Shumë vlera funksioni 4 x 3. Zona e vlerës së funksionit (vlera më e madhe e funksionit). Kuptimi dhe zbatimi i nevojshëm i njohurive. Mënyrat e njohjes së zonave të vlerave të funksionit

D(f)- ato kuptime, si mund të bësh një argument, tobto. fushëveprimi i funksionit.

E(f)- ato kuptime, si mund të emërtohet funksioni, pra. vlera e funksionit jopersonal.

Mënyrat e njohjes së zonave të vlerave të funksionit.

vlera e fundit e argumenteve të palosshme të funksionit;

metoda e vlerësimit/kordonit;

fitorja e pushtetit, vazhdimësia dhe monotonia e funksionit;

vikoristannya pokhіdnoi;

përzgjedhja e vlerës më të madhe dhe më të vogël të funksionit;

metoda grafike;

metoda e kërkesës së parametrave;

metoda e funksionit të kthimit.

Le të shohim veprat e tyre.

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Zagalniy pidkhid deri në vlerën e vlerës jopersonale të funksionit të pandërprerë f(x) është e barabartë me vlerën e vlerës më të madhe dhe më të vogël të funksionit f(x) në intervalin e rëndësisë (ose në vërtetimin se njëri prej tyre nuk është gabim).

Me një shikim, është e nevojshme të dihet vlera jopersonale e funksionit në vіdrіzka:

di vlerën e saktë të funksionit f "(x);

të njohë pikat kritike të funksionit f(x) dhe të zgjedhë ato prej tyre, në mënyrë që të shtrihet në fillin e dhënë;

llogarit vlerën e funksionit në skajet e prerjes dhe në pikat kritike të zgjedhura;

midis vlerave të njohura, zgjidhni më pak dhe më të rëndësishmen;

Është e pasur të vendosësh vlerën e funksionit midis këtyre vlerave.

Cili është fushëveprimi i funksionit të caktuar? intervali, atëherë vetë skema është fituese, dhe më pas vlerat në fund të ciklit fitohen midis funksioneve me argumentin që ushtrohet deri në fund të intervalit. Kuptimet ndërmjet nuk hyjnë në një kuptim jopersonal.

Metoda e inter/vlerësimit

Për vlerën e shumëzuesit, fillimisht dihet se vlera e funksionit është vlera e argumentit dhe më pas gjejmë vlerën më pak të rëndësishme të funksionit. Vikoristovuyuchi nerіvnostі - vyznayut mezhі.

Thelbi i fushës qëndron në vlerësimin e funksionit të pandërprerë të pjesës së poshtme dhe të bishës, dhe në vërtetimin e arritjes së funksionit të kufirit të poshtëm dhe të sipërm të vlerësimeve. Me çdo ndryshim të impersonalitetit, vlera e funksionit me një interval nga vlerësimi i poshtëm i ndërmjetëm në atë të sipërm përcaktohet nga mosqëndrueshmëria e funksionit dhe prania e vlerave më të ulëta në të.

Dominimi i funksionit të pandërprerë

Varianti i dytë i funksionit të konvertuar konsiderohet të jetë monoton i pandërprerë, ndërsa fuqia fitimtare e parregullsive vlerëson vlerën jopersonale të funksionit të ri të marrë.

Vlera e fundit e argumenteve të palosshme në funksion

Bazuar në pamjen e fundit të vlerës jopersonale të funksioneve të ndërmjetme, nga të cilat ruhet funksioni

Fushat e vlerës së funksioneve kryesore elementare

Funksioni	Kuptimi anonim
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; një]
$y = (\rmtg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Aplikoni

Gjeni vlerën anonime të një funksioni:

Vikoristovuyuchi pokhіdnu

Ne e dimë zonën e destinacionit: D(f)=[-3;3], sepse $9-x^(2)\geq 0$

Ne e dimë më mirë: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 nëse x = 0. f"(x) nuk është e vërtetë nëse $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ atëherë x = ±3. Tre pika kritike janë hequr: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3; Le të numërojmë: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Gjithashtu, vlera më e vogël e f(x) është 0, vlera më e lartë është 3.

Sugjerim: E(f) = .

NUK vikoristovuyuchi pokhіdnu

Gjeni funksionet më të rëndësishme dhe më pak të rëndësishme:

$
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $, pastaj:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ për të gjitha x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ për të gjitha x(sepse $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Sugjerim: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$

Nëse dëshironi të kujdeseni për ndihmën e të varfërve, atëherë duhet të bëni një ndryshim, sepse funksioni f (x) nuk i është caktuar rreshtit, por vijës së plotë numerike.

Metoda e ndër/vlerësimit Vikoristovuyuchi

3 vlera sinus rrëshqiti, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Le të përshpejtojmë fuqinë e parregullsive numerike.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (duke shumëzuar të tre pjesët e parregullsisë themelore me -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$

Meqenëse ky funksion është i pandërprerë në të gjitha fushat e caktimit, atëherë vlera e pakuptimtë vendoset midis vlerave më të vogla dhe më të mëdha në të gjithë zonën e caktimit, siç është e vërtetë.

Në këtë rast, vlera e funksionit $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є jopersonale.

3 parregullsi $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ merr vlerësimin $$\\ -6\leq y\leq 6 $ $

Kur x = p і x = 0, funksioni merr vlerën -6 і 6, atëherë. arrijnë kufijtë e poshtëm dhe të sipërm. Si një kombinim linear i funksioneve pa ndërprerje cos(7x) dhe cos(x), funksioni y është i vazhdueshëm në të gjithë boshtin numerik, prandaj, për shkak të ngurtësisë së funksionit pa ndërprerje, ai grumbullon të gjitha vlerat nga -6 në 6. përfshirëse, dhe vetëm їx, sepse përmes pabarazisë $ - 6 \leq y\leq 6$ vlera të tjera nuk janë të mundshme.

Gjithashtu, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Vërtetim: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Viraz i kthyeshëm $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\ majtas ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \djathtas)\cos\majtas ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \djathtas) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

Vlera e kosinusit ndjek $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \-1 \leq \cos ((x + \frac (\pi) (4))) \leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Meqenëse funksioni jepet pa ndërprerje në të gjithë gamën e caktimit, atëherë vlera pa vlerë vendoset midis vlerave më të vogla dhe më të mëdha, siç rezulton, vlera pa vlerë e funksionit $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ) )))$ є jopersonale $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x ) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Në mënyrë domethënëse $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, de -∞≤t≤4. Vetë detyra reduktohet në vlerën e shumëzuesit të vlerës së funksionit $y = \log_(0,5)(t)$ në ndryshimin (-∞;4). Funksioni Oskіlki $y = \log_(0,5)(t)$ është caktuar vetëm për t > 0 , її vlera e funksionit në intervalin (-∞;4) merret nga vlera e funksionit në interval (0;4), që është ndryshimi i retinës (-∞; 4) me diapazonin (0; +∞) të funksionit logaritmik. Në intervalin (0;4) ky funksion është pa ndërprerje dhe më i vogël. Për t > 0, vlera është +∞, dhe për t = 4, vlera është -2, pra E(y) = (-2, +∞).

