Bilješka. Ovaj materijal je dokaz teorema i dokaz, kao i niz zadataka koji ilustriraju teorem o zbroju kutiva ispupčenog bagatokutnika na praktičnim kundacima..

Teorem o zbroju kutiva napuhanog bagatokutnika

.

dokaz.

Da bismo dokazali teorem o zbroju kutiva ispupčenog bagatokutnika, ubrzavamo već doneseni teorem o onima da je zbroj kutiva trikutnika za 180 stupnjeva veći.

Neka A 1 A 2... A n - danski puhasti vrganj í n > 3. Nacrtajte sve dijagonale stupića iz vrha A 1. Razbijte yogo na n - 2 trokuta: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Zbroj kutiva bagatokutnika je zbígaêtsya od zbroja kutiva usíh tsikh trikutnikív. Zbroj rezova trikota kože je 180°, a broj trikota je (n – 2). Na taj zbroj kutív puffy n-kutnika A 1 A 2 ... A n je 180 ° (n - 2).

Menadžer.

Nabujali bagatokutnik ima tri kutija od po 80 stupnjeva, a reshta od 150 stupnjeva. Skílki kutív u natečenom bagatokutniku?

Riješenje.

Čini se da je teorem: Za natečeni n-rez, zbroj rezova je 180 ° (n-2) .

Znači za našu vipadku:

180(n-2)=3*80+x*150, de

Za mentalni zadatak date su nam 3 kute od 80 stupnjeva, a broj ostalih kuta nam je još uvijek nepoznat, znači značajno njihov broj kao x.

No, iz zapisa u lijevom dijelu naznačili su broj rezova bagatokutnika kao n, krhotine triju reza su nam poznate iz umnog zadatka, očito je da je x = n-3.

U takvom rangu izgledamo ovako:

180(n-2)=240+150(n-3)

Virishuemo otrimane rivnyannia

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Prijedlog: 5 vrhova

Menadžer.

Koliko vrhova može majka bagatokutnik, koliko je veličina kože s kutiva manja od 120 stupnjeva?

Riješenje.

Za realizaciju ovog zadatka brzo se koristimo teoremom o zbroju kutiva ispupčenog bagatokutnika.

Čini se da je teorem: Za natečeni n-rez, zbroj svih rezova je 180 ° (n-2) .

Oče, potrebno je da naš um procijeni granični um zadatka. Tobto robiti pripuschennya, scho skin s kutiv dorivnyu 120 stupnjeva. Uzimamo:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360

Vykhodyachi z otrimanogo ryvnyannya, robimo vysnovok: s vrijednošću kutív manjom od 120 stupnjeva, broj kutív bagatokutnika manji od šest.

Obrazloženje:

Vihodyachi z virazu 180n - 120n = 360, imajte na umu, ono što se vidi s desne strane bit će manje od 120n, razlika je veća od 60n. U takvom rangu, privatno, bit ćete manje od šest.

Prijedlog: broj vrhova bagatokutnika bit će manji od šest.

menadžer

Bagatokutnik ima tri kuta od 113 stupnjeva, a linija je jednaka sama sebi i taj njihov stupanj je cijeli broj. Znati broj vrhova bagatokutnika.

Riješenje.

Za realizaciju ovog zadatka brzo se koristimo teoremom o zbroju vanjskih kutiva ispupčenog bagatokutnika.

Čini se da je teorem: Za natečeni n-rez, zbroj svih ovn_shníh kutív je 360° .

na takav način,

3*(180-113)+(n-3)x=360

prava dijela vislovlyuvannya - zbroj ovníshníh kutív, lijevi dio zbroja tri kutív vídoma po umu i stupnjevi svijeta ostalih (í̈h kílkíst, vídpovídno n-3, oskolki tri kutí vídomí ) je označen kao x.

159 se dijeli samo na dva faktora 53 i 3, a 53 je prost broj. Stoga ne postoje drugi parovi množitelja.

Ovim redom, n-3 = 3, n = 6, pa je broj rezova bagatokutnika šest.

