Katta funktsiya qiymati 4 x 3. Funksiya qiymati maydoni (kattaroq funktsiya qiymati). Kerakli tushuncha va amaliy bilim. Funksiya qiymat sohalarini topish usullari

D(f)- argument orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan ma'nolar, keyin. asosiy funktsiya sohasi.

E(f)- funktsiya tomonidan olinishi mumkin bo'lgan qiymatlar. funktsiyaning shaxssiz ma'nosi.

Funksional ahamiyatga ega sohalarni topish usullari.

funktsiyaning katlama argumentlari qiymatini keyingi aniqlash;

baholash usuli/kordonlar;

uzilishlarsiz hokimiyatning shafqatsizligi va funktsiyalarning monotonligi;

yurish stantsiyasi;

funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini izlash;

grafik usul;

parametrlarni uzatish usuli;

qaytarish funktsiyasi usuli.

Keling, ularning harakatlarini ko'rib chiqaylik.

Men do'zaxga boraman

Zagalniy yondashuv Shaxssizlikni topishdan oldin, uzluksiz f(x) funksiyaning qiymati f(x) funksiyaning uning qiymati sohasida eng katta va eng kichik qiymatini topish (yoki ulardan biri ekanligini isbotlash) bilan bog‘liq. yoki huquqbuzarlik mavjud emas).

Va nihoyat, funktsiyaning shaxssiz ma'nosini bilish kerak aperatif uchun:

f "(x) funktsiyasining qiymatini toping;

f(x) funksiyaning kritik nuqtalarini toping va shu bo'limga tegishlilarini tanlang;

qismning oxirida va tanlangan kritik nuqtalarda funksiya qiymatlarini hisoblash;

Topilgan qiymatlar orasida eng kichik va eng katta qiymatni tanlang;

Bu qiymatlar orasiga joylashtirish funktsiyasining ko'p ma'nolari mavjud.

Asosiy funktsiya sohasi interval, keyin bir xil sxema g'alaba qozonadi, lekin argument intervalning oxiriga o'tkazilganda, uchlaridagi qiymat o'rniga, funktsiyalar g'alaba qozonadi. Orasidagi maʼno maʼnosiz maʼnoga kirmaydi.

Inter-baholash usuli

Funktsiya qiymatining ko'pligini topish uchun avval argumentning ma'nosiz qiymatini toping, so'ngra funktsiyaning mos keladigan eng kichik va eng muhim funktsiyalarini toping. Vikoristik tengsizliklar chegaralarni bildiradi.

Mohiyat uzluksiz funktsiyani pastdan va yuqoridan baholashda va funktsiyani baholashning pastki va yuqori chegaralariga etib borishini isbotlashdan iborat. Bunday holda, pastki chegara bahosidan yuqoriga qadar bo'lgan interval bilan funktsiya qiymatining shaxssizligi funktsiyaning o'zgarmasligi va undagi boshqa qiymatlarning mavjudligi bilan ko'rsatiladi.

Uzluksiz funktsiyalarning kuchi

Boshqa variant shundaki, qayta yaratilgan funktsiya doimiy monotonlikda qoladi, shuning uchun tengsizliklar kuchini yangi bekor qilingan funktsiya qiymatiga ma'nosiz baholash mumkin.

Buklanish funksiyasi argumentlarining ketma-ket ma'nosi

Ketma-ket aniqlangan shaxssizlikka asoslanib, funktsiyani tashkil etuvchi oraliq funktsiyalarning ma'nosi

Asosiy elementar funksiyalarning ahamiyat sohalari

Funktsiya	Shaxssiz ma'no
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; 1]
$y = (\rm tg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-p/2; p/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arktan)\, x$	E(y) = (-p/2; p/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; p)

Uni qo'llang

Funktsiyaning ma'nosini toping:

Men do'zaxga boraman

Biz qiymat maydonini bilamiz: D(f)=[-3;3], chunki $9-x^(2)\geq 0$

Biz buni bilamiz: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2))))$

f"(x) = 0, chunki x = 0. f"(x) muhim emas, chunki $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ keyin x = ±3 uchun. Uchta tanqidiy nuqta aniqlanadi: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3, ulardan ikkitasi kesishning uchlarida uchraydi. Hisoblanadigan: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Shuningdek, f(x) ning eng kichik qiymati 0 dan, eng yuqori qiymati 3 dan katta.

Versiya: E(f) = .

Men vikoristlarga bormayman

Eng muhim va eng muhim funktsiyalarni toping:

$ parchalari
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\ frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , keyin:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ barcha x uchun;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ hamma uchun x($|\ dan ortiq) cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Versiya: $\frac(3)(4)$ í $-\frac(3)(2)$

Agar siz boshqalarning yordamiga tayansangiz, f(x) funksiyasi bo'limga emas, balki butun raqam qatoriga tayinlanganligi sababli, o'tkazish uchun to'lashingiz kerak.

Inter/baholashning vikoristik usuli

Sinusning qiymati iz, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Bundan tashqari, biz raqamli tengsizliklarning vakolatlarini tezlashtiramiz.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (asosiy tengsizlikning barcha uch qismini -4 ga ko'paytirdi);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (asl 5 ning uch qismigacha qoʻshilgan);

Ushbu funktsiya butun qiymat maydoni bo'ylab uzluksiz bo'lganligi sababli, uning ma'nosi butun qiymat maydoni bo'ylab eng past va eng yuqori qiymatlar o'rtasida joylashtiriladi, chunki mavjud.

Bu holda $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ funktsiyasining qiymati shaxssizdir.

Tengsizlikdan $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ $$\\ -6\leq y\leq ballni olib tashlaymiz. 6$$

X = p va x = 0 bo'lganda, funktsiya -6 va 6 qiymatini to'playdi, keyin. taxminlarning pastki va yuqori chegaralariga etadi. Uzluksiz cos(7x) va cos(x) funktsiyalarining chiziqli birikmasi sifatida y funktsiyasi butun son o'qi bo'yicha uzluksizdir, shuning uchun uzluksiz funktsiyaning orqasida barcha qiymatlarni -6 dan 6 gacha oshiradi va faqat ular. , shuning uchun $ - 6 \leq y\leq 6$ tengsizliklari orqali uning boshqa qiymatlari mumkin emas.

Otzhe, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Isbot: E(f) =.

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Eriydigan viraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\chap ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \o'ng)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \o'ng) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Kosinusning qiymati $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \ -1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Funktsiya butun qiymatlar oralig'ida uzluksiz berilganligi sababli, uning qiymati eng kichik va eng katta qiymatlar orasiga joylashtiriladi, bu funktsiyaning ma'nosi $ y = sqrt (2) \ co s ((x + \frac (\) pi) (4 ) )))$ ê shaxssiz $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Sezilarli $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Timning o'zi funktsiya qiymatini birjadagi $y = \log_(0,5)(t)$ ko'paytuvchi qiymatiga kamaytiradi (-∞;4). Qolgan $y = \log_(0,5)(t)$ funksiyasi t > 0 uchun hisoblab chiqiladi va (-∞;4) oraliqdagi shaxssiz qiymat (-∞;4) oraliqdagi funksiyaning shaxssiz qiymati ( 0;4), ya'ni ko'ndalang chiziq (-∞;4) logarifmik funktsiyaning qiymat mintaqasi (0; +∞) bilan almashadi. (0;4) oraliqda bu funksiya uzluksiz va kichikroq. t > 0 da qiymat +∞, t = 4 da qiymat -2 ga teng, shuning uchun E(y) = (-2, +∞).

