Rešpekt!
Ak chcete tsієї tie є dodatkovі
materiálov v špeciálnej distribúcii 555.
Pre tichých, ktorí sú silne „nie príliš...“
Ja pre ticho, kto "vedel si...")
Čo je "štvorcová nepravidelnosť"?Žiadne jedlo!) Vezmite si to be-jakštvorec sa rovná a nahraďte nové znamienko "=" (Rіvno) o tom, či existuje odznak nervozity ( > ≥ < ≤ ≠ ), vidíme štvorcovú nerovnosť. Napríklad:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 + 3x > 0
3. x2 ≤ 4
no pochopil si...)
Nie som darma tu zv'yazav rіvnyannya, že nerіvnostі. Vpravo v tom, že prvé háčkovanie čerešne Hocičoštvorcová nepravidelnosť - virishiti rovná, pre ktorú je rozpor prelomený. Z dôvodov dôvodu - nedostatok vyrovnania virishuvati štvorca automaticky vedie k úplnému zlyhaniu nerovností. Pochopili ste napätia?) Ako čo, čuduj sa, ako virovať, byť ako štvorec rovný. Všetko sa tam hlási. Na tejto lekcii si s nervozitou poradíme sami.
Pripravený na odstránenie nervozity môže vyzerať: levoruch - štvorcový trojčlen sekera 2 + bx + c, pravák - nula. Príznakom nervozity môže byť absolútne be-yakim. Tu sú prvé dva zadky už pripravený na čerešňu. Tretí zadok je potrebné pripraviť.
Ako sa vám páči celá stránka...
Predtým, ako sa porozprávame, mám pre vás niekoľko ďalších webových stránok.)
Môžete si zacvičiť na virishenny zadkoch a rozpoznať svoje riven. Testovanie s opakovaným overením mittevy. Vchimosya - so záujmom!)
môžete sa dozvedieť o funkciách a podobných.
Nerіvnіst - tse číselné spіvvіdnoshennia, scho іlustruє veľkosť čísel ako jeden sám. Nervnosti široko zastosovutsya pri hľadaní hodnôt v aplikovaných vedách. Naša kalkulačka vám pomôže vysporiadať sa s takou náročnou témou, akou je spôsob, ako rozlúštiť lineárne nepravidelnosti.
Čo je nervozita
Nerovnomerné spivvіdnoshennia v reálnom živote spіvvіdnosya z konštantný pіvnyannâm raznyh ob'ektiv: viac chi nižšie, viac chi bližšie, dôležitejšie chi jednoduchšie. Intuitívne môžeme intuitívne pochopiť, že jeden objekt je väčší, väčší alebo dôležitejší ako druhý, ale v skutočnosti by sme mali vždy hľadať rovnaké čísla na charakterizáciu skutočných hodnôt. Objekty je možné vyrovnať pre akékoľvek znamienko a v každom prípade môžeme sčítať číselnú nerovnomernosť.
Ak nie je žiadna veľkosť pre konkrétne mysle rovnaká, potom sa stávame rovnocennými z hľadiska ich číselnej hodnoty. Ak nie, tak zámenou znamienka „rovnako“ môžeme uviesť, či ide inak o rozdiel medzi týmito hodnotami. Dve čísla alebo matematické objekty môžu byť väčšie ako ">", menšie ako "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.
Známky nezrovnalostí v dnešnom modernom vzhľade predvídal britský matematik Thomas Garriot, ktorý v roku 1631 vydal knihu o nepravidelnom spivingu. Znamienka väčšie ako ">" a menšie ako "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.
Vízia nezrovnalostí
Nezrovnalosti, podobne ako rovnosť, sú rôzneho druhu. Lineárne, štvorcové, logaritmické a zobrazovacie nerovnomerné spády sú vyvinuté pomocou rôznych metód. Bez ohľadu na spôsob, či už ide o nerovnosť chrbta, je však potrebné uviesť ho do štandardného vzhľadu. Na tento účel sa získavajú rovnaké premeny, identické s typmi rovnosti.
Rovnaká transformácia podráždenosti
Takéto premeny virazu sú už podobné duchom rovných, avšak zápach je jemný, pretože je dôležité chrániť sa pred hodinou rozvyazuvannya podráždenosti.
