Qanday qilib asabiylashish buzilishini to'g'ri tuzish kerak. Kasr-ratsional notekislik. Modulga ega bo'lgan nomuvofiqliklar bilan qanday kurashish mumkin

ax 2 + bx + 0 0, de yozing (belgini almashtirish > mumkin, oqilona, ​​notekislikning boshqa belgisi bo'lishi). Nazariya faktlari bilan bunday nomuvofiqliklarni hal qilish uchun hamma narsa zarur, biz bir vaqtning o'zida nima uchun o'zgartirishimiz mumkinligini ko'rishimiz mumkin.

dumba 1. Virishiti asabiy:

a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
yechim,

a) Keling, rasmda tasvirlangan y \u003d x 2 - 2x - 3 parabolasiga qaraylik. 117.

Virishite notekisligi x 2 - 2x - 3 > 0 - quvvat manbai degani emas, buning uchun x ordinatasi parabolaning nuqtasi musbat.

Hurmat bilan, y > 0 bo'lsa, kengayish funksiyasining grafigi x o'qi uchun yuqoriroq bo'ladi, x da< -1 или при х > 3.

Otzhe, notekislik uchun echimlar ochiqlikning barcha nuqtalari Men haqimda(- 00 , - 1) va ochiq-kritik diapazonning barcha nuqtalarini toping (3, +00).

Vykoristovuyuchi belgisi U (bo'linish belgisi), bu shunday yozilishi mumkin: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vídpovíd shunday yozilishi mumkin: x< - 1; х > 3.

b) notekislik x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: jadval x o'qi ostida yoyilib, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) notekislik x 2 - 2x - 3 > 0 notekislik sifatida hisoblanadi x 2 - 2x - 3 > 0, shuning uchun siz ildizlarni tekislash x 2 - 2x - 3 = 0, keyin x = -1 nuqtalarini kiritishingiz kerak.

í x \u003d 3. Ushbu tartibda berilgan echimlar butunlay notekis emas va barcha o'zgarishlar nuqtalari (-00, - 1], shuningdek, mo'ylovli o'zgarishlar nuqtalari.

Amaliy matematiklar shunday deyishadi: kvadrat funktsiya grafigining parabolasini aniq ishlab chiqish uchun ax 2 + bx + c\u003e 0 notekisligini isbotlab, bizga keling.

y \u003d ax 2 + bx + c (qanday qilib u dumba 1da sindirilgan)? Chiziqli kichik grafikni tugatish ildiz kvadrat trinomialning (parabola ko'ndalang ustunining nuqtalari z víssy x) va parabolaning ignalari to'g'rilanishi tepadan pastga ekanligini bildiradi. Bu xomaki kichkintoy sizga rozv'yazannya asabiylashish bulutini beradi.

dumba 2. Virishity nerívnyst - 2x2+Zx+9< 0.
Yechim.

1) Biz kvadrat trinomialning ildizini bilamiz - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, y \u003d -2x 2 + Zx + 9 funktsiyasining grafigi kabi, barcha x ni 3 i - 1,5 nuqtalarda siljitadi va parabolaning pinlari pastga tekislanadi, kattalari. koeffitsienti- Salbiy raqam - 2. Rasmda. Kichik grafikalarning 118 ta tasviri.

3) Vikoristovuyuchi guruch. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Taklif: x< -1,5; х > 3.

3-misol. Virishiti nerívnyst 4x 2 - 4x + 1< 0.
Yechim.

1) Z teng 4x 2 - 4x + 1 = 0 ma'lum.

2) Kvadrat trinomning bitta ildizi bor; tse bu parabola ekanligini, kvadrat trinomialning grafigi kabi barcha x ni o'zgartirmasligini, balki nuqtalarda turishini anglatadi. Parabola boshlari toʻgʻri tepaga koʻtariladi (119-rasm).

3) Shaklda ko'rsatilgan qo'shimcha geometrik model uchun. 119-bandda, notekislik faqat nuqtalarda o'rnatilishi, grafik ordinatasining barcha boshqa qiymatlarida masshtablash ijobiy ekanligi aniqlandi.
Taklif: .
Siz, qo'shiq ayting, esladingizmi, aslida 1, 2, 3 dumbalarida butun qo'shiq bor edi. algoritm rozv'yazannya kvadrat tartibsizliklar, rasmiylashtirilgan yogo.

Kvadrat tartibsizlikni olish algoritmi ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Birinchi bosqichda algoritm kvadrat trinomialning ildizini bilishi kerak. Lekin ildizni buzish mumkin emas, nima uchun ishlash kerak? Keyin algoritm zastosovuetsya emas, keyin, baribir uni kuzatish kerak. Tsikh mirkuvanning kaliti shunday teoremalarni berishdir.

Boshqacha aytganda, D< 0, а >0, u holda ax 2 + bx + c > 0 notekisligi barcha x uchun yutadi; navpaki, nerívnyst ax 2 + bx + s< 0 не имеет решений.
Isbot. Jadval funktsiyalari y \u003d ax 2 + bx + c ê parabola, ignalar to'g'ridan-to'g'ri tepaga ko'tariladi (skalar a\u003e 0) va yak barcha x ni o'zgartirmaydi, chunki kvadrat trinomialda aql uchun ildiz yo'q. Grafik rasmda ko'rsatilgan. 120. Bachimo, barcha x bilan kengayishlar jadvali x o'qidan yuqori bo'ladi, lekin ce barcha x bilan yakunlanishi kerak bo'lgan notekislik ax 2 + bx + c > 0 ekanligini anglatadi.

Boshqacha aytganda, D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 yechim yo'q.

Isbot. y \u003d ax 2 + bx + c funktsiyasining grafigi< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

dumba 4. Virishiti asabiy:

a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Biz kvadrat trinomialning diskriminantini bilamiz 2x 2 - x + 4. May D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Trinomialning katta koeffitsienti (2-raqam) ijobiydir.

Demak, 1-teorema uchun barcha x uchun 2x 2 - x + 4> 0 notekislik yengiladi, shuning uchun hammasi (-00 + 00) berilgan notekislikning yechimi bo‘lib xizmat qiladi.

b) Biz kvadrat trinomialning diskriminantini bilamiz - x 2 + Zx - 8. May D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Amal qilish muddati: a) (-00 + 00); b) hech qanday yechim yo'q.

Hujumkor dumba, biz kvadrat nosimmetrikliklar ochilishida zastosovetsya miring yana bir yo'lini bilaman.

5-misol. Virishity nerívnyst Zx 2 - 10x + 3< 0.
Yechim. 3x 2 - 10x + 3 kvadrat trinomialni ko'paytiruvchilarga kengaytiramiz. ê trinomialining ildizlariga 3 i soni, ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) ni tezlashtirib, biz 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) ni olamiz. 3) (x - )
Trinomialning sonli to'g'ridan-to'g'ri ildizida sezilarli darajada: 3 i (122-rasm).

x> 3 bo'lsin; u holda x-3>0 í x->0, u holda, i qo'shimcha 3(x - 3)(x - ) musbat. Qani, keling< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Shuningdek, dobutok 3(x-3)(x-) manfiy. Qani, kel, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) musbat.

Xulosa qilib, biz visnovkaga keldik: kvadrat trinomial Zx 2 - 10x + 3 belgilari rasmda ko'rsatilganidek o'zgaradi. 122. Lekin bizni chaqirish kerak, ba'zi kvadrat trinomial uchun u manfiy qiymatlarni oladi. 3 rasm. 122 robimo visnovok: kvadrat trinomial 3x 2 - 10x + 3 oraliqdagi x ning har qanday qiymati uchun salbiy qiymatlar (, 3)
Vidpovid (, 3), aks holda< х < 3.

Hurmat. Biz 5-ko'chada qo'llagan aks ettirish usuli intervallar usuli (yoki intervallar usuli) deb ataladi. Win matematikada mukammallik uchun faol g'alaba qozonadi oqilona qoidabuzarliklar. 9-sinfda oraliqlar usuli batafsil yoritilgan.

dumba 6. Parametrning har qanday qiymati uchun p kvadrat teng x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ikki xil ildiz mavjud;

b) bitta ildiz bor;

c) ildiz emasmi?

Yechim. Kvadrat tenglashtirishning ildizlari sonini birinchi diskriminant D belgisiga ko'ra topish kerak. Bu holda D = 25 - 4p2 ma'lum.

a) Kvadrat tekislash D>0 kabi ikki xil ildizga ega bo'lishi mumkin, demak, vazifa 25 - 4p 2 > 0 notekisligini tekislashdan iborat. 4r 2 - 25 notekislikning tengligini olib tashlaymiz< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Viraz 4 (p - 2.5) (p + 2.5) belgilari rasmda ko'rsatilgan. 123.

Robimo visnovok, bu notekis 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratni tekislash bitta ildizga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun D - 0.
Biz ko'proq kiritdik, p = 2,5 yoki p = -2,5 uchun D = 0.

Parametrning tsikh qiymatlari bilan bir xil, faqat bitta ildizga teng kvadrat beriladi.

c) Kvadrat ildizga teng emas, D kabi< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Biz 4p 2 - 25 > 0 ni olamiz; 4 (p-2.5) (p + 2.5) > 0, yulduzlar (boʻlim 123-rasm) p< -2,5; р >2.5. Berilgan parametrning tsix qiymatlari bilan kvadrat ildizga ega emas.

Vidpovid: a) p (-2,5, 2,5);

b) p = 2,5 abor = -2,5 da;
c) r da< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algebra. 8-sinf: Navch. zagalnosvit uchun. o'rnatish - 3-chi ko'rinish., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 b.: il.

Maktab o'quvchisi uchun onlayn yordam, 8-sinf uchun matematika yuklab olish, kalendar-tematik rejalashtirish

Chiziqli nomuvofiqliklar deyiladi noma'lum kattalikdagi bunday chiziqli funktsiyalarning chap va o'ng qismi. Ulardan oldin, masalan, asabiylikni ko'rish mumkin:

2x-1-x +3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Suvori notekisligi: ax+b>0 yoki ax+b<0

2) qat'iy bo'lmagan qoidabuzarliklar: ax+b≤0 yoki ax+b≫ 0

Keling, bir ko'rib chiqaylik. Parallelogrammaning bir tomoni 7 sm ga aylanadi. Paralelogrammaning perimetri 44 sm dan katta bo'lishi uchun boshqa tomonining uzunligi qancha bo'lishi mumkin?

Aksiyaning shukana tomoniga keling X Qarang Bu safar parallelogramma perimetri tasvirlarga ega bo'ladi (14 + 2x) Qarang: Noqonuniylik 14 + 2x > 44 ê matematik model Parallelogramma perimetri haqidagi masala. Ushbu notekislikda bo'lgani kabi, o'zgarishni almashtiring X Masalan, 16 raqami bo'yicha, keyin biz to'g'ri sonli notekislikni olamiz 14 + 32 > 44. Bu holda, 16 soni 14 + 2x > 44 o'rtasidagi farq bilan bir xil ko'rinadi.

Rozvyazanyam asabiylashish to'g'ri son notekisligida o'zgarishlarning ma'nosini, go'yo ularning hayvoni kabi nomlang.

Otzhe, 15,1 raqamlaridan teri; 20;73 rozvyazkoy notekislik 14 + 2x> 44 sifatida harakat va 10 soni, masalan, bir xil rozvyazky emas.

Virishiti nerívníst barcha yechimlarni o'rnatish yoki yechim yo'qligini keltirish demakdir.

notekislik rozv'yazannya shakllantirish hizalama ildizi formulalar o'xshaydi. Shunga qaramay, "asabiylashish ildizi" ni belgilash odatiy hol emas.

Raqamli ekvivalentlikning ustunligi virishuvati ekvivalenti bilan to'ldirildi. Shunday qilib, raqamli nomuvofiqliklarning kuchi nomuvofiqliklarni bartaraf etishga yordam beradi.

