Respect!
Za tsíêí̈ one ê dodatkoví
materijala u Specijalnoj distribuciji 555.
Za tihe, koji su snažno "ne previše..."
Ja za tišinu, ko "jesi znao...")
Šta je "kvadratna nepravilnost"? Bez hrane!) Uzmi be-yak kvadrat jednak i zamijenite novi znak "=" (Rívno) o tome da li postoji znak nervoze ( > ≥ < ≤ ≠ ), vidimo kvadratne neravnine. Na primjer:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Pa, shvatio si...)
Ja nisam darma ovdje zv'yazav rívnyannya da nerívností. Na desnoj strani, u činjenici da je prvo heklanje od trešnje kako god kvadratna nepravilnost - virishiti jednak, za koji je nedosljednost prekinuta. Iz razloga za razlog - nedostatak virišovati kvadrata izjednačenja automatski dovodi do totalnog kvara u neravninama. Jeste li shvatili napetosti?) Kao što, čudo, kao virovat, budi kao kvadrat jednak. Tamo je sve prijavljeno. Na ovoj lekciji ćemo se sami pozabaviti nervima.
Spremni za otklanjanje nervoze mogu izgledati: levoruch - kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, dešnjak - nula. Znak nervoze može biti apsolutno be-yakim. Prva dva dupeta ovde već spreman za trešnje. Treću zadnjicu treba pripremiti.
Kako vam se svidja cela stranica...
Prije nego što razgovaramo, imam još nekoliko web stranica za vas.)
Možete vježbati na virishennym guzicima i prepoznati svoj riven. Testiranje sa mitteva reverifikacijom. Vchimosya - sa interesovanjem!)
možete naučiti o funkcijama i sličnim.
Nerívníst - tse numerička spívvídnoshennia, scho ílustruê veličina brojeva kao jedan sam. Nervnosti se široko zastosovuju kada se traže vrednosti u primenjenim naukama. Naš kalkulator će vam pomoći da se nosite sa tako teškom temom, kao načinom da otkrijete linearne nepravilnosti.
Šta je nervoza
Neujednačena spivvídnosheniya u stvarnom životu spívvídnosya z konstantnim porívnyannâm raznyh ob'ektiv: više chi niže, više chi bliže, važnije chi lakše. Intuitivno možemo intuitivno shvatiti da je jedan objekt veći, veći ili važniji od drugog, ali u stvari uvijek treba tražiti jednake brojeve za karakterizaciju stvarnih vrijednosti. Moguće je izjednačiti objekte za bilo koji predznak iu svakom slučaju možemo zbrojiti numeričke neravnine.
Ako ne postoji veličina za određene umove jednake, tada postajemo jednaki u smislu njihove numeričke vrijednosti. Ako ne, onda zamjenom znaka "jednako" možemo naznačiti da li je inače razlika između ovih vrijednosti. Dva broja ili matematički objekti mogu biti veći od ">", manji od "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.
Znakove nepravilnosti u današnje vrijeme predvidio je britanski matematičar Thomas Garriot, koji je 1631. godine objavio knjigu o nepravilnom špijuniranju. Znakovi veći od ">" i manji od "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.
Vizija nedosljednosti
Nepravilnosti, kao i jednakosti, su različite vrste. Različitim metodama se razvijaju linearni, kvadratni, logaritamski i neravnomjerni spiming. Međutim, bez obzira na metodu, bilo da se radi o neravninama leđa, potrebno ga je dovesti do standardnog izgleda. U tom cilju dobijaju se iste transformacije, identične tipovima jednakosti.
Ista transformacija razdražljivosti
Takve transformacije viraza već su slične duhu jednakih, međutim, smrad je nijansiran, jer je važno čuvati se od časa rozvyazuvannya razdražljivosti.
Prva transformacija je identična analognoj operaciji sa jednakostima. Na obje strane nervoznog špijuniranja možete dodati ili odabrati isti broj, ili viraz sa nepoznatim x, sa kojim će znak nervoze postati previše. Najčešće, ova metoda se zastosovetsya u pojednostavljenjima oblika, kao da prenosi članove virusa kroz znak neravnine, mijenjajući znak broja u produženje. Za promjenu znaka samog člana, zatim + R kada se prenese kroz bilo koji znak neravnine, promijenite u - R i navpaki.
