Багато значень функції 4 x 3. Область значень функції (більшість значень функції). Необхідні поняття та приклади знаходження. Способи знаходження областей значень функцій

D(f)- ті значення, які може набувати аргумент, тобто. область визначення функції.

E(f)- ті значення, які може набувати функція, тобто. безліч значень функції.

Способи знаходження областей значень функцій.

послідовне знаходження значень складних аргументів функції;

метод оцінок/кордонів;

використання властивостей безперервності та монотонності функції;

використання похідної;

використання найбільшого та найменшого значень функції;

графічний метод;

метод запровадження параметра;

метод зворотної функції.

Розглянемо деякі з них.

Використовуючи похідну

Загальний підхіддо знаходження безлічі значень безперервної функції f(x) полягає у знаходженні найбільшого та найменшого значення функції f(x) в області її визначення (або у доказі того, що одне з них або обидва не існують).

У випадку, якщо потрібно знайти безліч значень функції на відрізку:

знайти похідну цієї функції f "(x);

знайти критичні точки функції f(x) та вибрати ті з них, які належать даному відрізку;

обчислити значення функції на кінцях відрізка та у вибраних критичних точках;

серед знайдених значень вибрати найменше та найбільше значення;

Багато значень функції укласти між цими значеннями.

Якщо область визначення функції є інтервал, то використовується та сама схема, але замість значень на кінцях використовуються межі функції при прагненні аргументу до кінця інтервалу. Значення меж не входять у безліч значень.

Метод меж/оцінок

Для знаходження множини значень функції спочатку знаходять безліч значень аргументу, а потім відшукують відповідні найменше та найбільше значення функції функції. Використовуючи нерівності – визначають межі.

Суть полягає в оцінці безперервної функції знизу та зверху та у доказі досягнення функцією нижньої та верхньої межі оцінок. При цьому збіг безлічі значень функції з проміжком від нижньої межі оцінки до верхньої визначається безперервністю функції та відсутністю в неї інших значень.

Властивості безперервної функції

Інший варіант полягає в перетворенні функції на безперервну монотонну, тоді використовуючи властивості нерівностей оцінюють безліч значень новоотриманої функції.

Послідовне знаходження значень складних аргументів функції

Заснований на послідовному відшуканні безлічі значень проміжних функцій, з яких складено функцію

Області значень основних елементарних функцій

Функція	Безліч значень
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; 1]
$y = (\rm tg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Приклади

Знайдіть безліч значень функції:

Використовуючи похідну

Знаходимо область визначення: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^(2)\geq 0$

Знаходимо похідну: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, якщо x = 0. f"(x) не існує, якщо $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ тобто при x = ±3. Отримуємо три критичні точки: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3, дві з яких збігаються з кінцями відрізка. Обчислимо: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Отже, найменше значення f(x) дорівнює 0, найбільше значення дорівнює 3.

Відповідь: E(f) = .

НЕ використовуючи похідну

Знайдіть найбільше та найменше значення функції:

Оскільки $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , то:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ при всіх x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ при всіх x(бо $|\cos (x) | \ leq 1 $);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Відповідь: $\frac(3)(4)$ і $-\frac(3)(2)$

Якщо вирішувати це завдання за допомогою похідних, то потрібно долати перешкоди, пов'язані з тим, що функція f(x) визначена не на відрізку, а на всій числовій прямій.

Використовуючи метод меж/оцінок

З визначення синуса слід, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Далі скористаємось властивостями числових нерівностей.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (помножили всі три частини подвійної нерівності на -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (додали до трьох частин подвійної нерівності 5);

Оскільки ця функція безперервна по всій області визначення, то безліч її значень укладено між найменшим і найбільшим її значенням по всій області визначення, якщо такі існують.

В даному випадку безліч значень функції $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ є безліч.

З нерівностей $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ отримаємо оцінку $$\\ -6\leq y\leq 6$ $

При x = р і x = 0 функція набуває значень -6 і 6, тобто. досягає нижньої та верхньої межі оцінки. Як лінійна комбінація безперервних функцій cos(7x) і cos(x), функція y безперервна на всій числовій осі, тому за якістю безперервної функції вона набуває всіх значень з -6 до 6 включно, і тільки їх, тому що через нерівності $- 6\leq y\leq 6$ інші значення у неї неможливі.

