Hurmat!
tsíêí o'sha ê dodatkoví uchun
Maxsus tarqatish 555 da materiallar.
Jim odamlar uchun, ular "ham emas ..."
Men jim bo'laman, kimni "bilarding...")
Nima bu "kvadrat tartibsizlik"? Ovqat yo'q!) Oling be-yak kvadratga teng va yangi belgini almashtiring "=" (Rívno) asabiylik belgisi bor-yo'qligi haqida ( > ≥ < ≤ ≠ ), biz kvadrat notekisligini ko'ramiz. Misol uchun:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Xo'sh, tushundingiz ...)
Men bu yerda zv'yazav rívnyannya bu nerívností darma emasman. O'ng tomonda, gilosning birinchi kroşesi nima bo'lsa ham kvadrat tartibsizlik - virishiti teng, buning uchun nomuvofiqlik buziladi. Sababning sabablaridan - virishuvati kvadrat tenglamaning yo'qligi avtomatik ravishda notekislikda to'liq muvaffaqiyatsizlikka olib keladi. Siz keskinliklarni tushundingizmi?) Qanday qilib, hayratlanarli, virovat kabi, kvadrat teng bo'l. U erda hamma narsa xabar qilinadi. Ushbu darsda biz o'zimiz asabiylashamiz.
Asabiylikni yo'q qilishga tayyor bo'lishi mumkin: levoruch - kvadrat trinomial ax 2 +bx+c, o'ng qo'l - nolga teng. Asabiylik belgisi mutlaqo be-yakim bo'lishi mumkin. Bu erda birinchi ikkita dumba allaqachon gilosga tayyor. Uchinchi dumbani tayyorlash kerak.
Sizga butun sayt qanday yoqadi...
Gapirishdan oldin siz uchun yana bir nechta veb-saytlarim bor.)
Siz virishenny dumbalarida mashq qilishingiz va riveningizni tanib olishingiz mumkin. Mitteva reverifikatsiyasi bilan sinov. Vchimosya - qiziqish bilan!)
funksiyalar va shunga o'xshashlar haqida bilib olishingiz mumkin.
Nerívníst - tse sonli spívvídnoshennia, scho ílustruê yolg'iz biriga o'xshash raqamlarning kattaligi. Nervnosti amaliy fanlar bo'yicha qadriyatlarni izlashda keng zastosovutsya. Bizning kalkulyatorimiz sizga bunday qiyin mavzuni hal qilishda yordam beradi, bu chiziqli tartibsizliklarni bartaraf etish usulidir.
Asabiylik nima
Haqiqiy hayotda notekis spivvídnosheniya spívvídnosya z doimiy porívnyannâm raznyh ob'ektiv: ko'proq chi pastroq, chi yaqinroq, muhimroq chi osonroq. Intuitiv ravishda biz bir ob'ekt boshqasidan kattaroq, kattaroq yoki muhimroq ekanligini intuitiv ravishda tushunishimiz mumkin, lekin aslida haqiqiy qiymatlarni tavsiflash uchun har doim teng raqamlarni izlash kerak. Har qanday belgi uchun ob'ektlarni tenglashtirish mumkin va har qanday holatda biz son notekislikni qo'shishimiz mumkin.
Agar aniq onglar uchun teng kattalik bo'lmasa, biz ularning son qiymati bo'yicha teng bo'lamiz. Agar yo'q bo'lsa, unda "teng" belgisini almashtirish, bu qiymatlar orasidagi farq boshqacha ekanligini ko'rsatishimiz mumkin. Ikkita raqam yoki matematik ob'ektlar ">" dan katta, "" dan kichik bo'lishi mumkin.<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.
Bugungi zamonaviy qiyofadagi qoidabuzarliklarning belgilarini britaniyalik matematik Tomas Garriot 1631 yilda tartibsiz spiving haqida kitob nashr etgan. ">" dan katta va "" dan kichik belgilar<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.
Mos kelmaydiganlarni ko'rish
Tenglik kabi qoidabuzarliklar har xil turdagi. Chiziqli, kvadrat, logarifmik va notekis spiving turli usullar yordamida ishlab chiqilgan. Biroq, qanday usul bo'lishidan qat'i nazar, orqa tomonning notekisligi bo'lsin, uni standart ko'rinishga keltirish kerak. Shu maqsadda tenglik turlariga o'xshash bir xil o'zgarishlar qo'lga kiritiladi.
Achchiqlanishning xuddi shunday o'zgarishi
Virazning bunday o'zgarishlari allaqachon tenglarning arvohiga o'xshaydi, ammo hid juda nozikdir, chunki asabiylashish rozvyazuvannya soatidan ehtiyot bo'lish kerak.
