Bilješka. Ovaj materijal je dokaz teoreme i dokaz, kao i niz zadataka koji ilustruju teoremu o zbiru kutiva ispupčenog bagatokutnika na praktičnim kundacima..

Teorema o zbiru kutiva napuhanog bagatokutnika

.

dokaz.

Da bismo dokazali teoremu o zbiru kutiva ispupčenog bagatokutnika, ubrzavamo već donesenu teoremu o onima da je zbir kutiva trikutnika veći za 180 stepeni.

Neka je A 1 A 2... A n - danski puhasti vrganj í n > 3. Nacrtajte sve dijagonale stuba iz vrha A 1. Razbijte yogo na n - 2 trokuta: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Zbir kutiva bagatokutnika je zbígaêtsya od zbira kutiva usíh tsikh trikutnikív. Zbir rezova kožnog trikota je 180°, a broj trikota je (n – 2). Za taj zbroj kutív puffy n-kutnika A 1 A 2 ... A n je 180 ° (n - 2).

Menadžer.

Nabrekli bagatokutnik ima tri kutija od po 80 stepeni i reshta od 150 stepeni. Skílki kutív u natečenom bagatokutniku?

Rješenje.

Čini se da je teorema: Za natečeni n-rez, zbir rezova je 180° (n-2) .

Znači za našu vipadku:

180(n-2)=3*80+x*150, de

Za mentalni zadatak su nam date 3 kute od 80 stepeni, a broj ostalih kuta nam je još uvijek nepoznat, znači značajno njihov broj kao x.

Međutim, iz zapisa u lijevom dijelu oni su naznačili broj rezova bagatokutnika kao n, krhotine tri reza su nam poznate iz mentalnog zadatka, očigledno je da je x = n-3.

U takvom rangu izgledamo ovako:

180(n-2)=240+150(n-3)

Virishuemo otrimane rivnyannia

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

prijedlog: 5 vrhova

Menadžer.

Koliko vrhova može majka bagatokutnik, koliko je veličina kože s kutiva manja od 120 stepeni?

Rješenje.

Za realizaciju ovog zadatka brzo koristimo teoremu o zbiru kutiva ispupčenog bagatokutnika.

Čini se da je teorema: Za natečeni n-rez, zbir svih rezova je 180° (n-2) .

Oče, potrebno je da naš um procijeni granični um zadatka. Tobto robiti pripuschennya, scho skin s kutiv dorivnyu 120 stepeni. Mi uzimamo:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360

Vyhodyachi s otrimanogo ryvnyannya, robimo vysnovok: sa vrijednošću kutíva manjom od 120 stupnjeva, broj kutíva bagatokutnika je manji od šest.

Objašnjenje:

Vihodyachi z virazu 180n - 120n = 360, imajte na umu, ono što se vidi sa desne strane biće manje od 120n, razlika je veća od 60n. U takvom rangu, privatno, imat ćete manje od šest.

prijedlog: broj vrhova bagatokutnika biće manji od šest.

menadžer

Bagatokutnik ima tri kuta od 113 stepeni, a linija je jednaka sama sebi i taj njihov stepen je ceo broj. Znati broj vrhova bagatokutnika.

Rješenje.

Za realizaciju ovog zadatka brzo koristimo teoremu o zbiru vanjskih kutiva ispupčenog bagatokutnika.

Čini se da je teorema: Za natečeni n-rez, zbir svih ovn_shníh kutív je 360° .

na takav način,

3*(180-113)+(n-3)x=360

prava dijela vislovlyuvannya - zbir ovníshníh kutív, lijevi dio zbroja tri kutív vídoma po umu, i stepeni svijeta ostalih (í̈h kílkíst, vídpovídno n-3, oskolki tri kutí vídomí ) je označen kao x.

159 je samo podijeljeno na dva faktora 53 i 3, a 53 je prost broj. Dakle, ne postoje drugi parovi množitelja.

Ovim redom, n-3 = 3, n = 6, pa je broj rezova bagatokutnika šest.