Vidpovid: šest kutiv

menadžer

Da vam kažem da natečeni bagatokutnik ne može imati više od tri dobra posjekotina.

Riješenje

Kao što vidite, zbroj ovnishníkh kutív ispupčenog rogoza je do 3600. Dokažimo protilezno. Isto tako, natečeni bagatokutnik ima ne manje od nekoliko dobrih unutarnjih kutíva, a sredina istog ovníshníkh kutíva nije ništa manje nego glupa, zvijezde vrište, pa je zbroj svih zovníshníh kutív bagatokutnika veći za 4 * 90 0 = 360 0. Mogla bi ga obrisati. Potvrda je napravljena.

Trikutnik, kvadrat, šesterokutnik - ove brojke su praktički za svakoga. Ale o onima koji su tako korektni bagatokutnik, znate daleko od kože. Ale tse sve one naziva ispravnim bagatokutnik onaj koji može biti jednak među sobom na toj strani. Previše je takvih figura, ali smrad iste snage i dalje je tu, a pred njima stagniraju iste formule.

Moć pravih bagatokutnika

Bilo da je to ispravan bagatoknik, bilo da je kvadrat ili osmerokut, možda ima unosa na colo. Tsya glavna moć često pobjeđuje kad je potakne neka figura. Uz to, koliko god stane u bagatokutnik. Na istom broju bodova, dotik je skuplji od broja yogo strana. Važno je, koji je broj, upisan u ispravan bagatokutnik, matima íz njezin zagalni centar. Tsí geometrijski postovi pídorderakovaní neke teoreme. Da li je strana ispravnog n-reza povezana s radijusom opisane novčanice novog udjela R. Za to í̈, možete izračunati sljedeću formulu: a \u003d 2R ∙ sin180 °. Kroz možete znati ne samo strane, već i perimetar bagatokutnika.

Kako znati broj strana ispravnog bagatokutnika

Koža je presavijena od više jednakih, jedan prema jedan, do jedan, jak, z'ednuyuchis, kako bi se uspostavila zatvorena linija. S kim sve kuti figura, scho se sakrio međutim, značenje. Bagatokutniki pod_lyayutsya na jednostavan i sklopivi. Do prve skupine mogu se vidjeti triko i kvadrat. Sklopivi bagatokutniki mogu napraviti veći broj strana. Prije njih mogu se dodati i cirkasti posta. Kod sklopivih, pravilnih bagatokutnika, poznate su strane upisane u kolo s stazom. Idemo dobiti potvrdu. Postavite ispravan bagatokutnik s dovoljnog broja strana n. Opišite stupac stupaca. Navedite polumjer R. Sada pokažite da ste dobili pravi n-rez. Budući da točke yogo cutiva leže na jednoj te istoj, onda se stranice mogu znati po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.

Poznavanje broja stranica upisanog pravilnog trikota

Rivnostoronníy trikutnik - tse ispravan bagatokutnik. Formule do novog zastosovuyutsya tí f, scho í na kvadrat, í n-kutnik. Trikutnik vvazhatimetsya ispravan, kao da je vino isto s druge strane. Uz ovaj kuti, cijena je 60⁰. Napravimo tricutnik sa zadane strane. Znajući njegovu medijanu i visinu, možete znati značenje njegovih strana. Za ovog viktorista moguće je izračunati kroz formulu a \u003d x: cosα, de x - medijan ili visina. Krhotine na svim stranama pletiva su jednake, otrimuemo a = b = s. Todí vírnym će doći stvrdnjavanje \u003d \u003d c \u003d x: cosα. Slično, možete znati značenje stranica trikota jednako bedrene kosti, ali x će dobiti visinu. U slučaju bilo kakvog dizajna, ona je kriva strogo na temelju brojki. Kasnije, znajući visinu x, znamo bík a trikota jednako bedrene kosti po formuli a \u003d b \u003d x: cosα. Ako je značajnost značajna, možete izračunati vrijednost baze. Dokazujemo Pitagorin teorem. Shukatimemo vrijednost polovice baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada je c = 2xtg. Os na tako nespretan način može se koristiti za označavanje broja strana bilo kojeg upisanog bagatokutnika.

