Çok fazla fonksiyon değeri 4 x 3. Fonksiyon değeri alanı (daha büyük fonksiyon değeri). Gerekli anlayış ve bilginin uygulanması. Fonksiyon değerlerinin alanlarını bilmenin yolları

D(f)- o anlamlar, nasıl tartışabilirsin, tobto. fonksiyon kapsamı.

E(f)- bu anlamlar, işlevin nasıl adlandırılabileceği, yani. kişisel olmayan işlev değeri.

Fonksiyon değerlerinin alanlarını bilmenin yolları.

fonksiyonun katlama argümanlarının son değeri;

değerlendirme/kordon yöntemi;

gücün muzafferliği, işlevin sürekliliği ve monotonluğu;

vikoristannya pokhіdnoi;

fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin seçimi;

grafik yöntemi;

parametre istek yöntemi;

ters fonksiyon yöntemi.

Bir de onların yaptıklarına bakalım.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalniy pidkhid kişisel olmayan işlevin değerine, kesintisiz f(x) işlevinin değeri, randevu alanındaki f(x) işlevinin en büyük ve en küçük değerinin değerine eşittir ( veya bunlardan birinin yanlış olmadığını kanıtlamak için).

Bir bakışta, işlevin kişisel olmayan değerini bilmek gerekir. vіdrіzka üzerinde:

f "(x) fonksiyonunun tam değerini bilin;

f(x) fonksiyonunun kritik noktalarını bilmek ve verilen iplik üzerinde duracak şekilde bunlardan seçmek;

kesimin uçlarında ve seçilen kritik noktalarda fonksiyonun değerini hesaplayın;

bilinen değerler arasından en az ve en önemli olanı seçin;

Fonksiyonun değerini bu değerler arasına koymak zengindir.

Atanan işlevin kapsamı nedir? Aralık, sonra şemanın kendisi kazanır ve ardından döngünün sonundaki değerler, aralığın sonuna kadar argüman egzersizi ile işlevler arasında eşleştirilir. Aradaki anlamlar kişisel olmayan bir anlama girmez.

Ara/tahmin yöntemi

Fonksiyonun değerinin çarpanının değeri için önce argümanın kişisel olmayan değerini biliyoruz ve sonra fonksiyonun fonksiyonunun en az anlamlı değerini buluyoruz. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Alanın özü, alt ve canavarın kesintisiz işlevinin değerlendirilmesinde ve değerlendirmelerin alt ve üst sınırının işlevinin erişiminin kanıtlanmasında yatmaktadır. Kişiliksizliğin herhangi bir değişikliği ile, alt ara değerlendirmeden üst olana kadar bir aralıktaki işlevin değeri, işlevin kalıcı olmaması ve içindeki alt değerlerin varlığı ile belirlenir.

Kesintisiz fonksiyonun hakimiyeti

Alanın dönüştürülmüş fonksiyondaki ikinci varyantı kesintisiz bir şekilde monotondur, oysa düzensizliklerin muzaffer gücü, alınan yeni fonksiyonun kişisel olmayan değerini değerlendirir.

İşlevdeki katlama argümanlarının son değeri

Fonksiyonun depolandığı ara fonksiyonların kişisel olmayan değerinin son görünümüne dayanarak

Temel temel fonksiyonların değer alanları

İşlev	anonim anlam
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; bir]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm yay)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Uygulamak

Bir işlevin anonim değerini bulun:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Hedef alanı biliyoruz: D(f)=[-3;3], çünkü $9-x^(2)\geq 0$

Biz daha iyisini biliyoruz: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

x = 0 ise f"(x) = 0. $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ ise x = ±3 ise f"(x) doğru değildir. Üç kritik nokta alınır: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Sayalım: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Ayrıca, f(x)'in en küçük değeri 0, en yüksek değeri 3'tür.

Öneri: E(f) = .

vikoristovuyuchi pokhіdnu DEĞİL

En ve en az önemli işlevleri bulun:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , sonra:

tüm x için $f(x)\leq \frac(3)(4)$;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ tüm x için(çünkü $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Öneri: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Fakirlerin yardımına bakmak istiyorsanız, o zaman bir değişiklik yapmanız gerekir, çünkü f (x) işlevi satıra değil, tam sayı satırına atanır.

Vikoristovuyuchi inter/tahmin yöntemi

3 sinüs değeri kaydırıldı, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Sayısal düzensizliklerin gücünü hızlandıralım.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (temel düzensizliğin üç bölümünü de -4 ile çarparak);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Bu fonksiyon atamanın tüm alanlarında kesintisiz olduğu için, doğru olduğu gibi tüm atama alanındaki en küçük ve en büyük değerler arasına anlamsız değer yerleştirilir.

Bu durumda, $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є fonksiyonunun değeri kişisel değildir.

3 düzensizlik $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ tahmini alın $$\\ -6\leq y\leq 6 $$

x = p і x = 0 olduğunda, işlev -6 і 6 değerini alır. alt ve üst sınırlara ulaşın. Kesintisiz fonksiyonların lineer bir kombinasyonu olarak cos(7x) ve cos(x), y fonksiyonu tüm sayısal eksende süreklidir, bu nedenle, kesintisiz fonksiyonun katılığı nedeniyle, -6 ile 6 arasındaki tüm değerleri toplar. kapsayıcı ve yalnızca їx, çünkü eşitsizlik nedeniyle $ - 6 \leq y\leq 6$ diğer değerler mümkün değildir.

Ayrıca, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Kanıt: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Tersinir viraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \sağ)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \sağ) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Kosinüs değeri şu şekildedir: $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Fonksiyon tüm atama aralığında kesintisiz olarak verildiğinden, değersiz değer en küçük ve en büyük değerler arasına yerleştirilir, ortaya çıktığı gibi, fonksiyonun değersiz değeri $ y = sqrt (2) \ cos ((x) + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ є kişisel olmayan $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Önemli ölçüde $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Görevin kendisi, değişiklik (-∞;4) üzerindeki $y = \log_(0,5)(t)$ fonksiyonunun değerinin çarpanının değerine indirgenir. Oskіlki işlevi $y = \log_(0,5)(t)$ yalnızca t > 0 için atanır, її aralıktaki işlevin değeri (-∞; 4) aralıktaki işlevin değerinden alınır (0; 4), logaritmik fonksiyonun (0; +∞) aralığı ile retina değişimidir (-∞; 4). (0;4) aralığında bu işlev kesintisiz ve daha küçüktür. t > 0 için değer +∞'dir ve t = 4 için değer -2'dir, yani E(y) = (-2, +∞).

İşin püf noktası, işlevin grafiksel bir temsiline dayanmaktadır.

Fonksiyonun dönüştürülmesinden sonra: y 2 + x 2 = 25, ayrıca y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Sonraki tahmin, $x^(2)+y^(2)=r^(2)$'ın yarıçapı r olan hisseye eşit olduğudur.