Bu funksiyaning grafik tasviriga asoslangan noyob texnika.

Funktsiyani qayta tartibga solgandan so'ng bizda: y 2 + x 2 = 25 va y ≥ 0, |x| ≤ 5.

$x^(2)+y^(2)=r^(2)$ r radiusining teng soni ekanligini taxmin qilaylik.

Bu darajadagi grafigi o'rtasida ko'plab chegaralar mavjud bo'lib, markazi koordinata boshida va radiusi 5 dan katta bo'lgan yuqori doira mavjud. Shubhasiz, E(y) = .

Versiya: E(y) = .

Viktoriya adabiyoti

EDI menejerlari funktsiyalarining ahamiyati sohasi, Minyuk Irina Borisivna

Funktsiyaning shaxssiz ma'nosini topish uchun Belyaeva I., Fedorova S.

Shaxssizlik ma'nosi, funksiya ma'nosi

Kirish imtihonlarida matematikadan bilimlarni qanday o'rganish kerak, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev.

Ko'pincha, vazifa chegaralari orasida biz segmentga tayinlangan hudud funktsiyasining shaxsiy ahamiyatini aniqlashimiz kerak. Masalan, yuqori darajada ishlash kerak turli xil turlari tengsizliklar, viruslarni baholash va boshqalar.

Ushbu material doirasida biz funktsiya qiymatlari diapazoni nima ekanligini tushunamiz, biz ularni hisoblash mumkin bo'lgan asosiy usullarni kiritamiz va turli darajadagi murakkabliklarning spetsifikatsiyasini tahlil qilamiz. Aniqlik uchun pozitsiyalar grafiklar bilan tasvirlangan. Ushbu maqolani o'qib chiqqandan so'ng, siz funktsiya qiymatining maydoni haqidagi oldingi bayonotlarni olib tashlaysiz.

Keling, asosiy qadriyatlardan boshlaylik.

Viznachennya 1

Berilgan x oralig'idagi y = f (x) funktsiyasining shaxssiz qiymati x ∈ X barcha qiymatlari bo'ylab takrorlanganda ushbu funktsiya to'playdigan barcha qiymatlar ahamiyatsiz.

Vitseniya 2

Y = f (x) funktsiyasi qiymatlari diapazoni x ∈ (f) dan x qiymatini qidirishda olinishi mumkin bo'lgan umumiy qiymatdir.

Harakat funksiyasining qiymat diapazoni odatda E(f) bilan belgilanadi.

E'tibor bering, funktsiya qiymatining ko'pligini tushunish har doim ham uning qiymatining maydoni bilan bir xil emas. Ushbu tushunchalar x qiymatining oralig'i, shaxssizlik topilganda, qiymat tayinlangan funktsiya maydoniga yaqinlashadi degan ma'noda ekvivalent bo'ladi.

y = f (x) o'ng tomonini ifodalash uchun x o'zgaruvchisining qiymatlar diapazoni va qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ini ajratish ham muhimdir. f (x) ifodasi uchun qabul qilinadigan x qiymatlari diapazoni funktsiya qiymatining diapazoni bo'ladi.

Rasm dumba harakatini ko'rsatish uchun pastroq chizilgan. Ko'k chiziqlar funksiya grafiklari, qizil chiziqlar asimptotalar, ordinatalar o'qidagi nuqtalar va chiziqlar funktsiya qiymat sohalaridir.

Shubhasiz, butun O y uchun grafikni loyihalashda funktsiyaning qiymat maydonini olib tashlash mumkin. Ularda bitta raqam yoki bir nechta raqamlar, bo'lim, interval, ochiq maydon, sonli intervallarning kombinatsiyasi va boshqalar bo'lishi mumkin.

Funktsiyaning qiymat maydonini topishning asosiy usullarini ko'rib chiqaylik.

Keling, ko'paytirgichning qiymatidan [a; b]. Bizga ma'lumki, istalgan vaqtda uzluksiz bo'lgan funksiya o'zining yangi minimal va maksimal qiymatiga etadi, bu maksimal m a x x ∈ a ; b f (x) eng kichik qiymat m i n x ∈ a ; bf(x). Shunday qilib, biz m i n x ∈ a bo'limini olib tashlaymiz; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x), bu chiqish funktsiyasining shaxssiz qiymatini o'z ichiga oladi. Keyin biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa qaysi bo'limda minimal va maksimal nuqtalar ko'rsatilganligini bilishdir.

Keling, arksinus qiymatining maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan muammoni olaylik.

Butun 1

Umova: y = a r c sin x chizma qiymatini toping.

Qaror

Halol rejimida arksinusga mos keladigan maydon [-1; 1]. Biz yangisiga yuklangan funksiyalarning eng katta va eng kam ahamiyatini ta'kidlashimiz kerak.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Biz bilamizki, bu funktsiya [-1; 1 ], keyin butun maydonni kengaytirib, arksinusning funktsiyasi ortadi. Bu shuni anglatadiki, eng kichik qiymat 1 ga teng x uchun, eng katta qiymat esa 1 ga teng.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - p 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = p 2

Shunday qilib, arksinus funksiyasi qiymatlari diapazoni E (ar c sin x) = - p 2 ga teng; p 2.

Mavzu: E (a r c sin x) = - p 2; p 2

Butun 2

Umova: berilgan tilimdagi y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 maydon qiymatini hisoblang [1; 4].

Qaror

Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - berilgan vaqt oralig'ida eng katta va eng kam ahamiyatli funktsiyalarni hisoblash.

Ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun quyidagi hisob-kitoblarni amalga oshirish kerak:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Endi biz bo'limning oxirida berilgan funktsiyaning qiymatlarini bilamiz va x 2 = 15 - 33 8 nuqtalari; x 3 = 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Bu funktsiyaning ma'nosiz qiymati 117 - 165 33 512 kasrda hisoblanganligini anglatadi; 32.

Mavzu: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Uzluksiz y = f (x) funktsiyaning (a; b) va a oraliqlarida shaxssiz qiymatini topishga o'tamiz; + ∞, - ∞; b, - ∞; + ∞.

Eng katta va eng kichik nuqtalarni, shuningdek, ma'lum bir oraliqda oraliq o'sish va o'zgarishlarni aniqlashdan aniq. Shundan so'ng biz intervalning oxirida bir tomonlama chegaralarni va / yoki nomuvofiqliklarda chegaralarni yaratishimiz kerak bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, biz berilgan onglarda funktsiyaning harakatini aniqlashimiz kerak. Buning uchun bizda barcha kerakli ma'lumotlar mavjud.

Butun 3

Umova:(-2; 2) oraliqda y = 1 x 2 - 4 funktsiya qiymatining maydonini hisoblang.

Qaror

Berilgan bo'limdagi eng muhim va eng muhim funktsiyalar muhim ahamiyatga ega

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Bizda 0 ga teng bo'lgan maksimal qiymat bor, chunki bu nuqtada funktsiyaning belgisi o'zgaradi va grafik pastga tushguncha davom etadi. Div. tasvir uchun:

U holda y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 funksiyaning maksimal qiymati bo'ladi.

Endi muhimi, bunday x uchun funksiyaning xatti-harakatidir, bu o'ng tomondan - 2 va chap tomondan + 2 ga teng. Boshqacha qilib aytganda, biz bir tomonlama chegaralarni bilamiz:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Ma'lum bo'lishicha, agar argument -2 dan 0 gacha o'zgarsa, funktsiyaning qiymati minus nomuvofiqlikdan - 14 martagacha oshadi. Va agar argument 0 dan 2 gacha o'zgartirilsa, funktsiyaning qiymati minus cheksizlikka o'zgaradi. Demak, ko'rsatilgan funksiyaning kerakli oraliqdagi qiymati (- ∞ ; - 1 4 ) bo'ladi.