Отже, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Відповідь: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Перетворимо вираз $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

З визначення косинуса слідує $$ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \ -1 \ leq \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4))) \ leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Так як дана функція безперервна на всій області визначення, то безліч її значень укладено між найменшим і найбільшим її значенням, якщо такі існують, безліч значень функції $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4) )))$ є безліч $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Позначимо $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, де -∞≤t≤4. Тим самим завдання зводиться до знаходження множини значень функції $y = \log_(0,5)(t)$ на промені (-∞;4). Оскільки функція $y = \log_(0,5)(t)$ визначена лише за t > 0 , її безліч значень на промені (-∞;4) збігається з безліччю значень функції на інтервалі (0;4), що представляє собою перетин променя (-∞;4) з областю визначення (0; +∞) логарифмічної функції. На інтервалі (0;4) ця функція безперервна і менша. При t > 0 вона прагне +∞, а при t = 4 набуває значення -2, тому E(y) = (-2, +∞).

Використовуємо прийом, що базується на графічному зображенні функції.

Після перетворень функції маємо: y 2 + x 2 = 25, причому y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Слід нагадати, що $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ - рівняння кола радіусу r.

При цих обмеженнях графіком даного рівняння є верхня півкола з центром на початку координат і радіусом, що дорівнює 5. Очевидно, що E(y) = .

Відповідь: E(y) = .

Використана література

Область значення функцій у завданнях ЄДІ, Мінюк Ірина Борисівна

Поради щодо знаходження безлічі значень функції, Бєляєва І., Федорова С.

Знаходження безлічі значень функції

Як вирішувати завдання з математики на вступних іспитах, І.І.Мельников, І.Н.Сергєєв

Найчастіше у межах розв'язання завдань нам доводиться шукати безліч значень функції області визначення чи отрезке. Наприклад, це потрібно робити при вирішенні різних типівнерівностей, оцінки виразів та ін.

У рамках цього матеріалу ми розповімо, що собою являє область значень функції, наведемо основні методи, якими її можна обчислити, і розберемо завдання різного ступеня складності. Для наочності окремі положення проілюстровані графіками. Прочитавши цю статтю, ви отримаєте вичерпне уявлення про область значень функції.

Почнемо із базових визначень.

Визначення 1

Безліч значень функції y = f (x) на деякому інтервалі x є безліччю всіх значень, які дана функція набуває при переборі всіх значень x ∈ X .

Визначення 2

Область значень функції y = f (x) - це безліч всіх її значень, які вона може прийняти при переборі значень x з x ∈ (f) .

Область значень деякої функції прийнято позначати E(f).

Зверніть увагу, що поняття множини значень функції не завжди тотожне області її значень. Ці поняття будуть рівнозначними лише в тому випадку, якщо інтервал значень x при знаходженні безлічі значень збігається з областю визначення функції.

Важливо також розрізняти область значень і область допустимих значень змінної x для вираження правої частини y = f (x) . Область допустимих значень x для вираження f (x) і буде областю визначення цієї функції.

Нижче наводиться ілюстрація, де показані деякі приклади. Сині лінії – це графіки функцій, червоні – асимптоти, руді точки та лінії на осі ординат – це області значень функції.

Очевидно, що область значень функції можна отримати при проектуванні графіка на вісь O y . У цьому вона може бути як одне число, і безліч чисел, відрізок, інтервал, відкритий промінь, об'єднання числових проміжків та інших.

Розглянемо основні способи знаходження області значень функції.

Почнемо з визначення множини значень безперервної функції y = f (x) на деякому відрізку, позначеному [a; b]. Ми знаємо, що функція, безперервна на деякому відрізку, досягає на ньому свого мінімуму та максимуму, тобто найбільшого m a x x ∈ a ; b f (x) та найменшого значення m i n x ∈ a ; bf(x). Отже, ми отримаємо відрізок m i n x ∈ a ; b f (x); m a x x ∈ a; b f (x) , в якому будуть знаходитися безлічі значень вихідної функції. Тоді все, що нам потрібно зробити, – це знайти на цьому відрізку вказані точки мінімуму та максимуму.

Візьмемо завдання, у якому потрібно визначити область значень арксинусу.

Приклад 1

Умова:знайдіть ділянку значень y = a r c sin x .

Рішення

У загальному випадку область визначення арксинусу розташовується на відрізку [-1; 1]. Нам треба визначити найбільше та найменше значення зазначеної функції на ньому.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Ми знаємо, що похідна функції буде позитивною для всіх значень x, розташованих в інтервалі [-1; 1 ] , тобто протягом усієї області визначення функція арксинусу зростатиме. Значить, найменше значення вона прийме при x, рівному - 1, а найбільше – при x, рівному 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Таким чином, область значень функції арксинус дорівнюватиме E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Відповідь: E (a r c sin x) = - π 2; π 2

Приклад 2

Умова:обчисліть область значень y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на заданому відрізку [1; 4].