Tsikh zamezhennya programı eşitleme verildiğinde - koordinatların koçanı üzerindeki üst pіvkola nın merkezi yarıçaptır, bu da 5'e eşittir. Açıkçası, scho E(y) = .

Öneri: E(y) = .

Vikoristan edebiyatı

EDI'nin başındaki işlevlerin önem alanı, Minyuk Irina Borisivna

Bir işlevin kişisel olmayan anlamını anlamak adına, Belyaeva I., Fedorova S.

İşlevin kişisel olmayan değerinin önemi

Giriş sınavlarında matematiğin görevi nasıl gösterilir, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Çoğu zaman, görev dağılımının sınırlarında, bölüme atanan alanın işlevinin kişisel olmayan değerini shukati'ye getirdik. Örneğin, ihlal durumunda çalışmak gerekir farklı şekiller usulsüzlükler, viraziv ve içinde değerlendirmeler.

Bu materyal çerçevesinde, bir fonksiyonun önem alanının ne olduğunu belirlemek mümkündür, hesaplayabileceğimiz ana yöntemleri tanıtacağız ve farklı bir katlama derecesini analiz edeceğiz. Açıklık için, konumlar grafiklerle gösterilmiştir. Bu makaleyi okuduktan sonra, işlevin kapsamı ile ilgili tüm bilgileri ortadan kaldıracaksınız.

Pochnemo temel görevleridir.

Randevu 1

Geçerli x aralığında y = f (x) fonksiyonunun değersiz değeri, fonksiyon tüm x ∈ X değerleri üzerinde yineleme yapıldığında verildiği için tüm değerlerin değersiz değeridir.

Randevu 2

y = f (x) işlevinin değer aralığı, tüm її değerlerinin isimsiz değeridir, böylece yineleme sırasında x z x ∈ (f) değerini alabilir.

Gerçek fonksiyonun değer alanı E(f) olarak alınır.

Bir fonksiyonun değerinin çarpımını anlamaya saygı göstermek için, değerinin aynı alanından başlamayın. Anlama değerleri ancak bu durumda eşit olacaktır, çünkü x değerinin aralığı, değer bilinmediğinde, değer, belirlenen fonksiyonun alanından değişir.

Doğru kısmın y = f (x) ifadesi için x değişiminin değer aralığı ile kabul edilebilir değer aralığı arasında ayrım yapmak da önemlidir. f(x) ifadesi için kabul edilen x değerlerinin alanı ve fonksiyona atanan alan olacaktır.

Aşağıya deyaki izmaritlerini gösteren bir illüstrasyon yerleştirilmelidir. Mavi çizgiler fonksiyonların grafikleri, kırmızılar asimptotlar, ordinat eksenindeki aynı doğruların noktaları fonksiyon değerinin tüm alanlarıdır.

Tüm O y için grafikler tasarlanırken işlevin kapsamının dikkate alınabileceği açıktır. Kimin için bir sayı ve kişisel olmayan sayılar, üç, bir aralık, bir açık aralık, sayısal aralıkların bir kombinasyonu ve diğerleri.

Fonksiyonun kapsamını bilmenin ana yollarına bir göz atalım.

Kalıcı olmayan bir y = f (x) fonksiyonunun değerinin çarpımını, [a; B]. Fonksiyonun herhangi bir yönde kesintisiz olduğunu, yeni minimum ve maksimuma ulaştığını biliyoruz, yani en büyük m a x x ∈ a ; b f (x) en küçük değerdir m ben n x ∈ a ; bf(x). Yine, m i n x ∈ a'yı hesaba katıyoruz; bf(x); m x x ∈ bir; b f (x) , çıktı fonksiyonunun kişisel olmayan değerini içerecektir. Üzerinde çalışmamız gereken tek şey bu - yalnızca minimum ve maksimum noktaları hangi noktada belirteceğimizi bilmek gerekir.

Alanı arksine atamak için gerekli olan bir görevi ele alalım.

popo 1

Umov: y = a r c sin x değerini bulun.

Çözüm

Vahşi eğimde, yay sinüsüne atanan alan tepeye [-1; bir]. Atanan fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini yenisine atamamız gerekiyor.

y "= a r c günah x" = 1 1 - x 2

Bu fonksiyonun [-1; 1 ] , böylece bölge genişletilerek fonksiyon, büyüme oranının ark sinüsüne atanır. Böylece, en küçük değer x'te - 1'e eşit ve en büyük - x'te, 1'e eşit kabul edilecektir.

m ben x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a rc sin 1 = π 2

Bu şekilde, arksinüs fonksiyonunun değerinin alanı daha pahalıdır E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Öneri: E (ar c sin x) \u003d - π 2; π 2

popo 2

Umov: Verilen alt dizide y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 değer aralığını hesaplayın [1; 4].

Çözüm

Çalışmamız gereken tek şey, belirli bir aralık için fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini hesaplamaktır.

Ekstremum noktasını belirlemek için aşağıdaki hesaplamayı yapmanız gerekir:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Şimdi verilen fonksiyonun kesim ve noktaların aralıklarındaki değerini biliyoruz x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Bu nedenle, işlevin kişisel olmayan değeri, 117 - 165 33 512 farkıyla belirlenir; 32 .

Öneri: 117 - 165 33 512 ; 32 .

(a;b), ayrıca a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Belirli bir aralıktaki büyüme ve değişim arasındaki aralıkların yanı sıra en büyük ve en küçük noktaların belirlenmesiyle başlayalım. Eğer öyleyse, tutarsızlık konusunda aralıklarda ve/veya sınırlarda tek taraflı sınırları virahuvat etmemiz gerekecek. Başka bir deyişle, fonksiyonun davranışını verilen zihinlere atamamız gerekiyor. Kimin için gerekli tüm verilere ihtiyacımız olabilir.

popo 3

Umov:(-2; 2) aralığında y = 1 x 2 - 4 fonksiyonunun aralığını hesaplayın.

Çözüm

Verilen satırda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini gösteriyoruz

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

0'a eşit olan maksimum değere ulaştık, ancak aynı noktada düşmeye gitmek için fonksiyonun ve grafiğin işaretini değiştirmek gerekiyor. Böl. örnekleme için:

Yani y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4, fonksiyonun maksimum değeri olacaktır.

Şimdi fonksiyonun davranışı, sağdan - 2'ye ve soldan + 2'ye kadar olan x için önemlidir. Başka bir deyişle, tek taraflı sınırları biliyoruz:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Argüman -2'den 0'a değişirse, fonksiyonun değerinin eksi tutarsızlıktan -14 todi'ye kadar arttığını gördük. Ve argüman 0'dan 2'ye değişirse, fonksiyonun değeri eksi sonsuz olarak değişir. Daha sonra verilen fonksiyonun gerekli aralıktaki anlamsız değeri (- ∞ ; - 1 4 ) olacaktır.