Vidpovid: šest kutiv

menadžer

Da vam kažem da natečeni bagatokutnik ne može imati više od tri dobra posekotina.

Rješenje

Kao što vidite, zbir ovnishníkh kutív ispupčenog rogoza je do 3600. Dokažimo protilezno. Isto tako, natečeni bagatokutnik ima ne manje od nekoliko dobrih unutrašnjih kutíva, a sredina istog ovníshníkh kutíva je ništa manje nego glupa, zvijezde vrište, pa je zbir svih zovníshníh kutív bagatokutnik veći za 4 * 90 0 = 360 0. Mogla bi ga obrisati. Potvrda je napravljena.

Trikutnik, kvadrat, šestokutnik - ove figure su praktično za svakoga. Ale o onima koji su tako korektni bagatokutnik, znate daleko od kože. Ale tse sve njih naziva ispravnim bagatokutnik onaj ko može biti jednak među sobom na toj strani. Previše je takvih figura, ali smrad iste moći još uvijek postoji, a pred njima stagniraju iste formule.

Moć pravih bagatokutnika

Bilo da je ispravan bagatoknik, da li je kvadrat ili osmougao, možda ima unosa na kolo. Tsya glavna moć često pobjeđuje kada je potaknu figura. Osim toga, koliko god možete stati u bagatokutnik. Na istom broju bodova, dotik je skuplji od broja jogo strana. Važno je koji je broj, upisan u ispravan bagatokutnik, matima iz njenog zagalnog centra. Tsí geometrijski postovi pídorderakovaní neke teoreme. Da li je strana ispravnog n-reza povezana sa radijusom opisane novčanice novog udjela R. Za to í možete izračunati sljedeću formulu: a \u003d 2R ∙ sin180 °. Preko možete znati ne samo strane, već i obod bagatokutnika.

Kako saznati broj strana ispravnog bagatokutnika

Koža se presavija od više jednakih, jedan prema jedan, do jednog, jak, z'ednuyuchis, da se uspostavi zatvorena linija. S kim se svi kuti likuju, scho se sakrio međutim, značenje. Bagatokutniki pod_lyayutsya na jednostavan i sklopivi. Do prve grupe vide se triko i kvadrat. Sklopivi bagatokutniki mogu napraviti veći broj stranica. Ispred njih se mogu dodati i cirkasti stupa. Kod sklopivih, pravilnih bagatokutnika, poznate su strane upisane u kolo sa stazom. Hajde da dobijemo potvrdu. Postavite ispravan bagatokutnik sa dovoljnog broja strana n. Opišite kolonu kolona. Navedite radijus R. Sada pokažite da vam je dat pravi n-rez. Pošto tačke yogo cutiva leže na jednoj te istoj, onda se stranice mogu znati po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.

Poznavanje broja strana upisanog pravilnog trikota

Rivnostoronníy trikutnik - tse ispravan bagatokutnik. Formule do novog zastosovuyutsya tí f, scho í na kvadrat, í n-kutnik. Trikutnik vvazhatimetsya ispravan, kao da je vino isto s druge strane. Uz ovaj kuti, cijena je 60⁰. Napravimo tricutnik sa date strane. Znajući njegovu medijanu i visinu, možete znati značenje njegovih strana. Za ovog viktorista moguće je izračunati kroz formulu a = x: cosα, de x - medijan ili visina. Krhotine na svim stranama trikotaže su jednake, otrimuemo a = b = s. Todí vírnym će doći stvrdnjavanje \u003d \u003d c \u003d x: cosα. Slično, možete znati značenje stranica trikota jednako femoralne kosti, ali x će dobiti visinu. U slučaju bilo kakvog dizajna, ona je kriva isključivo na osnovu brojki. Kasnije, znajući visinu x, znamo bík a trikota jednako femoralne kosti po formuli a \u003d b \u003d x: cosα. Ako je značajnost značajna, možete izračunati vrijednost baze. Dokazujemo Pitagorinu teoremu. Shukatimemo vrijednost polovine baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada je c = 2xtg. Osa se na tako nezgodan način može koristiti za označavanje broja strana bilo kojeg upisanog bagatokutnika.