Birinchi transformatsiya tenglik bilan o'xshash operatsiya bilan bir xil. Asabiy chayqalishning ikkala tomoniga siz bir xil raqamni yoki noma'lum x bilan virazni qo'shishingiz yoki tanlashingiz mumkin, bu bilan asabiylashish belgisi juda ko'p bo'ladi. Ko'pincha, bu usul shaklni soddalashtirishda zastosovetsya, go'yo notekislik belgisi orqali virus a'zolarini o'tkazish, raqamning belgisini uzaytirish uchun o'zgartirish. A'zoning o'zi belgisini o'zgartirish haqida borish uchun, keyin har qanday notekislik belgisi orqali o'tkazilganda + R, - R va navpakiga o'zgartiring.
Boshqa transformatsiya ikkita nuqtaga ega bo'lishi mumkin:
- Xuddi shu musbat raqamga ko'paytirish yoki bo'linishga ruxsat beriladi. Hech qanday holatda asabiylashish belgisi o'zgarmaydi.
- Asabiylashish tomonining jinoyatlarini bir xil salbiy raqamga bo'lish yoki ko'paytirishga ruxsat beriladi. O'z-o'zidan asabiylashish belgisi teskarisiga o'zgaradi.
Aks holda, nomuvofiqliklarning bir xil o'zgarishi ekvivalentlik ko'rinishi bilan jiddiy farq bo'lishi mumkin. Birinchidan, manfiy raqamni ko'paytirish / bo'lishda, asabiy virusning belgisi har doim teskarisini o'zgartiradi. Boshqacha qilib aytganda, to'lovning qismlarini bo'lish yoki ko'paytirishga faqat raqam bilan ruxsat beriladi, lekin qasos olish mumkin bo'lmagan har qanday turdagi viraz bilan emas. O'ng tomonda, biz aniq bilmagan narsada, raqam noldan katta yoki kichik, noma'lum, chunki boshqa o'zgarishlar ham tengsizliklarga, jumladan raqamlarga nisbatan turg'undir. Keling, bu qoidalarni dumbalarda ko'rib chiqaylik.
Rozvyazuvannya nerívnosti qo'llang
Algebra boshlarida nomuvofiqliklar mavzusida turli vazifalar mavjud. Bizga viraz berilsin:
6x − 3(4x + 1) > 6.
Quloq spadiksi uchun u chapga o'tkaziladi va barcha raqamlar o'ng qo'lda.
6x − 12x > 6 + 3
Virazning haqoratli qismini -6 ga olib tashlashimiz kerak, shuning uchun biz noma'lum X ni bilsak, notekislik belgisi teskari yo'nalishda o'zgaradi.
Virishhenni tsíêí neríností mi vikoristovuvaly bo'lsa, xuddi shunday transformatsiyani haqorat qildi: barcha raqamlarni o'ng qo'l bilan belgi sifatida o'tkazdi va spívvídnoshenniyaning haqoratli tomonlarini manfiy raqamga ajratdi.
Bizning dasturimiz noma'lum narsalardan o'ch olmaslik uchun raqamli nomuvofiqliklarni hal qilish uchun kalkulyatordir. Dasturda uchta raqam uchun quyidagi teoremalar mavjud:
- yakscho A< B то A–C< B–C;
- agar A > B, keyin A-C > B-C.
Aʼzolar boʻyicha oʻrinbosari A–C Siz aytishingiz mumkin arifmetik diya: qo‘shish, ko‘paytirish yoki qo‘shish. Shu tarzda, kalkulyator avtomatik ravishda summalar, chakana, ijodiy yoki kasrlarning notekisligini hisoblab chiqadi.
Visnovok
Haqiqiy hayotda nervnostlar juda tez-tez chiyillashadi, go'yo u teng bo'lganday. Tabiiyki, asabiylashishning rivojlanishi haqida bilim kerak bo'lmasligi mumkin. Biroq, amaliy fanlarda bu tizimlarning asabiylashishi keng tarqalgan. Misol uchun, jahon iqtisodiyoti muammolarining turli xil tadqiqotlari chiziqli va kvadrat tartibsizliklar tizimlarining katlanmasına olib keladi va ko'k chiziqning notekisligi diakonlari - singdirilgan ob'ektlarning asosini bir ma'noda isbotlash uchun. Chiziqli nosimmetrikliklar tuzatish yoki o'zingizning inleysingizni qayta tekshirish uchun dasturlarimizni Vykoristovyte.
Bugun, do'stlar, kundalik snot va hissiyotlar bo'lmaydi. Ularning o'rniga men sizni 8-9-sinf algebra kursida eng yomon raqiblardan birini mag'lub etish uchun hech qanday kuchsiz yo'naltiraman.