Mavzu: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Butun 4

Umova: berilgan oraliqda neytral qiymatni kiriting y = t g x - p 2; p 2.

Qaror

Biz tangensning qiyaligiga ega ekanligini bilamiz - p 2; p 2 ijobiy bo'ladi, keyin funktsiya ortadi. Endi funktsiya berilgan chegaralar ichida qanday amalga oshirilishi muhim:

lim x → p 2 + 0 t g x = t g - p 2 + 0 = - ∞ lim x → p 2 - 0 t g x = t g p 2 - 0 = + ∞

Argumentni - p 2 dan p 2 ga o'zgartirganda funktsiyaning ortib borayotgan qiymatini minus nomuvofiqlikdan plyus nomuvofiqlikka oldik va aytishimiz mumkinki, bu funktsiyaning mutlaq yechimi barcha faol raqamlar shaxssiz bo'ladi.

Mavzu: - ∞ ; + ∞ .

Butun 5

Umova: Bu shuni anglatadiki, bu y = ln x natural logarifmi funktsiyasi qiymatlari diapazoni.

Qaror

Biz bilamizki, funktsiya qachon beriladi va tayinlanadi ijobiy qadriyatlar argument D(y) = 0; + ∞. Berilgan oraliqda ijobiy bo'ladi: y "= ln x" = 1 x. Xo'sh, kimdir ortib borayotgan funktsiyalarga ega bo'ladi. Keyinchalik, agar argument 0 ga teng bo'lsa (o'ng tomonda) va x teng bo'lmasa, ish uchun bir tomonlama chegarani aniqlashimiz kerak:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

X ning qiymatini noldan cheksiz plyusga o'zgartirganda funktsiyaning qiymati minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikka o'sishini aniqladik. Bu shuni anglatadiki, juda ko'p faol raqamlar mavjud - bu tabiiy logarifm funktsiyasi qiymatining diapazoni.

Mavzu: barcha haqiqiy sonlarning ko'pligi - bu natural logarifm funktsiyasi qiymatlari diapazoni.

Butun 6

Umova: Bu funktsiya diapazoni y = 9 x 2 + 1 ekanligini bildiradi.

Qaror

Bu funksiya x faol son ekanligini eslatib turadi. Biz eng katta va eng kichik muhim funktsiyalarni, shuningdek ularning o'sishi va o'zgarishi orasidagi intervallarni hisoblashimiz mumkin:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Natijalar shuni ko'rsatdiki, agar x ≥ 0 bo'lsa, bu funktsiya kamayadi; Masalan, agar x ≤ 0; o'zgartirilganda maksimal y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 nuqtasi mavjud bo'lib, u 0 ga teng.

Keling, funktsiya nomuvofiqlikda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Yozuv shuni ko'rsatadiki, funktsiya qiymatlari asimptotik ravishda 0 ga yaqinlashadi.

Obuna: agar argument minus cheksizlikdan nolga o'zgartirilsa, u holda funktsiyaning qiymati 0 dan 9 gacha oshadi. Agar argument qiymatlari 0 dan ortiqcha nomuvofiqlikka o'zgartirilsa, boshqa funktsiya qiymatlari 9 dan 0 gacha tushadi. Biz bu kichkintoyni tasavvur qildik:

Funktsiyaning qiymat maydoni E(y) = (0; 9) oralig'i bo'lishini ko'rish mumkin.

Mavzu: E(y) = (0; 9]

y = f(x) funksiyaning shaxssiz qiymatini [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) bo'lsa, biz ham xuddi shunday tekshiruvni o'zimiz olib borishimiz kerak.

Ammo faol funktsiyaga tayinlangan maydon bir qator bo'shliqlardan iborat bo'lsa-chi? Keyin bu bo'shliqlarning terisida neytral qiymatni hisoblashimiz va ularni birlashtirishimiz kerak.

Butt 7

Umova: maydon qanday bo'lishini anglatadi y = x x - 2 .

Qaror

Agar funktsiyaning belgisi 0 ga kengayishda aybdor bo'lmasa, u holda D (y) = - ∞; 2 ∪ 2; + ∞.

Nihoyat, multiplikatorning qiymatidan birinchi bo'limdagi funksiyaning qiymati ∞; 2, bu ochiq maydon. Biz bilamizki, funktsiya keyinchalik kamayadi, shuning uchun bu funktsiya manfiy bo'ladi.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Keyin, agar argument to'g'ridan-to'g'ri minus uzluksizlikni o'zgartirsa, funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda 1 ga yaqinlashadi. Agar x ning qiymatlari minus nomuvofiqlikdan 2 ga o'zgartirilsa, qiymatlar 1 dan minus nomuvofiqlikka kamayadi. ushbu bo'limdagi funktsiya - ∞ oralig'ida qiymatga ega bo'ladi; 1 . Bizning birimiz g'oyib bo'lishimizdan tashqarida, muhim funktsiyaning bo'laklari unga etib bormaydi, balki asimptotik tarzda yaqinlashadi.

Ochiq almashinuv uchun 2; + ∞ biz bir xil narsalarni xulosa qilamiz. Yangisida funksiya ham kichikroq:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Ushbu bo'limdagi funktsiya qiymatlari nol 1 bilan ko'rsatilgan; + ∞. Bu shuni anglatadiki, bizga ong uchun belgilangan funktsiya qiymatining maydoni kerak, bu birlashtirilgan ko'paytirgichlar bo'ladi - ∞; 1 va 1; + ∞.

Mavzu: E(y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞.

Siz grafikaga e'tibor berishingiz mumkin:

Maxsus epizod davriy funktsiyalardir. Ushbu qiymatlar oralig'i ushbu funktsiyaning davrini ko'rsatadigan oraliqdagi neytral qiymatdan qochadi.

Button 8

Umova: y = sin x sinus qiymatining maydonini belgilang.

Qaror

Sinus davriy funktsiyaga qo'llaniladi, shuning uchun davr 2 pi bo'ladi. Vidrezok 0 ni oling; 2 p va men yangisida qanday shaxssiz ma'no bo'lishiga hayronman.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = p 2 + p k , k ∈ Z

Chegaralar 0 ga ega; 2 ta p funksiya p 2 va x = 3 p 2 ekstremum nuqtalariga ega bo'ladi. Umid qilamizki, ulardagi eng muhim funktsiyalar, shuningdek, bo'lim chegaralarida teng bo'ladi, shundan so'ng biz eng yuqori va eng past qiymatlarni tanlaymiz.

y (0) = sin 0 = 0 y p 2 = sin p 2 = 1 y 3 p 2 = sin 3 p 2 = - 1 y (2 p) = sin (2 p) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 p sin x = sin 3 p 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 p sin x = sin p 2 = 1

Mavzu: E(sin x) = - 1; 1 .

Agar siz statik, displey, logarifmik, trigonometrik va qaytaruvchi trigonometrik kabi funktsiyalarning ahamiyat sohalarini bilishingiz kerak bo'lsa, unda asosiy elementar funktsiyalar haqidagi maqolani qayta o'qib chiqishingiz mumkin. Bu erda taqdim etgan nazariya bizga ko'rsatilgan qiymatlarni tekshirish imkonini beradi. Shuni esda tutish kerakki, hidli parchalar ko'pincha vazifaning eng yuqori cho'qqisida kerak bo'ladi. Asosiy funktsiyalarning ahamiyat sohalarini bilganingizdan so'ng, geometrik o'zgartirish yordamida elementarlardan ayiriladigan funksiya sohalarini osongina topishingiz mumkin.

