Si të hartoni saktë ndarjen e nervozizmit. Pabarazia thyesore-racionale. Si të merreni me mospërputhjet, të cilat kanë një modul

Lloji ax 2 + bx + 0 0, de (zëvendësimi i shenjës > e mundur, e ndjeshme, të jetë një shenjë tjetër e pabarazisë). Gjithçka është e nevojshme për zgjidhjen e mospërputhjeve të tilla me faktet e teorisë, ne mund të shohim pse mund të ndryshojmë menjëherë.

prapanicë 1. Virishiti nerіvnіst:

a) x 2 - 2x - 3> 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
zgjidhje,

a) Le të shohim parabolën y \u003d x 2 - 2x - 3, të paraqitur në fig. 117.

Pabarazia e virgjërisë x 2 - 2x - 3 > 0 - nuk do të thotë furnizim me energji elektrike, për të cilën ordinata x pika e parabolës është pozitive.

Me respekt, që y > 0, atëherë grafiku i funksionit të zgjerimit është më i lartë për boshtin x, në x< -1 или при х > 3.

Otzhe, zgjidhjet për pabarazitë janë të gjitha pikat e hapjes Rreth meje(- 00 , - 1) dhe gjeni të gjitha pikat e diapazonit kritik të hapur (3, +00).

Shenja Vykoristovuyuchi U (shenja e nënndarjes), mund të shkruhet kështu: (-00, - 1) U (3, +00). Vtim, vіdpovіd mund të shkruhet kështu: x< - 1; х > 3.

b) Pabarazi x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: orarin duke u përhapur nën boshtin x, yakso -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Parregullsia x 2 - 2x - 3 > 0 llogaritet si pabarazi x 2 - 2x - 3 > 0, kështu që ju duhet të përfshini shtrirjen e rrënjës x 2 - 2x - 3 = 0, pastaj pikat x = -1

і x \u003d 3. Në këtë renditje, zgjidhjet e dhëna nuk janë plotësisht të pabarabarta dhe të gjitha pikat e ndryshimit (-00, - 1], si dhe pikat e ndryshimit të mustaqeve.

Matematikanët praktikë tingëllojnë kështu: ejani tek ne, duke vërtetuar sëpatën e pabarazisë 2 + bx + c\u003e 0, për të zhvilluar me saktësi parabolën e grafikut të një funksioni kuadratik

y \u003d sëpatë 2 + bx + c (si u thye në prapanicën 1)? Përfundimi i grafikës së vogël skicuese rrënjë të trinomit katror (pikat e shiritit të tërthortë të parabolës z vіssy х) dhe tregojnë, ku drejtimi i gjilpërave të parabolës është përpjetë poshtë. Ky vogëlush skicativ do t'ju japë një re nervozizmi rozv'yazannya.

prapanicë 2. Virishiteti nerіvnіst - 2х2+Зх+9< 0.
Zgjidhje.

1) Ne e dimë rrënjën e trinomit katror - 2x2 + Zx + 9: x1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, si një grafik i funksionit y \u003d -2x 2 + Zx + 9, duke zhvendosur të gjitha x në pikat 3 i - 1.5, dhe kunjat e parabolës janë drejtuar poshtë, ato më të vjetrat Koeficient- Numri negativ - 2. Në fig. 118 paraqitje të grafikave të vogla.

3) Oriz Vikoristovuyuchi. 118, robimo visnovok: u< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Sugjerim: x< -1,5; х > 3.

Shembulli 3. Virishiti nerіvnіst 4х 2 - 4х + 1< 0.
Zgjidhje.

1) Z i barabartë 4x 2 - 4x + 1 = 0 është i njohur.

2) Një trinom katror ka një rrënjë; tse do të thotë se është një parabolë, si një grafik i një trinomi katror, ​​mos i ndryshoni të gjitha x, por qëndroni në pikë. Kokat e parabolës drejt e lart në kodër (Fig. 119.)

3) Për një model gjeometrik shtesë, i cili është paraqitur në Fig. 119, vërtetohet se pabarazia vendoset vetëm në pika, shkallëzimi në të gjitha vlerat e tjera të ordinatës së grafikut është pozitiv.
Sugjerim: .
Ti kendo ke kujtuar se ne fakt bythe 1, 2, 3 kishin nje kenge te tere algoritmi rozv'yazannya parregullsi katrore, yogo e zyrtarizuar.

Algoritmi për nxjerrjen e parregullsive katrore ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Në fazën e parë, algoritmi duhet të dijë rrënjën e trinomit katror. Por rrënja nuk mund të thyhet, pse funksionon? Atëherë algoritmi nuk zastosovuetsya, atëherë, gjithsesi është e nevojshme ta vëzhgoni atë. Çelësi i tsikh mirkuvan është të japësh teorema të tilla.

Me fjalë të tjera, si D< 0, а >0, atëherë pabarazia e sëpatës 2 + bx + c > 0 fiton për të gjitha x; navpaki, nerіvnіst ах 2 + bх + c< 0 не имеет решений.
Dëshmi. Orari funksione y \u003d sëpata 2 + bx + c є parabola, gjilpërat janë drejt përpjetë (skalarët a\u003e 0) dhe jak nuk i ndryshon të gjitha x, sepse trinomi katror nuk ka rrënjë për mendjen. Grafiku është paraqitur në fig. 120. Bachimo, që me të gjitha x orari i zgjerimeve është më i lartë se boshti x, por tse do të thotë se me të gjitha x, boshti i pabarazisë 2 + bx + c > 0, i cili supozohej të plotësohej.

Me fjalë të tjera, si D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 pa zgjidhje.

Dëshmi. Grafiku i funksionit y \u003d ax 2 + bx + c< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

prapanicë 4. Virishiti nerіvnіst:

a) 2x 2 - x + 4> 0; b) -x 2 + Zx - 8> 0.

a) Ne e dimë diskriminuesin e trinomit katror 2x 2 - x + 4. Maj D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Koeficienti senior i trinomit (numri 2) është pozitiv.

Pra, për teoremën 1, për të gjithë x, kapërcehet pabarazia 2x 2 - x + 4> 0, kështu që të gjitha (-00 + 00) shërbejnë si zgjidhje për pabarazinë e dhënë.

b) Ne e dimë diskriminuesin e trinomit katror - x 2 + Zx - 8. Maj D \u003d Z2 - 4 (-1) (-8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Vlefshmëria: a) (-00 + 00); b) nuk ka zgjidhje.

Në prapanicë sulmuese, ne njohim një mënyrë tjetër të miringut, të cilën e zastosovetsya në hapjen e parregullsive katrore.

Shembulli 5. Virishiteti nerіvnіst Зх 2 - 10х + 3< 0.
Zgjidhje. Ne e zgjerojmë trinomin katror 3x 2 - 10x + 3 në shumëzues. Tek rrënjët e trinomit є numri 3 i në atë, duke përshpejtuar sëpatën 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), marrim 3x 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Në mënyrë domethënëse në rrënjën e drejtpërdrejtë numerike të trinomit: 3 i (Fig. 122).

Le të jetë x> 3; atëherë x-3>0 і x->0, atëherë, i 3 (x - 3) (x - ) shtesë është pozitive. Hajde hajde< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Gjithashtu, dobutok 3(x-3)(x-) është negativ. Hajde, hajde, x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3 (x -3) (x -) është pozitive.

Duke përmbledhur, arrijmë te visnovka: shenjat e trinomit katror Zx 2 - 10x + 3 ndryshojnë siç tregohet në fig. 122. Por ne duhet të quhemi, për disa trinom katrorë merr vlera negative. 3 fig. 122 robimo visnovok: trinomi katror 3x 2 - 10x + 3 nabuє vlera negative për çdo vlerë të x në intervalin (, 3)
Vidpovid (, 3), ndryshe< х < 3.

Respekt. Metoda e pasqyrimit, të cilën e përdorëm në prapanicën 5, quhet metoda e intervaleve (ose metoda e intervaleve). Win fiton në mënyrë aktive në matematikë për përsosmëri racionale parregullsi. Në klasën e 9-të, metoda e intervaleve është më e detajuar.

prapanicë 6. Për çdo vlerë të parametrit p katror i barabartë x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ka dy rrënjë të ndryshme;

b) ka një rrënjë;

c) jo maє -root?

Zgjidhje. Numri i rrënjëve të barazimit katror duhet të gjendet sipas shenjës së diskriminuesit të parë D. Në këtë rast dihet D = 25 - 4p2.

a) Një shtrirje katrore mund të ketë dy rrënjë të ndryshme, si D>0, prandaj, detyra është të ndërtohet deri në shtrirjen e pabarazisë 25 - 4p 2 > 0. Ne heqim barazinë e pabarazisë 4r 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Shenjat e virazës 4(p – 2.5) (p + 2.5) janë paraqitur në fig. 123.

Robimo visnovok, i cili është i pabarabartë 4(p - 2.5) (p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) shtrirje katrore mund të ketë një rrënjë, kështu që D - 0.
Ne futëm më shumë, D = 0 për p = 2.5 ose p = -2.5.

E njëjta gjë me vlerat tsikh të parametrit jepet një katror i barabartë me vetëm një rrënjë.

c) Katrori nuk është i barabartë me rrënjën, si D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Ne marrim 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5) > 0, yje (div. Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Me vlerat tsikh të parametrit të dhënë, katrori nuk ka rrënjë.

Vidpovid: a) në p(-2.5, 2.5);

b) në p = 2,5 abor = -2,5;
c) në r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algjebër. Klasa 8: Navch. për zagalnosvіt. instalimi - Pamja e 3-të., Doopratsyuvannya. - M.: Mnemozina, 2001. - 223 f.: il.

Ndihmë për një nxënës në internet, shkarkimi i matematikës për klasën e 8-të, planifikimi kalendar-tematik

Lineare quhen mospërputhje pjesa e majtë dhe e djathtë e funksioneve të tilla lineare me një madhësi të panjohur. Para tyre mund të shihet, për shembull, nervozizmi:

2x-1-x +3; 7x0;

5 > 4 - 6 herë 9- x< x + 5 .

1) Pabarazia e suvorit: sëpatë+b>0 ose sëpatë+b<0

2) Parregullsi jo strikte: sëpatë+b≤0 ose sëpatë+b≫ 0

Le t'i hedhim një sy. Njëra nga brinjët e paralelogramit bëhet 7cm. Sa mund të jetë gjatësia e anës tjetër, në mënyrë që perimetri i paralelogramit të jetë më i madh se 44 cm?

Hajde shukana ana e stokut X shih Këtë herë, perimetri i paralelogramit do të ketë paraqitje (14 + 2x) shih Parregullsi 14 + 2x > 44 є modeli matematik Problema rreth perimetrit të një paralelogrami. Ashtu si në këtë pabarazi, zëvendësoni ndryshimin X në, për shembull, numrin 16, atëherë marrim pabarazinë e saktë numerike 14 + 32\u003e 44. Në këtë rast, duket se numri 16 është i njëjtë me ndryshimin midis 14 + 2x\u003e 44.

Rozvyazanyam nervozizëm emërtoni kuptimin e ndryshimit, sikur të ishte një kafshë e tyre, në pabarazinë numerike të saktë.

Otzhe, lëkurë nga numrat 15.1; 20;73 vepron si një pabarazi rozvyazkoy 14 + 2x > 44, dhe numri 10, për shembull, nuk është i njëjti rozvyazky.

Virishiti nerіvnіst do të thotë të instalosh të gjitha zgjidhjet, ose të sjellësh, që zgjidhja nuk ekziston.

Formulimi i rozv'yazannya të pabarazisë është i ngjashëm me formulimin e rrënjës së shtrirjes. Megjithatë, nuk është zakon të caktohet "rrënja e nervozizmit".

Dominimi i ekuivalencës numerike u plotësua nga ekuivalenca virishuvati. Pra, vetë fuqia e mospërputhjeve numerike do të ndihmojë për të kapërcyer mospërputhjet.

Ekuivalencën Virishuyuchi, ne ndryshojmë yogo іnhim, do të falim ekuivalencë më shumë, por edhe pse të barabartë me atë të dhënë. Pas një skeme të tillë, dihen pasojat dhe mospërputhjet. Kur ndryshoni barazimin në të barabartë me të, barazimi vërtetohet nga teorema për transferimin e shtesave nga një pjesë e të barabartës me gjatësinë dhe shumëzimin e të dy pjesëve të barazimit me të njëjtin në të njëjtin numër si zero. Në rast të rozvyazannі nerіvnіnosti є istotna vіdminnіst yogo z іvnyannіm, jak duke argumentuar në faktin se nëse zgjidhja іvіnnіnіnі mund të keqkuptohet vetëm duke vendosur vihіdnіnіnіnіnіа. Parregullsitë kanë një mënyrë të tillë çdo ditë, saqë nuk është e mundur t'u paraqitet një zgjidhje jopersonale. Për këtë është e rëndësishme të kuptohet, boshti i shigjetave<=>- shenja tse e ekuivalentit, chi e barabartë, transformim. Transformimi quhet të barabartë, ose ekuivalente si era e keqe nuk e ndryshon vendimin jopersonal.