Virishuyuchi ekvivalentligi, biz yogo ínhimni o'zgartiramiz, biz ekvivalentlikni ko'proq kechiramiz, lekin berilganiga teng bo'lsa ham. Bunday sxema ortida oqibatlar va nomuvofiqliklar ma'lum. Tenglashtirishni unga teng bo'lgan holda o'zgartirganda, tenglashtirish teng uzunlikdagi bir qismdan qo'shimchalarni o'tkazish va tengning ikkala qismini bir xil sonda nolga ko'paytirish haqidagi teorema bilan tasdiqlanadi. rozvyazanní nerívnínosti ê istotna vídminníst yogo z ívnyannym bo'lsa, yak ívíníníni faqat vihídnínía o'rnatish orqali noto'g'ri tushunish mumkinmi, deb aslida bahslashmoqda. Noqonuniylik har kuni shunday yo'lga ega, shuning uchun ularga shaxsiy bo'lmagan yechimni taqdim etish mumkin emas. Buning uchun o'qlarning o'qini tushunish muhimdir<=>- tse ekvivalent, chi teng, transformatsiya belgisi. Transformatsiya deyiladi teng, yoki ekvivalent hidi shaxssiz qarorni o'zgartirmagandek.

Rozv'yazannya asabiylashish uchun shunga o'xshash qoidalar.

Agar biror narsa notekislikning bir qismidan ikkinchisiga o'tishi kerak bo'lsa, belgini teskarisiga almashtirib, biz berilgan tengsizlikni olib tashlaymiz.

Agar siz asabiylikning bezovta qiluvchi qismlarini bir xil ijobiy raqamga ko'paytirsangiz (bo'lasangiz), biz berilgan tengsizlikni olib tashlaymiz.

Agar notekislikning bezovta qiluvchi qismlarini bir xil manfiy songa ko'paytirsangiz (bo'lasangiz), notekislik belgisini uzaytirish bilan almashtirsangiz, biz tengsizlikni olib tashlaymiz, bu esa berilganga teng.

Vikoristovuyuchi qi qoidalar pastki asabiylikni hisoblash.

1) Keling, nomuvofiqlikni ko'rib chiqaylik 2x - 5 > 9.

Tse chiziqli notekislik, biz yogo qarorini va muhokama qilinadigan asosiy tushunchani bilamiz.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 qarama-qarshi belgi bilan chap qismga o'tdi), keyin ular hamma narsani 2 ga bo'lishdi va ehtimol x > 7. Biz hamma narsaga boy yechimni qo'llaymiz x

Biz ijobiy ko'rsatmalarni olib tashladik. Sezilarli shaxssiz qaror yoki asabiylashish sifatida x > 7, yoki x(7; ∞) oraliq sifatida. Va asabiylashish haqida shaxsiy qarorlar haqida nima deyish mumkin? Misol uchun, x=10- tse xususiy vyshennya tsíêí̈ nerívností, x=12- bu ham asabiylashishning shaxsiy variantidir.

Shaxsiy qarorlar juda ko'p, ammo bizning vazifamiz barcha qarorlarni bilishdir. Va qaror, qoida tariqasida, shaxsiy emas.

Rozberemo dumba 2:

2) asabiylikni yo'q qiling 4a - 11 > a + 13.

Virishima yoga: a keling, bir tumshuqda harakat qilaylik, 11 keyingi kitobga o'ting, 3a ni oling< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 asabiylashish ko'rinishi mumkin a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Tezh shaxssiz ko'rinadi a< 8 , lekin allaqachon o'qda a.

Vidpovid yoki asabiylashish kabi yozish a< 8, либо a(-∞;8), 8 kiritilmagan.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Ma'lumotlaringizni to'plaganimiz sababli biz Maxfiylik siyosatini tavsiflanganidek kengaytirdik. Mehribon bo'ling, maxfiylik siyosatimizni o'qing va oziq-ovqat haqida savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Tanlangan shaxsiy ma'lumotlarni tanlash

Shaxsiy ma'lumotlar ostida ma'lumotlar keltirilgan, chunki qo'shiqchi shaxsni aniqlash va u bilan bog'lanish uchun g'alaba qozonish mumkin.

Agar biz bilan bog'lansangiz, sizdan shaxsiy ma'lumotlaringiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz tanlashimiz mumkin bo'lgan va biz bunday ma'lumotlarni tanlashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlariga misollar mavjud.

Shaxsiy ma'lumotlarni qanday yig'amiz:

• Agar siz saytda ariza topshirsangiz, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingizni to'plashimiz mumkin elektron pochta va boshqalar.

Shaxsiy ma'lumotlaringizni qanday yig'amiz:

• Biz tomonidan to'plangan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqalar haqida aytib berish, tashrif buyurish va eng yaqinlarini topish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan muhim eslatmalar va eslatmalarni kuchaytirish uchun shaxsiy ma'lumotlaringizni vikoristovuvat qilishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlarni ichki maqsadlarda to'plashimiz mumkin, masalan, xizmatlarni yaxshilash usuli bilan audit, ma'lumotlar va boshqa yozuvlarni tahlil qilish, biz sizga xizmatlarimizni tavsiya qilish orqali beriladi deb umid qilamiz.
• Sovrinlar o'yinlarida, musobaqalarda yoki shunga o'xshash rag'batlantiruvchi arizalarda ishtirok etsangiz, biz bunday dasturlarni boshqarish uchun ma'lumot yutib olishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizning ma'lumotlaringizni uchinchi shaxslarga oshkor qilmaymiz.

Vinyatki:

• Bu zarur - qonunga muvofiq, sud tartibi, sud nazorati va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, bundan ham muhimi, bunday oshkor qilish xavfsizlik, qonun va tartibni saqlash yoki boshqa muhim vipadkiv uchun zarur yoki mos keladi.
• Qayta tashkil etish, og'irlashtirish yoki sotish vaqtida biz o'zimiz tomonidan to'plangan shaxsiy ma'lumotlarni, uchinchi shaxs - huquqbuzarga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlar himoyachisi

Biz chet elda yashaymiz, shu jumladan ma'muriy, texnik va jismoniy - sizning shaxsiy ma'lumotlaringizni isrof qilish, o'g'irlik va vikoristannya ko'rinishidagi himoya qilish, shuningdek, ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, ushbu huquqbuzarlikni o'zgartirish.

Tengdosh kompaniyada maxfiyligingizni saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringizni shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun o'zgartirish uchun biz kontaktlarimizga maxfiylik va xavfsizlik me'yorlarini keltiramiz va biz maxfiylik qoidalariga qat'iy rioya qilamiz.

Bugun, do'stlar, kundalik snot va hissiyotlar bo'lmaydi. Ularning o'rniga men sizni 8-9-sinf algebra kursida eng yomon raqiblardan birini mag'lub etish uchun hech qanday kuchsiz yo'naltiraman.

Shunday qilib, siz hamma narsani to'g'ri tushundingiz: modul bilan nomuvofiqliklar haqida o'ting. Keling, ba'zi asosiy tamoyillarni ko'rib chiqaylik, ularning yordami uchun siz bunday buyurtmalarning 90% ga yaqinini engib o'tishni o'rganasiz. Va 10% reshtoyu haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, biz ular haqida yaxshi darsda gaplashamiz.

Biroq, bundan oldin, u erda qanday qabul qilishni qanday saralash kerak, men bilish kerak bo'lgan ikkita faktni taxmin qilmoqchiman. Aks holda, siz bugungi dars materiali bo'yicha bilimlarni tekshirasiz.

Nimani bilishingiz kerak

Ko'rinib turibdiki, modul bilan nomuvofiqliklarni bartaraf etish uchun ikkita so'zni bilish kerak:

1. Asabiylashish qanday kuchayadi;
2. Modul nima?

Keling, boshqa nuqtadan boshlaylik.

Modulning funksiyasi

Bu erda hamma narsa oddiy. Ê ikkita funktsiya: algebraik va grafik. Kob - algebraik uchun:

Uchrashuv. $x$ sonining moduli bu raqamning o'zi, chunki u menga ko'rinmaydi yoki sizga qarama-qarshi bo'lgan raqam, boshqa $x$ kabi, hali ham manfiy.

Buni shunday yozib oling:

\[\chap| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \o'ng.\]

Oddiy qilib aytganda, modul "minussiz raqam" dir. Men o'zim bu ikkilik (bu erda, oxirgi raqamdan boshlab, hech narsa ishlash kerak emas, lekin bu erda u erda minus olish sodir bo'ladi) va men talabalar-pochatkivtsiv uchun barcha buklama foydalanish.

Ko'proq geometrik dizayn. Buni bilish ham yaxshi, lekin biz yangisiga o'tish ehtimoli kamroq bo'ladi, buklanadigan va hatto maxsus usullarda, geometrik pidkhíd algebraik uchun muvaffaqiyatli (spoiler: bugun emas).

Uchrashuv. $a$ nuqta raqamlar qatorida belgilansin. Xuddi shu modul $ \ chap | x-a \right|$ bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtasiga chaqiriladi.

Agar siz rasmni kesib o'tmoqchi bo'lsangiz, uni kshtalt tsogo-da ko'rishingiz mumkin:

Modulning grafik dizayni

Xo'sh, yana nima, modulning belgilanishidan darhol kalit quvvatni ko'radi: sonning moduli har doim kattalikka teng. Bu haqiqat bizning bugungi nutqimizdan o'tish uchun qizil ip bo'ladi.

Virishennya nervnosti. Intervalli usul

Endi asabiylashishni ko'rib chiqaylik. Їxísuê shaxssiz, lekin bizning vazifamiz bir vaqtning o'zida virishuvati o'ldirishdir va ulardan eng sodda bo'lishni xohlaydi. Tí, chiziqli nosimmetrikliklar uchun scho zvoditsya va intervallarni navyt usuli.

Ushbu mavzu bo'yicha menda ikkita ajoyib dars bor (mízh inshim, ko'proq, ko'proq jigarrang - vivchiti tavsiya qilaman):

1. Qonunbuzarliklar uchun intervalli usul (ayniqsa, videoga qarang);
2. Fraksiyonel-ratsional nomuvofiqliklar - hatto umumiy dars, lekin keyin siz ovqatni to'liq olmaysiz.

Agar siz hamma narsani bilsangiz, agar "notekislikdan tenglikka o'taylik" iborasi o'zingizni devorga qarshi o'ldirishdan juda charchaganga o'xshamasa, unda siz tayyorsiz: biz sizni asosiy darsgacha do'zaxga so'raymiz. . :)

1. Aqlning tartibsizligi "Funktsiyadan kam modul"

Bu modullar bilan eng keng ko'lamli vazifalardan biridir. Aqlning notekisligini engish kerak:

\[\chap| f\o'ng| \ltg\]

$f$ va $g$ funktsiyalarining roli ko'phadli bo'lishi mumkin. Bunday nomuvofiqliklarni qo'llang:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\o'ng| \ltx+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]

Barcha hidlar sxemaning orqasida tom ma'noda bir qatorda joylashgan:

\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(teg) \o'ng.\o'ng)\]

Modul saqlanib qolishi muhim emas, lekin biz asosiy nomuvofiqlikni olib tashlashimiz mumkin (aks holda, bir xil, ikkita nomuvofiqlik tizimi). Prote cey transfer vrakhovu mutlaqo hamma narsa mumkin bo'lgan muammolar: modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; akscho salbiy - barchasi bir xil amaliyot; va uyning eng noadekvat funktsiyasi uchun navit $f$ chi $g$ usuli hammasi bir xil ish.

Shubhasiz, ovqatni ayblash: oddiyroq bo'lishi mumkin emasmi? Afsuski, bu mumkin emas. Kim modulning butun xususiyatiga ega.

Vtym, falsafaga yopishib oling. Keling, kunning novdasini kuylaylik:

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| 2x+3\o'ng| \ltx+7\]

Yechim. Bundan tashqari, bizdan oldin klassik nerívníst aqli "kichikroq modul" - hech narsani qayta tiklash uchun. Algoritm uchun mashq:

\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3\o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(hizalang)\]

Oldida "minus" mavjud bo'lgan kamarlarni ochishga shoshilmang: iloji boricha, shoshqaloqlik orqali siz majoziy afv bilan shug'ullanasiz.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

Vazifa ikkita elementar qoidabuzarlikdan iborat edi. Parallel sonli chiziqlarda sezilarli darajada í̈x viríshennia:

Peretin ko'p

Peretin tsikh ko'paydi va aniq bo'ladi.