Button 9

Umova: qiymat diapazoni y = 3 a r c cos x 3 + 5 p 7 - 4.

Qaror

Biz bilamizki, 0 dan pi gacha bo'lgan segment yoy kosinus mintaqasi hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, E (ar c cos x) = 0; p yoki 0 ≤ a r c cos x ≤ p. Biz a r c cos x 3 + 5 p 7 funksiyasini O x o'qini surish va cho'zish orqali yoy kosinusidan olib tashlashimiz mumkin, aks holda bunday transformatsiya bizga hech narsa bermaydi. Bu 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 p 7 ≤ p ni bildiradi.

3 a r c cos x 3 + 5 p 7 funksiyani a r c cos x 3 + 5 p 7 yoy kosinusidan ordinata o‘qini qo‘shimcha ravishda cho‘zish orqali, keyin 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 p 7 ≤ 3 ni hisoblash mumkin. Nihoyat, O y o'qining qiymatini 4 ta qiymatga o'zgartiring. Natijada, aniq asabiylashish mavjud:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 p 7 - 4 ≤ 3 p - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 p 7 - 4 ≤ 3 p - 4

Biz kerakli qiymat maydoni E (y) = - 4 ga teng bo'ladi deb taxmin qildik; 3 p-4.

Mavzu: E(y) = - 4; 3 p-4.

Yana bir dumba tushuntirishsiz yozilgan, chunki Bu avvalgisiga mutlaqo o'xshaydi.

Button 10

Umova: y = 2 2 x - 1 + 3 funksiyaning qiymat maydonini hisoblang.

Qaror

Keling, ongimizda berilgan funktsiyani y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 shaklida qayta yozamiz. Statik funktsiya y = x - 1 2 maydoni uchun qiymat 0 oralig'iga tayinlanadi; + ∞, keyin. x-1 2 > 0. Bu vaziyatda:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Bu E(y) = 3 degan ma'noni anglatadi; + ∞.

Mavzu: E(y) = 3; + ∞.

Endi uzluksiz bo'lmagan funksiya qiymatining diapazonini qanday bilishni aniqlaymiz. Buning uchun biz butun maydonni bo'shliqlarga ajratishimiz va ularning teridagi ma'nosini aniqlashimiz kerak, shundan so'ng biz paydo bo'lganlarni birlashtiramiz. Buni yaxshiroq tushunish uchun funktsiyaning asosiy nuqtalarini takrorlash yaxshidir.

Button 11

Umova: berilgan funksiya y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Hududning qiymatini hisoblang.

Qaror

Bu funksiya x ning barcha qiymatlariga tayinlangan. Keling, argument qiymatlari 3 va 3 ga teng bo'lgan uzluksizlik tahlilini o'tkazamiz:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Argumentning qiymati bilan birinchi turdagi uzluksiz rivojlanish bo'lishi mumkin - 3. Funktsiya yangi qiymatga yaqin bo'lsa, qiymatlar - 2 sin 3 2 - 4 ga, x - 3 ga oshirilsa, o'ng tomonda qiymatlar - 1 ga oshiriladi.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

3-bandda boshqa turdagi to'lib-toshgan bo'lmagan rivojlanish bo'lishi mumkin. Funktsiya mukammal bo'lsa, uning qiymatlari - 1 ga, o'ngdagi nuqta to'g'ri bo'lsa - minus nomuvofiqlikka yaqinlashadi.

Shuningdek, qiymat funksiyasining butun maydoni 3 ta intervalgacha (- ∞ ; - 3 ), (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞) bo'linadi.

Birinchi bosqichda biz y = 2 sin x 2 - 4 funksiyasini olib tashladik. Shards - 1 ≤ sin x ≤ 1 olib tashlanishi mumkin:

1 ≤ gunoh x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Demak, bu oraliq uchun (- ∞ ; - 3] funksiyaning shaxssiz qiymati - [ - 6 ; 2 ] ga teng.

(- 3 ; 3 ) oraliqda y = - 1 statsionar funksiya mavjud. Xo'sh, barcha shaxssiz ma'nolar har doim bitta raqamga - 1 ga kamayadi.

Boshqa tomondan 3 ta bo'shliq mavjud; + ∞ y = 1 x - 3 funksiyasidan foydalanamiz. Von pastga tushdi, chunki y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Bu shuni anglatadiki, x > 3 uchun chiqish funktsiyasining neytral qiymati 0 ning ko'pligi; + ∞. Endi natijalarni umumlashtirishimiz mumkin: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Mavzu: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Yechim grafikda ko'rsatilgan:

Button 12

Umova: ê funktsiyasi y = x 2 – 3 e x . Hech qanday ma'no yo'q.

Qaror

Von argumentning barcha ma'nolariga, ya'ni haqiqiy raqamlarga tayinlangan. Shunisi e'tiborga loyiqki, ba'zi oraliqlarga ko'payish, ba'zilari esa kamaytirish funktsiyasi berilgan:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Biz bilamizki, x = - 1 va x = 3 bo'lganda 0 ga borish mumkin. Keling, ikkita nuqtani butunga joylashtiramiz va intervallarda qaysi belgilar o'xshash bo'lishi aniq.

Funktsiya (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ga o'zgartiriladi ; + ∞) í [ - 1 ga ortadi; 3]. Minimal ball 1, maksimal ball 3 bo'ladi.

Endi biz funktsiyaning asosiy ma'nolarini bilamiz:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Funktsiyaning uzluksizlikdagi harakatini ko'rib chiqaylik:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Boshqa chegaralarni hisoblash uchun L'Hopital qoidasidan foydalanilgan. Bizning qarorimizda grafikaga sezilarli o'zgarish bor.

Ko'rinib turibdiki, argument minus nomuvofiqlikdan -1 ga o'zgarganda funktsiyaning qiymati plyus nomuvofiqlikdan -2e ga tushadi. Agar qiymat 3 dan ortiqcha nomuvofiqlikka o'zgarsa, qiymatlar 6 e - 3 dan 0 gacha tushadi yoki 0 ga etib bo'lmaydi.

Shunday qilib, E(y) = [- 2 e; + ∞).

Mavzu: E(y) = [- 2 e; + ∞)

Agar siz matnda yaxshilikni belgilagan bo'lsangiz, uni ko'ring va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Funktsiya tushunchasi va u bilan bog'liq bo'lgan barcha narsalar to'liq ratsional emas, balki an'anaviy tarzda murakkablashadi. Funktsiyaning muhimligini va funktsiyaning maqsadiga tayyorgarlikni ta'kidlaylik.
Ko'pincha, olimlar tayinlangan funktsiyaning maydoni va qiymat maydoni o'rtasidagi farqni topmaydilar.
Va agar belgilangan funktsiyaning yangi sohasini talabalar o'zlashtirishlari qiyin bo'lsa, unda funktsiyaning shaxsiy qiymatining yangi sohasi qiyinlashadi.
Meta maqolalar: funktsiya qiymatini topish usullarini bilish.
Ushbu takrorlash natijasida nazariy material ko'rib chiqildi, funktsiyaning ko'paytmalarini topish masalalarini yechish yo'llari ko'rib chiqildi va talabalarning mustaqil ishi uchun didaktik material tanlandi.
Ushbu maqoladan o'qituvchi sifatida bitiruvgacha bo'lgan va o'qishga kirgan talabalarni, shuningdek, matematikadan fakultativ darslarda "Ahamiyat sohasi funktsiyalari" dan foydalanish mumkin.