Öneri: (- ∞ ; - 1 4 ] .

popo 4

umov: belirli bir aralıkta anonim bir y = t g x değeri girin - π 2; π 2 .

Çözüm

β'nın tanjantının - π 2'ye benzer olduğunu biliyoruz; π 2 pozitif olsun, yani fonksiyon büyüyor. Şimdi verilen sınırlar içinde fonksiyonun nasıl çalıştırılacağı önemlidir:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

vid - π 2'yi π 2'ye değiştirirken fonksiyonun artı tutarsızlığa eksi tutarsızlıktan artan değerini çıkardık ve bu fonksiyonun kişisel olmayan çözümünün tüm gerçek sayıların gayri şahsiliği olacağını söyleyebiliriz.

Öneri: - ∞ ; + ∞ .

popo 5

Umov: fonksiyonun aralığı olan atama, doğal logaritma y = ln x .

Çözüm

Fonksiyonun verildiğini ve atandığını biliyoruz. pozitif değerler argüman D(y) = 0; +∞. Verilen aralıktaki Pohіdna pozitif olacaktır: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, yenisinin işlevlerinde bir artış var. Argüman doğru 0 ise (sağ tarafta) ve x doğru tutarsızlık değilse, bunun için tek taraflı bir sınır belirleme ihtiyacını verdiler:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

x'in değerini sıfırdan sonsuz artıya değiştirirken, fonksiyonun değerinin eksi tutarsızlıktan artı tutarsızlığa büyüdüğünü çıkardık. Yani, tüm gerçek sayıların birçoğu var - ce ve є doğal logaritma fonksiyonunun değerinin alanı.

Öneri: tüm gerçek sayıların çarpanı, doğal logaritmanın fonksiyonunun değerinin alanıdır.

popo 6

Umov: y = 9 x 2 + 1 fonksiyonunun aralığının hangisi olduğunu belirleyin.

Çözüm

Tsya işlevi є x'in gerçek bir sayı olduğunu zihin için söyleyin. En ve en az önemli işlevlerin yanı sıra boşlukları, büyümeyi ve değişimi sayalım:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Sonuçlarda fonksiyonun azalacağını, böylece x ≥ 0; bunun yerine, x ≤ 0; değiştirirken maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9'a işaret etmeyecek, bu daha pahalı 0 .

Tutarsızlıkta bir işlevi nasıl çalıştıracağımızı merak ediyoruz:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Kayıttan, y fonksiyonunun değerinin asimptotik olarak 0'a yaklaştığı görülebilir.

Podib'єmo alt torbaları: argüman eksi tutarsızlıktan sıfıra değişirse, işlevin değeri 0'dan 9'a çıkar. Argümanın değeri 0'dan artı tutarsızlığa değişirse, işlevin değeri 9'dan 0'a düşer. Küçük bir tane için fiyat hayal ettik:

Yenisinde, fonksiyon değerinin aralığının E(y) = (0; 9) aralığı olacağı görülebilir.

Öneri: E(y) = (0; 9]

Bu nedenle, [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , o zaman bu tür araştırmaları kendimiz yapmalıyız.

Ve nasıl bir vipadku'nuz var, deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv'a atanan alan nasıl? Daha sonra bu aralıkların skin s üzerindeki isimsiz değerini hesaplamamız ve birleştirmemiz gerekiyor.

popo 7

Umov: aralığın ne olacağını belirleyin y = x x - 2 .

Çözüm

Oskіlki znamennik, suçlu değil ama 0'a znacheniya işlevi görüyor, sonra D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞.

İlk satıra fonksiyon değerinin bir çarpanını atayarak başlayalım - ∞; 2, açık bir vaattir. Yenisinde fonksiyonun azalacağını, dolayısıyla fonksiyonun negatif olacağını biliyoruz.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Ardından, argüman y'den tutarsızlık çıkarılarak doğrudan değişirse, fonksiyonun değeri asimptotik olarak 1'e yaklaşır. x'in değeri eksi tutarsızlıktan 2'ye düşerse, değer 1'den eksi tutarsızlığa, yani. aralığın gelecekteki değeri üzerinde işlev - ∞ ; bir . Tek başına, yansımalarımız dışında, її fonksiyonunun değerinin parçaları ulaşmaz, aksine asimptotik olarak ona yaklaşır.

Açık değişim 2 için; + ∞ vikonuєmo yani sami dії. Yenisinin işlevi de daha azdır:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Belirli bir vіdrіzka'daki işlevin değeri, değersiz 1'e atanır; +∞. Yani, zihin için verilen fonksiyonun değerinin alanına ihtiyacımız var, katlarla birleştirilecek - ∞; 1 ve 1; +∞.

Öneri: E(y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞.

Grafiği inceleyebilirsiniz:

Belirli dalgalanmalar periyodik fonksiyonlardır. Bu değer alanı, kişisel olmayan bir değerden, işlev süresine bağlı olarak o aralığa değişir.

popo 8

Umov: Alanı sinüs y = sin x değerine ayarlayın.

Çözüm

Sinüs, periyodun 2 pi olması gibi, periyodik bir fonksiyona uzanır. Beremo vіdrіzok 0; 2 π Yenisinde kişisel olmayan bir değerin ne olacağına hayret ediyorum.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 sınırında; 2 π fonksiyonları, ekstremum π 2 і x = 3 π 2 noktaları olacaktır. İçlerindeki işlevin öneminin neden daha önemli olduğuna ve ayrıca vіdrіzka'nın sınırlarına bir göz atalım, bundan sonra en çok ve en az anlamlı olanı seçiyoruz.

y (0) = günah 0 = 0 y π 2 = günah π 2 = 1 y 3 π 2 = günah 3 π 2 = - 1 y (2 π) = günah (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π günah x = günah 3 π 2 = - 1, maks x ∈ 0; 2 π sinx \u003d günah π 2 \u003d 1

Öneri: E (sin x) = - 1; bir .

Statik, ekran, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik gibi bu tür işlevlerin değer alanını bilmeniz gerekiyorsa, temel temel işlevler hakkındaki makaleyi tekrar okuyabilirsiniz. Teori, burada önerdiğimiz gibi, verilen değeri tersine çevirmenize izin verir. Їх Bazhano vivchiti, kiraz gününün saatinde genellikle pis koku parçalarına ihtiyaç duyulur. Ana fonksiyonların alanlarını biliyorsanız, geometrik dönüşüm yardımı için elementer olanları alıyormuş gibi, fonksiyonların alanlarını kolayca bilebilirsiniz.

popo 9

Umov: aralığını ayarlayın y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Çözüm

Arkosinüs değerinin 0 üzeri pi olduğunu biliyoruz. Başka bir deyişle, E (ar c cos x) = 0 ; π veya 0 ≤ a r c cos x ≤ π. a r c cos x 3 + 5 π 7 fonksiyonunu gererek ve O x eksenini gererek ters kosinüs olarak alabiliriz, aksi halde bize hiçbir şey veremeyiz. Yani, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

3 yay cos x 3 + 5 π 7 işlevi, dikey eksenin ek bir gerilmesi için ters kosinüs yayından cos x 3 + 5 π 7 çıkarılabilir, bu nedenle 0 ≤ 3 ark cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Finalde, dönüşüm 4 değerle zsuv uzdovzh ekseni O y'dir. Sonuç, bazı temel eşitsizliklere sahip olacaktır:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

İhtiyaç duyulan değerin alanını çıkardık E(y)= - 4 ; 3 pi-4.