Mos: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]

Yechim. Buyurtma allaqachon arzimas buklangan. Kob uchun biz moduldan foydalanamiz, boshqa qo'shimchani o'ngga o'tkazamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Shubhasiz, biz "kichikroq modul" shaklining yangi notekisligiga duch keldik, shuning uchun biz allaqachon mavjud algoritm uchun modulga ruxsat beramiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Yuqumli hurmat oqi: sizga aytsam, men troch bochenets íz kishanli mo'ylovliman. Ale, bizning asosiy metamiz nima ekanligini yana taxmin qilaman barkamol virishiti nerívníst va otrimati vydpovíd. Keyinchalik, agar siz ushbu darsda ochilgan hamma narsani puxta o'zlashtirgan bo'lsangiz, o'zingizni xohlaganingizcha burishingiz mumkin: qo'llarni oching, minuslarni qo'shing va hokazo.

Va biz uchun, boshoq uchun, biz shunchaki yovuzlikning kamsitilishiga uyg'onamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1\o'ng)\]

Endi asosiy asabiylikning barcha yoylari ochildi:

Keling, metro asabiyligiga o'tamiz. Bu safar yorliqlar jiddiyroq bo'ladi:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]

Tengsizlikka oid huquqbuzarliklar kvadratga to'g'ri keladi va intervallar usuli bilan buziladi (lekin men sizga aytaman: siz bu nima ekanligini bilmaysiz, aksincha, modullarni hali qabul qilmang). Keling, birinchi notekislikka o'tamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\chap(x+5\o'ng)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(tekislash)\]

Bachimoga o'xshab, chiqish joyida u notekis, hatto oddiy bo'lgandek, tekis bo'lib ketdi. Keling, tizimning yana bir asabiylashishini ko'rib chiqaylik. U erda Vet teoremasi zastosuvat bilan sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(tekislash)\]

Ikki parallel chiziqdagi raqamlarni sezilarli darajada ayirib tashlang (birinchi notekislik uchun okrema va ikkinchisi uchun okrema):

Ishonchim komilki, tartibsizliklar tizimini biz bilan parchalab, biz soyali ko'paytmalar qatorlarini takrorlaymiz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse vídpovíd.

Mos: $x\in \left(-5;-2 \right)$

O'ylaymanki, ularni qo'llashdan so'ng, yechim sxemasi chegaraviy ma'noga ega bo'ldi:

1. Boshqa barcha qo'shimchalarni notekislikning asosiy qismiga o'tkazib, modulni o'zlashtiring. Shu tarzda biz aqlning mos kelmasligini hisobga olamiz $\left| f\o'ng| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerívníst, yuqorida tavsiflangan sxema uchun modulni saqlab qoldi. Bir nuqtada subvariant asabiylikdan terini to'liq tiklash mumkin bo'lgan ikkita mustaqil virus tizimiga o'tish kerak.
3. Nareshti, bu ikki mustaqil bo'g'inning yechimidan mahrum bo'lish - va biz faqat qoldiqni olib qo'yamiz.

Xuddi shunday algoritm, agar modul funktsiyadan kattaroq bo'lsa, haqoratli turdagi pürüzlülükler uchun ishlatiladi. Biroq, jiddiy "ale" ning novdasi bor. Keling, birdaniga qi "ale" haqida gapiraylik.

2. Aqlning tartibsizligi "Modul - bu funktsiyadan ko'proq"

Ular shunday ko'rinadi:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\]

Oldinga o'xshaydimi? O'xshaydi. Prote vyrishyuyutsya shunday zavdannya zovsym boshqacha tarzda. Rasmiy ravishda, sxema keladi:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(hizalang) \o'ng.\]

Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita nuqtani ko'rishimiz mumkin:

1. Boshqa tomondan, oddiygina modulni e'tiborsiz qoldiring - virishhuêmo normal nomuvofiqlik;
2. 3-modulni minus belgisi bilan kengaytiramiz va keyin notekislikning noto'g'ri qismini belgidan kichik bo'lgan -1 ga ko'paytiramiz.

Ushbu variantda ular to'rtburchak kamonga ega, tobto. Ehtimol, ikki kishining nikohi.

Yana hurmatga qayting: biz tizim oldida emasmiz, lekin sukupnistmiz, da vídpovídí shaxssizlar ular birlashadilar, lekin o'zgarmaydilar. Oldingi nuqtani ko'rish juda muhim!

Vzagali, z ob'ednannymi va boy uchnív sutsílna plutanina da peretina, keling, uni qayta-qayta tsommu oziqlanishda saralaymiz:

• "∪" - ob'ednannya belgisidir. Aslida, "U" harfi bizga kelganidek stilize qilingan ingliz kinoê "Union", tobto kabi qisqartma. "Birlashma".
• "∩" - chiziq belgisi. Tsya crap ovoz kelmadi, lekin "∪" dan oldin yozilgandek vinil.

Eslab qolishni osonlashtirish uchun kelixlar ko'rinib turishi uchun faqat shu belgilarga bo'yab qo'ying (o'q faqat giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda meni birdaniga chaqirishning hojati yo'q: agar siz barcha saboqlarni o'rgansangiz, unda siz allaqachon giyohvand bo'lganlar):

Ríznitsya mizh retinom va ob'ednannyam mnozhin

Rus tilidagi tse tarjimasida u quyidagilarni anglatadi: birlashma (ta'minot) har ikkala to'plamdan o'z elementlarini o'z ichiga oladi, ya'ni teridan kam emas; va retinal o'qi (tizim) faqat shu elementlarni o'z ichiga oladi, ular bir vaqtning o'zida birinchi multiplikatorda, ikkinchisida esa. Shuning uchun, bir nechta ta'tilning ko'paytmalari yo'q.

Bu yanada oqilona bo'ldimi? Mendan yaxshi. Keling, amaliyotga o'tamiz.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]

Yechim. Sxema uchun Diemo:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \begin(hizala) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\end(hizala) \ o'ng .\]

Virishuemo teri neravníny suupností:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizala) \o'ngga.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Aytmoqchimanki, terini raqam chizig'iga ko'paytiraman va keyin ularni birlashtiramiz:

Ko'paytmalar birikmasi

Ko'rinib turibdiki, $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Taklif: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gtx\]

Yechim. Xo'sh, nima? Bu hech narsa - baribir. Keling, ikkita notekislikni yig'ish uchun modul bilan notekislikdan o'tamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Bu terining tirnash xususiyati yo'q qiladi. Afsuski, ildiz endi u erda bo'lmaydi.

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(tekislash)\]

Boshqa asabiylik ham o'yin trochiga ega:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(tekislash)\]

Endi siz ikkita eksa bo'yicha raqamlarni hisoblashingiz kerak - terining notekisligi uchun bitta eksa. Shu bilan birga, nuqtalarni to'g'ri tartibda belgilash kerak: raqam qanchalik baland bo'lsa, nuqta o'ngga ko'chiriladi.

I o'qi bu erda bizni tekshiradi. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlariga kelsak hammasi aniq ) , shuning uchun yig'indi ham kamroq) , $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ raqamlari bilan manfiydan katta), keyin qolganlari bilan er-xotin, hamma narsa juda aniq emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Víd vídpovídí tse nídpovídí tse sleazyme í, vlasne, vídpovíd soni chiziqlaridagi nuqtalarni tartibga solish.

Keling, bir ko'rib chiqaylik:

\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]

Biz ildizni tasdiqladik, notekislikning har ikki tomonidagi manfiy raqamlarni olib tashladik, shuning uchun biz noto'g'ri tomonlarni kvadratga solish huquqiga egamiz:

\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]

O'ylaymanki, $4\sqrt(13) \gt 3$, $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, o'qlardagi qolgan nuqtalar quyidagicha joylashtiriladi:

Xunuk ildizning vipadok

O'ylaymanki, biz sukupnistni ko'ramiz, shuning uchun soyali ko'paytmalarning o'zgarishi emas, balki qo'shma bo'lishi kerak.

Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\right)$

Baxit singari, bizning sxemamiz ham oddiy, ham qiyin vazifalar uchun mo''jizaviy tarzda ishlaydi. Bunday odam uchun yagona "zaif joy" - bu irratsional sonlarni malakali ravishda muvozanatlash zarurati (va burish: bu ildizdan ortiq emas). Alya ratsionga okremium (va hatto jiddiy dars) bag'ishlanadi. Va ketaylik.

3. Ko'rinmas "dumlar" bilan tartibsizliklar

Biz eng yaxshisidan uzoqlashdik. Noto'g'ri aqlning narxi:

\[\chap| f\o'ng| \gt\left| g\o'ng|\]

Ko'rinishidan, biz bir vaqtning o'zida gaplashadigan algoritm modul uchun yaxshiroqdir. Vín pratsyuê vsíh nerívnosti, de lívoruch i pravoruê kafolatli nevid'êmí vrazi turish:

Bu vazifalarning ishi nima? Faqat esda tuting:

Ko'rinmas "dumlar" bilan tartibsizliklar tabiatning bezovta qiluvchi qismlariga olib kelishi mumkin. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya tsomu da vynikne emas.

Biz bir kvadrat ichida tsikavitime zvedennya oldimizda - vín uyqu modullari, deb ildiz:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \o'ng))^(2))=f. \\end(tekislash)\]

O'qni faqat kvadratning ildizidan aldash kerak emas:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]

Agar siz modulni o'rnatishni unutishni o'rgangan bo'lsangiz, o'sha paytda shaxssiz kechirimga ruxsat berilgan! Ale tse zovsym ínsha ístoríya (tse níbí irratsional rívnyannya), tse emas, balki bir vaqtning o'zida zaglyuvatymosya. Keling, kunning spratini aniqroq ko'rib chiqaylik:

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]

Yechim. Yana ikkita so'zni hurmat qilamiz:

1. Tse suvora nerívníst emas. Raqamlar qatoridagi Krapki buziladi.
2. Mos kelmaslikning hujumkor tomonlari aniq ko'rinmaydi (modulning kuchi: $ \ chap | f \ chap (x \ o'ng) \ o'ng | \ ge 0 $).

Bundan tashqari, moduldan xalos bo'lish va eng yaxshi intervallar usuli yordamida vazifani bartaraf etish uchun biz notekislikning haqoratli qismlarini kvadratga solishimiz mumkin:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\end(tekislash)\]

Bosqichning qolgan qismida men bir oz aldadim: qo'shimchalar ketma-ketligini o'zgartirish, modulning paritetini qisqartirish (aslida $ 1-2x $ ni -1 ga ko'paytirish).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\left(x+2 \ ) o'ng)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(hizalama)\]

Virishuemo intervallar usuli bilan. Keling, notekislikdan tekislikka o'tamiz:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(tekislash)\]

Ko'rinib turibdiki, ildiz son qatorida joylashgan. Yana bir bor: mo‘ylovi farbovani, asabiylik parchalari – Suvora emas!

Zvylnennya modul belgisiga ko'ra

O'ylaymanki, ayniqsa murosasiz bo'lganlar uchun: biz tengsizlikning qolgan qismidan belgilarni olamiz, go'yo bula tenglikka o'tishdan oldin yozilgan. Men zafarbovuyemo viloyati, yaky Shu notekislik kerak. Bizning vipadda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ bor.

Xo'sh, mendan hamma narsa. Vazifa tugadi.

Taklif: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]

Yechim. Robimo baribir. Men izoh bermayman - shunchaki harakatlar ketma-ketligiga hayron bo'ling.

Keling, kvadratni olaylik:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) ) ((x)^(2))+3x+4 \o'ng| \o'ng))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(tekislash)\]

Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz:

Vidpovid - tsiliy interval

Taklif: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Boshning qolgan qismiga ozgina hurmat. Go'yo o'quvchilarimdan birini hurmat qilgandek, submodulning haqoratlari bu asabiylashishda aniq ijobiydir, modul belgisi sog'likka zarar bermasdan o'tkazib yuborilishi mumkin.

Ale tse allaqachon zovsym ínshiy ríven razdumív deb ínshí pídkhíd yogo aqliy nasledkív usuli deb atash mumkin. Okremou urotsidagi yangilik haqida. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz, ya'ni universal algoritm bo'lib, u abadiy qo'llaniladi. Navit keyin, barcha oldinga ojiz bo'lib chiqsa.