Rregulla të ngjashme për nervozizëm rozv'yazannya.

Sikur diçka do të zhvendosej nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën, duke zëvendësuar shenjën me atë të kundërt, atëherë heqim pabarazinë, ekuivalente me atë të dhënë.

Nëse i shumëzoni (pjestoni) pjesët fyese të nervozizmit me të njëjtin numër pozitiv, atëherë ne heqim pabarazinë ekuivalente me atë të dhënë.

Nëse pjesët fyese të pabarazisë i shumëzoni (pjestoni) me të njëjtin numër negativ, duke zëvendësuar shenjën e pabarazisë me zgjatjen, atëherë heqim pabarazinë, e cila është ekuivalente me atë të dhënë.

Vikoristovuyuchi qi rregulloret duke llogaritur nervozizmin më të ulët.

1) Le të hedhim një vështrim në mospërputhjen 2x - 5 > 9.

Tse pabarazia lineare, ne e dimë vendimin e Yogo-s dhe në mënyrë të diskutueshme kuptimin kryesor.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 u zhvendosën në pjesën e majtë me një shenjë të kundërt), pastaj ata ndanë gjithçka me 2 dhe ndoshta x > 7. Ne do të aplikojmë një zgjidhje të pasur për gjithçka x

Ne i kemi hequr direktivat pozitive. Vendim dukshëm jopersonal ose si një nervozizëm x > 7, ose si një interval x(7; ∞). Po vendimet private për nervozizmin? Për shembull, x=10- tse private vyshennya tsієї nerіvnostі, x=12- është gjithashtu një variant privat i nervozizmit.

Ka shumë vendime private, por detyra jonë është t'i dimë të gjitha vendimet. Dhe vendimi, si rregull, është jopersonal.

Rozberemo prapanicë 2:

2) Eliminoni nervozizmin 4a - 11 > a + 13.

Joga Virishima: a le të lëvizim në një sqep, 11 kaloni në librin tjetër, merrni 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nervozizmi mund të duket a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Tezh në dukje jopersonale a< 8 , por tashmë në bosht a.

Vidpovid ose shkruani si nervozizëm a< 8, либо a(-∞;8), 8 nuk përfshihet.

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për arsye ne kemi zgjeruar Politikën e Privatësisë, siç përshkruhet, pasi kemi mbledhur informacionin tuaj. Jini të sjellshëm, lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje në lidhje me ushqimin.

Përzgjedhja e informacionit personal të zgjedhur

Nën informacionin personal jepen të dhëna, pasi mund të fitohet për identifikimin e një individi këngëtar dhe një lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet informacioni juaj personal nëse na kontaktoni.

Më poshtë, ka disa shembuj të llojeve të informacionit personal, siç mund të zgjedhim dhe siç mund të zgjedhim informacione të tilla.

Si mbledhim informacione personale:

• Nëse dorëzoni një aplikim në sit, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email dhe etj.

Si i mbledhim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal i mbledhur nga ne na lejon të kontaktojmë me ju dhe t'ju tregojmë për ofertat unike, promovimet dhe të tjera, të vizitojmë dhe të gjejmë ato më të afërtat.
• Herë pas here ne mund t'i vikoristojmë të dhënat tuaja personale për të forcuar përkujtuesit dhe përkujtuesit e rëndësishëm.
• Ne gjithashtu mund të mbledhim informacione personale për qëllime të brendshme, të tilla si auditimi, analizimi i të dhënave dhe të dhënave të tjera me një metodë të përmirësimit të shërbimeve, të cilat shpresojmë t'ju jepen duke rekomanduar shërbimet tona.
• Ndërsa merrni pjesë në shorte çmimesh, konkurse ose hyrje të ngjashme nxitëse, ne mund të fitojmë informacion, me shpresë, për të menaxhuar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit personave të tretë

Ne nuk ua zbulojmë informacionin tuaj personave të tretë.

Vinyatki:

• Është e nevojshme - sipas ligjit, urdhrit gjyqësor, shqyrtimit gjyqësor dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - të zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush, edhe më e rëndësishmja, se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, ruajtjen e rendit dhe ligjit ose vipadkiv të tjerë të rëndësishëm.
• Në kohë riorganizimi, rëndimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë të dhënat personale të mbledhura nga ne, personi i tretë - te shkelësi.

Mbrojtësi i të dhënave personale

Ne jetojmë jashtë vendit - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për mbrojtjen e informacionit tuaj personal në formën e mbeturinave, vjedhjeve dhe vikoristannya të paskrupullta, si dhe akses të paautorizuar, zbulim, ndryshim të asaj shkeljeje.

Ruajtja e privatësisë suaj në një kompani homologe

Për të ndryshuar të dhënat tuaja personale në mënyrë që të dhënat tuaja personale të mbahen të sigurta, ne sjellim normat e konfidencialitetit dhe sigurisë në kontaktet tona dhe ne ndjekim me përpikëri rregullat e konfidencialitetit.

Sot miq, nuk do të ketë asnjë ngërç dhe ndjenjë të përditshme. Si zëvendësim i tyre, do t'ju drejtoj pa asnjë fuqi për të mundur një nga kundërshtarët më të këqij në kursin e algjebrës 8-9.

Pra, keni kuptuar gjithçka saktë: shkoni në lidhje me mospërputhjet me modulin. Le të hedhim një vështrim në disa nga parimet kryesore, për ndihmën e të cilave do të mësoni të kapërceni afërsisht 90% të detyrave të tilla. Po 10% reshtoyu? Epo, ne do të flasim për to në një mësim të mirë.

Sidoqoftë, para kësaj, se si të zgjidhet se si ta pranojmë atë atje, do të doja të hamendësoja dy fakte, të cilat do të ishte e nevojshme të diheshin. Përndryshe, ju do të shqyrtoni njohuritë e materialit të mësimit të sotëm.

Çfarë duhet të dini

Është e qartë se për të zgjidhur mospërputhjet me modulin, është e nevojshme të dini dy fjalë:

1. Si tërbohet nervozizmi;
2. Çfarë është një modul?

Le të fillojmë nga një pikë tjetër.

Funksioni i modulit

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Є dy funksione: algjebrike dhe grafike. Për kalli - algjebrike:

Emërimi. Moduli i numrit $x$ është ose vetë numri, pasi nuk është i dukshëm për mua, ose numri, i cili është i kundërt me ju, si $x$ tjetër, është ende negativ.

Regjistrojeni si kjo:

\[\majtas| x \djathtas|=\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Për ta thënë thjesht, moduli është "një numër pa minus". Unë vetë në këtë dualitet (këtu, nga numri i fundit, asgjë nuk duhet të punohet, por këtu ndodh të marr një minus atje) dhe përdor të gjithë palosjen për studentët-pochatkivtsiv.

Më shumë dizajn gjeometrik. Është gjithashtu mirë të dihet, por do të kemi më pak gjasa të ecim drejt të resë në mënyra të palosshme dhe madje të veçanta, një pidkhіd gjeometrik i suksesshëm për algjebrike (prishje: jo sot).

Emërimi. Le të shënohet pika $a$ në vijën numerike. I njëjti modul $ \ majtas | x-a \right|$ thirret nga pika $x$ në pikën $a$ në këtë rresht.

Nëse dëshironi të kryqëzoni foton, atëherë mund ta shihni në kshtalt tsogo:

Dizajni grafik i modulit

Pra, çfarë tjetër, nga përcaktimi i modulit, shihet menjëherë fuqia kryesore: moduli i numrit është gjithmonë i barabartë me madhësinë. Ky fakt do të jetë një fije e kuqe për të kaluar në të gjithë diskursin tonë të sotëm.

Virishennya nerіvnosti. Metoda e intervalit

Tani le t'i hedhim një sy nervozizmit. Їхісує jopersonale, por detyra jonë menjëherë është të vrasim virishuvati duke dashur të jemi më i thjeshti prej tyre. Tі, karrierës zvoditsya në parregullsi lineare, dhe navіt metodën e intervaleve.

Për këtë temë, unë kam dy mësime të shkëlqyera (mіzh іnshim, më shumë, më kafe - unë rekomandoj vivchiti):

1. Metoda e intervalit për parregullsitë (sidomos shikoni videon);
2. Mospërputhjet fraksionale-racionale - edhe një mësim i përgjithshëm, por atëherë nuk ngopeni me ushqim.

Nëse dini gjithçka, nëse shprehja "le të kalojmë nga pabarazia në barazi" nuk tingëllon sikur jeni çmendurisht i lodhur duke vrarë veten pas murit, atëherë jeni gati: ju kërkojmë me mirësi të dreqni deri në mësimin kryesor . :)

1. Parregullsi e mendjes "Modul me pak se funksioni"

Kjo është një nga detyrat më të gjera me module. Është e nevojshme për të kapërcyer pabarazinë e mendjes:

\[\majtas| f\djathtas| \ltg\]

Roli i funksioneve $f$ dhe $g$ mund të jetë, ose përndryshe, polinome. Aplikoni mospërputhje të tilla:

\[\filloj(rreshtoj) & \majtas| 2x+3\djathtas| \ltx+7; \\ & \majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas|+3\majtas(x+1 \djathtas) \lt 0; \\ & \majtas| ((x)^(2))-2\majtas| x \djathtas|-3 \djathtas| \lt 2. \\\fund (rreshtoj)\]

Të gjitha erërat janë fjalë për fjalë në një rresht pas skemës:

\[\majtas| f\djathtas| \lt g\Djathtas -g \lt f \lt g\katër \ majtas(\Rightshigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\fund (rreshtoj) \drejtë.\djathtas)\]

Nuk ka rëndësi nëse moduli është i kursyer, por ne mund të heqim mospërputhjen themelore (përndryshe, i njëjti, sistemi i dy mospërputhjeve). Prote cey transfer vrakhovu absolutisht çdo gjë problemet e mundshme: nëse numri nën modul është pozitiv, metoda funksionon; akscho negativisht - e njëjta praktikë; dhe lundroni për funksionin më të papërshtatshëm të metodës së shtëpisë $f$ chi $g$ të gjithë të njëjtën punë.

Natyrisht, fajësoni ushqimin: a nuk është më e thjeshtë? Fatkeqësisht, nuk është e mundur. Kush ka të gjithë veçorinë e modulit.

Vtіm, rrinë në filozofi. Le të këndojmë një degëz të ditës:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| 2x+3\djathtas| \ltx+7\]

Zgjidhje. Gjithashtu, para nesh është një mendje klasike nerіvnіst "moduli më i vogël" - për të ribërë asgjë. Praktika për algoritmin:

\[\filloj(rreshtoj) & \majtas| f\djathtas| \lt g\Djathtas -g \lt f \lt g; \\ & \majtas| 2x+3\djathtas| \lt x+7\Djathtas shigjetë -\majtas(x+7 \djathtas) \lt 2x+3 \lt x+7 \\fund (rreshtoj)\]

Mos nxitoni të hapni harqet, para të cilave ka një "minus": sa më shumë që të jetë e mundur, përmes nxitimit, do të kënaqeni me një falje figurative.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Detyra ishte deri në dy parregullsi elementare. Në mënyrë të konsiderueshme їх virіshennia në linjat numerike paralele:

Peretin e shumëfishtë

Peretin tsikh u shumëfishua dhe do të jetë i qartë.

Përputhja: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \djathtas)$

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas|+3\majtas(x+1 \djathtas) \lt 0\]

Zgjidhje. Porosia është tashmë një gjë e vogël e palosur. Për kalli, ne përdorim modulin, duke transferuar një shtesë tjetër në të djathtë:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \lt -3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Natyrisht, ne jemi përballur me një pabarazi të re të formës "moduli më i vogël", kështu që ne lejojmë modulin për algoritmin tashmë ekzistues:

\[-\majtas(-3\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Boshti i respektit ngjitës: më lejoni t'ju them, unë jam troch bochenets іz mustaqe me pranga. Ale, do ta marr përsëri me mend se cila është meta jonë kryesore me kompetencë virishiti nerіvnіst dhe otrimati vіdpovіd. Më vonë, nëse keni zotëruar plotësisht gjithçka që zbulohet në këtë mësim, mund të përdredhni veten sipas dëshirës: hapni krahët, shtoni minuset, etj.