Prvá transformácia je identická s analogickou operáciou s rovnosťami. K obom stranám nervózneho spivingu môžete pridať alebo zvoliť rovnaké číslo, prípadne viráz s neznámym x, s ktorým bude znak nervozity priveľký. Najčastejšie sa táto metóda zastosovetsya v zjednodušeniach formulára, ako keby prenos členov vírusu cez znamenie nerovnomernosti, zmena znamienka čísla na predĺženie. Ak chcete zmeniť znamienko samotného člena, potom + R pri prenose cez akýkoľvek znak nerovnosti zmeňte na - R a navpaki.
Ďalšia transformácia môže mať dva body:
- Je povolené násobiť alebo deliť rovnakým kladným číslom. Náznak nervozity sa za žiadnych okolností nezmení.
- Priestupky na strane nervozity sa môžu deliť alebo násobiť rovnakým záporným číslom. Príznak sebanervozity sa zmení na opačný.
V opačnom prípade môže byť rovnaká transformácia nezrovnalostí vážnym rozdielom so zdanlivosťou rovnocennosti. Po prvé, pri násobení/delení záporným číslom sa znamenie nervovej virázy vždy zmení naopak. Iným spôsobom je delenie alebo násobenie častí platby povolené len číslom a nie akoukoľvek virážou, ktorá sa nedá vypomstiť. Vpravo, v čom nemôžeme s istotou vedieť, je číslo väčšie alebo menšie ako nula, to nie je známe, pretože aj iná transformácia stagnuje na nerovnostiach, vrátane čísel. Poďme sa pozrieť na tieto pravidlá v zadkoch.
Použiť rozvyazuvannya nerіvnosti
Na čele algebry sú rôzne úlohy na tému nezrovnalostí. Daj nám vírus:
6x − 3(4x + 1) > 6.
Pre spadix ucha je prenosný doľava a všetky čísla sú pravotočivé.
6x − 12x > 6 + 3
Je potrebné, aby sme napadnutú časť vírusu podradili o -6, na to, ak poznáme neznáme x, znamienko nerovnosti sa zmení v opačnom smere.
V prípade virishhenni tsієї nerіnostі mi vikoristovuvaly urazil rovnakú transformáciu: preniesol všetky čísla pravou rukou ako znamenie a rozdelil urážlivé strany spіvvіdnoshennia na záporné číslo.
Náš program je kalkulačka na riešenie číselných nezrovnalostí, aby sme sa nepomstili neznámemu. Program má nasledujúce vety pre spіvvіdnoshen tri čísla:
- yakscho A< B то A–C< B–C;
- ak A > B, potom A-C > B-C.
Podpredseda členov A–C Môžete povedať, či aritmetická dija: sčítanie, násobenie alebo sčítanie. Kalkulačka tak automaticky vypočíta nerovnomernosť súčtov, maloobchodu, kreatívy alebo zlomkov.
Višňovok
V skutočnom živote nervnosti cvrlikali tak veľmi často, ako keby boli rovné. Prirodzene, človek nemusí potrebovať znalosti o vývoji nervozity. V aplikovaných vedách je však nervozita týchto systémov všeobecne známa. Napríklad rôzne skúmania problémov globálnej ekonomiky vedú k skladaniu systémov lineárnych a štvorcových nepravidelností a diakonov nerovnosti modrej čiary - jednoznačným spôsobom na preukázanie základu spievaných predmetov. Vykoristovyte naše programy na korekciu lineárnych nepravidelností alebo opätovné overenie vlastných intarzií.
Dnes, priatelia, nebudú každodenné sople a sentiment. Ako náhradu za nich vás bez akejkoľvek sily nasmerujem, aby ste porazili jedného z najhorších súperov v kurze algebry pre 8.-9.
Takže ste všetko pochopili správne: prejdite na nezrovnalosti s modulom. Poďme sa pozrieť na niektoré z hlavných princípov, s pomocou ktorých sa naučíte prekonať takmer 90 % takýchto úloh. A čo 10% reshtoyu? Nuž, povieme si o nich na dobrej lekcii.