Truku bazohet në një paraqitje grafike të funksionit.

Pas transformimit të funksionit është i mundur: y 2 + x 2 = 25, për më tepër, y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Supozimi tjetër është se $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ është i barabartë me aksionin me rreze r.

Kur tsikh zamezhennya orari jepet barazimi є qendra e sipërme e pіvkola s në kallirin e koordinatave і rrezja, e cila është më e barabartë me 5. Natyrisht, scho E(y) = .

Sugjerim: E(y) = .

Letërsia e Wikoristanit

Zona e rëndësisë së funksioneve në krye të EDI, Minyuk Irina Borisivna

Për hir të të kuptuarit të kuptimit jopersonal të një funksioni, Belyaeva I., Fedorova S.

Rëndësia e vlerës jopersonale të funksionit

Si të demonstroni detyrën e matematikës në provimet pranuese, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Më shpesh, në kufijtë e shpërndarjes së detyrave, na sillet në shukati vlera jopersonale e funksionit të zonës së caktuar për segmentin. Për shembull, është e nevojshme të punohet në rast shkeljeje tipe te ndryshme parregullsitë, vlerësimet e viraziv dhe në.

Në kuadrin e këtij materiali, është e mundur të përcaktohet se cila është zona e rëndësisë së një funksioni, ne do të prezantojmë metodat kryesore me të cilat mund të llogarisim dhe do të analizojmë detyrën e një shkalle të ndryshme të palosjes. Për qartësi, pozicionet janë ilustruar me grafikë. Pas leximit të këtij artikulli, do të hiqni të gjitha informacionet rreth fushës së funksionit.

Pochnemo іz detyrat themelore.

Emërimi 1

Vlera pa vlerë e funksionit y = f (x) në intervalin aktual x është vlera pa vlerë e të gjitha vlerave, pasi funksioni jepet kur përsëritet mbi të gjitha vlerat x ∈ X.

Emërimi 2

Gama e vlerave të funksionit y = f (x) është vlera pa emër e të gjitha vlerave її, kështu që mund të marrë vlerën x z x ∈ (f) kur përsëritet.

Zona e vlerës së funksionit aktual merret të jetë E(f).

Për t'i dhënë respekt të kuptuarit të shumëzimit të vlerës së një funksioni, mos filloni të njëjtën zonë të vlerës së tij. Vlerat e të kuptuarit do të jenë të barabarta vetëm në atë rast, pasi intervali i vlerës së x, kur vlera është e panjohur, vlera ndryshon nga zona e funksionit të caktuar.

Është gjithashtu e rëndësishme të bëhet dallimi midis gamës së vlerave dhe gamës së vlerave të pranueshme të ndryshimit x për shprehjen e pjesës së djathtë y = f (x). Zona e vlerave të pranueshme x për shprehjen f (x) dhe do të jetë zona e caktuar për funksionin.

Më poshtë duhet të vendoset një ilustrim, që tregon të pasmet e deyaki-t. Vijat blu janë grafikët e funksioneve, ato të kuqe janë asimptota, pikat e të njëjtave vija në boshtin e ordinatave janë të gjitha zonat e vlerës së funksionit.

Është e qartë se fushëveprimi i funksionit mund të merret parasysh gjatë dizajnimit të grafikës për të gjitha O y. Për kë mund të keni një numër, dhe numra jopersonalë, tre, një interval, një interval të hapur, një kombinim intervalesh numerike dhe të tjera.

Le të hedhim një vështrim në mënyrat kryesore të njohjes së fushës së funksionit.

Le të caktojmë vetëm shumëzimin e vlerës së një funksioni jo të përhershëm y = f (x) me numëruesin aktual, të shënuar me [a; b]. Ne e dimë se funksioni është i pandërprerë në çdo drejtim, duke arritur minimumin dhe maksimumin e tij të ri, që është m a x x ∈ a ; b f (x) është vlera më e vogël m i n x ∈ a ; bf (x). Përsëri, marrim parasysh m i n x ∈ a; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x) , i cili do të përmbajë vlerën jopersonale të funksionit dalës. Kjo është gjithçka për të cilën duhet të punojmë - është e nevojshme vetëm të dimë se në cilën pikë të tregojmë pikat minimale dhe maksimale.

Le të marrim një detyrë, për të cilën është e nevojshme të caktohet zona në hark.

prapanicë 1

Umov: gjeni vlerën e y = a r c sin x.

Zgjidhje

Në shpatin e egër, zona e caktuar për harkun shtrihet deri në majë [-1; një]. Ne duhet të caktojmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit të caktuar tek ai i ri.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Ne e dimë se ky funksion do të jetë pozitiv për të gjitha vlerat e x, të zgjeruara në intervalin [-1; 1 ] , në mënyrë që duke zgjeruar rajonin, funksioni i caktohet harkut të shkallës së rritjes. Pra, vlera më e vogël do të pranohet në x, e barabartë me - 1, dhe më e madhja - në x, e barabartë me 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Në këtë mënyrë, zona e vlerës së funksionit arksinë është më e shtrenjtë E (arc sin x) = - π 2 ; π 2 .

Sugjerim: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

prapanicë 2

Umov: Llogaritni diapazonin e vlerave y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 në nënvargun e dhënë [1; 4].

Zgjidhje

Gjithçka që duhet të përpunojmë është të llogarisim vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit për një interval të caktuar.

Për të përcaktuar pikën ekstreme, duhet të llogaritni llogaritjen e mëposhtme:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; ; 4; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Tani e dimë vlerën e funksionit të dhënë në intervalet e prerjes dhe pikat x 2 = 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Pra, vlera jopersonale e funksionit përcaktohet nga diferenca 117 - 165 33 512; 32 .

Sugjerim: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Le të kalojmë në vlerën e vlerës jopersonale të funksionit të pandërprerë y = f (x) në intervalet (a; b), për më tepër, a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Le të fillojmë me përcaktimin e pikave më të mëdha dhe më të vogla, si dhe intervalet midis rritjes dhe ndryshimit në një interval të caktuar. Nëse po, do të na duhet të virahuvat kufijtë e njëanshëm në intervalet dhe/ose kufijtë e mospërputhjes. Me fjalë të tjera, ne duhet të caktojmë sjelljen e funksionit në mendjet e dhëna. Për të cilët mund të na duhen të gjitha të dhënat e nevojshme.

prapanicë 3

Umov: njehsoni diapazonin e funksionit y = 1 x 2 - 4 në intervalin (-2; 2).

Zgjidhje

Ne tregojmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në vijën e dhënë

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Ne kemi arritur vlerën maksimale, e cila është e barabartë me 0, por në të njëjtën pikë është e nevojshme të ndryshohet shenja e funksionit dhe grafiku për të shkuar në rënie. Div. për ilustrim:

Pra, y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 do të jetë vlera maksimale e funksionit.

