады. Кел, кел< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Сондай-ақ, dobutok 3(x-3)(x-) теріс. Кел, кел, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) оң.

Қорытындылай келе, біз висновкаға келдік: Zx 2 - 10x + 3 квадрат үшмүшесінің белгілері суретте көрсетілгендей өзгереді. 122. Бізді шақыру керек, кейбір квадрат үшмүшелері үшін ол теріс мәндерді қабылдайды. 3 сур. 122 robimo visnovok: квадрат үшмүшелік 3x 2 - 10x + 3 (, 3) интервалындағы x-тің кез келген мәні үшін теріс мәндер
Видповид (, 3), әйтпесе< х < 3.

Құрмет. Біз 5-бөкте қолданылған шағылыстыру әдісі интервалдар әдісі (немесе интервалдар әдісі) деп аталады. Жеңіс математикада жетілу үшін белсенді түрде жеңеді рационалдыбұзушылықтар. 9-сыныпта интервалдар әдісі толығырақ.

бөксе 6. Параметрдің кез келген мәні үшін p квадрат тең x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
а) екі түрлі түбір бар;

б) бір тамыры бар;

в) maє -root емес пе?

Шешім. Квадрат теңестіру түбірлерінің санын бірінші дискриминант D таңбасына сәйкес табу керек. Бұл жағдайда D = 25 - 4p2 белгілі.

a) Шаршы теңестірудің екі түрлі түбірлері болуы мүмкін, мысалы, D>0, демек, тапсырма 25 - 4p 2 > 0 біркелкі еместігін теңестіру болып табылады. 4r 2 - 25 біркелкі еместігінің теңдігін алып тастаймыз< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

4(p – 2,5) (p + 2,5) виразаның белгілері күріште көрсетілген. 123.

Робимо висновок, ол біркелкі емес 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) шаршы теңестірубір түбір болуы мүмкін, сондықтан D - 0.
Біз көбірек енгіздік, p = 2,5 немесе p = -2,5 үшін D = 0.

Параметрдің цих мәндерімен бірдей тек бір түбірге тең квадрат беріледі.

в) Квадрат D сияқты түбірге тең емес< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Біз 4p 2 - 25 > 0 аламыз; 4 (p-2,5) (p + 2,5) > 0, жұлдыздар (бөлім. 123-сурет) б< -2,5; р >2.5. Берілген параметрдің цих мәндерімен квадраттың түбірі болмайды.

Видповид: a) p(-2,5, 2,5);

б) p = 2,5 abor = -2,5 кезінде;
в) r кезінде< - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А.Г., Алгебра. 8-сынып: Навч. zagalnosvіt үшін. орнату - 3-ші көрініс., Doopratsyuvannya. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 б.: ил.

Мектеп оқушысына көмек онлайн, Математика 8 сынып скачать, күнтізбелік-тақырыптық жоспарлау

Сызықтық сәйкессіздіктер деп аталадыбелгісіз шамадағы осындай сызықтық функциялардың сол және оң бөлігі. Олардың алдында, мысалы, жүйкені көруге болады:

2х-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Сувори біркелкі еместігі: ax+b>0немесе балта+б<0

2) Қатаң емес бұзушылықтар: ax+b≤0немесе балта+б≫ 0

Қарап көрейік. Параллелограмның бір қабырғасы 7см болады. Параллелограммның периметрі 44 см-ден үлкен болатындай, екінші қабырғасының ұзындығы қандай болуы мүмкін?

Қордың шукана жағына келіңіз XБұл жолы параллелограммның периметрі кескіндерге ие болады (14 + 2x) Қараңыз Бірқалыптылық 14 + 2x > 44 є математикалық модельПараллелограмның периметрі туралы есеп. Осы біркелкі емес сияқты, өзгерісті ауыстырыңыз Xбойынша, мысалы, 16 саны, содан кейін біз дұрыс сандық теңсіздікті қабылдаймыз 14 + 32\u003e 44. Бұл жағдайда 16 саны 14 + 2x\u003e 44 арасындағы айырмашылықпен бірдей сияқты.

Розвязаням жүйкедұрыс сандық біркелкі емес, солардың аңы сияқты өзгерістің мағынасын ата.

Отже, 15,1 сандарынан тері; 20;73 rozvyazkoy біркелкі емес әрекет 14 + 2x> 44, және саны 10, мысалы, бірдей rozvyazky емес.

Virishiti nerіvnіstбарлық шешімдерді орнатуды немесе шешімнің жоқтығын жеткізуді білдіреді.

біркелкі емес rozv'yazannya тұжырымдау теңестіру түбір формулалық ұқсас. Десе де, «жүйкенің тамырын» белгілеу әдетке жатпайды.

Сандық эквиваленттіліктің үстемдігі виришувати эквивалентімен толықтырылды. Сонымен, сандық сәйкессіздіктердің күші сәйкессіздіктерді жеңуге көмектеседі.

Виришуючи эквиваленттілігі, біз yogo іnhim өзгертеміз, біз эквивалентті көбірек кешіреміз, бірақ берілгенге тең болса да. Мұндай схеманың артында салдары мен сәйкессіздіктері белгілі. Теңдеуді оған тең өзгерту кезінде теңестіру тең ұзындықтың бір бөлігінен қосындыларды көшіру және теңнің екі бөлігін нөлмен бірдей санға көбейту туралы теоремамен расталады. rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdminnіst yogo z іvnyannіm жағдайда, шешім іvіnnіnіnі тек vihіdnіnіnіnіa орнату арқылы дұрыс түсінбеуге болады ма деп дауласып Як. Бұзушылықтар күн сайын осылай болады, сондықтан оларға жеке емес шешімді ұсыну мүмкін емес. Ол үшін көрсеткілердің осін түсіну маңызды<=>- эквиваленттің це белгісі, хи тең, түрлендіру. Трансформация деп аталады тең,немесе эквивалентиіс пендесіз шешімді өзгертпейтін сияқты.

rozv'yazannya тітіркенуі үшін ұқсас ережелер.

Бірдеңені біркелкі еместің бір бөлігінен екіншісіне жылжыту керек сияқты, белгіні қарама-қарсысына ауыстырып, біз берілгенге тең біркелкілікті алып тастаймыз.

Егер сіз нервоздықтың ренжітетін бөліктерін бірдей оң санға көбейтсеңіз (бөлсеңіз), онда берілгенге эквивалентті теңсіздікті алып тастаймыз.

Егер біркелкісіздіктің белгісін ұзартумен ауыстырып, бірдей теріс санға біркелкіліктің ренжітетін бөліктерін көбейтсек (бөлсек), онда берілгенге тең теңсіздікті алып тастаймыз.

Використовючи Ци ережелертөменгі тітіркендіргіштігін санау.

1) Сәйкессіздікті қарастырайық 2x - 5 > 9.

Це сызықтық біркелкі емес, біз його шешімін және талқылайтын негізгі түсінікті білеміз.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 қарама-қарсы белгімен сол жақ бөлікке жылжыды), содан кейін олар бәрін 2-ге бөлді және мүмкін x > 7. Біз бәріне бай шешімді қолданамыз x

Біз оң директиваларды алып тастадық. Елеулі тұлғалық емес шешім немесе жүйке күйзелісі ретінде x > 7, немесе x(7; ∞) интервалы ретінде. Ал нервоздық туралы жеке шешімдер туралы не деуге болады? Мысалға, x=10- tse жеке vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- бұл да жүйкенің жеке нұсқасы.

Жеке шешімдер көп, бірақ біздің міндетіміз барлық шешімдерді білу. Ал шешім, әдетте, тұлғалық емес.

Розберемо бөксе 2:

2) Нервтерді жою 4a - 11 > a + 13.

Виришима йогасы: бірақбір тұмсықпен қозғалайық, 11 келесі кітапқа көшіңіз, 3а алыңыз< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 жүйкеленуі көрінуі мүмкін а<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .

Теж тұлғасыз сияқты а< 8 , бірақ қазірдің өзінде осьте бірақ.

Видповид немесе жүйке сияқты жазу а< 8, либо бірақ(-∞;8), 8 қосылмаған.

Сіздің жеке өміріңіз біз үшін маңызды. Сіздің ақпаратыңызды жинағандықтан, біз сипатталғандай себептерге байланысты Құпиялылық саясатын кеңейттік. Мейірімді болыңыз, құпиялылық саясатымызды оқып шығыңыз және тағамға қатысты сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Таңдалған жеке ақпаратты таңдау

Жеке ақпараттың астында әнші жеке тұлғаны анықтау және онымен байланыстыру үшін жеңіске жетуге болатындығы туралы деректер келтірілген.

Бізбен хабарлассаңыз, сізден жеке ақпарат сұралуы мүмкін.

Төменде жеке ақпарат түрлерінің кейбір мысалдары бар, біз таңдай аламыз және біз осындай ақпаратты таңдай аламыз.

Жеке ақпаратты қалай жинаймыз:

• Егер сіз сайтта өтініш жіберсеңіз, біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде аты-жөніңізді, телефон нөміріңізді, мекен-жайыңызды жинай аламыз электрондық поштажәне т.б.

Жеке ақпаратыңызды қалай жинаймыз:

• Біз жинаған жеке ақпарат бізге сізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқалар туралы айтып беруге, баруға және ең жақындарын табуға мүмкіндік береді.
• Маңызды еске салғыштар мен еске салғыштарды күшейту үшін мезгіл-мезгіл біз сіздің жеке ақпаратыңызды використовуват жасай аламыз.
• Біз сондай-ақ қызметтерді жақсарту әдісімен аудит, деректерді және басқа жазбаларды талдау сияқты ішкі мақсаттар үшін жеке ақпаратты жинай аламыз, бұл біздің қызметтерді ұсыну арқылы сізге беріледі деп үміттенеміз.
• Сіз ұтыс ойынына, жарыстарға немесе соған ұқсас ынталандырушы жазбаларға қатысқаныңызда, біз осындай бағдарламаларды басқару үшін ақпаратты ұтып аламыз деп үміттенеміз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сіздің ақпаратыңызды үшінші тұлғаларға ашпаймыз.

Винятки:

• Бұл қажет - заңға, сот тәртібіне, сот сараптамасына сәйкес және/немесе қоғамдық сұраулар немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың сұраулары негізінде - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Біз сондай-ақ сіз туралы ақпаратты, одан да маңыздысы, мұндай ашу қауіпсіздік, заңдылық пен тәртіпті сақтау немесе басқа маңызды vipadkiv үшін қажет немесе сәйкес келетінін аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, ауырлату немесе сату кезінде біз жинаған жеке ақпаратты, үшінші тұлға - құқық бұзушыға бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғаушы

Біз шетелде тұрамыз, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық - сіздің жеке ақпаратыңызды қалдықтар, ұрлық және жосықсыз vikoristannya түріндегі қорғау, сондай-ақ рұқсатсыз қол жеткізу, ашу, сол бұзушылықты өзгерту.