I. Funksiya qiymatining muhim sohasi.

y = f(x) funksiyaning E(y) qiymatining maydoni (ko‘pligi) bunday sonlarsiz y 0 deyiladi, har biri uchun shunday x 0 soni mavjud bo‘lib, u: f(x 0) = y 0.

Asosiy ahamiyatga ega bo'lgan sohalarni taxmin qilish elementar funktsiyalar.

Keling, stolga qaraylik.

Funktsiya	Shaxssiz ma'no
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y = x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; 1]
y = tan x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-p/2; p/2]
y = arkos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-p/2; p/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; p)

Shuni ham ta'kidlash kerakki, juftlashgan darajadagi har qanday ko'phadning ahamiyatlilik mintaqasi n eng muhim ko'ph bo'lgan intervaldir.

II. Funktsiya qiymatining maydoni topilganda aniqlanadigan funktsiyaning kuchi

Funktsiyaning shaxssiz ahamiyatini muvaffaqiyatli topish uchun asosiy elementar funktsiyalarning kuchini, ayniqsa ularning ahamiyat sohalarini, ahamiyatlilik sohasini va monotonlik tabiatini yaxshi bilish kerak. Keling, funktsiyalar ma'nosining ma'lum shaxssizligi bilan ko'pincha suiiste'mol qilinadigan uzluksiz, monoton differentsiatsiyalangan funktsiyalarning kuchiga amal qilaylik.

2 va 3 vakolatlar, qoida tariqasida, o'zlarining ahamiyat sohalarida uzluksiz bo'lgan elementar funktsiyaning kuchiga ega. Ko'paytirgichni topish masalasining eng oddiy va eng qisqa yechimi bilan funktsiyaning qiymati 1-quvvat bazasida erishiladi, chunki noqulay usullar funktsiyaning monotonligini aniqlashga imkon beradi. Fazilatli vazifa tez orada kechiriladi, chunki funktsiya, qo'shimcha ravishda, bir oz juftlashtirilmagan, davriydir. Shunday qilib, ko'pliklarni topishning eng muhim vazifalari bilan, agar kerak bo'lsa, iz funktsiyasining qiymati funktsiyaning kuchi uchun tekshirilishi va tuzatilishi kerak:

uzluksizligi;
monotonlik;
farqlash;
paritet, juftlashmaslik, davriylik va boshqalar.

Shaxssizlikni topishning qiyin vazifasi kattaroq yo'nalish funktsiyasining ma'nosidir:

a) eng oddiy hisob-kitoblar va chegaralar asosida: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 keyin);

b) mukammal kvadratni ko'rish: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

v) trigonometrik ifodalarni o'zgartirish uchun: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) x 1/3 + 2 x-1 funksiyaning monotonligi oshsa, R ortadi.

III. Funktsiya qiymatlari sohalarini topish usullarini ko'rib chiqamiz.

a) funksiyaning katlama argumentlari qiymatini keyingi aniqlash;
b) baholash usuli;
v) hokimiyatning uzluksiz o'zgarishi va funksiyaning monotonligi;
d) vikoristannya yurishi;
e) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini tanlash;
f) grafik usul;
g) parametrlarni uzatish usuli;
h) teskari funktsiya usuli.

Keling, ushbu usullarning mohiyatini aniq dumbalarda ko'rib chiqaylik.

Misol 1. Qiymat sohasini toping E(y) funktsiyalari y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Bu muammoni katlanmış funksiya argumentlarining qiymatini ketma-ket topish usuli yordamida hal qilishimiz mumkin. Logarifm ostidagi yangi kvadratni ko'rib, biz funktsiyani o'zgartirishimiz mumkin

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Va murakkab dalillarning shaxsiy ma'nosi doimo ma'lum:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5) – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Sezilarli t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Timning o'zi birjada y = log 0,5 t funktsiya qiymatini ko'paytirish qiymatiga kamayadi. (-∞;4) . Kiyinish funktsiyalari y = log 0,5 T Xumpov tomonidan yo'qolgan, bu í̈A. ;4) logarifmik funksiyaning qiymat (0; + ∞) mintaqasidan. (0;4) oraliqda bu funksiya uzluksiz va kichikroq. Da t> 0 won pragne +∞, va qachon t = 4 -2 qiymatini keltirib chiqaradi, shuning uchun E(y) =(-2, +∞).

Ilova 2. Funksiyaning qiymat sohasini toping

y = cos7x + 5cosx

Ushbu dastur baholash usuliga asoslangan bo'lib, uning mohiyati uzluksiz funktsiyani pastdan va yuqoridan baholashda va funktsiyani baholashning pastki va yuqori chegaralari orqali erishishni isbotlashdan iborat. Bunday holda, pastki chegara bahosidan yuqoriga qadar bo'lgan interval bilan funktsiya qiymatining shaxssizligi funktsiyaning o'zgarmasligi va undagi boshqa qiymatlarning mavjudligi bilan ko'rsatiladi.

Tengsizlikdan -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 -6≤y?6 ballni ayiramiz. X = p va x = 0 bo'lganda, funktsiya -6 va 6 qiymatini to'playdi, keyin. taxminlarning pastki va yuqori chegaralariga etadi. Cos7x va cosx uzluksiz funktsiyalarining chiziqli birikmasi sifatida y funktsiyasi butun raqamli o'qda uzluksizdir, shuning uchun uzluksiz funktsiyaning kuchi ostida u barcha qiymatlarni -6 dan 6 gacha oshiradi va faqat tufayli notekislikka -6≤y?6 boshqa qiymatlar ular mumkin emas. Otje, E(y)= [-6;6].

Misol 3. Qiymat sohasini toping E(f) funktsiyalari f(x)= cos2x + 2cosx.

Kosinus formulasidan foydalanib, funktsiyani o'zgartiramiz f(x)= 2cos 2 x + 2cosx - 1 muhim t=cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t - 1. Shards E(cosx) =

[-1;1], keyin funksiya qiymat maydoni f(x) g funksiyaning shaxssiz qiymatidan qochadi (t)= 2t 2 + 2t - har bir bo'lim uchun 1 [-1; 1], bu grafik usul bilan ma'lum. [-1 oraliq uchun y = 2t 2 + 2t - 1 = 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 funksiya grafigini tuzib; 1], ma'lum E(f) = [-1,5; 3].

Hurmat - shaxssizlikni topishdan oldin, funktsiyaning qiymati ko'p jihatdan parametrga bog'liq bo'lib, u eng muhimi, farq va uzilishlar va nomuvofiqliklar soniga bog'liq. Masalan, hasad f(x)= lekin joiz va undan ham ko'proq, agar

a E(f) Xuddi shunday, hasad f(x)= va har qanday X oralig'ida tarqalgan bitta ildiz bo'lishi mumkin, lekin biron bir oraliqda bitta ildiz bo'lmasligi mumkin va faqat shundan keyingina, agar funktsiyaning shaxssiz qiymatini kiritish kerak bo'lsa yoki bo'lmasa. f(x) oraliqda X. funksiya va tengsizlikning ma'nosi ham olingan shaxssiz qiymatlardan aniqlanadi f(x)≠ A, f(x)> va boshqalar. Zokrema, f(x)≠ va barcha ruxsat etilgan qiymatlar uchun x, a E(f)

4-misol. a parametrining har qanday qiymati uchun teng (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) har bir qism uchun bitta ildizdir [-4;-1].