Predtým by som však rád uhádol dva fakty, ktoré by bolo potrebné vedieť. V opačnom prípade preveríte znalosti látky z dnešnej lekcie.
Čo potrebujete vedieť
Je zrejmé, že na vyriešenie nezrovnalostí s modulom je potrebné poznať dve slová:
- Ako zúri nervozita;
- Čo je modul?
Začnime z iného bodu.
Funkcia modulu
Všetko je tu jednoduché. Є dve funkcie: algebraická a grafická. Pre klas - algebraické:
Vymenovanie. Modul čísla $x$ je buď rovnaké číslo, ktoré nie je záporné, ale číslo, ktoré je oproti vám, ktoré je externé $x$, je stále záporné.
Zaznamenajte si to takto:
\[\left| x \vpravo|=\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]
Zjednodušene povedané, modul je „číslo bez mínusu“. Ja sám v tejto dualite (tu, od posledného čísla, nič nie je potrebné pracovať, ale tu sa stane, že tam vyberie mínus) a používam všetky skladanie pre študentov-pochatkivtsiv.
Viac geometrický dizajn. Je tiež dobré vedieť, ale bude menej pravdepodobné, že budeme chodiť k novému skladacím a dokonca špeciálnym spôsobom, geometrickým pidkhіd úspešným pre algebraiku (spoiler: dnes nie).
Vymenovanie. Na číselnej osi nech je vyznačený bod $a$. Rovnaký modul $ \ vľavo | x-a \right|$ sa volá z bodu $x$ do bodu $a$ na tomto riadku.
Ak chcete prekrížiť obrázok, môžete ho vidieť na kshtalt tsogo:
Grafický návrh modulu No a čo iné, z označenia modulu je hneď vidieť kľúčová sila: modul čísla sa vždy rovná veľkosti. Táto skutočnosť sa bude niesť ako červená niť, ktorá sa bude ťahať celým naším dnešným diskurzom.
Virishennya nerіvnosti. Intervalová metóda
Teraz sa pozrime na tú nervozitu. Їхісує neosobné, ale našou úlohou je okamžite zabiť virishuvati, ktorí chcú byť tým najjednoduchším z nich. Tі, scho zvoditsya na lineárne nepravidelnosti, a navыt metóda intervalov.
Na túto tému mám dve skvelé lekcie (mіzh іnshim, viac, viac hnedé - odporúčam vivchiti):
- Intervalová metóda pre nezrovnalosti (najmä pozrite sa na video);
- Zlomkovo-racionálne nezrovnalosti - dokonca aj všeobecná lekcia, ale potom nemáte dostatok jedla.
Ak viete všetko, ak veta „poďme od nerovnosti k rovnosti“ neznie tak, že ste šialene unavení zo zabíjania sa o stenu, potom ste pripravení: prosíme vás do pekla až do hlavnej lekcie . :)
1. Nepravidelnosť mysle "Modul menší ako funkcia"
Ide o jednu z najrozsiahlejších úloh s modulmi. Je potrebné prekonať nerovnosť mysle:
\[\left| f\vpravo| \ltg\]
Úlohou funkcií $f$ a $g$ môžu byť alebo inak polynómy. Použite takéto nezrovnalosti:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left| 2x+3\vpravo| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \vpravo|-3 \vpravo| \lt 2. \\\end(zarovnať)\]
Všetky smrady sú doslova v jednom rade za schémou:
\[\left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g\quad \left(\Šípka doprava \doľava\( \začiatok(zarovnanie) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\vpravo)\]
Nezáleží na tom, či je modul ušetrený, ale môžeme odstrániť základnú nekonzistenciu (inak to isté, systém dvoch nezrovnalostí). Prote cey transfer vrakhovu uplne vsetko možné problémy: ak je číslo pod modulom kladné, metóda funguje; akscho negatívne - všetky rovnaké praktiky; a navit pre najnevhodnejsiu funkciu domu $f$ chi $g$ metoda vsetko rovnaka praca.
Samozrejme, obviňujte jedlo: nemôže to byť jednoduchšie? Bohužiaľ to nie je možné. Kto má celú funkciu modulu.