Druga transformacija može imati dvije tačke:
- Dozvoljeno je množenje ili dijeljenje istim pozitivnim brojem. Znak nervoze se neće promijeniti ni pod kojim okolnostima.
- Prekršaji na strani nervoze se mogu podijeliti ili pomnožiti istim negativnim brojem. Znak samonervoze će se promijeniti u suprotan.
Inače, ista transformacija nedosljednosti može biti ozbiljna razlika sa pojavom ekvivalencije. Prvo, pri množenju/dijeljenju na negativan broj, znak nervne viraze uvijek će se promijeniti obrnuto. Na drugi način, dijeljenje ili množenje dijelova uplate dozvoljeno je samo brojem, a ne bilo kakvim virzom koji se ne može osvetiti. Desno, u onome što ne možemo sa sigurnošću znati, broj je veći ili manji od nule, nepoznato je, jer i ta druga transformacija stagnira do nejednakosti, uključujući brojeve. Pogledajmo ova pravila u guzici.
Primijenite rozvyazuvannya nerívnosti
Na čelu algebre su različiti zadaci na temu nedosljednosti. Neka nam se da viraz:
6x − 3(4x + 1) > 6.
Za spadiks uha prenosi se na lijevo, a svi brojevi su desnoruki.
6x − 12x > 6 + 3
Potrebno je da uvredljivi dio virusa subdiliramo za -6, da bi se, ako znamo nepoznato x, predznak neravnine promijenio u suprotnom smjeru.
U slučaju virishhenni tsíêí̈ neríností mi vikoristovuvaly uvrijedili su istu transformaciju: prenijeli su sve brojeve na desno kao znak i podijelili uvredljive strane spívvídnoshennia u negativan broj.
Naš program je kalkulator za rješavanje brojčanih nedosljednosti, kako se ne bismo osvetili nepoznatom. Program ima sljedeće teoreme za spívvídnoshen tri broja:
- yakscho A< B то A–C< B–C;
- ako je A > B, onda A-C > B-C.
Zamjenik šefa članova A–C Možete reći da li aritmetička diya: zbrajanje, množenje ili zbrajanje. Na ovaj način, kalkulator će automatski izračunati neujednačenost zbroja, maloprodajnih, kreativnih ili razlomaka.
Visnovok
U stvarnom životu nervnosti cvrkuću tako često, kao da su jednake. Naravno, možda neće trebati znanje o razvoju nervoze. Međutim, u primijenjenim naukama, nervoza ovih sistema je nadaleko poznata. Na primjer, različita istraživanja problema globalne ekonomije dovode do savijanja sistema linearnih i kvadratnih nepravilnosti, a đakonije neravnina plave linije - na nedvosmislen način dokazivanja osnova sing objekata. Vykoristovyte naše programe za ispravljanje linearnih nepravilnosti ili ponovnu provjeru vlastitih inleja.
Danas, prijatelji, neće biti svakodnevnih šmrcova i sentimenta. Kao zamenu za njih, bez ikakve snage ću vas uputiti da pobedite jednog od najgorih protivnika na kursu algebre od 8. do 9. razreda.
Dakle, sve ste ispravno shvatili: razgovarajte o nedosljednostima s modulom. Pogledajmo neke od glavnih principa uz pomoć kojih ćete naučiti prevladati blizu 90% takvih naloga. A šta je sa 10% reshtoyu? Pa, pričaćemo o njima na dobroj lekciji.
Međutim, prije toga, kako to riješiti kako to tamo prihvatiti, nagađam dvije činjenice koje bi bilo neophodno znati. U suprotnom ćete provjeriti znanje o gradivu današnje lekcije.
Šta treba da znate
Očigledno je da je za rješavanje nedosljednosti sa modulom potrebno znati dvije riječi:
- Kako nervoza bjesni;
- Šta je modul?
Počnimo od druge tačke.