Brojanje stranica kvadrata upisanog u stupac

Kao i be-yakiy ínshiy natpisi ispravan bagatokutnik, kvadrat može biti jednakih strana i kuti. Do novog, same formule zastosovuyutsya, kao í na trikutnik. Stranice kvadrata možete izračunati pomoću vrijednosti dijagonale. Pogledajmo metodu detaljnije. Vídomo, scho dijagonalno dilit kut navpíl. Dno vrijednosti joge bilo je 90 stupnjeva. Ovim redom, nakon pada, uspostavljaju se dvije kolibe kada temperatura poraste na 45 stupnjeva. Vídpovídno dermalna strana kvadrata je dorívnyuvatime, tobto: a = c = c = e = e ∙ cosα = e√2: 2, de e - tse dijagonala kvadrata, ili osnova pravokutnog trikutnika, zbog čega je izgledao poput ruže. Ne postoji jedinstven način da se saznaju stranice kvadrata. Zapišimo ovu brojku u stupac. Poznavajući polumjer ovog udjela R, znamo kvadrat kvadrata. Izračunajte prema rangu napada a4 = R√2. Polumjeri pravilnih bagatokutnika izračunavaju se pomoću formule R = a: 2tg (360 o: 2n), de a je duljina stranice.

Kako izračunati opseg n-reza

Opseg n-reza je zbroj svih strana. Izračunati jogu nije lako. Za koga je potrebno znati značenje svih strana. Za određene vrste bagatokutnikov postoje posebne formule. Smrad vam omogućuje da bogatije upoznate perimetar. Vídomo, scho biti ispravan bagatokutnik maê jednake strane. Za to, da bi virahuvati yogo perimetar, dovoljno je znati želite li jednu od njih. Formula je ustajala prema broju strana figure. Izgledate ovako: P = an, de a - vrijednost stranice i n - broj rezova. Na primjer, da bi se znao opseg pravilnog osmerca sa stranom od 3 cm, potrebno je íí̈ pomnožiti sa 8, pa je P = 3 ∙ 8 = 24 cm bagatokutnik.

Značenje opsega paralelograma, kvadrata i romba

Fallow pogled, skílki storín maê ispravan bagatokunik, yogo perimetar se izračunava. Tse je bogato olakšao zadatak je postavljen. Adzhe, na vídmínu víd ínshih figura, vídmou vípadku ín't nebíbíl shukat yogo yogo strane, dovoljan je jedan. Za ovaj princip poznajemo opseg čotirikutnika, odnosno kvadrata i romba. Nije me briga za one koji različite figure, Formula za njih je jedna P = 4a, de a - strana. Navedimo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata veća od 6 cm, tada znamo opseg na sljedeći način: R = 4 ∙ 6 = 24 cm Paralelogram ima više jednakih stranica. Iz tog razloga, znate perimetar, vikoristovuyuchi na drugi način. Otzhe, moramo znati širinu te figure. Zaustavimo formulu P = (a + c) 2. Paralelogram, u kojem su sve stranice jednake i između njih, naziva se romb.

Vrijednost opsega jednakostranog i pravokutnog trikota

Opseg ispravnog može se odrediti formulom P \u003d 3a, de a je duljina stranice. Kao da nije kod kuće, možete znati kroz medijan. U pletenini ravnog kroja samo su dvije strane jednake važnosti. Supstava se može znati kroz Pitagorin teorem. Nakon toga, kako postati glavno značenje sve tri strane, izračunava se perimetar. Yogo se može znati pomoću formule P = a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c baza. Pretpostavimo da je u trikotu s jednakom bedrenom kosti a \u003d b \u003d a, također, a + b \u003d 2a, zatim P \u003d 2a + c. Na primjer, stranica jednako-femoralne pletenine je duga 4 cm, znamo bazu i obod. Vrijednost hipotenuze izračunava se prema Pitagorinom teoremu h = √a 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Sada je opseg izračunat P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kako znati kuti ispravnog bagatokutnika