Öneri: E(y) = - 4; 3 pi-4.

Açıklama yapılmadan bir popo daha yazılacak çünkü şarap öndekine benzer.

popo 10

Umov: fonksiyonun aralığının ne olacağını hesaplayın y = 2 2 x - 1 + 3 .

Çözüm

Aklımızda verilen fonksiyonu y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 şeklinde yeniden yazalım. Statik bir fonksiyon y = x - 1 2 için, değer alanı 0 aralığına atanacaktır; + ∞, o zaman. x-1 2 > 0 . Bu damarda:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

O halde, E(y) = 3; +∞.

Öneri: E(y) = 3; +∞.

Şimdi fonksiyonun kapsamını nasıl bileceğimize, nasıl kesintiye uğramayacağımıza bir göz atalım. Bunun için tüm alanı boşluklara ayırmamız ve ciltlerindeki kişisel olmayan anlamı bilmemiz gerekiyor, ardından gördüklerimizi birleştiriyoruz. Daha iyi anlamak için, işlevin ana bakış açılarını tekrarlamak adına.

popo 11

Umov: verilen fonksiyon y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Alan її değerini hesaplayın.

Çözüm

Bu fonksiyon, x'in tüm değerlerine atanır. Argümanın değerleri, eşit - 3 ve 3 ile süreklilik için bir analiz yapalım:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 günah x 2 - 4 = 2 günah - 3 2 - 4 = - 2 günah 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

- 3 argümanının değeri ile birinci türden kesintisiz genişleme olabilir. Fonksiyonun yeni değerine yaklaşırken - 2 sin 3 2 - 4'e kadar, x sağ taraftan - 3'e kadar ise değerler - 1'e kadar hareket edecektir.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

3. noktada farklı bir cins aranmaması mümkündür. İşlev eşit değilse, її değerleri - 1'e, işlev sağa eşitse - eksi tutarsızlığa yakındır.

Otzhe, atanan işlevin tüm alanı 3 aralığa bölünmüştür (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

İlkinde, y = 2 sin x 2 - 4 fonksiyonunu kaldırdık. Oskіlki - 1 ≤ günah x ≤ 1 kabul edilebilir:

1 ≤ günah x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Yani, bu aralık için (- ∞ ; - 3] fonksiyonun değeri yoktur - [ - 6 ; 2 ] .

Son aralıkta (- 3 ; 3 ) y = - 1 sabit fonksiyonu vardı. Otzhe, zaman zaman tüm kişisel olmayan її znachen bir numaraya kadar inşa edilecektir - 1.

Başka bir aralıkta 3; + ∞ y = 1 x - 3 fonksiyonunu kullanabiliriz. Kazandı є maça, o y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Dolayısıyla, x > 3 için çıktı fonksiyonunun kişisel olmayan değeri, 0'ın katıdır; +∞. Şimdi sonuçlar genellikle alınır: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Öneri: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Çözüm grafikte gösterilmiştir:

popo 12

Umov: є fonksiyonu y = x 2 – 3 e x . Kişisel olmayan anlamı takdir edin.

Çözüm

Vaughn, gerçek sayılar olan argümanın tüm anlamlarına atanır. Önemli olarak, bazı aralıklar için artış, bazılarında ise azalma fonksiyonu verilmiştir:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

x = - 1 ve x = 3 gibi 0'a gitmenin iyi olduğunu biliyoruz. Bütüne iki nokta koyalım ve z'yasuёmo, aralıkların anası gibi işaretler olacak.

İşlev (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i [ - 1 ; 3]. Minimum puan - 1, maksimum - 3 olacaktır.

Artık fonksiyonun ana değerlerini biliyoruz:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Tutarsızlıktaki işlevin davranışına bakarız:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Diğer aracının hesaplanmasında Lopital kuralı kullanılmıştır. Çözümümüzün grafiklere geçtiği düşünülebilir.

Eksi tutarsızlıktaki argüman -1 olarak değişse bile, fonksiyonun değerinin artı tutarsızlıkta -2e'ye düşeceği görülebilir. Şarap 3'ten artı yanlışlara değişirse, değer 6 e - 3'ten 0'a düşer, ancak 0 varsa, erişim olmaz.

Bu sırada, E(y) = [- 2 e; +∞).

Öneri: E(y) = [-2e; +∞)

Metindeki affı nasıl hatırladın, kibar ol, gör ve Ctrl + Enter tuşlarına bas

İşlevin ve onunla bağlantılı her şeyin anlaşılması, akla değil, geleneksel olarak katlanmış hale getirilir. Bir taşla, işlevin ve ЄДІ є atama alanının ve işlevin önem (değişim) alanının nasıl hazırlandığına odaklanalım.
Atanan işlev alanı ile önem alanı arasında ayrım yapmamayı öğrenmek nadir değildir.
Atanan işlevin alanını değiştirme görevinde ustalaşmayı öğrenir öğrenmez, işlevin kişisel olmayan anlamını değiştirme görevi, chimali güçlüklerinin kokusunu gerektirir.
Meta tsi єї statti: Bir fonksiyonun değerini bilme yöntemlerini bilmek.
Bu konuların gözden geçirilmesi sonucunda teorik materyal geliştirildi, çoklu fonksiyonların önemi için problem çözme yöntemleri incelendi, öğrencilerin bağımsız çalışmaları için didaktik materyal seçildi.
Bu makale, matematikte seçmeli seçmeli derslerde “Bir Fonksiyonun Önem Alanı” gibi öğrencilerin mezuniyete hazırlanmasında ve tanıtım çalışmalarında öğretim görevlisi olabilir.

I. İşlev kapsamının belirlenmesi.

Y \u003d f (x) işlevinin alan (çarpan) değeri E (y) olarak adlandırılan bu sayıların sayısı y 0 , cilt z için öyle bir x 0 sayısı vardır: f (x 0) \u003d y 0 .

Ana alanı tahmin edin temel fonksiyonlar.

Tabloya bakalım.