4. Variantlarni sanab o'tish usuli

Va nima uchun barcha priyomi yordam bermaydi? Qanday qilib notekislik ko'rinmas quyruqlardan kelib chiqmasligi mumkin, modul qanday kiritilmaydi, qanday boshlash mumkin?

Keyin barcha matematikaning katta artilleriyasi bosqichga kiradi - sanab o'tish usuli. Moduldagi yuzlab qoidabuzarliklar quyidagicha ko'rinadi:

1. Barcha pídmodulni vrazi yozing va ularni nolga tenglashtiring;
2. Rozvyazati otrimani rívnyannya deb bir sonli to'g'ri chiziq ustida víznázchiti znaydení korení;
3. To'g'ridan-to'g'ri kílka dylyanok ustida rozíb'êtsya, bunday charm modulning o'rtasi belgini tuzatishi mumkin va bu aniq rozkrivaetsya;
4. Virishiti nerívníst kozhnyy bunday dilyanci haqida (siz ustunlik uchun 2-bandda ildiz-kordoni, otrimani ko'rishingiz mumkin). Uyushma natijalari - tse i bude vídpovíd.

Xo'sh, yak? Zaifmi? Osonlik bilan! Uzoq vaqt davomida; anchadan beri. Keling, amaliy jihatdan ko'rib chiqaylik:

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\chap| x+2 \o'ng| \lt\chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]

Yechim. Tsya axlat g'azablanmaydi $ \ chap | f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt\chap| g \right|$, hammasi joyida.

Biz submodulyar virazi yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va biz ildizni bilamiz:

\[\begin(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \& x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\end(tekislash)\]

Birgalikda biz ikkita ildizga egamiz, ular sonni uchta uchastkaga ajratadi, bu terilarning o'rtasida modul bir ma'noda ochiladi:

Raqam chizig'ini submodulyar funktsiyalarning nolga bo'lish

Keling, teri okremosini ko'rib chiqaylik.

1. $x \lt -2$ bering. Todi haqorat qiladi pídmodulní virazi salbiy, men vihídna nerívníst shunday qayta yozaman:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(tuzalash)\]

Zdobuli dosit faqat obmezhennya. Keling, $x \lt -2$ qolgan imtiyozlar bilan yoga harakat qilaylik:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Ko'rinib turibdiki, $x$ ning o'zgarishi bir kechada -2 dan kam bo'lmasligi mumkin, lekin 1,5 dan ortiq. Bu biznes uchun hech qanday yechim yo'q.

1.1. Okremo yaqin-kordon vipadok $x=-2$ qarash. Keling, bu raqamni nomuvofiqliksiz va tasdiqlangan holda tasavvur qilaylik: nega u g'alaba qozondi?

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \left| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \chap| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing. \\end(tekislash)\]

Ko‘rinib turibdiki, tilshunos bizni aql bovar qilmaydigan darajada aldab qo‘ygan. Otzhe, vyhídne nerívníst tezh noto'g'ri, í $x=-2$ vydpovíd kirmang.

2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bering. Kutubxona moduli allaqachon ortiqcha bilan ishlab chiqilmoqda, ammo to'g'risi hali ham minus bilan. Maemo:

\[\boshlang(tuzala) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\end (tekislash)\]

Men uni vikidnoy vimogoy bilan yana o'zgartiraman:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Men bo'sh shaxssiz yechimni yangilayman, bir vaqtning o'zida -2,5 dan kam bo'lgan va -2 dan ortiq bo'lgan bunday raqamlarning parchalari yo'q.

2.1. Men okremy vipadokni yangilayman: $ x = 1 $. Tasavvur qilaylik, chiqish notekis:

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \chap| 3\o'ng| \lt\chap| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing. \\end(tekislash)\]

Oldingi "xususiy tomchi"ga o'xshab, $x=1$ raqami tushishga kiritilmagani aniq.

3. Qolgan qism tekis: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan egilgan:

\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]

Men tashqi almashinuvlarning ko'pligini yana bir bor qayta ko'rib chiqaman:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \o'ng.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty) \o'ng)\]

Xo'sh, oling! Biz povyddu bo'ladi interval, bilar edi.

Taklif: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nasamkinets - bitta hurmat, chunki haqiqiy vazifalar bajarilganda sizni yomon kechirimlardan qutqaradi:

Virishennya nerívívnosti z modullari zvích ê sutsílní míniní nítínyy prímíy - ínvílí í vídrízki. Izolyatsiya qilingan nuqtalar sekinroq tutiladi. Eritmalar (kínets vydrízka) o'rtasida tahlil qilinadigan diapazondan tashqariga chiqishi uchun tuzoqqa tushish ehtimoli ko'proq.

O'shandan beri, go'yo kordonlar (bu "shaxsiy vipadki" o'zlari) qo'riqchilarga kirmasa, mayzhe, qo'shiq kuylab, soqchilarga va yovuzlik hududiga bormang - bu kordonlarga kirish huquqiga ega. Í navpaki: kordon uvíyshov u vydpovíd - otzhe, í yakís oblastí navpakí tezh vydpovídyami bo'ladi.

Agar qaroringizni o'zgartirsangiz, bu haqda unutmang.

Va umumiy obsyazy bugungi ratsional nomuvofiqliklarni teskari bo'lishi mumkin. Aniqrog'i, nafaqat hamma ham virishuvatsiya qila oladi. Kam odam ishlashi mumkin.
Klichko

Tsey darsi qiyin bo'ladi. Zaminlar zhorst, shuning uchun yoga tugashidan oldin u Vibrandan kamroq. Buning uchun, o'qishdan oldin, men ayollar, ichaklar, ayollar bolalari va ... ekranlarini tozalashni maslahat beraman.

O'sha garazd, haqiqatan ham hamma narsa oddiy. Ehtimol siz intervallar usulini o'zlashtirgan bo'lsangiz (ammo uni o'zlashtirmagansiz - men burish va o'qishni maslahat beraman) va $P\left(x \right) \gt 0$, de shakli notekisligini bartaraf etishni o'rgangan bo'lishingiz mumkin. $P\left(x \right)$ boy aʼzo yoki qoʻshimcha boy aʼzo.

Men siz uchun qo'shiq aytish muhim emasligini hurmat qilaman, masalan, bunday o'yinning o'qi (nutqdan oldin uni isinish uchun sinab ko'ring):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \o'ng)\left(x-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \o'ng))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Endi troxlar katlanadigan bo'lib, biz nafaqat boy atamalarni, balki aqlning ratsional fraktsiyalarining nomlarini ham ko'rib chiqishimiz mumkin:

bu yerda $P\left(x \right)$ í $Q\left(x \right)$ oʻzlari $((a)_(n))((x)^(n))+( shaklidagi boy shartlardir. ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ yoki shunday boy atamalar koʻp.

Tse i bude ratsional nerívníst. Muhim moment - bannermanda $x$ o'zgarishining mavjudligi. Masalan, ratsional notekislik o'qi:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \o'ng)\left(11x+2 \o'ng))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)((\left(3-x \o'ng))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \o‘ng))\ge 0. \\\end(align)\]

Va tse oqilona emas, balki zvichaynisinka nerívníst, chunki u intervallar usuli bilan buziladi:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Oldinga sakrab, men sizga hozir aytaman: ratsional nomuvofiqliklarni bartaraf etishning kamida ikkita usuli bor, ammo bizga allaqachon ma'lum bo'lgan intervallar usuliga qadar ishlash mumkin. Buning uchun, avvalo, yo'llarini aniqlaymiz, eski faktlarni taxmin qilaylik, aks holda yangi material hech qanday foyda keltirmaydi.

Nimani bilishingiz kerak

Ko'p muhim faktlar mavjud emas. To'g'ri, bizga kamroq chotiri kerak.

Qisqartirilgan formulalar

Shunday qilib, shuning uchun: badbo'y hid bizga shkílnoí̈ matematika dasturini protyag bizga pereslíduvaty bo'ladi. Men ham universitetdaman. Biz formulalarni juda ko'p tugatishimiz kerak, lekin bizga bundan ortiq kerak emas:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \o'ng))^(2)); \\ & ((a)^(2))-(b)^(2))=\left(a-b \o'ng)\left(a+b \o'ng); \\ & ((a)^(3))+(b)^(3))=\left(a+b \o'ng)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\o'ng); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+(b)^( 2 )))\o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Qolgan ikkita formulaga hurmat ko'rsating - yig'indining yig'indisi va kublar farqi (va chakana savdo summasining yig'indisi emas!). Eslash oson, birinchi yoyning belgisi tashqi virazíning zbígaêtsya zí belgisi va tashqi virazuning boshqa qarama-qarshi belgisida ekanligini eslash oson.

Chiziqli tekislash

Eng oddiy $ax+b=0$ shakliga teng, bunda $a$ va $b$ teng butun sonlar, bundan tashqari $a\ne 0$. Bunday ekvivalentlik shunchaki teskari:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \end (tekislash)\]

Men $a\ne 0$ bo'lsa ham, $a$ koeffitsientiga bo'lish huquqiga ega ekanligimni tayinlayman. Tsya vomoga butunlay mantiqiy, $a=0$ uchun parchalar biz o'qni olib tashlaymiz:

Birinchidan, kim teng bo'lsa, $x $ o'zgarmaydi. Ko'rinib turibdiki, bu bentejite bizning aybimiz emas (bu biz tuzoqqa o'xshaymiz, aytaylik, geometriyada va biz tez-tez sog'amiz), lekin baribir, bizda hali ham chiziqli tenglik yo'q.

Boshqa yo'l bilan, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna koeffitsienti $ b $ kamroq depozit. Agar $b$ nolga teng bo'lsa, bizning tenglashtirishimiz $0=0$ kabi ko'rinishi mumkin. Tsya rashk virna zavzhda hisoblanadi; aks holda, $x$ bu raqam (bu kabi tovush: $x\in \mathbb(R)$). Agar $b$ koeffitsienti nolga teng bo'lmasa, u holda $b=0$ tengligi g'olib bo'ladi. javob yo'q ($x\in \varnothing$ qayd etilgan va "bo'sh yechim bo'sh" deb o'qilgan).

Bu barcha burmalardan xalos bo'lish uchun faqat $a\ne 0$ oling, shunda antroxlar bizni uzoq o'ylarga o'rab qo'ymaydi.

Kvadrat tekislash

Kvadrat o'qi nima deb atalishini taxmin qilaman:

Bu erda levoruch yana bir qadamning boy atamasi, bundan tashqari, men $a\ne 0$ ni o'zgartiryapman (va endi kvadrat tenglashtirish o'rniga biz uni chiziqli qabul qilamiz). Virishuyutsya diskriminant orqali shunday rivnyannya:

1. $D \gt 0$ kabi, biz ikki xil ildiz olamiz;
2. Agar $ D = $ 0 bo'lsa, unda bitta ildiz va boshqa ko'plik bo'ladi (ko'plikning narxi qancha va hayotning uchta trohidan qanday sug'urta qilish kerak). Yoki ikkita teng ildiz bor deyish mumkin;
3. $D \lt 0$ uchun ildiz yoʻq va har qanday $x$ uchun $a((x)^(2))+bx+c$ boy atama belgisi $ koeffitsienti belgisi bilan almashtiriladi. a$. Bu, nutq nuqtasi uchun, hatto ma'yus haqiqatdir, qaysi bir soat algebra darslari uchun rozpo_sti haqida unutib.

Eng ildiz hamma narsa uchun quyidagi formula bo'yicha hurmat qilinadi:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvydsi, nutqdan oldin, diskriminant bo'yicha obmezhennya. Salbiy sonning adje kvadrat ildizi ishlatilmaydi. Boy olimlarning ildizida ularning boshida motor bo'tqasi bo'lganligi sababli, men butun darsni maxsus yozdim: algebrada ildiz nima va qanday rahuvati - men hatto uni o'qishni tavsiya qilaman.