Dhe për hir të kallirit, ne thjesht do të zgjohemi me minusin minus të së keqes:

\[-\majtas(-3\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas)=\majtas(-1 \djathtas)\cdot \majtas(-3 \djathtas)\cdot \majtas(x+1 \djathtas) =3\majtas(x+1\djathtas)\]

Tani, të gjitha harqet e nervozizmit themelor janë hapur:

Le të kalojmë te nervozizmi i metrosë. Këtë herë skedat do të jenë më serioze:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \fund( rreshtoni)\djathtas.\]

Inatet e pabarazisë janë katrore dhe shkelen me metodën e intervaleve (por unë do t'ju them: ju nuk e dini se çfarë është, më mirë akoma mos merrni përsipër modulet). Le të kalojmë në pabarazinë e parë:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\majtas(x+5\djathtas)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\ fund (rreshtoj)\]

Si një bachimo, në dalje shkonte në mënyrë të pabarabartë katrore, madje, sikur të ishte elementare. Tani le të hedhim një vështrim në një tjetër nervozizëm të sistemit. Aty ndodh teorema e Zastosuvat Viet:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \majtas(x-3 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\ fund (rreshtoj)\]

Zbrisni në mënyrë të konsiderueshme numrat në dy drejtëza paralele (okrema për pabarazinë e parë dhe okrema për tjetrën):

Epo, jam i sigurt, duke e ndarë sistemin e parregullsive me ne, ne do të përsërisim linjat e shumëzuesve të hijes: $x\in \left(-5;-2 \djathtas)$. Tse є vіdpovіd.

Përputhja: $x\in \left(-5;-2 \djathtas)$

Unë mendoj se pas aplikimit të tyre, skema e zgjidhjes mori një kuptim kufitar:

1. Asimiloni modulin, duke transferuar të gjitha shtesat e tjera në pjesën kryesore të pabarazisë. Në këtë mënyrë, ne marrim parasysh mospërputhjen e mendjes $\left| f\djathtas| \ltg$.
2. Virishiti tsyu nerіvnіst, duke kursyer modulin për skemën e përshkruar më sipër. Në një moment, është e nevojshme të kalojmë nga nervozizmi subvariant në një sistem të dy viruseve të pavarura, lëkura e të cilave mund të riparohet plotësisht.
3. Nareshti, të privohet nga zgjidhja e këtyre dy rrokjeve të pavarura - dhe gjithçka që heqim është mbetja.

Një algoritëm i ngjashëm përdoret për vrazhdësitë e llojit fyes, nëse moduli është më i madh se funksioni. Megjithatë, ka një degëz të "ale" serioze. Le të flasim për qi "ale" përnjëherë.

2. Parregullsi e mendjes "Moduli eshte me shume se nje funksion"

Ata duken kështu:

\[\majtas| f\djathtas| \gt g\]

Duket si pjesa e përparme? Ajo duket si. Prote vyrishyuyutsya kështu zavdannya zovsіm në një mënyrë tjetër. Formalisht, skema po vjen:

\[\majtas| f\djathtas| \gt g\Djathtas shigjetë \majtas[ \fillimi(radhis) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\fund(radhis) \djathtas.\]

Me fjalë të tjera, ne mund të shohim dy pika:

1. Nga ana tjetër, thjesht injoroni modulin - virishhuєmo mospërputhje normale;
2. Le të zgjerojmë në thelb modulin 3 me një shenjë minus, dhe pastaj të shumëzojmë shkeljen e pjesës së pabarazisë me -1, që është më e vogël se shenja.

Në këtë variant, ata kanë një hark katror, ​​d.m.th. ndoshta martesa e dyve mundet.

Kthejeni përsëri respektin: para nesh nuk është një sistem, por një sukupnist, ai në vіdpovіdі jopersonale ata bashkohen, por nuk ndryshojnë. Është e rëndësishme të shohësh pikën e përparme!

Vzagali, z ob'ednannymi dhe peretina në uchnіv sutsіlna plutanina, le ta zgjidhim këtë ushqim përsëri dhe përsëri:

• "∪" - është një shenjë e ob'ednannya. Në fakt, shkronja "U" ishte stilizuar, ashtu siç na erdhi film anglishtє shkurtesa si "Bashkimi", tobto. "Bashkimi".
• "∩" është shenja e rreshtit. Tsya mut tingulli nuk erdhi, por vetëm vinyl siç ishte shkruar më parë "∪".

Për ta bërë më të lehtë të kujtosh, thjesht pikturo deri në këto shenja, në mënyrë që të shihen kelikët (vetëm boshti nuk ka nevojë të më thërrasë menjëherë në propagandën e varësisë ndaj drogës dhe alkoolizmit: nëse mëson të gjithë mësimin, atëherë ti janë tashmë të varur nga droga):

Rіznitsya mizh retinom dhe ob'єdnannyam mnozhin

Në përkthimin e rusishtes tse, kjo do të thotë si vijon: bashkimi (furnizimi) përfshin elementet e veta nga të dy grupet, që nuk është më pak se ai i lëkurës; dhe boshti (sistemi) i retinës përfshin vetëm ato elemente, të cilat në të njëjtën kohë janë në shumëzuesin e parë, dhe në tjetrin. Prandaj, nuk ka më shumëfisha të pushimeve të shumta.

A është bërë më e ndjeshme? Nga unë mirë. Le të kalojmë në praktikë.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| 3x+1 \djathtas| \gt 5-4x\]

Zgjidhje. Diemo për skemën:

\[\majtas| 3x+1 \djathtas| \gt 5-4x\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\majtas(5-4x \djathtas) \\fund (rreshtoj) \ djathtas .\]

Virishuemo nerіvnіnі suupnostі e lëkurës:

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Dua të them, unë do të shumëzoj lëkurën me një vijë numerike dhe më pas do t'i kombinojmë ato:

Kombinimi i shumëfishave

Është mjaft e qartë se $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \djathtas)$

Sugjerim: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \djathtas)$

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \gtx\]

Zgjidhje. Epo, çfarë? Se asgjë - njësoj. Le të kalojmë nëpër pabarazitë me modulin në grumbullimin e dy pabarazive:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \gt x\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillim(rreshtoj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ai lehtëson nervozizmin e lëkurës. Fatkeqësisht, rrënja nuk do të jetë më atje.

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\ fund (rreshtoj)\]

Nervozizmi tjetër ka edhe një troç loje:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\ fund (rreshtoj)\]

Tani ju duhet të llogaritni numrat në dy akse - një bosht për pabarazinë e lëkurës. Sidoqoftë, është e nevojshme të shënoni pikat në rendin e duhur: sa më i lartë të jetë numri, aq më shumë pika u zhvendos në të djathtë.

Aksi І këtu na kontrollon. Po në lidhje me numrat $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ gjithçka është e qartë ) , kështu që shuma është më e vogël), me numrat $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ numri është më i madh se negativ), pastaj me pjesën tjetër të çift, gjithçka nuk është aq e qartë. Cila është më e madhe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ose $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse zalezhimae rregullimin e pikave në vijat numerike і, vlasne, vіdpovіd.

Pra, le t'i hedhim një sy:

\[\fillim(matricë) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\fund (matricë)\]

Ne konfirmuam rrënjën, hoqëm numrat negativë nga të dy anët e pabarazisë, kështu që kemi të drejtën të katrorojmë anët fyese:

\[\fillim(matricë) ((\left(2+\sqrt(13) \djathtas))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \djathtas))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\fund (matricë)\]

Mendoj se kuptova se $4\sqrt(13) \gt 3$, se $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, pjesa tjetër e pikave në akset do të rregullohet si më poshtë:

Vipadok i një rrënjë të shëmtuar

Unë po hamendësoj, ne shohim sukupnіst, prandaj është e nevojshme të kemi një nyje, dhe jo një riorganizim të shumëfishave të hijes.

Përgjigja: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \djathtas)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\djathtas)$

Ashtu si Bachite, skema jonë funksionon mrekullisht si për detyra të thjeshta ashtu edhe për ato të vështira. I vetmi "vend i dobët" për një person të tillë është nevoja për të balancuar me kompetencë numrat irracionalë (dhe kthesë: nuk është më shumë se një rrënjë). Alya do të shenjtërohet një okremium për racionet (dhe madje edhe një mësim serioz). Dhe le të shkojmë.

3. Parregullsi me "bisht" te padukshem

Ne u larguam nga më të mirat. Çmimi i mendjes së pabarabartë:

\[\majtas| f\djathtas| \gt\majtas| g\djathtas|\]

Me sa duket, algoritmi, për të cilin do të flasim menjëherë, është më i mirë për modulin. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruchі і pravoruє qëndrojnë të garantuara nevіd'єmnі vrazi:

Cila është puna e këtyre detyrave? Vetëm mbani mend:

Parregullsitë me "bishtin" e padukshëm mund të shkaktojnë pjesë ofenduese të botës natyrore. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya dhe tsomu nuk vynikne.

Ne jemi para nesh tsikavitime zvedennya në një shesh - vіn module gjumi që rrënjë:

\[\begin(lidhoj) & ((\majtas(\majtas| f \djathtas| \djathtas))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \djathtas))^(2))=f. \\ fund (rreshtoj)\]

Boshti vetëm nuk ka nevojë të mashtrohet nga rrënja e sheshit:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\majtas| f \djathtas|\ne f\]

Faljet jopersonale lejoheshin në atë moment, nëse mësonit të harroni të instaloni modulin! Ale tse zovsіm іnsha іstorіya (tse nіbі rіvnyannya irracionale), tse jo menjëherë zaglyuvatymosya. Le të shohim më qartë spratin e ditës:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| x+2 \djathtas|\ge \majtas| 1-2x \djathtas|\]

Zgjidhje. Përsëri, ne respektojmë dy fjalë:

1. Tse nuk suvora nerіvnіst. Krapki në vijën numerike do të prishet.
2. Anët fyese të mospërputhjes nuk janë qartë të dukshme (fuqia e modulit: $ \ majtas | f \ majtas (x \ djathtas) \ djathtas | \ ge 0 $).

Gjithashtu, ne mund të sheshojmë pjesët fyese të pabarazisë në mënyrë që të heqim qafe modulin dhe të eliminojmë detyrën duke përdorur metodën më të mirë të intervaleve:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(\majtas| x+2 \djathtas| \djathtas))^(2))\ge ((\majtas(\majtas| 1-2x \djathtas| \djathtas) ) ^ (2)); \\ & ((\majtas(x+2 \djathtas))^(2))\ge ((\majtas(2x-1 \djathtas))^(2)). \\ fund (rreshtoj)\]

Në pjesën tjetër të fazës, unë mashtrova pak: duke ndryshuar sekuencën e shtesave, duke shkurtuar barazinë e modulit (në fakt, duke shumëzuar $1-2x$ me -1).

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(2x-1 \djathtas))^(2))-((\majtas(x+2 \djathtas))^(2))\le 0; \\ & \majtas(\majtas(2x-1 \djathtas)-\majtas(x+2 \djathtas) \djathtas)\cdot \majtas(\majtas(2x-1 \djathtas)+\majtas(x+2 \ ) djathtas)\djathtas)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \djathtas)\cdot \left(2x-1+x+2 \djathtas)\le 0; \\ & \majtas(x-3 \djathtas)\cdot \majtas(3x+1 \djathtas)\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Virishuemo me metodën e intervaleve. Le të kalojmë nga pabarazia në shtrirje:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(x-3 \djathtas)\majtas(3x+1 \djathtas)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\ fund (rreshtoj)\]

Me sa duket, rrënja gjendet në vijën numerike. Edhe një herë: mustaqe njolla farbovani, copa nervozizmi - jo Suvora!

Zvіlnennya sipas shenjës së modulit

Mendoj për ata që janë veçanërisht të pakompromis: marrim shenja nga pjesa tjetër e pabarazisë, sikur bula të ishte shkruar para kalimit në të barabartë. I rajoni zafarbovuyemo, yakі duhet në të njëjtën pabarazi. Vipad ynë ka $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \djathtas)\le 0$.

Epo, nga unë gjithçka. Detyra ka përfunduar.

Sugjerim: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \djathtas]$.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| ((x)^(2))+x+1 \djathtas|\le \majtas| ((x)^(2))+3x+4 \djathtas|\]

Zgjidhje. Robimo njësoj. Unë nuk komentoj - thjesht mrekullohem me sekuencën e veprimit.