Brojanje stranica kvadrata upisanog u stupac

Kao i be-yakiy ínshiy natpisi ispravan bagatokutnik, kvadrat može biti jednakih stranica i kuti. Do novog, same formule zastosovuyutsya, kao í to trikutnik. Možete izračunati stranice kvadrata koristeći vrijednosti dijagonale. Pogledajmo metodu detaljnije. Vídomo, scho dijagonalno dilit kut navpíl. Dno vrednosti joge je bilo 90 stepeni. Ovim redom, nakon pada, postavljaju se dvije kolibe kada temperatura poraste na 45 stepeni. Vídpovídno kožna strana kvadrata je dorívnyuvatime, tobto: a = c = c = e = e ∙ cosα = e√2: 2, de e - tse dijagonala kvadrata, ili osnova pravokutnog trikutnika, zbog čega izgleda kao ruza. Ne postoji jedinstven način da se saznaju stranice kvadrata. Upišimo ovu cifru u kolonu. Znajući polumjer ovog udjela R, znamo kvadrat kvadrata. Izračunajte prema rangu ofanzive a4 = R√2. Radijusi pravilnih bagatokutnika se izračunavaju po formuli R = a: 2tg (360 o: 2n), de a je dužina stranice.

Kako izračunati obim n-reza

Opseg n-reza je zbir svih strana. Izračunati jogu nije lako. Za koga je neophodno da zna značenje svih strana. Za određene vrste bagatokutnika postoje posebne formule. Smrad vam omogućava da bolje upoznate perimetar. Vídomo, scho biti ispravan bagatokutnik maê jednake strane. Za to, da bi virahuvati yogo perimetar, dovoljno je znati da li želite jednu od njih. Formula je zastarjela prema broju strana figure. Izgledate ovako: P = an, de a - vrijednost stranice i n - broj rezova. Na primjer, da bi se znao obim pravilnog osmerca sa stranom od 3 cm, potrebno je pomnožiti í̈í̈ sa 8, tako da je P = 3 ∙ 8 = 24 cm bagatokutnik.

Značenje perimetra paralelograma, kvadrata i romba

Fallow pogled, skílki storín maê ispravan bagatokunik, yogo perimetar se izračunava. Tse je bogato olakšao zadatak. Adzhe, na vídmínu víd ínshih figura, vídmou vípadku ín't nebíbíl shukat yogo yogo strana, dovoljan je jedan. Za ovaj princip znamo obim čotirikutnika, odnosno kvadrata i romba. Nije me briga za one koji različite figure, Formula za njih je jedna P = 4a, de a - strana. Dajemo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata veća od 6 cm, tada znamo obim na sljedeći način: R = 4 ∙ 6 = 24 cm Paralelogram ima više jednakih stranica. Iz tog razloga, znate perimetar, vikoristovuyuchi na drugi način. Otzhe, moramo znati širinu te figure. Zaustavimo formulu P = (a + c) 2. Paralelogram, u kojem su sve stranice jednake i između njih, naziva se romb.

Vrijednost perimetra jednakostranog i pravokutnog trikota

Opseg ispravnog može se odrediti formulom P \u003d 3a, de a je dužina stranice. Kao da nije kod kuće, možete znati kroz medijanu. U pletenini ravnog kroja samo su dvije strane podjednako važne. Supstava se može znati kroz Pitagorinu teoremu. Nakon toga, kako postati glavno značenje sve tri strane, izračunava se perimetar. Yogo se može znati pomoću formule P = a + b + c, gdje su a i b jednake stranice, a c je baza. Pretpostavimo da je u trikotu jednakog buta a = b \u003d a, također, a + b = 2a, zatim P = 2a + c. Na primjer, stranica jednako-femoralne trikotaže je duga 4 cm, znamo bazu i obod. Vrijednost hipotenuze izračunava se prema Pitagorinoj teoremi h = √a 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Sada je perimetar izračunat P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kako znati kuti ispravnog bagatokutnika