Podíí̈ z ratsional kasrlar

Yuqorida yozilganlarning hammasi, bilasizmi, ular intervallar usulidan foydalanganlar. Va biz bir vaqtning o'zida tahlil qilishimiz mumkin bo'lganlarning o'qi o'tmishga o'xshamaydi, bu mutlaqo yangi haqiqatdir.

Uchrashuv. Ratsional dríb - tse viraz aqli

\[\frac(P\left(x \o'ng))(Q\chap(x \o'ng))\]

bu yerda $P\left(x \right)$ va $Q\left(x \right)$ boy atamalardir.

Ko'rinib turibdiki, bunday kasrdan notekislikni olib tashlash oson - o'ng qo'lda "ko'proq" yoki "kamroq" belgisini belgilash kifoya. Men ko'zga ko'rinadigan tarzda menga ozgina berdim, scho virishuvati shunday zavdannya - bir mamnun, u erda hamma narsa oddiyroq.

Muammolar, hatto bunday fraktsiyalarning aniq ko'pligi bilan boshlanadi. Siz ularni uyqu banneriga olib kelishingiz mumkin - va shu bilan birga ko'plab xayoliy kechirimlarga ruxsat beriladi.

Shuning uchun, ratsional tengliklarga muvaffaqiyatli erishish uchun ikkita ko'nikmani mustahkam egallash kerak:

1. $P\left(x \right)$ boy atamasining omillarga ajralishi;
2. Vlasne, uxlab yotgan bannerga tortishishlarni olib keladi.

Ko'paytiruvchi segmentlarni qanday joylashtirish kerak? Bir xil oddiy. Keling, aqlimiz boy bo'lsin

Biz yogani nolga tenglashtiramiz. Biz $n$-chi qadamni tenglashtiramiz:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Tan olish kerakki, biz tenglik qiymatini buzdik va $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ ildizini olib tashladik (masxara qilmang: kattaroq vipadkív ildiz ikkitadan ko'p bo'lmaydi). Bunday holda, bizning mahsulotga boy atamamiz quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =(a)_(n))\chap(x -((x)_(1)) \o'ng)\cdot \left(x-((x)_(2)) \o'ng)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \o'ng) \end(tekislash)\]

Hammadan mendan! Ehtiyot bo'ling: katta koeffitsient $((a)_(n))$ hech qaerda topilmaydi - biz kishanlar oldiga ko'paytirgich qo'shamiz va agar kerak bo'lsa, uni s tsikh kishanlari yoki yo'qligiga qo'shishingiz mumkin ( amaliyot shuni ko'rsatadiki, $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ o'rta ildiz mayzhe zavzhdi ê kasrlar bilan).

Menejer. Virazdan so'rang:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]

Yechim. Birinchi marta biz bannerlarni hayratda qoldiramiz: barcha hidlar chiziqli binomiallardir va multiplikatorlarni qo'yish uchun hech narsa yo'q. Shunday qilib, keling, raqamlarni ko'paytirgichlarga ajratamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\chap(x-\frac(3)(2) \o'ng)\left(x-1 \o'ng)=\chap(2x- 3\o'ng)\chap(x-1\o'ng); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\chap(x+2 \o'ng)\left(x-\frac(2)(5) \o'ng)=\chap(x +2 \o'ng)\chap (2-5x \o'ng). \\end(tekislash)\]

Hurmatni o'zgartirish uchun: yana bir badavlat a'zo uchun, bizning sxema bo'yicha eng so'nggi sig'im uchun katta koeffitsienti "2" kamon oldida orqaga egilib, keyin biz birinchi kamonga o'z hissamizni qo'shamiz, u erda parchalar ishdan chiqqan edi. .

Uchinchi boy bo'limda ham xuddi shunday bo'ldi, faqat buklangan bog'lanishning yana bir tartibi mavjud. Biroq, boshqa yoyga kirish natijasida "−5" koeffitsienti (esda tuting: ko'paytirgichni bitta va faqat bitta yoyga kiritishingiz mumkin!), Bu bizni o'q ildizlari bilan bog'liq nomuvofiqliklardan xalos qildi.

Birinchi boy a'zoga kelsak, u erda hamma narsa oddiy: birinchi ildiz standart ravishda diskriminant orqali yoki Vetna nazariyasi uchun aralashtiriladi.

Keling, vihídnogo virazuga murojaat qilaylik va yogoni ko'paytiruvchilarga bo'lingan raqamlar bilan qayta yozamiz:

\[\begin(matritsa) \frac(\left(x+5 \o'ng)\left(x-4 \o'ng))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \o'ng)\left( x-1 \o'ng))(2x-3)-\frac(\chap(x+2 \o'ng)\chap(2-5x \o'ng))(x+2)= \\ =\chap(x+5) \o'ng)-\left(x-1 \o'ng)-\chap(2-5x \o'ng)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end (matritsa)\]

Taklif: $5x+4$.

Bachit kabi, hech narsa katlanmaydi. 7-8-sinflar uchun matematika yetarli emas – hammasi shu. Undagi barcha o'zgarishlarning ma'nosi polygaê bo'lib, buklanishni va dahshatli osishni olib tashlash osonroq bo'ladi, bu mashq qilish oson.

Ale, bundan xavotir olma. Buning uchun biz bir vaqtning o'zida vazifaga jiddiyroq qarashimiz mumkin.

Ale, biz uni boshidan ajratib olamiz, uxlab yotgan bannerga ikkita kasrni qanday olib kelish kerak. Algoritm juda oddiy:

1. Ko'paytirgichlarga bannerlarni qo'ying;
2. Birinchi bannerga qarang va yangisiga boshqa bannerda bo'lgan ko'paytirgichlarni qo'shing, birinchisini tasdiqlang. Otrimany tvir uxlab yotgan banner bo'ladi;
3. Z'yasuvati, bunday ko'paytiruvchilar dermal o'qlar tanlamaydi, shunday qilib, bannermenlar olov teng bo'ldi.

Ehtimol, butun algoritm sizga oddiygina matn orqali, boy yozilgan tarzda beriladi. Shuning uchun biz hamma narsani aniq misolda tahlil qilamiz.

Menejer. Virazdan so'rang:

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \o'ng)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \o'ng)\]

Yechim. Bunday ob'emní zavdannya yaxshi virishuvati qismlari. Biz birinchi archada turganlarni yozamiz:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Vídminu vyd old zavdannya haqida, bu erda bannermenlardan hamma narsa juda oddiy emas. Keling, ulardan terilarni ko'paytirgichlarga solamiz.

$((x)^(2))+2x+4$ kvadrat trinomialni koʻpaytirib boʻlmaydi, $((x)^(2))+2x+4=0$ teng boʻlaklarni ildiz qilib boʻlmaydi (salbiy diskriminant). Biz yogani o'zgarishsiz qoldiramiz.

Yana bir belgi - kublarni ko'paytirish atamasi $((x)^(3))-8$ - kublar farqiga nisbatan va uni qisqa ko'paytirish formulalari uchun tarqatish oson:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \o'ng)\left((x) ^(2))+2x+4 \o'ng)\]

Hech narsani ko'paytiruvchilarga bo'linib bo'lmaydi, birinchi yoyda shards chiziqli binomial turadi, ikkinchisida esa - biz allaqachon qurilishni bilamiz, chunki haqiqiy ildizlar yo'q.

Nareshti, uchinchi banner chiziqli ikkilik bo'lib, uni joylashtirish mumkin emas. Bu darajada bizning hasadimiz kelajakda ko'rinadi:

\[\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \o'ng)\chap (((x)^(2))+2x+4 \o'ng))-\frac(1)(x-2)\]

Ko'rinib turibdiki, $\left(x-2 \right)\left((x)^(2))+2x+4 \right)$ umumiy maxraj bo'ladi va barcha kasrlarni yangisiga qisqartirish uchun. biri, birinchi kasrni $\left(x-2 \right)$ ga ko'paytirish kerak, men esa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$da qolaman. Keling, bu kabi olib kelish uchun kamroq narsadan xalos bo'laylik:

\[\begin(matritsa) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ o'ng))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x +4 \o'ng))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \o'ng)+\left(((x)^(2))+8 \o'ng)-\chap(((x) )^(2))+2x+4 \o'ng))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \o'ng)\chap (((x)^(2))+2x+4 \o'ng))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \o'ng)\ chap (((x)^(2))+2x+4 \o'ng)). \\ \end (matritsa)\]

Boshqa qatorga hurmatni qaytaring: agar banner allaqachon yonayotgan bo'lsa, unda. uch okremix o'rniga bitta zo'r yozdik varto emas, bir marta kamon saqlandi. Oldingizda bir qator yozish tezroq bo'ladi va aytaylik, uchinchi kasrdan oldin minus turganini bildiradi - va siz hech qaerga ketolmaysiz, lekin kamon oldidagi raqamlar kitobiga "osilgan". Shaxssiz kechirimlarni saqlab qolish uchun.

Xo'sh, qolgan qatorda raqamlarni ko'paytirgichlarga qo'ying. Tim kattaroq, bu aniq kvadrat va biz yana tez ko'paytirish formulalariga yordam beramiz. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))= \frac(((\left(x-2 \o'ng))^(2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng) )=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

Endi biz uni boshqa kamon bilan o'z-o'zidan saralaymiz. Bu erda men ekvivalentlikning kichik bir oyatini yozaman:

\[\begin(matritsa) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ) ^(2))))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac((x)^ ( 2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))+\frac(2\cdot \left(x+2 \o'ng))(\left(x-2 \ o'ng) )\cdot \left(x+2 \o'ng))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \o'ng))(\left(x) -2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \ o'ng). \\ \end (matritsa)\]

Keling, so'nggi kunga qaytaylik va televizorga hayron qolaylik:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) ) \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac(1)(x+2)\]

Moslik: \[\frac(1)(x+2)\].

Bu vazifaning ma'nosi oldingi kabi bir xil: siz qanchalik oqilona so'rashingiz mumkinligini ko'rsating, keyingi o'zgarishlarga aql bilan qanday o'tish kerak.

Endi, agar siz hamma narsani bilsangiz, keling, bugungi darsning asosiy mavzusiga o'taylik - o'q otish ratsional tengsizliklarning kulminatsion nuqtasi. Tim ko'proq, o'zingizning asabiyligingiz uchun bunday tayyorgarlikdan so'ng siz qozon kabi xirillaysiz.

Ratsional nomuvofiqliklarni bartaraf etishning asosiy usuli

Ísnuê yak kamida ikki qadam razv'yazannya oqilona nerívívnosti uchun. Bir qarashda biz ulardan birini ko'rib chiqamiz - maktab matematika kursi tomonidan keng qabul qilingan.

Ale, orqaga qarab, sezilarli darajada muhim tafsilot. Barcha nomuvofiqliklar ikki turga bo'linadi:

1. Suvori: $f\left(x \right) \gt 0$ yoki $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nostandart: $f\left(x\right)\ge 0$ yoki $f\left(x \o'ng)\le 0$.

Boshqa turdagi qoidabuzarliklar birinchisiga osonlikcha tushirilishi mumkin, shuningdek hasad:

Farbovanie nuqtalari kabi nomaqbul narsalarni ishlab chiqarish uchun juda ko'p "qo'shimcha" $f\left(x \right)=0$ emas - biz ular bilan intervalli usulda tanishdik. Aks holda, qat'iy va qat'iy bo'lmagan qoidabuzarliklar o'rtasida hech qanday farq yo'q, shuning uchun universal algoritmni ko'rib chiqaylik:

1. Bir tomondan nolga teng bo'lmagan barcha elementlarni notekislik shaklida tanlang. Masalan, levoruch;
2. Barcha kasrlarni standart bannerga keltiring (chunki bunday fraktsiyalar sprat sifatida ko'rinadi), shunga o'xshashlarni keltiring. Keyin, iloji boricha, raqamlar kitobiga va ko'paytirgichlarga bannerga joylashtiramiz. Xo'sh, yana nima uchun biz $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, de "tick" shaklidagi notekislikni olib tashlaymiz - notekislik belgisi.
3. Raqamni nolga o'rnatamiz: $ P \ chap (x \ o'ng) = 0 $. Viríshuêmo tserívnyannja i otrimuooêmo rínínya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... nolga qaytish: $Q \left(x \right)\ne 0$. Albatta, farq $Q\left(x \right)=0$ ga teng ekanligi rost va biz $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ ildizini olamiz. (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (bunday ildizning mos yozuvlar fayllarida uchtadan ko'p bo'lishi dargumon).
4. Barcha ildizlar (yulduzli va yulduzsiz) bitta sonli to'g'ri chiziqda ko'rib chiqiladi, bundan tashqari, yulduzsiz ildiz farbovanizatsiya qilinadi va yulduzlar bilan - vakolota.
5. Biz "ortiqcha" va "minus" belgilarini joylashtiramiz, kerakli intervallarni tanlang. Agar notekislik $f\left(x \right) \gt 0$ ko'rinishi mumkin bo'lsa, u holda "ortiqcha" bilan belgilangan intervallar takrorlanadi. Agar $f\left(x \right) \lt 0$ bo'lsa, biz minuslar bilan oraliqlarga hayron bo'lamiz.