Рішення

Все, що нам потрібно зробити – це обчислити найбільше та найменше значення функції у заданому інтервалі.

Для визначення точок екстремуму треба зробити такі обчислення:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; ;4;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1; 4

Тепер знайдемо значення заданої функції в кінцях відрізка та точках x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 · 15 - 33 8 3 + 6 · 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32

Значить, безліч значень функції визначатиметься відрізком 117 - 165 33 512; 32 .

Відповідь: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Перейдемо до знаходження безлічі значень безперервної функції y = f (x) у проміжках (a; b), причому a; + ∞, - ∞; b, - ∞; + ∞.

Почнемо з визначення найбільшої та найменшої точки, а також проміжків зростання та зменшення на заданому інтервалі. Після цього нам потрібно буде вирахувати односторонні межі в кінцях інтервалу та/або межі на нескінченності. Іншими словами, нам треба визначити поведінку функції у заданих умовах. Для цього ми маємо всі необхідні дані.

Приклад 3

Умова:обчисліть область значень функції y = 1 x 2 - 4 на інтервалі (-2; 2).

Рішення

Визначаємо найбільше та найменше значення функції на заданому відрізку

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

У нас вийшло максимальне значення, що дорівнює 0, оскільки саме в цій точці відбувається зміна знака функції і графік переходить до спадання. Див. на ілюстрацію:

Тобто y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 буде максимальним значенням функції.

Тепер визначимо поведінку функції при такому x, який прагне - 2 з правого боку і до + 2 з лівого боку. Іншими словами, знайдемо односторонні межі:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 · 1 - 0 = - ∞

У нас вийшло, що значення функції зростатимуть від мінус нескінченності до - 14 тоді, коли аргумент змінюється в межах від -2 до 0 . А коли аргумент змінюється від 0 до 2, значення функції зменшуються до мінус нескінченності. Отже, безліччю значень заданої функції на потрібному інтервалі буде (- ∞ ; - 1 4 ) .

Відповідь: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Приклад 4

Умова: вкажіть безліч значень y = t g x на заданому інтервалі - π 2; π 2 .

Рішення

Нам відомо, що у випадку похідна тангенса в - π 2 ; π 2 буде позитивною, тобто функція зростатиме. Тепер визначимо, як поводиться функція в заданих межах:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Ми отримали зростання значень функції від мінус нескінченності до плюс нескінченності при зміні аргументу від - π 2 до π 2 і можна сказати, що безліччю рішень даної функції буде безліч всіх дійсних чисел.

Відповідь: - ∞ ; + ∞ .

Приклад 5

Умова:визначте, якою є область значень функції натурального логарифму y = ln x .

Рішення

Нам відомо, що дана функція є визначеною при позитивних значенняхаргументу D(y) = 0; + ∞. Похідна на заданому інтервалі буде позитивною: y "= ln x" = 1 x. Отже, у ньому відбувається зростання функції. Далі нам потрібно визначити односторонню межу для того випадку, коли аргумент прагне 0 (у правій частині), і коли x прагне нескінченності:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ми отримали, що значення функції зростатимуть від мінус нескінченності до плюс нескінченності при зміні значень x від нуля до нескінченності плюс. Значить, багато всіх дійсних чисел – це і є область значень функції натурального логарифму.

Відповідь:множина всіх дійсних чисел - область значень функції натурального логарифму.

Приклад 6

Умова:визначте, якою є область значень функції y = 9 x 2 + 1 .

Рішення

Ця функція є певною за умови, що x – дійсне число. Обчислимо найбільші та найменші значення функції, а також проміжки її зростання та зменшення:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

У результаті ми визначили, що ця функція буде спадати, якщо x ≥ 0; зростати, якщо x ≤ 0; вона має точку максимуму y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 при змінній, що дорівнює 0 .

Подивимося, як поводиться функція на нескінченності:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0

З запису видно, що значення функції у разі асимптотично наближатися до 0.

Підіб'ємо підсумки: коли аргумент змінюється від мінус нескінченності до нуля, то значення функції зростають від 0 до 9 . Коли значення аргументу змінюються від 0 до плюс нескінченності, відповідні значення функції будуть спадати від 9 до 0 . Ми відобразили це на малюнку:

На ньому видно, що областю значень функції буде інтервал E(y) = (0; 9)

Відповідь: E (y) = (0; 9]

Якщо нам треба визначити безліч значень функції y = f(x) на проміжках [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , то нам знадобиться провести такі самі дослідження.