Funkcija modula
Ovdje je sve jednostavno. Ê dvije funkcije: algebarska i grafička. Za klip - algebarski:
Imenovanje. Modul broja $x$ je ili isti broj, koji nije negativan, ali broj koji je suprotan vama, a koji je vanjski $x$, je i dalje negativan.
Snimite to ovako:
\[\lijevo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\end(align) \right.\]
Pojednostavljeno rečeno, modul je „broj bez minusa“. Ja sam u ovoj dualnosti (ovdje, od posljednjeg broja, ništa ne treba raditi, ali ovdje se dešava da pokupim minus tamo) i koristim sve preklapanje za studente-pochatkivtsiv.
Više geometrijskog dizajna. Također je dobro znati, ali manje je vjerovatno da ćemo doći do novog na sklopive, pa čak i posebne načine, geometrijski pidkhíd uspješan za algebarsku (spoiler: ne danas).
Imenovanje. Neka je tačka $a$ označena na brojevnoj pravoj. Isti modul $ \ lijevo | x-a \right|$ se poziva od tačke $x$ do tačke $a$ na ovoj pravoj.
Ako želite da pređete sliku, onda je možete videti na kshtalt tsogo:
Grafički dizajn modula Pa šta drugo, iz oznake modula, odmah se vidi ključna snaga: modul broja je uvijek jednak veličini. Ova činjenica će biti crvena nit koja prolazi kroz sav naš današnji diskurs.
Virishennya nerívnosti. Intervalna metoda
Pogledajmo sada nervozu. On je bezlično, ali naš zadatak je odmah da ubijemo virishuvati želeći da budemo najjednostavniji od njih. Tí, scho zvoditsya na linearne nepravilnosti, i navít metoda intervala.
Na ovu temu imam dvije odlične lekcije (mízh ínshim, više, više smeđe - preporučujem vivchiti):
- Intervalna metoda za nepravilnosti (posebno pogledajte video);
- Frakcijsko-racionalne nedosljednosti - čak i opća lekcija, ali tada ne dobivate dovoljno hrane.
Ako sve znate, ako fraza "pređimo iz neravnine u jednakost" ne zvuči kao da ste ludo umorni od ubijanja u zid, onda ste spremni: ljubazno vas molimo do đavola do glavne lekcije . :)
1. Nepravilnost uma "Modul manje od funkcije"
Ovo je jedan od najopsežnijih zadataka s modulima. Neophodno je prevazići neujednačenost uma:
\[\lijevo| f\right| \ltg\]
Uloga funkcija $f$ i $g$ mogu biti, ili inače, polinomi. Primijenite takve nedosljednosti:
\[\begin(align) & \left| 2x+3\desno| \ltx+7; \\ & \lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\levo(x+1 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo| ((x)^(2))-2\lijevo| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(poravnati)\]
Svi smradovi su bukvalno u jednom redu iza šeme:
\[\lijevo| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(poravnati) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(poravnati) \desno.\desno)\]
Nije bitno da li je modul pošteđen, ali možemo ukloniti osnovnu nedosljednost (inače, isti, sistem od dvije nedosljednosti). Prote cey transfer vrakhovu apsolutno sve mogući problemi: ako je broj ispod modula pozitivan, metoda radi; akscho negativno - sve isto praksa; I navit za najneadekvatniju funkciju kuće $f$ chi $g$ metoda svejedno radi.
Očigledno, krivite hranu: zar ne može biti jednostavnije? Nažalost, to nije moguće. Ko ima sve karakteristike modula.
Vtim, drži se filozofiranja. Zapevajmo grančicu dana:
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| 2x+3\desno| \ltx+7\]
Rješenje. Također, pred nama je klasični nerívníst um "manji modul" - ništa prepraviti. Vježbajte algoritam:
\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Strelica desno -g \lt f \lt g; \\ & \lijevo| 2x+3\desno| \lt x+7\Strelica desno -\lijevo(x+7 \desno) \lt 2x+3 \lt x+7 \\kraj (poravnati)\]
Nemojte žuriti da otvarate lukove, ispred kojih je "minus": koliko god je to moguće, kroz žurbi ćete se prepustiti figurativnom pomilovanju.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Zadatak je bio do dvije elementarne nepravilnosti. Značajno njihov viríshennia na paralelnim numeričkim linijama:
Peretin multiple
Peretin tsikh se umnožio i biće jasno.