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, eng qiyin narsa 2 va 4-bandlarni chaqirishdir - malakali o'zgartirish va o'sish tartibida raqamlarni to'g'ri joylashtirish. Xo'sh, qolgan vaqtlarda ko'proq hurmatli bo'ling: biz har doim spiral bo'lib belgilar qo'yamiz tenglikka o'tishdan oldin qayd etilgan notekislikning qolgan qismi. Bu universal qoida bo'lib, intervallar usulidan pastroqdir.

Xuddi shu sxema ê. Keling, band bo'laylik.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Yechim. Bizning oldimizda $f\left(x \right) \lt 0$ shaklining umumiy muqarrarligi turibdi. Shubhasiz, bizning sxemamizning 1 va 2-bandlari allaqachon vikonan: notekislikning barcha elementlari levoruch tomonidan tanlanadi, uxlab yotgan bayroqqa hech narsa olib kelish kerak emas. Keling, uchinchi xatboshiga o'tamiz.

Raqamni nolga tenglashtiramiz:

\[\boshlang(hatlang) & x-3=0; \&x=3. \end(tuzalash)\]

I banner:

\[\boshlang(hatlang) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end (tekislash)\]

Har bir maydon uchun kimdir yopishadi va hatto fikr uchun $x+7\ne 0$ yozish kerak, shunda ODZ yordam beradi (nolga bo'linib bo'lmaydi, o'q hammasi). Ammo keyin biz bannerdan kelgan dog'larni berdik, shuning uchun siz yorliqlaringizni tuzgandan so'ng, varto qilmang - ekvivalentlik belgisini yozing va tashvishlanmang. Narx uchun hech narsani pasaytirib bo'lmaydi.

To'rtinchi nuqta. Raqam chizig'idagi ildizni olib tashlash muhim:

Mo'ylov nuqtalari vikolotí, oskílki nerívníst - suvora

Hurmat qiling: vikolotiyaning barcha nuqtalari. Va bu erda allaqachon ahamiyatsiz: raqamlar kitobidan ballar bannerdan kelgan.

Biz belgilarga hayron bo'lamiz. $((x)_(0)) \gt 3$ raqamini olaylik. Masalan, $((x)_(0))=100$ (muqobil ravishda bir xil muvaffaqiyat bilan siz $((x)_(0))=3,1$ yoki $((x)_(0) ni olishingiz mumkin. ) = 1 000 000 dollar). Biz olamiz:

Otzhe, pravoruch vyd usyh korenyv biz ijobiy maydoni bor. Va ildizning terisidan o'tayotganda, belgi o'zgaradi (shuning uchun siz boshlamaysiz, lekin yaxshiroq). Keling, beshinchi nuqtaga o'tamiz: biz belgilarni joylashtiramiz va ehtiyojni tanlaymiz:

Biz rozvyazannya ryvnyandan oldin bula kabi asabiylikning qolgan qismiga murojaat qilamiz. Vlasne, har kuni bir-birlarini urishmasa ham, vaqt tugayapti.

Oskylki $f\left(x \right) \lt 0$ shaklining notekisligini bartaraf etishi kerak, men $x\da \left(-7;3 \right)$ oralig'ini soya qildim - yagona qiymatlarda "minus" belgisi bilan. Tse vídpovíd.

Taklif: $x\in \left(-7;3 \right)$

Hammadan mendan! Hiba qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. To'g'ri, vazifa osonroq edi. Shu bilan birga, biz buzg'unchilikni tartibga solishimiz va "hiyla-nayrang" nomuvofiqlikni ko'rishimiz mumkin. Boshqa tomondan, men endi bunday taqdimotlar qilmayman - men shunchaki asosiy fikrlarni ta'kidlayman. Zagalom, keling, yoga mustaqil robot chi íspítí ustida amalga oshiriladigan tarzda tashkil qilaylik.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(\left(7x+1 \o'ng)\left(11x+2 \o'ng))(13x-4)\ge 0\]

Yechim. $ f \ chap (x \ o'ng) \ ge 0 $ ni ko'rish zarar qilmaydi. Nolga teng bo'lmagan barcha elementlar yovuzlik bilan tanlanadi, boshqa belgilar yo'q. Rivnyanga boraylik.

sana:

\[\begin(hizala) & \left(7x+1 \o'ng)\left(11x+2 \o'ng)=0 \\ & 7x+1=0\O'ng strelka ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Oʻng yoʻl ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end (tekislash)\]

Banner:

\[\boshlang(tuzala) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end (tekislash)\]

Men uni o'rnatganimda qanday muammo borligini bilmayman, lekin ildiz unchalik yaxshilanmadi: ularni raqamli to'g'ri chiziqqa qo'yish muhim bo'lar edi. I $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ ildizi bilan ham hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq (faqat bitta ijobiy raqam bor - u o'ng qo'l bo'ladi), keyin $ ((x)_(1 ) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse mumkin, masalan, quyidagicha:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) )))\]

Kechirasiz, raqamli farq nima uchun $-(2)/(14) ekanligini tushuntirishga hojat yo'q; \gt -(2)/(11)\;$? Zarur bo'lganda, men kasrlar bilan qanday qilib g'alaba qozonish kerakligini taxmin qilishni maslahat beraman.

Va biz sonli to'g'ri chiziqdagi uchta ildizni nazarda tutamiz:

Krapki zafarbovani raqamlar kitobidan, bannerdan - vikolot

Biz belgilarni joylashtiramiz. Masalan, siz $((x)_(0))=1$ olishingiz va har bir nuqtaning belgisini oʻzgartirishingiz mumkin:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \o'ng))(13x-4); \\ & f\left(1 \o'ng)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \o'ng))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\end(align)\]

Tengdan oldin qolgan asabiylashish $f\left(x \right)\ge 0$ edi, shuning uchun biz ortiqcha belgisini bosishimiz kerak.

Ular ikkita multiplikatorni olib qo'yishdi: biri muhim juftlik, ikkinchisi esa raqamlar chizig'idagi to'g'ridan-to'g'ri ball.

Javob: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Raqamlar sonini hurmat qilish muhim, chunki biz to'g'ri oraliqdagi belgi uchun ifodalaymiz. Mutlaqo neobov'yazkovo podstavlyat soni o'ng ildizga yaqin. Siz milliardni olishingiz yoki uni "ortiqcha aql bovar qilmaslik" deb atashingiz mumkin - har bir holatda yoyda turgan boy a'zoning belgisi, raqam yoki bannerman faqat katta koeffitsient belgisi bilan ifodalanadi.

Qolgan notekisliklar uchun $f\left(x \right)$ funksiyasiga yana bir bor qaraylik:

Ushbu rekord uchta boy atamaga ega:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \o'ng)=11x+2; \&Q\chap(x\o'ng) = 13x-4. \end(tuzalash)\]

Barcha unlilar chiziqli binomiallar va barcha katta koeffitsientlar (7, 11 va 13 raqamlari) ijobiydir. Keyinchalik, katta sonlar yoyini asoslashda, boy bo'linishlarning o'zlari ijobiy bo'ladi.

Tse yuzaki katlamali qurilishi mumkin, orqa tomondan bir oz, agar tushunsak, buni qilish oson. Jiddiy nomuvofiqliklarda "plyus-to'liqsizlik" ni almashtirish bizga $((x)_(0))=100$ standartidan pastroq belgilarni tezroq o'zgartirish imkonini beradi.

Biz tez orada bunday vazifalar bilan jim qolamiz. Keling, dribno-ratsional nomuvofiqliklarni bartaraf etishning muqobil usulini ko'rib chiqaylik.

Muqobil yo'l

Bu ziyofatni menga shogirdlarimdan biri taklif qildi. Men o'zim uni hech qanday hurmat qilmasdim, lekin amaliyot shuni ko'rsatdiki, ko'p o'rganish asabiylashishni bunday tarzda engishda samaraliroqdir.

Otzhe, vyhídní daní í í í sami. Otishma-ratsional nomuvofiqlikni bartaraf etish kerak:

\[\frac(P\left(x \o'ng))(Q\left(x \o'ng)) \gt 0\]

O‘ylab ko‘raylik: nima uchun $Q\left(x \right)$ boy atamasi $P\left(x \right)$ boy atamasidan “yuqoriroq”? Qanday qilib biz ildizlarning katta guruhlariga (yulduzli yoki yulduzsiz) qarashimiz kerak, nuqtalar haqida o'ylashimiz kerak va hokazo? Hammasi oddiy: fraksiya belgilangan maydonga ega, agar u nol belgisi bo'lsa, undan kamroq ma'noga ega bo'lgan har qanday dríb uchun yaxshi.

Boshqa jihatdan, numerator va bannerman o'rtasida bu oson emas: biz uni faqat nolga tenglashtiramiz, biz ildiz haqida hazil qilamiz, keyin uni sonli to'g'ri chiziqda nazarda tutamiz. Keyin nima uchun tortishish chizig'ini (aslida - rozpodílu belgisi) eng katta ko'paytirgichlar bilan almashtirmang va barcha ODZ aftidan okremoi asabiylashishni buyurishga yordam beradi? Masalan, bu kabi:

\[\frac(P\left(x \o'ng))(Q\left(x \o'ng)) \gt 0\O'ng strelka \chap\( \begin(align) & P\left(x \o'ng)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Hurmat ko'rsatish uchun: bunday pidhidga vazifani intervallar usuliga chaqirishga ruxsat beriladi, ammo bu holda qarorni murakkablashtirish mumkin emas. Aje baribir, biz $Q\left(x \right)$ boy atamasini nolga oshirishimiz mumkin.

Keling, u haqiqiy vazifalarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Yechim. Yana interval usuliga o'tamiz:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\O'ng strelka \chap\( \begin(align) & \left(x+8 \o'ng)\left(x-11 \o'ng) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(tuzala) \o'ng.\]

Birinchi notekislik elementardir. Faqat teri kamonini nolga tenglashtiring:

\[\begin(align) & x+8=0\O'ng strelka ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ O'ngga strelka ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(hizala)\]

Boshqa nerivnistyu bilan hamma narsa oddiy:

Biz raqamlar qatoriga $((x)_(1))$ va $((x)_(2))$ nuqtalarini beramiz. Usi hidlaydi vikolotí, skílki nerívníst suvore:

O'ng dog'i qizning qizi sifatida paydo bo'ldi. Tse yaxshi.

$x=11$ nuqtasiga hurmat ko'rsating. "Dvíchi vykolot" kabi tashqariga chiqing: bir tomondan, biz asabiylikning zo'ravonligi orqali, boshqa tomondan - ODZning qo'shimcha quvvati orqali vikolyuemo qilamiz.

Qandaydir vipadku bor, tse faqat nuqtaga kaltaklanadi. Shuning uchun biz notekislik belgilarini qo'yamiz $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - qoling, biz undan oldin kurashgandek, virishuvati tenglasha boshlaganimizda:

Bizni ijobiy tomonlar qitiqlaydi, lekin biz ongdagi nomutanosiblikni ko'rishimiz mumkin $f\left(x \right) \gt 0$ - í̈x i zafarbuêmo. Vídpovíd yozish uchun boshqa vaqt yo'q edi.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \o'ng)$

Ushbu qaror misolida men o'rta yoshli talabalar orasida keng afv borligida sizni himoya qilmoqchiman. Va o'zingizga: qoidabuzarliklarning kamonlarini ochmang! Navpaki, hamma narsani multiplikatorlarga tarqatishga harakat qiling - yechimni so'rash va sizni shaxsiy muammolardan xalos qilish yaxshiroqdir.