Ispravan bagatokutnik zustrichaetsya u našem današnjem životu, na primjer, veliki trg, trikutnik, osmokutnik. Bilo bi bolje, nema ništa jednostavno, samostalno inspirirati ovu figuru. Ale tse manje na prvi pogled. Da biste vas ohrabrili da budete n-kutnik, potrebno je znati značenje yoga kutiva. Ali kako znaš? Pre više od jednog veka pokušali su da probude ispravne bagatokutnike. Smrad je pogodio da ih upiše na lomači. A onda smo na njemu označili potrebne tačke i zatvorili ih ravnim linijama. Za jednostavne članke problem je prevladan. Formule te teoreme su oduzete. Na primjer, Euklid je u svojoj poznatoj ordinaciji „Kup“ bio zauzet trešnjama za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kutnike. Vin zna načine da inspiriše to znanje o kutivu. Pogledajmo to kao zrobiti za 15-kutnik. Potrebno je olabaviti zbir unutarnjih kutiva joge. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰(n-2). Kasnije nam je dat 15-kutnik, što znači da je broj n veći od 15. Za zamjenu koja nam je data formulom i uzima se S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Znali smo zbroj svih unutrašnjih kutíva 15-kutnika. Sada im je potrebno oduzeti značaj kože. Usy kutiv 15. Robimo je izbrojao 2340⁰: 15 = 156⁰. Kasnije je koža unutrašnjeg reza 156⁰, sada uz pomoć linije i kompasa možete inducirati ispravan 15-rez. Ale yak buti sa presavijenim n-rezačima? Mnogo vekova feudalne borbe oko rešenja ovog problema. Pronašao ju je tek u 18. veku Carl Friedrich Gauss. Vín zmíg inducirati 65537-kutnik. U ovom času se i zvanično smatra da je problem izraženiji.

Rozrahunok kutiv n-kutnikiv u radijanima

Pa, postoje neki načini da se upoznaju kutivi bagatokutnika. Većina njih se računa u stepenima. Ali možete ih govoriti u radijanima. Kako tse robiti? Potrebno je ovako postupiti. Na poleđini je uzet broj strana ispravnog bagatokutnika, onda možemo vidjeti iz nove 2. Također, uzimamo vrijednost: n - 2. Pomnožite poznatu razliku brojem n ("n" \u003d 3,14 ). Sada više nema dijeljenja oduzimanja tvira brojem kutiva u n-kutniku. Pogledajmo datu kalkulaciju na kundak istog penija. Od istog, broj n je jednak 15. Formula S = p (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ovo, očigledno, nije jedini način da se kut razloži u radijanima. Možete jednostavno podijeliti rozmir kutu u stepenima sa 57,3. Aje isti stepeni stepeni je ekvivalentan jednom radijanu.

Rozrahunok značenje kutiva u gradu

Krím gradusív ta radian, možete pokušati saznati značenje cutív ispravnog bagatokutnika iz grada. Borite se tako. Íz zagalnoí̈ kílkostí kílkostí kílív vídnímaêmo 2, dilimo otrimana raznitsyu na broj strana desnog bagatokutnika. Rezultat znanja se množi sa 200. Prije govora, takva usamljenost u svijetu kutiva, poput tuče, praktično nije pobjednička.