Ispravan bagatokutnik zustrichaetsya u našem životu danas, na primjer, veliki trg, trikutnik, osam-kutnik. Bilo bi bolje, nema ništa jednostavno, samostalno inspirirati ovu figuru. Ale tse manje na prvi pogled. Da biste vas potaknuli da budete n-kutnik, potrebno je znati značenje yoga kutiva. Ali kako znaš? Prije više od stoljeća pokušali su probuditi ispravne bagatokutnike. Smrad ih je pogodio upisati na lomači. A onda smo na njemu označili potrebne točke i zatvorili ih ravnim linijama. Za jednostavne članke problem je prevladan. Formule tog teorema su oduzete. Primjerice, Euklid je u svojoj poznatoj ordinaciji “Kup” bio zauzet trešnjama za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kutnike. Vin zna načine kako potaknuti to znanje o kutivu. Gledajmo to kao zrobiti za 15-kutnik. Potrebno je olabaviti zbroj unutarnjih kutiva yoge. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰(n-2). Kasnije nam je dan 15-kutnik, što znači da je broj n veći od 15. Za zamjenu koju nam daje formula i uzima se S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Znali smo zbroj svih unutarnjih kutíva 15-kutnika. Sada im je potrebno oduzeti značaj kože. Usy kutiv 15. Robimo je izbrojao 2340⁰: 15 = 156⁰. Kasnije je koža unutarnjeg reza 156⁰, sada uz pomoć linije i kompasa možete inducirati ispravan 15-rez. Ale yak buti sa presavijenim n-rezačima? Mnogo stoljeća feudalne borbe vodile su se oko rješenja ovog problema. Pronašao ju je tek u 18. stoljeću Carl Friedrich Gauss. Vín zmíg inducirati 65537-kutnik. U ovom času se službeno smatra da je problem izraženiji.

Rozrahunok kutiv n-kutnikiv u radijanima

Pa, postoje neki načini da se upoznaju kutivi bagatokutnika. Većina ih se izračunava u stupnjevima. Ali možete ih govoriti u radijanima. Kako tse robiti? Potrebno je ovako postupiti. Na poleđini je uzet broj strana ispravnog bagatokutnika, tada možemo vidjeti iz nove 2. Također, uzimamo vrijednost: n - 2. Pomnožite poznatu razliku brojem n ("n" \u003d 3,14 ). Sada više nema dijeljenja oduzimanja tvira brojem kutiva u n-kutniku. Pogledajmo zadanu računicu na kundaku iste kune. Od istog, broj n je jednak 15. Formula S = p (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ovo, očito, nije jedini način razlaganja kuta u radijanima. Možete jednostavno podijeliti rozmir kutu u stupnjevima sa 57,3. Aje isti stupnjevi stupnjeva je ekvivalent jednom radijanu.

Rozrahunok značenje kutiva kod grada

Krím gradusív ta radian, možete pokušati saznati značenje cutív ispravnog bagatokutnika iz grada. Borite se tako. Íz zagalnoí̈ kílkostí kílkostí kílív vídnímaêmo 2, dilimo otrimana raznitsyu na broju strana desnog bagatokutnik. Rezultat znanja množi se sa 200. Prije govora, takva usamljenost u svijetu kutiva, poput tuče, praktički nije pobjednička.

