Zgjidhja e mospërputhjeve të hapave të mëdhenj në internet. Virishennya parregullsi lineare. Çfarë duhet të dini

Respekt!
Për tsієї ata є dodatkovі
materialet në Shpërndarjen Speciale 555.
Për të qetë, të cilët janë fort "jo shumë ..."
Unë për heshtje, kush "e dinit ...")

Cfare eshte "parregullsi katrore"? Nuk ka ushqim!) Merre atë be-jak katror i barabartë dhe zëvendësoni shenjën e re "=" (Rіvno) nëse ka një simbol nervozizmi ( > ≥ < ≤ ≠ ), shohim pabarazi katrore. Për shembull:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Epo, e kuptove ...)

Unë nuk jam darma këtu zv'yazav rіvnyannya se nerіvnostі. Në të djathtë, në faktin se thurja e parë me grep e qershisë cfaredo parregullsi katrore - virishiti i barabartë, për të cilin prishet mospërputhja. Nga arsyet për arsyen - mungesa e barazimit të katrorit të virishuvatit automatikisht çon në një dështim total në pabarazi. A i ke kuptuar tensionet?) Si çfarë, mrekullohu, si virovat, qofshi si katror i barabartë. Aty raportohet gjithçka. Në këtë mësim do të merremi vetë me nervat.

Gati për eliminimin e nervozizmit mund të duket: levoruch - trinom katror sëpatë 2 +bx+c, me dorën e djathtë - zero. Një shenjë e nervozizmit mund të jetë absolutisht be-yakim. Dy të parat këtu tashmë gati për qershi. Prapa e tretë duhet të përgatitet.

Si ju pëlqen e gjithë faqja...

Përpara se të flasim, unë kam disa uebsajte të tjera për ju.)

Ju mund të stërviteni në vithe virishenny dhe të njihni riven tuaj. Testimi me riverifikim të mittevës. Vchimosya - me interes!)

mund të mësoni rreth funksioneve dhe të ngjashme.

Nerіvnіst - tse spіvvіdnoshennia numerike, scho іlustruє madhësinë e numrave si një i vetëm. Nervnosti zastosovutsya gjerësisht kur kërkon vlera në shkencat e aplikuara. Llogaritësi ynë do t'ju ndihmojë të merreni me një temë kaq të vështirë, si një mënyrë për të zbuluar parregullsitë lineare.

Çfarë është nervozizmi

spivvіdnosheniya e pabarabartë në jetën reale spіvvіdnosya z konstante porіvnyannâm raznyh ob'ektiv: më shumë chi më e ulët, më shumë chi më afër, chi më e rëndësishme më e lehtë. Në mënyrë intuitive, ne mund të kuptojmë në mënyrë intuitive se një objekt është më i madh, më i madh ose më i rëndësishëm se tjetri, por në fakt, duhet kërkuar gjithmonë numra të barabartë për të karakterizuar vlerat aktuale. Është e mundur të barazojmë objektet për çdo shenjë dhe në çdo rast mund të mbledhim pabarazi numerike.

Nëse nuk ka madhësi të barabartë për mendjet specifike, atëherë ne bëhemi të barabartë për sa i përket vlerës së tyre numerike. Nëse jo, atëherë zëvendësimi i shenjës "njëlloj" mund të tregojmë nëse është ndryshe ndryshimi midis këtyre vlerave. Dy numra ose objekte matematikore mund të jenë më të mëdhenj se ">", më pak se "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Shenjat e parregullsive në pamjen e sotme moderne u parashikuan nga matematikani britanik Thomas Garriot, i cili në vitin 1631 botoi një libër për spiunimin e parregullt. Shenjat më të mëdha se ">" dhe më pak se "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Vizioni i mospërputhjeve

Parregullsitë, si barazitë, janë të llojeve të ndryshme. Linjat lineare, katrore, logaritmike dhe të pabarabarta shfaqëse janë zhvilluar duke përdorur metoda të ndryshme. Sidoqoftë, pavarësisht nga metoda, qoftë pabarazia e shpinës, është e nevojshme ta sillni atë në një pamje standarde. Për këtë qëllim fitohen të njëjtat transformime, identike me llojet e barazive.

I njëjti transformim i nervozizmit

Transformime të tilla të virazit janë tashmë të ngjashme me fantazmën e të barabartëve, megjithatë, erëra e keqe është e nuancuar, pasi është e rëndësishme të ruhemi nga ora e rozvyazuvannya e nervozizmit.

Transformimi i parë është identik me operacionin analog me barazitë. Në të dy anët e spiving nervor, mund të shtoni ose zgjidhni të njëjtin numër, ose viraz me një x të panjohur, me të cilin shenja e nervozizmit do të bëhet e tepërt. Më shpesh, kjo metodë zastosovetsya në thjeshtimet e formës, sikur transferon anëtarët e virusit përmes shenjës së pabarazisë, duke ndryshuar shenjën e numrit në zgjatje. Për të ndryshuar shenjën e vetë anëtarit, pastaj + R kur transferohet përmes ndonjë shenje pabarazie, ndryshoni në - R dhe navpaki.