Vtіm, drž sa filozofovania. Poďme si zaspievať vetvičku dňa:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| 2x+3\vpravo| \ltx+7\]
Riešenie. Tiež je pred nami klasický nerіvnіst mind "menší modul" - nič prerobiť. Cvičenie pre algoritmus:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\vpravo| \lt x+7\šípka doprava -\vľavo(x+7 \vpravo) \lt 2x+3 \lt x+7 \\koniec (zarovnanie)\]
Neponáhľajte sa s otváraním oblúkov, pred ktorými je „mínus“: čo najviac si vďaka zhonu doprajete obrazné odpustenie.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
Úlohou boli až dve elementárne nezrovnalosti. Výrazne їх virіshennia na paralelných číselných líniách:
Peretin mnohonásobný
Peretin tsikh sa premnožil a bude jasný.
Zhoda: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0\]
Riešenie. Objednávka je už maličkosť poskladaná. Pre klas používame modul a prenášame ďalší dodatok doprava:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Je zrejmé, že čelíme novej nerovnomernosti formulára „menší modul“, takže povoľujeme modul pre už existujúci algoritmus:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Os úcty k nákaze: poviem vám, som trocha bochenets іz fúzy s okovami. Ale, znova uhádnem, čo je naša kľúčová meta kompetentne virishiti nerіvnіst a otrimati vіdpovіd. Neskôr, ak si dôkladne osvojíte všetko, čo je v tejto lekcii odhalené, môžete sa krútiť, ako chcete: otvorte náruč, pridajte mínusy atď.
A pre nás, pre klas, sa len prebudíme do podkopávajúceho mínus zla:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]
Teraz sa otvorili všetky oblúky základnej nervozity:
Prejdime k nervozite z metra. Tentoraz budú karty vážnejšie:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( zarovnať)\vpravo.\]
Výčitky nerovností sú hranaté a porušované metódou intervalov (ale poviem vám: neviete, čo to je, radšej si moduly neberte). Prejdime k prvej nerovnosti:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\left(x+5\right)=0; \&(x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(zarovnať)\]
Ako bachimo, na výstupe to išlo nerovnomerne do štvorca, dokonca, ako keby to bolo elementárne. Teraz sa pozrime na ďalšiu nervozitu systému. Tam sa stane zastosuvat Vietovu vetu:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(zarovnať)\]
Výrazne odčítajte čísla na dvoch rovnobežných čiarach (okrema pre prvú nerovnosť a okrema pre druhú):
Som si istý, že po rozbití systému nezrovnalostí s nami zopakujeme riadky násobiteľov tieňovania: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.
Zhoda: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Myslím si, že po ich aplikácii mala schéma riešenia hraničný zmysel:
- Asimilujte modul a preneste všetky ostatné prírastky do hlavnej časti nerovnosti. Týmto spôsobom berieme do úvahy nekonzistentnosť mysle $\left| f\vpravo| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerіvnіst, ktorý ušetril modul pre schému opísanú vyššie. V istom momente je potrebné prejsť od nervozity subvariantu k systému dvoch nezávislých vírusov, ktorých koža sa dá úplne opraviť.
- Nareshti, byť zbavený riešenia týchto dvoch nezávislých slabík - a všetko, čo si berieme, je zvyšok.
Podobný algoritmus sa používa pre drsnosti útočného typu, ak je modul väčší ako funkcia. Je tu však vetvička vážneho „ale“. Poďme sa hneď porozprávať o qi „ale“.
2. Nepravidelnosť mysle „Modul je viac ako funkcia“
Vyzerajú takto:
\[\left| f\vpravo| \gt g\]
Vyzerá ako vpredu? Vyzerá to ako. Prote vyrishyuyutsya tak zavdannya zovsіm iným spôsobom. Formálne prichádza schéma:
\[\left| f\vpravo| \gt g\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(zarovnanie) \doprava.\]
Inými slovami, môžeme vidieť dva body:
- Na druhej strane jednoducho ignorujte modul - virishhuєmo normálna nekonzistentnosť;
- V podstate rozšírme modul 3 o znamienko mínus a potom vynásobíme problematickú časť nerovnosti −1, čo je menej ako znamienko.