İşlev	anonim anlam
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = çünkü x	E(y) = [-1; bir]
y = tgx	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctgx	E(y) = (-∞;+∞)
y = arksin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arkos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = yayctg x	E(y) = (0; π)

Eşleştirilmiş aşamadaki herhangi bir polinomun değer alanının boşluk olduğuna da saygı duyulur, de n polinomun en büyük değeridir.

II. İşlevlerin gücü

Kişisel olmayan bir işlevin başarılı bir şekilde tanınması için, temel temel işlevlerin gücünü, özellikle önem alanlarını, önem alanını ve monotonluğun doğasını iyi bilmek gerekir. İşlevlerin kişisel olmayan değerleri bilindiğinde çoğunlukla galip gelen kesintisiz, monoton farklılaşma işlevlerinin gücünü uyandıralım.

Hakimiyet 2 ve 3, kural olarak, atama alanlarında kesintisiz olarak temel bir işlevin gücünü hemen kazanır. Çarpan değeri sorununa en basit ve en kısa çözüm verildiğinde, bir fonksiyonun monotonluğunu belirlemek için tutarsız yöntemler kullanılabilse bile, bir fonksiyonun değerine otorite 1 temelinde ulaşılabilir. Çözüm, bir işlev olarak, bundan önce daha basittir - çift eşleştirilmez, periyodik olarak incedir. Bu şekilde, bir fonksiyonun değerinin çarpılmasının önemine ilişkin görevleri yürütürken, gerekirse yeniden düşünmek ve fonksiyonun hücum gücünü kazanmak gerekir:

kesintisiz;
monotonluk;
farklılaşma;
eşleştirme, eşleştirmeyi kaldırma, periyodiklik incedir.

Sosyal yönelimin işlevinin kişisel olmayan anlamını bilmenin garip görevi:

a) en basit tahminler ve limit için: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 o halde);

b) tam kareyi görmek: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) trigonometrik viraziv'in dönüşümü üzerine: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 günah 2 x +1;

d) x 1/3 + 2 x-1 fonksiyonunun monotonluğunun elde edilmesi R'yi arttırır.

III. Şimdi fonksiyon değerlerinin alanlarını bilme yöntemlerine bir göz atalım.

a) fonksiyonun katlama argümanlarının son değeri;
b) değerlendirme yöntemi;
c) gücün elde edilmesi, kesinti olmaması ve işlevin monotonluğu;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) fonksiyonun en yüksek ve en düşük değerinin seçimi;
e) grafik yöntemi;
g) parametre talep yöntemi;
h) ters fonksiyon yöntemi.

Rozkriёmo özü bu yöntemlerin belirli izmaritleri üzerindedir.

Örnek 1. Değer aralığını bulun E(y) fonksiyonlar y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Bu sorunu, fonksiyonun katlanan argümanlarının sıralı değeri yöntemiyle çözebiliriz. Logaritmanın altındaki yeni kareyi görerek, fonksiyonu dönüştürüyoruz.

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І sırayla, її daraltılabilir argümanların kişisel olmayan anlamını biliyoruz:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Önemli ölçüde T= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim, y = log 0,5 t fonksiyonunun değerinin çarpanının değerine ulaşmak için borsada (-∞;4) . y = log 0,5 t fonksiyonu sadece zihin için atandığından, (-∞; 4) aralığındaki anonim değer, fonksiyonun aralık olan (0; 4) aralığındaki anonim değerinden değiştirilir. logaritmik fonksiyonun (0; + ∞) aralığı ile (-∞; 4) aralığı. (0;4) aralığında bu işlev kesintisiz ve daha küçüktür. saat T> 0 pragne +∞ kazandı ve ne zaman t = 4, -2 değerini şu şekilde ayarlar: E(y) =(-2, +∞).

Örnek 2. Fonksiyonun kapsamını bulun

y = cos7x + 5cosx

Bu popoyu, özü, alt ve üst sınırların kesintisiz işlevinin değerlendirilmesinde ve değerlendirmelerin alt ve üst sınırlarının işlevinin erişiminin kanıtlanmasında olan değerlendirme yöntemiyle görebiliriz. Kişiliksizliğin herhangi bir değişikliği ile, alt ara değerlendirmeden üst olana kadar bir aralıktaki işlevin değeri, işlevin kalıcı olmaması ve içindeki alt değerlerin varlığı ile belirlenir.

-1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 düzensizliklerinden -6≤y?6 puanını alıyoruz. x = p і x = 0 olduğunda, işlev -6 і 6 değerini alır. alt ve üst sınırlara ulaşın. Kesintisiz fonksiyonlar cos7x ve cosx'in lineer bir kombinasyonu olarak, fonksiyon y tüm sayısal eksende kesintisizdir, bu nedenle, kesintisiz fonksiyonun gücü nedeniyle, -6'dan 6'ya kadar tüm değerleri kazanır. kapsayıcı ve sadece їх, yani, -6≤y değerlerindeki tutarsızlıklar nedeniyle imkansızdır. otze, E(y)= [-6;6].

Örnek 3. Değer aralığını bulun E(f) fonksiyonlar f(x)= cos2x + 2cosx.

Balenli kuta'nın kosinüs formülünü izleyerek işlevi dönüştürüyoruz f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 bu anlamlıdır T= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E(cosx) =

[-1;1], ardından işlevin aralığı f(x) g işlevinin kişisel olmayan bir değeri olan zbіgaєtsya (T)= 2t 2 + 2t - 1 arkaya [-1; 1], grafiksel yöntemle bildiğimiz gibi. Fonksiyonun grafiğini indükleme y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) Aralık başına 2 - 1.5 [-1; 1], biliyoruz E(f) = [-1,5; 3].

Saygı - işlevin kişisel olmayan anlamının önemine kadar, parametre ile, daha da önemlisi, farklılıkların sayısı ve farklılıkların sayısı ile bağlantılı zengin bir görev oluşturmak gerekir. Örneğin, eşit f(x)\u003d ancak bundan daha fazlasını yapmasına izin verilir, eğer

aE(f) Benzer şekilde, eşit f(x)\u003d a Mevcut X boşluğuna yayılan bir kök isteyebilir miyim, aksi takdirde aynı boşlukta tek bir köke sahip olamazsınız ve o zaman sadece biraz, yalan söylemeniz veya yalan söylememeniz gerekiyorsa, fonksiyonun kişisel olmayan değeri f(x) X aralığında. f(x)≠ a, f(x)> bir ben vb. zokrema, f(x)≠ ve tüm kabul edilebilir değerler için х yakso a E(f)

Uç 4. A eşittir (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) parametresinin herhangi bir değeri için [-4;-1] girintisi için tek bir kök vardır.

(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a'nın eşitliğini yazalım. Kalan eşit, vdrіzka [-4;-1] başına yalnızca bir kök isteyebilir ve yalnızca işlevin kişisel olmayan değerleri varsa f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) ters [-4;-1]. İşlevin gayri şahsiliğini, muzaffer gücünü, kesintisizliğini ve monotonluğunu biliyoruz.