Një tjetër transformim mund të ketë dy pika:

Lejohet të shumëzohet ose pjesëtohet me të njëjtin numër pozitiv. Shenja e nervozizmit nuk do të ndryshojë në asnjë rrethanë.
Shkeljet e anës së nervozizmit lejohen të pjesëtohen ose të shumëzohen me të njëjtin numër negativ. Shenja e nervozizmit ndaj vetvetes do të ndryshojë në të kundërtën.

Përndryshe, i njëjti transformim i mospërputhjeve mund të jetë ndryshim serioz me paraqitjen e ekuivalencës. Së pari, kur shumëzohet/pjestohet në një numër negativ, shenja e virusit nervor do të ndryshojë gjithmonë të kundërtën. Në një mënyrë tjetër, ndarja ose shumëzimi i pjesëve të pagesës lejohet vetëm me një numër dhe jo me asnjë lloj viraz, që nuk mund të hakmerret. Në të djathtë, në atë që nuk mund ta dimë me siguri, numri është më i madh ose më i vogël se zero, është i panjohur, sepse ai transformim tjetër është gjithashtu i ndenjur deri në mospërputhje, duke përfshirë numrat. Le t'i hedhim një sy këtyre rregullave në vithe.

Aplikoni rozvyazuvannya nerіvnosti

Në krye të algjebrës, ka detyra të ndryshme në temën e mospërputhjeve. Na jepet viraz:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Për spadix e veshit, ai është i transferueshëm në të majtë dhe të gjithë numrat janë me dorën e djathtë.

6x − 12x > 6 + 3

Është e nevojshme që ne të nënshtrojmë pjesën fyese të virusit me -6, ndaj kësaj, nëse njohim x të panjohur, shenja e pabarazisë do të ndryshojë në drejtim të kundërt.

Në rastin e virishhenni tsієї nerіnostі mi vikoristovuvaly fyente të njëjtin transformim: transferoi të gjithë numrat djathtas si shenjë dhe ndau anët fyese të spіvvіdnoshennia në një numër negativ.

Programi ynë është një kalkulator për trajtimin e mospërputhjeve numerike, në mënyrë që të mos hakmerret ndaj të panjohurës. Programi ka teoremat e mëposhtme për tre numra spіvvіdnoshen:

yakscho A< B то A–C< B–C;
nëse A > B, atëherë A-C > B-C.

Zëvendës Shefi i Anëtarëve A–C Mund të thoni nëse dija aritmetike: duke shtuar, shumëzuar ose duke shtuar. Në këtë mënyrë, kalkulatori do të llogarisë automatikisht pabarazinë e shumave, shitjes me pakicë, kreative ose fraksioneve.

Visnovok

Në jetën reale, nervnosti cicëron aq shpesh, sikur të ishte e barabartë. Natyrisht, dikush mund të mos ketë nevojë për njohuri për zhvillimin e nervozizmit. Megjithatë, në shkencat e aplikuara, nervozizmi i këtyre sistemeve është i njohur gjerësisht. Për shembull, hetime të ndryshme të problemeve të ekonomisë globale çojnë në palosjen e sistemeve të parregullsive lineare dhe katrore, dhe dhjakët e pabarazisë së vijës blu - në një mënyrë të qartë për të provuar bazën e objekteve të këndimit. Vykoristovyte programet tona për korrigjimin e parregullsive lineare ose ri-verifikimin e inlays tuaj.

Sot miq, nuk do të ketë asnjë ngërç dhe ndjenjë të përditshme. Si zëvendësim i tyre, do t'ju drejtoj pa asnjë fuqi për të mundur një nga kundërshtarët më të këqij në kursin e algjebrës 8-9.

Pra, keni kuptuar gjithçka saktë: shkoni në lidhje me mospërputhjet me modulin. Le të hedhim një vështrim në disa nga parimet kryesore, për ndihmën e të cilave do të mësoni të kapërceni afërsisht 90% të detyrave të tilla. Po 10% reshtoyu? Epo, ne do të flasim për to në një mësim të mirë.

Sidoqoftë, para kësaj, se si të zgjidhet se si ta pranojmë atë atje, do të doja të hamendësoja dy fakte, të cilat do të ishte e nevojshme të diheshin. Përndryshe, ju do të shqyrtoni njohuritë e materialit të mësimit të sotëm.

Çfarë duhet të dini

Është e qartë se për të zgjidhur mospërputhjet me modulin, është e nevojshme të dini dy fjalë:

Si tërbohet nervozizmi;
Çfarë është një modul?

Le të fillojmë nga një pikë tjetër.

Funksioni i modulit

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Є dy funksione: algjebrike dhe grafike. Për kalli - algjebrike:

Emërimi. Moduli i numrit $x$ është ose i njëjti numër, i cili nuk është negativ, por numri i kundërt me ju, i cili është $x$ i jashtëm, është ende negativ.

Regjistrojeni si kjo:

\[\majtas| x \djathtas|=\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Për ta thënë thjesht, moduli është "një numër pa minus". Unë vetë në këtë dualitet (këtu, nga numri i fundit, asgjë nuk duhet të punohet, por këtu ndodh të rregulloj minusin atje) dhe e gjithë palosja është për studentët-pochatkivtsiv.