А як бути у випадку, якщо область визначення деякої функції є об'єднанням кількох проміжків? Тоді нам треба обчислити безліч значень на кожному з цих проміжків і об'єднати їх.

Приклад 7

Умова:визначте, якою буде область значень y = x x - 2 .

Рішення

Оскільки знаменник функції не повинен бути звернений до 0 , то D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; + ∞.

Почнемо з визначення множини значень функції на першому відрізку - ∞ ; 2, який являє собою відкритий промінь. Ми знаємо, що функція на ньому буде спадати, тобто похідна цієї функції буде негативною.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Тоді, коли аргумент змінюється у напрямку мінус нескінченності, значення функції асимптотично наближатися до 1 . Якщо значення x міняються від мінус нескінченності до 2 , то значення будуть спадати від 1 до мінус нескінченності, тобто. функція на цьому відрізку набуде значень з інтервалу - ∞ ; 1 . Одиницю ми виключаємо з наших міркувань, оскільки значення функції її не досягають, а лише асимптотично наближаються до неї.

Для відкритого променя 2; + ∞ виконуємо такі самі дії. Функція на ньому також є меншою:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Значення функції на даному відрізку визначаються безліччю 1; + ∞. Значить, потрібна нам область значень функції, заданої за умови, буде об'єднанням множин - ∞; 1 і 1; + ∞.

Відповідь: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞.

Це можна побачити на графіку:

Особливий випадок – періодичні функції. Їхня область значення збігається з безліччю значень на тому проміжку, який відповідає періоду цієї функції.

Приклад 8

Умова:визначте область значень синуса y = sin x.

Рішення

Синус належить до періодичної функції, яке період становить 2 пі. Беремо відрізок 0; 2 π і дивимося, якою буде безліч значень на ньому.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

У межах 0; 2 π функції будуть точки екстремуму π 2 ​​і x = 3 π 2 . Підрахуємо, чому дорівнюватимуть значення функції в них, а також на межах відрізка, після чого виберемо найбільше і найменше значення.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Відповідь: E (sin x) = - 1; 1 .

Якщо вам потрібно знати області значень таких функцій, як статечна, показова, логарифмічна, тригонометрична, зворотна тригонометрична, то радимо вам перечитати статтю про основні елементарні функції. Теорія, яку ми наводимо тут, дозволяє перевірити вказані значення. Їх бажано вивчити, оскільки вони часто потрібні під час вирішення завдань. Якщо ви знаєте області значень основних функцій, легко зможете знаходити області функцій, які отримані з елементарних за допомогою геометричного перетворення.

Приклад 9

Умова:визначте область значення y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Рішення

Нам відомо, що відрізок від 0 до пі є область значень арккосинусу. Іншими словами, E (ar c cos x) = 0 ; π або 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Ми можемо отримати функцію a r c cos x 3 + 5 π 7 з арккосинусу, зсунувши та розтягнувши її вздовж осі O x , але такі перетворення нам нічого не дадуть. Значить, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Функція 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 може бути отримана з арккосинусу a r c cos x 3 + 5 π 7 за допомогою розтягування вздовж осі ординат, тобто 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Фіналом перетворень є зсув уздовж осі O y на 4 значення. У результаті отримуємо подвійну нерівність:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Ми отримали, що потрібна область значень буде дорівнює E (y) = - 4 ; 3 π-4.

Відповідь: E(y) = - 4; 3 π-4.

Ще один приклад запишемо без пояснень, т.к. він повністю аналогічний попередньому.

Приклад 10

Умова:обчисліть, якою буде область значень функції y = 2 2 x - 1 + 3 .

Рішення

Перепишемо функцію, задану за умови, як y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Для статечної функції y = x - 1 2 область значень буде визначена на проміжку 0; + ∞, тобто. x-1 2 > 0 . В такому випадку:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Значить, E(y) = 3; + ∞.

Відповідь: E(y) = 3; + ∞.

Тепер розберемо, як знайти область значень функції, яка не є безперервною. Для цього нам треба розбити всю область на проміжки і знайти безліч значень на кожному з них, після чого об'єднати те, що вийшло. Щоб краще це зрозуміти, радимо повторити основні види точок розриву функції.