Endi buklangan narsani sinab ko'raylik.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(\left(2x-13 \o'ng)\left(12x-9 \o'ng))(15x+33)\le 0\]

Yechim. $ f \ chap (x \ o'ng) \ le 0 $ ga qarash zarar qilmaydi, shuning uchun bu erda siz zafarbovannymi nuqtalariga hurmat bilan amal qilishingiz kerak.

Keling, interval usuliga o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \o'ng)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(tekislash) \o'ng.\]

Keling, moslashtirishga o'tamiz:

\[\begin(hizala) & \left(2x-13 \o'ng)\left(12x-9 \o'ng)\left(15x+33 \o'ng)=0 \\ & 2x-13=0\O'ng strelka ((x) )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Oʻng tomon((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Oʻng koʻrsatkich ((x)_(3))=-2,2. \\ \end (tekislash)\]

Vrahovuemo dodatkovu vimogu:

Barcha olib tashlangan ildizlar raqamlar qatorida ko'rsatilgan:

Bir vaqtning o'zida nuqta va vikolot va farbovon kabi, uni vikolot hurmat qiladi

Men bilaman, ikkita nuqta birma-bir "bir-biriga mos keladi" - bu normal, shuning uchun ishonch hosil qiling. Bu muhim, unchalik oqilona emas, qanday nuqta, bir vaqtning o'zida vikoloty va jo'yak uchun tayinlangan, aslida, vikoloty. Tobto. "Vikolyuvannya" - kuchli diy, pastki "zafarbovannya".

Bu mutlaqo mantiqiy, hatto biz nuqtalarni tanlasak ham, funktsiyaning belgisiga qo'shishni yaxshi ko'ramiz, lekin shouning o'zida ishtirok etmaymiz. Shunday qilib, bir nuqtada, raqam bizda hukmronlik qilishni to'xtatadi (masalan, u ODZga etib bormaydi), biz vazifaning oxirigacha qasam ichamiz.

Zagalom, falsafa qilish. Biz minus belgisi bilan belgilangan belgilar va zafarbovuyemo í intervallarni joylashtiramiz:

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Men sababga bo'lgan hurmatingizni yangilamoqchiman:

\[\chap(2x-13 \o'ng)\chap(12x-9 \o'ng)\chap(15x+33 \o'ng)=0\]

Yana bir bor: bunday tengdoshlarning qo'llarini hech qachon ochmang! Yaxshisi, sumkalaringizni yig'ib oling. Esingizda bo'lsin: dobutok nolga teng, agar siz multiplikatorlardan biri nolga teng bo'lishini istasangiz. Otzhe, Dane Rivnyannya shunchaki "tarqaldi", go'yo ular bizning ko'z o'ngimizda buzayotgandek.

Ildiz ko'pligining shakli

Oldingi kunlardan shuni eslash osonki, eng katta buklanish eng nomuvofiq bo'lib qolish, ularda dog'lar uchun tikish kerak bo'lgan kishiga.

Ammo dunyoda bundan ham ko'proq yovuzlik bor - bu asabiylik ildizining ko'pligi. Bu erda tikuvlar allaqachon zafarbovanimi nuqtalarining orqasida emas, balki u erda olib kelingan - bu erda nuqtalardan o'tishda notekislik belgisi o'zgarmasligi mumkin.

Biz hali bu sohada shunga o'xshash narsani ko'rmadik (garchi shunga o'xshash muammo ko'pincha intervalli usulda qayd etilgan). Shuning uchun biz yangi ta'rifni kiritamiz:

Uchrashuv. Teng ildiz $((\left(x-a \right))^(n))=0$ teng $x=a$ va $n$-koʻplikning ildizi deyiladi.

Vlasne, bizga ko'plikning qiymatini aniq aytib bo'lmaydi. Ularning juftlangan yoki ajratilmaganligi muhim, butun raqam $n$. Chunki:

1. $x=a$ juft koʻpaytmaning ildizi boʻlganligi uchun u orqali oʻtganda funksiyaning belgisi oʻzgarmaydi;
2. Avvalo, $x=a$ juftlashtirilmagan koʻpaytmaning ildizi boʻlgani uchun funksiya belgisi oʻzgaradi.

Juftlanmagan ko'plikning ildiziga shaxsiy ko'rinish bilan, uning oldida, bu maktabga qaradi: eski yakkaxonlarning kesishgan ko'pligi bor.

Men ko'proq. Uning oldida, go'yo biz virishuvati zavdannya bo'lgandek, sizning hurmatingizni bir noziklikka aylantirmoqchi bo'lib, go'yo taniqli o'qituvchiga ayon bo'lgandek, ale boy pochatkívtsívni ahmoq qildi. Va o'ziga:

$ n $ ko'pligining ildizi faqat tushish uchun aybdor, agar butun ko'plik ushbu bosqichda shakllansa: $ ((\ chap (xa \ o'ng)) ^ (n)) $, $ \ chap emas. (((x) ^ ( n ))-a\right)$.

Yana bir bor: $((\left(xa \right))^(n))$ yoyi bizga $n$ koʻplikning $x=a$ ildizini va yoyning oʻqini $\left(((x) beradi. )^(n)) -a \right)$ aks holda, tez-tez ishlatilsa, $(a-((x)^(n)))$ bizga ildiz beradi (aks holda ikkita ildiz, masalan, $n$ - yigit) i $n$ nimadan mustaqil birinchi ko'plikning.

Daraja:

\[((\chap(x-3 \o'ng))^(5))=0\O'ng strelka x=3\chap(5k \o'ng)\]

Bu erda hamma narsa aniq: butun kamon beshinchi qadamga olib borildi, shuning uchun chiqishda biz beshinchi qadamning ildizini olib tashladik. Va birdaniga:

\[\left(((x)^(2))-4 \o'ng)=0\O'ng yo'l ((x)^(2))=4\O'ng strelka x=\pm 2\]

Biz ikkita ildizni olib tashladik, lekin hidning haqoratlari birinchi ko'plik bo'lishi mumkin. Abo o'qi ko'proq:

\[\left(((x)^(10))-1024 \o'ng)=0\O'ng yo'l ((x)^(10))=1024\O'ng yo'l x=\pm 2\]

Seni o'ninchi qadamgacha mag'lub qilmayin. Golovne, scho 10 - bu yigitning raqami, chiqishida ikkita ildiz bo'lishi mumkin va hid yana birinchi ko'plik bo'lishi mumkin.

Zagalom hurmatli bo'ling: ayblarning ko'pligi faqat bitta, agar qadamlar butun kamarga ko'tariladi va o'zgarishdan kam emas.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \o'ng))^(3))\left(x+4 \o'ng))(((\left(x+7) ) \o'ng)))^(5)))\ge 0\]

Yechim. Keling, buni xususiydan yaratilishga o'tish orqali muqobil tarzda sinab ko'raylik:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \o'ng)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \o'ng))^(5))\ne 0. \\ \end(tekislash) )\to‘g‘ri.\]

Intervallar usuli bo'yicha birinchi notekislikni tanlaymiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \o'ng)\cdot ((\left() x+7 \right))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\O'ng strelka x=0\chap(2k \o'ng); \\ & ((\chap(6-x \o'ng))^(3))=0\O'ngga x=6\chap(3k \o'ng); \\&x+4=0\Oʻng tomon x=-4; \\ & ((\chap(x+7 \o'ng))^(5))=0\O'ngga x=-7\chap(5k \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Dodatkovo virishuemo do'st asabiylashish. Darhaqiqat, biz allaqachon yogo kuylaganmiz, lekin agar qaror qabul qilgunga qadar davom etmasak, yana yogo kuylagan ma'qul:

\[((\chap(x+7 \o'ng))^(5))\ne 0\O'ng strelka x\ne -7\]

Hurmatni qaytarish uchun: asabiylashishning qolgan qismida kundalik ko'plik yo'q. To'g'ri: qanday farq qiladi, raqamlar chizig'idagi $x=-7$ nuqtasini necha marta yutish kerak? Bir marta xohlasangiz, besh marta xohlasangiz - natija bir xil bo'ladi: oxirgi nuqta.

Biz olib qo'ygan hamma narsa raqamli to'g'ri chiziqda muhim ahamiyatga ega:

Aytganimdek, natijada $x=-7$ nuqta belgilanadi. Tartiblarning ko'pligi intervallarni yo'llarining notekisligini bartaraf etishdir.

Belgilarni qo'yishni unutdingiz:

Oskílki nuqta $x=0$ - juftlashgan ko'plikning ildizi, o'tish uchun belgi o'zgarmaydi. Boshqa nuqtalar juftlashtirilmagan ko'plikka ega bo'lishi mumkin va ular bilan hamma narsa oddiy.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Yana $x=0$ ga hurmat ko'rsating. Juftlik orqali cicavi effektining ko'pligi ayblanadi: undagi levoruch hammasi to'ldirilgan, o'ng qo'l bir xil, o'sha nuqta butunlay to'ldirilgan.

Eslatib o'tamiz, ovozni yozib olish uchun bir soat davomida suv qisqichlari kerak emas. Tobto. kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ ga hech narsa yozishingiz shart emas (agar rasmiy ravishda xohlasangiz, bu to'g'ri bo'lar edi). Darhol $x\in \left[ -4;6 \right]$ deb yozamiz.

Bunday effektlar ildiz juftining ko'pligi bilan kamroq mumkin. Men mi zítknemosya íz zvorotnym "vyyavom" tsgogo ta'siri oldinga buyrug'i. Tayyormisiz?

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(((\left(x-3 \o'ng))^(4))\left(x-4 \o'ng))(((\left(x-1 \o'ng))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Yechim. Bu safar biz standart sxemaga amal qilamiz. Raqamni nolga tenglashtiramiz:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\chap(x-3 \o'ng))^(4))=0\O'ng strelka ((x)_(1))=3\chap(4k \o'ng); \& x-4 = 0 \ O'ng strelka ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(hizalang)\]

I banner:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \o'ng)=0; \\ & ((\chap(x-1 \o'ng))^(2))=0\O'ngga x_(1)^(*)=1\left(2k \o'ng); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Oʻngga x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end (tekislash)\]

Oscilki mi virishuemo nesuvor nerívníst aql $f\left(x \right)\ge 0$, bannerning ildizi (znirochki kabi) kaltaklanadi va raqamdan - zafarbovano.

Biz "ortiqcha" bilan belgilangan belgilar va chizilgan joylarni qo'yamiz:

Krapka $ x = $ 3 - izolyatsiyalangan. Vídpovídí ning Tse qismi

Bundan oldin, qoldiq fikrni qanday yozish kerak, rasmga hurmat bilan qarang:

1. Krapka $x=1$ bir nechta koʻpaytmalarga ega, lekin vikolaning oʻzi. Bundan tashqari, agar sizda ikki qavatli bo'lsa: $x\in \ emas, balki $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ yozishingiz kerak. chap(-\ infty ;2\right)$.
2. Krapka $x=3$ to'ldirilganda í ko'paytirilishi ham mumkin. Nuqtaning o'zi biz bilan kuchga ega ekanligini tasdiqlash uchun belgilarni tartibga solish, ale krok levoruch-o'ng - biz mintaqaga sudralib ketdik, chunki biz aniq hokimiyatda emasmiz. Bunday nuqtalar ajratilgan deb ataladi va $x\in \left\( 3 \right\)$ shaklida yoziladi.

Biz barcha otrimani shmatochkilarni ko'p miqdorda birlashtiramiz va dalillarni yozamiz.