Podudaranje: $x\in \levo(-\frac(10)(3);4 \desno)$
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno|+3\lijevo(x+1 \desno) \lt 0\]
Rješenje. Narudžba je već sitnica presavijena. Za klip koristimo modul, prenoseći još jedan dodatak na desno:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \lt -3\lijevo(x+1 \desno)\]
Očigledno, suočeni smo sa novom neujednačenošću oblika „manji modul“, pa dopuštamo modul za već postojeći algoritam:
\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Osovina zaraze poštuje: da vam kažem, ja sam troch bochenets íz brkove sa okovima. Ale, pogodit ću opet koji je naš ključni meta kompetentno virishiti nerívníst i otrimati vídpovíd. Uostalom, ako ste temeljito savladali sve što je otkriveno u ovoj lekciji, možete se uvijati kako želite: raširite ruke, dodajte minuse itd.
A za nas, za klip, samo ćemo se probuditi na minus koji potkopava zlo:
\[-\left(-3\left(x+1 \desno) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lijevo(x+1\desno)\]
Sada su se otvorili svi svodovi osnovne nervoze:
Pređimo na nervozu u podzemnoj željeznici. Ovaj put će tabovi biti ozbiljniji:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(poravnati) \desno.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( poravnati)\desno.\]
Prekršaji neravnine se kvadriraju i krše metodom intervala (ali ja ću vam reći: ne znate šta je to, radije, nemojte još preuzimati module). Pređimo na prvu neravninu:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\lijevo(x+5\desno)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\end(poravnati)\]
Kao bachimo, na izlazu je išlo neravnomjerno, ravnomjerno, kao da je elementarno. Pogledajmo sada još jednu nervozu sistema. Tu se dešava da zastosuvat Vietovu teoremu:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\end(poravnati)\]
Značajno oduzmite brojeve na dvije paralelne prave (okrema za prvu neravninu i okrema za drugu):
Pa, siguran sam da ćemo, razdvajajući sistem nepravilnosti sa nama, ponoviti redove množitelja senčenja: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tse ê vídpovíd.
Podudaranje: $x\in \lijevo(-5;-2 \desno)$
Mislim da je nakon njihove primjene shema rješenja imala granični smisao:
- Asimilirajte modul, prenoseći sve ostale dodatke na glavni dio neravnine. Na ovaj način uzimamo u obzir nedosljednost uma $\left| f\right| \ltg$.
- Virishiti tsyu nerívníst, pošto je poštedio modul za gore opisanu shemu. U nekom trenutku, potrebno je preći sa podvarijantne nervoze na sistem dva nezavisna virusa, čija se koža može potpuno popraviti.
- Nareshti, biti lišen rešenja ova dva nezavisna sloga - i sve što oduzimamo je ostatak.
Sličan algoritam se koristi za grubosti napadačkog tipa, ako je modul veći od funkcije. Međutim, postoji grančica ozbiljnog "ale". Hajdemo odmah o qi "ale".
2. Nepravilnost uma "Modul je više od funkcije"
izgledaju ovako:
\[\lijevo| f\right| \gt g\]
Izgleda kao prednji? Izgleda. Prote vyrishyuyutsya tako zavdannya zovsím na drugačiji način. Formalno, shema dolazi:
\[\lijevo| f\right| \gt g\Strelica udesno \levo[ \begin(poravnati) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\end(poravnati) \desno.\]
Drugim riječima, možemo vidjeti dvije tačke:
- S druge strane, jednostavno zanemarite modul - virishhuêmo normalna nedosljednost;
- Hajde da suštinski proširimo modul 3 sa predznakom minus, a zatim ćemo pomnožiti uvredljivi deo neravnine sa −1, što je manje od predznaka.
U ovoj varijanti imaju četvrtastu mašnu, tobto. možda bi brak dvoje mogao.