Бірдей компанияда құпиялылықты сақтау

Жеке ақпаратыңызды қауіпсіз сақтау үшін жеке ақпаратыңызды өзгерту үшін біз контактілерімізге құпиялылық пен қауіпсіздік нормаларын жеткіземіз және құпиялылық ережелерін қатаң сақтаймыз.

Бүгін, достар, күнделікті тоқырау мен сезім болмайды. Олардың орнына мен сені 8-9 сынып алгебра курсындағы ең нашар қарсыластардың бірін жеңу үшін ешқандай күшсіз бағыттаймын.

Сонымен, сіз бәрін дұрыс түсіндіңіз: модульмен сәйкессіздіктер туралы өтіңіз. Кейбір негізгі принциптерді қарастырайық, олардың көмегімен сіз осындай тапсырмалардың 90% -на жуығын жеңуді үйренесіз. Ал 10% reshtoyu туралы не деуге болады? Жақсы, біз олар туралы жақсы сабақта сөйлесеміз.

Дегенмен, бұған дейін оны қалай қабылдауға болатынын анықтау үшін мен білу қажет екі фактіні болжағым келеді. Әйтпесе, бүгінгі сабақтың материалы бойынша біліміңізді тексересіз.

Нені білу керек

Модульге сәйкессіздіктерді жою үшін екі сөзді білу керек екені анық:

1. Нервтердің қозуы;
2. Модуль дегеніміз не?

Басқа нүктеден бастайық.

Модульдің қызметі

Мұнда бәрі қарапайым. Є екі функция: алгебралық және графикалық. Коб - алгебралық үшін:

Кездесу. $x$ санының модулі не санның өзі, өйткені ол маған көрінбейді, не басқа $x$ сияқты сізге қарама-қарсы сан әлі де теріс.

Оны былай жазыңыз:

\[\сол| x \right|=\left\( \бастау(туралау) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\соңы(туралау) \оңға.\]

Қарапайым тілмен айтқанда, модуль «минуссыз сан». Мен өзі осы дуализм (мұнда, соңғы саннан бастап, ештеңе жұмыс істеуге қажет, бірақ мұнда ол минус сол жерде теріп жүреді) және мен студенттер-pochatkivtsiv үшін барлық бүктеу пайдаланады.

Көбірек геометриялық дизайн. Білу де жақсы, бірақ біз жаңасына жиналмалы және тіпті ерекше тәсілдермен өту ықтималдығы аз болмақ, алгебралық геометриялық пидхід сәтті болады (спойлер: бүгін емес).

Кездесу. Сан түзуінде $a$ нүктесі белгіленсін. Сол модуль $ \ қалды | x-a \right|$ осы түзудің $x$ нүктесінен $a$ нүктесіне дейін шақырылады.

Егер сіз суретті кесіп өткіңіз келсе, оны kshtalt tsogo-да көре аласыз:

Модульдің графикалық дизайны

Сонымен, модульдің тағайындалуынан бірден негізгі қуатты көреді: санның модулі әрқашан шамаға тең. Бұл факт біздің бүгінгі әңгімеміздің барлығынан өту үшін қызыл жіп болады.

Virishennya nerіvnosti. Интервал әдісі

Енді нервтену жағын қарастырайық. Їхісує жеке тұлға емес, бірақ біздің міндет бірден виришуватиді өлтіру, олардың ең қарапайымы болғысы келеді. Tі, scho zvoditsya сызықтық бұзушылықтарға, және аралықтардың navіt әдісі.

Бұл тақырып бойынша менде екі керемет сабақ бар (mіzh incim, more, more қоңыр - мен vivchiti ұсынамын):

1. Бұзушылықтар үшін интервал әдісі (әсіресе бейнені қараңыз);
2. Бөлшек-рационалды сәйкессіздіктер - тіпті жалпы сабақ, бірақ содан кейін сіз тамаққа тоймайсыз.

Егер сіз бәрін білсеңіз, егер «біркелкі еместен теңдікке көшейік» деген тіркес қабырғаға өзіңізді өлтіруден қатты шаршаған сияқты болмаса, онда сіз дайынсыз: сізден негізгі сабаққа дейін тозаққа өтуіңізді сұраймыз. . :)

1. «Функциядан аз модуль» ақыл-ойының дұрыс еместігі.

Бұл модульдермен ең ауқымды тапсырмалардың бірі. Ақыл-ойдың біркелкі еместігін жеңу керек:

\[\сол| f\right| \ltg\]

$f$ және $g$ функцияларының рөлі полиномдар болуы мүмкін. Мұндай сәйкессіздіктерді қолданыңыз:

\[\бастау(туралау) & \left| 2x+3\оңға| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\сол| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\соңы(туралау)\]

Барлық иістер схеманың артында бір қатарда орналасқан:

\[\сол| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g\quad \сол(\Оң жақ көрсеткі \сол\( \бастау(туралау) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\соңы(туралау) \right.\right)\]

Модульдің сақталмауы маңызды емес, бірақ біз негізгі сәйкессіздікті алып тастай аламыз (әйтпесе, бірдей, екі сәйкессіздік жүйесі). Prote cey трансфер vrakhovu мүлдем бәрін мүмкін проблемалар: модуль астындағы сан оң болса, әдіс жұмыс істейді; аксчо теріс - бәрі бірдей тәжірибе; Ал үй $f$ chi $g$ әдісінің ең жеткіліксіз функциясы үшін navit бәрі бірдей жұмыс.

Әлбетте, тамақты кінәлаңыз: бұл қарапайым болуы мүмкін емес пе? Өкінішке орай, бұл мүмкін емес. Кімде модульдің барлық мүмкіндігі бар.

Vtіm, философиялауды ұстаныңыз. Күннің шырағын айтайық:

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| 2x+3\оңға| \ltx+7\]

Шешім. Сондай-ақ, біздің алдымызда классикалық nerіvnіst ақыл «кіші модуль» болып табылады - ештеңені қайта жасау. Алгоритмге жаттығу:

\[\бастау(туралау) & \left| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\оңға| \lt x+7\Оң жақ көрсеткі -\сол(x+7 \оң) \lt 2x+3 \lt x+7 \\соңы(туралау)\]

Арқаларды ашуға асықпаңыз, оның алдында «минус» бар: мүмкіндігінше, асығыстық арқылы сіз бейнелі кешірімге ие боласыз.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\left\( \бастау(туралау) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

Тапсырма екі элементарлық бұзушылыққа дейін болды. Параллель сандық түзулерде айтарлықтай їх virіshennia:

Перетин көптігі

Перетин цих көбейіп, анық болады.

Сәйкестік: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Шешім. Тапсырыс әлдеқашан бүктелген. Коб үшін біз басқа қосымшаны оңға ауыстыра отырып, модульді қолданамыз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \lt -3\сол(x+1 \оң)\]

Әлбетте, біз «кішірек модуль» пішінінің жаңа біркелкі еместігіне тап болдық, сондықтан біз модульге бұрыннан бар алгоритмге рұқсат береміз:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \оң)\]

Жұқпалы құрмет осі: мен сізге айтайын, мен бұғауланған мұртпын. Але, мен біздің негізгі мета не екенін тағы да болжаймын сауатты virishiti nerіvnіst және otrimati vіdpovіd. Кейінірек, егер сіз осы сабақта ашылған барлық нәрсені мұқият меңгерген болсаңыз, өзіңізді қалағаныңызша бұра аласыз: қолды ашыңыз, минустарды қосыңыз және т.б.

Ал біз үшін, коб үшін, біз жай ғана зұлымдықтың минусына оянамыз:

\[-\сол(-3\сол(x+1 \оң) \оң)=\сол(-1 \оң)\cdot \left(-3 \оң)\cdot \сол(x+1 \оң) =3\сол(x+1\оң)\]

Енді нервтердің астындағы барлық доғалар ашылды:

Метроның жүйкесіне көшейік. Бұл жолы қойындылар маңыздырақ болады:

\[\left\( \begin(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\left\( \begin(туралау) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( туралау)\оңға.\]

Біркелкі емес құқық бұзушылықтар квадраттық және интервалдар әдісімен бұзылады (бірақ мен сізге айтайын: сіз оның не екенін білмейсіз, керісінше, модульдерді әлі қабылдамаңыз). Бірінші біркелкілікке көшейік:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\сол(x+5\оң)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\соңы(туралау)\]

Бахимо сияқты, шығу кезінде ол қарапайым емес, біркелкі болды. Енді жүйенің тағы бір нервтілігін қарастырайық. Мұнда Вьетнамның теоремасы zastosuvat болады:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\соңы(туралау)\]

Екі параллель түзудегі сандарды айтарлықтай алып тастаңыз (бірінші тегіссіздік үшін окрема және екіншісі үшін окрема):

Мен сенімдімін, бізбен бірге бұзушылықтар жүйесін ыдыратып, біз көлеңкелеу көбейткіштерінің жолдарын қайталайтын боламыз: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.

Сәйкестік: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Менің ойымша, оларды қолданғаннан кейін шешімнің схемасы шекаралық мағынаға ие болды:

1. Барлық басқа толықтыруларды біркелкіліктің негізгі бөлігіне ауыстыра отырып, модульді игеріңіз. Осылайша, біз $\left| ақыл-ойының сәйкессіздігін ескереміз f\right| \ltg$.
2. Виришити tsyu nerіvnіst, жоғарыда сипатталған схема үшін модульді аямады. Белгілі бір уақытта субварианттық жүйкеліктен терісін толығымен қалпына келтіруге болатын екі тәуелсіз вирустар жүйесіне көшу керек.
3. Нарешті, осы екі тәуелсіз буынның шешімінен айыру - және біз алып тастағанның бәрі қалдық.

Ұқсас алгоритм, егер модуль функциядан үлкен болса, қорлау түріндегі кедір-бұдырлар үшін қолданылады. Дегенмен, елеулі «але» бұтағы бар. Бірден qi «ale» туралы сөйлесейік.

2. «Модуль – функциядан артық» ақыл-ойдың дұрыс еместігі.

Олар келесідей көрінеді:

\[\сол| f\right| \gt g\]

Алдыңғы жағына ұқсайды ма? ұқсайды. Проте vyrishyuyutsya сондықтан басқа жолмен zavdannya zovsыm. Ресми түрде схема келеді:

\[\сол| f\right| \gt g\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(туралау) \оңға.\]

Басқаша айтқанда, біз екі нүктені көре аламыз:

1. Екінші жағынан, жай ғана модульді елемеу - virishhuєmo қалыпты сәйкессіздік;
2. 3-модульді минус таңбасымен кеңейтейік, содан кейін біркелкіліктің бұзылатын бөлігін −1-ге көбейтеміз, бұл белгіден аз.