Shunday qilib, siz hamma narsani to'g'ri tushundingiz: modul bilan nomuvofiqliklar haqida o'ting. Keling, ba'zi asosiy tamoyillarni ko'rib chiqaylik, ularning yordami uchun siz bunday vazifalarning 90% ga yaqinini engib o'tishni o'rganasiz. Va 10% reshtoyu haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, biz ular haqida yaxshi darsda gaplashamiz.
Biroq, bundan oldin, u erda qanday qabul qilishni qanday saralash kerak, men bilish kerak bo'lgan ikkita faktni taxmin qilmoqchiman. Aks holda, siz bugungi dars materiali bo'yicha bilimlarni tekshirasiz.
Nimani bilishingiz kerak
Ko'rinib turibdiki, modul bilan nomuvofiqliklarni bartaraf etish uchun ikkita so'zni bilish kerak:
- Asabiylashish qanday kuchayadi;
- Modul nima?
Keling, boshqa nuqtadan boshlaylik.
Modulning funksiyasi
Bu erda hamma narsa oddiy. Ê ikkita funktsiya: algebraik va grafik. Kob - algebraik uchun:
Uchrashuv. $x$ sonining moduli yoki bir xil son bo'lib, u manfiy emas, lekin sizga qarama-qarshi bo'lgan, tashqi $x$ bo'lgan son hali ham manfiy.
Buni shunday yozib oling:
\[\chap| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \o'ng.\]
Oddiy qilib aytganda, modul "minussiz raqam" dir. Men o'zim bu ikkilik (bu erda, oxirgi raqamdan boshlab, hech narsa ishlash kerak emas, lekin bu erda u erda minus olish sodir bo'ladi) va men talabalar-pochatkivtsiv uchun barcha buklama foydalanish.
Ko'proq geometrik dizayn. Buni bilish ham yaxshi, lekin biz yangisiga o'tish ehtimoli kamroq bo'ladi, buklanadigan va hatto maxsus usullarda, geometrik pidkhíd algebraik uchun muvaffaqiyatli (spoiler: bugun emas).
Uchrashuv. $a$ nuqta raqamlar qatorida belgilansin. Xuddi shu modul $ \ chap | x-a \right|$ bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtasiga chaqiriladi.
Agar siz rasmni kesib o'tmoqchi bo'lsangiz, uni kshtalt tsogo-da ko'rishingiz mumkin:
Modulning grafik dizayni Xo'sh, yana nima, modulning belgilanishidan darhol kalit quvvatni ko'radi: sonning moduli har doim kattalikka teng. Bu haqiqat bizning bugungi nutqimizdan o'tish uchun qizil ip bo'ladi.
Virishennya nervnosti. Intervalli usul
Endi asabiylashishni ko'rib chiqaylik. Їxísuê shaxssiz, lekin bizning vazifamiz bir vaqtning o'zida virishuvati o'ldirishdir va ulardan eng sodda bo'lishni xohlaydi. Tí, chiziqli nosimmetrikliklar uchun scho zvoditsya va intervallarni navyt usuli.
Ushbu mavzu bo'yicha menda ikkita ajoyib dars bor (mízh inshim, ko'proq, ko'proq jigarrang - vivchiti tavsiya qilaman):
- Qonunbuzarliklar uchun intervalli usul (ayniqsa, videoga qarang);
- Fraksiyonel-ratsional nomuvofiqliklar - hatto umumiy dars, lekin keyin siz ovqatni to'liq olmaysiz.
Agar siz hamma narsani bilsangiz, agar "notekislikdan tenglikka o'taylik" iborasi o'zingizni devorga qarshi o'ldirishdan juda charchaganga o'xshamasa, unda siz tayyorsiz: biz sizni asosiy darsgacha do'zaxga so'raymiz. . :)
1. Aqlning tartibsizligi "Funktsiyadan kam modul"
Bu modullar bilan eng keng ko'lamli vazifalardan biridir. Aqlning notekisligini engish kerak:
\[\chap| f\o'ng| \ltg\]
$f$ va $g$ funktsiyalarining roli ko'phadli bo'lishi mumkin. Bunday nomuvofiqliklarni qo'llang:
\[\begin(align) & \left| 2x+3\o'ng| \ltx+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]
Barcha hidlar sxemaning orqasida tom ma'noda bir qatorda joylashgan:
\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(teg) \o'ng.\o'ng)\]
Modulga ruxsat berishimiz muhim emas, lekin biz asosiy nomuvofiqlikni (aks holda, bir xil, ikkita nomuvofiqlik tizimi) olib tashlashimiz mumkin. Prote cey transfer vrakhovu mutlaqo hamma narsa mumkin bo'lgan muammolar: modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; akscho salbiy - barchasi bir xil amaliyot; Va uyning eng noadekvat funktsiyasi uchun navit $f$ chi $g$ usuli hammasi bir xil ishlaydi.