Më shumë dizajn gjeometrik. Është gjithashtu mirë të dihet, por do të kemi më pak gjasa të ecim tek i riu në modalitete të palosshme dhe disi të veçanta, një pidkhіd gjeometrik i suksesshëm për algjebrike (prishje: jo sot).

Emërimi. Le të shënohet pika $a$ në vijën numerike. I njëjti modul $ \ majtas | x-a \right|$ thirret nga pika $x$ në pikën $a$ në këtë rresht.

Nëse dëshironi të kryqëzoni foton, atëherë mund ta shihni në kshtalt tsogo:

Dizajni grafik i modulit

Pra, çfarë tjetër, nga përcaktimi i modulit, shihet menjëherë fuqia kryesore: moduli i numrit është gjithmonë i barabartë me madhësinë. Ky fakt do të jetë një fije e kuqe për të kaluar në të gjithë diskursin tonë të sotëm.

Virishennya nerіvnosti. Metoda e intervalit

Tani le t'i hedhim një sy nervozizmit. Їхісує jopersonale, por detyra jonë menjëherë është të vrasim virishuvati duke dashur të jemi më i thjeshti prej tyre. Tі, karrierës zvoditsya në parregullsi lineare, dhe navіt metodën e intervaleve.

Për këtë temë, unë kam dy mësime të shkëlqyera (mіzh іnshim, më shumë, më kafe - unë rekomandoj vivchiti):

Metoda e intervalit për parregullsitë (sidomos shikoni videon);
Mospërputhjet fraksionale-racionale - edhe një mësim i përgjithshëm, por atëherë nuk ngopeni me ushqim.

Nëse dini gjithçka, nëse fraza "le të kalojmë nga pabarazia në barazi" nuk duket sikur jeni çmendurisht i lodhur duke vrarë veten pas murit, atëherë jeni gati: ju kërkojmë me mirësi të dreqni deri në mësimin kryesor . :)

1. Parregullsi e mendjes "Modul me pak se funksioni"

Kjo është një nga detyrat më të gjera me module. Është e nevojshme për të kapërcyer pabarazinë e mendjes:

\[\majtas| f\djathtas| \ltg\]

Roli i funksioneve $f$ dhe $g$ mund të jetë, ose përndryshe, polinome. Aplikoni mospërputhje të tilla:

Të gjitha erërat janë fjalë për fjalë në një rresht pas skemës:

\[\majtas| f\djathtas| \lt g\Djathtas -g \lt f \lt g\katër \ majtas(\Rightshigjeta \majtas\( \fillimi(rreshtoj) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\fund (rreshtoj) \drejtë.\djathtas)\]

Nuk ka rëndësi nëse moduli është i kursyer, por ne mund të heqim mospërputhjen themelore (përndryshe, i njëjti, sistemi i dy mospërputhjeve). Prote cey transfer vrakhovu absolutisht çdo gjë problemet e mundshme: nëse numri nën modul është pozitiv, metoda funksionon; akscho negativisht - e njëjta praktikë; dhe lundroni për funksionin më të papërshtatshëm të metodës së shtëpisë $f$ chi $g$ të gjithë të njëjtën punë.

Natyrisht, fajësoni ushqimin: a nuk është më e thjeshtë? Fatkeqësisht, nuk është e mundur. Kush ka të gjithë veçorinë e modulit.

Vtіm, rrinë në filozofi. Le të këndojmë një degëz të ditës:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| 2x+3\djathtas| \ltx+7\]

Zgjidhje. Gjithashtu, para nesh është një mendje klasike nerіvnіst "moduli më i vogël" - për të ribërë asgjë. Praktika për algoritmin:

\[\filloj(rreshtoj) & \majtas| f\djathtas| \lt g\Djathtas -g \lt f \lt g; \\ & \majtas| 2x+3\djathtas| \lt x+7\Djathtas shigjetë -\majtas(x+7 \djathtas) \lt 2x+3 \lt x+7 \\fund (rreshtoj)\]

Mos nxitoni të hapni harqet, para të cilave ka një "minus": sa më shumë që të jetë e mundur, përmes nxitimit, do të kënaqeni me një falje figurative.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Detyra ishte deri në dy parregullsi elementare. Në mënyrë të konsiderueshme їх virіshennia në linjat numerike paralele:
Peretin e shumëfishtë
Peretin tsikh u shumëfishua dhe do të jetë i qartë.

Përputhja: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \djathtas)$

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas|+3\majtas(x+1 \djathtas) \lt 0\]

Zgjidhje. Porosia është tashmë një gjë e vogël e palosur. Për kalli, ne përdorim modulin, duke transferuar një shtesë tjetër në të djathtë:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \lt -3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Natyrisht, ne jemi përballur me një pabarazi të re të formës "moduli më i vogël", kështu që ne lejojmë modulin për algoritmin tashmë ekzistues:

\[-\majtas(-3\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\majtas(x+1 \djathtas)\]

Boshti i respektit ngjitës: më lejoni t'ju them, unë jam troch bochenets іz mustaqe me pranga. Ale, do ta marr përsëri me mend se cila është meta jonë kryesore me kompetencë virishiti nerіvnіst dhe otrimati vіdpovіd. Në fund të fundit, nëse keni zotëruar plotësisht gjithçka që zbulohet në këtë mësim, mund ta ktheni veten sipas dëshirës: hapni krahët, shtoni minuset, etj.