Le të marrim një katror:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(\majtas| ((x)^(2))+x+1 \djathtas| \djathtas))^(2))\le ((\majtas(\majtas ) ((x)^(2))+3x+4 \djathtas| \djathtas))^(2)); \\ & ((\majtas(((x)^(2))+x+1 \djathtas))^(2))\le ((\majtas(((x)^(2))+3x+4 \djathtas))^(2)); \\ & ((\majtas(((x)^(2))+x+1 \djathtas))^(2))-((\majtas(((x)^(2))+3x+4 \ djathtas))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \djathtas)\herë \\ & \herë \majtas(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \djathtas)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \djathtas)\majtas(2((x)^(2))+4x+5 \djathtas)\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Metoda e intervalit:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(-2x-3 \djathtas)\majtas(2((x)^(2))+4x+5 \djathtas)=0 \\ & -2x-3=0\ Shigjeta djathtas x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Djathtas D=16-40 \lt 0\Djathtas \varnothing. \\ fund (rreshtoj)\]

Vetëm një rrënjë në vijën numerike:

Vidpovid - intervali tsiliy

Sugjerim: $x\in \left[ -1,5;+\infty \djathtas)$.

Pak respekt për pjesën tjetër të kokës. Sikur të kem respektuar një nga studentët e mi, ofendimet e nën-modulit janë qartazi pozitive në këtë nervozizëm, shenja e modulit mund të hiqet pa dëm për shëndetin.

Ale tse tashmë zovsіm іnshiy rіven razdumіv se іnshі pіdkhіd yogo mund të quhet mendërisht metoda e nasledkіv. Rreth të rejave në okremou urotsi. Dhe tani le të kalojmë në pjesën e fundit të mësimit të sotëm, ky është një algoritëm universal, i cili praktikohet përgjithmonë. Navit atëherë, nëse të gjithë ata përpara doli të ishin të pafuqishëm.

4. Metoda për numërimin e opsioneve

Dhe pse nuk ndihmojnë të gjithë priyomi? Si mund të mos shkaktohet pabarazia nga bishtat e padukshëm, si mund të mos futet në modul, si mund të fillojë?

Pastaj artileria e madhe e të gjithë matematikës hyn në skenë - një metodë e numërimit. Qindra parregullsi nga moduli duken kështu:

1. Shkruani të gjitha pіdmodulnі vrazi dhe barazojini me zero;
2. Rozvyazati otrimani rіvnyannya që vіznázchiti znaydenі korenі në një vijë të drejtë numerike;
3. Direkt rozіb'єtsya në kіlka dіlyanok, mesi i një moduli të tillë lëkure mund të rregullojë shenjën dhe kjo është pa mëdyshje rozkrivаєєtsya;
4. Virishiti nerіvnіst në kozhnіy dilyanci të tillë (mund të shikoni rrënjët-cordoni, otrimani në pikën 2 për supremaci). Rezultatet e shoqatës - tse i bude vіdpovіd.

Mirë jak? I dobët? Lehtë! Për një kohë të gjatë. Le të shohim praktikisht:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| x+2 \djathtas| \lt\majtas| x-1 \djathtas|+x-\frac(3)(2)\]

Zgjidhje. Tsya mut mos u acaro $ \ majtas | f\djathtas| \lt g$, $\majtas| f\djathtas| \gt g$ ose $\majtas| f\djathtas| \lt\majtas| g \right|$, kjo është në rregull.

Ne shkruajmë virazi submodular, i barazojmë me zero dhe e dimë rrënjën:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2=0\Djathtas shigjetë x=-2; \& x-1=0\Djathtas shigjeta x=1. \\ fund (rreshtoj)\]

Së bashku kemi dy rrënjë, të cilat e ndajnë numrin drejt e në tre parcela, në mes të këtyre lëkurave, moduli shpaloset pa mëdyshje:

Ndarja e vijës numerike me zero të funksioneve nënmodulare

Le të shohim okremo lëkurën.

1. Jepni $x \lt -2$. Todi fyen pіdmodulnі virazi negative, i vihіdna nerіvnіst rishkruaj kështu:

\[\fillim(rreshtoj) & -\majtas(x+2 \djathtas) \lt -\majtas(x-1 \djathtas)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\ fund (rreshtoj)\]

Zdobuli dosit vetëm obmezhennya. Le të lëvizim jogën me pjesën tjetër të shtesave që $x \lt -2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \varnothing \]

Është e qartë se ndryshimi i $x$ nuk mund të jetë më pak se -2 brenda natës, por më shumë se 1.5. Nuk ka zgjidhje për këtë biznes.

1.1. Okremo shiko vipadokin afër kordonit $x=-2$. Le ta imagjinojmë këtë numër në mungesë të mospërputhjes dhe të verifikueshme: pse është fitimtar?

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas. \majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-1,5 \djathtas|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \majtas| -3 \djathtas|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Djathtas \varnothing. \\ fund (rreshtoj)\]

Është e qartë se gjuhëtari na ka mashtruar deri në një pabarazi të pabesueshme. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh gabim, і $x=-2$ mos hyni në vіdpovіd.

2. Tani jepni $-2 \lt x \lt 1$. Moduli i bibliotekës tashmë po zhvillohet me një plus, por i duhuri është ende me një minus. Maemo:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2 \lt -\majtas(x-1 \djathtas)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\fund (radhis)\]

Po e ndryshoj sërish me një vimoga vikidnoy:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \varnothing \]

Rinovoj zgjidhjen e zbrazët jopersonale, nuk ka copëza numrash të tillë, të cilët janë më pak se -2,5 në të njëjtën kohë dhe më shumë se -2.

2.1. Rinovoj okremy vipadok: $ x = 1 $. Le të imagjinojmë që dalja është e pabarabartë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((\majtas. \majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-1,5 \djathtas|)_(x=1)) \\ & \majtas| 3\djathtas| \lt\majtas| 0 \djathtas|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Djathtas \varnothing. \\ fund (rreshtoj)\]

Ngjashëm me "rënie private" të përparme, numri $x=1$ nuk përfshihet qartë në rënie.

3. Pjesa e mbetur drejt: $x \gt 1$. Këtu, të gjitha modulet janë të lakuar me një shenjë plus:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \fund (përafrim)\ ]

Unë përsëri rimendoj shumësinë e shkëmbimeve të jashtme:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \majtas(4,5;+\infty) \djathtas)\]

Epo, merre! Ne e dinim intervalin, i cili do të jetë povіddu.

Sugjerim: $x\in \left(4,5;+\infty \djathtas)$

Nasamkinets - një respekt, pasi, ndoshta, ju shpëton nga faljet e këqija kur përmbushen detyrat reale:

Virishennya nerіvіvnosti z modulet zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Pikat e izoluara bllokohen më ngadalë. Ka më shumë gjasa të bllokohet në mënyrë që ndërmjet zgjidhjeve (kіnets vіdrіzka) të shkojnë përtej kufijve të diapazonit të analizuar.

Meqenëse, sikur kordonët (vetë këta "vipadki privatë") të mos hyjnë në roje, atëherë majzhe, këndshëm, mos shkoni te rojet dhe zona e së drejtës së keqe për të hyrë në këto kordonë. І navpaki: kordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, і yakіs oblastі navpakі tezh do të jetë vіdpovіdyami.

Mos harroni për këtë, nëse ndryshoni vendimin tuaj.

Dhe mospërputhjet racionale të sotme në obsyazy të përgjithshme mund të ndryshohen. Më saktësisht, jo vetëm të gjithë mund të virishuvat. Pak njerëz mund të punojnë.
Klitschko

Mësimi i Tsey do të jetë i vështirë. Dyshemetë janë më të shtrenjta, kështu që para përfundimit të jogës, është më pak se Vibran. Për këtë, para kallirit të leximit, ju rekomandoj që të pastroni ekranet e grave, zorrëve, fëmijëve të grave dhe ...

Ajo garazh, me të vërtetë gjithçka është e thjeshtë. Është e mundur që ju të keni zotëruar metodën e intervaleve (megjithatë nuk e keni zotëruar atë - ju rekomandoj të ktheni dhe lexoni) dhe të keni mësuar të kapërceni pabarazinë e formës $P\left(x \right) \gt 0$, de $P\left(x \djathtas)$ anëtar i pasur ose anëtar i pasur plotësues.

Unë respektoj që nuk është e rëndësishme për ju të këndoni, për shembull, boshtin e një loje të tillë (përpara fjalimit, provojeni për një ngrohje):

\[\fillim(rreshtoj) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \djathtas)\majtas(4x+25 \djathtas) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \djathtas)\left(x-1 \djathtas)\ge 0; \\ & \majtas(8x-((x)^(4)) \djathtas)((\majtas(x-5 \djathtas))^(6))\le 0. \\ \fund (rreshtoj)\]

Tani trokat janë të palosshme dhe ne mund të shohim jo vetëm terma të pasur, por edhe emrat e fraksioneve racionale të mendjes:

ku $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \djathtas)$ janë vetë terma të pasur të formës $((a)_(n))(x)^(n))+( ( a )_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ose ka më shumë terma të tillë të pasur.

Tse i bude nerіvnіst racional. Një moment i rëndësishëm është prania e një ndryshimi prej $x$ në bannerman. Për shembull, boshti i pabarazisë racionale:

\[\fillim(radhis) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\majtas(3-x \djathtas))^(2))\majtas(4-((x)^( 2)) \djathtas))\ge 0. \\\ fund (rreshtoj)\]

Dhe tse nuk është racionale, por zvichaynisinka nerіvnіst, pasi shkelet me metodën e intervaleve:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Duke kërcyer përpara, do t'ju them menjëherë: ka të paktën dy mënyra për t'u marrë me mospërputhjet racionale, por është ende e mundur të punohet deri në metodën e intervaleve tashmë të njohura për ne. Për këtë, para së gjithash, le të kuptojmë mënyrat, le të hamendësojmë faktet e vjetra, përndryshe materiali i ri nuk do të jetë i dobishëm.

Çfarë duhet të dini

Nuk ka shumë fakte të rëndësishme. Epo, na duhen më pak chotiri.

Formulat e shkurtuara

Pra, kështu: erë e keqe do të na pereslіduvaty na protyag shkіlnoї programin e matematikës. Edhe unë në universitet. Ne duhet të përfundojmë shumë formulat, por nuk na duhen më shumë se kjo:

\[\fillim(ang) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\majtas(a\pm b \djathtas))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\majtas(a-b \djathtas)\left(a+b \djathtas); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\majtas(a+b \djathtas)\majtas(((a)^(2))-ab+(b) ^(2))\djathtas); \\ ((a)^(3))-((b)^(3))=\majtas(ab \djathtas)\majtas(((a)^(2))+ab+((b)^( 2 ))\djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Jepni respekt për pjesën tjetër të dy formulave - shumën e shumës dhe ndryshimin e kubeve (dhe jo shumën e shumës së shitjes me pakicë!). Është e lehtë të kujtosh, të kujtosh, se shenja e harkut të parë është e njëjtë me shenjën e atij të jashtëm dhe shenja e kundërt e asaj të jashtme.

Rreshtimi linear

Më e thjeshta është e barabartë me formën $ax+b=0$, ku $a$ dhe $b$ janë numra të plotë të barabartë, për më tepër $a\ne 0$. Një ekuivalencë e tillë thjesht përmbyset:

\[\fillim(lidh) & ax+b=0; \\&ax=-b; \&x=-\frac(b)(a). \\ \fund (radhis)\]

Unë do të caktoj që kam të drejtë të pjesëtoj me koeficientin $a$, edhe nëse $a\ne 0$. Tsya vomoga është tërësisht logjike, copëza për $a=0$ heqim boshtin që:

Para së gjithash, kushdo që është i barabartë nuk ka ndryshim prej $x$. Me sa duket, nuk është faji ynë për të mirë (është si trapleyaetsya, le të themi, në gjeometri, për më tepër, ta mjelësh shpesh), por megjithatë, ne nuk kemi tashmë një të barabartë linear.

Në një mënyrë tjetër, rozv'yazannya tsgogo rivnyanna depoziton më pak se koeficienti $b$. Nëse $b$ është zero, atëherë barazimi ynë mund të duket si $0=0$. Tsya xhelozia është virna zavzhda; përndryshe, $x$ është një numër (tingëllon si ky: $x\in \mathbb(R)$). Nëse koeficienti $b$ nuk është i barabartë me zero, atëherë barazia e $b=0$ do të jetë fitimtare, atëherë. nuk ka përgjigje (regjistruar $x\në \varnothing$ dhe lexoni "një zgjidhje bosh bosh").

Për të hequr qafe të gjitha këto palosje, thjesht merrni $a\ne 0$, në mënyrë që antrokët të mos na rrethojnë në mendime të largëta.