Tani sjellja e funksionit është e rëndësishme për x të tillë, që është ana e djathtë - 2 nga ana e djathtë dhe në + 2 nga ana e majtë. Me fjalë të tjera, ne njohim kufijtë e njëanshëm:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Ne kemi parë që vlera e funksionit rritet nga minus mospërputhje deri në - 14 todi, nëse argumenti ndryshon në intervalin nga -2 në 0. Dhe nëse argumenti ndryshon nga 0 në 2, vlera e funksionit ndryshon në minus pafundësi. Më vonë, vlera e pakuptimtë e funksionit të dhënë në intervalin e kërkuar do të jetë (- ∞ ; - 1 4 ) .

Sugjerim: (- ∞ ; - 1 4 ] .

prapanicë 4

Umov: futni një vlerë anonime y = t g x në një interval të caktuar - π 2; π 2 .

Zgjidhje

Ne e dimë se tangjentja e β është e ngjashme me - π 2; π 2 të jetë pozitiv, kështu që funksioni po rritet. Tani është e rëndësishme se si të ekzekutohet funksioni në kufijtë e dhënë:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Ne zbritëm vlerën rritëse të funksionit nga minus mospërputhje në mospërputhje plus kur ndryshojmë argumentin vid - π 2 në π 2 dhe mund të themi se zgjidhja jopersonale e këtij funksioni do të jetë impersonaliteti i të gjithë numrave realë.

Sugjerim: - ∞ ; + ∞ .

prapanicë 5

Umov: caktoni, që është diapazoni i funksionit, logaritmi natyror y = ln x.

Zgjidhje

Ne e dimë se funksioni është dhënë dhe caktuar në vlerat pozitive argumenti D(y) = 0; +∞. Pohіdna në intervalin e dhënë do të jetë pozitive: y "= ln x" = 1 x. Otzhe, e reja ka rritje funksionesh. Ata na dhanë nevojën për të përcaktuar një kufi të njëanshëm për këtë, nëse argumenti është i saktë 0 (në anën e djathtë), dhe nëse x nuk është mospërputhje e saktë:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ne hoqëm që vlera e funksionit rritet nga mospërputhja minus në mospërputhje plus kur ndryshoni vlerën e x nga zero në pafundësi plus. Pra, ka shumë nga të gjithë numrat realë - ce dhe є zona e vlerës së funksionit të logaritmit natyror.

Sugjerim: shumëzuesi i të gjithë numrave realë është zona e vlerës së funksionit të logaritmit natyror.

prapanicë 6

Umov: përcaktoni se cili është diapazoni i funksionit y = 9 x 2 + 1 .

Zgjidhje

Funksioni Tsya є këndoj parasysh se x është një numër real. Le të numërojmë funksionet më të rëndësishme dhe më pak të rëndësishme, si dhe boshllëqet, rritjen dhe ndryshimin:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Në rezultate, ne treguam se funksioni do të zvogëlohej, në mënyrë që x ≥ 0; përkundrazi, se x ≤ 0; nuk do të bëjë një pikë në maksimum y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 kur ndryshoni, që është më e shtrenjtë 0 .

Pyesim veten se si të operojmë një funksion në mospërputhje:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Mund të shihet nga regjistrimi se vlera e funksionit y herë në mënyrë asimptotike i afrohet 0.

Podib'єmo subbags: nëse argumenti ndryshon nga minus mospërputhje në zero, atëherë vlera e funksionit rritet nga 0 në 9. Nëse vlera e argumentit ndryshon nga 0 në plus mospërputhje, atëherë vlera e funksionit do të bjerë nga 9 në 0. Ne imagjinuam çmimin për një të vogël:

Mund të shihet në të renë se diapazoni i vlerës së funksionit do të jetë intervali E(y) = (0; 9)

Sugjerim: E(y) = (0; 9]

Pra, duhet të caktojmë një vlerë jopersonale të funksionit y = f(x) në intervalet [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , atëherë ne duhet t'i kryejmë vetë hetimet e tilla.

Dhe si e keni një vipadku, si i është caktuar zona deyakoї funktsії є o'dnannyam kіlkoh promizhkіv? Pastaj duhet të llogarisim vlerën anonime në lëkurën e këtyre intervaleve dhe t'i kombinojmë ato.

prapanicë 7

Umov: përcaktoni se cili do të jetë diapazoni y = x x - 2 .

Zgjidhje

Oskіlki znamennik funksionії jo fajtor por znacheniya në 0 , pastaj D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞.

Le të fillojmë duke caktuar një shumëzues të vlerës së funksionit në rreshtin e parë - ∞; 2, që është një premtim i qartë. Ne e dimë që funksioni do të bjerë në atë të ri, kështu që funksioni do të jetë negativ.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Pastaj, nëse argumenti ndryshon y drejtpërdrejt minus mospërputhjen, vlera e funksionit i afrohet asimptotikisht 1. Nëse vlera e x zvogëlohet nga minus mospërputhje në 2, atëherë vlera do të ulet nga 1 në minus mospërputhje, d.m.th. funksioni mbi vlerën e ardhshme të intervalit - ∞ ; një. Vetëm, me përjashtim të reflektimeve tona, pjesët e vlerës së funksionit її nuk arrijnë, por përkundrazi i afrohen në mënyrë asimptotike.

Për shkëmbim të hapur 2; + ∞ vikonuєmo so sami dії. Funksioni në të ri është gjithashtu më pak:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Vlera e funksionit në një vіdrіzka të dhënë i caktohet 1 pa vlerë; +∞. Pra, na duhet zona e vlerës së funksionit, e dhënë për mendjen, do të kombinohet me shumëfisha - ∞; 1 dhe 1; +∞.

Sugjerim: E(y) = -∞; 1 ∪ 1; +∞.

Ju mund të shikoni grafikun:

Luhatjet e veçanta janë funksione periodike. Kjo zonë vlere ndryshon nga një vlerë jopersonale në atë interval, i cili varet nga periudha e funksionit.

prapanicë 8

Umov: Vendosni zonën në vlerën e sinusit y = sin x.

Zgjidhje

Sinusi shtrihet në një funksion periodik, si një periudhë që bëhet 2 pi. Beremo vіdrіzok 0; 2 π mrekullohem me atë që do të jetë një vlerë jopersonale për të renë.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Në kufirin 0; 2 funksione π do të jenë pika të ekstremumit π 2 і x = 3 π 2 . Le të hedhim një vështrim se pse rëndësia e funksionit në to është më e rëndësishme, si dhe në kufijtë e vіdrіzka, pas së cilës ne zgjedhim më të rëndësishmin dhe më pak të rëndësishëm.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Sugjerim: E (sin x) = - 1; një.