Opet uzvratite poštovanje: nismo pred sistemom, već sukupnistom, kod vídpovídí bezličnih ujedinjuju, ali se ne mijenjaju. Važno je vidjeti prednju tačku!
Vzagali, z ob'ednannymi i peretina u bogatoj uchnív sutsílna plutanina, hajde da to iznova i iznova sredimo u tsommu prehrani:
- "∪" - je znak ob'ednannya. Zapravo, slovo “U” je stilizovano, kako nam je i došlo engleski filmê skraćenica poput “Union”, tobto. "Unija".
- "∩" je oznaka linije. Tsya sranje zvuk nije došao, već samo vinil kao što je napisano prije "∪".
Da biste lakše zapamtili, samo obojite do ovih znakova, tako da keliksi (samo osovina ne treba odmah da me zove u propagandi narkomanije i alkoholizma: ako naučite svu lekciju, onda ste već narkoman):
Ríznitsya mizh retinom i ob'êdnannyam mnozhin U prijevodu ruskog tse, to znači sljedeće: sjedinjenje (snabdijevanje) uključuje vlastite elemente iz oba skupa, to jest ništa manje od kožnog; a osovina (sistem) retine uključuje samo one elemente, koji se istovremeno nalaze u prvom multiplikatoru, a u drugom. Dakle, više nema višestrukih odmora.
Da li je postalo razumnije? Od mene dobro. Pređimo na praksu.
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\]
Rješenje. Diemo za shemu:
\[\lijevo| 3x+1 \desno| \gt 5-4x\Strelica desno \levo[ \početak(poravnati) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\levo(5-4x \desno) \\end(poravnati) \ desno .\]
Virishuemo kožu nerívníní suupností:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(poravnati) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(poravnati) \desno.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Mislim, pomnožit ću kožu brojevnom linijom, a onda ćemo ih kombinirati:
Kombinacija višestruka
Sasvim je očigledno da je $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Prijedlog: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gtx\]
Rješenje. Pa, šta? To ništa - svejedno. Idemo kroz neravnine sa modulom do agregacije dvije neravnine:
\[\lijevo| ((x)^(2))+2x-3 \desno| \gt x\Strelica desno \levo[ \begin(poravnati) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\kraj (poravnaj) \desno.\]
Ublažava iritaciju kože. Nažalost, root više neće biti tamo.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\end(poravnati)\]
Druga nervoza takođe ima trošak igre:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\end(poravnati)\]
Sada trebate izračunati brojeve na dvije ose - jedna osa za neravnine kože. Međutim, potrebno je označiti tačke ispravnim redoslijedom: što je broj veći, to je tačka više pomjerena udesno.
Í os ovdje nas provjerava. Što se tiče brojeva $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sve je jasno ) , tako da je i zbir manji) , sa brojevima $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ broj je veći od negativnog), zatim sa ostatkom par, nije sve tako jasno. Što je veće: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ili $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Víd vídpovídí tse nídpovídí tse sleazyme raspoređivanje tačaka na brojevnim pravima í, vlasne, vídpovíd.
Pa hajde da pogledamo:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]
Potvrdili smo korijen, oduzeli negativne brojeve s obje strane neravnine, tako da imamo pravo kvadrirati pogrešne strane:
\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]
Mislim da sam shvatio da je $4\sqrt(13) \gt 3$, da je $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, ostale tačke na osi će biti raspoređene na sljedeći način:
Vipadok ružnog korijena
Pretpostavljam, vidimo sukupníst, zato je potrebno imati džoint, a ne preslagivanje višestrukih sjenčanja.
Odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \desno)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
Kao i Bachite, naša shema čudesno radi i za jednostavne i za teške zadatke. Jedino "slabo mjesto" za takvu osobu je potreba za kompetentnim balansiranjem iracionalnih brojeva (i okret: to nije više od korijena). Alya će biti posvećena okremijumu za obroke (pa čak i ozbiljnu lekciju). I idemo.
