Sinirlilik dökümü nasıl doğru bir şekilde çizilir. Kesirli-rasyonel eşitsizlik. Modülü olan tutarsızlıklarla nasıl başa çıkılır?

ax 2 + bx + 0 0, de yazın (işaret değiştirme > mümkün, mantıklı, başka bir eşitsizlik işareti olabilir). Teorinin gerçekleriyle bu tür tutarsızlıkları çözmek için her şey gereklidir, neden bir anda değişebileceğimizi görebiliriz.

popo 1. Virishiti en iyisi:

a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
çözüm,

a) Şekil 2'de gösterilen y \u003d x 2 - 2x - 3 parabolüne bakalım. 117.

Virishity eşitsizliği x 2 - 2x - 3 > 0 - parabolün x koordinatının pozitif olduğu güç kaynağı anlamına gelmez.

Saygılarımla, y > 0 ise, genişleme fonksiyonunun grafiği x ekseni için, x noktasında daha yüksektir.< -1 или при х > 3.

Otzhe, eşitsizliğin çözümlerinin tümü açıklık noktalarıdır benim hakkımda(- 00 , - 1) ve açık kritik aralığın (3, +00) tüm noktalarını bulun.

Vykoristovuyuchi işareti U (alt bölümün işareti), şu şekilde yazılabilir: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd şu şekilde yazılabilir: x< - 1; х > 3.

b) Eşitsizlik x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: Takvim x ekseninin altına yayılan yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Düzensizlik x 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizlik olarak sayılır x 2 - 2x - 3 > 0, bu nedenle kök hizalamasını x 2 - 2x - 3 = 0, ardından x = -1 noktalarını eklemeniz gerekir

і x \u003d 3. Bu sırayla, verilen çözümler tamamen düzensiz değildir ve tüm değişim noktaları (-00, - 1] ve ayrıca bıyık değişim noktaları.

Pratik matematikçiler şöyle ses çıkarır: ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin parabolünü doğru bir şekilde geliştirmek için ax 2 + bx + c\u003e 0 eşitsizliğini kanıtlayarak bize gelin

y \u003d ax 2 + bx + c (popo 1'de nasıl ezildi? Yarım yamalak küçük grafiği bitirmek kök kare üçlü terimin (parabolün üst çubuğunun noktaları z vіssy х) ve parabol iğnelerinin düzleştirilmesinin yokuş yukarı olduğu yeri belirtir. Bu yarım yamalak ufaklık size bir rozv'yazannya gerginliği bulutu verecek.

popo 2. Virishity nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Çözüm.

1) Kare üç terimlinin kökünü biliyoruz - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1.5.

2) Parabol, y \u003d -2x 2 + Zx + 9 fonksiyonunun bir grafiği gibi, tüm x'leri 3 i - 1.5 noktalarında kaydırır ve parabolün pimleri düzleştirilir, yaşlı olanlar katsayı- Negatif sayı - 2. Şek. Küçük grafiklerin 118 temsili.

3) Vikoristovuyuchi pirinci. 118, robimo visnovok: sen< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Öneri: x< -1,5; х > 3.

Örnek 3. Virishiti, 4х 2 - 4х + 1'den daha az< 0.
Çözüm.

1) Z eşittir 4x 2 - 4x + 1 = 0 biliniyor.

2) Kare üçlü terimin bir kökü vardır; tse, bir kare üç terimli grafiği gibi bir parabol olduğu anlamına gelir, tüm x'leri değiştirmeyin, ancak noktalarda durun. Parabolün başları dümdüz tepeye çıkıyor (Şek. 119.)

3) Şekil 2'de gösterilen ek bir geometrik model için. 119'da, düzensizliğin yalnızca noktalarda ayarlandığı, grafiğin koordinatının diğer tüm değerlerinde ölçeklendirmenin pozitif olduğu tespit edilmiştir.
Öneri: .
Sen, şarkı söyle, aslında 1, 2, 3 izmaritlerinin tam bir ilahiye sahip olduğunu hatırladın algoritma rozv'yazannya kare düzensizlikleri, resmileştirilmiş yogo.

Kare düzensizlik elde etmek için algoritma ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

İlk aşamada, algoritmanın kare üç terimlinin kökünü bilmesi gerekir. Ama kök kırılamaz, neden çalışsın? O zaman algoritma zastosovuetsya değil, o zaman, yine de onu gözlemlemek gerekir. Tsikh mirkuvan'ın anahtarı bu tür teoremleri vermektir.

Başka bir deyişle, D gibi< 0, а >0, o zaman ax 2 + bx + c > 0 eşitsizliği tüm x için kazanır; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + с< 0 не имеет решений.
Kanıt. Takvim fonksiyonlar y \u003d ax 2 + bx + c є parabol, iğneler yokuş yukarı doğrultulur (skaler a > 0) ve kare trinominin zihin için kökü olmadığı için x'in tamamını değiştirmezler. Grafik, Şek. 120. Bachimo, x'in tümü ile genişleme planının x ekseninden daha yüksek olduğunu, ancak ce, tüm x'lerde, tamamlanması gereken 2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin olduğu anlamına gelir.

Başka bir deyişle, D gibi< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 çözüm yok.

Kanıt. y \u003d ax 2 + bx + c fonksiyonunun grafiği< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

popo 4. Virishiti en iyisi:

a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) 2x 2 - x + 4 kare trinomunun diskriminantını biliyoruz. D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Üç terimli (2 numara) üst katsayı pozitiftir.

Böylece, Teorem 1 için, tüm x için, 2x 2 - x + 4> 0 eşitsizliğinin üstesinden gelinir, böylece tümü (-00 + 00) verilen eşitsizliğe çözüm olarak hizmet eder.

b) Kare üç terimli - x 2 + Zx - 8'in diskriminantını biliyoruz. D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Geçerlilik: a) (-00 + 00); b) Çözüm yoktur.

Saldırgan popoda, kare düzensizliklerin açılışında zastosovetsya olan, sızmanın bir yolunu daha biliyoruz.

Örnek 5. Virishity nerіvnіst 2 - 10х + 3< 0.
Çözüm. 3x 2 - 10x + 3 kare trinomunu çarpanlara genişletiyoruz. Üç terimli є sayısı 3 i'nin köklerine, hızlanan ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Üç terimin sayısal doğrudan kökünde önemli ölçüde: 3 i (Şekil 122).

x> 3 olsun; sonra x-3>0 і x->0, o zaman, ben ek 3(x - 3)(x - ) pozitiftir. Hadi hadi< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Ayrıca dobutok 3(x-3)(x-) negatiftir. Hadi, hadi, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) pozitiftir.

Özetle, visnovka'ya geliyoruz: kare üç terimli Zx 2 - 10x + 3'ün işaretleri, şek. 122. Ama biz çağrılacak, bazı kare trinomial için negatif değerler alır. 3 şek. 122 robimo visnovok: (, 3) aralığındaki herhangi bir x değeri için kare üç terimli 3x 2 - 10x + 3 nabuє negatif değerler
Vidpovid (, 3), aksi takdirde< х < 3.

Saygı duymak. Popo 5'te kullandığımız aynalama yöntemine aralıklar yöntemi (veya aralıklar yöntemi) denir. Kazanmak, mükemmellik için matematikte aktif olarak kazanır akılcı düzensizlikler 9. sınıfta ise aralıklar yöntemi daha detaylıdır.

popo 6. Parametrenin herhangi bir değeri için p kare eşittir x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) iki farklı kök vardır;

b) bir kök vardır;

c) maє -root değil mi?

Çözüm. Kare eşitlemenin kök sayısı birinci diskriminant D'nin işaretine göre bulunur. Bu durumda D = 25 - 4p2 bilinir.

a) Bir kare hizalamanın D>0 gibi iki farklı kökü olabilir, bu nedenle görev, 25 - 4p 2 > 0 eşitsizliği hizalamasını oluşturmaktır. Eşitsizliğin eşitliğini alıyoruz 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Virüs 4(p – 2.5) (p + 2.5) belirtileri, şekil 4'te gösterilmektedir. 123.

Düzensiz olan Robimo visnovok 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

B) kare hizalama bir kökü olabilir, yani D - 0.
Daha fazlasını ekledik, p = 2.5 veya p = -2.5 için D = 0.

Parametrenin tsikh değerleri ile aynı sadece bir köke eşit bir kare verilir.

c) Kare, D gibi köke eşit değildir.< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

4p 2 - 25 > 0 alıyoruz; 4 (p-2.5) (p + 2.5) > 0, yıldızlar (böl. Şekil 123) p< -2,5; р >2.5. Verilen parametrenin tsikh değerleri ile karenin kökü yoktur.

Vidpovid: a) p(-2.5, 2.5);

b) p = 2.5 abor = -2.5'te;
c) r'de< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Cebir. 8. Sınıf: Navch. zagalnosvіt için. kurulum - 3. görünüm., Doopratsyuvannya. - E.: Mnemozina, 2001. - 223 s.: il.

Bir okul çocuğu için çevrimiçi yardım, 8. sınıf için Matematik indirme, takvim temalı planlama

Doğrusal tutarsızlıklar denir bazı bilinmeyen büyüklükteki bu tür doğrusal fonksiyonların sol ve sağ kısmı. Onlardan önce, örneğin sinirlilik görülebilir:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Suvori eşitsizliği: balta+b>0 veya balta+b<0

2) Kesin olmayan usulsüzlükler: balta+b≤0 veya balta+b≫ 0

Hadi bir bakalım. Paralelkenarın kenarlarından biri 7 cm olur. Paralelkenarın çevresi 44 cm'den büyük olacak şekilde diğer kenarın uzunluğu ne olabilir?

Hissenin shukana tarafına gel x bkz. Bu sefer paralelkenarın çevresi (14 + 2x) temsillerine sahip olacaktır. bkz. Düzensizlik 14 + 2x > 44 є matematiksel model Paralelkenarın çevresi ile ilgili problem. Bu eşitsizlikte olduğu gibi, değişikliği değiştirin xÖrneğin, 16 sayısı üzerinde, o zaman 14 + 32 > 44 doğru sayısal eşitsizliği alıyoruz. Bu durumda, 16 sayısının 14 + 2x > 44 arasındaki farkla aynı olduğu görülüyor.

Rozvyazanyam sinirlilik Değişimin anlamını, sanki onların bir canavarıymış gibi, doğru sayısal eşitsizlikte adlandırın.

Otzhe, 15.1 sayılarından cilt; 20;73, bir rozvyazköy eşitsizliği 14 + 2x > 44 olarak hareket eder ve örneğin 10 sayısı aynı rozvyazky değildir.

Virishiti ne zaman tüm çözümleri kurmak veya çözümün var olmadığını getirmek anlamına gelir.

Düzensizliğin rozv'yazannya'sının formülasyonu, hizalama kökünün formülerine benzer. Yine de, "gerginliğin kökü" olarak adlandırmak geleneksel değildir.

Sayısal denkliğin baskınlığı, virishuvati denkliği ile desteklendi. Dolayısıyla sayısal tutarsızlıkların gücü, tutarsızlıkların üstesinden gelmeye yardımcı olacaktır.