Nëse keni nevojë të dini zonën e vlerës së funksioneve të tilla, të tilla si statike, ekran, logaritmike, trigonometrike, trigonometrike të kundërt, atëherë jeni të mirëpritur të rilexoni artikullin në lidhje me funksionet themelore elementare. Teoria, siç sugjerojmë këtu, ju lejon të ndryshoni vlerën e dhënë. Їх Bazhano vivchiti, copat e erë të keqe duhen shpesh në orën e ditës së qershisë. Nëse i njihni zonat e funksioneve kryesore, mund t'i njihni lehtësisht zonat e funksioneve, sikur t'i hiqni ato elementare për ndihmën e transformimit gjeometrik.

prapanicë 9

Umov: vendosni intervalin y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Zgjidhje

Ne e dimë se vlera e arkkosinës është 0 në pi. Me fjalë të tjera, E (ar c cos x) = 0 ; π ose 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Mund ta marrim funksionin a r c cos x 3 + 5 π 7 në kosinusin e anasjelltë duke e shtrirë dhe shtrirë boshtin O x, përndryshe nuk do të mund të na japim asgjë. Pra, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Funksioni 3 hark cos x 3 + 5 π 7 mund të zbritet nga harku kosinus i harkut cos x 3 + 5 π 7 për një shtrirje shtesë të boshtit vertikal, pra 0 ≤ 3 hark cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Në finale, transformimi është zsuv uzdovzh boshti O y me 4 vlera. Rezultati do të ketë disa pabarazi themelore:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Ne hoqëm atë që do të nevojitet zona e vlerës E (y) = - 4 ; 3 pi-4.

Sugjerim: E(y) = - 4; 3 pi-4.

Një prapanicë më shumë do të shkruhet pa shpjegim, sepse vera është e ngjashme me atë përpara.

prapanicë 10

Umov: llogarisni sa do të jetë diapazoni i funksionit y = 2 2 x - 1 + 3 .

Zgjidhje

Le të rishkruajmë funksionin e dhënë në mendje, si y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Për një funksion statik y = x - 1 2, zona e vlerës do t'i caktohet intervalit 0; + ∞, atëherë. x-1 2 > 0 . Në këtë drejtim:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Pra, E(y) = 3; +∞.

Sugjerim: E(y) = 3; +∞.

Tani le të hedhim një vështrim se si të njohim shtrirjen e funksionit, si të mos ndërpritet. Për të cilat ne duhet të thyejmë të gjithë zonën në boshllëqe dhe të njohim kuptimin jopersonal në lëkurën e tyre, pas së cilës bashkojmë ato që kemi parë. Për një kuptim më të mirë, për hir të përsëritjes së këndvështrimeve kryesore të funksionit.

prapanicë 11

Umov: funksioni i dhënë y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Llogaritni vlerën e zonës її.

Zgjidhje

Ky funksion i është caktuar të gjithë vlerës së x. Le të bëjmë një analizë për vazhdimësinë me vlerat e argumentit, të barabartë - 3 dhe 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Mund të jetë zgjerim i pandërprerë i llojit të parë me vlerën e argumentit - 3 . Kur i afroheni vlerës së re të funksionit, lëvizni deri në - 2 sin 3 2 - 4, dhe kur x është deri në - 3 nga ana e djathtë, vlerat do të lëvizin deri në - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Është e mundur që nuk ka kërkim për një gjini të ndryshme në pikën 3. Nëse funksioni nuk është i barabartë, vlerat її janë afër - 1, nëse funksioni është i barabartë me të djathtën - në minus mospërputhje.

Otzhe, e gjithë zona e funksionit të caktuar është e ndarë në 3 intervale (- ∞ ; - 3 ), (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Në të parën prej tyre hoqëm funksionin y = 2 sin x 2 - 4 . Oskіlki - 1 ≤ mëkat x ≤ 1 është i pranueshëm:

1 ≤ mëkat x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Pra, për këtë interval (- ∞ ; - 3] funksioni nuk ka vlerë - [ - 6 ; 2 ] .

Në intervalin e fundit (- 3 ; 3 ) ekzistonte një funksion konstant y = - 1 . Otzhe, të gjithë її znachen jopersonale nganjëherë do të ndërtohen deri në një numër - 1.

Në një interval tjetër 3; + ∞ mund të përdorim funksionin y = 1 x - 3 . Fitova є lopatë, në atë y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Pra, vlera jopersonale e funksionit të daljes për x > 3 është shumëfish i 0; +∞. Tani rezultatet përgjithësisht hiqen: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Sugjerim: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞.

Zgjidhja tregohet në grafik:

prapanicë 12

Umov: є funksioni y = x 2 – 3 e x . Vlerësoni kuptimin jopersonal.

Zgjidhje

Vaughn-it i caktohet gjithë kuptimi i argumentit, që janë numra aktualë. Në mënyrë domethënëse, për disa intervale jepet funksioni i rritjes dhe për disa prej tyre zvogëlohet:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Ne e dimë se është mirë të shkojmë te 0 si x = - 1 dhe x = 3 . Le të vendosim dy pika në tërësi dhe z'yasuёmo, sikur shenjat do të jenë nëna e intervaleve.

Funksioni do të ndryshojë në (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) i po rritet në [ - 1 ; 3]. Pika minimale do të jetë - 1, maksimumi - 3.

Tani ne i dimë vlerat kryesore të funksionit:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Ne shikojmë sjelljen e funksionit në mospërputhje:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Për llogaritjen e ndërmjetësit tjetër është përdorur rregulli Lopital. Është e imagjinueshme që zgjidhja jonë ka kaluar në grafikë.

Mund të shihet se vlera e funksionit do të ulet në mospërputhje plus në -2e edhe nëse argumenti ndryshon në minus mospërputhje në -1. Nëse vera ndryshon nga 3 në plus pasaktësi, atëherë vlera do të bjerë nga 6 e - 3 në 0, por nëse ka 0, nuk do të ketë arritje.

Në këtë renditje, E(y) = [- 2 e; +∞).

Sugjerim: E(y) = [-2e; +∞)

Si e kujtuat faljen në tekst, tregohuni të sjellshëm, shikoni dhe shtypni Ctrl + Enter

Kuptimi i funksionit dhe gjithçka që lidhet me të është sjellë në mënyrë tradicionale, jo në pikën e mendjes. Le të veçojmë me një gur fokusin se si funksioni dhe përgatitja për ЄДІ є fushën e emërtimit dhe zonën e rëndësisë (ndryshimit) të funksionit.
Nuk është e pazakontë të mësosh të mos diskriminosh midis fushës së funksionit të caktuar dhe zonës së rëndësisë së saj.
Sapo mësojmë të zotërojmë detyrën e ndryshimit të zonës së funksionit të caktuar, atëherë detyra e ndryshimit të kuptimit jopersonal të funksionit kërkon erëra të vështira chimali.
Meta tsi єї statti: njohja e metodave të njohjes së vlerës së një funksioni.
Si rezultat i shqyrtimit të këtyre temave, u zhvillua materiali teorik, u morën parasysh metodat e zgjidhjes së problemeve për rëndësinë e funksioneve të shumta, u zgjodh materiali didaktik për punë të pavarur të studentëve.
Ky artikull mund të jetë mësues në përgatitjen e studentëve për studime diplomimi dhe fillestare, për ata "Fusha e rëndësisë së një funksioni" në lëndët zgjedhore në matematikë.

I. Përcaktimi i fushës së funksionit.

Zona (shumëzuesi) vlera E (y) e funksionit y \u003d f (x) quhet numri i numrave të tillë y 0, për lëkurën z ka një numër të tillë x 0 që: f (x 0) \u003d y 0.