V tomto variante majú hranatú mašľu, tobto. možno manželstvo dvoch by mohlo.
Opätujte rešpekt: nie sme pred systémom, ale sukupnistom, pri vіdpovіdі neosobnosti sa spájajú, ale nemenia sa. Je dôležité vidieť predný bod!
Vzagali, z ob'ednannymi a peretina pri bohatých uchnіv sutsіlna plutanina, poďme to v tsommu výžive znova a znova vyriešiť:
- "∪" - je znakom ob'ednannya. V skutočnosti bolo písmeno „U“ štylizované, ako k nám prišlo anglický filmє skratka ako „Union“, tobto. "Únia".
- "∩" je značka riadku. Tsya blbosť, zvuk neprišiel, ale len vinyl, ako bol napísaný pred „∪“.
Aby ste si to ľahšie zapamätali, namaľujte sa k týmto znakom, aby vyšli kelikovia (osa ma jednoducho nemusí hneď volať v propagande drogovej závislosti a alkoholizmu: ak sa naučíte všetko, potom už si narkoman):
Rіznitsya mizh retinom a ob'єdnannyam mnozhin V preklade ruského tse to znamená nasledovné: zväzok (zásobovanie) zahŕňa vlastné prvky z oboch súborov, teda nie menej ako ten kožný; a sietnicová os (systém) zahŕňa len tie prvky, ktoré sú súčasne v prvom multiplikátore a v druhom. Preto už neexistujú násobky viacerých dovoleniek.
Stalo sa to rozumnejšie? Od mňa dobre. Prejdime k praxi.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\]
Riešenie. Diemo pre schému:
\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\Šípka doprava \vľavo[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\vľavo(5-4x \vpravo) \\koniec (zarovnanie) \ vpravo .\]
Pokožka virishuemo nerіvnіnі suupnostі:
\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]
Myslím tým, že vynásobím kožu číselným riadkom a potom ich spojíme:
Kombinácia násobkov
Je celkom zrejmé, že $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Návrh: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gtx\]
Riešenie. No čo? Že nič – všetko jedno. Poďme cez nerovnosť s modulom k agregácii dvoch nerovností:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]
Zmierňuje podráždenosť pokožky. Bohužiaľ, koreň tam už nebude.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&(x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(zarovnať)\]
Ďalšia nervozita má tiež trocha hry:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(zarovnať)\]
Teraz musíte vypočítať čísla na dvoch osiach - jedna os pre nerovnosť pokožky. Je však potrebné označiť bodky v správnom poradí: čím vyššie číslo, tým viac bola bodka posunutá doprava.
Os tu nás kontroluje. Čo sa týka čísel $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ všetko je jasné) , takže súčet je tiež menší) , s číslami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ číslo je väčšie ako záporné), potom so zvyškom pár, všetko nie je také jasné. Čo je väčšie: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ alebo $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme usporiadanie bodov na číselných radoch і, vlasne, vіdpovіd.
Poďme sa teda pozrieť:
\[\začiatok(matica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matica)\]
Potvrdili sme koreň, odobrali sme záporné čísla z oboch strán nerovnomernosti, takže máme právo odmocniť urážlivé strany:
\[\začiatok(matica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\koniec (matica)\]
Myslím, že som si uvedomil, že $4\sqrt(13) \gt 3$, že $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, ostatné body na osiach budú usporiadané takto:
Vipadok škaredého koreňa
Hádam, vidíme sukupnіst, preto je potrebné mať kĺb, a nie preskupenie násobkov tieňovania.
Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\vpravo)$
Rovnako ako Bachite, naša schéma zázračne funguje pre jednoduché aj ťažké úlohy. Jediným „slabým miestom“ pre takúto osobu je potreba kompetentne vyvážiť iracionálne čísla (a obrátiť sa: nie je to viac ako koreň). Alya bude zasvätená okremium na dávky (a dokonca aj vážna lekcia). A poďme.