Virishuyuchi denkliği, yogoyu kendi içinde değiştiririz, denkliği daha çok affederiz ama verilene eşit de olsa. Böyle bir planın arkasında, kişi sonuçları ve tutarsızlıkları bilir. Denkleştirmeyi buna eşit olarak değiştirirken, eşitlemenin bir kısmından toplamaların aktarılması ve eşitin her iki kısmının aynı sayıda sıfırla çarpılmasıyla ilgili teorem tarafından doğrulanır. Rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna ve yogo z іvnyannіm durumunda, yak, çözümün sadece vihіdnіnіnіnіn ayarlayarak yanlış anlaşılıp anlaşılmayacağını tartışıyor. Düzensizlikler her gün öyle bir hal alıyor ki, onlara kişisel olmayan bir çözüm sunmak mümkün değil. Bunun için okların eksenini anlamak önemlidir.<=>- eşdeğerin işareti, chi eşittir, dönüşüm. Dönüşüm denir eşit, veya eşdeğer Kokunun kişisel olmayan kararı değiştirmediği gibi.

Rozv'yazannya sinirlilik için benzer kurallar.

Sanki bir şey eşitsizliğin bir kısmından diğerine taşınacakmış gibi, işareti zıt olanla değiştirdikten sonra, verilene eşdeğer olan eşitsizliği alıyoruz.

Gerginliğin rahatsız edici kısımlarını aynı pozitif sayı ile çarparsanız (bölürseniz), verilen eşitsizliği alırız.

Eşitsizliğin rahatsız edici kısımlarını aynı negatif sayı ile çarparsanız (bölürseniz), eşitsizliğin işaretini uzatma ile değiştirirseniz, verilen eşitsizliği ortadan kaldırırız.

Vikoristovuyuchi qi düzenlemeler alt sinirlilik sayma.

1) Tutarsızlıklara bir göz atalım 2x - 5 > 9.

Tse doğrusal eşitsizlik, yogo kararını ve tartışmasız ana anlayışı biliyoruz.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 zıt işaretle sol tarafa taşındı), sonra her şeyi 2'ye böldüler ve belki x > 7. Her şeye zengin bir çözüm uygulayacağız x

Olumlu direktifleri kaldırdık. Önemli ölçüde kişisel olmayan karar veya sinirlilik olarak x > 7 veya x(7; ∞) aralığı olarak. Peki ya sinirlilik hakkındaki özel kararlar? Örneğin, x=10- tse özel vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- aynı zamanda sinirliliğin özel bir çeşididir.

Pek çok özel karar var ama bizim görevimiz tüm kararları bilmek. Ve karar, kural olarak, kişisel değildir.

Rozberemo popo 2:

2) Gerginliği ortadan kaldırın 4a - 11 > bir + 13.

Virishima yogası: a tek gagada hareket edelim, 11 sonraki kitaba geç, 3a al< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 sinirlilik görünebilir a<8 .

4a - 11 > bir + 13<=>3 A< 24 <=>a< 8 .

Tezh görünüşte kişisel olmayan a< 8 , ama zaten eksende a.

Vidpovid veya sinirlilik gibi yazmak< 8, либо a(-∞;8), 8 dahil değildir.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bilgilerinizi topladığımız için, açıklandığı gibi Gizlilik Politikasını genişlettik. Nazik olun, gizlilik politikamızı okuyun ve yemekle ilgili herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Seçilen kişisel bilgilerin seçimi

Kişisel bilgiler altında, şarkı söyleyen bir kişinin kimliğinin ve onunla bir bağlantının kazanılması mümkün olduğu için veriler verilmektedir.

Bizimle iletişime geçerseniz sizden kişisel bilgileriniz istenebilir.

Aşağıda, seçebileceğimiz ve seçebileceğimiz kişisel bilgi türlerinin bazı örnekleri bulunmaktadır.

Kişisel bilgileri nasıl topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderirseniz, adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta ve benzeri.

Kişisel bilgilerinizi nasıl topluyoruz:

• Tarafımızdan toplanan kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve size benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğerleri hakkında bilgi vermemize, ziyaret etmemize ve en yakınlarını bulmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman önemli hatırlatmaları ve hatırlatmaları güçlendirmek için kişisel bilgilerinizi vikoristovuvat edebiliriz.
• Kişisel bilgileri, hizmetlerimizi önererek size sunmayı umduğumuz hizmetleri iyileştirme yöntemiyle denetleme, veri ve diğer kayıtları analiz etme gibi dahili amaçlarla da toplayabiliriz.
• Ödül çekilişlerine, yarışmalara veya benzer teşvik girişlerine katıldığınızda, umarım bu tür programları yönetmek için bilgi kazanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü kişilere açıklanması

Bilgilerinizi üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

Vinyatki:

• Kişisel bilgilerinizi - kanuna, yargı düzenine, yargı denetimine ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet makamlarından gelen kamu taleplerine veya taleplerine göre - gereklidir. Ayrıca, daha da önemlisi, bu tür bir ifşanın güvenlik, kanun ve düzeni koruma veya diğer önemli vipadkiv için gerekli veya uygun olduğuna dair sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
• Yeniden düzenleme, ağırlaştırma veya satış zamanlarında, üçüncü kişi olan bizim tarafımızdan toplanan kişisel bilgileri suçluya aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin koruyucusu

Yurt dışında yaşıyoruz - idari, teknik ve fiziksel dahil - kişisel bilgilerinizin atık, hırsızlık ve vicdansız vikoristannya şeklinde korunmasının yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, bu ihlalin değiştirilmesi.

Bir emsal şirkette gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende kalması için kişisel bilgilerinizi değiştirmek için, irtibatlarımıza gizlilik ve güvenlik normlarını getiriyoruz ve gizlilik kurallarına kesinlikle uyuyoruz.

Bugün arkadaşlar, günlük sümük ve duygusallık olmayacak. Onların yerine 8-9. sınıf cebir dersinde en kötü rakiplerden birini yenmek için hiçbir gücüm olmadan seni yönlendireceğim.

Yani, her şeyi doğru anladınız: modülle ilgili tutarsızlıklara bakın. Bu tür siparişlerin yaklaşık %90'ının üstesinden gelmeyi öğreneceğiniz bazı temel ilkelere bir göz atalım. Peki ya %10 reshtoyu? İyi bir derste onlardan bahsedeceğiz.

Ancak ondan önce, orada nasıl kabul edeceğimi nasıl çözeceğimi, bilinmesi gereken iki gerçeği tahmin etmek istiyorum. Aksi takdirde, bugünün dersinin materyalinin bilgisini inceleyeceksiniz.

bilmen gerekenler

Modül ile olan tutarsızlıkları gidermek için iki kelime bilmek gerektiği açıktır:

1. Gerginlik nasıl öfkelenir;
2. Modül nedir?

Başka bir noktadan başlayalım.

Modülün işlevi

Burada her şey basit. Є iki işlev: cebirsel ve grafik. Koçanı için - cebirsel:

Randevu. $x$ sayısının modülü, ya bana görünmediği için sayının kendisidir ya da diğer $x$ gibi size zıt olan sayı hala negatiftir.

Bunu şu şekilde kaydedin:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(hiza) \sağ.\]

Basitçe söylemek gerekirse, modül “eksi olmayan bir sayıdır”. Ben bu dualitede (burada, son sayıdan hiçbir şeyin işlenmesi gerekmiyor, ama burada bir eksi alıyor) ve tüm katlamayı öğrenciler-pochatkivtsiv için kullanıyorum.

Daha geometrik tasarım. Ayrıca bilmek güzel, ancak yenisine katlanabilir ve hatta özel şekillerde yürüme olasılığımız daha düşük, cebirsel için başarılı bir geometrik pidkhіd (spoiler: bugün değil).

Randevu. Sayı doğrusunda $a$ noktası işaretlensin. Aynı modül $ \ sol | x-a \right|$ bu satırda $x$ noktasından $a$ noktasına çağrılır.

Resmi geçmek istiyorsanız, kshtalt tsogo'da görebilirsiniz:

Modülün grafik tasarımı

Öyleyse, modülün tanımından başka ne, anahtar gücü hemen görür: sayının modülü her zaman büyüklüğe eşittir. Bu gerçek, bugünün tüm söylemimizin üzerinden geçmek için kırmızı bir iplik olacaktır.

Virishennya nerіvnosti. Aralık Yöntemi

Şimdi sinirliliğe bir göz atalım. Їхісує kişiliksiz, ama bizim görevimiz, en basiti olmak isteyen virishuvati'yi öldürmek. Tі, scho zvoditsya için doğrusal düzensizlikler ve gezinme aralıkları yöntemi.

Bu konuda iki harika dersim var (mіzh іnshim, daha fazla, daha kahverengi - vivchiti'yi öneririm):

1. Düzensizlikler için aralık yöntemi (özellikle videoya bakın);
2. Kesirli-rasyonel tutarsızlıklar - genel bir ders bile, ancak o zaman yeterince yiyecek almıyorsunuz.

Her şeyi biliyorsanız, “hadi eşitsizlikten eşitliğe geçelim” ifadesi, duvara karşı kendinizi öldürmekten delice bıkmış gibi gelmiyorsa, hazırsınız: ana derse kadar cehenneme gitmenizi rica ediyoruz. . :)

1. Zihnin düzensizliği "Fonksiyondan daha az modül"

Bu, modüllerle en kapsamlı görevlerden biridir. Zihnin eşitsizliğinin üstesinden gelmek gerekir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ ve $g$ işlevlerinin rolü polinomlar olabilir veya olabilir. Bu tür tutarsızlıkları uygulayın:

\[\başlangıç(hizalama) & \sol| 2x+3\sağ| \ltx+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\sol| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizalama)\]

Tüm kokular kelimenin tam anlamıyla şemanın arkasında bir satırda:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(hiza) \doğru doğru)\]

Modülün korunup korunmadığı önemli değil, ancak temeldeki tutarsızlığı ortadan kaldırabiliriz (aksi takdirde aynı, iki tutarsızlık sistemi). Prote cey transfer vrakhovu kesinlikle her şey olası problemler: modülün altındaki sayı pozitif ise yöntem işe yarar; akscho olumsuz - hepsi aynı uygulama; evin en yetersiz işlevi için navit ve $f$ chi $g$ yönteminin hepsi aynı iş.

Açıkçası, yemeği suçlayın: daha basit olamaz mı? Maalesef bu mümkün değil. Modülün tüm özelliğine sahip olan.

Vtіm, felsefe yapmaya devam edin. Günün bir dalını söyleyelim:

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| 2x+3\sağ| \ltx+7\]

Çözüm. Ayrıca, önümüzde, hiçbir şeyi yeniden yapmamak için klasik bir "daha küçük modül" akla yatkındır. Algoritma için alıştırma yapın:

\[\başlangıç(hizalama) & \sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3\sağ| \lt x+7\Rightarrow -\sol(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(hiza)\]

Önünde bir “eksi” bulunan kemerleri açmak için acele etmeyin: acele ederek mümkün olduğunca mecazi bir af ile şımartacaksınız.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(hizalama) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizalama) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left\( \begin(hizalama) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

Görev, en fazla iki temel düzensizlikti. Paralel sayısal çizgiler üzerinde önemli ölçüde їх virіshennia:

Peretin çoklu

Peretin tsikh çoğaldı ve netleşecek.