Бұл нұсқада оларда төртбұрышты садақ, тобто бар. екінің некесі болуы мүмкін.

Қайта құрмет: біз жүйенің алдында емеспіз, бірақ сукупнист, vіdpovіdі жеке тұлғаларда олар біріктіреді, бірақ өзгермейді. Алдыңғы нүктені көру маңызды!

Vzagali, z ob'ednannymi және peretina at rich uchnіv sutsіlna plutanina, оны tsommu тамақтануында қайта-қайта сұрыптайық:

• «∪» - ob'ednannya белгісі болып табылады. Шындығында, «U» әрпі бізге жеткендей стильдендірілген ағылшынша фильмє «Одақ», tobto сияқты аббревиатура. «Одақ».
• "∩" - жолдың белгісі. Дыбыс шықпады, бірақ «∪» алдында жазылғандай винил.

Есте сақтауды жеңілдету үшін, келихтер көрінетіндей етіп, осы белгілерге дейін бояңыз (ось тек нашақорлық пен алкоголизмді насихаттауда мені бірден шақырудың қажеті жоқ: егер сіз барлық сабақты үйренсеңіз, онда сіз қазірдің өзінде есірткіге тәуелді):

Rіznitsya mizh ретином және ob'єdnannyam mnozhin

Орыс тіліндегі tse аудармасында ол мынаны білдіреді: одақ (жабдық) екі жиынтықтан да өз элементтерін қамтиды, яғни теріден кем емес; ал торлы қабық осіне (жүйе) бір мезгілде бірінші көбейткіште, ал екіншісінде болатын элементтер ғана кіреді. Сондықтан бірнеше демалыстың еселігі жоқ.

Бұл ақылға қонымдырақ болды ма? Менен жақсы. Жаттығуға көшейік.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\]

Шешім. Схема үшін диемо:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\Оң жақ көрсеткі \сол[ \бастау(туралау) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \оң) \\соңы(туралау) \ оң .\]

Virishuemo тері nerіvnіnі suupnostі:

\[\left[ \begin(туралау) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

Айтайын дегенім, мен теріні сан сызығына көбейтемін, содан кейін оларды біріктіреміз:

Көбейткіштердің қосындысы

$x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ екені анық.

Ұсыныс: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gtx\]

Шешім. Ал, не? Бұл ештеңе - бәрі бірдей. Екі тегіссіздікті біріктіру үшін модуль арқылы біркелкілікке өтейік:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Ол терінің тітіркенуін жояды. Өкінішке орай, тамыр енді ол жерде болмайды.

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\соңы(туралау)\]

Басқа нервоздықтың да ойын түрі бар:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\соңы(туралау)\]

Енді сіз екі осьтегі сандарды есептеуіңіз керек - терінің біркелкі еместігі үшін бір ось. Дегенмен, нүктелерді дұрыс ретпен белгілеу қажет: сан неғұрлым көп болса, нүкте соғұрлым оңға жылжытылды.

І осі бізді тексереді. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ барлығы түсінікті ) , сондықтан қосынды да аз) , $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ сандарымен теріс саннан үлкен), содан кейін қалғандарымен жұп, бәрі соншалықты анық емес. Қайсысы үлкен: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ немесе $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme і, vlasne, vіdpovіd сандық сызықтардағы нүктелерді реттеу.

Ендеше қарастырайық:

\[\бастау(матрица) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\соңы(матрица)\]

Біз түбірді растадық, біркелкі емес екі жағынан теріс сандарды алып тастадық, сондықтан біз бұзылған жақтарды шаршылауға құқылымыз:

\[\begin(матрица) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \оң))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(матрица)\]

Мен $4\sqrt(13) \gt 3$, $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) екенін түсіндім деп ойлаймын. $, осьтердегі қалған нүктелер келесідей орналасады:

Ұсқынсыз тамырдың випадокасы

Менің болжауымша, біз сукупністі көреміз, сондықтан көлеңкелі еселіктерді өзгерту емес, буын болуы керек.

Жауап: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\right)$

Бахит сияқты, біздің схема қарапайым тапсырмалар үшін де, қиын тапсырмалар үшін де керемет жұмыс істейді. Мұндай адам үшін жалғыз «әлсіз орын» - иррационал сандарды сауатты түрде теңестіру қажеттілігі (және айналдыру: бұл түбірден артық емес). Аля рационға окремиумға (тіпті маңызды сабаққа) арналған болады. Ал кеттік.

3. Көрінбейтін «құйрықтары» бар бұзушылықтар

Біз ең жақсылардан алшақ болдық. Біркелкі емес ақылдың бағасы:

\[\сол| f\right| \gt\left| g\right|\]

Шамасы, біз бірден айтатын алгоритм модуль үшін жақсырақ. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, де lіvoruch мен pravoruє стенд кепілдік nevid'єmnі vrazi:

Бұл тапсырмалардың жұмысы қандай? Тек есте сақтаңыз:

Көрінбейтін «құйрықтары» бар тәртіпсіздіктер табиғи әлемнің бұзылатын бөліктерін тудыруы мүмкін. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya кезінде tsomu vynikne емес.

Біз алдымызда квадратта tsikavitime zvedennya - vіn ұйықтайтын модульдер түбір:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\сол(\sqrt(f) \оң))^(2))=f. \\соңы(туралау)\]

Ось тек квадраттың түбірін алдаудың қажеті жоқ:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\сол| f \right|\ne f\]

Егер сіз модульді орнатуды ұмытуды үйренсеңіз, сол кезде жеке емес кешірім жасауға рұқсат етілді! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі иррационал rіvnyannya), tse бірден zaglyuvatymosya емес. Күннің шпратын нақтырақ көрейік:

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \оңға|\]

Шешім. Тағы да біз екі сөзді құрметтейміз:

1. Tse емес suvora nerіvnіst. Сандық сызықтағы Крапки бұзылады.
2. Сәйкессіздіктің қорлайтын жақтары анық көрінбейді (модульдің күші: $ \ сол жақта | f \ сол жақта (x \ оң) \ оң | \ ge 0 $).

Сондай-ақ, модульден құтылу және аралықтардың ең жақсы әдісін қолданып тапсырманы жою үшін біз біркелкіліктің қорлайтын бөліктерін квадраттай аламыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол(\сол| x+2 \оң| \оң))^(2))\ge ((\left(\сол| 1-2x \оң| \оң)) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\соңы(туралау)\]

Қалған кезеңде мен аздап алдадым: толықтырулар тізбегін өзгерту, модульдің паритетін қысқарту (шын мәнінде $1-2x$ -1-ге көбейту).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(туралау)\]

Виришуемо интервалдар әдісі бойынша. Біркелкі еместен туралауға көшейік:

\[\бастау(туралау) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\соңы(туралау)\]

Шамасы, түбір сан қатарында кездеседі. Тағы бір рет: мұртты фарбовани дақтары, жүйке сынықтары - Сувора емес!

Модуль белгісіне сәйкес Zvіlnennya

Әсіресе ымыраға келмейтіндер үшін болжам: біз бұла теңдікке көшу алдында жазылғандай, қалған біркелкі емес белгілерді аламыз. Мен zafarbovuyemo облысы, yakі сол біркелкі қажет. Біздің випадта $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ бар.

Бәрінен де. Тапсырма аяқталды.

Ұсыныс: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \оңға|\]

Шешім. Робимо бәрібір. Мен түсініктеме бермеймін - әрекеттің реттілігіне таң қалдым.

Шаршы алайық:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \оң| \оң))^(2))\le ((\left(\left) ) ((x)^(2))+3x+4 \оңға| \оңға))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ оң жақ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\соңы(туралау)\]

Интервал әдісі:

\[\бастау(туралау) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Оң жақ көрсеткі x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Оң жақ көрсеткі D=16-40 \lt 0\Оң жақ көрсеткі \varештеңе жоқ. \\соңы(туралау)\]

Сан түзуіндегі бір ғана түбір:

Видповид – цилий интервалы

Ұсыныс: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Бастың қалған бөлігіне құрмет аз. Менің бір шәкіртімді сыйлағандай, бұл қобалжуда қосалқы модульдің қорлауы анық оңды, денсаулыққа зиянсыз модуль белгісін алып тастауға болады.

Ale tse қазірдің өзінде zovsіm іnshiy rіven razdumіv бұл іnshі pіdkhіd yogo ойша nasledkіv әдісі деп атауға болады. Окремоу уроцидегі жаңа туралы. Ал енді бүгінгі сабақтың қорытынды бөліміне көшейік, яғни мәңгілікке жаттығатын әмбебап алгоритм. Навит сонда, егер барлық шабуылшылар дәрменсіз болып шықса.

4. Опцияларды санау әдісі

Неліктен барлық приёми көмектеспейді? Қалайша біркелкі көрінбейтін құйрықтардан туындамайды, модуль қалай енгізілмейді, оны қалай бастауға болады?

Содан кейін барлық математиканың үлкен артиллериясы кезеңге шығады - санау әдісі. Модульдегі жүздеген бұзушылықтар келесідей көрінеді:

1. Барлық pіdmodulnі vrazi жазып, оларды нөлге теңестіріңіз;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya that vіznázchiti znaydenі korenі бір сандық түзу бойынша;
3. Kіlka dіlyanok бойынша тікелей rozіb'єtsya, мұндай былғары модульдің ортасы белгіні түзетуі мүмкін және бұл бір мағыналы rozkriваєєtsya;
4. Virishiti nerіvnіst on kozhnіy мұндай dilyanci (сіз үстемдік үшін 2-тармақта түбір-кордони, otrimani қарауға болады). Бірлестік нәтижелері - tse i bude vіdpovіd.

Жақсы ма? Әлсіз бе? Оңай! Ұзақ уақытқа. Іс жүзінде қарастырайық:

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\сол| x+2 \оң| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шешім. Tsya Crap тітіркендіргіш алуға емес $ \ қалды | f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ немесе $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, бәрі дұрыс.

Біз субмодульдік вирустарды жазамыз, оларды нөлге теңестіреміз және түбірін білеміз:

\[\бастау(туралау) & x+2=0\Оң жақ көрсеткі x=-2; \& x-1=0\Оң жақ көрсеткі x=1. \\соңы(туралау)\]

Бірге бізде екі түбір бар, олар сандарды үш сюжетке бөледі, осы мұқабалардың ортасында модуль бір мәнді түрде ашылады:

Сандық жолды субмодульдік функциялардың нөлдеріне бөлу

Тері okremo қарайық.