Shtrirja katrore

Unë do të marr me mend se si quhet boshti katror:

Këtu levoruch është një term i pasur i një hapi tjetër, për më tepër, unë po ndryshoj $a\ne 0$ (dhe tani në vend të barazimit katror, ​​e marrim atë në mënyrë lineare). Virishuyutsya kështu rivnyannya përmes diskriminuese:

1. Ashtu si $D \gt 0$, marrim dy rrënjë të ndryshme;
2. Nëse $ D = 0 $, atëherë do të ketë një rrënjë dhe një shumësi tjetër (sa është kostoja e shumëfishimit dhe si të sigurohet її për të gjithë tre herë). Ose mund të thuhet se ka dy rrënjë të barabarta;
3. Për $D \lt 0$, nuk ka rrënjë dhe shenja e termit të pasur $a((x)^(2))+bx+c$ për çdo $x$ zëvendësohet me shenjën e koeficientit $. a$. Ky, deri në pikën e fjalës, është edhe një fakt i çuditshëm, për të cilin harrojnë rozpo_sti për një orë mësim algjebër.

Rrënja respektohet për gjithçka nga formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Zvіdsi, para fjalimit, obmezhennya në diskriminues. Rrënja katrore adje e një numri negativ nuk përdoret. Meqenëse rrënja e studiuesve të pasur ka një qull motorik në kokën e tyre, unë shkruajta posaçërisht të gjithë mësimin: cila është rrënja në algjebër dhe si të rahuvati - madje rekomandoj ta lexoni.

Podії z thyesat racionale

Gjithçka që u shkrua më lart, e dini, ata përdorën metodën e intervaleve. Dhe boshti i atyre që ne mund të analizojmë menjëherë, nuk mund të jetë analog me të kaluarën, është një fakt absolutisht i ri.

Emërimi. Racional drіb - tse viraz mendje

\[\frac(P\majtas(x \djathtas))(Q\majtas(x \djathtas))\]

ku $P\left(x \right)$ dhe $Q\left(x \djathtas)$ janë terma të pasur.

Është e qartë se është e lehtë të hiqni pabarazitë nga një fraksion i tillë - mjafton t'i atribuoni shenjën "më shumë" ose "më pak" me dorën e djathtë. Më dhashë pak në mënyrë të dukshme, scho virishuvati so zavdannya - një i kënaqur, gjithçka është më e thjeshtë atje.

Problemet fillojnë edhe kur dikush ka një sprat të theksuar të fraksioneve të tilla. Ju mund t'i sillni ato në një flamur gjumi - dhe në të njëjtën kohë lejohen një numër i madh faljesh imagjinative.

Prandaj, për një arritje të suksesshme të barazive racionale, është e nevojshme të përvetësohen me vendosmëri dy aftësi:

1. Zbërthimi i termit të pasur $P\left(x \djathtas)$ në faktorë;
2. Vlasne, duke sjellë të shtëna në një baner të fjetur.

Si të shtroni segmentet e shumëzuesit? Disi e thjeshtë. Le të kemi një pjesëtar të pasur të mendjes

Ne e barazojmë jogën me zero. Ne marrim barazimin e hapit $n$-të:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Pa dyshim, ne kemi shkelur vlerën e barazisë dhe kemi hequr rrënjën $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (mos tallni: vipadkіv më i madh i rrënja nuk do të ketë më shumë se dy) . Në këtë rast, termi ynë i pasur me prodhim mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(rreshtoj) & P\majtas(x \djathtas)=((a)_(n))(x)^(n))+(a)_(n-1))(x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+(a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\majtas(x -((x)_(1)) \djathtas)\cdot \left(x-((x)_(2)) \djathtas)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \djathtas) \fund (rreshtoj)\]

Nga unë të gjithë! Kini kujdes: koeficienti kryesor $((a)_(n))$ nuk gjendet askund - ne do të shtojmë një shumëzues përpara prangave dhe nëse është e nevojshme, mund ta shtoni nëse është apo jo pranga tsikh ( praktika tregon se me $ ((a )_ (n))\ne \pm 1$ rrënja e mesme mayzhe zavzhdi є thyesa).

Menaxheri. Pyete Virazin:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Zgjidhje. Për herë të parë, ne mrekullohemi me pankartat: të gjitha erërat janë binomiale lineare dhe nuk ka asgjë për të vendosur shumëzues. Pra, le t'i vendosim numrat në shumëzues:

\[\filloj(rreshtoj) & ((x)^(2))+x-20=\majtas(x+5 \djathtas)\majtas(x-4 \djathtas); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\majtas(x-\frac(3)(2) \djathtas)\majtas(x-1 \djathtas)=\majtas(2x- 3 \ djathtas) \ majtas (x-1 \ djathtas); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\majtas(x+2 \djathtas)\majtas(x-\frac(2)(5) \djathtas)=\majtas(x +2 \djathtas)\majtas (2-5x \djathtas). \\ fund (rreshtoj)\]

Për të kthyer respektin: për një tjetër anëtar të pasur, koeficienti i vjetër "2" për kapacitetin më të fundit të skemës sonë po mbështetet mbrapa përpara harkut, dhe më pas ne do të japim kontribute në harkun e parë, copëzat atje nuk ishin në gjendje të mirë. .

E njëjta gjë u bë në seksionin e tretë të pasur, vetëm se ka një tjetër renditje të ngatërresave të palosura. Sidoqoftë, koeficienti "−5" si rezultat i futjes në një hark tjetër (mbani mend: mund të futni një shumëzues në një dhe vetëm në një hark!), i cili na kurseu mospërputhjet që lidhen me rrënjët e goditura.

Sa për anëtarin e parë të pasur, gjithçka është e thjeshtë atje: rrënja e parë përzihet ose në mënyrë standarde përmes diskriminuesit, ose për teorinë e Viet.

Le të kthehemi te vihіdnogo virazu dhe të rishkruajmë yogo me numra të ndarë në shumëzues:

\[\fillim(matricë) \frac(\majtas(x+5 \djathtas)\left(x-4 \djathtas))(x-4)-\frac(\ majtas(2x-3 \djathtas)\majtas( x-1 \djathtas))(2x-3)-\frac(\majtas(x+2 \djathtas)\majtas(2-5x \djathtas))(x+2)= \\ =\majtas(x+5 \djathtas)-\majtas(x-1 \djathtas)-\majtas(2-5x \djathtas)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \fund (matricë)\]

Sugjerim: $5x+4$.

Ashtu si bakiti, asgjë e palosshme. Nuk ka matematikë të mjaftueshme për klasat 7-8 - kjo është e gjitha. Kuptimi i të gjitha transformimeve në këtë është poligaє, kështu që është më e lehtë të hiqet palosja dhe varja e tmerrshme, e cila është e lehtë për t'u praktikuar.

Ale, mos u shqetëso për këtë. Për këtë, menjëherë, ne mund ta shohim më seriozisht detyrën.

Ale, do ta veçojmë që në fillim, si të sjellim dy fraksione në një banderolë gjumi. Algoritmi është jashtëzakonisht i thjeshtë:

1. Vendosni banderolat në shumëzues;
2. Shikoni pankartën e parë dhe shtoni të riut shumëzuesit që ka banderola tjetër, prote të parën. Otrimany tvir do të jetë një flamur gjumi;
3. Për më tepër, shumëzues të tillë nuk marrin të shtëna dermale, në mënyrë që flamurtarët të bëhen të barabartë me zjarrin.

Ndoshta, i gjithë algoritmi do t'ju jepet thjesht me tekst, në një mënyrë të shkruar me bollëk. Prandaj, ne do të analizojmë gjithçka në një shembull specifik.

Menaxheri. Pyete Virazin:

\[\majtas(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \djathtas)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \djathtas)\]

Zgjidhje. Të tilla ob'єmnі zavdannya pjesë më të mira virishuvati. Ne shkruajmë ata që qëndrojnë në harkun e parë:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Në pjesën e përparme vіdminu vіd zavdannya, këtu nga bannermen gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Le ta vendosim në shumëzues lëkurash prej tyre.

Trinomi katror $((x)^(2))+2x+4$ nuk mund të shumëzohet, copat e barabarta $((x)^(2))+2x+4=0$ nuk mund të rrënjosen (diskriminues negativ). Ne e lëmë jogën pa ndryshim.

Një shenjë tjetër - termi i shumëzimit kub $((x)^(3))-8$ - në lidhje me ndryshimin e kubeve dhe është e lehtë të shpërndahet për formulat e shumëzimit të shkurtër:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x) ^(2))+2x+4 \djathtas)\]

Asgjë më shumë nuk mund të ndahet në shumëzues, copëzat në harkun e parë qëndrojnë një binom linear, dhe në tjetrin - ne tashmë e dimë ndërtimin, pasi nuk ka rrënjë të vërteta.

Nareshti, flamuri i tretë është një binar linear, i cili nuk mund të shtrohet. Në këtë gradë, xhelozia jonë do të duket në të ardhmen:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas (((x)^(2))+2x+4 \djathtas))-\frac(1)(x-2)\]

Është mjaft e qartë se $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ do të jetë emëruesi i përbashkët dhe për të reduktuar të gjitha thyesat në një të ri , është e nevojshme të shumëzohet thyesa e parë në $\left(x-2 \right)$, dhe unë do të qëndroj në $\left(((x)^(2))+2x+4 \djathtas)$. Le të heqim qafe më pak për të sjellë kështu:

\[\fillim(matricë) \frac(x\cdot \majtas(x-2 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \ djathtas))+\frac(((x)^(2))+8)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))- \frac(1\cdot \majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\left(((x)^(2))+2x +4 \djathtas))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \djathtas)+\majtas(((x)^(2)) +8 \djathtas)-\majtas((x )^(2))+2x+4 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas (((x)^(2))+2x+4 \djathtas))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\ majtas (((x)^(2))+2x+4 \djathtas)). \\ \fund (matricë)\]

Kthejeni respektin në një rresht tjetër: nëse flamuri tashmë po digjet, atëherë. në vend të tre të shtënave okremik, shkruam një të shkëlqyeshëm, jo ​​varto, për një herë, harku u kursye. Është më e shpejtë të shkruani një rresht para jush dhe të tregoni se, le të themi, përpara fraksionit të tretë, duke qëndruar minus - dhe nuk do të shkoni askund, por "varur" në librin e numrave përpara harkut. Tse për t'ju kursyer faljet jopersonale.

Epo, në pjesën tjetër të rreshtit vendosni numrat në shumëzuesit. Tim është më i madh, që është një katror i saktë dhe do t'ju vijmë përsëri në ndihmë formulave të shumëzimit të shpejtë. Maemo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas))= \frac(((\majtas(x-2 \djathtas))^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+4 \djathtas) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Tani do ta zgjidhim vetë me një hark tjetër. Këtu do të shkruaj vetëm një varg të vogël ekuivalent:

\[\fillimi(matrica) \frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( ( x)^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac((x ) ^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^ ( 2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))+\frac(2\cdot \majtas(x+2 \djathtas))(\majtas(x-2 \ djathtas) )\cdot \majtas(x+2 \djathtas))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \djathtas))(\majtas(x -2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \ drejtë). \\ \fund (matricë)\]

Le të kthehemi te dita e fundit dhe të mrekullohemi me televizorin:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 ) \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(1)(x+2)\]

Përputhja: \[\frac(1)(x+2)\].

Kuptimi i kësaj detyre është i njëjtë, si në pjesën e përparme: tregoni se sa mund të kërkoni në mënyrë racionale, si të shkoni në transformimin tjetër me arsye.

Tani, nëse dini gjithçka, le të kalojmë te tema kryesore e mësimit të sotëm - kulmi i pabarazive racionale. Tim more, pas një përgatitjeje të tillë, ju vetë do të jeni nervoz si një tenxhere.

Mënyra kryesore për të kapërcyer mospërputhjet racionale

Іsnuє jak të paktën dy hapa për razv'yazannya nerіvіvnosti racionale. Me një shikim, do të shohim njërën prej tyre - atë që pranohet gjerësisht nga kursi i matematikës shkollore.

Ale, kurriz me shpinë, një detaj shumë i rëndësishëm. Të gjitha mospërputhjet ndahen në dy lloje:

1. Suvori: $f\left(x \djathtas) \gt 0$ ose $f\left(x \djathtas) \lt 0$;
2. Jo i rreptë: $f\left(x\djathtas)\ge 0$ ose $f\left(x \djathtas)\le 0$.