Shubhasiz, ovqatni ayblash: oddiyroq bo'lishi mumkin emasmi? Afsuski, bu mumkin emas. Kim modulning butun xususiyatiga ega.
Vtym, falsafaga yopishib oling. Keling, kunning novdasini kuylaylik:
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| 2x+3\o'ng| \ltx+7\]
Yechim. Bundan tashqari, bizdan oldin klassik nerívníst aqli "kichikroq modul" - hech narsani qayta tiklash uchun. Algoritm uchun mashq:
\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3\o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\end(hizalang)\]
Oldida "minus" mavjud bo'lgan kamarlarni ochishga shoshilmang: iloji boricha, shoshqaloqlik orqali siz majoziy afv bilan shug'ullanasiz.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]
Vazifa ikkita elementar qoidabuzarlikdan iborat edi. Parallel sonli chiziqlarda sezilarli darajada í̈x viríshennia:
Peretin ko'p
Peretin tsikh ko'paydi va aniq bo'ladi.
Mos: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]
Yechim. Buyurtma allaqachon arzimas buklangan. Kob uchun biz moduldan foydalanamiz, boshqa qo'shimchani o'ngga o'tkazamiz:
\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]
Shubhasiz, biz "kichikroq modul" shaklining yangi notekisligiga duch keldik, shuning uchun biz allaqachon mavjud algoritm uchun modulga ruxsat beramiz:
\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]
Yuqumli hurmat oqi: sizga aytsam, men troch bochenets íz kishanli mo'ylovliman. Ale, bizning asosiy metamiz nima ekanligini yana taxmin qilaman barkamol virishiti nerívníst va otrimati vydpovíd. Keyinchalik, agar siz ushbu darsda ochilgan hamma narsani puxta o'zlashtirgan bo'lsangiz, o'zingizni xohlaganingizcha burishingiz mumkin: qo'llarni oching, minuslarni qo'shing va hokazo.
Va biz uchun, boshoq uchun, biz shunchaki yovuzlikning kamsitilishiga uyg'onamiz:
\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1\o'ng)\]
Endi asosiy asabiylikning barcha yoylari ochildi:
Keling, metro asabiyligiga o'tamiz. Bu safar yorliqlar jiddiyroq bo'ladi:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]
Tengsizlikka oid huquqbuzarliklar kvadratga to'g'ri keladi va intervallar usuli bilan buziladi (lekin men sizga aytaman: siz bu nima ekanligini bilmaysiz, aksincha, modullarni hali qabul qilmang). Keling, birinchi notekislikka o'tamiz:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\chap(x+5\o'ng)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(tekislash)\]
Bachimoga o'xshab, chiqish joyida u notekis, hatto oddiy bo'lgandek, tekis bo'lib ketdi. Keling, tizimning yana bir asabiylashishini ko'rib chiqaylik. U erda Vet teoremasi zastosuvat bilan sodir bo'ladi:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(tekislash)\]
Ikki parallel chiziqdagi raqamlarni sezilarli darajada ayirib tashlang (birinchi notekislik uchun okrema va ikkinchisi uchun okrema):
Ishonchim komilki, tartibsizliklar tizimini biz bilan parchalab, biz soyali ko'paytmalar qatorlarini takrorlaymiz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse vídpovíd.
Mos: $x\in \left(-5;-2 \right)$
O'ylaymanki, ularni qo'llashdan so'ng, yechim sxemasi chegaraviy ma'noga ega bo'ldi:
- Boshqa barcha qo'shimchalarni notekislikning asosiy qismiga o'tkazib, modulni o'zlashtiring. Shu tarzda biz aqlning mos kelmasligini hisobga olamiz $\left| f\o'ng| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerívníst, yuqorida tavsiflangan sxema uchun modulni saqlab qoldi. Bir nuqtada subvariant asabiylikdan terini to'liq tiklash mumkin bo'lgan ikkita mustaqil virus tizimiga o'tish kerak.
- Nareshti, bu ikki mustaqil bo'g'inning yechimidan mahrum bo'lish - va biz faqat qoldiqni olib qo'yamiz.
Xuddi shunday algoritm, agar modul funktsiyadan kattaroq bo'lsa, haqoratli turdagi pürüzlülükler uchun ishlatiladi. Biroq, jiddiy "ale" ning novdasi bor. Keling, birdaniga qi "ale" haqida gapiraylik.