Rozrahunok zovníshníh kutív n-kutnikív

U prisutnosti ispravnog bagatoknika, unutarnjeg grimiza, možete virahuvat vanjski kut. Znate njegovo značenje isto tako i za druge članke. Stoga, da bi se poznavao vanjski kut ispravnog bagatokutnika, potrebno je poznavati značenje unutarnjeg. Dali su nam naslutiti da će zbroj ova dva kutiva doseći 180 stupnjeva. Stoga je izračun robimo kako slijedi: 180⁰ minus vrijednost unutarnjeg kuta. Znamo razliku. Osvojio i više vrijednosti zbroja kut. Na primjer, unutarnji kut kvadrata je 90 stupnjeva, a vanjski 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Yak bachimo, znati da je joga nezgodna. Zovnishniy kut može povećati vrijednost s +180⁰ na, očito, -180⁰.

dokaz

Za vipadu ispupčen n-cutnik

dođi A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n))- danski opukliy bagatokutnik i n>3. Isto se provodi od jednog vrha do suprotnih vrhova ( n− 3) dijagonale: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Dakle, kao bagatokutnik oteklina, qi dijagonale razbijaju yogo na ( n− 2) triko: A 1 A 2 A 3 , A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Zbroj kutiva bagatokutnika je zbígaêtsya od zbroja kutiva usíh tsikh trikutnikív. Zbroj kutiva u trikutniku kože je 180°, a broj tsikh tricutnik-a je n− 2 . Otzhe, zbroj kutiv n-kutnik dorívnyuê 180 ° ( n − 2) . Teorem je dovršen.

Poštovanje

Za nekonveksni n-rez, zbroj kutiva je također skuplji 180° ( n− 2) . Dokaz može biti analogan, vikoristovuyuchi na dopunu leme o onima koji se, ako ikakvi bagatokutnik mogu rezati dijagonalama na trikutnike, a ne spiralno na onima da su dijagonale povučene obov'yazykovo od jednog vrha do smisla da ne -izbočeni bagatokutnik nije obov'yazkovo ê želeći samo jedan vrh, sve dijagonale trebaju ležati u sredini bagatokutnik, kao trikutniki, kao smrad utvoryuyut).

Unutarnji kut bagatokutnika- Tse kut, smirivanja dvije sumirane strane bagatokutnika. Na primjer, ∠ ABCê unutarnji kutom.

Zovníshníy kut bugatokutnik- tse kut, jedna strana bagatokutnika i druga strana. Na primjer, ∠ LBCê zovníshním kutom.

Broj kutiva bagatokutnika uvijek je dobar broj yogo strana. Cijena je dostojna i unutarnje i vanjske nape. Bez obzira na one da za kožu vrh bagatokutnika možete izazvati dva jednaka ovnishní kuti, samo jedan od njih treba uzeti u obzir. Otzhe, kako bi se znao broj kutiva bilo kojeg bagatoka, potrebno je zaštititi broj strana.

Zbroj unutarnjih kutiva

Zbroj unutarnjih nabora natečenog bagatokutnika je skuplji za završetak 180 ° i broj strana bez dva.

s = 2d(n - 2)

de s- tse suma kutiv, 2 d- dvije ravne (tobto 2 90 = 180 °), i n- Broj strana.

Yakshcho mi izveden s vrha A bagatokutnik A B C D E F sve dijagonale su moguće, tada jogu podijelimo na trikote, čiji će broj biti dvije manje, donje strane bagatokutnika:

Otzhe, zbroj kutiva bagatokutnika skuplji je od zbroja kutiva svih trikutnikiva. Oskílki sum kutív kožni tricutnik dorívnyuê 180° (2 d), zatim zbroj kutív svih trikutnikív dorívnyuvatime dobutku 2 d za njihov broj:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°

Z tsíêí̈ formule su evidentne, da je zbroj unutarnjih kutív ê konstantna vrijednost koja leži na broju strana bagatokutnika.

Zbroj ovnishníh kutív

Zbroj ovnishníkh kutiva ispupčenog bagatokutnika je 360 ​​° (ili 4 d).

s = 4d

de s- tse suma zovnísh kutív, 4 d- chotiri ravni kuti (tobto 4 90 = 360 °).