Dhe për ne, për kalli, ne thjesht do të zgjohemi me minusin minus të së keqes:

\[-\majtas(-3\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas)=\majtas(-1 \djathtas)\cdot \majtas(-3 \djathtas)\cdot \majtas(x+1 \djathtas) =3\majtas(x+1\djathtas)\]

Tani, të gjitha harqet e nervozizmit themelor janë hapur:

Le të kalojmë te nervozizmi i metrosë. Këtë herë skedat do të jenë më serioze:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \fund( rreshtoj)\djathtas.\]

Shkeljet e pabarazisë janë në katror dhe shkelen me metodën e intervaleve (por unë do t'ju them: ju nuk e dini se çfarë është, përkundrazi, mos i merrni ende modulet). Le të kalojmë në pabarazinë e parë:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+5x=0; \&x\majtas(x+5\djathtas)=0; \&((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\ fund (rreshtoj)\]

Si një bachimo, në dalje shkonte në mënyrë të pabarabartë katrore, madje, sikur të ishte elementare. Tani le të hedhim një vështrim në një tjetër nervozizëm të sistemit. Aty ndodh teorema e Zastosuvat Viet:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \majtas(x-3 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\ fund (rreshtoj)\]

Zbrisni në mënyrë të konsiderueshme numrat në dy drejtëza paralele (okrema për pabarazinë e parë dhe okrema për tjetrën):
Epo, jam i sigurt, duke e ndarë sistemin e parregullsive me ne, ne do të përsërisim linjat e shumëzuesve të hijes: $x\in \left(-5;-2 \djathtas)$. Tse є vіdpovіd.
Përputhja: $x\in \left(-5;-2 \djathtas)$

Unë mendoj se pas aplikimit të tyre, skema e zgjidhjes mori një kuptim kufitar:

Asimiloni modulin, duke transferuar të gjitha shtesat e tjera në pjesën kryesore të pabarazisë. Në këtë mënyrë, ne marrim parasysh mospërputhjen e mendjes $\left| f\djathtas| \ltg$.
Virishiti tsyu nerіvnіst, duke kursyer modulin për skemën e përshkruar më sipër. Në një moment, është e nevojshme të kalojmë nga nervozizmi subvariant në një sistem të dy viruseve të pavarura, lëkura e të cilave mund të riparohet plotësisht.
Nareshti, të privohet nga zgjidhja e këtyre dy rrokjeve të pavarura - dhe gjithçka që heqim është mbetja.

Një algoritëm i ngjashëm përdoret për vrazhdësitë e llojit fyes, nëse moduli është më i madh se funksioni. Megjithatë, ka një degëz të "ale" serioze. Le të flasim për qi "ale" përnjëherë.

2. Parregullsi e mendjes "Moduli eshte me shume se nje funksion"

Ata duken kështu:

\[\majtas| f\djathtas| \gt g\]

Duket si pjesa e përparme? Ajo duket si. Prote vyrishyuyutsya kështu zavdannya zovsіm në një mënyrë tjetër. Formalisht, skema po vjen:

\[\majtas| f\djathtas| \gt g\Djathtas shigjetë \majtas[ \fillimi(radhis) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\fund(radhis) \djathtas.\]

Me fjalë të tjera, ne mund të shohim dy pika:

Nga ana tjetër, thjesht injoroni modulin - virishhuєmo mospërputhje normale;
Le të zgjerojmë në thelb modulin 3 me një shenjë minus, dhe më pas do të shumëzojmë pjesën fyese të pabarazisë me -1, që është më e vogël se shenja.

Në këtë variant, ata kanë një hark katror, tobto. ndoshta martesa e dyve mundet.

Kthejeni sërish respektin: ne nuk jemi përballë një sistemi, por një sukupnist, në vіdpovіdі jopersonale ata bashkohen, por nuk ndryshojnë. Është e rëndësishme të shikosh pikën e përparme!

Vzagali, z ob'ednannymi dhe peretina në uchnіv sutsіlna plutanina, le t'i zgjidhim në ushqimin tsommu përsëri dhe përsëri:

"∪" - është një shenjë e ob'ednannya. Në fakt, shkronja "U" ishte stilizuar, ashtu siç na erdhi film anglishtє shkurtesa si "Bashkimi", tobto. "Bashkimi".
"∩" është shenja e rreshtit. Tsya mut tingulli nuk erdhi, por vetëm vinyl siç ishte shkruar më parë "∪".