3. Nepravilnosti sa nevidljivim "repovima"
Pobjegli smo od najboljih. Cijena neujednačenog uma:
\[\lijevo| f\right| \gt\lijevo| g\desno|\]
Čini se da je algoritam, o kojem ćemo odmah govoriti, bolji za modul. Vín pratsyuê vsíh nerívnosti, de lívoruch i pravoruê stoje zajamčeno nevid'êmní vrazi:
Kakav je rad ovih zadataka? Samo se sjeti:
Nepravilnosti sa nevidljivim "repovima" mogu uzrokovati vrijeđanje dijelova prirodnog svijeta. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya at tsomu not vynikne.
Pred nama smo tsikavitime zvedennya u kvadratu - vín moduli za spavanje koji korijen:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \&((\lijevo(\sqrt(f) \desno))^(2))=f. \\end(poravnati)\]
Osa samo ne mora biti prevarena iz korijena kvadrata:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Bezlična pomilovanja su bila dozvoljena u tom trenutku, ako ste naučili da zaboravite instalirati modul! Ale tse zovsim ínsha ístoríya (tse yak bi iracionalna rívnyannia), tako da nećemo odmah zaglibiti. Pogledajmo jasnije papalinu dana:
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| x+2 \desno|\ge \levo| 1-2x \desno|\]
Rješenje. Opet, poštujemo dvije riječi:
- Tse ne suvora nerívníst. Krapki na brojevnoj liniji će biti slomljen.
- Uvredljive strane nedosljednosti se jasno ne vide (snaga modula: $ \ lijevo | f \ lijevo (x \ desno) \ desno | \ ge 0 $).
Također, možemo kvadrirati uvredljive dijelove neravnine kako bismo se riješili modula i eliminisali zadatak koristeći najbolju metodu intervala:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) ) ^ (2)); \\ & ((\lijevo(x+2 \desno))^(2))\ge ((\lijevo(2x-1 \desno))^(2)). \\end(poravnati)\]
U ostatku faze, malo sam prevario: promijenio redoslijed sabiranja, skratio paritet modula (zapravo, množio $1-2x$ sa -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ) desno)\desno)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \desno)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Virishuemo metodom intervala. Idemo od neravnine ka poravnanju:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\end(poravnati)\]
Očigledno, korijen se nalazi na brojevnoj pravoj. Još jednom: brkovi mrlja farbovani, krhotine nervoze - ne Suvora!
Zvílnennya prema znaku modula
Valjda za one koji su posebno beskompromisni: uzimamo znakove iz ostatka neravnine, kao da je bula zapisana prije prelaska na ravnu. Ja zafarbovuyemo region, yakí treba u istoj neravnine. Naš vipad ima $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Pa, od mene sve. Zadatak je završen.
Prijedlog: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| ((x)^(2))+x+1 \desno|\le \levo| ((x)^(2))+3x+4 \desno|\]
Rješenje. Robimo svejedno. Ne komentarišem - samo se čudim redosledu radnji.
Uzmimo kvadrat:
\[\begin(poravnati) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left ) ((x)^(2))+3x+4 \desno| \desno))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \desno))^(2)); \\ & ((\levo(((x)^(2))+x+1 \desno))^(2))-((\levo(((x)^(2))+3x+4 \ desno))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \desno)\puta \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \desno)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Metoda intervala:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Desna strelica x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strelica desno D=16-40 \lt 0\Strelica desno \varnothing. \\end(poravnati)\]
Samo jedan korijen na brojevnoj pravoj:
Vidpovid - tsiliy interval
Prijedlog: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.
Malo postovanja za ostatak glave. Kao da je poštovao jednog od mojih učenika, uvrede podmodula su jasno pozitivne u ovoj nervozi, znak modula se može izostaviti bez štete po zdravlje.
Ale tse već zovsím ínshiy ríven razdumív da ínshí pídkhíd yogo se mentalno može nazvati metodom nasledkív. O novom u okremou urotsi. A sada pređimo na završni dio današnje lekcije, to je univerzalni algoritam, koji se vječno praktikuje. Navit onda, ako se svi prednjaci ispostavi da su nemoćni.