Zbroj vanjskog i unutarnjeg kuta na kožnom vrhu bagatokutnika je veći od 180° (2 d), oskílki ê sumízhnymi kutami. Na primjer, ∠ 1 ta ∠ 2 :

Otzhe, kao bagatokutnik maê n strane (tj n vrhova), zatim zbroj vanjskih i unutarnjih bridova sa svim n vrhovi ceste 2 dn. Schob íz qíêí̈ sumi 2 dn osvoji samo zbroj vanjskih kutiva, od njega treba uzeti zbroj unutarnjih kutiva, zatim 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Vaš bagatokutnik. Na primjer, ako trebate znati rez ispravnog bagatokutnika s 15 strana, stavite n = 15 jednako. Imate viide S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Dali su mi priliku da odsiječem zbroj unutarnjih kutív njihovih kílkíst. Na primjer, kod bagatokutnika, broj rezova u broju stranica je 15. U ovom rangu uzimate u obzir da je rez 2340⁰ / 15 = 156⁰. Koža unutarnjeg reza bagatokutnika je dorívnyuê 156⁰.

Ako vam je bolje da odmotate cuti bagatokutnika u radijanima, jedite na ovaj način. Razmotrimo broj 2 iz broja strana i pomnožimo razliku s brojem P (Pi). Zatim podijelimo dobutok na nekoliko kutiva na bagatokutniku. Na primjer, ako trebate olabaviti kuti ispravnog 15-kutnika, jedite ovako: P * (15-2) / 15 = 13 / 15P, ili 0,87P, ili 2,72 . Ili jednostavno podijelite rozmír kuta u stupnjevima sa 57,3 - sam stil se može pomaknuti za jedan radijan.

Također možete probati rozrahuvati kuti od ispravnog bagatokutnika u blizini grada. Za koji se vidi iz broja strana, broj je 2, podijelite broj s brojem strana i rezultat pomnožite sa 200. (100 sekundi po peru).

Eventualno je potrebno da otvorite vanjski kut desnog bagatokutnika, da ga na ovaj način popravite. Vídnímít iz 180⁰ unutarnjeg kuta - od rezultata oduzimate vrijednost ukupnog, to jest ovniy kut. Vín može povećati vrijednost víd -180⁰ do +180⁰.

Korisna porada

Ako ste daleko od toga da znate kako izrezati pravi bagatokutnik, lako možete inspirirati jogu. Da biste postavili jednu stranu pjevačke dožine i u nju uz pomoć kutomjera, stavite potrebni kut. Razmotrite isti vídstan (vaše strane ispravne bagatokutnik jednake) i obnovite potrebne kut. Nastavite, dokovi sa strane se neće zatvoriti.

Jerela:

• kut na desnoj bagatokutnik

Opišimo takav bagatokutnik čije su sve strane upisane u novi kolac. Moguće je opisati samo ispravan bagatokutnik, kao što je onaj koji ima sve strane jednake. Od rozvyazannym takve biljke, stari arhitekti su se još uvijek držali zajedno, ako je bilo potrebno dizajnirati, na primjer, stup. Moderne tehnologije Dopušteno je raditi s minimalnim satima, ali princip rada ostaje isti kao u klasičnoj geometriji.

trebaš

• - kompas;
• - kutomjer;
• - Crta;
• - arkush papiru.

Uputa

Prekrižite niz zadataka. Centar í̈ odredi kako provesti jedan od radijusa, tako da bi bilo moguće započeti posjet. Da biste na neki način opisali njen bagatokutnik, potreban vam je jedan jedini parametar - broj strana. Označite jogu kao n.

Pogodi, kut be-kakav ulog. Vín postaje 360°. Vykhodyachi iz tsgogo, moguće je nabrojati kuti sektore, čije strane povezuju središte udjela s točkama torza í̈í zí strane bagatokutnika. Broj ovih sektora je najljepši, broj strana bagatokutnika, tobto n. Kut α znati za formulu α = 360 ° / n.

Za pomoć kutomjera dodat ću vrijednost reza radijusu i kroz njega povući još jedan polumjer. Da bi izračuni bili točni, koristite kalkulator i zaokružite vrijednosti samo za one najmanje. U ovom novom radijusu, ponovno ću dodati rez sektora i nacrtati još jednu ravnu liniju između središta i linije kolca. Stoga ostanite hladni sami.