1. $x \lt -2$ беріңіз. Тоди қорлайды pіdmodulnі virazi теріс, мен vihіdna nerіvnіst осылай қайта жазамын:

\[\бастау(туралау) & -\сол(x+2 \оң) \lt -\left(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\соңы(туралау)\]

Zdobuli dosit жай ғана obmezhennya. $x \lt -2$ қалған жеңілдіктермен йоганы жылжытайық:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varештеңеде \]

$x$ өзгерту бір түнде -2-ден кем емес, 1,5-тен көп болуы мүмкін емес екені анық. Бұл бизнестің шешімі жоқ.

1.1. Окремо кордонға жақын випадокқа $x=-2$ қараңыз. Келіңіздер, бұл санды сәйкессіздік болмаған кезде елестетіп көрейік және дәлелді түрде: ол неге жеңіске жетті?

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \сол| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varештеңе. \\соңы(туралау)\]

Тіл маманы бізді адам сенгісіз біркелкілікке дейін алдап жібергені анық. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh қате, і $x=-2$ vіdpovіd кірмейді.

2. Енді $-2 \lt x \lt 1$ беріңіз. Кітапхана модулі плюспен әзірленуде, бірақ оң жақта әлі де минус бар. Маэмо:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\соңы(туралау)\]

Мен оны викидной вимогоймен жаңадан өзгертемін:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varештеңеде \]

Мен бос тұлғасыз шешімді жаңартамын, бір уақытта -2,5-тен аз және -2-ден жоғары мұндай сандардың сынықтары жоқ.

2.1. Мен okremy vipadok жаңартамын: $ x = 1 $. Шығу біркелкі емес деп елестетейік:

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=1)) \\ & \left| 3\оңға| \lt\left| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varештеңе. \\соңы(туралау)\]

Алдыңғы «жеке тамшыға» ұқсас $x=1$ саны түсуге қосылмаған.

3. Қалған бөлік түзу: $x \gt 1$. Мұнда барлық модульдер плюс белгісімен иілген:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \соңында(туралау)\ ]

Мен сыртқы алмасулардың көптігін қайта қарастырамын:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\солға(4,5;+\infty) \right)\]

Ал, түсін! Біз интервалды білдік, ол povіddu болады.

Ұсыныс: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Насамкинец - бір құрмет, өйткені нақты міндеттер орындалған кезде сізді жаман кешірімдерден құтқарады:

Virishennya nerіvіvnosti z модульдері zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Оқшауланған нүктелер баяу түседі. Ерітінділер арасында (kіnets vіdrіzka) талданатын диапазонның шегінен шығуы үшін тұзаққа түсу ықтималдығы жоғары.

Содан бері кордондар (бұл «жеке випадкилердің» өздері) күзетшілерге кірмейтін сияқты, содан кейін майже, ән айтып, күзетшілер мен зұлымдық аймағына бармайды - бұл кордондарға кіру құқығы. І navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh vіdpovіdyami болады.

Егер сіз шешіміңізді өзгертсеңіз, бұл туралы есте сақтаңыз.

Ал жалпы obsyazy бүгінгі ұтымды сәйкессіздіктер кері қайтарылуы мүмкін. Дәлірек айтқанда, әр адам ғана виришувация жасай алмайды. Аз адам жұмыс істей алады.
Кличко

Цей сабағы қиын болады. Едендер қатты, сондықтан йога аяқталмай тұрып, ол Вибранға қарағанда аз. Ол үшін кітап оқудан бұрын әйелдердің, ішектердің, әйелдердің балаларының және ... экрандарын тазалауды ұсынамын.

Бұл гаразд, шынымен де бәрі қарапайым. Мүмкін сіз интервалдар әдісін игерген шығарсыз (бірақ сіз оны игерген жоқсыз - айналдыруды және оқуды ұсынамын) және $P\left(x \right) \gt 0$, де пішінінің біркелкі еместігін жеңуді үйрендіңіз. $P\left(x \right)$ бай мүшесі немесе қосымша бай мүшесі.

Мен сізге ән айту маңызды емес екенін құрметтеймін, мысалы, мұндай ойынның осі (сөйлемес бұрын, оны қыздыру үшін көріңіз):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(туралау)\]

Енді трохтар жиналмалы және біз тек бай терминдерді ғана емес, сонымен қатар ақыл-ойдың ұтымды бөліктерінің атауларын да қарастыра аламыз:

мұндағы $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ өзі $((a)_(n))((x)^(n))+( пішінінің бай шарттары. ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ немесе осындай бай терминдер көп.

Tse i bude ұтымды nerіvnіst. Маңызды сәт - баннерменде $x$ өзгерісінің болуы. Мысалы, рационал біркелкі емес осі:

\[\бастау(туралау) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \оң))\ge 0. \\\соңы(туралау)\]

Ал tse ұтымды емес, zvichaynisinka nerіvnіst, өйткені ол интервалдар әдісімен бұзылады:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Алға қарай секіре отырып, мен сізге дәл қазір айтамын: ұтымды сәйкессіздіктермен күресудің кем дегенде екі жолы бар, бірақ бізге бұрыннан белгілі интервалдар әдісіне дейін жұмыс істеуге болады. Ол үшін, ең алдымен, жолдарын анықтап алайық, ескі фактілерді болжаймыз, әйтпесе жаңа материалдың еш пайдасы болмайды.

Нені білу керек

Маңызды фактілер көп емес. Дұрыс, бізге chotiri азырақ қажет.

Қысқартылған формулалар

Сонымен, сондықтан: иіс бізге shkіlnoї математика бағдарламасы protyag бізге pereslіduvaty болады. Мен де университетте. Біз формулаларды көп аяқтауымыз керек, бірақ бізге бұдан артық қажет емес:

\[\бастау(туралау) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \оңға))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\оң жақ); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+(b)^( 2 )))\оңға). \\ \соңы(туралау)\]

Қалған екі формулаға құрмет көрсетіңіз - қосындының қосындысы мен текшелердің айырмасы (және бөлшек сауда сомасының қосындысы емес!). Есте сақтау оңай, бірінші доғаның белгісі сыртқы virazі zbіgaєtsya zі белгісі, ал басқа қарама-қарсы белгіде сыртқы virazu екенін есте сақтау оңай.

Сызықтық туралау

Ең қарапайымы $ax+b=0$ пішініне тең, мұнда $a$ және $b$ тең бүтін сандар, сонымен қатар $a\ne 0$. Мұндай эквиваленттілік жай ғана кері болады:

\[\бастау(туралау) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \соңы(туралау)\]

Мен $a\ne 0$ болса да, $a$ коэффициентіне бөлуге құқығым бар екенін тағайындаймын. Tsya vomoga толығымен логикалық, $a=0$ үшін сынықтар біз осьті алып тастаймыз:

Біріншіден, кім тең болса, $x$ өзгерісі болмайды. Бұл бентежите біздің кінәміз емес сияқты (бұл біз геометрияда, айталық, тұзаққа түсіп, жиі сауатын сияқтымыз), бірақ бәрібір бізде әлі де сызықтық теңдік жоқ.

Басқа жолмен, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna депозит $b $ коэффициентінен аз. Егер $b$ нөл болса, онда біздің теңестіру $0=0$ болып көрінуі мүмкін. Ця қызғаныш - бұл вирна завжда; әйтпесе, $x$ - бұл сан (дыбысы келесідей: $x\in \mathbb(R)$). Егер $b$ коэффициенті нөлге тең болмаса, онда $b=0$ теңдігі жеңеді, онда. жауап жоқ ($x\in \varnothing$ жазылды және «бос шешім бос» деп оқыңыз).

Барлық осы қатпарлардан құтылу үшін $a\ne 0$ алыңыз, сонда антрохтар бізді алыс ойлармен қоршап алмайды.

Шаршы туралау

Мен шаршы ось қалай аталатынын болжай аламын:

Мұнда леворуч тағы бір қадамның бай термині болып табылады, оның үстіне мен $a\ne 0$ өзгертемін (және енді квадрат теңестірудің орнына біз оны сызықтық түрде қабылдаймыз). Virishuyutsya сондықтан дискриминант арқылы rivnyannya:

1. $D \gt 0$ сияқты, біз екі түрлі түбір аламыз;
2. Егер $ D = $ 0 болса, онда бір түбір, және басқа еселік болады (көптік құны қандай және өмірдің үш трохиін қалай сақтандыру керек). Немесе екі бірдей түбір бар деуге болады;
3. $D \lt 0$ үшін түбір жоқ, кез келген $x$ үшін $a((x)^(2))+bx+c$ бай мүшесінің белгісі $ коэффициентінің белгісімен ауыстырылады. а$. Бұл, сөздің мағынасында, олар бір сағаттық алгебра сабақтарында rozpo_sti туралы ұмытып кететін факт.

Түбір барлық нәрсе үшін мына формула бойынша құрметтеледі:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, сөйлеу алдында, дискриминант бойынша obmezhennya. Теріс санның adje квадрат түбірі пайдаланылмайды. Бай ғалымдардың тамырының басында мотор ботқасы болғандықтан, мен бүкіл сабақты арнайы жаздым: алгебрадағы түбір дегеніміз не және рахувати қалай - мен тіпті оны оқуды ұсынамын.

Podії z рационал бөлшектер

Жоғарыда жазылғанның барлығын білесіз бе, олар интервал әдісін қолданды. Ал біз бірден талдай алатындардың осі өткенге ұқсас бола алмайды, бұл мүлдем жаңа факт.

Кездесу. Рационалды дріб - tse viraz ақыл

\[\frac(P\left(x \оң))(Q\сол(x \оң))\]

мұндағы $P\left(x \right)$ және $Q\left(x \right)$ - бай терминдер.

Мұндай бөлшектен біркелкілікті жою оңай екені анық - оң жаққа «көп» немесе «аз» белгісін қою жеткілікті. Мен көзге көрінетіндей маған аздап бердім, scho virishuvati сондықтан завдання - біреу қанағаттанды, сонда бәрі қарапайым.

Мәселелер мұндай фракциялардың айқын шпраты болған кезде де басталады. Сіз оларды ұйықтап жатқан баннерге апара аласыз - сонымен бірге көптеген қиялды кешірімдерге рұқсат етіледі.

Сондықтан ұтымды теңдіктерге табысты жету үшін екі дағдыны берік меңгеру қажет:

1. $P\left(x \right)$ бай терминінің факторларға ыдырауы;
2. Власне, ұйықтап жатқан баннерге түсіру.

Көбейткіш сегменттер қалай орналасады? Қарапайым түрі. Бізге ақыл-ой мүшесі бай болсын

Біз йоганы нөлге теңейміз. $n$-ші қадамды теңестіреміз:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Мойындау керек, біз теңдік мәнін бұзып, $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ түбірін алып тастадық (мысқылдамаңыз: үлкен vipadkіv түбірде екіден көп болмайды). Бұл жағдайда біздің өнімге бай терминімізді келесідей қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+(a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =(a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \оң)\cdot \left(x-((x)_(2)) \оң)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \оңға) \соңы(туралау)\]

Барлығынан мен! Абайлаңыз: аға коэффициент $((a)_(n))$ еш жерде жоқ - біз бұғаулардың алдына көбейткішті қосамыз, ал қажет болса, оны s tsikh қаңқалары ма немесе жоқ па ( тәжірибе көрсеткендей, $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ ортаңғы түбір майже завжди є фракцияларымен).