Gjeni zonën e kryesore funksionet elementare.

Le të shohim tabelën.

Funksioni	Kuptimi anonim
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; një]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = harksin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Gjithashtu respektohet se zona e vlerës së çdo polinomi të një faze të çiftuar është një interval, de n është vlera më e madhe e polinomit.

II. Fuqia e funksioneve

Për njohjen e suksesshme të një funksioni jopersonal, është e nevojshme të njihni mirë fuqinë e funksioneve themelore elementare, veçanërisht fushat e tyre të rëndësisë, zonën e rëndësisë dhe natyrën e monotonisë. Le të induktojmë fuqinë e funksioneve të diferencimit të pandërprerë, monotone, të cilat më së shpeshti janë fitimtare kur dihen vlerat jopersonale të funksioneve.

Dominimi 2 dhe 3, si rregull, fitojnë menjëherë fuqinë e një funksioni elementar pa ndërprerje në zonën e tyre të emërimit. Duke pasur parasysh zgjidhjen më të thjeshtë dhe më të shkurtër të problemit të vlerës së shumëzuesit, vlera e një funksioni mund të arrihet në bazë të autoritetit 1, edhe pse metodat jokonsistente mund të përdoren për të përcaktuar monotoninë e një funksioni. Zgjidhja është më e thjeshtë, si funksion, para kësaj, - çifti është i paçiftuar, periodikisht i hollë. Në këtë mënyrë, gjatë ekzekutimit të detyrave mbi rëndësinë e shumëzimit të vlerës së një funksioni, nëse është e nevojshme, është e nevojshme të rishikohet dhe të fitohet fuqia sulmuese e funksionit:

pandërprerë;
monotonia;
diferencimi;
çiftimi, mosçiftimi, periodiciteti është i hollë.

Detyrë e vështirë për të njohur kuptimin jopersonal të funksionit të orientimit shoqëror:

a) për vlerësimet më të thjeshta dhe kufirin: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 atëherë);

b) duke parë katrorin e plotë: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) mbi transformimin e virazivit trigonometrik: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

d) arritja e monotonitetit të funksionit x 1/3 + 2 x-1 rrit R.

III. Le të hedhim një vështrim në metodat e njohjes së zonave të vlerave të funksionit.

a) vlera e fundit e argumenteve të palosshme të funksionit;
b) mënyra e vlerësimit;
c) arritja e pushtetit, mungesa e ndërprerjes dhe monotonia e funksionit;
d) vikoristannya pokhіdnoi;
e) zgjedhjen e vlerës më të lartë dhe më të ulët të funksionit;
e) metodën grafike;
g) metodën e kërkesës së parametrave;
h) metoda e funksionit të kthimit.

Rozkriёmo thelbi i këtyre metodave në të pasme specifike.

Shembull 1. Gjeni diapazonin e vlerës E(y) funksionet y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Këtë prapanicë mund ta zgjidhim me metodën e vlerës sekuenciale të argumenteve të palosshme të funksionit. Duke parë katrorin e ri nën logaritëm, ne e transformojmë funksionin

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Në mënyrë sekuenciale ne e dimë kuptimin jopersonal të її argumenteve të palosshme:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Në mënyrë domethënëse t= 5 – (3 x +1) 2 de -∞≤ t≤4. Tim vetë për të arritur në vlerën e shumëzuesit të vlerës së funksionit y = log 0,5 t në shkëmbim (-∞;4) . Meqenëse funksioni y = log 0,5 t është caktuar vetëm për mendjen tuaj, atëherë vlera anonime në intervalin (-∞; 4) ndryshohet nga vlera anonime e funksionit në intervalin (0; 4), që është intervali të intervalit (-∞; 4) me diapazonin (0; + ∞) të funksionit logaritmik. Në intervalin (0;4) ky funksion është pa ndërprerje dhe më i vogël. Në t> 0 fitoi pragne +∞, dhe kur t = 4 vendos vlerën -2, në E(y) =(-2, +∞).

Shembulli 2. Gjeni shtrirjen e funksionit

y = cos7x + 5cosx

Këtë prapanicë mund ta shohim me metodën e vlerësimeve, thelbi i së cilës qëndron në vlerësimin e funksionit të pandërprerë të pjesës së poshtme dhe të sipërme dhe në vërtetimin e shtrirjes së funksionit të kufijve të poshtëm dhe të sipërm të vlerësimeve. Me çdo ndryshim të impersonalitetit, vlera e funksionit me një interval nga vlerësimi i poshtëm i ndërmjetëm në atë të sipërm përcaktohet nga mosqëndrueshmëria e funksionit dhe prania e vlerave më të ulëta në të.

Nga parregullsitë -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 marrim rezultatin -6≤y?6. Kur x = p і x = 0, funksioni merr vlerën -6 і 6, atëherë. arrijnë kufijtë e poshtëm dhe të sipërm. Si një kombinim linear i funksioneve të pandërprera cos7x dhe cosx, funksioni y është i pandërprerë në të gjithë boshtin numerik, prandaj, për shkak të fuqisë së funksionit të pandërprerë, ai fiton të gjitha vlerat nga -6 në 6. gjithëpërfshirëse, dhe vetëm їх, domethënë, përmes mospërputhjeve në vlerat e -6≤y është e pamundur. Otzhe, E(y)= [-6;6].

Shembulli 3. Gjeni diapazonin e vlerës E(f) funksione f(x)= cos2x + 2cosx.

Duke ndjekur formulën e kosinusit të kutës së nëntelës, transformojmë funksionin f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 që është domethënëse t= cosx. Todi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Oskilki E(cosx) =

[-1;1], pastaj diapazoni i funksionit f(x) zbіgaєtsya me një vlerë jopersonale të funksionit g (t)= 2t 2 + 2t - 1 në pjesën e pasme [-1; 1], siç e dimë me metodën grafike. Induktimi i grafikut të funksionit y \u003d 2t 2 + 2t - 1 \u003d 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 për interval [-1; 1], ne e dimë E(f) = [-1,5; 3].

Respekti - deri në rëndësinë e kuptimit jopersonal të funksionit, është e nevojshme të krijohet një detyrë e pasur me parametrin, e lidhur, më e rëndësishmja, me numrin e dallimeve dhe numrin e dallimeve. Për shembull, të barabartë f(x)\u003d por lejohet të bëhet më shumë se kaq, nëse

aE(f) Në mënyrë të ngjashme, të barabartë f(x)\u003d një kanaçe dua një rrënjë, e përhapur në hendekun aktual X, përndryshe nuk mund të kesh një rrënjë të vetme në të njëjtin boshllëk atëherë dhe vetëm pak, nëse duhet të gënjesh ose jo të gënjesh vlerën jopersonale të funksionit f(x) në intervalin e X. f(x)≠ por, f(x)> a i etj. Zokrema, f(x)≠ dhe për të gjitha vlerat e pranueshme · х yakso a E(f)

Prapa 4. Për çdo vlerë të parametrit të barabartë (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ka një rrënjë të vetme për dhëmbëzimin [-4;-1].