2. Aqlning tartibsizligi "Modul - bu funktsiyadan ko'proq"
Ular shunday ko'rinadi:
\[\chap| f\o'ng| \gt g\]
Oldinga o'xshaydimi? O'xshaydi. Prote vyrishyuyutsya shunday zavdannya zovsym boshqacha tarzda. Rasmiy ravishda, sxema keladi:
\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(hizalang) \o'ng.\]
Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita nuqtani ko'rishimiz mumkin:
- Boshqa tomondan, oddiygina modulni e'tiborsiz qoldiring - virishhuêmo normal nomuvofiqlik;
- 3-modulni minus belgisi bilan kengaytiramiz va keyin notekislikning noto'g'ri qismini belgidan kichik bo'lgan -1 ga ko'paytiramiz.
Ushbu variantda ular to'rtburchak kamonga ega, tobto. Ehtimol, ikki kishining nikohi.
Yana hurmatga qayting: biz tizim oldida emasmiz, lekin sukupnistmiz, da vídpovídí shaxssizlar ular birlashadilar, lekin o'zgarmaydilar. Oldingi nuqtani ko'rish juda muhim!
Vzagali, z ob'ednannymi va boy uchnív sutsílna plutanina da peretina, keling, uni qayta-qayta tsommu oziqlanishda saralaymiz:
- "∪" - ob'ednannya belgisidir. Aslida, "U" harfi bizga kelganidek stilize qilingan ingliz kinoê "Union", tobto kabi qisqartma. "Birlashma".
- "∩" - chiziq belgisi. Tsya crap ovoz kelmadi, lekin "∪" dan oldin yozilgandek vinil.
Eslab qolishni osonlashtirish uchun kelixlar chiqishi uchun shu belgilarga qadar bo'yash kifoya (o'q faqat giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda meni birdaniga chaqirishi shart emas: agar siz hamma narsani o'rgansangiz, unda siz allaqachon giyohvandsiz):
Ríznitsya mizh retinom va ob'ednannyam mnozhin Ruscha tse tarjimasida u quyidagilarni anglatadi: birlashma (ta'minot) har ikkala to'plamdan o'z elementlarini o'z ichiga oladi, ya'ni teridan kam emas; va retinal o'qi (tizim) faqat shu elementlarni o'z ichiga oladi, ular bir vaqtning o'zida birinchi multiplikatorda va boshqasida. Shuning uchun, bir nechta ta'tilning ko'paytmalari yo'q.
Bu yanada oqilona bo'ldimi? Mendan yaxshi. Keling, amaliyotga o'tamiz.
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]
Yechim. Sxema uchun Diemo:
\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \begin(hizala) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\end(hizala) \ o'ng .\]
Virishuemo teri neravníny suupností:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizala) \o'ngga.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]
Aytmoqchimanki, terini raqam chizig'iga ko'paytiraman va keyin ularni birlashtiramiz:
Ko'paytmalar birikmasi
Ko'rinib turibdiki, $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Taklif: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gtx\]
Yechim. Xo'sh, nima? Bu hech narsa - baribir. Keling, ikkita notekislikni yig'ish uchun modul bilan notekislikdan o'tamiz:
\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]
Bu terining tirnash xususiyati yo'q qiladi. Afsuski, ildiz endi u erda bo'lmaydi.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(tekislash)\]
Boshqa asabiylik ham o'yin trochiga ega:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(tekislash)\]
Endi siz ikkita eksa bo'yicha raqamlarni hisoblashingiz kerak - terining notekisligi uchun bitta eksa. Shu bilan birga, nuqtalarni to'g'ri tartibda belgilash kerak: raqam qanchalik baland bo'lsa, nuqta o'ngga ko'chiriladi.
I o'qi bu erda bizni tekshiradi. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlariga kelsak hammasi aniq ) , shuning uchun yig'indi ham kamroq) , $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ raqamlari bilan manfiydan katta), keyin qolganlari bilan er-xotin, hamma narsa juda aniq emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Víd vídpovídí tse nídpovídí tse sleazyme í, vlasne, vídpovíd soni chiziqlaridagi nuqtalarni tartibga solish.
Keling, bir ko'rib chiqaylik:
\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]
Biz ildizni tasdiqladik, notekislikning har ikki tomonidagi manfiy raqamlarni olib tashladik, shuning uchun biz noto'g'ri tomonlarni kvadratga solish huquqiga egamiz:
\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]
O'ylaymanki, $4\sqrt(13) \gt 3$, $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, o'qlardagi qolgan nuqtalar quyidagicha joylashtiriladi:
Xunuk ildizning vipadok
O'ylaymanki, biz sukupnistni ko'ramiz, shuning uchun soyali ko'paytmalarning o'zgarishi emas, balki qo'shma bo'lishi kerak.
Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\right)$
Baxit singari, bizning sxemamiz ham oddiy, ham qiyin vazifalar uchun mo''jizaviy tarzda ishlaydi. Bunday odam uchun yagona "zaif joy" - bu irratsional sonlarni malakali ravishda muvozanatlash zarurati (va burish: bu ildizdan ortiq emas). Alya ratsionga okremium (va hatto jiddiy dars) bag'ishlanadi. Va ketaylik.
3. Ko'rinmas "dumlar" bilan tartibsizliklar
Biz eng yaxshisidan uzoqlashdik. Noto'g'ri aqlning narxi:
\[\chap| f\o'ng| \gt\left| g\o'ng|\]
Ko'rinishidan, biz bir vaqtning o'zida gaplashadigan algoritm modul uchun yaxshiroqdir. Vín pratsyuê vsíh nerívnosti, de lívoruch i pravoruê kafolatli nevid'êmí vrazi turish:
Bu vazifalarning ishi nima? Faqat esda tuting:
Ko'rinmas "dumlar" bilan tartibsizliklar tabiatning bezovta qiluvchi qismlariga olib kelishi mumkin. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya tsomu da vynikne emas.
Biz bir kvadrat ichida tsikavitime zvedennya oldimizda - vín uyqu modullari, deb ildiz:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \o'ng))^(2))=f. \\end(tekislash)\]
O'qni faqat kvadratning ildizidan aldash kerak emas:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]
Agar siz modulni o'rnatishni unutishni o'rgangan bo'lsangiz, o'sha paytda shaxssiz kechirimga ruxsat berilgan! Ale tse zovsim ínsha ístoríya (tse yak bi mantiqsiz rivnyaniya), shuning uchun biz bir vaqtning o'zida tiqilib qolmaymiz. Keling, kunning spratini aniqroq ko'rib chiqaylik:
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]
Yechim. Yana ikkita so'zni hurmat qilamiz:
- Tse suvora nerívníst emas. Raqamlar qatoridagi Krapki buziladi.
- Mos kelmaslikning hujumkor tomonlari aniq ko'rinmaydi (modulning kuchi: $ \ chap | f \ chap (x \ o'ng) \ o'ng | \ ge 0 $).
Bundan tashqari, moduldan xalos bo'lish va eng yaxshi intervallar usuli yordamida vazifani bartaraf etish uchun biz notekislikning haqoratli qismlarini kvadratga solishimiz mumkin:
\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) ) ^ (2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\end(tekislash)\]
Bosqichning qolgan qismida men bir oz aldadim: qo'shimchalar ketma-ketligini o'zgartirish, modulning paritetini qisqartirish (aslida $ 1-2x $ ni -1 ga ko'paytirish).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\left(x+2 \ ) o'ng)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(hizalama)\]
Virishuemo intervallar usuli bilan. Keling, notekislikdan tekislikka o'tamiz:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(tekislash)\]
Ko'rinib turibdiki, ildiz son qatorida joylashgan. Yana bir bor: mo‘ylovi farbovani, asabiylik parchalari – Suvora emas!
Zvylnennya modul belgisiga ko'ra
O'ylaymanki, ayniqsa murosasiz bo'lganlar uchun: biz tengsizlikning qolgan qismidan belgilarni olamiz, go'yo bula tenglikka o'tishdan oldin yozilgan. Men zafarbovuyemo viloyati, yaky Shu notekislik kerak. Bizning vipadda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ bor.
Xo'sh, mendan hamma narsa. Vazifa tugadi.
Taklif: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]
Yechim. Robimo baribir. Men izoh bermayman - shunchaki harakatlar ketma-ketligiga hayron bo'ling.
Keling, kvadratni olaylik:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) ) ((x)^(2))+3x+4 \o'ng| \o'ng))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]
Interval usuli:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing. \\end(tekislash)\]
Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz:
Vidpovid - tsiliy interval
Taklif: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Boshning qolgan qismiga ozgina hurmat. Go'yo o'quvchilarimdan birini hurmat qilgandek, pastki modulning haqoratlari bu asabiylashishda aniq ijobiydir, modul belgisi sog'likka zarar bermasdan o'tkazib yuborilishi mumkin.
Ale tse allaqachon zovsym ínshiy ríven razdumív deb ínshí pídkhíd yogo aqliy nasledkív usuli deb atash mumkin. Okremou urotsidagi yangilik haqida. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz, ya'ni universal algoritm bo'lib, u abadiy qo'llaniladi. Navit keyin, barcha oldinga ojiz bo'lib chiqsa.