Менеджер. Вираздан сұраңыз:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]

Шешім. Алғаш рет біз баннерлерге таң қалдық: барлық сасық сызықтық биномдар, және көбейткіштерге қоюға ештеңе жоқ. Ендеше сандарды көбейткіштерге салайық:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\сол(x-\frac(3)(2) \оң)\сол(x-1 \оң)=\сол(2x- 3\оң)\сол(x-1\оң); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\сол(x+2 \оң)\сол(x-\frac(2)(5) \оң)=\сол(x +2 \оңға)\солға(2-5x \оңға). \\соңы(туралау)\]

Құрметке жүгіну үшін: басқа бай мүше үшін, біздің схемадағы соңғы сыйымдылық үшін аға коэффициент «2» садақтың алдында артқа қарай еңкейеді, содан кейін біз бірінші садаққа үлес қосамыз, онда сынықтар бұзылды. .

Үшінші бай бөлімде де солай болды, тек қана бүктелген түйіспелердің тағы бір реті бар. Дегенмен, басқа доғаға енгізу нәтижесінде «−5» коэффициенті (есіңізде болсын: көбейткішті тек бір доғаға енгізуге болады!), бұл бізге атылған тамырлармен байланысты сәйкессіздіктерді сақтады.

Бірінші бай мүшеге келетін болсақ, онда бәрі қарапайым: бірінші түбір стандартты түрде дискриминант арқылы немесе Вьетнам теориясы үшін араласады.

Vihіdnogo virazu-ға жүгінейік және көбейткіштерге бөлінген сандармен йогоды қайта жазайық:

\[\бастау(матрица) \frac(\сол(x+5 \оң)\сол(x-4 \оң))(x-4)-\frac(\сол(2x-3 \оң)\сол( x-1 \оңға))(2x-3)-\frac(\сол(x+2 \оң)\сол(2-5x \оң))(x+2)= \\ =\сол(x+5) \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \соңы(матрица)\]

Ұсыныс: $5x+4$.

Бахит сияқты, ештеңе жиналмайды. 7-8 сыныптар үшін математика жеткіліксіз - бәрі осы. Ондағы барлық түрлендірулердің мағынасы полигає, сондықтан бүктеуді және қорқынышты ілуді алып тастау оңайырақ, бұл жаттығуға оңай.

Алия, уайымдама. Ол үшін бірден тапсырмаға байыпты қарай аламыз.

Але, біз оны басынан бөліп аламыз, ұйықтап жатқан баннерге екі бөлшекті қалай жеткізу керек. Алгоритм өте қарапайым:

1. Көбейткіштерге баннерлерді орналастырыңыз;
2. Бірінші баннерді қараңыз және жаңасына басқа баннердегі көбейткіштерді қосыңыз, біріншісін протеңіз. Otrimany tvir ұйықтап жатқан баннер болады;
3. З'ясувати, мұндай көбейткіштер тері оқтарын алмайды, сондықтан баннермендер отқа тең болды.

Мүмкін, бүкіл алгоритм сізге мәтін арқылы, бай жазылған түрде беріледі. Сондықтан біз бәрін нақты мысал бойынша талдаймыз.

Менеджер. Вираздан сұраңыз:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \оң)\cdot \left(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \оңға)\]

Шешім. Мұндай ob'єmnі zavdannya жақсы virishuvati бөліктері. Бірінші аркада тұрғандарды жазамыз:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Vіdminu vіd фронтында zavdannya, мұнда баннермендерден бәрі оңай емес. Оны олардан тері көбейткіштеріне салайық.

$((x)^(2))+2x+4$ шаршы үшмүшені көбейту мүмкін емес, $((x)^(2))+2x+4=0$ тең бөлшектерді түбірлеу мүмкін емес (теріс дискриминант). Біз йоганы өзгеріссіз қалдырамыз.

Тағы бір белгі - текшелік көбейту мүшесі $((x)^(3))-8$ - текшелердің айырмасына қатысты және қысқаша көбейту формулаларына оңай таралады:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \оң)\сол(((x)) ^(2))+2x+4 \оңға)\]

Ештеңені көбейткіштерге бөлуге болмайды, бірінші доғадағы сынықтар сызықтық биномальды тұр, ал екіншісінде - біз нақты түбірлер болмағандықтан конструкцияны қазірдің өзінде білеміз.

Нарешти, үшінші баннер - сызықтық екілік, оны орналастыру мүмкін емес. Бұл дәрежеде біздің қызғанышымыз болашақта көрінеді:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \оң)\сол (((x)^(2))+2x+4 \оң жақ))-\frac(1)(x-2)\]

$\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ортақ бөлгіш болатыны анық және барлық бөлшектерді жаңаға азайту үшін бірінші, бірінші бөлшекті $\left(x-2 \right)$-ға көбейту керек, мен $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ орнында қаламын. Мынадай әкелу үшін азырақ құтылайық:

\[\begin(матрица) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ оң))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \оң))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \оң)-\сол(((x) )^(2))+2x+4 \оң))(\сол(x-2 \оң)\сол(((x)^(2))+2x+4 \оң))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \оң)\сол (((x)^(2))+2x+4 \оңға))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \оң)\ сол жақ(((x)^(2))+2x+4 \оңға)). \\ \соңы(матрица)\]

Басқа қатарға құрметпен оралыңыз: егер баннер жанып тұрса, онда. үш окремих атудың орнына варто емес, бір ұлы жаздык, бір рет садақ аман қалды. Сіздің алдыңызда қатар жазу жылдамырақ және үшінші бөлшектің алдында тұрған минус - және сіз ешқайда бара алмайсыз, бірақ садақтың алдындағы сандар кітабында «ілулі» тұрғаныңызды білдіреді. Сізге жеке емес кешірім жасау үшін Tse.

Ал, қалған қатарда көбейткіштерге сандарды орналастырыңыз. Тим үлкенірек, бұл дәл шаршы, және біз қайтадан жылдам көбейту формулаларының көмегіне жүгінеміз. Маэмо:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \оң))= \frac(((\сол(x-2 \оң))^(2)))(\сол(x-2 \оң)\сол(((x)^(2))+2x+4 \оң) )=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

Енді біз оны басқа садақпен өздігінен реттейміз. Мұнда мен эквиваленттік туралы шағын өлең жазамын:

\[\бастау(матрица) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\сол(x-2 \оң)\сол(x+2 \оң))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ) ^(2)(\сол(x-2 \оң)\сол(x+2 \оң))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\сол(x-2 \оң)\сол(x+2 \оң))+\frac(2\cdot \left(x+2 \оң))(\сол(x-2 \ оң) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x) -2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \ оң). \\ \соңы(матрица)\]

Соңғы күнге бұрылып, теледидарға таңғалайық:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \оң)\сол(x+2 \оң))=\frac(1)(x+2)\]

Сәйкестік: \[\frac(1)(x+2)\].

Бұл тапсырманың мағынасы бірдей, алдыңғыдағыдай: қаншалықты ұтымды сұрай алатыныңызды көрсетіңіз, келесі түрлендіруге ақылмен қалай баруға болады.

Енді бәрін білсеңдер, бүгінгі сабағымыздың негізгі тақырыбы – атылған рационал теңсіздіктердің шарықтау шегіне көшейік. Тим көп, өзіңіздің жүйкеңізге осындай дайындықтан кейін сіз қазандай дірілдейсіз.

Рационалды сәйкессіздіктерді жеңудің негізгі жолы

Іsnuє Як кем дегенде екі қадам razv'yazannya ұтымды nerіvіvnosti үшін. Бір қарағанда, біз олардың біреуін қарастырамыз - мектеп математика курсында кеңінен қабылданған.

Ale, артқа қарай, маңызды деталь. Барлық сәйкессіздіктер екі түрге бөлінеді:

1. Сувори: $f\left(x \right) \gt 0$ немесе $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Қатаң емес: $f\left(x\right)\ge 0$ немесе $f\left(x \right)\le 0$.

Басқа түрдегі бұзушылықтарды біріншіге оңай азайтуға болады, сондай-ақ қызғаныш:

Фарбование нүктелері сияқты қолайсыз нәрсені шығару үшін «қосымша» $f\left(x \right)=0$ көп емес - біз оларды интервал әдісімен білдік. Әйтпесе, қатаң және қатаң емес бұзушылықтар арасында ешқандай айырмашылықтар жоқ, сондықтан әмбебап алгоритмді қарастырайық:

1. Барлық нөлдік емес элементтерді бір жағынан біркелкі емес түрінде таңдаңыз. Мысалы, леворуч;
2. Барлық бөлшектерді стандартты баннерге әкеліңіз (сондықтан мұндай фракциялар шпрат түрінде көрінеді), ұқсастарын әкеліңіз. Содан кейін мүмкіндігінше сандар кітапшасына және көбейткіштерге баннерге орналастырамыз. Олай болса, неге $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - біркелкі еместік белгісі пішінінің біркелкі еместігін алып тастаймыз.
3. Санды нөлге қоямыз: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... нөлге оралу: $Q \left(x \right)\ne 0$. Әрине, айырмашылық $Q\left(x \right)=0$ тең болатыны рас және $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ түбірін аламыз. (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (мұндай түбірдің анықтамалық файлдарында үшеуден көп болуы екіталай).
4. Барлық түбірлер (жұлдыздары бар және жоқ) бір сандық түзуде қарастырылады, сонымен қатар жұлдызсыз түбір фарбованизацияланады, ал жұлдыздармен - ваколотада.
5. Біз «плюс» және «минус» белгілерін қоямыз, сол аралықтарды қажетінше таңдаймыз. Егер біркелкі емес $f\left(x \right) \gt 0$ көрінуі мүмкін болса, онда "плюс" белгісімен белгіленген интервалдар қайталанады. $f\left(x \right) \lt 0$ болса, онда минустары бар аралықтарды таңдаймыз.

Тәжірибе көрсеткендей, ең қиын нәрсе 2 және 4-тармақтарды шақыру - сауатты түрлендіру және сандарды өсу ретімен дұрыс орналастыру. Қалған уақытта құрметті болыңыз: біз әрқашан белгілерді бұрап қоямыз теңдікке көшкенге дейін жазылған теңсіздіктің қалған бөлігі. Бұл интервалдар әдісінен төмен әмбебап ереже.