4. Metoda za nabrajanje opcija
A zašto svi priyomi ne pomognu? Kako neravnine ne izazivaju nevidljivi repovi, kako se ne ulazi u modul, kako se može pokrenuti?
Tada na scenu stupa velika artiljerija sve matematike – metoda nabrajanja. Stotine nepravilnosti iz modula izgleda ovako:
- Zapišite sve pídmodulní vrazi i izjednačite ih sa nulom;
- Rozvyazati otrimani rívnyannya i víznacheti znaydení korijeni na jednoj numeričkoj pravoj liniji;
- Izravno rozíb'êtsya na kílka dílyanok, sredina takvog kožnog modula može popraviti oznaku i to je nedvosmisleno rozkrivaêêtsya;
- Virishiti nerívníst na kozhníy íy dilyanci (možete pogledati korijen-cordoni, otrimani u paragrafu 2 za nadmoć). Rezultati udruženja - tse i bude vídpovíd.
Pa jak? Slabo? Polako! Za dugo vremena. Pogledajmo praktično:
Menadžer. Da oslobodite nervozu:
\[\lijevo| x+2 \desno| \lt\lijevo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Rješenje. Tsya sranje nemoj se iritirati $ \ lijevo | f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ ili $\left| f\right| \lt\lijevo| g \right|$, to je u redu.
Pišemo submodularne virazi, izjednačavamo ih sa nulom i znamo korijen:
\[\begin(align) & x+2=0\Strelica desno x=-2; \& x-1=0\Strelica desno x=1. \\end(poravnati)\]
Zajedno imamo dva korijena, koji dijele broj ravno u tri dijagrama, u sredini ovih skinova modul se nedvosmisleno odvija:
Dijeljenje brojevne linije sa nulama submodularnih funkcija
Pogledajmo okremo kožu.
1. Dajte $x \lt -2$. Todi vrijeđa pídmodulní virazi negativno, ja vihídna nerívníst prepišem ovako:
\[\begin(poravnati) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(align)\]
Zdobuli dosit samo obmezhennya. Pomjerimo jogu s ostatkom dodataka koji $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Očigledno je da promjena $x$ ne može biti manja od -2 preko noći, već veća od 1,5. Za ovaj posao ne postoji rješenje.
1.1. Okremo pogled na vipadok blizu kordona $x=-2$. Zamislimo samo ovaj broj u nedostatku nedosljednosti i provjerljivo: zašto je pobjednički?
\[\begin(poravnati) & ((\levo. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lijevo| -3 \right|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Strelica desno \varnothing. \\end(poravnati)\]
Očigledno je da nas je lingvista prevario do nevjerovatne neujednačenosti. Otzhe, vyhídne nerívníst tezh pogrešno, í $x=-2$ ne ide u vídpovíd.
2. Sada dajte $-2 \lt x \lt 1$. Bibliotečki modul se već razvija sa plusom, ali desni je još uvijek sa minusom. Maemo:
\[\begin(poravnati) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\end(poravnati)\]
Iznova ga mijenjam sa vikidnoy vimogom:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Obnavljam prazno bezlično rješenje, nema krhotina takvih brojeva koji su istovremeno manji od -2,5, a veći od -2.
2.1. Obnavljam okremy vipadok: $ x = 1 $. Zamislimo da je izlaz neravan:
\[\begin(poravnati) & ((\lijevo. \lijevo| x+2 \desno| \lt \left| x-1 \desno|+x-1,5 \desno|)_(x=1)) \\ & \lijevo| 3\desno| \lt\lijevo| 0 \right|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Strelica desno \varništa. \\end(poravnati)\]
Slično kao i kod "privatnog pada", broj $x=1$ očigledno nije uključen u ispuštanje.
3. Preostali komad ravno: $x \gt 1$. Ovdje su svi moduli zakrivljeni sa znakom plus:
\[\početak(poravnati) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(poravnati)\ ]
Ponovo razmišljam o mnoštvu eksternih razmjena:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty) \desno)\]
Pa, uhvati ga! Znali smo interval, koji će biti povíddu.