Le të shkruajmë barazinë e shikimit (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Mbetja e barabartë mund të kërkojë vetëm një rrënjë për vdrіzka [-4;-1] ose dhe vetëm nëse ka vlera jopersonale të funksionit f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) në anën e pasme [-4;-1]. Ne njohim impersonalitetin, fuqinë fitimtare, pandërprerjen dhe monotoninë e funksionit.

Nga ana tjetër [-4;-1] funksioni y = xІ + 4 është pa ndërprerje, më pak i është pozitiv, pra funksioni g(x) = 1/(x 2 + 4) është i pandërprerë dhe zbіlshuєtsya në tsemu vіdrіzku, oskіlki për rozpodіlі në funksion pozitiv natyra e monotonitetit të funksionit është ndryshuar në zgjatje. Funksioni h(x) =(x + 5) 1/2 është e pandërprerë dhe rritet në galerinë e saj D(h) =[-5;+∞) i, zokrema, në vіdrіzku [-4;-1], deva, për më tepër, pozitive. I njëjti funksion f(x)=g(x) h(x), si shtimi i dy funksioneve të pandërprera, në rritje dhe pozitive, ai është gjithashtu i pandërprerë dhe rritet me [-4;-1] shtesë, kështu që ka një vlerë jopersonale me [-4;-1] є shtesë [ f(-4); f(-1)]=. Gjithashtu, është e barabartë me zgjidhjen e dyfishit [-4;-1], për më tepër, një (për cilësinë e një funksioni monotonik të vazhdueshëm), me 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Respekt. Lejueshmëria e barabartë f(x) = a në intervalin aktual X është e barabartë me vlefshmërinë e vlerës së parametrit por vlera e funksionit jopersonal f(x) mbi X. Otzhe, vlera jopersonale e funksionit f(x) për intervalin X ndryshohet nga vlera e parametrit por, për të barabartët f(x) = a Mund të dua një rrënjë për zonën e maturës së H. Zokrem E(f) funksione f(x) zbіgaєtsya me një vlerë anonime të parametrit por, për të barabartët f(x) = a Mund të dua një rrënjë.

Shembulli 5. Gjeni diapazonin e vlerës E(f) funksione

Hapja e prapanicës me metodën e futjes së një parametri, zgіdno z E(f) zbіgaєtsya me një vlerë anonime të parametrit por, për të barabartët

Mund të dua një rrënjë.

Kur a = 2 është e barabartë lineare - 4x - 5 = 0 me një koeficient jo zero për x jo zero, nuk ka zgjidhje. Kur a≠2 është e barabartë me katrorin, atëherë mund të zgjidhet ose dhe vetëm nëse është diskriminues

Pika Oskіlki a = 2 për të shtrirë në vіdrіzku

atëherë shukanim vlerën e parametrit por, do të thotë, unë vlerësoj zonën E(f) të gjithë vіdrіzok.

Si një zhvillim jo i ndërmjetëm i metodës së futjes së një parametri me një vlerë të caktuar jopersonale të një funksioni, mund të konsiderohet metoda e një funksioni të kthimit, për qëllimin e të cilit është e nevojshme të kontrollohet vlera e funksionit. f(x)=y, me parametrin y. Yakshcho tse e barabartë mund të jetë një zgjidhje x = g(y), pastaj diapazoni E(f) funksionet e jashtme f(x) arratisje nga zona e takimit D(g) funksioni i pështymës g(y). Yakshcho është i barabartë f(x)=y zgjidhje maє kіlka x = g 1 (y), x = g 2 (y) dhe kështu me radhë, atëherë E(f) integrim më i mirë i fushave të funksionit g 1 (y), g 2 (y) dhe etj.

Shembulli 6. Gjeni zonën e vlerës E(y) funksionet y = 5 2/(1-3x).

Z i barabartë

ne e dimë funksionin e kthimit x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) D(x):

Oskіlki rіvnyannya schodo x mund të jetë zgjidhja e vetme, atëherë

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Meqenëse zona e funksionit të caktuar përmblidhet nga dekada intervalesh, dhe funksioni në intervale të ndryshme jepet me formula të ndryshme, atëherë për rëndësinë e zonës së vlerës së funksionit, kërkohet të dihet anonime. vlera e funksionit në intervalin e lëkurës dhe t'i marrë ato së bashku.

Shembulli 7. Gjeni fushat me rëndësi f(x)і f(f(x)), de

f(x) në shkëmbim (-∞; 1], de fitoi z virase 4 x + 9 4 -x + 3. Në mënyrë domethënëse t = 4 x. Todi f(x) = t + 9/t + 3, nga 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) në shkëmbim (-∞;1] g(t) = t + 9/t + 3, në mes (0; 4], siç e dimë, vikorist g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Në promizhku (0;4] mirë g'(t)është caktuar të fillojë atje në zero në t=3. Në 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) zvogëlohet dhe intervalet (3; 4) rriten, të tejmbushura me një interval të pandërprerë mustardë (0; 4), poeti g. (3)= 9 - vlera më e vogël e funksionit për ndërthurjen (0; 4], megjithatë, vlera maksimale nuk është e mundur, kështu që me t→0 funksioni i dorës së djathtë g(t)→+∞. Todi, për cilësinë e një funksioni të pandërprerë, vlera jopersonale e një funksioni g(t) në intervalin (0; 4], që do të thotë se nuk kam asnjë kuptim f(x) në (-∞;-1], të jetë promin.

Tani, intervalet e kombinuara janë kuptimi jopersonal i funksionit f(f(x)), kuptimisht t = f(x). Todi f(f(x)) = f(t), de t funksionin f(t)= 2 cos( x-1) 1/2+ 7 dhe ri-pranoni të gjitha vlerat nga 5 në 9 përfshirëse, d.m.th. zona e vlerës E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Në mënyrë të ngjashme, duke ditur z = f(f(x)), ju mund të dini gamën E(f3) funksione f(f(f(x))) = f(z) de 5 ≤ z ≤ 9 etj. Kalojeni, çfarë E(f 3) = .

Metoda më universale për llogaritjen e shumëzimit të vlerës së një funksioni dhe zbritjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël të një funksioni për një interval të caktuar.

Shembulli 8. Për disa vlera të parametrit R pabarazi 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x fito për të gjithë -1 ≤ x< 2.

Duke emëruar t = 2 x, le të shkruajmë pabarazinë e pamjes p ≠ t 3 - 2t 2 + t. pra jak t = 2 x- funksioni i rritjes së pandërprerë aktiv R, atëherë për -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R shikoni vlerën e funksionit f(t) = t 3 - 2t 2 + t në 0,5 ≤ t< 4.