Për ta bërë më të lehtë të kujtosh, thjesht pikturo deri në këto shenja, në mënyrë që kelikët të dalin (boshti thjesht nuk ka nevojë të më thërrasë menjëherë në propagandën e varësisë ndaj drogës dhe alkoolizmit: nëse mësoni të gjithë mësimin, atëherë ju jeni tashmë një i varur nga droga):

Rіznitsya mizh retinom dhe ob'єdnannyam mnozhin

Në përkthimin e rusishtes tse, kjo do të thotë si vijon: bashkimi (furnizimi) përfshin elementet e veta nga të dy grupet, që nuk është më pak se ai i lëkurës; dhe boshti (sistemi) i retinës përfshin vetëm ato elemente, të cilat në të njëjtën kohë janë në shumëzuesin e parë, dhe në tjetrin. Prandaj, nuk ka më shumëfisha të pushimeve të shumta.

A është bërë më e ndjeshme? Nga unë mirë. Le të kalojmë në praktikë.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| 3x+1 \djathtas| \gt 5-4x\]

Zgjidhje. Diemo për skemën:

\[\majtas| 3x+1 \djathtas| \gt 5-4x\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\majtas(5-4x \djathtas) \\fund (rreshtoj) \ djathtas .\]

Virishuemo nerіvnіnі suupnostі e lëkurës:

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

\[\majtas[ \fillimi(rreshtoj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Dua të them, unë do të shumëzoj lëkurën me një vijë numerike dhe më pas do t'i kombinojmë ato:
Kombinimi i shumëfishave
Është mjaft e qartë se $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \djathtas)$

Sugjerim: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \djathtas)$

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \gtx\]

Zgjidhje. Epo, çfarë? Se asgjë - njësoj. Le të kalojmë nëpër pabarazitë me modulin në grumbullimin e dy pabarazive:

\[\majtas| ((x)^(2))+2x-3 \djathtas| \gt x\Djathtas shigjeta \majtas[ \fillim(rreshtoj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fund (rreshtoj) \djathtas.\]

Ai lehtëson nervozizmin e lëkurës. Fatkeqësisht, rrënja nuk do të jetë më atje.

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \&((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \&x=\frac(-1\pm\sqrt(13))(2). \\ fund (rreshtoj)\]

Nervozizmi tjetër ka edhe një troç loje:

\[\fillim(lidhoj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \& ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \& D=9+12=21; \&x=\frac(-3\pm\sqrt(21))(2). \\ fund (rreshtoj)\]

Tani ju duhet të llogaritni numrat në dy akse - një bosht për pabarazinë e lëkurës. Sidoqoftë, është e nevojshme të shënoni pikat në rendin e duhur: sa më i lartë të jetë numri, aq më shumë pika u zhvendos në të djathtë.

Aksi І këtu na kontrollon. Sa për numrat $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ gjithçka është e qartë ) , kështu që shuma është gjithashtu më e vogël) , me numrat $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt(21))(2)$ numri është më i madh se negativ), pastaj me pjesën tjetër të çifti, gjithçka nuk është aq e qartë. Cila është më e madhe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ose $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vіd vіdpovіdі tse nіdpovіdі tse sleazyme rregullimin e pikave në vijat numerike і, vlasne, vіdpovіd.

Pra, le t'i hedhim një sy:

\[\fillim(matricë) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\fund (matricë)\]

Ne konfirmuam rrënjën, hoqëm numrat negativë nga të dy anët e pabarazisë, kështu që kemi të drejtën të katrorojmë anët fyese:

\[\fillim(matricë) ((\left(2+\sqrt(13) \djathtas))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \djathtas))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\fund (matricë)\]

Mendoj se kuptova se $4\sqrt(13) \gt 3$, se $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) (2) $, pjesa tjetër e pikave në akset do të rregullohet si më poshtë:
Vipadok i një rrënjë të shëmtuar
Unë po hamendësoj, ne shohim sukupnіst, prandaj është e nevojshme të kemi një bashkim, dhe jo një riorganizim të shumëfishave të hijes.

Përgjigja: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \djathtas)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\djathtas)$

Ashtu si Bachite, skema jonë funksionon mrekullisht si për detyra të thjeshta ashtu edhe për ato të vështira. I vetmi "vend i dobët" për një person të tillë është nevoja për të balancuar me kompetencë numrat irracionalë (dhe kthesë: nuk është më shumë se një rrënjë). Alya do të shenjtërohet një okremium për racionet (dhe madje edhe një mësim serioz). Dhe le të shkojmë.

3. Parregullsi me "bisht" te padukshem

Ne u larguam nga më të mirat. Çmimi i mendjes së pabarabartë:

\[\majtas| f\djathtas| \gt\majtas| g\djathtas|\]

Me sa duket, algoritmi, për të cilin do të flasim menjëherë, është më i mirë për modulin. Vіn pratsyuє vsіh nerіvnosti, de lіvoruch i pravoruє qëndrojnë të garantuara nevid'єmnі vrazi:

Cila është puna e këtyre detyrave? Vetëm mbani mend:

Parregullsitë me "bishtin" e padukshëm mund të shkaktojnë pjesë ofenduese të botës natyrore. Zhodnih dodatkovyh obmezheniya dhe tsomu nuk vynikne.