Eşleşme: $x\in \left(-\frac(10)(3));4 \sağ)$

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]

Çözüm. Sipariş zaten bir önemsememek katlanmış. Koçanı için modülü kullanıyoruz, sağa başka bir ek aktarıyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, "daha küçük modül" biçiminde yeni bir eşitsizlikle karşı karşıyayız, bu nedenle modüle zaten var olan algoritma için izin veriyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \sağ)\]

Bulaşma ekseni saygı: size söyleyeyim, ben prangalı bıyık gibi bochenet'im. Ale, ana metamızın ne olduğunu tekrar tahmin edeceğim yetkin bir şekilde virishiti nerіvnіst ve otrimati vіdpovіd. Ne de olsa, bu derste ortaya çıkan her şeye iyice hakim olduysanız, kendinizi istediğiniz gibi bükebilirsiniz: kolları açın, eksiler ekleyin, vb.

Ve bizim için, koçan için, kötülüğün zayıflatıcı eksisine uyanacağız:

\[-\left(-3\left(x+1 \sağ) \sağ)=\left(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \left(x+1 \sağ) =3\sol(x+1\sağ)\]

Şimdi, altta yatan sinirliliğin tüm kemerleri açıldı:

Gelelim metro gerginliğine. Bu sefer sekmeler daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağ.\]

Eşitsizlik suçlarının karesi alınır ve aralık yöntemiyle ihlal edilir (ama size söyleyeceğim: bunun ne olduğunu bilmiyorsunuz, daha ziyade modülleri almayın). İlk eşitsizliğe geçelim:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\sol(x+5\sağ)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(hiza)\]

Bir bachimo gibi, çıkışta eşit olmayan bir şekilde kare gitti, hatta ilkel gibi. Şimdi sistemin bir başka sinirliliğine bakalım. Orada zastosuvat Viet teoremi olur:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sol(x-3 \sağ)\sol(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(hiza)\]

İki paralel çizgideki sayıları önemli ölçüde çıkarın (ilk eşitsizlik için okrema ve diğeri için okrema):

Pekala, eminim ki, düzensizlikler sistemini bizimle parçalayarak, gölgelendirme çarpanlarının satırlarını tekrarlayacağız: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse є vіdpovіd.

Eşleşme: $x\in \sol(-5;-2 \sağ)$

Başvurularından sonra, çözüm planının sınırda bir anlam ifade ettiğini düşünüyorum:

1. Modülü özümseyin, diğer tüm eklemeleri eşitsizliğin ana kısmına aktarın. Bu şekilde, $\left| zihninin tutarsızlığını hesaba katıyoruz. f\sağ| \ltg$.
2. Virishiti tsyu, modülü yukarıda açıklanan şema için ayırmış değil. Bir noktada, alt değişken sinirlilikten, derisi tamamen onarılabilen iki bağımsız virüs sistemine geçmek gerekir.
3. Nareshti, bu iki bağımsız hecenin çözümünden mahrum kalmak - ve elimizden gelen tek şey kalıntıdır.

Modül fonksiyondan daha büyükse, rahatsız edici tipteki pürüzler için benzer bir algoritma kullanılır. Ancak, ciddi bir "bira" sapı var. Bir kerede qi "ale" hakkında konuşalım.

2. Zihnin düzensizliği "Modül bir fonksiyondan daha fazlasıdır"

Şuna benziyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gitmeliyim\]

Öne benziyor mu? Öyle görünüyor. Prote vyrishyuyutsya yani zavdannya zovsіm farklı bir şekilde. Resmi olarak, plan geliyor:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(hizalama) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(hizalama) \sağ.\]

Başka bir deyişle, iki nokta görebiliriz:

1. Öte yandan, modülü görmezden gelin - virishhuєmo normal tutarsızlık;
2. Modül 3'ü bir eksi işaretiyle genişletelim ve sonra eşitsizliğin kusurlu kısmını işaretten küçük olan -1 ile çarpacağız.

Bu varyantta, tobto kare bir yayları vardır. belki iki evlilik olabilir.

Tekrar saygı gösterin: bir sistemin önünde değiliz, bir sukupnistiz, vіdpovіdі kişisel olmayanlarda birleşirler, ancak değişmezler. Ön noktayı görmek önemlidir!

Vzagali, z ob'ednannymi ve peretina, zengin uchnіv sutsіlna plutanina'da, hadi tsommu beslenmesinde tekrar tekrar çözelim:

• "∪" - ob'ednannya'nın bir işaretidir. Aslında “U” harfi bize geldiği şekliyle stilize edilmişti. ingiliz filmiє “Birlik” gibi kısaltma, tobto. "Birlik".
• "∩" satırın işaretidir. Tsya bok ses gelmedi, ama sadece "∪" den önce yazılmış gibi vinil.

Hatırlamayı kolaylaştırmak için, sadece bu işaretleri boyayın, böylece kellikler görünecek (eksenin sadece uyuşturucu bağımlılığı ve alkolizm propagandasında beni bir kerede çağırması gerekmez: tüm dersi öğrenirseniz, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısı):

Rіznitsya mizh retinom ve ob'єdnannyam mnozhin

Rusça tse'nin çevirisinde, şu anlama gelir: birlik (tedarik), kişinin her iki kümeden de kendi öğelerini içerir, yani cilt olandan daha az değildir; ve retina ekseni (sistem) yalnızca aynı anda ilk çarpanda ve diğerinde bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle, birden fazla tatilin katları yoktur.

Daha mantıklı hale geldi mi? iyiyim'den. Haydi uygulamaya geçelim.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şema için Diemo:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\end(align) \ right .\]

Virishuemo cilt ne zaman nerіvnіnіnіnіnіnі:

\[\left[ \begin(hizalama) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left[ \begin(hizalama) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

\[\left[ \begin(hizalama) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizalama) \sağ.\]

Yani, dış görünümü bir sayı doğrusu ile çarpacağım ve sonra bunları birleştireceğiz:

katların kombinasyonu

$x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olduğu oldukça açık

Öneri: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]

Çözüm. Peki ne? Bu hiçbir şey - hepsi aynı. Modül ile eşitsizliğin üzerinden iki eşitsizliğin toplanmasına geçelim:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hiza) \sağ.\]

Cildin sinirliliğini giderir. Ne yazık ki, kök artık orada olmayacak.

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(hiza)\]

Diğer sinirlilik de bir oyun oyununa sahiptir:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(hiza)\]

Şimdi sayıları iki eksende hesaplamanız gerekiyor - cilt eşitsizliği için bir eksen. Ancak, noktaları doğru sırada işaretlemek gerekir: sayı ne kadar yüksekse, nokta o kadar sağa kaydırılır.

І ekseni burada bizi kontrol eder. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ her şey açık ) sayılarına gelince, toplam da daha azdır) , $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ sayılarıyla, sayı negatiften büyüktür), sonra geri kalanıyla çift, her şey çok net değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіdpovіdіd vіdpovіdіdіdpovіdіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdіdpovіdvіdpovіd.

O halde bir göz atalım:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü doğruladık, eşitsizliğin her iki yanından negatif sayıları çıkardık, böylece kusurlu kenarların karesini alma hakkına sahibiz:

\[\begin(matris) ((\sol(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\sol(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Sanırım fark ettim ki $4\sqrt(13) \gt 3$, bu $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, eksenlerdeki geri kalan noktalar aşağıdaki gibi düzenlenecektir:

Çirkin bir kökün Vipadok'u

Tahminimce, sukupnіst görüyoruz, bu yüzden bir eklemin olması gerekiyor, gölgeleme katlarının yeniden karıştırılması değil.

Yanıt: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \sağ)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\sağ)$

Bachite gibi, şemamız da mucizevi bir şekilde hem basit hem de zor işler için çalışır. Böyle bir kişi için tek “zayıf yer”, irrasyonel sayıları yetkin bir şekilde dengeleme ihtiyacıdır (ve dönüş: bu bir kökten daha fazlası değildir). Alya'ya erzak için bir okremium (ve hatta ciddi bir ders) takdis edilecek. Ve gidelim.

3. Görünmez "kuyrukları" olan düzensizlikler

En iyisinden uzaklaştık. Dengesiz zihnin bedeli:

\[\sol| f\sağ| \gt\sol| g\sağ|\]

Görünen o ki, birazdan bahsedeceğimiz algoritma modül için daha iyi. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch ben pravoruє garantili nevid'єmnі vrazi:

Bu görevlerin işi nedir? Sadece hatırlıyorum:

Görünmez "kuyrukları" olan düzensizlikler, doğal dünyanın rahatsız edici kısımlarına neden olabilir. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu değil vynikne.

Bir karede tsikavitime zvedennya'nın önündeyiz - kök salan uyku modüllerinde:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\end(hiza)\]

Eksenin yalnızca karenin kökünden aldatılmasına gerek yoktur:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \sağ|\ne f\]

Modülü kurmayı unutmayı öğrendiyseniz, o anda kişisel olmayan aflara izin verildi! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (irrasyonel rіvnyannya değil), bir kerede zaglyuvatymosya değil. Günün çaçasını daha net görelim:

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. Yine, iki kelimeye saygı duyuyoruz:

1. En iyisi değil. Sayı doğrusundaki Krapki kırılacak.
2. Tutarsızlığın saldırgan tarafları açıkça görünmüyor (modülün gücü: $ \ left | f \ left (x \ right) \ sağ | \ ge 0 $).

Ayrıca, modülden kurtulmak ve görevi ortadan kaldırmak için eşitsizliğin hakaret kısımlarını en iyi aralık yöntemini kullanarak kareleyebiliriz:

\[\begin(hizalama) & ((\sol(\sol| x+2 \sağ| \sağ))^(2))\ge ((\sol(\sol| 1-2x \sağ| \sağ) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\end(hiza)\]

Aşamanın geri kalanında biraz hile yaptım: eklemelerin sırasını değiştirmek, modülün paritesini kısaltmak (aslında 1-2x$'ı -1 ile çarparak).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ ) sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(hiza)\]

Aralık yöntemiyle Virishuemo. Eşitsizlikten hizalamaya geçelim:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(hiza)\]

Görünüşe göre, kök sayı doğrusunda bulunur. Bir kez daha: farbovani lekelerinin bıyıkları, sinir kırıkları - Suvora değil!

Modülün işaretine göre Zvіlnennya

Sanırım özellikle taviz vermeyenler için: Eşitliğe geçişten önce bula yazılmış gibi, eşitsizliğin geri kalanından işaretler alıyoruz. Ben zafarbovuyemo bölgesi, yakі aynı düzensizliğe ihtiyaç duyar. Vipad'imiz $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$'a sahiptir.

Şey, ben her şeyden. Görev bitti.

Öneri: $x\in \sol[ -\frac(1)(3);3 \sağ]$.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \sağ|\le \sol| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Robimo'nun hepsi aynı. Yorum yapmıyorum - sadece eylem sırasına hayret edin.

Bir kare alalım:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) ) ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\sol(((x)^(2))+3x+4 \ sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \sol(-2x-3 \sağ)\sol(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(hiza)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \sağ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x = -1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(hiza)\]

Sayı doğrusunda sadece bir kök:

Vidpovid - tsiliy aralığı

Öneri: $x\in \sol[ -1,5;+\infty \sağ)$.