3. Nezrovnalosti s neviditeľnými "chvosty"
Ušli sme od najlepších. Cena nerovnomernej mysle:
\[\left| f\vpravo| \gt\left| g\vpravo|\]
Zdá sa, že algoritmus, o ktorom budeme hovoriť hneď, je pre modul lepší. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє zaručený nevid'єmnі vrazi:
Čo je náplňou týchto úloh? Len si pamätaj:
Nepravidelnosti s neviditeľnými „chvosty“ môžu spôsobiť urážlivé časti prírodného sveta. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu nie je vynikne.
Sme pred nami tsikavitime zvedennya v námestí - vіn spacie moduly, ktoré root:
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(\vľavo| f \vpravo| \vpravo))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\end(zarovnať)\]
Os len nemusí byť oklamaná od odmocniny štvorca:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \vpravo|\ne f\]
V tej chvíli boli povolené neosobné omilostenia, ak ste sa naučili zabudnúť nainštalovať modul! Ale tse zovsim іnsha іstorіya (tse yak bi iracionálna rіvnyannia), takže nezapadneme hneď. Pozrime sa jasnejšie na šprot dňa:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| x+2 \vpravo|\ge \vľavo| 1-2x \vpravo|\]
Riešenie. Opäť rešpektujeme dve slová:
- Tse nie je suvora nerіvnіst. Krapki na číselnej osi bude zlomený.
- Útočné stránky nekonzistentnosti nie sú jasne viditeľné (sila modulu: $ \ vľavo | f \ vľavo (x \ vpravo) \ vpravo | \ ge 0 $).
Môžeme tiež vyrovnať urážlivé časti nerovností, aby sme sa zbavili modulu a odstránili úlohu pomocou najlepšej metódy intervalov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(\vľavo| x+2 \vpravo| \vpravo))^(2))\ge ((\vľavo(\vľavo| 1-2x \vpravo| \vpravo) )^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\end(zarovnať)\]
Vo zvyšku fázy som trochu podvádzal: zmena postupnosti doplnkov, skrátenie parity modulu (v skutočnosti vynásobením $1-2x$ -1).
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2x-1 \vpravo))^(2))-((\vľavo(x+2 \vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) vpravo)\vpravo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Virishuemo metódou intervalov. Poďme od nerovností k zarovnaniu:
\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-3 \vpravo)\ľavý(3x+1 \vpravo)=0; \&(x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(zarovnať)\]
Zdá sa, že koreň sa nachádza na číselnej osi. Ešte raz: fúzy od farbív, čriepky nervozity - nie Suvora!
Zvіlnennya podľa znamenia modulu
Hádam pre tých, ktorí sú obzvlášť nekompromisní: zo zvyšku nerovností berieme znaky, ako keby bula bola zapísaná pred prechodom na rovnú. Aj zafarbovuyemo región, yakі potrebovať v rovnakej nerovnosti. Náš vipad má $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
No, zo všetkého. Úloha sa skončila.
Návrh: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \vpravo|\]
Riešenie. Robimo rovnako. Nekomentujem - len sa čudovať sledu akcií.
Zoberme si štvorec:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le (\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \vpravo| \vpravo))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \vpravo)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Intervalová metóda:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Šípka vpravo x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\šípka doprava D=16-40 \lt 0\šípka doprava \varnothing. \\end(zarovnať)\]
Iba jeden koreň na číselnej osi:
Vidpovid - tsiliy interval
Návrh: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Malý rešpekt k zvyšku hlavy. Ako keby som presne rešpektoval jedného z mojich študentov, urážky podmodulu sú v tejto nervozite jednoznačne pozitívne, takže znak modulu možno vynechať bez ujmy na zdraví.
Ale tse už zovsіm іnshiy rіven razdumіv, že іnshі pіdkhіd yogo možno mentálne nazvať metódou nasledkіv. O novom v okremou urotsi. A teraz prejdime k poslednej časti dnešnej lekcie, ktorou je univerzálny algoritmus, ktorý sa praktizuje večne. Navit teda, ak by sa všetci tí vpredu ukázali ako bezmocní.
4. Metóda pre výpočet možností
A prečo všetky priyomi nepomáhajú? Ako nerovnomernosť nespôsobia neviditeľné chvosty, ako sa nedá do modulu vojsť, ako sa dá spustiť?