Öte yandan [-4;-1] y = xІ + 4 fonksiyonu kesintisizdir, daha az i pozitiftir, yani fonksiyon g(x) = 1/(x 2 + 4) kesintisizdir ve tsmuy vіdrіzku'da zbіlshuєtsya, rozpodіlі için oskіlki, pozitif fonksiyonda, fonksiyonun monotonluğunun doğası, uzamaya dönüşür. İşlev h(x) =(x + 5) 1/2 kesintisizdir ve kendi galerisinde büyür D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, vіdrіzku [-4;-1], deva, üstelik pozitif. aynı işlev f(x)=g(x) h(x), iki kesintisiz, büyüyen ve pozitif fonksiyonun eklenmesi gibi, aynı zamanda kesintisiz ve ek [-4;-1] ile artırılır, bu nedenle [-4;-1] є ek [ ile kişisel olmayan bir değer vardır. f(-4); f(-1)]=. Ayrıca, çift [-4;-1]'in çözümüne eşittir, ayrıca bir (sürekli monotonik fonksiyonun kalitesi için), 0,05 ≤ a ≤ 0,4 ile

Saygı duymak. izin verilebilirlik eşit f(x) = bir geçerli aralıkta X, parametre değerinin geçerliliğine eşittir a kişisel olmayan işlev değeri f(x) X. Otzhe'de, işlevin kişisel olmayan değeri f(x) X aralığı için parametrenin değerinden değiştirilir a, eşit olanlar için f(x) = bir H. Zokrem'in balo alanı için bir kök isteyebilir miyim? E(f) fonksiyonlar f(x) parametrenin anonim değeri ile zbіgaєtsya a, eşit olanlar için f(x) = bir Bir kök isteyebilir miyim?

Örnek 5. Değer aralığını bulun E(f) fonksiyonlar

Popoyu parametre girme yöntemiyle açma, zgіdno z E(f) parametrenin anonim değeri ile zbіgaєtsya a, eşit olanlar için

Bir kök isteyebilir miyim?

a = 2, sıfır olmayan x için sıfır olmayan bir katsayı ile doğrusal - 4x - 5 = 0'a eşit olduğunda, çözüm yoktur. a≠2 kareye eşit olduğunda, her ikisinden biri ve ancak bir diskriminant ise çözülebilir.

Oskіlki, vіdrіzku'da yalan söylemek için a = 2 noktası

sonra parametrenin değerini shkanim ederiz a, demek ki alana değer veriyorum E(f) tüm vіdrіzok olun.

Bir işlevin belirli bir kişisel olmayan değerine sahip bir parametre tanıtma yönteminin ara olmayan bir gelişimi olarak, işlevin değerini kontrol etmek için gerekli olan bir tersine çevirme işlevi yöntemi düşünülebilir. f(x)=y, y parametresi ile. Yakshcho tse equal bir çözüm olabilir x = g(y), ardından aralık E(f) dış fonksiyonlar f(x) randevu alanından kaçış D(g) tükürük fonksiyonu g(y). Yakshcho eşittir f(x)=y maє kіlka çözümü x = g 1 (y), x = g2 (y) ve benzeri, o zaman E(f) fonksiyon alanlarının daha iyi entegrasyonu g 1 (y), g 2 (y) ve benzeri.

Örnek 6. Değer alanını bulun E(y) fonksiyonlar y = 5 2/(1-3x).

Z eşittir

tersine çevirme fonksiyonunu biliyoruz x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x tek çözüm olabilir, o zaman

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Atanan fonksiyonun alanı onlarca yıllık aralıklarla toplandığından ve farklı aralıklardaki fonksiyon farklı formüllerle verildiğinden, o zaman fonksiyon değerinin alanının önemi için anonim olanı bilmek gerekir. fonksiyonun cilt aralığı üzerindeki değeri ve bunları bir araya getirin.

Örnek 7. Önem alanlarını bulun f(x)і f(f(x)), de

f(x) borsada (-∞;1], de won z viraz 4 x + 9 4 -x + 3. Önemli ölçüde t = 4x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) borsada (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, ortada (0; 4], bildiğimiz gibi, vicorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Promizhku'da (0;4] iyi g'(t) orada sıfırdan başlamak üzere atanmıştır t=3. 0'da<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) azalır ve aralıklar (3; 4) büyür, kesintisiz bir hardal aralığı (0; 4) ile taşar, şair g (3)= 9 - boşluk için fonksiyonun en küçük değeri (0; 4], ancak maksimum değer mümkün değildir, bu nedenle t→0 sağ el fonksiyonu g(t)→+∞. Todi, kesintisiz bir işlevin kalitesi için, bir işlevin kişisel olmayan değeri g(t)(0; 4] aralığında, yani hiçbir anlamım yok f(x) on (-∞;-1], belirgin ol.

Şimdi, birleşik aralıklar, işlevin kişisel olmayan anlamıdır. f(f(x)), anlamlı olarak t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de T işlev f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 ve 5'ten 9'a kadar olan tüm değerleri yeniden kabul edin, yani. değer alanı E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Benzer şekilde, bilmek z = f(f(x)), aralığı bilebilirsin E(f3) fonksiyonlar f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 vb. Geç bunu, ne E(f 3) = .

Bir fonksiyon değerinin çarpımını hesaplamak ve belirli bir aralık için bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini çıkarmak için en evrensel yöntem.

Örnek 8. Parametrenin bazı değerleri için r eşitsizlik 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x hepsi için kazan -1 ≤ x< 2.

atanmış t = 2x, bakışın düzensizliğini yazalım p ≠ t 3 - 2t 2 + t. çok yak t = 2x- kesintisiz büyüme fonksiyonu R, sonra -1 ≤ x için< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда r fonksiyon değerini görüntüle f(t) = t 3 - 2t 2 + t 0,5 ≤ t'de< 4.

Fonksiyonun anonim değerinin sırasını biliyoruz. f(t) vіdrіzku'da, gidebileceğim her yerde boşuna f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. otze, f(t) farklılaştırılmış, daha sonra ve rüzgara kesintisiz olarak. Z eşittir f'(t) = 0 fonksiyonun kritik noktalarını biliyoruz t=1/3, t=1, her şeyden önce, bir arkadaşın üzerine yalan söyleyemezsin, ama bir arkadaşın üzerine yalan söylersin. çok yak f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, o zaman, türevlenmiş fonksiyonun kalitesi için 0 en küçük, 36 ise fonksiyonun en yüksek değeridir. f(t) vіdrіzku üzerinde. Todi f(t), kesintisiz bir işlev olarak, 0'dan 36'ya kadar tüm değerleri kabul eder, ayrıca 36 değeri yalnızca t=4 ayrıca, 0,5 ≤ t için< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna, tüm x z aralığı (-1; 1) için pozitiftir, bu nedenle arksinüs işlevi tüm atama aralığında büyür. Yine, kazanılanın en küçük değeri x = -1'de ve en büyük değeri x = 1'dedir.