Kafanın geri kalanına biraz saygı. Sanki öğrencilerimden birine tam olarak saygı duymuş gibi, bu sinirlilik içinde alt modülün hakaretleri açıkça olumludur, bu nedenle modülün işareti sağlığa zarar vermeden atlanabilir.

Ale tse zaten zovsіn zovsіn razdumіv zovsіv razdumіv zovsіd zіdkhіd yogo, zihinsel olarak nasledkіv yöntemi olarak adlandırılabilir. Okremou urotsi'deki yeni hakkında. Ve şimdi bugünün dersinin son kısmına geçelim, bu sonsuza kadar uygulanan evrensel bir algoritmadır. Navit, o zaman, tüm ileri olanlar güçsüz çıktıysa.

4. Seçeneklerin sıralanması için yöntem

Ve neden tüm priyomiler yardımcı olmuyor? Görünmez kuyruklar nasıl düzensizliğe neden olmaz, modüle nasıl girilmez, nasıl başlayabilir?

Sonra tüm matematiğin büyük topçusu sahneye girer - bir numaralandırma yöntemi. Modüldeki yüzlerce düzensizlik şöyle görünüyor:

1. Tüm pіdmodulnі vrazi'yi yazın ve sıfıra eşitleyin;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya, bu vіznázchiti znaydenі tek bir sayısal düz çizgi üzerinde korenі;
3. Kіlka dіlyanok üzerinde doğrudan rozіb'єtsya, böyle bir deri modülün ortası işareti düzeltebilir ve bu açıkça rozkrivаєєtsya'dır;
4. Virishiti, bu tür dilyancıların kozhnіy'sinde değildir (üstünlük için 2. maddedeki kök-cordoni, otrimani'ye bakabilirsiniz). Derneğin sonuçları - tse vіdpovіd bude.

Peki yak? Zayıf? Kolay! Uzun zamandır. Pratik olarak bakalım:

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt\sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Tsya saçmalığı sinirlenmeyin $ \ left | f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt\sol| g \doğru|$, sorun değil.

Submodüler virazi yazıyoruz, onları sıfıra eşitliyoruz ve kökü biliyoruz:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \& x-1=0\Sağ ok x=1. \\end(hiza)\]

Birlikte, sayıyı doğrudan üç parsele bölen iki köke sahibiz, bu kaplamaların ortasında modül açık bir şekilde ortaya çıkıyor:

Sayı doğrusunu alt modüler fonksiyonların sıfırlarıyla bölme

Cilt okremo'suna bakalım.

1. $x \lt -2$ verin. Todi, virazi olumsuz bir şekilde hakaret ediyor, böyle yeniden yazmaya hiç niyetim yok:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(hizalama)\]

Zdobuli dosit sadece obmezhennya. $x \lt -2$ olan diğer ödeneklerle yogaya geçelim:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

$x$ değiştirmenin bir gecede -2'den az olmayacağı, 1.5'ten fazla olmayacağı açıktır. Bu iş için bir çözüm yok.

1.1. Okremo, kordona yakın vipadok $x=-2$'a bakın. Bu sayıyı tutarsızlık olmadan ve doğrulanabilir bir şekilde hayal edelim: neden galip geldi?

\[\begin(hizalama) & ((\sol. \sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \sol| -3 \sağ|-2-1.5; \&0\lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varhiçbir şey. \\end(hiza)\]

Dilbilimcinin bizi inanılmaz bir eşitsizlik noktasına kadar dolandırdığı açıktır. Otzhe, yanlış değil, $x=-2$ vіdpovіd girmeyin.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ verin. Kütüphane modülü zaten bir artı ile geliştiriliyor, ancak doğru olanı hala eksi ile. Maemo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\end(hiza)\]

Bir vikidnoy vimogoy ile yeniden değiştiriyorum:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Boş kişisel olmayan çözümü yeniliyorum, aynı anda -2,5'ten küçük ve -2'den büyük olan bu tür sayıların hiçbir parçası yok.

2.1. Okremy vipadok'u yeniliyorum: $ x = 1 $. Çıkışın düzensiz olduğunu düşünelim:

\[\begin(hizalama) & ((\sol. \sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-1,5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt\sol| 0 \sağ|+1-1.5; \ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varhiçbir şey. \\end(hiza)\]

Öndeki "özel düşüş"e benzer şekilde, $x=1$ sayısı düşüşe açıkça dahil edilmemiştir.

3. Düz kalan parça: $x \gt 1$. Burada tüm modüller artı işaretiyle kavislidir:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Dış değiş tokuşların çokluğunu yeniden düşünüyorum:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \sağ)\]

Pekala, anla! Povіddu olacak aralığı biliyorduk.

Öneri: $x\in \sol(4,5;+\infty \sağ)$

Nasamkinets - bir saygı, belki de gerçek görevler yerine getirildiğinde sizi kötü aflardan kurtarır:

Virishennya nerіvіvnosti z modülleri zvіvіvіvіvnosti z modülleri zvіch є є є є є є pr pr pr і і і і і і і і і і і і İzole noktalar daha yavaş yakalanır. Çözümler arasında (kіnets vіdrіzka) analiz edilen aralığın sınırlarının ötesine geçecek şekilde tuzağa düşme olasılığı daha yüksektir.

O zamandan beri, sanki kordonlar (bu “özel vipadkilerin” kendileri) gardiyanlara girmiyormuş gibi, o zaman mayzhe, şarkı söyleyerek, gardiyanlara ve kötülük alanına gitmiyor - bu kordonlara girme hakkı. І navpaki: kordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, yakіs oblastі navpakі tezh vіdpovіdyami olacaktır.

Kararını değiştirirsen bunu hatırla.

Ve günümüzün genel obsyazisindeki rasyonel tutarsızlıklar tersine çevrilebilir. Daha doğrusu, sadece herkes virishuvate olamaz. Çok az insan çalışabilir.
klişe

Tsey dersi zor olacak. Döşemeler zhorst, yani yoga bitmeden önce Vibran'dan daha az. Bunun için okuma koçanından önce kadınların ekranlarını, bağırsaklarını, kadın çocuklarını ve...

Bu garazd, gerçekten her şey basit. Aralıklar yönteminde ustalaşmış olabilirsiniz (yine de ustalaşmamışsınız - çevirmenizi ve okumanızı tavsiye ederim) ve $P\left(x \right) \gt 0$, de formunun eşitsizliğinin üstesinden gelmeyi öğrenmiş olabilirsiniz. $P\left(x \right)$ zengin üye veya tamamlayıcı zengin üye.

Örneğin, böyle bir oyunun eksenini söylemenin sizin için önemli olmadığına saygı duyuyorum (konuşmadan önce ısınma için deneyin):

\[\begin(hizalama) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \sağ)\left(4x+25 \sağ) \gt 0; \\ & x\sol(2((x)^(2))-3x-20 \sağ)\sol(x-1 \sağ)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \sağ)((\left(x-5 \sağ))^(6))\le 0. \\ \end(hizalama)\]

Şimdi troch'lar katlanabilir ve sadece zengin terimlere değil, aynı zamanda zihnin rasyonel kesirlerinin adlarına da bakabiliriz:

burada $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ $((a)_(n))((x)^(n))+( biçiminde zengin terimlerdir. ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ veya bunun gibi daha zengin terimler var.

Bu, mantıklı bir şekilde nerіvnіst. Önemli bir an, bannerman'de $x$'lık bir değişikliğin varlığıdır. Örneğin, rasyonel eşitsizliğin ekseni:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\sol(7x+1 \sağ)\sol(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\sol(3-x \sağ))^(2))\sol(4-((x)^( 2)) \sağ))\ge 0. \\\end(hizalama)\]

Ve tse rasyonel değil, ancak aralık yöntemiyle ihlal edildiğinden zvichaynisinka nerіvnіst:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Hemen şimdi söyleyeceğim: Rasyonel tutarsızlıklarla başa çıkmanın en az iki yolu vardır, ancak yine de bizim bildiğimiz aralıklar yöntemine kadar çalışmak mümkündür. Bunun için öncelikle yolları bulalım, eski gerçekleri tahmin edelim yoksa yeni malzemenin bir faydası olmayacaktır.

bilmen gerekenler

Çok önemli gerçekler yok. Doğru, daha az chotiriye ihtiyacımız var.

Kısaltılmış Formüller

Yani, yani: pis koku, matematik programını shkіlnoї bize protyag edecek. ben de üniversitedeyim. Formülleri çok bitirmemiz gerekiyor ama bundan fazlasına ihtiyacımız yok:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \sağ))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\sol(a-b \sağ)\sol(a+b \sağ); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \sağ)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\sağ); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\sol(ab \sağ)\sol(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\sağ). \\ \end(hizalama)\]

İki formülün geri kalanına saygı gösterin - küplerin toplamının ve farkının toplamı (perakende toplamının toplamı değil!). İlk yayın işaretinin zbіgaєtsya zі dış virazі işareti olduğunu ve dış virazunun diğer zıt işareti olduğunu hatırlamak kolaydır.

Doğrusal hizalama

En basiti $ax+b=0$ formuna eşittir, burada $a$ ve $b$ eşit tam sayılardır, ayrıca $a\ne 0$. Böyle bir denklik basitçe tersine çevrilir:

\[\begin(hizalama) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end(hizalama)\]

$a\ne 0$ bile olsa $a$ katsayısına bölme hakkım olduğunu atayacağım. Tsya vomoga tamamen mantıklıdır, $a=0$ için kırıklar şu ekseni alırız:

Her şeyden önce, eşit olanın $x$'da bir değişimi yoktur. Görünüşe göre, bentezhite bizim suçumuz değil (diyelim ki geometride tuzağa düşüyoruz ve çoğu zaman sağıyoruz), ama yine de doğrusal bir eşitimiz yok.

Başka bir şekilde, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna $b$ katsayısından daha az depozito yatırır. $b$ sıfır ise, eşitlememiz $0=0$ gibi görünebilir. Tsya kıskançlığı virna zavzhda'dır; aksi takdirde, $x$ bir sayıdır (şöyle ses çıkar: $x\in \mathbb(R)$). $b$ katsayısı sıfıra eşit değilse, o zaman $b=0$ eşitliği galip gelir. cevap yok ($x\in \varnothing$ kaydedildi ve "boş bir çözüm boş" okundu).

Tüm bu kıvrımlardan kurtulmak için $a\ne 0$ alın, böylece şarbonlar bizi uzak düşüncelerle çevrelemesin.

Kare hizalama

Kare eksenin adını tahmin edeceğim:

Burada levoruch başka bir adımın zengin bir terimidir, ayrıca $a\ne 0$'ı değiştiriyorum (ve şimdi kare eşitleme yerine onu doğrusal olarak alıyoruz). Virishuyutsya çok rivnyannya ayrımcı aracılığıyla:

1. $D \gt 0$ gibi, iki farklı kök alıyoruz;
2. $ D = $ 0 ise, o zaman bir kök ve başka bir çokluk olacaktır (çokluğun maliyeti nedir ve yaşamın üç trohisi hakkında nasıl sigortalanır). Veya iki eşit kök olduğu söylenebilir;
3. $D \lt 0$ için kök yoktur ve herhangi bir $x$ için zengin $a((x)^(2))+bx+c$ teriminin işareti $ katsayısının işareti ile değiştirilir bir$. Bu, konuşma noktasına kadar, bir saatlik cebir dersi için rozpo_sti'yi unuttukları hakkında bayat bir gerçektir.