Ko'rinishni yozamiz (x + 5) 1/2/(x 2 + 4) = a. Teng bo'lib, men [-4;-1] bo'limda bitta ildizga ega bo'lishni xohlayman va shundan keyingina, agar funktsiyaning qiymati ahamiyatsiz bo'lsa. f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) bo'lim uchun [-4;-1]. Biz bu shaxssizlik, vikorizm va kuch, funktsiyaning uzluksizligi va monotonligini bilamiz.

[-4;-1] kesimida y = xI + 4 funksiya uzluksiz, kichikroq va musbat, shuning uchun funksiya g(x) = 1/(x 2 + 4) uzluksiz bo'lib, bu bo'limda ortadi, musbat funktsiyaga bo'linish natijasida funktsiyaning monotonligi tabiati cho'ziqlikka o'zgaradi. Funktsiya h(x) =(x + 5) 1/2 uzluksiz va o'z galusasida o'sadi D(h) =[-5;+∞) va, okrema, yon tomonda [-4;-1], qo'shimcha ravishda, ijobiy. Bu funksiya f(x)=g(x) h(x), ikkita uzluksiz, o'suvchi va musbat funksiyalarning qo'shilishi ham uzluksiz bo'lib, [-4;-1] bo'limga ortadi, shuning uchun [-4;-1] ga bir xil qiymat kesma [-dir. f(-4); f(-1)] =. Shuningdek, tenglama [-4;-1] kesma bilan va bir vaqtning o'zida (uzluksiz monoton funksiya tufayli) 0,05 ≤ a ≤ 0,4 da aniqlanadi.

Hurmat. Ruxsat berish teng f(x) = a har qanday oraliqda X parametr qiymatiga teng A funktsiyaning shaxssiz ma'nosi f(x) H. Otzhe haqida, funktsiyaning shaxssiz ma'nosi f(x) uchun parametrning shaxssiz qiymati bilan X oraliqdan qochadi A, hasadgo'ylar uchun f(x) = a Men interval X. Zokrema maydoni qiymati boshiga bir ildiz istayman E(f) funktsiyalari f(x) Parametr qiymatidan qoching A, hasadgo'ylar uchun f(x) = a Menga bitta ildiz kerak.

Misol 5. Qiymat sohasini toping E(f) funktsiyalari

ga qarab, ko'tni parametrni kiritish usuli yordamida bo'shatish mumkin E(f) Parametr qiymatidan qoching A, hasadgo'ylar uchun

Menga bitta ildiz kerak.

Agar a = 2 teng chiziqli bo'lsa - 4x - 5 = 0 noma'lum x bo'lsa, nolga teng bo'lmagan koeffitsient bilan, bu yechim. Agar a≠2 kvadratga teng bo'lsa, siz ikkalasini ham ajratishingiz mumkin va faqat sizning diskriminantingiz bo'lsa

Splinters nuqta a = 2 kesimga qo'yiladi

keyin parametrning ma'nosiz qiymatini qidiramiz A, vositalari va ahamiyat sohasi E(f) juda ko'p qiziqarli bo'ladi.

Funksiyaning shaxssiz qiymati topilganda parametrni kiritish usulining bevosita rivojlanishi sifatida teskari funktsiya usulini ko'rib chiqish mumkin, buning uchun talab izchil bo'lishi kerak. f(x)=y, Vrahovuyuchi y parametr. Chunki butun jarayon bitta yechimga ega x = g(y), keyin qiymat maydoni E(f) chiqish funktsiyalari f(x) Belgilangan hududdan qoching D(g) qaytarish funktsiyasi g(y). Rashk haqida nima deyish mumkin? f(x)=y Bir qarorga kelsam maylimi x = g 1 (y), x = g 2 (y) va hokazo, keyin E(f) an'anaviy ravishda funktsiya sohalarini birlashtiradi g 1 (y), g 2 (y) va boshqalar.

Misol 6. Qiymat sohasini toping E(y) funksiyalar y = 5 2/(1-3x).

Rivnyanya

Qaytish funksiyasini bilamiz x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Demak, adolat parchalari yagona yechim bo'lishi mumkin

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Muhim funktsiyaning maydoni bir nechta intervallardan iborat bo'lganligi sababli yoki turli oraliqlardagi funktsiya turli formulalar bilan berilganligi sababli, funktsiya qiymatining maydonini topish uchun funktsiyaning mutlaq qiymatini bilish kerak. teri maydoni zhku va ularni birga olib boring.

7-misol. Muhim sohalarni toping f(x)і f(f(x)), de

f(x) almashishda (-∞;1], 4 x + 9 · 4 -x + 3 ifodasi bilan chetlanadi. Muhim t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, de 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) almashishda (-∞;1] funktsiyaning shaxssiz qiymati bilan qochiladi g(t) = t + 9/t + 3, intervalgacha (0;4), biz bilganimizdek, vikoristuyu ketadi g’(t) = 1 – 9/t 2. (0;4) oraliqgacha boring g'(t) u erda nol da portlashi belgilangan t = 3. 0 da<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) kamayadi va (3;4) intervallar ortib, uzluksiz intervalni (0;4) yo'qotadi, shuning uchun g (3)= 9 – (0;4] oraliq uchun bu funksiyaning eng kichik qiymati, maksimal qiymatlar mavjud emas, shuning uchun qachon t→0 o'ng qo'l funktsiyasi g(t)→+∞. Shuning uchun uzluksiz funksiya tufayli ma'nosiz funktsiya g(t)(0; 4] oralig'iga va shuning uchun ma'nosiz qiymat f(x)(-∞;-1] ustida, min bo'ladi.

Endi bo'shliqlarni birlashtirib, funktsiyaning shaxssiz ma'nosi f(f(x)), muhim t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de Belgilanganda t funktsiyasi f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 va yana 5 dan 9 gacha bo'lgan barcha qiymatlarni qabul qiladi, keyin. maydon qiymati E(fI) = E(f(f(x))) =.

Xuddi shunday, tayinlangan z = f(f(x)), qiymat maydonini bilishingiz mumkin E(f 3) funktsiyalari f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 i va boshqalar. Fikringizni o'zgartiring, nima? E(f 3) = .

Funksiyaning ko‘paytma qiymatini topishning eng universal usuli bu funksiyaning berilgan oraliq uchun eng katta va eng kichik qiymatini aniqlashdir.

Misol 8. Har qanday parametr qiymatlari uchun R notekislik 8 x - r ≠ 2 x+1 – 2 x hamma -1 ≤ x uchun tenglashtiriladi< 2.

Belgilagan t = 2x, keling, qarashning asabiyligini yozamiz r ≠ t 3 – 2t 2 + t. Shunday ekan t = 2x- uzluksiz o'sish funktsiyasi yoqilgan R, keyin -1 ≤ x uchun< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R Funktsiya qiymatiga bog'liq f (t) = t 3 - 2t 2 + t 0,5 ≤ t da< 4.