Potom na scénu vstupuje veľké delostrelectvo všetkej matematiky – metóda sčítania. Stovky nezrovnalostí z modulu vyzerajú takto:
- Zapíšte si všetky pіdmodulnі vrazi a prirovnajte ich k nule;
- Rozvyazati otrimani rіvnyannya, že vіznázchiti znaydenі korenі na jednej číselnej priamke;
- Priamo rozіb'єtsya na kіlka dіlyanok, stred takého koženého modulu môže fixovať značku a to je jednoznačne rozkrivаєєtsya;
- Virishiti nerіvnіst na kozhnіy takých dilyanci (môžete sa pozrieť na root-cordoni, otrimani v bode 2 pre nadradenosť). Výsledky združenia - tse i bude vіdpovіd.
No jaka? slabý? Jednoducho! Na dlhú dobu. Pozrime sa prakticky:
manažér. Na uvoľnenie nervozity:
\[\left| x+2 \vpravo| \lt\left| x-1 \vpravo|+x-\frac(3)(2)\]
Riešenie. Tsya svinstvo nenechajte sa rozčuľovať $ \ left | f\vpravo| \lt g$, $\left| f\vpravo| \gt g$ alebo $\left| f\vpravo| \lt\left| g \right|$, to je v poriadku.
Napíšeme submodulárne virazi, prirovnáme ich k nule a poznáme koreň:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+2=0\šípka doprava x=-2; \& x-1=0\Šípka doprava x=1. \\end(zarovnať)\]
Dokopy máme dva korene, ktoré rozdeľujú číslo rovno do troch grafov, uprostred týchto skinov sa modul jednoznačne odvíja:
Rozdelenie číselného radu nulami submodulárnych funkcií
Pozrime sa na kožu okremo.
1. Dajte $x \lt -2$. Todi uráža pіdmodulnі virazi negatívne, ja vihіdna nerіvnіst prepíšem takto:
\[\začiatok(zarovnanie) & -\vľavo(x+2 \vpravo) \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(align)\]
Zdobuli dosit len obmezhennya. Presuňme jogu so zvyškom kvót, ktoré $x \lt -2$:
\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]
Je zrejmé, že zmena $x$ nemôže byť cez noc menšia ako -2, ale väčšia ako 1,5. Pre tento biznis neexistuje žiadne riešenie.
1.1. Okremo sa pozrite na takmer kordón vipadok $x=-2$. Predstavme si toto číslo pri absencii nejednotnosti a overiteľne: prečo je víťazné?
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \vpravo|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing. \\end(zarovnať)\]
Je evidentné, že nás lingvista napálil do neskutočnej nerovnomernosti. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh zle, і $x=-2$ nechodia do vіdpovіd.
2. Teraz dajte $-2 \lt x \lt 1$. Modul knižnice sa už vyvíja s plusom, ale ten pravý je stále s mínusom. Maemo:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\koniec (zarovnanie)\]
Znova to mením pomocou vikidnoy vimoga:
\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]
Obnovujem prázdne neosobné riešenie, nie sú tam čriepky takých čísel, ktoré sú zároveň menšie ako -2,5 a viac ako -2.
2.1. Obnovujem okremy vipadok: $ x = 1 $. Predstavme si, že výstup je nerovnomerný:
\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \ľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=1)) \\ & \left| 3\vpravo| \lt\left| 0 \vpravo|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing. \\end(zarovnať)\]
Podobne ako pri doprednom „súkromnom poklese“ číslo $x=1$ zjavne nie je zahrnuté v poklese.
3. Zostávajúci kus rovno: $x \gt 1$. Tu sú všetky moduly zakrivené so znamienkom plus:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \koniec (zarovnanie)\ ]
Znovu premýšľam o množstve externých výmen:
\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\in \left(4,5;+\infty) \správny)\]
No, vezmite si to! Vedeli sme interval, ktorý bude povіddu.