Приклад 11

Умова:дана функція y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Обчисліть область її значень.

Рішення

Ця функція є визначеною всім значень x . Проведемо її аналіз на безперервність при значеннях аргументу, рівних - 3 та 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Маємо безперервний розрив першого роду при значенні аргументу - 3 . При наближенні до нього значення функції прагнуть до - 2 sin 3 2 - 4 , а при прагненні x до - 3 з правого боку значення будуть прагнути до - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Маємо непереборний розрив другого роду у точці 3 . Коли функція прагне щодо нього, її значення наближаються до - 1 , при прагненні тієї ж точці справа – до мінус нескінченності.

Отже, вся область визначення цієї функції є розбитою на 3 інтервали (- ∞ ; - 3 ) , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

На першому з них ми отримали функцію y = 2 sin x 2 - 4 . Оскільки - 1 ≤ sin x ≤ 1 отримуємо:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Значить, на даному проміжку (- ∞ ; - 3] безліч значення функції - [ - 6 ; 2 ] .

На напівінтервалі (- 3 ; 3 ) вийшла постійна функція y = - 1 . Отже, все безліч її значень у разі буде зводиться до одного числу - 1 .

На другому проміжку 3; + ∞ ми маємо функцію y = 1 x - 3 . Вона є спадною, тому що y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Значить, безліч значень вихідної функції при x > 3 являє собою множину 0; + ∞. Тепер об'єднаємо отримані результати: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Відповідь: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Рішення показано на графіку:

Приклад 12

Умова: є функція y = x 2 – 3 e x . Визначте безліч її значень.

Рішення

Вона визначена всім значень аргументу, що є дійсні числа. Визначимо, у яких проміжках дана функція зростатиме, а яких спадати:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Ми знаємо, що похідна звернеться в 0 якщо x = - 1 і x = 3 . Помістимо ці дві точки на вісь і з'ясуємо, які знаки буде мати похідна на інтервалах.

Функція буде зменшуватися на (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) і зростатиме на [ - 1 ; 3]. Точкою мінімуму буде - 1, максимуму - 3.

Тепер знайдемо відповідні значення функції:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Подивимося на поведінку функції на нескінченності:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 · 1 + ∞ = + 0

Для обчислення другої межі використано правило Лопіталя. Зобразимо перебіг нашого рішення на графіку.

На ньому видно, що значення функції будуть спадати від плюс нескінченності до -2e тоді, коли аргумент змінюється від мінус нескінченності до -1. Якщо ж він змінюється від 3 до плюс нескінченності, то значення будуть спадати від 6 e - 3 до 0 але при цьому 0 досягнутий не буде.

Таким чином, E(y) = [- 2 e; + ∞).

Відповідь: E (y) = [- 2 e; + ∞)

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Поняття функції і все, що з ним пов'язано, відноситься до традиційно складних, не до кінця зрозумілих. Особливим каменем спотикання щодо функції і підготовці до ЄДІ є область визначення і область значень (зміни) функції.
Нерідко учні не бачать різниці між областю визначення функції та областю її значень.
І якщо завдання перебування області визначення функції учням вдається освоїти, то завдання перебування безлічі значень функції викликають вони чималі труднощі.
Мета цієї статті: ознайомлення з методами знаходження значень функції.
У результаті розгляду цієї теми було вивчено теоретичний матеріал, розглянуто способи вирішення задач на знаходження множин значень функції, підібрано дидактичний матеріал для самостійної роботи учнів.
Ця стаття може бути використана вчителем при підготовці учнів до випускних та вступних іспитів, щодо теми “Область значення функції” на факультативних заняттях елективних курсах з математики.

I. Визначення області значень функції.

Області (множиною) значень E(у) функції y = f(x) називається безліч таких чисел y 0 , для кожного з яких знайдеться таке число x 0 що: f(x 0) = y 0 .

Нагадаємо області значень основних елементарних функцій.

Розглянемо таблицю.

Функція	Безліч значень
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y = x 2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; 1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctg x	E(y) = (-π/2; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Зауважимо також, що областю значення будь-якого многочлена парного ступеня є проміжок , де n найбільше значення цього многочлена.

ІІ. Властивості функцій, що використовуються при знаходженні області значень функції

Для успішного знаходження безлічі значень функції треба добре знати властивості основних елементарних функцій, особливо їх області визначення, області значень та характер монотонності. Наведемо властивості безперервних, монотонних диференційованих функцій, що найчастіше використовуються при знаходженні безлічі значень функцій.