Taklif: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Uchrashuv. Virishiti nerívníst - degani yoga yechimining shaxssiz muvaffaqiyatini bilish, yoki shaxsiy bo'lmagan narsalarni olib kelish uchun.

b berilgan bo'lardi: bu erda nima mantiqsiz bo'lishi mumkin? Bu o'sha daryoda, shaxssizni boshqacha tarzda qo'yish mumkin. Keling, kun oxirigacha yana yozamiz:

Yozilganlarni tom ma'noda o'qing. Hech kimga ko'p yotish uchun "iks" ni o'zgartiring, birga chiqish uchun ("U" belgisi) chotyroh okremih ko'p:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, bu so'zma-so'z "barcha raqamlar birdan kichik, lekin bittaning o'zi emas" degan ma'noni anglatadi;
• Interval $ \ chap (1; 2 \ o'ng) $, keyin. "Barcha raqamlar 1 dan 2 gacha, lekin raqamlarning o'zi 1 va 2 emas";
• Anonim $ \ chap \ (3 \ o'ng \) $, bir yoki bitta raqamdan qo'shiladi - uchta;
• Interval $ \ qoldi [4; 5 \ o'ng) $, 4 dan 5 gacha bo'lgan barcha raqamlardan, shuningdek, to'rttadan o'ch olish uchun, lekin beshtadan emas.

Bu erda qiziqish uchinchi nuqtadir. Vídmínu víd íd ínvalív, íkí son-sanoqsiz raqamlar to'plamini o'rnatish uchun í kamdan-kam hollarda íx íx to'plamlar o'rtasida belgilanadi, $\left\(3\right\)$siz, qayta arrahuvannya qilish usuli sifatida qat'iy bitta raqamni o'rnating.

Biz o'zimiz multiplikatorgacha bo'lgan (va ikkalasi o'rtasida o'rnatilmagan) aniq raqamlarni bekor qilishimizni tushunish uchun figurali kamarlar g'alaba qozonadi. Masalan, $ \ left \ (1; 2 \ o'ng \) $ belgisi o'zini "ikkita sondan qo'shiladigan ko'paytma: 1 va 2" degan ma'noni anglatadi, lekin u 1 dan 2 gacha bo'lgan bir xil emas. , tushunchangizni chalkashtirmang.

Ko'pliklarni katlama qoidasi

Xo'sh, bugungi darsning oxirida Pavel Berdovdan uchta barmoq.

Hurmatli olimlar allaqachon qo'shiq aytishdi: va qanday bo'ladi, raqamlar kitobi va bayroqdagi kabi, xuddi shu ildiz paydo bo'ladi? Shunday qilib, eksa, pratsyuê bunday qoida:

Xuddi shu ildizning ko'pligi qo'shiladi. Kutmoq. Navyt yakscho tse ildizi raqamlar kitobida va bannerda yozilgan.

Ba'zan virishuvati, pastroq gapirish yaxshiroqdir. Buning uchun biz quyidagi vazifaga ishonamiz:

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \o'ng)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \o'ng))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end (tekislash)\]

Hozircha, hech qanday maxsus narsa yo'q. Bannerni nolga tenglashtiring:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left((x)^(2))+9x+14 \o'ng)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\O'ng strelka x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Oʻngga x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end (tekislash)\]

Ikkita bir xil ildizlar ochiladi: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Mayut pershu ko'pligini xafa qilish. Bundan tashqari, biz ularni bitta ildiz $x_(4)^(*)=-2$ bilan almashtiramiz, lekin 1+1=2 ko'pligi bilan ham almashtiramiz.

Bundan tashqari, hali ham bir xil ildizlar mavjud: $((x)_(2))=-4$ va $x_(2)^(*)=-4$. $x_(2)^(*)=-4$ ko'plikdan mahrum bo'ladigan birinchi ko'plikning hidi 1+1=2.

Hurmat keltirish uchun: ikkala vipadkada biz juda eski ildizdan mahrum bo'ldik va biz bir qarashdan farboslarni tashladik. Shuning uchun biz darsning boshiga etib keldik: go'yo nuqta bir vaqtning o'zida va vikolota va zafarbovana, biz hammamiz bir xil vvazhemo vv vicolotamiz.

Natijada, bizda chotiri ildizlari bor, bundan tashqari, barcha vikolotlar paydo bo'ldi:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \o'ng); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\chap(2k \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Ko'pligi o'zgartirilgan son qatorida sezilarli darajada í̈x:

Bizni chaqiradigan belgilar va zafarbovuyemo joylarni qo'yamiz:

Mo'ylov. Kundalik izolyatsiyalangan nuqtalar va boshqa muammolar. O'z fikringizni yozib qoldirishingiz mumkin.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Ko'plik qoidasi

Ba'zan vaziyat yanada nomaqbul bo'lib qoladi: teng, ildizning ko'p bo'lishi mumkin, o'zi bir xil bosqichga keltiriladi. Bu bilan barcha tashqi ildizlarning ko'pligi o'zgaradi.

Bunday tovush kamdan-kam eshitiladi, bundan tashqari, shunga o'xshash vazifalar haqida hech qanday dalil yo'q. Va qoida bu:

Bosqichlarni $n$ tenglashtirish bilan barcha yogo ildizlarining koʻpligi ham $n$ barobar ortadi.

Boshqacha qilib aytganda, qadamlardagi qadamlar o'sha qadamdagi ko'plikka ko'paytiriladi. Keling, amaldagi qoidani ko'rib chiqaylik:

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \o'ng))^(2))((\left(x-4 \o'ng))^(5)) )(((\left(2-x \o'ng))^(3))((\left(x-1 \o'ng))^(2)))\le 0\]

Yechim. Raqamni nolga tenglashtiramiz:

Tvir nolga teng, agar multiplikatorlardan biri nolga teng bo'lishi kerak bo'lsa. Birinchi multiplikator bilan men tushundim: $x=0$. Va eksa muammolarni keltirib chiqardi:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \o'ng))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\chap(2k \o'ng); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \o'ng)\left(2k \o'ng) \ \ & ((x)_(2))=3\chap(4k \o'ng) \\ \end(tekislash)\]

Bachimo singari, teng $((x)^(2))-6x+9=0$ boshqa koʻplikning bitta ildiziga ega boʻlishi mumkin: $x=3$. Maydonga yaqinlashishga hammamiz ehtiyot bo'laylik. Keyin, ildizning ko'pligi $2\cdot 2=4$ bo'ladi, biz buni hukm bilan yozdik.

\[((\chap(x-4 \o'ng))^(5))=0\O'ng strelka x=4\chap(5k \o'ng)\]

Xuddi shu kundalik muammolar bayrog'i bilan:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\chap(2-x \o'ng))^(3))=0\O'ngga x_(1)^(*)=2\left(3k \o'ng); \\ & ((\chap(x-1 \o'ng))^(2))=0\O'ngga x_(2)^(*)=1\chap(2k \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Bizda beshta nuqta bor edi: ikkita vikolot va uchta farbovon. Raqamlar kitobida va bannermanda ildizdan qo'rqish yo'q, u oddiygina raqamli to'g'ri chiziqda ko'rsatilgan:

Biz yaxshilangan ko'plik va zafarbovuemo intervallari bilan bizni chaqiradigan belgilarni joylashtiramiz:

Men bitta ajratilgan nuqta va bitta vikolotni bilaman

Juftlangan ko'plikning ildizi orqali yana bir nechta "nostandart" elementlar olib tashlandi. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ oʻrniga $x\in \left[ 0;2 \right)$ va $ x nuqtasi ham ajratilgan. \chapda\(3\o'ng\)$ ichida.

Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Yak bachite, bu unchalik murakkab emas. Golovne - hurmat. Reenkarnasyonlarga bag'ishlanish darsining qolgan qismi - Tim, biz juda ko'p muhokama qilganimizdek.

Oldini qayta shakllantirish

Nervnosti, kakí mi rasberem da tsemu rasdyli, katlama deb atash mumkin emas. Biroq, vídmínu víd posredníh zavdní kuni, bu erda u zasosuvati navchik z teoríí ratsionalnyh drobív sodir - ko'paytirgichlar va brínnogo znamennik haqida razkladannja.

Biz bugungi darsning boshoqlari uchun ovqatni batafsil muhokama qildik. Agar tushunmasangiz, nimani tushunasiz, til nima haqida, men orqaga o'girilib, takrorlashni maslahat beraman. Buning uchun nomuvofiqliklarni bartaraf etish usullarini siqib chiqarishning hech qanday ma'nosi yo'q, go'yo siz aylantirilgan kadrlarda "suzasiz".

Uyda, nutqdan oldin, shunga o'xshash vazifalar ham ko'p bo'ladi. Pidrozdil oxirigacha ayb hidi. Va u erda siz hatto ahamiyatsiz ilovalar uchun ham tekshiriladi. Ale, siz kabinada bo'lasiz, lekin endi bir nechta nomuvofiqlikni aniqlaymiz.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Yechim. Hammasini chapga siljitish:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

U qo'sh bayroqqa keltiriladi, arklar ochiladi va shunga o'xshash dodanki raqamlar kitobiga keltiriladi:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \o'ng)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \o'ng)\left(x-1 \ ) o'ng))(x\cdot \left(x-1 \o'ng))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \o'ng))(x\left(x-1 \o'ng)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \o'ng))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \o'ng))\le 0. \\\end(align)\]

Endi biz oldimizda klassik kasr-ratsional nerívníst, vyshennya yakoí̈ endi qiyin bo'lmaydi. Men intervallar usuli orqali muqobil usul bilan yoga bilan shug'ullanaman:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end (tekislash)\]

Bannerdan kelgan qilichbozlikni unutmang:

Barcha raqamlar raqamli to'g'ri chiziqda ko'rsatilgan va almashtiriladi:

Mo'ylov - birinchi ko'plikning ildizi. Muammosiz. Biz faqat mintaqa bizga kerak bo'lgan belgilarni qo'ydik:

Hammasi shu. O'z fikringizni yozib qoldirishingiz mumkin.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Zrozumílo, tse buv zovsym faqat bir dumba. Buning uchun biz darhol vazifaga jiddiyroq qarashimiz mumkin. I nutqiga, riven tsgo zavdannya tsílkom vídpovídaê mustaqil va nazorat robotlar z íêí̈ 8-sinfdagilar.

Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Yechim. Hammasini chapga siljitish:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Bundan oldin, qanday qilib haqoratli fraksiyalarni qo'shaloq bayroqqa olib kelish kerak, biz bu bannerlarni ko'paytirgichlarga joylashtiramiz. Raptom bir xil kamarlarni vylizut? Birinchi banner bilan bu oson:

\[((x)^(2))+8x-9=\chap(x-1 \o'ng)\chap(x+9 \o'ng)\]

Boshqalar bilan buklangan troch. O'sha yoyga ko'paytiruvchi konstantani kiritishdan tortinmang, ko'rinmaydigan drib. Esingizda bo'lsin: agar sizda koeffitsientlar soni bo'yicha boy atama bo'lsa, bu ajoyib imovirnist, chunki u koeffitsientlar soni bo'yicha onaning ko'paytmalarida (haqiqatan ham shunday bo'ladi, agar vipadkiv ko'z qisib qo'ysa diskriminant irratsionaldir).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \o'ng)\left(x-\frac(2)(3) \o'ng)= \\ & =\chap(x-1 \o'ng)\chap(3x-2 \o'ng) \end(hizala)\]

Yak bachimo, ê ta'zim: $ \ chap (x-1 \ o'ng) $. Biz asabiylashishga murojaat qilamiz va haqoratli fraktsiyalarni qo'shaloq bayroqqa aylantiramiz:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \o'ng)\left(x+9 \o'ng))-\frac(1)(\left(x-1 \o'ng)\ chap(3x-2\o'ng))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \o'ng)-1\cdot \left(x+9 \o'ng))(\left(x-1 \o'ng)\chap(x+9 \o'ng) ) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \o'ng)\left(x+9 \o'ng)\left(3x-2 \o'ng))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \o'ng)\left(x+9 \o'ng)\left(3x-2 \o'ng))\ge 0; \\ \end (tekislash)\]

Bannerni nolga tenglashtiring:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \o'ng)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( tekislash)\]

Kundalik multiplicities va zbígayutsya ildizlari. To'g'ri chiziqqa bir nechta raqamlarni beramiz:

Biz belgilarni joylashtiramiz:

Keling, dalillarni yozaylik.

Javob: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ o'ng) $.

Mo'ylov! Xuddi shunday, keyin qatorga o'qing.