Parregullsitë e një lloji tjetër mund të reduktohen lehtësisht në të parën, si dhe xhelozia:

Nuk është shumë "shtesë" $f\left(x \right)=0$ për të prodhuar një gjë kaq të papranueshme si mbushja e një pike - ne i njohëm më shumë në metodën e intervalit. Përndryshe, nuk ka dallime midis parregullsive strikte dhe jo të rrepta, kështu që le të hedhim një vështrim në një algoritëm universal:

1. Zgjidhni të gjithë elementët jo zero nga njëra anë në formën e pabarazisë. Për shembull, levoruch;
2. Sillni të gjitha fraksionet në flamurin standard (pasi fraksionet e tilla duken si sprat), sillni të ngjashme. Pastaj, për aq sa të jetë e mundur, do të vendosim në librin e numrave dhe flamurin në shumëzuesit. Pra, pse ndryshe heqim pabarazinë e formës $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \djathtas))\vee 0$, de "shënoni" - një shenjë e pabarazisë.
3. Le ta vendosim numrin në zero: $ P \ majtas (x \ djathtas) = ​​0 $. Virіshuєmo tserіvnyannja i otrimuєєєmo rіnіnya $((x)_(1))$, $(x)_(2))$, $(x)_(3))$, ... Le të kujtojmë, schob banner prapa në zero: $Q\left(x \djathtas)\ne 0$. Sigurisht, është e vërtetë që diferenca është e barabartë me $Q\left(x \right)=0$, dhe marrim rrënjën $x_(1)^(*)$, $x_(2)^ (*)$, $x_(3 ) ^(*)$, ... (nuk ka gjasa të ketë më shumë se tre në skedarët e referencës të një rrënjë të tillë).
4. Të gjitha rrënjët (dhe me yje, dhe pa) konsiderohen në një vijë të vetme të drejtë numerike, për më tepër, rrënja pa yje është farbovanizuar, dhe me yje - në vakolota.
5. Ne vendosim shenja "plus" dhe "minus", zgjedhim ato intervale, sipas nevojës. Nëse pabarazia mund të duket $f\left(x \right) \gt 0$, atëherë intervalet e shënuara me një "plus" do të përsëriten. Nëse $f\left(x \right) \lt 0$, atëherë pyesim veten në intervalet me minuset.

Praktika tregon se gjëja më e vështirë është të thërrasësh paragrafët 2 dhe 4 - transformimi kompetent dhe vendosja e saktë e numrave sipas rendit të rritjes. Epo, për pjesën tjetër të kohës, jini më të respektueshëm: ne vendosim gjithmonë tabela, duke u ngjitur në spirale pjesa tjetër e pabarazisë, e regjistruar përpara kalimit në të barabartë. Ky është një rregull universal, i cili është inferior ndaj metodës së intervaleve.

E njëjta skemë є. Le të zënë.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Zgjidhje. Kemi para nesh një pashmangshmëri totale të formës $f\left(x \right) \lt 0$. Natyrisht, paragrafët 1 dhe 2 të skemës sonë janë tashmë vikonan: të gjithë elementët e pabarazisë zgjidhen nga levoruch, asgjë nuk duhet të sillet në flamurin e gjumit. Le të kalojmë në paragrafin e tretë.

Le të barazojmë numrin me zero:

\[\fillim(lidhoj) & x-3=0; \&x=3. \fund (radhis)\]

І banner:

\[\fillim(radhis) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \fund (radhis)\]

Dikush ka shumë për t'u përmbajtur, madje edhe për një ide është e nevojshme të shkruani $x+7\ne 0$, në mënyrë që ODZ të ndihmojë (nuk është e mundur të ndahet në zero, boshti është i gjithë). Por më pas ne na dhamë njolla, të cilat vinin nga banderola, kështu që pasi të kompozoni skedat tuaja, mos varto - shkruani një shenjë ekuivalence dhe mos u shqetësoni. Asgjë nuk mund të ulet për një çmim.

Pika e katërt. Është e rëndësishme të hiqni rrënjën në vijën numerike:

Pikat e mustaqeve vikolotі, oskіlki nerіvnіst — suvora

Jepni respekt: të gjitha pikat e vikoloty. Dhe këtu është tashmë e parëndësishme: nga libri i numrave, pikët erdhën nga banderola.

Ne mrekullohemi me shenjat. Le të marrim numrin $((x)_(0)) \gt 3$. Për shembull, $((x)_(0))=100$ (përndryshe, me të njëjtin sukses, mund të merrni $((x)_(0))=3,1$ ose $((x)_(0) ) = 1,000,000 dollarë). Ne marrim:

Otzhe, pravoruch vіd usіh korenіv ne kemi një zonë pozitive. Dhe kur kaloni nëpër lëkurën e rrënjës, shenja ndryshon (kështu që nuk do të filloni, por është më mirë). Le të kalojmë në pikën e pestë: vendosim shenjat dhe zgjedhim nevojën:

Ne i drejtohemi pjesës tjetër të nervozizmit, si një bulë para rozvyazannya ryvnyan. Vlasne, po i mbaron koha, edhe sikur të mos rriheshin çdo ditë.

Oskіlki duhet të eliminojë pabarazinë e formës $f\left(x \right) \lt 0$, kam hije intervalin $x\in \left(-7;3 \djathtas)$ - në vlerat e vetme me shenjën minus. Tse є vіdpovіd.

Sugjerim: $x\in \left(-7;3 \djathtas)$

Nga unë të gjithë! Hiba e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Vërtetë, detyra ishte më e lehtë. Në të njëjtën kohë, ne mund të zgjidhim të keqen dhe të shohim mospërputhjen "e ndërlikuar". Nga ana tjetër, nuk do të bëj më prezantime të tilla - thjesht do të theksoj pikat kryesore. Zagalom, le të organizojmë jogën në atë mënyrë që të bëhet në një chi іspіtі robotik të pavarur.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas))(13x-4)\ge 0\]

Zgjidhje. Nuk është keq të shohësh $ f \ majtas (x \ djathtas) \ ge 0 $. Të gjithë elementët jo zero janë zgjedhur të këqij, nuk ka shenja të ndryshme. Le të shkojmë në Rivnyan.

data:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas)=0 \\ & 7x+1=0\Djathtas ((x)_(1))=-\ frak (1) (7); \\ & 11x+2=0\Djathtas ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \fund (radhis)\]

Banner:

\[\fillim(lidh) & 13x-4=0; \&13x=4; \&((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \fund (radhis)\]

Nuk e di se çfarë problemi ishte kur po e konfiguroja, por rrënja nuk shkoi shumë më mirë: do të ishte e rëndësishme t'i vendosni ato në një vijë të drejtë numerike. І edhe me rrënjën $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ gjithçka është pak a shumë e qartë (ka vetëm një numër pozitiv - do të jetë i djathtë), pastaj $ ((x)_(1) ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$

Z'yasuvati tse është e mundur, për shembull, si kjo:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ) ))\]

Më vjen keq, nuk kam nevojë të shpjegoj pse ndryshimi numerik është $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Meqenëse është e nevojshme, unë rekomandoj të hamendësoni se si të fitoni diy me fraksione.

Dhe ne nënkuptojmë të tre rrënjët në një vijë të drejtë numerike:

Krapki nga libri numerik zafarbovani, nga banderola - vikolot

Ne vendosim shenja. Për shembull, mund të merrni $((x)_(0))=1$ dhe të ndryshoni shenjën e secilës pikë:

\[\filloj(rreshtoj) & f\majtas(x \djathtas)=\frac(\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(11x+2 \djathtas))(13x-4); \\ & f\majtas(1 \djathtas)=\frac(\majtas(7\cdot 1+1 \djathtas)\majtas(11\cdot 1+2 \djathtas))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0.\\fund(rreshtoj)\]

Pjesa tjetër e nervozizmit përpara të barabartëve ishte $f\left(x \right)\ge 0$, ndaj duhet të klikojmë shenjën plus.

Ata hoqën dy shumëzues: njëri është dyfishi i rëndësishëm dhe tjetri është rezultati i drejtpërdrejtë në vijën numerike.

Përgjigja: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \djathtas ) $

Është e rëndësishme të respektohet numri i numrave, siç përfaqësojmë për shenjën në intervalin e duhur. Absolutisht neobov'yazkovo numër podstavlyat afër rrënjës së duhur. Mund të merrni miliardin ose ta quani "plus-jo-pabesueshmëri" - në secilin rast, shenja e anëtarit të pasur, e cila qëndron në hark, numeralist ose bannerman, nënkuptohet ekskluzivisht me shenjën e koeficientit të lartë.

Le të shohim edhe një herë funksionin $f\left(x \right)$ për pjesën tjetër të pabarazisë:

Ky rekord ka tre terma të pasur:

\[\filloj(rreshtoj) & ((P)_(1))\majtas(x \djathtas)=7x+1; \& ((P)_(2))\majtas(x \djathtas)=11x+2; \&Q\majtas(x\djathtas) = ​​13x-4. \fund (radhis)\]

Të gjitha zanoret janë binome lineare dhe të gjithë koeficientët e lartë (numrat 7, 11 dhe 13) janë pozitivë. Më vonë, kur të vërtetohet harku i numrave të mëdhenj, vetë ndarjet e pasura do të jenë pozitive.

Tse mund të ndërtohet sipërfaqësisht e palosshme, pak në anën e pasme, nëse e kuptojmë se është e lehtë për t'u bërë. Në mospërputhje serioze, zëvendësimi i "plus-moskonsistencës" do të na lejojë të ndryshojmë shenjat më shpejt, më poshtë se standardi $((x)_(0))=100$.

Së shpejti do ta mbyllim gojën me detyra të tilla. Le të hedhim një vështrim në një mënyrë alternative për të zbuluar mospërputhjet dribno-racionale.

Mënyra alternative

Këtë pritje ma sugjeroi një nga nxënësit e mi. Unë vetë nuk e kam respektuar në asnjë mënyrë, por praktika ka treguar se me shumë mësim është më mirë të kapërcesh nervozizmin në një mënyrë të tillë.

Otzhe, vyhіdnі danі і і і і Sami. Është e nevojshme të eliminohet mospërputhja racionale e goditjes:

\[\frac(P\majtas(x \djathtas))(Q\majtas(x \djathtas)) \gt 0\]

Le të mendojmë: pse termi i pasur $Q\left(x \right)$ është "më i lartë" se termi i pasur $P\left(x \djathtas)$? Si duhet t'i shikojmë grupet më të mëdha të rrënjëve (me ose pa yll), të mendojmë për pikat, etj.? Gjithçka është e thjeshtë: fraksioni ka një zonë të caktuar, është e mirë për çdo kuptim drіb maє më pak se kaq, nëse është një shenjë zero.

Në aspekte të tjera, midis numëruesit dhe bannermanit nuk është e lehtë: ne thjesht e barazojmë atë me zero, bëjmë shaka me rrënjën, pastaj e kuptojmë atë në një vijë të drejtë numerike. Atëherë pse të mos zëvendësoni vijën e goditjes (në fakt - një shenjë e rozpodіlu) me shumëzimet më domethënëse, dhe të gjithë ODZ ndihmojnë për të përshkruar në një nervozizëm në dukje okremoi? Për shembull, si kjo:

\[\frac(P\majtas(x \djathtas))(Q\majtas(x \djathtas)) \gt 0\Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & P\majtas(x \djathtas)\cdot Q \majtas(x \djathtas) \gt 0, \\ & Q\majtas(x \djathtas)\ne 0. \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Për të respektuar: një pidhіd i tillë lejohet të thërrasë detyrën në metodën e intervaleve, por në rast të kësaj nuk është e mundur të ndërlikohet vendimi. Po kështu, ne mund ta ngremë termin e pasur $Q\left(x \right)$ në zero.

Le të shohim se si funksionon në detyra reale.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Zgjidhje. Përsëri, le të kalojmë në metodën e intervalit:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Djathtas shigjetë \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & \left(x+8 \djathtas)\majtas(x-11 \djathtas) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Pabarazia e parë është elementare. Thjesht barazoni harkun e lëkurës me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & x+8=0\Djathtas shigjetë ((x)_(1))=-8; \\ & x-11 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x)_ (2)) = 11. \\ \fund (rreshtoj)\]

Me një tjetër nervistyu, gjithçka është e thjeshtë:

Ne caktojmë pikat $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))$ në rreshtin numerik. Usі kumbon vikolotі, skіlki nerіvnіst suvore:

Njolla e djathtë u shfaq si vajzë e një vajze. Tse është mirë.

Jepini respekt pikës $x=11$. Dilni, si një "dvіchi vikolot": nga njëra anë, mi vikolyuєmo її nga ashpërsia e nervozizmit, nga ana tjetër - përmes fuqisë shtesë të ODZ.