Her şey için köke şu formülle saygı duyulur:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, konuşmadan önce, ayrımcılığa karşı obmezhennya. Negatif bir sayının adje karekökü kullanılmaz. Zengin bilginlerin kökü kafalarında bir motor püresi olduğundan, tüm dersi özel olarak yazdım: cebirde kök nedir ve nasıl rahuvati yapılır - okumanızı bile tavsiye ederim.

Podії z rasyonel kesirler

Yukarıda yazılanların hepsi biliyorsunuz aralık yöntemini kullanmışlar. Ve bir kerede analiz edebildiklerimizin ekseni, geçmişe benzemez, tamamen yeni bir gerçektir.

Randevu. Akılcı drіb - tse viraz zihni

\[\frac(P\sol(x \sağ))(Q\sol(x \sağ))\]

burada $P\left(x \right)$ ve $Q\left(x \right)$ zengin terimlerdir.

Böyle bir kesirden eşitsizliği gidermenin kolay olduğu açıktır - "daha fazla" veya "daha az" işaretini sağ elle atfetmek yeterlidir. Bana gözle görülür bir şekilde biraz verdim, scho virishuvati yani zavdannya - biri memnun, orada her şey daha basit.

Bu tür kesirlerin belirgin bir çaçasına sahip olsanız bile sorunlar başlar. Onları uyuyan bir afişe getirebilirsiniz - ve aynı zamanda çok sayıda yaratıcı affa izin verilir.

Bu nedenle, rasyonel eşitlere başarılı bir şekilde ulaşmak için iki beceriyi sağlam bir şekilde edinmek gerekir:

1. $P\left(x \right)$ zengin teriminin çarpanlara ayrılması;
2. Vlasne, uyuyan bir afişe ateş ediyor.

Çarpan segmentleri nasıl düzenlenir? Biraz basit. Zengin bir zihin üyemiz olsun

Yogayı sıfıra eşitliyoruz. $n$-th adımının eşitlenmesini alıyoruz:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Kabul etmek gerekir ki, eşitlik değerini ihlal ettik ve $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ kökünü kaldırdık (buraklamayın: daha büyük vipadkіv kök ikiden fazla olmayacak) . Bu durumda, çıktı açısından zengin terimimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & P\left(x \sağ)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \sağ)\cdot \sol(x-((x)_(2)) \sağ)\cdot ...\cdot \sol(x-((x)_( n)) \sağ) \end(hiza)\]

Ben hepinizden! Kendine iyi bak: $(a)_(n))$ kıdemli katsayısı hiçbir yerde bulunamadı - prangaların önüne bir çarpan ekleyeceğiz ve gerekirse, tsikh prangalarının olup olmadığına ekleyebilirsiniz ( uygulama $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ orta kök mayzhe zavzhdi є kesirler ile olduğunu göstermektedir.

Yönetici. Viraz'a sor:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frak(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Çözüm. İlk kez afişlere hayret ediyoruz: tüm kokular doğrusal iki terimli ve çarpanlara eklenecek hiçbir şey yok. Öyleyse sayıları çarpanlara koyalım:

\[\begin(hizalama) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \sağ)\left(x-4 \sağ); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\sol(x-\frac(3)(2) \sağ)\sol(x-1 \sağ)=\sol(2x- 3\sağ)\sol(x-1\sağ); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sol(x+2 \sağ)\sol(x-\frac(2)(5) \sağ)=\sol(x +2 \sağ)\sol(2-5x \sağ). \\end(hiza)\]

Saygıyı değiştirmek için: başka bir zengin üye için, planımızın en son kapasitesi için kıdemli katsayı “2” yayın önünde geriye yaslanıyor ve sonra ilk yaya katkıda bulunacağız, oradaki kırıklar patladı .

Aynısı üçüncü zengin bölümde de oldu, sadece başka bir katlanmış karışıklık sırası var. Bununla birlikte, başka bir yay içine girmenin bir sonucu olarak "-5" katsayısı (unutmayın: bir ve yalnızca bir yayda bir çarpan girebilirsiniz!), bu da bizi atış kökleriyle ilgili tutarsızlıklardan kurtardı.

İlk zengin üyeye gelince, orada her şey basittir: İlk kök ya standart olarak diskriminant aracılığıyla ya da Viet teorisi için karıştırılır.

Şimdi vihіdnogo virazu'ya dönelim ve çarpanlara bölünmüş sayılarla yogo'yu yeniden yazalım:

\[\begin(matris) \frac(\sol(x+5 \sağ)\sol(x-4 \sağ))(x-4)-\frac(\sol(2x-3 \sağ)\sol( x-1 \sağ))(2x-3)-\frac(\sol(x+2 \sağ)\sol(2-5x \sağ))(x+2)= \\ =\sol(x+5 \sağ)-\sol(x-1 \sağ)-\sol(2-5x \sağ)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matris)\]

Öneri: 5x+4$.

Bakit gibi, hiçbir şey katlanmaz. 7-8. sınıflar için yeterli matematik yok - hepsi bu. Buradaki tüm dönüşümlerin anlamı polygaєdır, böylece katlanmayı ve korkunç asmayı ortadan kaldırmak daha kolaydır, bu da uygulaması kolaydır.

Ali, merak etme. Bunun için, bir kerede göreve daha ciddi bakabiliriz.

Ale, en başından ayıracağız, uyuyan bir afişe iki kesir nasıl getirilir. Algoritma son derece basittir:

1. Afişleri çarpanlara yerleştirin;
2. İlk banner'a bakın ve yenisine diğer banner'ın sahip olduğu çarpanları ekleyin, ilkini koruyun. Otrimany tvir uyuyan bir pankart olacak;
3. Z'yasuvati, bu tür çarpanlar dermal çekim yapmaz, böylece sancaktarlar ateşe eşit olur.

Muhtemelen, tüm algoritma size sadece metin olarak, zengin bir şekilde yazılmış bir şekilde verilecektir. Bu nedenle, her şeyi belirli bir örnek üzerinde analiz edeceğiz.

Yönetici. Viraz'a sor:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \sağ)\cdot \sol(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \sağ)\]

Çözüm. Böyle ob'єmnі zavdannya daha iyi virishuvati parçaları. İlk kemerde duranları yazıyoruz:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Ön zavdannya vіdminu'da, burada bannermen'den her şey o kadar basit değil. En onlardan derileri çarpanlarına koyalım.

Kare üç terimli $((x)^(2))+2x+4$ çarpılamaz, eşit parçalar $((x)^(2))+2x+4=0$ köklendirilemez (negatif diskriminant). Yogayı değişmeden bırakıyoruz.

Başka bir işaret - kübik çarpma terimi $((x)^(3))-8$ - küplerin farkına göre ve kısa çarpma formülleri için yayılması kolaydır:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\sol(x-2 \sağ)\sol(((x) ^(2))+2x+4 \sağ)\]

Artık hiçbir şey çarpanlara bölünemez, ilk yaydaki parçalar doğrusal bir iki terimlidir ve diğerinde - gerçek kökler olmadığı için yapıyı zaten biliyoruz.

Nareshti, üçüncü afiş, düzenlenemeyen doğrusal bir ikili dosyadır. Bu sıralamada kıskançlığımız geleceğe bakacak:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\sol(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))-\frac(1)(x-2)\]

$\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$'ın ortak payda olacağı ve tüm kesirleri yeniye indirgeyeceği oldukça açıktır. birincisi, $\left(x-2 \right)$ üzerinde ilk kesri çarpmak gerekiyor ve ben $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ üzerinde kalacağım. Böyle getirmek için daha azından kurtulalım:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \ sağ))+\frac(((x)^(2))+8)(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x +4 \sağ))= \\ =\frac(x\cdot \sol(x-2 \sağ)+\sol(((x)^(2))+8 \sağ)-\sol(((x) )^(2))+2x+4 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\sol(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sol(x-2 \sağ)\ sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ))). \\ \end(matris)\]

Başka bir satıra saygı gösterin: afiş zaten parlıyorsa, o zaman. üç okremikh çekimi yerine bir harika yazdık varto değil bir kere yay kurtulmuş. Önünüze bir satır yazmak ve diyelim ki, üçüncü kesirden önce, ayakta eksi - ve hiçbir yere gidemezsiniz, ancak yayın önündeki sayı defterinde “asılı” olduğunu belirtmek daha hızlıdır. Sizi kişisel olmayan aflardan kurtarmak için.

Peki, satırın geri kalanında çarpanlardaki sayıları düzenleyin. Tim daha büyüktür, bu tam bir karedir ve yine hızlı çarpma formüllerinin yardımına geleceğiz. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \frac(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Şimdi başka bir yay ile kendi başına çözeceğiz. Burada sadece küçük bir denklik ayeti yazacağım:

\[\begin(matris) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ) ^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))+\frac(2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x-2 \ sağ) )\cdot \left(x+2 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \sağ))(\left(x) -2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \ sağ). \\ \end(matris)\]

Son güne dönelim ve televizyona hayran kalalım:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(1)(x+2)\]

Eşleşme: \[\frac(1)(x+2)\].

Bu görevin anlamı aynı, öndeki gibi: Ne kadar mantıklı sorabileceğinizi, bir sonraki dönüşüme mantıklı bir şekilde nasıl gideceğinizi gösterin.

Şimdi, her şeyi biliyorsanız, bugünün dersinin ana konusuna geçelim - atışlı rasyonel eşitsizliklerin doruk noktası. Tim daha fazla, kendi gerginliğiniz için böyle bir hazırlıktan sonra bir çömlek gibi tıngırdatacaksınız.

Rasyonel tutarsızlıkların üstesinden gelmenin ana yolu

Іsnuє yak razv'yazannya rasyonel nerіvіvnosti için en az iki adım. Bir bakışta, bunlardan birine bakacağız - okul matematik dersi tarafından yaygın olarak kabul edilen.

Ale, arka arkaya çok önemli bir detay. Tüm tutarsızlıklar iki türe ayrılır:

1. Benzeri: $f\left(x \sağ) \gt 0$ veya $f\left(x \sağ) \lt 0$;
2. Kesintisiz: $f\sol(x\sağ)\ge 0$ veya $f\sol(x \sağ)\le 0$.