Дәл осындай схема є. Бос болайық.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Шешім. Біздің алдымызда $f\left(x \right) \lt 0$ пішімінің толық сөзсіздігі бар. Әлбетте, біздің схеманың 1 және 2 тармақтары қазірдің өзінде зұлым: барлық біркелкі емес элементтер леворухпен таңдалады, ұйықтап жатқан баннерге ештеңе әкелудің қажеті жоқ. Үшінші абзацқа көшейік.

Санды нөлге теңестірейік:

\[\бастау(туралау) & x-3=0; \&x=3. \соңы(туралау)\]

І баннер:

\[\бастау(туралау) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \соңы(туралау)\]

Әр аймаққа біреу жабысады, тіпті идея үшін $x+7\ne 0$ жазу керек, сонда ODZ көмектеседі (нөлге бөлу мүмкін емес, ось бәрі). Бірақ содан кейін біз бізге баннерден шыққан дақтарды бердік, сондықтан сіз қойындыларды құрастырғаннан кейін, varto емес - эквиваленттілік белгісін жазып, алаңдамаңыз. Баға үшін ештеңені төмендетуге болмайды.

Төртінші нүкте. Сан түзуіндегі түбірді алып тастау маңызды:

Мұрт нүктелері vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora

Құрмет көрсету: виколотияның барлық нүктелері. Бұл қазірдің өзінде маңызды емес: сандар кітапшасынан ұпайлар баннерден келді.

Біз белгілерге таң қаламыз. $((x)_(0)) \gt 3$ санын алайық. Мысалы, $((x)_(0))=100$ (балама түрде, бірдей сәтті $((x)_(0))=3,1$ немесе $((x)_(0) алуға болады. ) = $1 000 000). Біз қабылдаймыз:

Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv бізде оң аймақ бар. Ал тамырдың терісінен өткенде, белгі өзгереді (сондықтан сіз бастамайсыз, бірақ бұл жақсы). Бесінші тармаққа көшейік: біз белгілерді орналастырып, қажеттілікті таңдаймыз:

Біз rozvyazannya ryvnyan алдында була сияқты, жүйке қалған бұрылады. Власне, олар күнде бір-бірін ұрмаса да, уақыт таусылып барады.

Oskіlki $f\left(x \right) \lt 0$ пішінінің біркелкі еместігін жою керек, мен $x\ интервалын \left(-7;3 \right)$ - бір мәндерде көлеңкеледім «минус» белгісімен. Tse є vіdpovіd.

Ұсыныс: $x\in \left(-7;3 \right)$

Барлығынан мен! Хиба қиын ба? Жоқ, қиын емес. Рас, тапсырма оңайырақ болды. Сонымен қатар, біз бұзақылықты сұрыптап, «қиын» сәйкессіздікті көре аламыз. Екінші жағынан, мен бұдан былай мұндай презентацияларды бермеймін - мен жай ғана негізгі ойларды атап өтемін. Загалом, йоганы тәуелсіз робот чи іspіtіде жасалатындай етіп ұйымдастырайық.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(\left(7x+1 \оң)\сол(11x+2 \оң))(13x-4)\ge 0\]

Шешім. $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ көру зиян емес. Барлық нөлдік емес элементтер зұлымдықпен таңдалады, әртүрлі белгілер жоқ. Ривнянға барайық.

күні:

\[\бастау(туралау) & \left(7x+1 \оң)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Оң жақ көрсеткі ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Оң жақ көрсеткі ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \соңы(туралау)\]

Баннер:

\[\бастау(туралау) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \соңы(туралау)\]

Мен оны орнатқан кезде қандай қиындық болғанын білмеймін, бірақ түбір әлдеқайда жақсы болмады: оларды сандық түзу сызыққа қою маңызды болар еді. І $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ түбірі болса да бәрі азды-көпті түсінікті (тек бір оң сан бар – ол оң жақ болады), содан кейін $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse мүмкін, мысалы, келесідей:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) )))

Кешіріңіз, сандық айырмашылық неліктен $-(2)/(14) екенін түсіндірудің қажеті жоқ; \gt -(2)/(11)\;$? Қажет болған жағдайда, мен фракциялармен қалай жеңуге болатынын болжауды ұсынамын.

Және біз сандық түзудегі барлық үш түбірді айтамыз:

Зафарбовани сандар кітабынан Крапки, баннерден - виколот

Біз белгілер қоямыз. Мысалы, $((x)_(0))=1$ алып, әр нүктенің таңбасын өзгертуге болады:

\[\бастау(туралау) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\соңы(туралау)\]

Теңдіктер алдындағы жүйкенің қалған бөлігі $f\left(x \right)\ge 0$ болды, сондықтан қосу белгісін басу керек.

Олар екі көбейткішті алып тастады: бірі - маңызды қос, екіншісі - сандар сызығының тікелей ұпайы.

Жауап: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Сандардың санын құрметтеу маңызды, өйткені біз оң аралықтағы белгіні көрсетеміз. Мүлдем neobov'yazkovo podstavlyat саны оң түбірі жақын. Сіз миллиардты ала аласыз немесе оны «плюс-сенгісіз» деп атай аласыз - әр жағдайда доғада тұрған бай мүшенің белгісі, сандық немесе баннерман, тек жоғары коэффициент белгісімен белгіленеді.

Қалған біркелкі емес $f\left(x \right)$ функциясын тағы бір рет қарастырайық:

Бұл жазбада үш бай термин бар:

\[\бастау(туралау) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \&Q\сол(x\оң) = 13x-4. \соңы(туралау)\]

Барлық дауысты дыбыстар сызықтық биномдар, ал барлық жоғарғы коэффициенттер (7, 11 және 13 сандары) оң. Кейінірек, үлкен сандар доғасын негіздеген кезде, бай бөлімдердің өздері оң болады.

Tse үстірт бүктеліп салынуы мүмкін, артқы жағында сәл, егер біз мұны оңай түсінсек. Күрделі сәйкессіздіктерде «плюс-толықсыздықты» ауыстыру $((x)_(0))=100$ стандартынан төменірек белгілерді жылдам өзгертуге мүмкіндік береді.

Жақында біз мұндай тапсырмалармен жабыламыз. Дрибно-рационалды сәйкессіздіктерді шешудің балама жолын қарастырайық.

Альтернативті жол

Бұл қабылдауды маған студенттерімнің бірі ұсынды. Мен оны ешбір жағдайда құрметтейтін емеспін, бірақ тәжірибе көрсеткендей, жүйке күйзелісімен күресу үшін көп оқу тиімдірек.

Otzhe, vyhіdnі danі і і і sami. Түсіру-рационалды сәйкессіздікті жою қажет:

\[\frac(P\left(x \оң))(Q\сол(x \оң)) \gt 0\]

Ойланайық: $Q\left(x \right)$ бай термині $P\left(x \right)$ бай терминінен неге "жоғары"? Біз түбірлердің үлкен топтарына (жұлдызшасы бар немесе жоқ) қалай қарауымыз керек, нүктелер туралы ойлауымыз керек және т.б.? Барлығы қарапайым: фракцияның белгіленген аймағы бар, ол нөлдің белгісі болса, кез келген drіb має мағынасы үшін жақсы.

Басқа жағынан алғанда, санауыш пен баннерманның арасында бұл оңай емес: біз оны нөлге теңестіреміз, біз түбір туралы қалжыңдаймыз, содан кейін оны сандық түзуде айтамыз. Содан кейін неге ату сызығын (шын мәнінде - rozpodіlu белгісі) ең үлкен көбейткіштермен алмастырмасқа, және барлық ODZ көрінетін okremoi нервозность үшін тағайындауға көмектеседі? Мысалы, келесідей:

\[\frac(P\left(x \оң))(Q\сол(x \оң)) \gt 0\Оң жақ көрсеткі \сол\( \бастау(туралау) & P\left(x \оң)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

Құрмет көрсету үшін: мұндай пидһід тапсырманы интервалдар әдісіне шақыруға рұқсат етіледі, бірақ бұл жағдайда шешімді қиындату мүмкін емес. Дегенмен, біз $Q\left(x \right)$ бай терминін нөлге дейін көтере аламыз.

Оның нақты тапсырмаларда қалай жұмыс істейтінін көрейік.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Шешім. Тағы да интервал әдісіне көшейік:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Оң жақ көрсеткі \сол\( \бастау(туралау) & \left(x+8 \оң)\left(x-11 \оң) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

Бірінші біркелкі емес элементарлық. Тері доғасын нөлге теңестіріңіз:

\[\бастау(туралау) & x+8=0\Оң жақ көрсеткі ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Оң жақ көрсеткі ((x)_ (2)) = 11. \\ \соңы(туралау)\]

Басқа нервнистьюмен бәрі қарапайым:

Сан жолында $((x)_(1))$ және $((x)_(2))$ нүктелерін тағайындаймыз. Usі vikolotі сасық, skіlki nerіvnіst suvore:

Оң жақ дақ қыздың қызындай болып шықты. Це жақсы.

$x=11$ нүктесіне құрмет көрсетіңіз. «Dvіchi vykolot» сияқты шығыңыз: бір жағынан, біз жүйкенің ауырлығы арқылы, екінші жағынан - ODZ қосымша күші арқылы її vikolyuєmo.

Қандай да бір випадку бар, tse жай ғана нүктеге ұрып-соғады. Сондықтан біз $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ теңсіздік белгілерін қоямыз - біз оның алдында соғысқанымыздай, виришуватиге теңеуге кіріскенімізде қаламыз:

Бізді оң жақтары қытықтайды, бірақ біз санадағы теңгерімсіздікті байқаймыз $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Vіdpovіd жазуға уақыт болмай қалды.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Осы шешімнің мысалында мен орта жастағы студенттер арасында кең кешірім болған кезде сізді қорғағым келеді. Және өзіңізге: заңсыздықтардың садақтарын ашпаңыз! Навпаки, бәрін көбейткіштерге таратуға тырысыңыз - шешімді сұрап, сізді жеке мәселелерден арылтқан дұрыс.

Енді бүктелген нәрсені байқап көрейік.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Шешім. $ f \ left (x \ right) \ le 0 $ қарауға зиян тигізбейді, сондықтан мұнда сіз zafarbovannymi нүктелерін құрметпен орындауыңыз керек.

Интервал әдісіне көшейік:

\[\left\( \бастау(туралау) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ не 0. \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Теңестіруге көшейік:

\[\бастау(туралау) & \left(2x-13 \оң)\left(12x-9 \оң)\left(15x+33 \оң)=0 \\ & 2x-13=0\оң жақ көрсеткі ((x) )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Оң жақ көрсеткі((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Оң жақ көрсеткі ((x)_(3))=-2,2. \\ \соңы(туралау)\]

Враховуэмо додаткову вимогу:

Барлық шегерілген түбірлер сан түзуінде көрсетілген:

Бірден нүкте және виколот және фарбован сияқты, оны виколот құрметтейді

Мен екі нүктенің бір-бірін «қабататынын» білемін - бұл қалыпты жағдай, сондықтан сенімді болыңыз. Бұл маңызды, аз ақылға қонымды, қандай нүкте, бір уақытта виколотий және борозды, шын мәнінде, виколоти үшін тағайындалады. Тобто. «Виколювання» - күшті дию, төменгі «зафарбовання».