Ne e dimë rendin e vlerës anonime të funksionit f(t) në vіdrіzku, më kot kudo që mund të shkoj f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Otzhe, f(t) të diferencuara, më vonë, dhe pa ndërprerje ndaj erës. Z i barabartë f'(t) = 0 ne i dimë pikat kritike të funksionit t=1/3, t=1, para së gjithash, nuk mund të shtrihesh mbi një mik, por mbi një mik, ti. pra jak f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, atëherë, për cilësinë e funksionit të diferencuar, 0 është më e vogla dhe 36 është vlera më e lartë e funksionit f(t) në vіdrіzku. Todi f (t), si një funksion pa ndalesë, ai pranon të gjitha vlerat nga 0 në 36 përfshirëse, për më tepër, vlera 36 merr vetëm t=4 për më tepër, për 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Pohіdna është pozitive për të gjithë intervalin x z (-1; 1), kështu që funksioni i arksinës rritet në të gjithë gamën e caktimit. Përsëri, vlera më e vogël e fitimit është në x = -1, dhe më e madhja në x = 1.

Ne zbritëm domenin e funksionit në harkun .

prapanicë.

Gjeni vlerën anonime të një funksioni në vіdrіzku.

Zgjidhje.

Le të dimë funksionin më të rëndësishëm dhe më pak të rëndësishëm në këtë temë.

Në mënyrë domethënëse, pika ekstreme, e cila shtrihet në vіdrіzku:

Llogaritja e vlerës së funksionit të daljes në skajet e prerjes dhe në pikat :

Otzhe, vlera jopersonale e funksionit në vіdrіzku є vіdrіzok .

Tani le të tregojmë se si të dimë vlerën e një funksioni të pandërprerë y = f(x) në intervalet (a; b) , .

Që në fillim, ne caktojmë pikat ekstreme, ekstremet e funksioneve, intervalet e rritjes dhe ndryshimin e funksioneve në një interval të caktuar. Ato u llogaritën në intervalet e intervalit dhe (ose) ndërmjet në mospërputhje (d.m.th., sjelljen e funksionit në intervalet e intervalit ose në mospërputhje). Ka informacion të mjaftueshëm për të ditur vlerën jopersonale të funksionit në intervale të tilla.

prapanicë.

Përcaktoni një vlerë jopersonale të funksionit në intervalin (-2; 2).

Zgjidhje.

Ne i dimë pikat e ekstremit të funksionit, të cilat shpenzohen në intervalin (-2; 2):

Krapka x = 0 është pika maksimale, prandaj është e nevojshme të ndryshohet shenja plus në minus kur kalon nëpër të, dhe grafiku i funksionit duket se rritet për të shkuar në rënie.

є vіdpovіdny funksioni maksimalії.

Ne mund të kuptojmë sjelljen e funksionit në x, i cili është deri në -2 djathtas dhe në x, që është deri në 2 złiva, kështu që ne njohim kufijtë e njëanshëm:

Ajo që hoqëm: kur argumenti id -2 ndryshohet në zero, vlera e funksionit rritet nga minus mospërputhje në minus një të katërtën (maksimumi i funksionit në x = 0), kur argumenti id ndryshohet nga zero në 2, vlera e funksionit bie në pafundësi. Në këtë renditje, vlera jopersonale e funksionit në intervalin (-2; 2) є .

prapanicë.

Specifikoni vlerën e shumëzuesit të funksionit në tangjenten y = tgx në interval.

Zgjidhje.

Funksioni i ngjashëm me tangjenten në interval është pozitiv që tregon rritjen e funksionit. Ndiqni sjelljen e funksionit në kufijtë e intervalit:

Në këtë mënyrë, kur ndryshoni argumentin, vlera e funksionit rritet nga minus mospërputhje në mospërputhje plus, domethënë, vlera e tangjentës në këtë interval është vlera e të gjithë numrave realë.

prapanicë.

Gjeni diapazonin e funksionit të logaritmit natyror y = lnx.

Zgjidhje.

Funksioni i logaritmit natyror u caktohet vlerave pozitive të argumentit . Në çfarë intervali është pozitiv Nuk ia vlen të flasim për rritjen e funksioneve në një të re. Ne e dimë kufirin e njëanshëm të funksionit kur argumenti është me dorën e djathtë deri në zero, dhe kufirin në x, i cili është i drejtë deri në plus mospërputhje:

Bachimo, për ndryshimin e x nga zero në mospërputhje plus, vlera e funksionit rritet nga minus mospërputhje në mospërputhje plus. Otzhe, shtrirja e funksionit të logaritmit natyror є numra realë jopersonalë.

prapanicë.

Zgjidhje.

Ky funksion u caktohet të gjitha vlerave aktuale x. Pikat ekstreme janë të rëndësishme, si dhe boshllëqet në rritjen dhe ndryshimin e funksionit.

Gjithashtu, funksioni ndryshon në , rritet në , x = 0 është pika maksimale, maksimumi i dukshëm i funksionit.

Ne shikojmë sjelljen e funksionit në mospërputhje:

Në këtë mënyrë, në rast të mospërputhjes, vlerat e funksionit në mënyrë asimptotike i afrohen zeros.

Ne shpjeguam se kur argumenti ndryshohet nga minus mospërputhje në zero (pikat maksimale), vlera e funksionit rritet nga zero në nëntë (në maksimum të funksionit), dhe kur x ndryshohet nga zero në plus mospërputhje, vlera i funksionit ndryshon nga nëntë në zero.

Shikoni të vegjlit skematikë.

Tani mund të shihni qartë se diapazoni i funksionit është .

Vlera e shumëzuesit të vlerës së funksionit y = f(x) në intervalet me kohëzgjatje të njëjtë. Le të mos raportojmë menjëherë për këto vipadka. Në vithe poshtë, erëra është më e mprehtë.

Le të kombinohet shtrirja e funksionit y = f(x) për një numër intervalesh. Kur zona dihet, vlera e një funksioni të tillë tregohet nga vlera jopersonale e zgjatjes së lëkurës dhe përgjithësimi i saj.

prapanicë.

Gjeni shtrirjen e funksionit.

Zgjidhje.

Standardi i funksionit tonë nuk është fajtor që zbret në zero, tobto,.

Ne e dimë vlerën jopersonale të funksionit në shkëmbimin e hapur.

Funksione të tjera negative për këtë interim, kështu që funksioni ndryshon për të.

Është marrë parasysh se kur argumenti është minus mospërputhje, vlerat e funksionit i afrohen në mënyrë asimptotike unitetit. Kur ndryshoni x në minus mospërputhje në dy vlera, funksioni ndryshon nga një në minus mospërputhje, kështu që për një kohë të shkurtër, siç mund ta shihni, funksioni merr një vlerë jopersonale. Njëra nuk përfshihet, fragmentet e vlerës së funksionit nuk e arrijnë atë, nuk mjafton të hidhesh në mënyrë asimptotike tek ai me minus mospërputhje.

Diemo është i ngjashëm për shkëmbimin e hapur.

Në cilin interval ndryshon edhe funksioni.

Vlera anonime e funksionit për atë interim është jopersonale.

Në këtë mënyrë, shtrirja e vlerës së funksionit nevojitet për të kombinuar shumëfishat.

Ilustrime grafike.

Gjurmët Okremo në funksionet periodike. Shtrirja e vlerës së funksioneve periodike ndryshohet nga vlera jopersonale e intervalit, e cila varet nga periudha e funksionit.

prapanicë.

Gjeni diapazonin e funksionit sinus y = sinx.

Zgjidhje.