Rozrahunok zovníshníh kutív n-kutnikív

U prisustvu ispravnog bagatoknika, unutrašnjeg grimiza, možete virahuvat vanjski kut. Znate njegovo značenje isto tako i za druge članke. Stoga, da bi se poznavao spoljašnji kut ispravnog bagatokutnika, potrebno je znati značenje unutrašnjeg. Dali su nam naslutiti da će zbir ova dva kutiva dostići 180 stepeni. Stoga je obračun robimo na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutrašnjeg kuta. Znamo razliku. Osvojio i više vrijednosti sume kut. Na primjer, unutrašnji ugao kvadrata je 90 stepeni, a vanjski 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Yak bachimo, znati da je joga nezgodna. Zovnishniy kut može povećati vrijednost sa +180⁰ na, očigledno, -180⁰.

dokaz

Za vipadu ispupčeni n-cutnik

Hajde A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n))- danski opukliy bagatokutnik i n>3. Isto se provodi od jednog vrha do suprotnih vrhova ( n− 3) dijagonale: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Dakle, kao bagatokutnik otoka, qi dijagonale razbijaju yogo na ( n− 2) triko: A 1 A 2 A 3 , A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Zbir kutiva bagatokutnika je zbígaêtsya od zbira kutiva usíh tsikh trikutnikív. Zbir kutiva u kožnom trikutniku je 180°, a broj tsikh trikutnika je n− 2 . Otzhe, zbroj kutiv n-kutnik dorívnyuê 180 ° ( n − 2) . Teorema je završena.

Poštovanje

Za nekonveksni n-rez, zbir kutiva je također skuplji za 180° ( n− 2) . Dokaz može biti analogan, vikoristovuyuchi na dopuni leme o onima koji, ako bilo koji bagatokutnik se može rezati dijagonalama na trikutnike, a ne spiralno na onima da su dijagonale povučene obov'yazykovo iz jednog vrha u smislu da ne -izbočeni bagatokutnik nije obov'yazkovo ê želeći samo jedan vrh, sve dijagonale treba da leže u sredini bagatokutnik, kao trikutniki, kao smrad utvoryuyut).

Unutrašnji kut bagatokutnika- Tse kut, smirivanja dve sumirane strane bagatokutnika. Na primjer, ∠ ABCê interni kutom.

Zovníshníy kut bugatokutnik- tse kut, jedna strana bagatokutnika i druga strana. Na primjer, ∠ LBCê zovníshním kutom.

Broj kutiva bagatokutnika je uvek dobar broj jogo strana. Cijena je dostojna i unutrašnje i vanjske haube. Bez obzira na one koje za vrh kože bagatokutnika možete izazvati dva jednaka ovnishní kuti, samo jedan od njih treba uzeti u obzir. Otzhe, da biste znali broj kutiva bilo kojeg bagatoka, potrebno je zaštititi broj strana.

Zbir unutrašnjih kutiva

Zbir unutrašnjih nabora natečenog bagatokutnika je skuplji za završetak 180° i broj strana bez dva.

s = 2d(n - 2)

de s- tse suma kutiv, 2 d- dvije prave (tobto 2 90 = 180 °), i n- Broj strana.

Yakshcho mi izveden sa vrha A bagatokutnik ABCDEF sve dijagonale su moguće, tada jogu dijelimo na trikote, čiji će broj biti dvije manje, donje strane bagatokutnika:

Otzhe, zbir kutiva bagatokutnika je skuplji od zbira kutiva svih trikutnikova. Oskílki sum kutív dermalni tricutnik dorívnyuê 180° (2 d), tada zbroj kutív svih trikutnikív dorívnyuvatime dobutku 2 d za njihov broj:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°

Z tsíêí̈ formule su evidentne, da je zbir unutrašnjih kutív konstantna vrijednost koja leži na broju strana bagatokutnika.

Zbroj ovnishníh kutív

Zbir ovnishníkh kutiva ispupčenog bagatokutnika je 360 ​​° (ili 4 d).

s = 4d

de s- tse suma zovnísh kutív, 4 d- čotiri pravi kuti (tobto 4 90 = 360°).