Biz dastlab funktsiyaning ma'nosini bilamiz f(t) buning uchun hamma joyda yurish bor f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Otje, f(t) farqlanadi, shuning uchun va kesish uchun uzluksiz. Rivnyanya f'(t) = 0 funktsiyaning ma'lum kritik nuqtalari t = 1/3, t = 1, Avvalo, siz dars bermasligingiz kerak, lekin sizga do'st berilishi kerak. Shunday ekan f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, u holda differentsial funktsiyaning turiga qarab 0 eng kichik, 36 esa funksiyaning eng yuqori qiymati hisoblanadi. f(t) dam olish uchun. Todi f(t), Uzluksiz funktsiya sifatida u 0 dan 36 gacha bo'lgan barcha qiymatlarni qabul qiladi va 36 qiymati faqat to'planadi. t=4 keyin 0,5 ≤ t da< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

U butun x oralig'ida (-1; 1) ijobiy bo'ladi, shuning uchun arksinus funktsiyasi qiymat maydoni bo'ylab ortadi. Shunday qilib, eng kichik qiymat x = -1 da, eng kattasi esa x = 1 da ko'tariladi.

Biz arksinus funksiyasining qiymat maydonini oldik .

dumba.

Funktsiyaning ma'nosiz qiymatini toping dam olish uchun.

Qaror.

Biz ushbu bo'limdagi eng muhim va eng muhim funktsiyalarni bilamiz.

Yaqin atrofda joylashgan ekstremumning muhim belgilari:

Chiqish funktsiyasining qiymatlarini bo'limning oxirida va nuqtalarda hisoblaymiz :

Bundan tashqari, bo'lim va bo'limning funktsiyasi uchun hech qanday ma'no yo'q .

Endi y = f(x) uzluksiz funksiyaning (a; b) , oraliqlarida o zgarmas qiymatini qanday topishni ko rsatamiz.

Funksiyaning ekstremum nuqtalari, ekstremumlari, berilgan oraliqdagi o‘sish va o‘zgarish intervallari boshidan aniqlanadi. Keyinchalik, biz intervalning oxirida va (yoki) uzluksizlikda chegaralarni hisoblaymiz (shuning uchun biz intervalning oxirida yoki uzluksizlikda funksiyaning harakatini kuzatishimiz mumkin). Bunday oraliqlarda funktsiyaning ma'nosini bilish uchun bu ma'lumot etarli.

dumba.

(-2; 2) oraliqda funksiyaning shaxssiz qiymatini toping.

Qaror.

Biz (-2; 2) oraliqda sarflanadigan funktsiyaning ekstremum nuqtalarini bilamiz:

Krapka x = 0 - maksimal nuqta, chunki undan o'tganda plyus belgisi minusga o'zgaradi va funktsiya grafigi ortishdan kamayishgacha boradi.

Bu funksiyaning oxirgi maksimali.

Funktsiyaning x-da -2 ga teng bo'lgan o'ng qo'li va x 2 ga teng bo'lsa, biz bir tomonlama chegaralarni bilamiz:

Biz nimani olib tashladik: argumentni -2 dan nolga o'zgartirganda, argumentni noldan 2 funktsiya qiymatiga o'zgartirganda, funktsiya qiymatlari minus nomuvofiqlikdan minus to'rtdan biriga (x = 0 da maksimal funktsiya) ko'tariladi. minus nomuvofiqlik bilan kamaytirish. Shunday qilib, (-2; 2) oraliqdagi funksiyaning qiymati ahamiyatsiz.

dumba.

y = tgx tangens funksiya qiymatining intervallar bo‘yicha ko‘pligini ko‘rsating.

Qaror.

Tangens funksiyaning intervaldagi o'xshashligi ijobiydir bu funksiyalarning ortishidan dalolat beradi. Intervallar orasidagi funktsiyaning harakatini kuzatamiz:

Shunday qilib, argumentni o'zgartirganda, funktsiyaning qiymati minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikka oshadi, shuning uchun bu oraliqdagi tangens qiymati barcha haqiqiy sonlarga teng bo'ladi.

dumba.

y = lnx natural logarifm funksiyasining qiymatlari diapazonini toping.

Qaror.

Tabiiy logarifm funktsiyasi argumentning ijobiy qiymatlariga beriladi . Qaysi intervalda xatti-harakatlar ijobiy bo'ladi? Biz funktsiyalarni yangi usulda oshirish haqida gapiramiz. Argument nolga kengaytirilganda, o'ng qo'lda va chegara o'rtasida bir yo'lni bilamiz, bu esa plyus nomuvofiqlikka uzaytiriladi:

X ning noldan plyus nomuvofiqligiga o'zgarishi uchun funktsiyaning qiymati minus nomuvofiqlikdan ortiqcha nomuvofiqlikka o'sishi muhimdir. Shuningdek, natural logarifm funksiyasining ahamiyatlilik diapazoni haqiqiy sonlarsiz.

dumba.

Qaror.

Bu funksiya x ning barcha faol qiymatlariga tayinlangan. Ekstremum nuqtalari, shuningdek, funktsiyaning o'sishi va o'zgarishi oraliqlari muhim ahamiyatga ega.

Bundan tashqari, funktsiya qachon o'zgaradi, qachon ortadi, x = 0 maksimal nuqta, oxirgi maksimal funksiya.

Funktsiyaning uzluksizlikdagi harakatini ko'rib chiqaylik:

Shunday qilib, nomuvofiqlikda funktsiyaning qiymatlari asimptotik tarzda nolga yaqinlashadi.

Argumentni minus nomuvofiqlikdan nolga (maksimal nuqta) o'zgartirganda, funktsiya qiymatlari noldan to'qqizgacha (funktsiyaning maksimal qiymatigacha) va x ni noldan plyusga o'zgartirganda, funktsiya qiymatlarining nomuvofiqligini bilardik. to'qqizdan nolga o'zgaradi.

Xomaki kichkintoyga hayron bo'ling.

Endi siz funktsiyaning qiymat maydoni nima ekanligini aniq ko'rishingiz mumkin.

y = f(x) funksiya qiymatini oraliqlarga ko‘paytirish xuddi shunday natijalarni ko‘rsatadi. Keling, hozir bu masalalar haqida gapirmaylik. Pastki dumbalarda hid yanada kuchayadi.

y = f(x) funksiyaning maydoni bir nechta intervallarni birlashtirsin. Hudud topilganda, bunday funktsiyaning qiymati teri maydoni va ularning atrofidagi ma'nodan qat'i nazar aniqlanadi.

dumba.

Funktsiyaning qiymat maydonini toping.

Qaror.

Bizning funktsiyamizning belgisi nolga o'tishda aybdor emas, keyin ...

Biz darhol ochiq birjadagi funktsiyaning shaxssiz ahamiyatini bilamiz.

Shunga o'xshash funktsiyalar Agar interval manfiy bo'lsa, funktsiya yangisiga o'zgaradi.

Argument minus nomuvofiqlik bilan funktsiyaning qiymatlari asimptotik tarzda biriga yaqinlashishi hisobga olindi. X ni minus nomuvofiqlikdan ikkitaga o'zgartirganda, funktsiyaning qiymati birdan minus nomuvofiqlikka o'zgaradi, shuning uchun bu orada funktsiya cheksiz qiymat qabul qilgandek ko'rinadi. Bittasi qo'shilmaydi, qolgan qiymat funksiyasi unga etib bormaydi, faqat minus nomuvofiqlik bilan unga asimptotik tarzda o'tish.

Vaziyat ochiq almashinuv uchun ham xuddi shunday.

Bu vaqtda funktsiya ham o'zgaradi.

Bu oraliqdagi funksiyaning shaxssiz qiymati shaxssizdir.

Shunday qilib, funktsiya qiymatining talab qilinadigan diapazoni birlashtirilgan ko'paytiruvchi i hisoblanadi.

Grafik tasvirlar.

Davriy funktsiyalarga diqqat bilan e'tibor bering. Davriy funktsiyalarning qiymatlari diapazoni ushbu funktsiyaning davrini ko'rsatadigan bo'shliqning neytral qiymatidan qochadi.

dumba.

y = sinx sinus funktsiyasi qiymatlari oralig'ini toping.