Başka bir türden düzensizlikler, kıskançlığın yanı sıra kolayca birinciye indirgenebilir:

Bir noktayı doldurmak gibi kabul edilemez bir şey üretmek için fazla "ek" $f\left(x \right)=0$ değil - onları interval yönteminde daha fazla tanıdık. Aksi takdirde, katı ve katı olmayan düzensizlikler arasında hiçbir fark yoktur, o yüzden evrensel bir algoritmaya bakalım:

1. Sıfır olmayan tüm öğeleri bir taraftan eşitsizlik şeklinde seçin. Örneğin, levoruch;
2. Tüm kesirleri standart afişe getirin (bu tür kesirler bir çaça gibi göründüğü için), benzerlerini getirin. Ardından mümkün olduğunca sayı defterine ve çarpanların üzerindeki afişe yer vereceğiz. Öyleyse neden $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" - eşitsizliğin bir işareti biçimindeki eşitsizliği ortadan kaldırıyoruz.
3. Sayıyı sıfıra ayarlayalım: $ P \ sol (x \ sağ) = 0 $. $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... sıfıra geri dön: $Q \left(x \sağ)\ne 0$. Doğal olarak, farkın $Q\left(x \right)=0$'a eşit olduğu doğrudur ve $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ kökünü alırız. (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (böyle bir kökün referans dosyalarında üçten fazla olması olası değildir).
4. Tüm kökler (ve yıldızlarla ve yıldızlarla) tek bir sayısal düz çizgide kabul edilir, ayrıca yıldızsız kök farbovanize edilir ve yıldızlarla - vakolota.
5. “Artı” ve “eksi” işaretlerini yerleştiriyoruz, ihtiyacımız olan aralıkları seçiyoruz. Eşitsizlik $f\sol(x \sağ) \gt 0$ gibi görünüyorsa, "artı" ile işaretlenmiş aralıklar tekrarlanacaktır. $f\left(x \right) \lt 0$ ise, eksileri olan aralıkları merak ederiz.

Uygulama, en zor şeyin 2. ve 4. paragrafları - yetkin dönüşüm ve sayıların büyüme sırasına göre doğru yerleştirilmesini söylemek olduğunu göstermektedir. Eh, zamanın geri kalanında daha saygılı olun: Biz her zaman işaretler koyarız, spiraller çizeriz. eşitliğe geçişten önce kaydedilen eşitsizliğin geri kalanı. Bu, aralıklar yönteminden daha aşağı olan evrensel bir kuraldır.

Aynı şema є. Hadi meşgul olalım.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Çözüm. Önümüzde $f\left(x \right) \lt 0$ biçiminde mutlak bir kaçınılmazlık var. Açıkçası, planımızın 1. ve 2. noktaları zaten kötüdür: tüm eşitsizlik unsurları levoruch tarafından seçilir, uyuyan afişe hiçbir şey getirilmesine gerek yoktur. Gelelim üçüncü paragrafa.

Sayıyı sıfıra eşitleyelim:

\[\begin(hizalama) & x-3=0; \&x=3. \end(hizaya)\]

І afiş:

\[\begin(hizalama) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(hizalama)\]

Her alan için biri yapışır ve bir fikir için bile $x+7\ne 0$ yazmak gerekir, böylece ODZ yardımcı olur (sıfıra bölmek mümkün değildir, eksen hepsidir). Ama sonra bize banner'dan gelen benekler verdik, bu yüzden sekmelerinizi oluşturduğunuzda, varto yapmayın - karalanmış bir şekilde bir denklik işareti yazın ve endişelenmeyin. Bir fiyat için hiçbir şey düşürülemez.

Dördüncü nokta. Sayı satırındaki kökü çıkarmak önemlidir:

Bıyık noktaları vikolotі, oskіlki nerіvnіst - suvora

Saygı göster: vikoloty'nin tüm noktaları. Ve burada zaten önemsiz: sayı kitabından puanlar afişten geldi.

İşaretlere hayret ediyoruz. $((x)_(0)) \gt 3$ sayısını alalım. Örneğin, $((x)_(0))=100$ (alternatif olarak, aynı başarıyla, $((x)_(0))=3.1$ veya $((x)_(0) alabilirsiniz) ) = 1.000.000 ABD Doları). alıyoruz:

Otzhe, pravoruch ve olumlu bir alanımız var. Ve kökün kabuğundan geçerken işaret değişir (böylece başlamazsınız, ama daha iyidir). Gelelim beşinci noktaya: İşaretleri yerleştirip ihtiyacı seçiyoruz:

Rozvyazannya ryvnyan'dan önceki bir bula gibi, gerginliğin geri kalanına dönüyoruz. Vlasne, her gün birbirlerini yenmeseler de zaman azalıyor.

Oskіlki'nin $f\left(x \right) \lt 0$ formunun düzensizliğini ortadan kaldırması gerekiyor, $x\in \left(-7;3 \right)$ aralığını gölgeledim - tek değerlerde "eksi" işaretiyle. Tse є vіdpovіd.

Öneri: $x\in \sol(-7;3 \sağ)$

Ben hepinizden! Zor mu? Hayır, zor değil. Doğru, görev daha kolaydı. Aynı zamanda, yaramazlığı çözebilir ve “aldatıcı” tutarsızlığa bakabiliriz. Öte yandan, artık bu tür sunumlar yapmayacağım - sadece önemli anları vurgulayacağım. Zagalom, hadi yogayı bağımsız bir robotik chi üzerinde yapılacak şekilde düzenleyelim.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(\sol(7x+1 \sağ)\sol(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0\]

Çözüm. $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ görmekten zarar gelmez. Sıfır olmayan tüm öğeler kötü seçilmiştir, farklı işaretler yoktur. Rivnyan'a gidelim.

tarih:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frak(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(hizalama)\]

afiş:

\[\begin(hizalama) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(hizalama)\]

Onu kurarken sorunun ne olduğunu bilmiyorum, ama kök daha iyi gitmedi: onları sayısal bir düz çizgiye koymak önemli olurdu. І $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ köküyle bile her şey az çok nettir (sadece bir pozitif sayı vardır - sağ elini kullanır), sonra $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ ben $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse, örneğin şu şekilde mümkündür:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) )) ))\]

Üzgünüm, sayısal farkın neden $-(2)/(14); olduğunu açıklamama gerek yok. \gt -(2)/(11)\;$? Gerektiği gibi, kesirlerle diy'in nasıl kazanılacağını tahmin etmenizi öneririm.

Ve sayısal bir düz çizgi üzerindeki üç kökü de kastediyoruz:

Pankarttan zafarbovani numaralı kitaptan Krapki - vikolot

İşaretler koyuyoruz. Örneğin, $((x)_(0))=1$ alabilir ve her noktanın işaretini değiştirebilirsiniz:

\[\begin(hizalama) & f\sol(x \sağ)=\frac(\sol(7x+1 \sağ)\sol(11x+2 \sağ))(13x-4); \\ & f\sol(1 \sağ)=\frac(\sol(7\cdot 1+1 \sağ)\sol(11\cdot 1+2 \sağ))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(hizalama)\]

Eşitlerden önceki gerginliğin geri kalanı $f\left(x \right)\ge 0$ idi, bu yüzden artı işaretini tıklamalıyız.

İki çarpanı aldılar: biri önemli iki katı, diğeri ise sayı doğrusundaki direkt skor.

Yanıt: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \sağ]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Doğru aralıktaki işareti temsil ettiğimiz için sayıların sayısına saygı duymak önemlidir. Kesinlikle neobov'yazkovo podstavlyat sayısı doğru köke yakındır. Milyardı alabilir veya buna “artı-inanılmazlık” diyebilirsiniz - her durumda, yayda duran zengin üyenin, sayısalcının veya sancaktarın işareti, yalnızca kıdemli katsayının işaretiyle gösterilir.

Eşitsizliğin geri kalanı için $f\left(x \right)$ işlevine bir kez daha bakalım:

Bu kayıtta üç zengin terim vardır:

\[\begin(hizalama) & ((P)_(1))\left(x \sağ)=7x+1; \& ((P)_(2))\sol(x \sağ)=11x+2; \&Q\sol(x\sağ) = 13x-4. \end(hizaya)\]

Tüm ünlüler doğrusal iki terimlidir ve tüm üst düzey katsayılar (7, 11 ve 13 sayıları) pozitiftir. Daha sonra, büyük sayıların yayı kanıtlanırken, zengin bölümlerin kendileri pozitif olacaktır.

Yapması kolay olduğunu anlarsak, Tse yüzeysel olarak katlanır, biraz arkada inşa edilebilir. Ciddi tutarsızlıklarda, "artı-eksikliğin" ikamesi, işaretleri daha hızlı, standart $((x)_(0))=100$'dan daha düşük bir şekilde değiştirmemize izin verecektir.

Yakında bu tür görevlerle susacağız. Dribno-rasyonel tutarsızlıkları çözmenin alternatif bir yoluna bakalım.

Alternatif yol

Bu resepsiyon bana öğrencilerimden biri tarafından önerildi. Ben de ona hiçbir şekilde saygı duymadım, ancak uygulama, sinirlilik ile bu şekilde başa çıkmada çok fazla öğrenmenin daha etkili olduğunu gösterdi.

Otzhe, sami değildir. Atış-rasyonel tutarsızlığı ortadan kaldırmak gerekir:

\[\frac(P\sol(x \sağ))(Q\sol(x \sağ)) \gt 0\]

Bir düşünelim: $Q\left(x \right)$ zengin terimi neden $P\left(x \right)$ zengin teriminden "daha yüksek"? Daha büyük kök gruplarına (yıldızlı veya yıldızsız) nasıl bakacağız, noktalar hakkında nasıl düşüneceğiz? Her şey basit: fraksiyonun belirlenmiş bir alanı vardır, sıfır işareti ise, bundan daha az mantıklı olan herhangi bir drіb maє anlamda iyidir.

Diğer açılardan, pay ve sancaktar arasında kolay değil: sadece sıfıra eşitliyoruz, kök hakkında şaka yapıyoruz, sonra sayısal bir düz çizgide demek istiyoruz. O zaman neden atış çizgisini (aslında - rozpodіlu'nun bir işareti) en büyük çarpanlarla değiştirmiyorsunuz ve tüm ODZ görünüşte okremoi gerginliği için reçete yazmaya yardımcı oluyor? Örneğin, bunun gibi:

\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\left(x \sağ)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \sağ)\cdot Q \left(x \sağ) \gt 0, \\ & Q\left(x \sağ)\ne 0. \\ \end(hizalama) \sağ.\]

Saygı göstermek için: böyle bir pidhіd'in görevi aralık yöntemine çağırmasına izin verilir, ancak bu durumda kararı karmaşıklaştırmak mümkün değildir. Yine de $Q\left(x \right)$ zengin terimini sıfıra yükseltebiliriz.

Gerçek görevlerde nasıl çalıştığını görelim.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Çözüm. Yine interval yöntemine geçelim:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(hizalama) & \left(x+8 \sağ)\left(x-11 \sağ) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(hizalama) \sağ.\]

İlk eşitsizlik temeldir. Sadece cilt kemerini sıfıra eşitleyin:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Sağ Ok ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(hizalama)\]

Başka bir nerivnistyu ile her şey basit:

Sayı doğrusunda $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))$ noktalarını atarız. Usі vikolotі kokuyor, suvore skіlki nerіvnіst:

Sağdaki leke bir kızın bakiresi olarak ortaya çıktı. İyi.

$x=11$ noktasına saygı gösterin. Bir “dvіchi vykolot” gibi dışarı çıkın: bir taraftan, ODZ'nin ek gücü ile, diğer taraftan gerginliğin şiddetiyle vikolyuєmo її yapıyoruz.