Fonksiyonun tanım kümesini ark sinüsünden çıkardık. .

popo

Bir fonksiyonun anonim değerini bulun vіdrіzku üzerinde.

Çözüm.

Bu konudaki en ve en az önemli işlevi öğrenelim.

Belirgin bir şekilde, vіdrіzku'da bulunan ekstremum noktası:

Kesimin uçlarında ve noktalarda çıkış fonksiyonunun değerinin hesaplanması :

Otzhe, vіdrіzku є vіdrіzok üzerindeki işlevin kişisel olmayan değeri .

Şimdi, (a; b) , aralıklarında bir kesintisiz y = f(x) fonksiyonunun değerinin nasıl bilineceği gösterilecektir.

Baştan itibaren, belirli bir aralıkta ekstremum noktaları, fonksiyonların ekstremumları, büyüme aralıkları ve fonksiyonların değişimi atarız. Dali, aralığın aralıklarında ve (veya) tutarsızlıkta (yani, fonksiyonun aralığın aralıklarında veya tutarsızlıkta davranışında) hesaplanır. Bu tür aralıklarla fonksiyonun kişisel olmayan değerini bilmek için yeterli bilgi vardır.

popo

(-2; 2) aralığında işlevin kişisel olmayan bir değerini belirleyin.

Çözüm.

(-2; 2) aralığında harcanan fonksiyonun ekstremum noktalarını biliyoruz:

Krapka x = 0 maksimum noktadır, bu yüzden içinden geçerken artı işaretini eksi olarak değiştirmek gerekir ve fonksiyonun grafiği düşüşe gitmek için artıyor gibi görünüyor.

є vіdpovіdny maksimum işlev.

-2'ye kadar sağlak ve x'te 2 złiva'ya kadar olan fonksiyonun x'deki davranışını anlayabiliriz, bu nedenle tek taraflı sınırları biliyoruz:

Aldığımız şey: id -2 argümanı sıfır olarak değiştirildiğinde, id argümanı sıfırdan değiştirildiğinde, fonksiyonun değeri eksi tutarsızlıktan eksi dörtte bire (x = 0'daki fonksiyonun maksimumu) artar. 2, fonksiyonun değeri sonsuza düşer. Bu sırayla, (-2; 2) aralığındaki fonksiyonun kişisel olmayan değeri є .

popo

Aralıktaki y = tgx tanjantına fonksiyonun çarpan değerini belirtin.

Çözüm.

Aralıktaki tanjanta benzer fonksiyon pozitiftir hangi fonksiyonun büyümesini gösterir. Aralığın sınırlarındaki işlevin davranışını izleyin:

Bu şekilde argüman değiştirilirken fonksiyonun değeri eksi tutarsızlıktan artı tutarsızlığa doğru büyür, yani bu aralıktaki tanjantın değeri tüm gerçek sayıların değeridir.

popo

Doğal logaritmanın y = lnx fonksiyonunun aralığını bulun.

Çözüm.

Doğal logaritma işlevi, argümanın pozitif değerlerine atanır . Hangi aralıkta pozitif İşlevlerin yenisinde büyümesi hakkında konuşmaya değmez. Argüman sıfıra kadar sağ yönlü olduğunda fonksiyonun tek taraflı sınırını ve x'deki sınırı, artı tutarsızlığa kadar biliyoruz:

Bachimo, x'i sıfırdan artı tutarsızlığa değiştirmek için, fonksiyonun değeri eksi tutarsızlıktan artı tutarsızlığa büyür. Otzhe, doğal logaritmanın işlevinin kapsamı є kişisel olmayan gerçek sayılar.

popo

Çözüm.

Bu fonksiyon tüm gerçek değerlere atanmıştır x . Ekstremum noktaları, fonksiyonun büyümesi ve değişmesindeki boşlukların yanı sıra önemlidir.

Ayrıca fonksiyon 'de değişir, 'de büyür, x = 0 maksimum noktadır, fonksiyonun görünen maksimumu.

Tutarsızlıktaki işlevin davranışına bakarız:

Bu şekilde tutarsızlık üzerine fonksiyonun değerleri asimptotik olarak sıfıra yaklaşır.

Argüman eksi tutarsızlıktan sıfıra (maksimum puanlar) değiştirildiğinde, fonksiyonun değerinin sıfırdan dokuza (fonksiyonun maksimumuna) büyüdüğünü ve x sıfırdan artı tutarsızlığa değiştirildiğinde, değerin olduğunu açıkladık. fonksiyonun değeri dokuzdan sıfıra değişir.

Şematik küçüklere bakın.

Şimdi, işlevin aralığının olduğunu açıkça görebilirsiniz.

Aynı sürenin aralıklarında y = f(x) fonksiyonunun değerinin çarpanının değeri. Bu vipadkaları hemen rapor etmeyelim. Aşağıdaki izmaritlerde koku daha keskin.

y = f(x) fonksiyonunun kapsamının birkaç aralık için birleştirilmesine izin verin. Alan bilindiğinde, böyle bir işlevin önemi, cilt çıkıntısının kişisel olmayan önemi ve genelleştirilmesi ile gösterilir.

popo

Fonksiyonun kapsamını bulun.

Çözüm.

Fonksiyonumuzun standardı, sıfıra, tobto'ya inmekten suçlu değildir.

Açık borsada fonksiyonun kişisel olmayan değerini biliyoruz.

Diğer fonksiyonlar bu ara için negatif, bu yüzden işlev onun için değişir.

Argüman eksi tutarsızlık olduğunda, fonksiyonun değerlerinin asimptotik olarak birliğe yaklaştığı dikkate alındı. Eksi tutarsızlıktaki x'i iki değere değiştirirken, işlev birden eksi tutarsızlığa dönüşür, bu nedenle, gördüğünüz gibi kısa bir süre için işlev kişisel olmayan bir değer alır. Biri dahil edilmez, fonksiyonun değerinin parçaları ona ulaşmaz, eksi tutarsızlık ile asimptotik olarak atlamak yeterli değildir.

Diemo, açık değişim için benzer.

Hangi aralıkta fonksiyon da değişir.

Bu ara için işlevin anonim değeri kişisel değildir.

Bu şekilde, katları birleştirmek için fonksiyonun değerinin kapsamı gerekir.

Grafik çizimler.

Periyodik fonksiyonlarda Okremo izleri. Periyodik fonksiyonların değerinin kapsamı, fonksiyonun periyoduna bağlı olan aralığın kişisel olmayan değerinden değiştirilir.

popo

sinüs fonksiyonunun y = sinx aralığını bulun.

Çözüm.