Návrh: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Nasamkinets - jeden rešpekt, ktorý vás možno zachráni pred zlými odpusteniami, keď sú splnené skutočné úlohy:
Virishennya nerіvіvnosti z modulov zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Izolované bodky sa zachytávajú pomalšie. Je pravdepodobnejšie, že sa zachytí tak, že medzi riešeniami (kіnets vіdrіzka) presahujú hranice analyzovaného rozsahu.
Odvtedy, ako keby kordóny (tieto „súkromné vipadki“ samotné) nevstúpili do stráží, potom mayzhe, spevom, nechoďte k strážcom a oblasti zla - právo vstúpiť do týchto kordónov. І navpaki: cordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh bude vіdpovіdyami.
Pamätajte na to, ak zmeníte svoje rozhodnutie.
Nerіvnіst ce viraz c, ≤ alebo ≥. Napríklad 3x - 5 Virishity inkonzistencia znamená poznať všetky významy zmeny, pre ktorú je nekonzistentnosť správna. Koža týchto čísel je riešením nekonzistentnosti, ale neosobným úspechom takýchto riešení je joga neosobné riešenie. Nervnosti, yakі mаyut tak neosobné rozhodnutie, sa nazývajú ekvivalentné nezrovnalosti.
Lineárne nepravidelnosti
Princípy rozpletania nezrovnalostí sú podobné princípom rozpletania rovnosti.Zásady odstraňovania nezrovnalostí
Pre akékoľvek reálne čísla a, b a c:
Princíp pridávania nezrovnalostí: Yakscho a Princíp násobenia pre nezrovnalosti: Rovnako ako 0 je pravda, ako ac Like a bc je tiež pravda.
Podobné tuhnutia sa tiež zastavia na a ≤ b.
Ak sa urážlivé stránky nervozity vynásobia záporným číslom, je potrebné opäť zmeniť znamienko nervozity.
Nepravidelnosti prvej úrovne, ako v zadku 1 (nižšia), sa nazývajú lineárne nepravidelnosti.
zadok 1 Odviazať pokožku od takejto podráždenosti. Zobrazme neosobné ruže.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Riešenie
Či už je to číslo, menej ako 11/5, є rozhodnutí.
Neosobné rozhodnutie є (x|x
Aby sme to prehodnotili, môžeme nakresliť graf y 1 = 3x - 5 a y 2 = 6 - 2x. Je však jasné, že pre x 
Anonymné riešenie є (x|x ≤ 1), alebo (-∞, 1) Graf násobiteľa obrazového riešenia nižšie. 
Podkladová nervozita
Ak sú dve nezrovnalosti spojené slovom і, alebo potom sa tvorí základná nervozita. Podvіyna nerіvnіst, yak
-3
і 2x + 5 ≤ 7
volal z'ednanim, k tomu v novom vikoristane і. Záznam -3 Základné nezrovnalosti možno prekonať zmenou princípov, pridávaním a násobením nezrovnalostí.
zadok 2 Virishit -3 Riešenie Máme
Neosobné rozhodnutie (x|x ≤ -1 alebo x > 3). Môžeme tiež napísať riešenie pre rôzne definície intervalu a symbolu pre združenia inak sú zahrnuté oba násobky: (-∞ -1] (3, ∞) 
Pre opätovné overenie môžeme povedať y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 a y 3 = 1. Upozorňujeme, že pre (x|x ≤ -1 alebo x > 3), y1 ≤ y2 alebo y1 > y3. 
Nezrovnalosti s absolútnymi hodnotami (modul)
Nervnostі іnоdі mіstіat moduly. Ďalšie charakteristiky sú zastosovuyutsya pre ich dokonalosť.
Pre a > 0, že algebraická viráza x:
|x| |x| > a je ekvivalentné x chi x > a.
Podobné tvrdenia pre |x| ≤ a a |x| ≥ a.
Napríklad,
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentné y ≤ -1 alebo y > 1;
a |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentné -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
zadok 4 Odviazať pokožku od takejto podráždenosti. Držte sa harmonogramu viacerých rozhodnutí.
a) | 3x+2 | b) |5 - 2x| ≥ 1
Riešenie
a) | 3x+2 |
b) |5 - 2x| ≥ 1
Anonymné riešenie є (x|x ≤ 2 alebo x ≥ 3), alebo (-∞, 2] )