Keni një lloj vipadku, tse vetëm do të rrihet deri në pikën. Kjo është arsyeja pse ne vendosim shenja për pabarazi $\majtas(x+8 \djathtas)\left(x-11 \djathtas) \gt 0$ - qëndroni, siç luftuam para tij, pasi filluam të virishuvati të barabartë:

Ne jemi të gudulisur nga fusha pozitive, por ne mund të shohim çekuilibrin në mendjen $f\left(x \djathtas) \gt 0$ - їх i zafarbuєmo. Nuk kishte më kohë për të shkruar vіdpovіd.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-8 \djathtas)\bigcup \left(11;+\infty \djathtas)$

Me shembullin e këtij vendimi, dua t'ju ruaj në prani të një faljeje të gjerë mes studentëve të moshës së mesme. Dhe vetes: mos i hap harqet e parregullsive! Navpaki, përpiquni të shpërndani gjithçka në shumëzues - është më mirë të kërkoni zgjidhjen dhe t'ju çlironi nga problemet jopersonale.

Tani le të provojmë diçka më të palosur.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(\majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas))(15x+33)\le 0\]

Zgjidhje. Nuk është e dëmshme të shikoni $ f \ majtas (x \ djathtas) \ le 0 $, kështu që këtu duhet të ndiqni me respekt pikat e zafarbovannymi.

Le të kalojmë në metodën e intervalit:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & \majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas)\majtas(15x+33 \djathtas)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Le të kalojmë në rreshtimin:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(2x-13 \djathtas)\majtas(12x-9 \djathtas)\majtas(15x+33 \djathtas)=0 \\ & 2x-13=0\Djathtas ((x )_(1)) = 6,5; \&12x-9=0\Rightarrow((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Shigjeta djathtas ((x)_(3))=-2,2. \\ \fund (radhis)\]

Vrakhovuemo dodatkovu vimogu:

Të gjitha rrënjët e zbritura tregohen në vijën numerike:

Si një pikë përnjëherë dhe një vikolot, dhe një farbovan, respektohet nga një vikolot

Unë e di se dy pika "mbivendosen" një për një - është normale, prandaj sigurohuni. Është e rëndësishme, më pak e arsyeshme, çfarë pikë, e caktuar menjëherë për një vikoloty dhe një vikoloty të brazda, në fakt, një vikoloty. Tobto. "Vikolyuvannya" është një "zafarbovannya" e fortë, më e ulët.

Është absolutisht e logjikshme, edhe nëse zgjedhim pikë, të pëlqejmë të shtojmë në shenjën e funksionit, por të mos marrësh vetë pjesë në shfaqje. Dhe kështu, në një moment, numri pushon së dominuari mbi ne (për shembull, nuk arrin në ODZ), ne betohemi për të deri në fund të detyrës.

Zagalom, për të filozofuar. Ne vendosim shenja dhe intervale zafarbovuyemo і, siç shënohen nga një shenjë minus:

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \djathtas)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \djathtas]$.

Dua të rinovoj respektin tuaj për kauzën:

\[\ majtas(2x-13 \djathtas)\ majtas(12x-9 \djathtas)\ majtas(15x+33 \djathtas)=0\]

Edhe një herë: kurrë mos hapni krahët e të barabartëve të tillë! Më mirë paketoni valixhet. Mbani mend: dobutok është i barabartë me zero, nëse dëshironi që njëri prej shumëzuesve të jetë i barabartë me zero. Otzhe, Dane Rivnyannya thjesht "u shpërnda" për një spërkatje, sikur të shkelnin para nesh.

Forma e shumëfishimit të rrënjëve

Nga ditët e mëparshme është e lehtë të kujtohet se palosja më e madhe është të bëhesh më e paqëndrueshme, ndaj atij që duhet të qepë në to për pika.

Por në botë ka edhe më shumë të këqija - është një shumëfish i rrënjës në nervozizëm. Këtu qepjet janë sjellë tashmë jo pas pikave të zafarbovanimit atje - këtu shenja e pabarazisë mund të mos ndryshojë kur kalon nëpër pika.

Ne nuk kemi parë ende asgjë të ngjashme në këtë fushë (edhe pse një problem i ngjashëm është vërejtur shpesh në metodën e intervalit). Prandaj, ne prezantojmë një përkufizim të ri:

Emërimi. Rrënja e barabartë $((\left(x-a \right))^(n))=0$ është e barabartë me $x=a$ dhe quhet rrënja e $n$-shumëzueshmërisë.

Vlasne, nuk mund të na thuhet saktësisht vlera e shumëfishimit. Është e rëndësishme nëse ato janë të çiftuara apo të paçiftuara, numri i plotë është $n$. Sepse:

1. Meqenëse $x=a$ është rrënja e shumëfishimit të çiftit, atëherë shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër të;
2. Para së gjithash, duke qenë se $x=a$ është rrënja e shumëfishimit të paçiftuar, shenja e funksionit ndryshon.

Me një pamje private të rrënjës së një shumice të paçiftuar, përballë saj, vështronte këtë shkollë: ka një shumësi të kryqëzuar beqarësh të vjetër.

Unë më shumë. Përballë tij, sikur të ishim virishuvati zavdannya, duke dashur të kthejmë respektin tuaj për një hollësi, sikur të ishte e dukshme për një edukator të njohur, ale trullosi të pasurin pochatkіvtsіv. Dhe vetes:

Rrënja e shumëfishimit të $ n $ është vetëm fajtore për rënien, nëse i gjithë hapi formohet në të njëjtin hap: $ ((\ majtas (xa \ djathtas)) ^ (n)) $, dhe jo $ \ majtas (((x) ^ ( n ))-a\djathtas)$.

Edhe një herë: harku $((\left(xa \djathtas))^(n))$ na jep rrënjën $x=a$ të shumëzisë $n$ dhe boshtin e harkut $\left((x )^(n)) -a \right)$ përndryshe, siç përdoret shpesh, $(a-((x)^(n)))$ na jep një rrënjë (përndryshe dy rrënjë, si $n$ - një djalë) të shumëzisë së parë në mënyrë të pavarur, në varësi të arsyes pse i $n$.

Niveli:

\[((\majtas(x-3 \djathtas))^(5)=0\Djathtas shigjetë x=3\majtas(5k \djathtas)\]

Gjithçka është e qartë këtu: i gjithë harku u çua në hapin e pestë, kështu që në dalje hoqëm rrënjën e hapit të pestë. Dhe menjëherë:

\[\majtas(((x)^(2))-4 \djathtas)=0\Djathtas ((x)^(2))=4\Djathtas x=\pm 2\]

I hoqëm dy rrënjë, por sharjet e erë e keqe mund të jenë shumësia e parë. Aksi Abo më shumë:

\[\majtas(((x)^(10))-1024 \djathtas)=0\Djathtas ((x)^(10))=1024\Djathtas x=\pm 2\]

Më lejoni të mos ju mposht deri në hapin e dhjetë. Golovne, scho 10 është numri i djalit, mund të ketë dy rrënjë në dalje dhe era e keqe përsëri mund të jetë shumëfishimi i parë.

Zagalom tregohuni të respektueshëm: shumëfishimi i fajeve është vetëm një, nëse hapat janë sjellë deri në të gjithë harkun, dhe jo më pak në ndryshim.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(((x)^(2))((\majtas(6-x \djathtas))^(3))\majtas(x+4 \djathtas))((\majtas(x+7 ) \djathtas))^(5)))\ge 0\]

Zgjidhje. Le ta provojmë në një mënyrë alternative përmes kalimit nga privatja në krijimin:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))((\majtas(6-x \djathtas))^(3)\majtas(x+4 \djathtas)\cdot ( (\majtas(x+7 \djathtas))^(5))\ge 0, \\ & ((\majtas(x+7 \djathtas))^(5))\ne 0. \\ \fund (rreshtoj )\ drejtë.\]

Ne zgjedhim me pabarazinë e parë me metodën e intervaleve:

\[\filloj(rreshtoj) & ((x)^(2))(\majtas(6-x \djathtas))^(3))\majtas(x+4 \djathtas)\cdot ((\majtas( x+7 \djathtas))^(5))=0; \& ((x)^(2))=0\Djathtas shigjetë x=0\majtas(2k \djathtas); \\ & ((\majtas(6-x \djathtas))^(3)=0\Djathtas shigjetë x=6\majtas(3k \djathtas); \\&x+4=0\Djathtas shigjeta x=-4; \\ & ((\majtas(x+7 \djathtas))^(5)=0\Djathtas shigjetë x=-7\majtas(5k \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Dodatkovo virishuemo shok nervozizmi. Në fakt, ne kemi kënduar tashmë yogo, por nëse nuk kemi vazhduar deri në vendimin, është më mirë të këndojmë përsëri yogo:

\[((\majtas(x+7 \djathtas))^(5))\ne 0\Djathtas x\ne -7\]

Për të kthyer respektin: nuk ka shumëfishime të përditshme në pjesën tjetër të nervozizmit. E saktë: sa ndryshon, sa herë të fitosh pikën $x=-7$ në vijën numerike? Dëshironi një herë, dëshironi pesë herë - rezultati do të jetë i njëjtë: pika e fundit.

Gjithçka që hoqëm është domethënëse në një vijë të drejtë numerike:

Siç thashë, pika $x=-7$ në rezultat do të shënohet. Shumëllojshmëria e rregullimeve është për të kapërcyer pabarazinë e mënyrave të intervaleve.

Keni harruar të vendosni shenjat:

Pika Oskіlki $x=0$ është rrënja e shumëfishimit të çiftëzuar, shenja për tranzicionin nuk ndryshon. Pikat e tjera mund të kenë një shumësi të paçiftuar dhe gjithçka është e thjeshtë me to.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \djathtas)\bigcup \left[ -4;6 \djathtas]$

Respektoni përsëri $x=0$. Nëpërmjet çiftit, fajësohet shumësia e efektit cicavi: levoruku në të është i mbushur i gjithi, i djathti është i njëjtë, pikërisht ajo pikë është e mbushur plotësisht.

Si kujtesë, nuk është e nevojshme të fiksoni ujin për një orë për të regjistruar tingullin. Tobto. ju nuk keni nevojë të shkruani asgjë në kshtalt $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (nëse dëshironi zyrtarisht, kjo do të ishte e saktë). Le të shkruajmë menjëherë $x\in \left[ -4;6 \djathtas]$.

Efekte të tilla janë më pak të mundshme me shumëfishimin e çiftit të rrënjëve. Unë në komandën e avancimit të mi zіtknemosya іz zvorotnym "vyyavom" efekt tsgogo. a jeni gati?

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(((\majtas(x-3 \djathtas))^(4))\majtas(x-4 \djathtas))((\majtas(x-1 \djathtas))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \djathtas))\ge 0\]

Zgjidhje. Këtë herë ne ndjekim skemën standarde. Le të barazojmë numrin me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & ((\majtas(x-3 \djathtas))^(4))\majtas(x-4 \djathtas)=0; \\ & ((\majtas(x-3 \djathtas))^(4))=0\Djathtas ((x)_(1))=3\majtas(4k \djathtas); \& x-4 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x)_ (2)) = 4. \\ \fund (rreshtoj)\]

І banner:

\[\filloj(rreshtoj) & ((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))\majtas(7x-10-((x)^(2)) \djathtas)=0; \\ & ((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))=0\Djathtas shigjetë x_(1)^(*)=1\majtas(2k \djathtas); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Shigjeta djathtas x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \fund (radhis)\]

Shard mi virishuyemo nesuvor nerіvnіst mendjen $f\left(x \djathtas)\ge 0$, rrënja e banderolës (si yjet) do të rrihet, dhe nga libri i numrave - zafarbovano.

Ne vendosim shenja dhe zona të çelura, të shënuara me një "plus":

Krapka $x = $3 - i izoluar. Tse pjesë e vіdpovіdі

Para kësaj, si të shkruani opinionin e mbetur, shikoni me respekt foton:

1. Krapka $x=1$ ka nja dy shumëfisha, por vetë vikola. Gjithashtu, nëse ndodh që keni një dykatësh: duhet të shkruani $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \djathtas)$, jo $x\in \ majtas(-\ infty ;2\djathtas)$.
2. Krapka $x=3$ gjithashtu mund të shumëzohet і kur mbushet. Rregullimi i tabelave për të konfirmuar se vetë pika është në pushtet me ne, ale krok levoruch-djathtas - ne jemi tërhequr zvarrë në rajon, pasi definitivisht nuk jemi në pushtet. Pika të tilla quhen të izoluara dhe shkruhen si $x\in \left\( 3 \djathtas\)$.

Ne bashkojmë të gjithë otrimani shmatochki në një numër të madh dhe shkruajmë provat.

Sugjerim: $x\in \left(-\infty ;1 \djathtas)\bigcup \left(1;2 \djathtas)\bigcup \left\( 3 \djathtas\)\bigcup \majtas[ 4;5 \djathtas) $

Emërimi. Virishiti nerіvnіst - do të thotë për të njohur suksesin jopersonal të zgjidhjes së jogës, ose për të sjellë atë që është bosh jopersonale.