Bu fonksiyon, periyodu iki pi olan periyodiktir. Vіzmemo vіdrіzok, nymu üzerinde önemli ölçüde kişisel olmayan bir anlam ifade eder.

Vіdrіzku, iki ekstremum noktasında yalan söylüyor.

Fonksiyonun değerini bu noktalarda hesaplıyoruz ve vіrіzka'nın sınırlarında en az ve en yüksek değeri seçiyoruz:

otze, .

popo

Bir işlevin kapsamını bulun .

Çözüm.

Arccosine є vіdrіzok değer aralığının sıfırdan nі'ye kadar olduğunu biliyoruz, o zaman, veya başka bir girişte. İşlev otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh ekseni apsisi olabilir. Alana böyle bir dönüşüm enjekte edilmemeli, . İşlev çıkmak vtrychі vzdovzh osі Oy, tobto için gerildi, . Dönüşümün kalan 1. aşaması - uzdovzh koordinat ekseni boyunca tek başına zsuv chotirma. Bizi metro gerginliğine getirmeye değmez

Bu sıralamada, shukana değer alanı .

Bir popoya daha çözüm getirelim ama açıklama yapmadan (kokmaya gerek yok, onun için de aynısını yapacağım).

popo

Fonksiyonun kapsamını tanımlayın .

Çözüm.

Çıktı fonksiyonunu şöyle yazalım. . Durum fonksiyonunun değer alanı aralıktır. Tobto, . Todi

otze, .

Resmi tamamlamak için, fonksiyonun kesintisiz kapsamı olduğu için fonksiyonun değerinin kapsamından bahsedelim. Bu durumda, randevu alanı noktalarla boşluklara bölünür ve bunların cilt üzerindeki anlamsız değerini biliyoruz. Çarpan değerlerini çıkarmayı birleştirerek, çıktı fonksiyonunun değerinin alanını çıkarırız. Eksi bir hareket ettirmek için fonksiyonun 3 solak değeri ve x değerleri 3'e kadar ise sağa, hareket ettirilecek fonksiyonun değeri artı tutarsızlıklar tahmin edilmesi önerilir.

Bu şekilde fonksiyon alanı üç aralığa bölünmüştür.

bir işlevim olabilir mi . Oscilki, daha sonra

Böylece, aralık için çıktı fonksiyonunun kişisel olmayan değeri є [-6; 2].

Son aralıkta, sabit bir y = -1 fonksiyonuna sahip olmak mümkündür. Bu nedenle, ara için harici işlevin kişisel olmayan değeri tek bir öğeden toplanır.

İşlev, argümanın tüm gerçek değerlerine atanır. Z'yasuєmo promiski artışı ve fonksiyon değişikliği.

Pokhіdna, x=-1 ve x=3'te sıfıra döner. Sayısal eksende önemli ölçüde qi noktaları ve alt aralıklarda önemli ölçüde benzer işaretler.

işlev olarak değişir , Büyüme [-1; 3] , x=-1 minimum noktayı, x=3 maksimum noktayı gösterir.

Minimum ve maksimum fonksiyonları hesaplayalım:

Tutarsızlık durumunda işlevin davranışını tersine çevirme:

Başka bir mezhu için suçlandı.

Daha şematik sandalyeler.

Argümanı eksi belirsizlikten -1'e değiştirirken, fonksiyonun değeri artı sonsuzdan -2e'ye değişir, argümanı -1'den 3'e değiştirirken, işlevin değeri -2e'den , argümanı değiştirirken -2e'ye yükselir 3'ten artı sonsuz'a, etki alanı değeri değiştirilir ancak sıfıra ulaşmazlar.

Fonksiyon, anlaşılması gereken en önemli matematiksel kavramlardan biridir.

Randevu: İkili çarpan x'in cilt numarası bir y olarak ayarlanırsa, y(x) işlevi bu çarpana atanmış gibi görünür. x'e bağımsız değişim argümanı ve y'ye fonksiyonun nadas değişim değeri denildiğinde, bu sadece bir fonksiyondur.

Bunu söylemek gerekirse, y'yi değiştiren şey, x'i değiştirmenin işlevidir.

Belirli bir harfin, örneğin f'nin geçerliliğini belirttikten sonra, elle yazın: y=f (x), böylece y'nin değeri, f'nin ek geçerliliği için x argümanından gelir. (Okuyun: y, x'te f'ye eşittir.) f (x) sembolü, x'e eşit olan argümanın değeriyle eşleşen fonksiyonun değerini gösterir.

Örnek 1 Fonksiyon y=2x 2 –6 formülü ile belirlensin. O zaman f(x) = 2x2-6 yazılabilir. x fonksiyonunun değerini biliyoruz, eşit, örneğin 1; 2.5;-3; f(1), f(2,5), f(–3)'ü biliyoruz:

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 -6=6.5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Saygılarımla, kayıt f yerine y=f (x) biçimindedir, diğer harflerle yaşamak için: g, öyleyse.

Hedef: Fonksiyonun kapsamı - aynı fonksiyona sahip olan x'in değeri.

İşlev formül tarafından verilmişse ve işlevin kapsamı atanmamışsa, işlevin kapsamının, formülün bir anlamı olmayan argümanın değerine eklenmesi önemlidir.

Aksi takdirde, görünüşe göre, formül tarafından atanan işlevin kapsamı, argümanın değeri, vikonatabildiğimiz gibi, diy'e götürmek mümkünmüş gibi sessizdir. Şu anda sadece ikisini biliyoruz. Sıfıra bölemeyiz ve negatif bir sayının karekökünü alamayız.

Tanımlama: Değeri kullanın, nadas değişikliğini kabul ediyorsanız, fonksiyon değerinin alanını belirleyin.

Gerçek süreci tanımlayan belirlenmiş işlevin kapsamı, belirli zihinlerin ve süreçlerin zihinlerinde yatmaktadır. Örneğin, ısıtmanın sıcaklığına bağlı olarak kesme uzunluğunun uzunluğunun bayatlığı t, uzunluğun uzunluğunun uzunluğunun uzunluğunun uzunluğunun de l 0 formülü ile ifade edilir. uzunluk ve doğrusal genişleme katsayısı. Herhangi bir t değeri için masens formülü atanır. Bununla birlikte, l = g (t) fonksiyonunun kapsamı, doğrusal genişleme yasasının adil olduğu onlarca derecelik bir aralıktır.

popo

İşlev aralığını belirtin y=arksinx.

Çözüm.

Arcsine atanan alan є vіdrіzok [-1; 1] . Her iş parçacığı için en ve en az önemli işlevi bilelim.

Pokhіdna herkes için olumlu x aralıktan (-1; 1) , bu nedenle, arksinüsün işlevi, tüm atama aralığı boyunca büyür. Otzhe, en önemsiz şey nabuvaє x=-1, ve çoğu x=1.