Qaror.

Bu funksiya ikki pi davri bilan davriydir. Keling, yangisida muhim shaxssiz ma'noni ko'rib chiqaylik.

Ekstremumning ikkita nuqtasi bir-biriga parallel yotadi.

Biz ushbu nuqtalarda va bo'lim chegaralarida funktsiyaning qiymatlarini hisoblaymiz, eng past va eng yuqori qiymatlarni tanlaymiz:

Otje, .

dumba.

Funktsiya diapazonini toping .

Qaror.

Biz bilamizki, yoy kosinusining diapazoni noldan pigacha bo'lgan segmentdir, shuning uchun yoki boshqa yozuvda. Funktsiya arccosx birikmasidan olib tashlanishi va abscis o'qi bo'ylab cho'zilishi mumkin. Bunday o'zgarishlar hududga ahamiyat bermaydi, chunki . Funktsiya tashqariga chiqish cho'zilgan vtrichi vdovzh o'qi Oy, keyin, . Qayta yaratishning birinchi bosqichi birliklarni ordinat o'qi bo'ylab pastga siljitish bilan bir xil. Bizni asabiylashish darajasiga tushirishning o'zi etarli emas

Shu tarzda, shukana maydoni muhim ahamiyatga ega .

Keling, tushuntirishsiz boshqa dumbaning yechimini ko'rib chiqaylik (xushbo'y hidga hojat yo'q, chunki u butunlay o'xshash).

dumba.

Funktsiyaning qiymat maydonini tanlang .

Qaror.

Chiqish funksiyasini quyidagicha yozamiz . Statik funksiya qiymatining diapazoni intervaldir. Tobto, . Todi

Otje, .

Rasmni to'ldirish uchun, keling, doimiy tayinlash maydoni bo'lgan funktsiyaning qiymat maydonining joylashuvi haqida gapiraylik. Ushbu turda belgilangan maydon nuqtalar bo'yicha bo'shliqlarga bo'linadi va ularning teridagi ma'nosi aniqlanadi. Ko'paytirgichning qiymatini olib tashlaganimizdan so'ng, biz chiqish funktsiyasi qiymatining maydonini olib tashlaymiz. Funktsiyaning 3 chap qo'l qiymatini taxmin qilish va minus birga o'tish tavsiya etiladi va x ni 3-o'ng qo'lga o'zgartirganda, funktsiya qiymatini plyus nomuvofiqlik bilan o'tkazing.

Shunday qilib, funktsiyaning ahamiyati maydoni uchta bo'shliqqa bo'linadi.

O'rtada biz funktsiyadan foydalanamiz . Oskolki, keyin

Shunday qilib, interval uchun chiqish funktsiyasining ma'nosiz qiymati [-6; 2].

Keyingi oraliqda y = -1 statsionar funksiyadan foydalanishimiz mumkin. Keyin oraliq uchun chiqish funktsiyasining neytral qiymati bitta elementdan iborat.

Funktsiya argumentning barcha faol qiymatlariga tayinlangan. Funktsiyaning o'sishi va o'zgarishi davri borligi aniq.

U x=-1 va x=3 da nolga tushadi. Ahamiyatlisi raqamli o'qdagi nuqtalar va intervallardagi o'xshashlik belgilaridir.

Funktsiya ga o'zgaradi , [-1 ga ortadi; 3] , x=-1 balldan minimalga, x=3 balldan maksimalga.

Quyidagi minimal va maksimal funktsiyalarni hisoblash mumkin:

Funktsiyaning uzluksizligini tekshiramiz:

Boshqa chegara uchun hisoblab chiqilgan.

Kreslo juda xomaki.

Argumentni minus uzluksizligidan -1 ga o'zgartirganda, funktsiyaning qiymati plyus uzluksizligidan -2e ga o'zgaradi, argumentni -1 dan 3 ga o'zgartirganda, funktsiya qiymati -2e dan o'zgaradi, Aks holda, argument 3 dan plyusgacha funktsiya qiymatining nomuvofiqligi, agar ular nolga yetmasa, noldan o'zgaradi.

Funktsiya tushunish uchun eng muhim matematik narsalardan biridir.

Ma'nosi: Har bir ko'pligi x bo'lgan har bir songa bir xil turdagi y berilganligi sababli, bu ko'plikka y(x) funksiyasi tayinlanganga o'xshaydi. Bunday holda, x mustaqil o'zgaruvchi yoki argument deb ataladi va y mustaqil o'zgaruvchi deb ataladi, yoki funktsiya yoki oddiy funktsiyaning qiymatlari.

y o'zgaruvchisi x o'zgaruvchining funksiyasi ekanligini ham aytish mumkin.

Turni, masalan, f harfi bilan aniqlab, qo'lda yozing: y=f (x), y ning qiymati qo'shimcha f turi uchun x argumentidan olinadi. (O'qing: y - qadimiy f - x).

1-misol Funksiya y=2x 2 –6 formula bilan ifodalansin. Keyin f(x) = 2x2-6 ekanligini yozishimiz mumkin. Biz x funksiyaning qiymatini bilamiz, teng, masalan, 1; 2,5;-3; Keyin f(1), f(2,5), f(–3) ni bilamiz:

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Azizim, y=f (x) kabi yozuv f ni boshqa harflar bilan almashtiradi: g, keyin.

Qiymat: Funktsiyaning maydoni asosiy funktsiya bo'lgan x qiymatidir.

Agar funktsiya formula bilan ko'rsatilgan bo'lsa va ahamiyat sohasi tayinlanmagan bo'lsa, funktsiya qiymatining maydoni argumentning barcha qiymatlarining yig'indisi ekanligini ta'kidlash muhimdir. buning uchun formula ma'noga ega.

Aks holda, formulada ko'rsatilgan funktsiyaning ahamiyat sohasi argumentning qiymati bo'lib tuyuladi, biz yo'q qila oladigan harakatlarga olib keladiganlardan tashqari. Ayni paytda biz faqat ikkita bunday holatni bilamiz. Biz nolga bo'la olmaymiz va manfiy sonning kvadrat ildizini ayira olmaymiz.

Qadriyatlar: hisobga olingan barcha qiymatlar funktsiyaning qiymat maydonini aniqlash uchun o'zgartiriladi.

Haqiqiy jarayonni tavsiflovchi muhim funktsiya sohasi uning yo'nalishining o'ziga xos ongiga bog'liq. Misol uchun, yig'ilgan hosilning saqlash sig'imi isitish harorati t ga qarab formula bilan ifodalanadi, bu erda l 0 - makkajo'xori hosili va chiziqli kengayish koeffitsienti. Formula har qanday qiymat uchun tayinlangan t. Shu bilan birga, l = g (t) funktsiyaning ahamiyat sohasi chiziqli kengayish qonuni amal qiladigan bir necha o'nlab darajali bo'shliqdir.

dumba.

Funktsiya qiymat maydonini belgilang y = arcsinx.

Qaror.

Arksinusga mos keladigan maydon kesma hisoblanadi [-1; 1] . Biz ushbu bo'limdagi eng muhim va eng muhim funktsiyalarni bilamiz.

Pokhídna hamma uchun ijobiydir x intervaldan (-1; 1) , keyin arksinus funktsiyasi butun qiymatlar oralig'ida o'sadi. Oh, azizim, eng muhimi, pivo tayyorlash x = -1, va eng ko'p x = 1.