Ky funksion është periodik me një periudhë prej dy pi. Vіzmemo vіdrіzok ka kuptim dukshëm jopersonal në nymu.

Vіdrіzku shtrihen dy pika të ekstremit ta .

Ne llogarisim vlerën e funksionit në këto pika dhe në kufijtë e vіrіzka, ne zgjedhim vlerën më të vogël dhe më të lartë:

Otzhe, .

prapanicë.

Gjeni shtrirjen e një funksioni .

Zgjidhje.

Ne e dimë se diapazoni i vlerave të arkkosinës є vіdrіzok vіd zero në nі, atëherë, ose në një hyrje tjetër. Funksioni mund të jetë otrimana z arccosx zsuv i raztyaguvannyam vzdovzh boshti abscissa. Një transformim i tillë në zonë nuk duhet të injektohet, për këtë, . Funksioni dil nga shtrirë në vtrychі vzdovzh osі Oy, tobto, . Faza e parë e mbetur e transformimit - tse zsuv chotirma vetëm poshtë boshtit uzdovzh të ordinatave. Nuk ia vlen të na sjellësh në nervozizëm të metrosë

Në këtë gradë, zona me vlerë shukana është .

Le të bëjmë një zgjidhje për një prapanicë më shumë, por pa shpjegim (nuk ka nevojë për erë të keqe, do të bëj të njëjtën gjë për këtë).

prapanicë.

Përcaktoni shtrirjen e funksionit .

Zgjidhje.

Le të shkruajmë funksionin e daljes si . Zona e vlerës së funksionit shtetëror është intervali. Tobto,. Todi

Otzhe, .

Për të plotësuar figurën, le të flasim për shtrirjen e vlerës së funksionit, pasi është shtrirja e pandërprerë e funksionit. Në këtë rast, zona e takimit ndahet me pika në boshllëqe dhe ne e dimë vlerën e pakuptimtë në lëkurën e tyre. Duke kombinuar zbritjen e vlerave të shumëzuesit, ne zbresim zonën e vlerës së funksionit të daljes. Rekomandohet të merren me mend 3 vlera të funksionit të majtë për të lëvizur minus një, dhe nëse x është deri në 3 në të djathtë, vlera e funksionit për të lëvizur plus pasaktësi.

Në këtë mënyrë, zona e funksionit ndahet në tre intervale.

Mund të kem një funksion . Oscilki, atëherë

Kështu, vlera jopersonale e funksionit të daljes për intervalin është є [-6; 2].

Në intervalin e fundit, është e mundur të kemi një funksion konstant y = -1. Prandaj, vlera jopersonale e funksionit të jashtëm për të përkohshmen shtohet nga një element i vetëm.

Funksioni u caktohet të gjitha vlerave aktuale të argumentit. Z'yasuєmo promiski rritje dhe ndryshim i funksionit.

Pokhіdna kthehet në zero në x=-1 dhe x=3. Në mënyrë domethënëse qi tregon në boshtin numerik dhe shenja dukshëm të ngjashme në nënintervale.

Funksioni ndryshon në , Rritja me [-1; 3] , x=-1 pikë në minimum, x=3 pikë në maksimum.

Le të llogarisim funksionet minimale dhe maksimale:

Kthimi i sjelljes së funksionit në mospërputhje:

Një tjetër mezhu u akuzua për.

Më shumë skematikisht karrige.

Kur argumenti ndryshohet nga pacaktimi minus në -1, vlera e funksionit ndryshon nga plus pafundësi në -2e, kur argumenti ndryshohet nga -1 në 3, vlera e funksionit rritet nga -2e në , kur argumenti ndryshohet nga 3 në plus pafundësi, vlera e funksionit rritet por ato nuk arrijnë zero.

Një funksion është një nga konceptet matematikore më të rëndësishme për t'u kuptuar.

Emërimi: Nëse numri i lëkurës së shumëzuesit deuce x i caktohet një y, atëherë duket se funksioni y(x) i është caktuar shumëzuesit. Kur x quhet një argument i pavarur ndryshimi dhe y quhet një vlerë ndryshimi i funksionit, ai është thjesht një funksion.

Për të thënë kështu, ajo që po ndryshon y është funksioni i ndryshimit të x.

Pasi të kemi shënuar vlefshmërinë e një shkronje të caktuar, për shembull, f, është e lehtë të shkruhet: y=f (x), në mënyrë që vlera e y të vijë nga argumenti x për vlefshmërinë shtesë të f. (Lexo: y është e barabartë me f në x.) Simboli f (x) tregon vlerën e funksionit, i cili përputhet me vlerën e argumentit, i cili është i barabartë me x.

Shembulli 1 Le të përcaktohet funksioni me formulën y=2x 2 –6. Atëherë mund të shkruhet se f(x) = 2x2-6. Ne e dimë vlerën e funksionit x, e barabartë, për shembull, 1; 2,5;-3; kështu që ne e dimë f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 -6=6.5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Me respekt, rekordi ka formën y=f (x) në vend të f për të jetuar me shkronja të tjera: g, pastaj.

Destinacioni: Shtrirja e funksionit - vlera e x, të cilat kanë të njëjtin funksion.

Nëse funksioni jepet nga formula dhe fushëveprimi i funksionit nuk caktohet, atëherë është e rëndësishme që shtrirja e funksionit t'i shtohet vlerës së argumentit, për të cilin formula nuk ka kuptim.

Përndryshe, me sa duket, qëllimi i funksionit, i dhënë nga formula, është vlera e argumentit, kremi është i qetë, pasi prodhohet në diy, siç mund të vikonojmë. Për momentin, ne njohim vetëm dy prej tyre. Nuk mund të pjesëtojmë me zero dhe nuk mund të marrim rrënjën katrore të një numri negativ.

Përcaktimi: Përdorni vlerën, nëse pranoni ndryshimin pasues, vendosni zonën e vlerës së funksionit.

Shtrirja e funksionit të caktuar, i cili përshkruan procesin real, të shtrihet në mendjet e mendjeve dhe proceseve specifike. Për shembull, bajatia e gjatësisë së gjatësisë së gjatësisë së prerjes, në varësi të temperaturës së ngrohjes t, shprehet me formulën, de l 0 të gjatësisë së gjatësisë së gjatësisë së gjatësisë së gjatësisë së gjatësisë të gjatësisë dhe koeficientit të zgjerimit linear. Formula maє sens për çdo vlerë të t është caktuar. Megjithatë, shtrirja e funksionit l = g (t) është një interval prej dhjetëra gradësh, për të cilin ligji i zgjerimit linear është i drejtë.

prapanicë.

Specifikoni gamën e funksionit y=arcsinx.

Zgjidhje.

Zona e caktuar për harkun є vіdrіzok [-1; 1] . Le të dimë funksionin më të rëndësishëm dhe më pak të rëndësishëm për çdo thread.

Pokhіdna është pozitive për të gjithë x nga intervali (-1; 1) Prandaj, funksioni i arksinës rritet në të gjithë gamën e emërtimit. Otzhe, gjëja më pak e rëndësishme është nabuvaє x=-1, dhe më së shumti në x=1.