4. Variantlarni sanab o'tish usuli
Va nima uchun barcha priyomi yordam bermaydi? Qanday qilib notekislik ko'rinmas quyruqlardan kelib chiqmasligi mumkin, modul qanday kiritilmaydi, qanday boshlash mumkin?
Keyin barcha matematikaning katta artilleriyasi bosqichga kiradi - sanab o'tish usuli. Moduldagi yuzlab qoidabuzarliklar quyidagicha ko'rinadi:
- Barcha pídmodulni vrazi yozing va ularni nolga tenglashtiring;
- Rozvyazati otrimani rívnyannya deb bir sonli to'g'ri chiziq ustida víznázchiti znaydení korení;
- To'g'ridan-to'g'ri kílka dylyanok ustida rozíb'êtsya, bunday charm modulning o'rtasi belgini tuzatishi mumkin va bu aniq rozkrivaetsya;
- Virishiti nerívníst kozhnyy bunday dilyanci haqida (siz ustunlik uchun 2-bandda ildiz-kordoni, otrimani ko'rishingiz mumkin). Uyushma natijalari - tse i bude vídpovíd.
Xo'sh, yak? Zaifmi? Osonlik bilan! Uzoq muddatga. Keling, amaliy jihatdan ko'rib chiqaylik:
Menejer. Asabiylikni bartaraf qilish uchun:
\[\chap| x+2 \o'ng| \lt\chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]
Yechim. Tsya axlat g'azablanmaydi $ \ chap | f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt\chap| g \right|$, hammasi joyida.
Biz submodulyar virazi yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va biz ildizni bilamiz:
\[\begin(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \& x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\end(tekislash)\]
Birgalikda biz ikkita ildizga egamiz, ular raqamli chiziqni uchta uchastkaga ajratadi, bu terilarning o'rtasida modul aniq bir ma'noga ega:
Raqam chizig'ini submodulyar funktsiyalarning nolga bo'lish
Keling, teri okremosini ko'rib chiqaylik.
1. $x \lt -2$ bering. Todi haqorat qiladi pídmodulní virazi salbiy, men vihídna nerívníst shunday qayta yozaman:
\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\end(tuzalash)\]
Zdobuli dosit faqat obmezhennya. Keling, $x \lt -2$ qolgan imtiyozlar bilan yoga harakat qilaylik:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]
Ko'rinib turibdiki, $x$ ning o'zgarishi bir kechada -2 dan kam bo'lmasligi mumkin, lekin 1,5 dan ortiq. Bu biznes uchun hech qanday yechim yo'q.
1.1. Okremo yaqin-kordon vipadok $x=-2$ qarash. Keling, bu raqamni nomuvofiqliksiz va tasdiqlangan holda tasavvur qilaylik: nega u g'alaba qozondi?
\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \left| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \chap| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing. \\end(tekislash)\]
Ko‘rinib turibdiki, tilshunos bizni aql bovar qilmaydigan darajada aldab qo‘ygan. Otzhe, vyhídne nerívníst tezh noto'g'ri, í $x=-2$ vydpovíd kirmang.
2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bering. Kutubxona moduli allaqachon ortiqcha bilan ishlab chiqilmoqda, ammo to'g'risi hali ham minus bilan. Maemo:
\[\boshlang(tuzala) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\end (tekislash)\]
Men uni vikidnoy vimoga bilan yana o'zgartiraman:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]
Men bo'sh shaxssiz yechimni yangilayman, bir vaqtning o'zida -2,5 dan kam bo'lgan va -2 dan ortiq bo'lgan bunday raqamlarning parchalari yo'q.
2.1. Men okremy vipadokni yangilayman: $ x = 1 $. Tasavvur qilaylik, chiqish notekis:
\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \chap| 3\o'ng| \lt\chap| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing. \\end(tekislash)\]
Oldinga "xususiy tushish"ga o'xshab, $x=1$ raqami tushishga kiritilmagani aniq.
3. Qolgan qism tekis: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan egilgan:
\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]
Men tashqi almashinuvlarning ko'pligini yana bir bor qayta ko'rib chiqaman:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \o'ng.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty) \o'ng)\]
Xo'sh, oling! Biz povyddu bo'ladi interval, bilar edi.
Taklif: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Nasamkinets - bitta hurmat, chunki haqiqiy vazifalar bajarilganda sizni yomon kechirimlardan qutqaradi:
Virishennya nerívívnosti z modullari zvích ê sutsílní míniní nítínyy prímíy - ínvílí í vídrízki. Izolyatsiya qilingan nuqtalar sekinroq tutiladi. Eritmalar (kínets vydrízka) o'rtasida tahlil qilinadigan diapazondan tashqariga chiqishi uchun tuzoqqa tushish ehtimoli ko'proq.