Бұл мүлдем қисынды, тіпті біз нүктелерді таңдасақ та, функцияның белгісіне қосуды ұнатамыз, бірақ шоуға өзіңіз қатыспаңыз. Сонымен, белгілі бір уақытта сан бізге үстемдік етуді тоқтатады (мысалы, ол ODZ-ге кірмейді), біз тапсырманың соңына дейін ант етеміз.

Загалом, философиялау. Минус белгісімен белгіленген белгілерді және zafarbovuyemo і интервалдарын орналастырамыз:

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Себепке деген құрметіңізді жаңартқым келеді:

\[\сол(2х-13 \оң)\сол(12х-9 \оң)\сол(15х+33 \оң)=0\]

Тағы да: мұндай теңдердің құшағын ешқашан ашпаңыз! Сіз сөмкелеріңізді жинағаныңыз жөн. Есіңізде болсын: көбейткіштердің біреуі нөлге тең болғанын қаласаңыз, добуток нөлге тең. Отже, Дэйн Ривняння біздің көз алдымызда бұзып тұрғандай, бір-бірінен "таратылды".

Түбір көптігінің пішіні

Алдыңғы күндерден бастап, ең үлкен бүктеудің ең сәйкессіз болу екенін есте сақтау оңай, оларда дақтарды тігу керек.

Бірақ әлемде одан да көп зұлымдық бар - бұл жүйке тамырының еселігі. Мұнда тігістер қазірдің өзінде zafarbovanimi нүктелерінің артында емес әкелінді - мұнда нүктелер арқылы өткенде біркелкі еместік белгісі өзгермеуі мүмкін.

Біз бұл салада ұқсас нәрсені әлі көрген жоқпыз (бірақ ұқсас мәселе интервалдық әдісте жиі байқалды). Сондықтан біз жаңа анықтама енгіземіз:

Кездесу. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ тең түбір $x=a$ тең және $n$-көптік түбірі деп аталады.

Власне, бізге көпліктің мәнін нақты айту мүмкін емес. Олардың жұпталған немесе жұпталмағаны маңызды, бүтін сан $n$. Өйткені:

1. $x=a$ жұп еселігінің түбірі болғандықтан, ол арқылы өткенде функцияның таңбасы өзгермейді;
2. Ең алдымен, $x=a$ жұпталмаған еселіктің түбірі болғандықтан, функцияның таңбасы өзгереді.

Жұптаспаған көптің түбірі туралы жеке көзқараспен, оның алдында мына мектепті қарады: ескі бойдақтардың айқасатын көптігі бар.

мен көбірек. Оның алдында, біз virishuvati zavdannya болып, бір нәзіктік үшін сіздің құрмет айналдыруды қалайды, бұл жақсы танылған педагог анық сияқты, але бай pochatkіvtsіv есінен танып қалды. Ал өзіне:

$ n $ көбейтіндісінің түбірі тек құлдырауға кінәлі, егер барлық көбейтінді осы қадамда құрылса: $ ((\ сол жақ (xa \ оң)) ^ (n)) $, $ \ сол емес. (((x) ^ ( n ))-a\right)$.

Тағы да: $((\left(xa \right))^(n))$ доғасы $n$ еселігінің $x=a$ түбірін және $\left(((x) доғасының осін береді. )^(n)) -a \right)$ әйтпесе, жиі қолданылатындай, $(a-((x)^(n)))$ бізге түбір береді (әйтпесе $n$ сияқты екі түбір - жігіт) i $n$-ға тәуелсіз бірінші көбейтіндінің.

Деңгей:

\[((\сол(x-3 \оң))^(5))=0\Оң жақ көрсеткі x=3\сол(5к \оң)\]

Мұнда бәрі түсінікті: бүкіл садақ бесінші сатыға апарылды, сондықтан шығуда біз бесінші қадамның түбірін алып тастадық. Және бірден:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Оң жақ көрсеткі ((x)^(2))=4\Оң жақ көрсеткі x=\pm 2\]

Екі тамырды жұлып алдық, бірақ сасық иістің қорлығы бірінші еселік болуы мүмкін. Або осі көбірек:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Оң жақ көрсеткі ((x)^(10))=1024\Оң жақ көрсеткі x=\pm 2\]

Сені оныншы сатыға дейін ұрып жібермейін. Головне, scho 10 - жігіттің нөмірі, шығарылымда екі түбір болуы мүмкін, ал қайтадан сасық бірінші есе болуы мүмкін.

Загалом құрметті болыңыз: айыптың көптігі біреу ғана, егер қадамдар өзгеріске кем емес, бүкіл аркаға дейін жеткізіледі.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(((x)^(2))((\сол(6-x \оң))^(3))\left(x+4 \оң))(((\сол(x+7) ) \оң))^(5)))\ge 0\]

Шешім. Жекеден құруға көшу арқылы оны балама жолмен сынап көрейік:

\[\left\( \begin(туралау) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \соңы(туралау) )\оң.\]

Бірінші біркелкі емес интервалдар әдісімен таңдаймыз:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))((\left(6-x \оң))^(3))\left(x+4 \оң)\cdot ((\left() x+7 \right))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Оң жақ көрсеткі x=0\сол(2k \оң); \\ & ((\сол(6-x \оң))^(3))=0\Оң жақ көрсеткі x=6\сол(3k \оң); \\&x+4=0\Оң жақ көрсеткі x=-4; \\ & ((\сол(x+7 \оң))^(5))=0\Оң жақ көрсеткі x=-7\сол(5k \оң). \\ \соңы(туралау)\]

Dodakovo virishuemo досы жүйке. Шындығында, біз його әнін айттық, бірақ егер шешім қабылдағанға дейін әрекет етпесек, йогоны қайта айтқанымыз дұрыс:

\[((\сол(x+7 \оң))^(5))\ne 0\Оң жақ көрсеткі x\ne -7\]

Құрметпен қайтару үшін: жүйкенің қалған бөлігінде күнделікті еселік болмайды. Дұрыс: сан түзуіндегі $x=-7$ нүктесін неше рет ұту керек? Бір рет қаласаңыз, бес рет қаласаңыз - нәтиже бірдей болады: соңғы нүкте.

Біз алып кеткен барлық нәрсе сандық түзу сызықта маңызды:

Мен айтқанымдай, нәтижедегі $x=-7$ нүктесі белгіленеді. Орналасудың көптігі интервалдар жолдарының біркелкі еместігін жеңу болып табылады.

Белгілерді қоюды ұмытып қалдыңыз:

Oskіlki нүктесі $x=0$ – жұптық көптікті түбір, ауысу белгісі өзгермейді. Басқа нүктелердің жұпталмаған көптігі болуы мүмкін және олармен бәрі қарапайым.

Видповид. $x\in \left(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Тағы да $x=0$ құрмет көрсетіңіз. Жұп арқылы цикави әсерінің көптігі айыпталады: ондағы леворух бәрі толтырылған, оң қолы бірдей, дәл сол нүкте толығымен толтырылған.

Естеріңізге сала кетейік, дыбысты жазу үшін бір сағат бойы суды қысу қажет емес. Тобто. kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ ештеңе жазудың қажеті жоқ (егер ресми түрде қаласаңыз, бұл дұрыс болар еді). Бірден \left[ -4;6 \right]$ ішіне $x\деп жазайық.

Түбір жұбының көптігімен мұндай әсерлер азырақ болады. Мен mi zіtknemosya іz zvorotnym «vyyavom» tsgogo әсері алға командасында. Дайынсыз ба?

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(((\left(x-3 \оң))^(4))\left(x-4 \оң))(((\left(x-1 \оң))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Шешім. Бұл жолы біз стандартты схеманы ұстанамыз. Санды нөлге теңестірейік:

\[\бастау(туралау) & ((\сол(x-3 \оң))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\сол(x-3 \оң))^(4))=0\Оң жақ көрсеткі ((x)_(1))=3\сол(4k \оң); \& x-4 = 0 \ Оң жақ көрсеткі ((x)_ (2)) = 4. \\ \соңы(туралау)\]

І баннер:

\[\бастау(туралау) & ((\left(x-1 \оңға))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \оңға)=0; \\ & ((\сол(x-1 \оң))^(2))=0\Оң жақ көрсеткі x_(1)^(*)=1\сол(2k \оң); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Оң жақ көрсеткі x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \соңы(туралау)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor nerіvnіst mind $f\left(x \right)\ge 0$, баннердің түбірі (znirochki сияқты) ұрып-соғады, ал саннан - zafarbovano.

Біз «плюс» белгісімен белгіленген белгілер мен штрихталған жерлерді қойдық:

Крапка $x = $3 - оқшауланған. vіdpovіdі Tse бөлігі

Бұған дейін қалдық пікірді қалай жазу керек, суретке құрметпен қараңыз:

1. Крапка $x=1$ бірнеше еселіктері бар, бірақ виколаның өзі. Сондай-ақ, егер сізде екі қабатты болса: $x\in \ емес, $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ жазуыңыз керек. left(-\ infty ;2\right)$.
2. Крапка $x=3$ толтырылған кезде і көбейтілуі мүмкін. Нүктенің өзі бізбен бірге билікте екенін растайтын белгілерді орналастыру, але крок леворуч-оң - біз билікте болмағандықтан, аймаққа сүйреп апардық. Мұндай нүктелер оқшауланған деп аталады және $x\in \left\( 3 \right\)$ түрінде жазылады.

Біз барлық отримани шматочкиді үлкен мөлшерде біріктіреміз және дәлелдемелерді жазамыз.

Ұсыныс: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Кездесу. Виришити nerіvnіst - білдіреді йога шешімінің жеке табысын білу, немесе жеке емес бос нәрсені әкелу.

Бұл b беріледі: бұл жерде не ақылға қонымсыз болуы мүмкін? Міне, сол өзенде, тұлғасызды басқаша қоюға болады. Күннің соңына дейін тағы да жазып алайық:

Жазылғанды ​​сөзбе-сөз оқыңыз. Ешкімге көп жату үшін, бірге шығу үшін ("U" белгішесі) chotyroh okremih көп болу үшін "iks" ды өзгертіңіз:

• $\left(-\infty ;1 \right)$ интервалы, ол сөзбе-сөз "бірден кіші барлық сандар, бірақ бірдің өзі емес" дегенді білдіреді;
• Аралық $ \ солға (1; 2 \ оңға) $, содан кейін. «Барлық сандар 1 мен 2 арасында, бірақ 1 мен 2 сандарының өзі емес»;
• Бір немесе бір саннан қосылатын анонимді $ \ сол \ (3 \ оң \) $ - үш;
• Аралық $ \ қалды [4; 5 \ оң) $, 4 пен 5 арасындағы барлық сандарды, сондай-ақ төрттің өзін, бірақ бесті емес, кек алу үшін.