Ne jemi para nesh tsikavitime zvedennya në një shesh - vіn module gjumi që rrënjë:

\[\begin(lidhoj) & ((\majtas(\majtas| f \djathtas| \djathtas))^(2))=((f)^(2)); \&((\left(\sqrt(f) \djathtas))^(2))=f. \\ fund (rreshtoj)\]

Boshti vetëm nuk ka nevojë të mashtrohet nga rrënja e sheshit:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\majtas| f \djathtas|\ne f\]

Faljet jopersonale lejoheshin në atë moment, nëse mësonit të harroni të instaloni modulin! Ale tse zovsim іnsha іstorіya (tse yak bi rіvnyannia irracionale), kështu që ne nuk do të ngecim menjëherë. Le të shohim më qartë spratin e ditës:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| x+2 \djathtas|\ge \majtas| 1-2x \djathtas|\]

Zgjidhje. Përsëri, ne respektojmë dy fjalë:

Tse nuk suvora nerіvnіst. Krapki në vijën numerike do të prishet.

Anët fyese të mospërputhjes nuk janë qartë të dukshme (fuqia e modulit: $ \ majtas | f \ majtas (x \ djathtas) \ djathtas | \ ge 0 $).

Gjithashtu, ne mund të sheshojmë pjesët fyese të pabarazisë në mënyrë që të heqim qafe modulin dhe të eliminojmë detyrën duke përdorur metodën më të mirë të intervaleve:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(\majtas| x+2 \djathtas| \djathtas))^(2))\ge ((\majtas(\majtas| 1-2x \djathtas| \djathtas) ) ^ (2)); \\ & ((\majtas(x+2 \djathtas))^(2))\ge ((\majtas(2x-1 \djathtas))^(2)). \\ fund (rreshtoj)\]

Në pjesën tjetër të fazës, unë mashtrova pak: duke ndryshuar sekuencën e shtesave, duke shkurtuar barazinë e modulit (në fakt, duke shumëzuar $1-2x$ me -1).

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(2x-1 \djathtas))^(2))-((\majtas(x+2 \djathtas))^(2))\le 0; \\ & \majtas(\majtas(2x-1 \djathtas)-\majtas(x+2 \djathtas) \djathtas)\cdot \majtas(\majtas(2x-1 \djathtas)+\majtas(x+2 \ ) djathtas)\djathtas)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \djathtas)\cdot \left(2x-1+x+2 \djathtas)\le 0; \\ & \majtas(x-3 \djathtas)\cdot \majtas(3x+1 \djathtas)\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Virishuemo me metodën e intervaleve. Le të kalojmë nga pabarazia në shtrirje:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(x-3 \djathtas)\majtas(3x+1 \djathtas)=0; \&((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\ fund (rreshtoj)\]

Me sa duket, rrënja gjendet në vijën numerike. Edhe një herë: mustaqe njolla farbovani, copa nervozizmi - jo Suvora!
Zvіlnennya sipas shenjës së modulit
Unë mendoj për ata që janë veçanërisht të pakompromis: marrim shenja nga pjesa tjetër e pabarazisë, sikur bula të ishte shkruar para kalimit në të barabartë. I rajoni zafarbovuyemo, yakі duhet në të njëjtën pabarazi. Vipad ynë ka $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \djathtas)\le 0$.

Epo, nga unë gjithçka. Detyra ka përfunduar.

Sugjerim: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \djathtas]$.

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| ((x)^(2))+x+1 \djathtas|\le \majtas| ((x)^(2))+3x+4 \djathtas|\]

Zgjidhje. Robimo njësoj. Unë nuk komentoj - thjesht mrekullohem me sekuencën e veprimit.

Le të marrim një katror:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas(\majtas| ((x)^(2))+x+1 \djathtas| \djathtas))^(2))\le ((\majtas(\majtas ) ((x)^(2))+3x+4 \djathtas| \djathtas))^(2)); \\ & ((\majtas(((x)^(2))+x+1 \djathtas))^(2))\le ((\majtas(((x)^(2))+3x+4 \djathtas))^(2)); \\ & ((\majtas(((x)^(2))+x+1 \djathtas))^(2))-((\majtas(((x)^(2))+3x+4 \ djathtas))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \djathtas)\herë \\ & \herë \majtas(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \djathtas)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \djathtas)\majtas(2((x)^(2))+4x+5 \djathtas)\le 0. \\\fund (rreshtoj)\]

Metoda e intervalit:

\[\fillim(rreshtoj) & \left(-2x-3 \djathtas)\majtas(2((x)^(2))+4x+5 \djathtas)=0 \\ & -2x-3=0\ Shigjeta djathtas x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Djathtas D=16-40 \lt 0\Djathtas \varnothing. \\ fund (rreshtoj)\]

Vetëm një rrënjë në vijën numerike:
Vidpovid - tsiliy interval
Sugjerim: $x\in \left[ -1,5;+\infty \djathtas)$.

Pak respekt për pjesën tjetër të kokës. Sikur të kem respektuar një nga studentët e mi, ofendimet e nën-modulit janë qartazi pozitive në këtë nervozizëm, shenja e modulit mund të hiqet pa dëm për shëndetin.

Ale tse tashmë zovsіm іnshiy rіven razdumіv se іnshі pіdkhіd yogo mund të quhet mendërisht metoda e nasledkіv. Rreth të rejave në okremou urotsi. Dhe tani le të kalojmë në pjesën e fundit të mësimit të sotëm, ky është një algoritëm universal, i cili praktikohet përgjithmonë. Navit atëherë, nëse të gjithë ata përpara doli të ishin të pafuqishëm.