Go'yo kordonlar (bu "shaxsiy vipadki" larning o'zlari) qo'riqchilarga kirmagani uchun, mayzhe, qo'shiq kuylab, qo'riqchilarga va bu kordonlarga kirish uchun yovuz huquqli hududga bormang. Í navpaki: kordon uvíyshov u vydpovíd - otzhe, va yakís oblastlar navpaki tezh vydpovydy bo'ladi.
Agar qaroringizni o'zgartirsangiz, bu haqda unutmang.
Nerívníst ce viraz c, ≤ yoki ≥. Masalan, 3x - 5 Virishity nomuvofiqligi o'zgarishning barcha ma'nolarini bilishni anglatadi, buning uchun nomuvofiqlik to'g'ri. Bu raqamlarning terisi nomuvofiqlikni hal qiladi, ammo bunday echimlarning shaxsiy muvaffaqiyati yogadir. shaxsiy bo'lmagan yechim. Nervnosti, yaky mayut shunday shaxssiz qaror, deyiladi teng tartibsizliklar.
Chiziqli tartibsizliklar
Noqonuniyliklarni bartaraf etish tamoyillari tengliklarni ochish tamoyillariga o'xshaydi.Qonunbuzarliklarni bartaraf etish tamoyillari
Har qanday haqiqiy a, b va c sonlar uchun:
Noqonuniyliklarni qo'shish printsipi: Yakscho a Nosimmetrikliklar uchun ko'paytirish printsipi: 0 kabi rost, AC kabi miloddan avvalgi kabi ham to'g'ri.
Shunga o'xshash qotib qolishlar ham a ≤ b uchun to'xtaydi.
Agar asabiylikning bezovta qiluvchi tomonlari manfiy songa ko'paysa, asabiylashish belgisini yana o'zgartirish kerak.
Birinchi darajadagi nosimmetrikliklar, masalan, 1-sonli (pastki) kabi chiziqli tartibsizliklar.
dumba 1 Bunday asabiylashishdan terini yechish uchun. Shaxssiz atirgullarni tasvirlaylik.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Yechim
Bu raqam bo'lsin, 11/5 dan kam, ê qarorlar.
Shaxssiz qaror ê (x|x
Qayta ko'rib chiqish uchun y 1 = 3x - 5 va y 2 = 6 - 2x grafigini chizishimiz mumkin. Biroq, x uchun bu aniq 
Anonim yechim ê (x|x ≤ 1), yoki (-∞, 1) Quyidagi rasm yechim ko'paytmasining grafigi. 
Asosan asabiylashish
Agar ikkita nomuvofiqlik so'z bilan qo'shilsa і, yoki keyin shakllanadi asosiy asabiylashish. Podvyyna nerívnyst, yak
-3
і 2x + 5 ≤ 7
chaqirdi z'ednanim, yangi vikoristanoda bunga і. Yozuv -3. Asosiy nomuvofiqliklarni turli tamoyillar, nomuvofiqliklarni qo'shish va ko'paytirish orqali bartaraf etish mumkin.
dumba 2 Virishit -3 Yechim Bizda a
Shaxssiz qaror (x|x ≤ -1 yoki x > 3). Interval va belgisining turli ta'riflari uchun yechim ham yozishimiz mumkin uyushma aks holda ikkala karrali ham kiritiladi: (-∞ -1] (3, ∞) 
Qayta tekshirish uchun y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 va y 3 = 1 deyishimiz mumkin. (x|x ≤ -1) yoki x > 3), y 1 ≤ y 2 yoki y 1 > y 3. 
Mutlaq qiymatlar bilan tartibsizliklar (modul)
Nervností inodí místíat modullari. Keyingi xususiyatlar ularning mukammalligi uchun zastosovuyutsya.
a > 0 uchun bu algebraik virus x:
|x| |x| > a x chi x > a ga ekvivalent.
|x| uchun o'xshash bayonotlar ≤ a va |x| ≥ a.
Misol uchun,
|x| |y| ≥ 1 y ≤ -1 ga ekvivalent yoki y ≥ 1;
va |2x + 3| ≤ 4 -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4 ga ekvivalent.
dumba 4 Bunday asabiylashishdan terini yechish uchun. Bir nechta qarorlar jadvalida qoling.
a) | 3x+2 | b) |5 - 2x| ≥ 1
Yechim
a) | 3x+2 |
b) |5 - 2x| ≥ 1
Anonim yechim ê (x|x ≤ 2 yoki x ≥ 3) yoki (-∞, 2] )