Мұндағы қызығушылық үшінші тармақ болып табылады. vіdmіnu vіd іd іnvalіv, іkі сансыз сандар жиынын орнату үшін і сирек іх іх жиындары арасында белгілейді, жоқ $\left\(3\right\)$ қайта arrahuvannya жолы ретінде қатаң бір санды орнатыңыз.

Біз өзіміз бірнешеге дейін (және екеуінің арасында орнатылмаған) белгілі бір сандарды жоққа шығаратынымызды түсіну үшін аркалар жеңіске жетеді. Мысалы, $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ белгісінің өзі "екі саннан қосылатын көбейткіш: 1 және 2" дегенді білдіреді, бірақ ол 1-ден 2-ге дейінгі сандармен бірдей емес. Сонымен бірге , түсінігіңізді шатастырмаңыз.

Көбейтінділерді бүктеу ережесі

Ал, бүгінгі сабақтың соңында Павел Бердовтан үш саусақ.

Ардақты ғұламалар ән шырқады: ал күнтізбе мен баннердегідей бір түбір пайда болады ма? Сондықтан ось, pratsyuє мұндай ереже:

Бір түбірдің еселігі қосылады. Күте тұрыңыз. Navіt yakscho tse түбірі сандар кітапшасында және баннерде жазылған.

Кейде виришувати, төменірек сөйлеген дұрыс. Ол үшін келесі тапсырманы орындаймыз деп есептейміз:

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \оңға))\ge 0\]

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \соңы(туралау)\]

Әзірге ерекше ештеңе жоқ. Баннерді нөлге теңестіріңіз:

\[\бастау(туралау) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \оңға)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Оң жақ көрсеткі x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Оң жақ көрсеткі x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \соңы(туралау)\]

Екі бірдей түбір анықталды: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Мают першу көптікті ренжіту. Сондай-ақ, біз оларды бір түбірмен ауыстырамыз $x_(4)^(*)=-2$, сонымен қатар 1+1=2 еселігімен.

Сонымен қатар, әлі де бірдей түбірлер бар: $((x)_(2))=-4$ және $x_(2)^(*)=-4$. $x_(2)^(*)=-4$ еселігі 1+1=2 айырылады бірінші еселік сасық.

Құрмет көрсету үшін: екі випадкада да біз ескі тамырдың өзінен айырдық, біз бір көзқарастан алысты лақтырып тастадық. Сондықтан олар сабақтың басына келді: бұл бірден нүкте сияқты, оны ұрып-соғып, оны қағып кетті, біз бәрімізге бірдей қамқорлық жасаймыз.

Нәтижесінде бізде chotiri тамыры бар, сонымен қатар барлық виколоттар пайда болды:

\[\бастау(туралау) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \оң); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\сол(2k \оң). \\ \соңы(туралау)\]

Түзетілген еселігі бар сандар жолында айтарлықтай їх:

Біз бізді шақыратын белгілер мен зафарбовуемо аймақтарын қоямыз:

Мұрт. Күнделікті оқшауланған нүктелер және басқа мәселелер. Өз ойларыңызды жаза аласыздар.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Көпшілік ережесі

Кейде жағдай одан да қолайсыз болады: түбірдің еселігі болуы мүмкін тең, өзі сол қадамға жеткізіледі. Осымен барлық сыртқы түбірлердің көптігі өзгереді.

Мұндай дыбыс сирек естіледі, сонымен қатар ұқсас тапсырмалардың дәлелі жоқ. Ал ереже мынау:

$n$ қадамдарды теңестіру кезінде барлық його түбірлерінің көптігі де $n$ есе артады.

Басқаша айтқанда, қадамдардағы қадамдар дәл сол қадамдағы еселікке көбейтіледі. Тәжірибедегі ережені қарастырайық:

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \оң))^(2))((\left(x-4 \оң))^(5)) )(((\left(2-x \оң))^(3))((\left(x-1 \оң))^(2)))\le 0\]

Шешім. Санды нөлге теңестірейік:

Твир нөлге тең, егер көбейткіштердің бірі нөлге тең болуы керек болса. Бірінші көбейткішпен мен түсіндім: $x=0$. Ал ось проблемаларды тудырды:

\[\бастау(туралау) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \оң))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \оң); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \оң)\сол(2к \оң) \ \ & ((x)_(2))=3\сол(4k \оң) \\ \соңы(туралау)\]

Бачимо сияқты $((x)^(2))-6x+9=0$ тең басқа көбейтіндінің бір түбірі болуы мүмкін: $x=3$. Барлығымыз алаңға жақындауға сақ болайық. Сонда түбірдің еселігі $2\cdot 2=4$ болады, оны үкіммен жазып шықтық.

\[((\сол(x-4 \оң))^(5))=0\Оң жақ көрсеткі x=4\сол(5к \оң)\]

Бірдей күнделікті мәселелердің баннерімен:

\[\бастау(туралау) & ((\left(2-x \оңға))^(3))((\left(x-1 \оңға))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \оң))^(3))=0\Оң жақ көрсеткі x_(1)^(*)=2\left(3k \оң); \\ & ((\сол(x-1 \оң))^(2))=0\Оң жақ көрсеткі x_(2)^(*)=1\сол(2k \оң). \\ \соңы(туралау)\]

Қосындыда бізде бес нүкте болды: екі виколот және үш фарбован. Сандық кітапта және знаменникте түбірден қорқу жоқ, ол жай ғана сандық түзу сызықта көрінеді:

Біз жақсартылған көбейтінділер мен zafarbovuєmo интервалдары бар белгілерді орналастырамыз, олар бізді шақырады:

Мен бір оқшауланған нүкте мен бір виколотты білемін

Жұптастырылған көбейтіндінің түбірі арқылы бірнеше «стандартты емес» элементтер қайтадан алынып тасталды. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ орнына $x\in \left[ 0;2 \right)$ және $ x нүктесі де оқшауланған. \солға\(3\оңға\)$.

Видповид. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Як бахит, бұл соншалықты күрделі емес. Головне - құрмет. Реинкарнацияларға арнау сабағының қалған бөлігі - Тим, біз онымен бірге талқылағанбыз.

Алдыңғы пішінді өзгерту

Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, бүктеу деп атауға болмайды. көбейткіштер және brіnnogo znamennik бойынша razkladannja - Алайда, vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі бойынша, мұнда ол zasosuvati navchik z teorії ratsionalnyh drobіv жүреді.

Біз бүгінгі сабақта бөтелкеге ​​арналған тағамды егжей-тегжейлі талқыладық. Түсінбесеңіз, түсінгеніңіз, тілдің не екенін түсінбесеңіз, бұрылып, қайталауды ұсынамын. Ол үшін конверттелген кадрларда «жүзіп» жүргендей, сәйкессіздіктерді шешу әдістерін тықпалаудың еш қисыны жоқ.

Үйде, сөйлеу алдында, сондай-ақ көптеген ұқсас тапсырмалар болады. Пидроздилдің соңына дейін кінәнің сасық иісі. Онда сіз тіпті тривиальды емес қолданбалар үшін де тексеріледі. Але, сіз стендте боласыз, бірақ енді осындай бір-екі сәйкессіздікті реттейік.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Шешім. Барлығын солға жылжыту:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Ол қос туға әкелінеді, аркалар ашылады және ұқсас додандар сандар кітабына әкелінеді:

\[\бастау(туралау) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \оң)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \оң)\сол(x-1 \ ) right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \оң)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \оң))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \оң))\le 0. \\\соңы(туралау)\]

Енді біз алдымызда классикалық бөлшек-рационалды nerіvnіst, vyshennya yakoї бұдан былай қиын болып. Мен интервалдар әдісі арқылы балама әдіспен йогамен айналысамын:

\[\бастау(туралау) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \соңы(туралау)\]

Баннерден шыққан қоршауды ұмытпаңыз:

Барлық сандар сандық түзуде көрсетіледі және ауыстырылады:

Мұрт – алғашқы көптiктiң түбiрi. Мәселелер жоқ. Біз жай ғана аймаққа қажетті белгілерді қойдық:

Бар болғаны. Өз ойларыңызды жаза аласыздар.

Видповид. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm жай ғана бөксе. Бұл үшін біз бірден тапсырмаға байыпты қарай аламыз. І сөзге, riven tsgo zavdannya tsіlkom vіdpovіdає тәуелсіз және басқару роботтары z ієї 8-сыныптағылар.

Менеджер. Мазасыздықты жою үшін:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Шешім. Барлығын солға жылжыту:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Бұған дейін қорлайтын бөлшектерді қос баннерге қалай жеткізуге болады, біз бұл баннерлерді көбейткіштерге орналастырамыз. Raptom бірдей аркаларды vylizut? Бірінші баннермен оңай:

\[((x)^(2))+8x-9=\сол(x-1 \оң)\сол(x+9 \оң)\]

Басқа трошпен бүктелген. Бұл доғаға көбейткіш-тұрақтыны енгізуден тартынбаңыз, көрінбейтін дриб. Есіңізде болсын: егер сізде коэффициенттер санына бай термин болса, бұл тамаша имовирнист, өйткені ол коэффициенттер санындағы ананың еселіктерімен белгіленеді (шынында, ол солай болады, егер випадкив көз ілмеуі үшін, егер дискриминант иррационал).

\[\бастау(туралау) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \оң)\left(x-\frac(2)(3) \оң)= \\ & =\сол(x-1 \оң)\сол(3x-2 \оң) \соңы(туралау)\]

Як бачимо, є садақ: $ \ сол жақ (x-1 \ оң) $. Біз жүйкеге жүгінеміз және қос баннерге қорлайтын фракцияларды шақырамыз:

\[\бастау(туралау) & \frac(1)(\сол(x-1 \оң)\сол(x+9 \оң))-\frac(1)(\сол(x-1 \оң)\ left(3x-2\right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) ) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \оң))\ge 0; \\ \соңы(туралау)\]

Баннерді нөлге теңестіріңіз:

\[\бастау(туралау) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( туралау)\]

Күнделікті еселік және zbіgayutsya тамыры. Түзу сызыққа бірнеше сандарды тағайындаймыз:

Біз белгілерді орналастырамыз:

Дәлелдерді жазып алайық.

Жауап: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ оңға) $.

Мұрт! Осылай, содан кейін қатарға дейін оқыңыз.