4. Metoda për numërimin e opsioneve

Dhe pse nuk ndihmojnë të gjithë priyomi? Si mund të mos shkaktohet pabarazia nga bishtat e padukshëm, si mund të mos futet në modul, si mund të fillojë?

Pastaj artileria e madhe e të gjithë matematikës hyn në skenë - një metodë e numërimit. Qindra parregullsi nga moduli duken kështu:

Shkruani të gjitha pіdmodulnі vrazi dhe barazojini me zero;
Rozvyazati otrimani rіvnyannya që vіznázchiti znaydenі korenі në një vijë të drejtë numerike;
Direkt rozіb'єtsya në kіlka dіlyanok, mesi i një moduli të tillë lëkure mund të rregullojë shenjën dhe kjo është pa mëdyshje rozkrivаєєtsya;
Virishiti nerіvnіst në kozhnіy dilyanci të tillë (mund të shikoni rrënjët-cordoni, otrimani në pikën 2 për supremaci). Rezultatet e shoqatës - tse i bude vіdpovіd.

Mirë jak? I dobët? Lehtë! Për një kohë të gjatë. Le të shohim praktikisht:

Menaxheri. Për të zgjidhur nervozizmin:

\[\majtas| x+2 \djathtas| \lt\majtas| x-1 \djathtas|+x-\frac(3)(2)\]

Zgjidhje. Tsya mut mos u acaro $ \ majtas | f\djathtas| \lt g$, $\majtas| f\djathtas| \gt g$ ose $\majtas| f\djathtas| \lt\majtas| g \right|$, kjo është në rregull.

Ne shkruajmë virazi submodular, i barazojmë me zero dhe e dimë rrënjën:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2=0\Djathtas shigjetë x=-2; \& x-1=0\Djathtas shigjeta x=1. \\ fund (rreshtoj)\]

Së bashku kemi dy rrënjë, të cilat e ndajnë numrin drejt e në tre parcela, në mes të këtyre lëkurave, moduli shpaloset pa mëdyshje:
Ndarja e vijës numerike me zero të funksioneve nënmodulare
Le të shohim okremo lëkurën.

1. Jep $x \lt -2$. Todi fyen pіdmodulnі virazi negative, i vihіdna nerіvnіst rishkruaj kështu:

\[\fillim(rreshtoj) & -\majtas(x+2 \djathtas) \lt -\majtas(x-1 \djathtas)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\ fund (rreshtoj)\]

Zdobuli dosit vetëm obmezhennya. Le të lëvizim jogën me pjesën tjetër të shtesave që $x \lt -2$:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \varnothing \]

Është e qartë se ndryshimi i $x$ nuk mund të jetë më pak se -2 brenda natës, por më shumë se 1.5. Nuk ka zgjidhje për këtë biznes.

1.1. Okremo shiko vipadokin afër kordonit $x=-2$. Le ta imagjinojmë këtë numër në mungesë të mospërputhjes dhe të verifikueshme: pse është fitimtar?

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas. \majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-1,5 \djathtas|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \majtas| -3 \djathtas|-2-1,5; \&0\lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Djathtas \varnothing. \\ fund (rreshtoj)\]

Është e qartë se gjuhëtari na ka mashtruar deri në një pabarazi të pabesueshme. Otzhe, vyhіdne nerіvnіst tezh gabim, і $x=-2$ mos hyni në vіdpovіd.

2. Tani jepni $-2 \lt x \lt 1$. Moduli i bibliotekës tashmë po zhvillohet me një plus, por i duhuri është ende me një minus. Maemo:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2 \lt -\majtas(x-1 \djathtas)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\fund (radhis)\]

Po e ndryshoj sërish me një vimoga vikidnoy:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \varnothing \]

Rinovoj zgjidhjen e zbrazët jopersonale, nuk ka copëza numrash të tillë, që janë më pak se -2,5 në të njëjtën kohë dhe më shumë se -2.

2.1. Rinovoj okremy vipadok: $ x = 1 $. Le të imagjinojmë që dalja është e pabarabartë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((\majtas. \majtas| x+2 \djathtas| \lt \majtas| x-1 \djathtas|+x-1,5 \djathtas|)_(x=1)) \\ & \majtas| 3\djathtas| \lt\majtas| 0 \djathtas|+1-1,5; \ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Djathtas \varnothing. \\ fund (rreshtoj)\]

Ngjashëm me "rënie private" përpara, numri $x=1$ nuk përfshihet qartë në rënie.

3. Pjesa e mbetur drejt: $x \gt 1$. Këtu, të gjitha modulet janë të lakuar me një shenjë plus:

\[\fillim(rreshtoj) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \fund (rreshtoj)\ ]

Unë përsëri rimendoj shumësinë e shkëmbimeve të jashtme:

\[\majtas\( \fillimi(rreshtoj) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\fund (rreshtoj) \djathtas.\Djathtas shigjeta x\në \majtas(4,5;+\infty) \djathtas)\]

Epo, merre! Ne e dinim intervalin, i cili do të jetë povіddu.