Bir çeşit vipadku al, bu noktaya kadar dövülecek. Bu yüzden eşitsizlik için işaretler koyuyoruz $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - daha önce savaştığımız gibi, virishuvati eşit olmaya başladığımızda:

Olumlu alanlar bizi gıdıklıyor, ancak zihindeki dengesizliği $f\left(x \right) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo görebiliriz. Vіdpovіd'ı yazmak için daha fazla zaman yoktu.

Vidpovid. $x\in \sol(-\infty ;-8 \sağ)\bigcup \left(11;+\infty \sağ)$

Bu karar örneğinde, orta yaşlı öğrenciler arasında geniş bir af huzurunda sizi korumak istiyorum. Ve kendinize: düzensizliklerin yaylarını açmayın! Navpaki, her şeyi çarpanlara yaymaya çalışın - çözümü sormak ve sizi kişisel olmayan sorunlardan kurtarmak daha iyidir.

Şimdi daha katlanmış bir şey deneyelim.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(\sol(2x-13 \sağ)\sol(12x-9 \sağ))(15x+33)\le 0\]

Çözüm. $ f \ left (x \ right) \ le 0 $ 'a bakmaktan zarar gelmez, bu yüzden burada zafarbovannymi noktalarını saygıyla takip etmeniz gerekiyor.

Aralık yöntemine geçelim:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ)\left(15x+33 \sağ)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(hiza) \sağ.\]

Sıralamaya geçelim:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6.5; \&12x-9=0\Rightarrow((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(hizalama)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:

Çıkarılan tüm kökler sayı doğrusunda gösterilir:

Aynı anda bir nokta ve bir vikolot ve bir farbovan gibi, bir vikolot tarafından saygı duyulur

İki noktanın bire bir "örtüştüğünü" biliyorum - bu normal, bu yüzden emin olun. Aynı anda hem vikoloty hem de çatık, aslında bir vikoloty için atanan ne kadar önemli, daha az mantıklı. Tobto. “Vikolyuvannya” güçlü bir diy, daha düşük “zafarbovannya”.

Kesinlikle mantıklı, noktaları seçsek bile, fonksiyonun işaretine eklemek gibi ama şovun kendisinde yer almıyoruz. Ve böylece, bir noktada, sayı bize hükmetmeyi bırakır (örneğin, ODZ'ye ulaşmaz), görevin sonuna kadar yemin ederiz.

Zagalom, felsefe yapmak. Eksi işaretiyle işaretlendiği gibi, aralıklarla işaretler ve zafarbovuyemo yerleştiririz:

Vidpovid. $x\in \sol(-\infty ;-2,2 \sağ)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \sağ]$.

Amaca olan saygınızı yenilemek istiyorum:

\[\sol(2x-13 \sağ)\sol(12x-9 \sağ)\sol(15x+33 \sağ)=0\]

Bir kez daha: asla böyle eşitlerin kollarını açmayın! Çantalarını toplasan iyi olur. Unutmayın: çarpanlardan birinin sıfıra eşit olmasını istiyorsanız dobutok sıfıra eşittir. Otzhe, Dane Rivnyannya, sanki önümüzde ihlal ediyormuş gibi bir fırfır çaçası için “yayıldı”.

Kök çokluğunun şekli

Önceki günlerden, en büyük kıvrımın en tutarsız hale gelmek olduğunu hatırlamak kolaydır, benekler için onları dikmesi gereken kişiye.

Ancak dünyada daha da fazla kötülük var - bu, sinirlilikteki kökün bir katıdır. Burada dikişler zaten oradaki zafarbovanimi noktalarının arkasına getirilmemiştir - burada noktalardan geçerken pürüzlülük işareti değişmeyebilir.

Bu alanda henüz benzer bir şey görmedik (gerçi benzer bir problem aralık yönteminde sıklıkla belirtilmişti). Bu nedenle, yeni bir tanım sunuyoruz:

Randevu. Eşit kök $((\left(x-a \right))^(n))=0$ eşittir $x=a$'dır ve $n$-multiplicity'nin kökü olarak adlandırılır.

Vlasne, bize çokluğun değeri tam olarak söylenemez. Bunların eşleştirilmiş veya eşleştirilmemiş olması önemlidir, tam sayı $n$'dır. Çünkü:

1. $x=a$ çift çokluğunun kökü olduğundan, fonksiyonun işareti, içinden geçerken değişmez;
2. Öncelikle $x=a$ eşleşmemiş çokluğun kökü olduğundan, fonksiyonun işareti değişir.

Eşlenmemiş bir çokluğun kökünün özel bir görünümü ile, önünde bu okula baktı: çapraz bir eski bekarlar çokluğu var.

ben daha. Onun önünde, sanki virishuvati zavdannya gibiyiz, saygınızı bir inceliğe çevirmek istiyoruz, sanki iyi tanınan bir eğitimci için açıkmış gibi, ale zengin pochatkіvtsіv'ı şaşırttı. Ve kendine:

$ n $ çokluğunun kökü, yalnızca bu adımda tüm çokluk oluşturulmuşsa, düşüş için suçlamaktır: $ ((\ left (xa \ right)) ^ (n)) $ ve $ \ left değil (((x) ^ ( n ))-a\sağ)$.

Bir kez daha: $((\left(xa \right))^(n))$ yayı bize $n$ çokluğunun $x=a$ kökünü ve $\left(((x) yayının eksenini verir. )^(n)) -a \right)$ aksi takdirde, sıklıkla kullanıldığı gibi, $(a-((x)^(n)))$ bize bir kök verir (aksi halde $n$ gibi iki kök - bir adam) $n$'dan bağımsız olarak ilk çokluğun.

Seviye:

\[((\left(x-3 \sağ))^(5))=0\Rightarrow x=3\sol(5k \sağ)\]

Burada her şey açık: tüm yay beşinci adıma yönlendirildi, bu yüzden çıkışta beşinci adımın kökünü çıkardık. Ve birden:

\[\left(((x)^(2))-4 \sağ)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

İki kökü kopardık ama kokunun hakaretleri ilk çokluk olabilir. Abo ekseni daha fazla:

\[\left(((x)^(10))-1024 \sağ)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Seni onuncu adımda yenmeme izin ver. Golovne, scho 10 adamın numarasıdır, çıktıda iki kök olabilir ve yine kokuşmuş ilk çokluk olabilir.

Zagalom saygılı olun: suçlamaların çokluğu yalnızca birdir, eğer adımlar tüm kemere getirilir ve değişime daha az değil.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(((x)^(2))((\sol(6-x \sağ))^(3))\left(x+4 \sağ))(((\sol(x+7)) ) \sağ))^(5)))\ge 0\]

Çözüm. Özelden yaratıma geçiş yoluyla alternatif bir şekilde deneyelim:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \sağ))^(3))\left(x+4 \sağ)\cdot ( (\left(x+7 \sağ))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \sağ))^(5))\ne 0. \\ \end(hizalama )\sağ.\]

İlk eşitsizliği aralık yöntemiyle seçiyoruz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \sağ))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\sol(2k \sağ); \\ & ((\left(6-x \sağ))^(3))=0\Rightarrow x=6\sol(3k \sağ); \\&x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \sağ))^(5))=0\Rightarrow x=-7\sol(5k \sağ). \\ \end(hizalama)\]

Dodatkovo virishuemo arkadaş gerginliği. Aslında, zaten yogo söyledik, ancak karar verene kadar devam etmezsek, tekrar yogo söylemek daha iyidir:

\[((\left(x+7 \sağ))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Saygıyı iade etmek gerekirse: Gerginliğin geri kalanında günlük çokluklar yoktur. Doğru: Ne kadar farklı, sayı doğrusunda $x=-7$ noktasını kaç kez kazanmalı? Bir kez isteyin, beş kez isteyin - sonuç aynı olacaktır: son nokta.

Aldığımız her şey sayısal bir düz çizgide önemlidir:

Dediğim gibi sonuçtaki $x=-7$ noktası işaretlenecek. Düzenlemelerin çokluğu, aralıkların yollarının eşitsizliğinin üstesinden gelmek içindir.

İşaretleri yerleştirmeyi unuttum:

Oskіlki dot $x=0$, eşleştirilmiş çokluğun köküdür, geçiş işareti değişmez. Diğer noktalar eşleştirilmemiş bir çokluğa sahip olabilir ve onlarla her şey basittir.

Vidpovid. $x\in \sol(-\infty ;-7 \sağ)\bigcup \left[ -4;6 \sağ]$

$x=0$'a tekrar saygı gösterin. Çift aracılığıyla, cicavi etkisinin çokluğu suçlanır: İçindeki levoruch tamamen doldurulur, sağ elini kullanan aynıdır, o nokta tamamen doldurulur.

Bir hatırlatma olarak, sesi kaydetmek için bir saat su kıskacına gerek yoktur. Tobto. kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ üzerine herhangi bir şey yazmanıza gerek yok (resmi olarak istiyorsanız, bu doğru olur). Hemen $x\in \left[ -4;6 \right]$ yazalım.

Bu tür etkiler, kök çifti çokluğu ile daha az olasıdır. Ben mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" tsgogo etkisinin ilerleyen komutundayım. Hazır mısın?

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(((\sol(x-3 \sağ))^(4))\sol(x-4 \sağ))(((\sol(x-1 \sağ))^(2)) \sol(7x-10-((x)^(2)) \sağ))\ge 0\]

Çözüm. Bu sefer standart şemayı takip ediyoruz. Sayıyı sıfıra eşitleyelim:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \sağ))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \sağ); \& x-4 = 0 \ Sağ Ok ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(hiza)\]

І afiş:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \sağ)=0; \\ & ((\left(x-1 \sağ))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \sağ); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(hizalama)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor $f\left(x \right)\ge 0$ aklında değil, afişin kökü (znirochki gibi) dövülecek ve rakamdan - zafarbovano.

"Artı" ile işaretlenmiş işaretler ve taranmış alanlar koyduk:

Krapka $x = 3 $ - yalıtımlı. Vіdpovіdі'nın Tse kısmı

Bundan önce, kalan görüş nasıl yazılır, resme saygıyla bakın:

1. Krapka $x=1$'ın birkaç katı vardır, ancak vicola'nın kendisi. Ayrıca, çift katlı bir aracınız varsa: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ yazmanız gerekir, $x\in \ değil sol(-\ infty ;2\sağ)$.
2. Krapka $x=3$ içi doldurulduğunda da çarpılabilir. Noktanın kendisinin bizimle iktidarda olduğunu doğrulamak için işaretlerin düzenlenmesi, ale krok levoruch-sağ - kesinlikle iktidarda olmadığımız için bölgeye sürükleniyoruz. Bu tür noktalar yalıtılmış olarak adlandırılır ve $x\in \left\( 3 \right\)$ olarak yazılır.

Tüm otrimani shmatochki'yi çok sayıda birleştiriyoruz ve kanıtları yazıyoruz.

Öneri: $x\in \left(-\infty ;1 \sağ)\bigcup \left(1;2 \sağ)\bigcup \left\( 3 \sağ\)\bigcup \left[ 4;5 \sağ) $

Randevu. Virishiti nerіvnіst - ortalama yoga çözümünün kişisel olmayan başarısını bilmek, ya da kişisel olmayanı boş getirmek.