Do të jepej b: çfarë mund të jetë e paarsyeshme këtu? Kjo është në atë lumë, që jopersonalja mund të vendoset ndryshe. Le ta shkruajmë përsëri deri në fund të ditës:

Lexoni fjalë për fjalë atë që është shkruar. Ndrysho "iks" për të mos u shtrirë me askënd shumë, për të dalë bashkë (ikona "U") chotyroh okremih shumë:

• Intervali $\left(-\infty ;1 \right)$, që fjalë për fjalë do të thotë "të gjithë numrat më pak se një, por jo ai vetë";
• Intervali $ \ majtas (1; 2 \ djathtas) $, më pas. "Të gjithë numrat janë midis 1 dhe 2, por jo vetë numrat 1 dhe 2";
• Anonim $ \ majtas \ (3 \ djathtas \) $, i cili mblidhet nga një ose një numër - tre;
• Intervali $ \ majtas [4; 5 \ djathtas) $, për t'u hakmarrë të gjithë numrave midis 4 dhe 5, si dhe vetë katër, por jo pesë.

Interesi këtu është pika e tretë. Në vіdmіnu vіd іd іnvalіv, іkі për të vendosur grupe të panumërta numrash і rrallë caktoni midis grupeve іх іх, pa $\majtas\(3\djathtas\)$ vendosur rreptësisht një numër si një mënyrë për të ri-arrahuvannya.

Për të kuptuar se ne vetë anashkalojmë numra të caktuar që shkojnë deri në shumëzues (dhe nuk vendosen midis të dyve), harqet e figuruara janë fitimtare. Për shembull, shënimi $ \ majtas \ (1; 2 \ djathtas \) $ do të thotë vetë "një shumëzues që mblidhet nga dy numra: 1 dhe 2", por nuk është i njëjtë me 1 në 2. Në të njëjtën kohë , mos e ngatërroni kuptimin tuaj.

Rregulli i palosjes së shumëfishta

Epo, në fund të mësimit të sotëm, tre gishta nga Pavel Berdov.

Dijetarët e respektuar tashmë kënduan me këngë: dhe çfarë do të jetë, si në kalendar dhe flamur, e njëjta rrënjë? Pra, boshti, pratsyuє një rregull i tillë:

Shumësia e së njëjtës rrënjë mblidhet. Prisni. Rrënja Navіt yakscho tse është e shkruar në librin e numrave dhe në baner.

Ndonjëherë është më mirë të virishuvati, të flasësh më poshtë. Për këtë ne besojmë në detyrën e mëposhtme:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\majtas(((x)^(2))-16 \djathtas)\majtas((x)^(2))+ 9x+14 \djathtas))\ge 0\]

\[\filloj(rreshtoj) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \fund (radhis)\]

Deri më tani, asgjë e veçantë. Barazoni flamurin me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(((x)^(2))-16 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+9x+14 \djathtas)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Shigjeta djathtas x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Shigjeta djathtas x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \fund (radhis)\]

Zbulohen dy rrënjë të njëjta: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Ofendim i shumëzisë mayut pershu. Gjithashtu, i zëvendësojmë me një rrënjë $x_(4)^(*)=-2$, por edhe me një shumësi 1+1=2.

Përveç kësaj, ka ende të njëjtat rrënjë: $((x)_(2))=-4$ dhe $x_(2)^(*)=-4$. Erë e keqe e shumëfishimit të parë, që do të privohet nga $x_(2)^(*)=-4$ shumëfishimi 1+1=2.

Për të sjellë respekt: ​​në të dyja vipadkat e kemi privuar veten nga vetë rrënja e vjetër dhe i kemi hedhur harqet me një shikim. Kjo është arsyeja pse ata arritën në fillim të mësimit: është si një pikë në të njëjtën kohë, dhe është rrahur dhe është pordhë, të gjithëve na intereson njësoj.

Si rezultat, ne kemi rrënjë є chotiri, për më tepër, u shfaqën të gjithë vikolotët:

\[\fillim(lidhoj) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\majtas(2k \djathtas); \& x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\majtas(2k \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Në mënyrë domethënëse їх në vijën numerike me shumësinë e rregulluar:

Ne vendosim tabela dhe zona zafarbovuyemo që na thërrasin:

Mustaqe. Pika të izoluara të përditshme dhe probleme të tjera. Ju mund të shkruani mendimin tuaj.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;-7 \djathtas)\bigcup \left(4;+\infty \djathtas)$.

Rregulli i shumëfishimit

Ndonjëherë situata bëhet edhe më e papranueshme: e barabartë, e cila mund të jetë një shumëfish i rrënjës, vetë sillet në të njëjtin hap. Me këtë ndryshon shumësia e të gjitha rrënjëve të jashtme.

Një tingull i tillë dëgjohet rrallë, për më tepër, nuk ka dëshmi të detyrave të ngjashme. Dhe rregulli është ky:

Me barazimin e hapave $n$ shumësia e të gjitha rrënjëve të yogos gjithashtu rritet me $n$ herë.

Me fjalë të tjera, hapat në hapat shumëzohen me shumësinë në atë hap. Le të hedhim një vështrim në rregullin në praktikë:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(x((\majtas(((x)^(2))-6x+9 \djathtas))^(2))(\majtas(x-4 \djathtas))^(5)) )(((\majtas(2-x \djathtas))^(3))(\majtas(x-1 \djathtas))^(2)))\le 0\]

Zgjidhje. Le të barazojmë numrin me zero:

Tvir është e barabartë me zero, nëse një nga shumëzuesit dëshirohet të jetë i barabartë me zero. Me shumëzuesin e parë kuptova: $x=0$. Dhe boshti shkaktoi probleme:

\[\fillim(rreshtoj) & ((\majtas(((x)^(2))-6x+9 \djathtas))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\majtas(2k \djathtas); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\majtas(2k \djathtas)\majtas(2k \djathtas) \ \ & ((x)_(2))=3\majtas(4k \djathtas) \\ \fund (rreshtoj)\]

Ashtu si Bachimo, e barabartë me $((x)^(2))-6x+9=0$ mund të ketë një rrënjë të vetme të një shumësie tjetër: $x=3$. Të gjithë të jemi të kujdesshëm për t'iu afruar sheshit. Më pas, shumësia e rrënjës bëhet $2\cdot 2=4$, të cilën e shënuam me një verdikt.

\[((\majtas(x-4 \djathtas))^(5)=0\Djathtas shigjetë x=4\majtas(5k \djathtas)\]

Me flamurin e të njëjtave probleme të përditshme:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(2-x \djathtas))^(3))(\majtas(x-1 \djathtas))^(2))=0; \\ & ((\majtas(2-x \djathtas))^(3))=0\Djathtas shigjetë x_(1)^(*)=2\majtas(3k \djathtas); \\ & ((\majtas(x-1 \djathtas))^(2))=0\Djathtas shigjetë x_(2)^(*)=1\majtas(2k \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Ne kishim pesë pika në shumë: dy vikolot dhe tre farbovanë. Nuk ka frikë nga rrënja në librin e numrave dhe znamennik, ajo thjesht shihet në një vijë të drejtë numerike:

Ne vendosim tabela me shumësi të përmirësuara dhe intervale zafarbovuєmo që na thërrasin:

Unë njoh një pikë të izoluar dhe një vicolot

Përmes rrënjës së shumësisë së çiftuar, u hoqën përsëri disa elementë "jo standardë". $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \djathtas)$ në vend të $x\in \left[ 0;2 \djathtas)$, dhe pika $ x është gjithashtu e izoluar \në \majtas\(3\djathtas\)$.

Vidpovid. $x\in \left[ 0;1 \djathtas)\bigcup \majtas(1;2 \djathtas)\bigcup \left\( 3 \djathtas\)\bigcup \majtas[ 4;+\infty \djathtas)$

Yak bachite, nuk është aq e komplikuar. Golovne - respekt. Pjesa tjetër e mësimit të dedikimeve ndaj rimishërimeve - tim, siç diskutuam në kalli.

Riformësimi i përparmë

Nervnosti, kakі mi rasberem at tsemu rasdіlі, nuk mund të quhet i palosshëm. Megjithatë, në vіdmіnu vіd posrednіh zavdnі, këtu ndodh me zasosuvati navchik z teorії rationalnyh drobіv — razkladannja në shumëzues dhe brіnnogo znamennik.

Diskutuam në detaje ushqimin për kallirin e mësimit të sotëm. Nëse nuk e kuptoni, çfarë kuptoni, për atë që është gjuha, ju rekomandoj të ktheheni dhe të përsërisni. Për këtë nuk ka ndjeshmëri për të ngjeshur metodat dhe për të zbërthyer mospërputhjet, sikur "noton" në goditjet e konvertuara.

Në shtëpi, para fjalimit, do të ketë gjithashtu shumë detyra të ngjashme. Erë e keqe e fajit deri në fund të pidrozdil. Dhe atje do të kontrolloheni edhe për aplikacione jo të parëndësishme. Ale, do të jesh në kabinë, por tani le të zgjidhim disa mospërputhje të tilla.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Zgjidhje. Lëvizja e gjithçkaje në të majtë:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Është sjellë në flamurin e dyfishtë, hapen harqet dhe dodanki të ngjashme sillen në librin e numrave:

\[\fillim(rreshtoj) & \frac(x\cdot x)(\majtas(x-1 \djathtas)\cdot x)-\frac(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x-1 \ ) djathtas))(x\cdot \left(x-1 \djathtas))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\majtas(((x)^(2))-2x-x+2 \djathtas))(x\majtas(x-1 \djathtas)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\majtas(x-1 \djathtas))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\majtas(x-1 \djathtas))\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Tani kemi para nesh nerіvnіst klasik fraksional-racional, vyshennya yakoї nuk bëhet më i vështirë. Unë praktikoj jogën me një metodë alternative përmes metodës së intervaleve:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(3x-2 \djathtas)\cdot x\cdot \majtas(x-1 \djathtas)=0; \& ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \fund (radhis)\]

Mos harroni gardhin që erdhi nga banderola:

Të gjithë numrat tregohen dhe shkëmbehen në një vijë të drejtë numerike:

Mustaqet janë rrënja e shumëfishimit të parë. Nuk ka probleme. Ne thjesht vendosëm shenjat që i duhen rajonit për ne:

Kjo eshte e gjitha. Ju mund të shkruani mendimin tuaj.

Vidpovid. $x\in \left(-\infty ;0 \djathtas)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \djathtas)$.

Zrozumіlo, tse buv zovsіm vetëm një prapanicë. Për këtë në të njëjtën kohë ne mund ta shikojmë detyrën më seriozisht. І te fjalimi, riven tsgogo zavdannya tsіlkom vіdpovidaє robotë të pavarur dhe kontrollues z ієї ata në klasën 8.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Zgjidhje. Lëvizja e gjithçkaje në të majtë:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Para kësaj, si të sjellim fraksionet fyese në një flamur të dyfishtë, ne i vendosim këto banderola në shumëzues. Raptom vylizut të njëjtat harqe? Me banerin e parë është e lehtë:

\[((x)^(2))+8x-9=\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\]

Me të tjera troç të palosur. Mos hezitoni të futni një konstante shumëzuese në atë hark, duke mos u shfaqur. Mbani mend: nëse keni një term të pasur në numrin e koeficientëve, ky është një imovirnist i shkëlqyeshëm, sepse është paraqitur në shumëfisha të nënës në numrin e koeficientëve (në të vërtetë, do të jetë kështu, për një vipadkiv, nëse diskriminuesi është irracional).

\[\filloj(rreshtoj) & 3((x)^(2))-5x+2=3\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x-\frac(2)(3) \djathtas)= \\ & =\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas) \fund (rreshtoj)\]

Yak bachimo, є hark: $ \ majtas (x-1 \ djathtas) $. Ne i drejtohemi nervozizmit dhe nxisim fraksionet fyese në një flamur të dyfishtë:

\[\filloj(rreshtoj) & \frac(1)(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas))-\frac(1)(\majtas(x-1 \djathtas)\ majtas(3x-2\djathtas))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \majtas(3x-2 \djathtas)-1\cdot \left(x+9 \djathtas))(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas ) )\majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\majtas(x-1 \djathtas)\left(x+9 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas))\ge 0; \\ \fund (radhis)\]

Barazoni flamurin me zero:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+9 \djathtas)\majtas(3x-2 \djathtas)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \fund( rreshtoj)\]

Shumëzimet e përditshme dhe rrënjët zbіgayutsya. Ne caktojmë disa numra në vijën e drejtë:

Ne vendosim shenja:

Le të shkruajmë provat.

Përgjigja: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \djathtas)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ drejtë) $.

Mustaqe! Kështu, pastaj lexoni në rresht.