Prijedlog: $x\in \lijevo(4,5;+\infty \desno)$
Nasamkinets - jedno poštovanje, kako bi vas, možda, spasilo od loših pomilovanja kada su stvarni zadaci ispunjeni:
Virishennya nerívívnosti z moduli zvích ê sutsílní mníníní nítíníy prímíy - ínvílí í vídrízki. Izolovane tačke zarobljavaju sporije. Veća je vjerovatnoća da će se zamka tako da između rješenja (kínets vídrízka) prelaze granice analiziranog raspona.
Od tada, kao da kordoni (sami ovi "privatni vipadki") ne ulaze u straže, onda mayzhe, pjevajući, ne idu na straže i područje zla-pravo ulaska u ove kordone. Í navpaki: kordon uvíyshov u vídpovíd — otzhe, í yakís oblastí navpakí tezh će biti vídpovídyami.
Zapamtite to, ako promijenite svoju odluku.
Nerívníst ce viraz c, ≤ ili ≥. Na primjer, nedosljednost 3x - 5 Virishity znači znati sva značenja promjene, za koju je nedosljednost tačna. Koža ovih brojeva je rješenje nedosljednosti, ali bezlični uspjeh takvih rješenja je joga bezlična odluka. Nervnosti, yakí mayut tako bezlične odluke, nazivaju se ekvivalentne nepravilnosti.
Linearne nepravilnosti
Principi razotkrivanja nepravilnosti slični su principima razotkrivanja jednakosti.Principi otklanjanja nepravilnosti
Za bilo koje realne brojeve a, b i c:
Princip dodavanja nepravilnosti: Yakscho a Princip množenja za nepravilnosti: Kao 0 je tačno, kao ac Kao i bc je takođe tačno.
Slična očvršćavanja također prestaju za a ≤ b.
Ako se uvredljive strane nervoze pomnože negativnim brojem, potrebno je ponovo promijeniti predznak nervoze.
Zovu se nepravilnosti prvog nivoa, kao kod kundaka 1 (donji). linearne nepravilnosti.
guza 1 Da odveže kožu od takve razdražljivosti. Predstavimo bezlične ruže.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Rješenje
Bilo da se radi o broju, manjim od 11/5, je odluka.
Bezlična odluka ê (x|x
Da bismo ponovo razmotrili, možemo nacrtati grafik y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Međutim, jasno je da za x 
Anonimno rješenje ê (x|x ≤ 1), ili (-∞, 1) Grafikon množitelja rješenja slike ispod. 
Osnovna nervoza
Ako su dvije nedosljednosti spojene riječju і, ili tada se formira osnovna nervoza. Podvíyna nerívníst, jak
-3
і 2x + 5 ≤ 7
pozvao z'ednanim, na to u novom vikoristano і. Zapis -3 Osnovne nedosljednosti mogu se prevazići različitim principima, dodavanjem i množenjem nedosljednosti.
guza 2 Virishit -3 Rješenje Imamo
Bezlična odluka (x|x ≤ -1 ili x > 3). Također možemo napisati rješenje za različite definicije intervala i simbola za udruženje inače su uključena oba višekratnika: (-∞ -1] (3, ∞) 
Za ponovnu verifikaciju možemo reći y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Imajte na umu da za (x|x ≤ -1 ili x > 3), y 1 ≤ y 2 ili y 1 > y 3 . 
Nepravilnosti sa apsolutnim vrijednostima (modulus)
Nervností ínodí místíat moduli. Sljedeće karakteristike su zastosovuyutsya za njihovo savršenstvo.
Za a > 0 ta algebarska viraza x:
|x| |x| > a je ekvivalentno x chi x > a.
Slične izjave za |x| ≤ a i |x| ≥ a.
Na primjer,
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentno y ≤ -1 ili y ≥ 1;
i |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentno -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
guza 4 Da odveže kožu od takve razdražljivosti. Ostanite na rasporedu više odluka.
a) | 3x+2 | b) |5 - 2x| ≥ 1
Rješenje
a) | 3x+2 |
b) |5 - 2x| ≥ 1
Anonimno rješenje ê (x|x ≤ 2 ili x ≥ 3), ili (-∞, 2] )