B verilecekti: burada mantıksız ne olabilir? Bu, o nehirde, kişisel olmayanın farklı bir şekilde ifade edilebileceğidir. Gün sonuna kadar tekrar yazalım:

Yazılanları harfi harfine okuyun. Çok fazla kimseye uzanmak, birlikte dışarı çıkmak (simge "U") için "iks"yi değiştirin chotyroh okremih:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, kelimenin tam anlamıyla "birden küçük tüm sayılar, ancak birin kendisi değil" anlamına gelir;
• Aralık $ \ sol (1; 2 \ sağ) $, sonra. “Bütün sayılar 1 ile 2 arasındadır, ancak sayıların kendisi 1 ile 2 arasında değildir”;
• Bir veya bir sayıdan eklenen anonim $ \ sol \ (3 \ sağ \) $ - üç;
• Aralık $ \ sol [4; 5 \ sağ) $, 4 ile 5 arasındaki tüm sayıların ve dördün kendisinin intikamını almak için, ancak beşin değil.

Buradaki ilgi üçüncü noktadır. Her zaman olduğu gibi, sayısız sayı kümesini ayarlamak, $\left\(3\right\)$ olmadan, yeniden düzenlemenin bir yolu olarak kesinlikle bir sayı ayarlamadan, nadiren iki küme arasında belirlenir.

Katlara çıkan (ve ikisi arasında ayarlanmayan) belirli sayıları kendimiz geçersiz kıldığımızı anlamak için kemerler galip gelir. Örneğin, $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ gösterimi, "iki sayıdan toplanan bir çarpan" anlamına gelir: 1 ve 2, ancak 1'den 2'ye kadar aynı değildir. , anlayışınızı karıştırmayın.

Çokluklar katlama kuralı

Bugünkü dersin sonunda Pavel Berdov'dan üç parmak.

Saygın alimler zaten şarkı söyleyerek cıvıldadılar: Peki takvimde ve pankartta olduğu gibi aynı kök nasıl görünecek? Yani eksen, pratsyuє böyle bir kural:

Aynı kökün çokluğu toplanır. Beklemek. Navіt yakscho tse kökü sayı kitabında ve afişte yazılmıştır.

Bazen virishuvati olmak, alçak sesle konuşmak daha iyidir. Bunun için aşağıdaki göreve inanıyoruz:

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \sağ)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \sağ))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(hizalama)\]

Şimdiye kadar, özel bir şey yok. Başlığı sıfıra eşitleyin:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \sağ)\left(((x)^(2))+9x+14 \sağ)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(hizalama)\]

Aynı iki kök ortaya çıkar: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Suçlu mayut pershu çokluğu. Ayrıca, onları bir kök $x_(4)^(*)=-2$ ile değiştiririz, ama aynı zamanda 1+1=2'lik bir çoklukla da değiştiririz.

Ayrıca, hala aynı kökler vardır: $((x)_(2))=-4$ ve $x_(2)^(*)=-4$. $x_(2)^(*)=-4$ 1+1=2'den mahrum bırakılacak ilk çokluğun kokusu.

Saygı getirmek için: Her iki vipadkada da kendimizi eski kökün kendisinden mahrum bıraktık ve bir bakışta uzakları fırlattık. Bu yüzden dersin başlangıcına kadar geldiler: Bir anda bir nokta gibi ve dövüldü ve osurdu, hepimiz aynı şekilde umursuyoruz.

Sonuç olarak, є chotiri köklerimiz var, ayrıca tüm vikolotlar ortaya çıktı:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sol(2k \sağ); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalama)\]

Ayarlanmış çokluğa sahip sayı satırında önemli ölçüde їх:

Bizi çağıran işaretler ve zafarbovuyemo alanları koyduk:

Bıyık. Günlük yalıtılmış noktalar ve diğer sorunlar. Fikrinizi yazabilirsiniz.

Vidpovid. $x\in \sol(-\infty ;-7 \sağ)\bigcup \left(4;+\infty \sağ)$.

çokluk kuralı

Bazen durum daha da kabul edilemez hale gelir: kökün bir katı olabilen eşit, aynı adıma getirilir. Bununla, tüm dışa dönük köklerin çokluğu değişir.

Böyle bir ses nadiren duyulur, ayrıca benzer görevlere dair bir kanıt yoktur. Ve kural şudur:

$n$ adımlarının eşitlenmesiyle, tüm yogo köklerinin çokluğu da $n$ kat artar.

Başka bir deyişle, basamaklardaki basamaklar, o basamaktaki çoklukla çarpılır. Uygulamadaki kurala bir göz atalım:

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(x((\sol((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))((\sol(x-4 \sağ))^(5)) )(((\sol(2-x \sağ))^(3))((\sol(x-1 \sağ))^(2)))\le 0\]

Çözüm. Sayıyı sıfıra eşitleyelim:

Çarpanlardan birinin sıfıra eşit olması isteniyorsa, Tvir sıfıra eşittir. İlk çarpanla şunu anladım: $x=0$. Ve eksen sorunlara yol açtı:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\sol(2k \sağ); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\sol(2k \sağ)\sol(2k \sağ) \ \ & ((x)_(2))=3\sol(4k \sağ) \\ \end(hiza)\]

Bachimo gibi, eşit $((x)^(2))-6x+9=0$ başka bir çokluğun tek bir köküne sahip olabilir: $x=3$. Meydana yaklaşmak için hepimiz dikkatli olalım. Daha sonra kökün çokluğu 2$\cdot 2=4$ olur ve bunu bir kararla yazıyoruz.

\[((\left(x-4 \sağ))^(5))=0\Rightarrow x=4\sol(5k \sağ)\]

Aynı gündelik sorunların pankartı ile:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \sağ))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \sağ); \\ & ((\left(x-1 \sağ))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \sağ). \\ \end(hizalama)\]

Toplamda beş noktamız vardı: iki vikolot ve üç farbovan. Rakam kitabında ve znamennik'te kökün korkusu yoktur, sadece sayısal bir düz çizgide görülür:

Bizi çağıran, geliştirilmiş çokluklara ve zafarbovuєmo aralıklarına sahip işaretler yerleştiriyoruz:

Bir izole nokta ve bir vicolot biliyorum

Eşleştirilmiş çokluğun kökünden, birkaç "standart dışı" öğe yeniden alındı. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ yerine $x\in \left[ 0;2 \right)$ ve $ x noktası da izole edilir \in \sol\(3\sağ\)$.

Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \sağ)\bigcup \left(1;2 \sağ)\bigcup \left\( 3 \sağ\)\bigcup \left[ 4;+\infty \sağ)$

Yak bachite, o kadar karmaşık değil. Golovne - saygı. Reenkarnasyonlara adanmışlık dersinin geri kalanı - tim, tam koçan üzerinde tartıştığımız gibi.

Ön yeniden şekillendirme

Nervnosti, tsemu rasdіlі'da kakі mi rasberem, katlama olarak adlandırılamaz. Bununla birlikte, zavdnі'da bulunan vіdmіnu'da, burada zasosuvati navchik z teorії drobіv - mul'tipliers ve brіnnogo znamennik'te razkladannja olur.

Bugünkü dersimizin koçanının yemeklerini detaylı olarak tartıştık. Anlamadığın, anladığın, dilin ne olduğu hakkında, dönüp tekrar etmeni tavsiye ederim. Bunun için, sanki dönüştürülmüş çekimlerde "yüzüyormuşsunuz" gibi, tutarsızlıkları çözme yöntemlerini tıkama duyarlılığı yoktur.

Evde, konuşmadan önce, buna benzer birçok görev olacaktır. Pidrozdil sonuna kadar suçluluk kokusu. Ve orada önemsiz olmayan uygulamalar için bile kontrol edileceksiniz. Ale, kabinde olacaksın, ama şimdi bu tür tutarsızlıklardan birkaçını çözelim.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Çözüm. Her şeyi sola taşıma:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Çift pankarta getirilir, kemerler açılır ve benzer dodankiler sayı defterine getirilir:

\[\begin(hizalama) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \sağ)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \sağ)\left(x-1 \ ) sağ))(x\cdot \sol(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\sol(((x)^(2))-2x-x+2 \sağ))(x\sol(x-1 \sağ)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\sol(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\sol(x-1 \sağ))\le 0. \\\end(hizalama)\]

Şimdi önümüzde klasik kesirli-rasyonel sinir var, vyshennya yakoї artık zor değil. Aralıklar yöntemiyle alternatif bir yöntemle yoga yapıyorum:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \sağ)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(hizalama)\]

Afişten gelen çitleri unutmayın:

Tüm sayılar, sayısal bir düz çizgi üzerinde gösterilir ve değiştirilir:

Bıyık, ilk çokluğun köküdür. Sorun yok. Biz sadece bölgenin bize ihtiyacı olan işaretleri koyduk:

Bu kadar. Fikrinizi yazabilirsiniz.

Vidpovid. $x\in \sol(-\infty ;0 \sağ)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \sağ)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm sadece bir popo. Bunun için bir kerede göreve daha ciddi bakabiliriz. І konuşmaya, riven tsgo zavdannya tsіlkom vіdpovіdає bağımsız ve kontrol robotları 8. sınıftakiler.

Yönetici. Gerginliği gidermek için:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Çözüm. Her şeyi sola taşıma:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Ondan önce hakaret içeren kesirleri çift pankarta nasıl getiririz, bu pankartları çarpanlara ayırıyoruz. Raptom vylizut aynı kemerler mi? İlk afiş ile kolaydır:

\[((x)^(2))+8x-9=\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ)\]

Diğerleri ile troch katlanmış. Bu yaya bir çarpan sabiti eklemekten çekinmeyin, görünen drib. Unutmayın: katsayı sayısında zengin bir teriminiz varsa, bu harika bir imovirnisttir, çünkü katsayı sayısında annenin katları halinde düzenlenir (aslında, eğer bir vipadkiv göz kırpması için öyle olacaktır). diskriminant irrasyoneldir).

\[\begin(hizalama) & 3((x)^(2))-5x+2=3\sol(x-1 \sağ)\sol(x-\frac(2)(3) \sağ)= \\ & =\sol(x-1 \sağ)\sol(3x-2 \sağ) \end(hiza)\]

Yak bachimo, є yay: $ \ sol (x-1 \ sağ) $. Gerginliğe dönüyoruz ve aşağılayıcı fraksiyonları çifte pankart haline getiriyoruz:

\[\begin(hizalama) & \frac(1)(\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ))-\frac(1)(\sol(x-1 \sağ)\ sol(3x-2\sağ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \sol(3x-2 \sağ)-1\cdot \sol(x+9 \sağ))(\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ) )\sol(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ)\sol(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ)\sol(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ \end(hizalama)\]

Başlığı sıfıra eşitleyin:

\[\begin(align) & \left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( hizala)\]

Günlük çokluklar ve zbіgayutsya kökleri. Düz çizgiye birkaç sayı atarız:

İşaretler koyuyoruz:

Kanıtları yazalım.

Yanıt: $x\in \left(-\infty ;-9 \sağ)\bigcup \left((2)/(3)\;1 \sağ)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ sağ) $.

Bıyık! Böyle, sonra satıra kadar okuyun.