Zbir vanjskog i unutrašnjeg kuta na kožnom vrhu bagatokutnika je veći od 180° (2 d), oskílki ê sumízhnymi kutami. Na primjer, ∠ 1 ta ∠ 2 :

Otzhe, kao bagatokutnik maê n strane (tj n vrhova), zatim zbir vanjskih i unutrašnjih ivica sa svim n vrhovi puta 2 dn. Schob íz qíêí̈ sumi 2 dn osvoji samo zbir vanjskih kutiva, potrebno je uzeti zbir unutrašnjih kutiva iz njega, zatim 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Vaš bagatokutnik. Na primjer, ako trebate znati rez ispravnog bagatokutnika sa 15 strana, stavite n = 15 jednako. Imate viide S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Dali su mi priliku da odsiječem zbroj unutrašnjeg kutív njihovih kílkíst. Na primjer, kod bagatokutnika, broj rezova u broju stranica je 15. U ovom rangu uzimate u obzir da je rez 2340⁰ / 15 = 156⁰. Koža unutrašnjeg reza bagatokutnika je dorívnyuê 156⁰.

Ako vam je bolje da odmotate cuti bagatokutnika u radijanima, jedite na ovaj način. Razmotrite broj 2 iz broja strana i pomnožite razliku brojem P (Pi). Onda podijelimo dobutok na nekoliko kutiva na bagatokutniku. Na primjer, ako trebate olabaviti kuti ispravnog 15-kutnika, jedite ovako: P * (15-2) / 15 = 13 / 15P, ili 0,87P, ili 2,72. Ili jednostavno podijelite rozmír kuta u stepenima sa 57,3 - sam stil se može pomjeriti za jedan radijan.

Također možete probati rozrahuvati kuti od ispravnog bagatokutnika u blizini grada. Za koji se vidi iz broja strana, broj je 2, podijelite broj sa brojem strana i rezultat pomnožite sa 200. (100 sekundi po peru).

Eventualno je potrebno da otvorite spoljašnji kut desnog bagatokutnika, da ga na ovaj način popravite. Vídnímít iz 180⁰ unutrašnjeg kuta - od rezultata oduzimate vrijednost ukupne vrijednosti, to je ovniy kut. Vín može povećati vrijednost víd -180⁰ do +180⁰.

Korisna porada

Ako ste daleko od toga da znate kako da isečete pravi bagatokutnik, lako možete inspirisati jogu. Da biste postavili jednu stranu pjevačke dožine i u nju uz pomoć kutomjera, stavite potreban kut. Razmotrite isti vídstan (vaše strane ispravnog bagatokutnik jednake) i obnovite neophodan kut. Nastavite, dokovi sa strane se neće zatvoriti.

Jerela:

• kut na desnoj bagatokutnik

Opišimo jedan takav bagatokutnik čije su sve strane upisane u novi kolac. Moguće je opisati samo ispravan bagatokutnik, kao što je onaj koji ima sve strane jednake. Od rozvyazannym takve biljke, stari arhitekti su se još uvijek držali zajedno, ako je bilo potrebno dizajnirati, na primjer, stup. Moderne tehnologije Dozvoljeno je raditi sa minimalnim brojem sati, ali princip rada ostaje isti kao u klasičnoj geometriji.

ti trebas

• - kompas;
• - kutomjer;
• - Linija;
• - arkush paperu.

Uputstvo

Pređite niz zadataka. Centar íí̈ odredi kako provesti jedan od radijusa, tako da bi bilo moguće krenuti u posjetu. Da biste na neki način opisali njen bagatokutnik, potreban vam je jedan parametar - broj strana. Označite jogu kao n.

Pogodi, kakav je ulog. Vín postaje 360°. Vykhodyachi iz tsgogo, moguće je nabrojati kuti sektore, čije strane povezuju središte kočića sa tačkama torza í̈í̈ zí strane bagatokutnika. Broj ovih sektora je najljepši, broj strana bagatokutnika, tobto n. Kut α znati za formulu α = 360 ° / n.

Uz pomoć kutomjera, dodaću vrijednost reza radijusu i kroz njega povući još jedan polumjer. Da bi izračun bio precizan, koristite kalkulator i zaokružite vrijednosti samo za one najmanje. U novom radijusu, ponovo ću dodati rez sektora i nacrtati još jednu ravnu liniju između centra i linije kočića. Zato ostanite hladni sami.