Sugjerim: $x\in \left(4,5;+\infty \djathtas)$

Nasamkinets - një respekt, pasi, ndoshta, ju shpëton nga faljet e këqija kur përmbushen detyrat reale:

Virishennya nerіvіvnosti z modulet zvіch є sutsіlnі mnіnіnі nіtіnіy prіmіy - іnvіlі і vіdrіzki. Pikat e izoluara bllokohen më ngadalë. Ka më shumë gjasa të bllokohet në mënyrë që ndërmjet zgjidhjeve (kіnets vіdrіzka) të shkojnë përtej kufijve të diapazonit të analizuar.

Meqenëse, sikur kordonët (vetë këta "vipadki privatë") të mos hyjnë në roje, atëherë majzhe, këndshëm, mos shkoni te rojet dhe zona e së drejtës së keqe për të hyrë në këto kordonë. І navpaki: kordon uvіyshov u vіdpovіd — otzhe, dhe yakіs oblasts navpaki tezh do të jetë vіdpovіdy.

Mos harroni për këtë, nëse ndryshoni vendimin tuaj.

Nerіvnіst ce viraz c, ≤, ose ≥. Për shembull, mospërputhja 3x - 5 Virishity do të thotë të njohësh të gjitha kuptimet e ndryshimit, për të cilat mospërputhja është e saktë. Lëkura e këtyre numrave është zgjidhja e mospërputhjes, por suksesi jopersonal i zgjidhjeve të tilla është joga vendim jopersonal. Nervnosti, yakі mаyut vendim kaq jopersonal, quhen parregullsi ekuivalente.

Parregullsi lineare

Parimet e zbërthimit të parregullsive janë të ngjashme me parimet e zbërthimit të barazive.

Parimet e eliminimit të parregullsive
Për çdo numër real a, b dhe c:
Parimi i shtimit të parregullsive: Yakscho a Parimi i shumëzimit për parregullsitë: Ashtu si një 0 është e vërtetë, si ac Ashtu si një bc është gjithashtu e vërtetë.
Ngurtësime të ngjashme ndalojnë gjithashtu për a ≤ b.

Nëse anët ofenduese të nervozizmit shumëzohen me një numër negativ, është e nevojshme të ndryshohet sërish shenja e nervozizmit.
Quhen parregullsi të nivelit të parë, si në prapanicën 1 (më të ulët). parregullsi lineare.

prapanicë 1 Për të zgjidhur lëkurën nga një nervozizëm i tillë. Le të përshkruajmë trëndafila jopersonale.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Zgjidhje
Qoftë një numër, më pak se 11/5, є vendime.
Vendim jopersonal є (x|x
Për ta rishqyrtuar, mund të vizatojmë një grafik y 1 = 3x - 5 dhe y 2 = 6 - 2x. Megjithatë, është e qartë se për x
Zgjidhje anonime є (x|x ≤ 1), ose (-∞, 1) Grafiku i shumëzuesit të zgjidhjes së imazhit më poshtë.

Nervozizmi themelor

Nëse dy mospërputhje bashkohen me një fjalë і, ose atëherë ajo formohet nervozizmi themelor. Podvіyna nerіvnіst, jak
-3 і 2x + 5 ≤ 7
thirrur z'ednanim, tek ajo në vikoristano e re і. Regjistrimi -3 Mospërputhjet themelore mund të kapërcehen duke ndryshuar parime, duke shtuar dhe shumëzuar mospërputhjet.

prapanicë 2 Virishit -3 Zgjidhje Ne kemi një

Vendim jopersonal (x|x ≤ -1 ose x > 3). Mund të shkruajmë gjithashtu një zgjidhje për përkufizime të ndryshme të intervalit dhe simbolit për shoqata përndryshe përfshihen të dy shumëfishat: (-∞ -1] (3, ∞)

Për riverifikim, mund të themi y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 dhe y 3 = 1. Ju lutemi vini re se për (x|x ≤ -1 ose x > 3), y 1 ≤ y 2 ose y 1 > y 3 .

Parregullsi me vlera absolute (moduli)

Modulet Nervnostі іnоdі mіstіat. Karakteristikat e ardhshme janë zastosovuyutsya për përsosmërinë e tyre.
Për një > 0 atë virazë algjebrike x:
|x| |x| > a është ekuivalente me x chi x > a.
Deklarata të ngjashme për |x| ≤ a dhe |x| ≥ a.

Për shembull,
|x| |y| ≥ 1 është ekuivalente me y ≤ -1 ose y ≥ 1;
dhe |2x + 3| ≤ 4 është ekuivalente me -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

prapanicë 4 Për të zgjidhur lëkurën nga një nervozizëm i tillë. Qëndroni në orarin e vendimeve të shumta.
a) | 3x+2 | b) |5 - 2x| ≥ 1

Zgjidhje
a) | 3x+2 |

Vendimet jopersonale є (x|-7/3

b) |5 - 2x| ≥ 1
Zgjidhje anonime є (x|x ≤ 2 ose x ≥ 3), ose (-∞, 2] )