Властивості 2 і 3, як правило, використовуються разом властивістю елементарної функції безперервної у своїй області визначення. При цьому найбільш просте і коротке рішення задачі на знаходження множини значень функції досягається на підставі властивості 1, якщо нескладними методами вдається визначити монотонність функції. Вирішення завдання ще спрощується, якщо функція, до того ж, – парна чи непарна, періодична тощо. Таким чином, при вирішенні задач на знаходження множин значень функції слід при необхідності перевіряти і використовувати наступні властивості функції:

• безперервність;
• монотонність;
• диференційність;
• парність, непарність, періодичність тощо.

Нескладні завдання на знаходження безлічі значень функції здебільшого орієнтовані:

а) на використання найпростіших оцінок та обмежень: (2 х >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 тощо);

б) виділення повного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на перетворення тригонометричних виразів: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

г) використання монотонності функції x 1/3 + 2 x-1 зростає R.

ІІІ. Розглянемо методи знаходження областей значень функцій.

а) послідовне знаходження значень складних аргументів функції;
б) спосіб оцінок;
в) використання властивостей безперервності та монотонності функції;
г) використання похідної;
д) використання найбільшого та найменшого значень функції;
е) графічний метод;
ж) метод запровадження параметра;
з) метод зворотної функції.

Розкриємо суть цих методів на конкретних прикладах.

Приклад 1. Знайдіть область значень E(y)функції y = log 0,5 (4 - 2 · 3 x - 9 x).

Розв'яжемо цей приклад методом послідовного знаходження значень складних аргументів функції. Виділивши повний квадрат під логарифмом, перетворюємо функцію

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 · 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І послідовно знайдемо безліч значень її складних аргументів:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Позначимо t= 5 – (3 x +1) 2 де -∞≤ t≤4. Тим самим завдання зводиться до знаходження множини значень функції y = log 0,5 t на промені (-∞;4) . Оскільки функція y = log 0,5 t визначена лише за умови, то її безліч значень на промені (-∞;4) збігається з безліччю значень функції на інтервалі (0;4), що являє собою перетин променя (-∞;4) з областю визначення (0; + ∞) логарифмічної функції. На інтервалі (0;4) ця функція безперервна і менша. При t> 0 вона прагне +∞, а при t = 4 набуває значення -2, тому E(y) =(-2, +∞).

Приклад 2. Знайдіть область значень функції

y = cos7x + 5cosx

Вирішимо цей приклад методом оцінок, суть якого полягає в оцінці безперервної функції знизу і зверху та в доказі досягнення функцією нижньої та верхньої межі оцінок. При цьому збіг безлічі значень функції з проміжком від нижньої межі оцінки до верхньої визначається безперервністю функції та відсутністю в неї інших значень.

З нерівностей -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 отримаємо оцінку -6≤y?6. При x = р і x = 0 функція набуває значень -6 і 6, тобто. досягає нижньої та верхньої межі оцінки. Як лінійна комбінація безперервних функцій cos7x і cosx, функція y безперервна на всій числовій осі, тому за властивістю безперервної функції вона набуває всіх значень з -6 до 6 включно, і тільки їх, тому що через нерівності -6≤y?6 інші значення у неї неможливі. Отже, E(y)= [-6;6].

Приклад 3. Знайдіть область значень E(f)функції f(x)= cos2x + 2cosx.

За формулою косинуса подвійного кута перетворюємо функцію f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 та позначимо t= cosx. Тоді f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Оскільки E(cosx) =

[-1;1], то область значень функції f(x)збігається з безліччю значень функції g (t)= 2t 2 + 2t - 1 на відрізку [-1; 1], яке знайдемо графічним методом. Побудувавши графік функції y = 2t 2 + 2t - 1 = 2 (t + 0,5) 2 - 1,5 на проміжку [-1; 1], знаходимо E(f) = [-1,5; 3].

Зауваження – до знаходження безлічі значень функції зводяться багато завдань з параметром, пов'язані, переважно, з розв'язністю і числом розв'язків і нерівностей. Наприклад, рівняння f(x)= а дозволимо тоді і лише тоді, коли

a E(f)Аналогічно, рівняння f(x)= а має хоча б один корінь, розташований на деякому проміжку Х, або не має жодного кореня на цьому проміжку тоді і тільки тоді, коли належить або не належить безлічі значень функції f(x)на проміжку Х. Також досліджуються із залученням безлічі значень функції та нерівності f(x)≠а, f(x)>а і т.д. Зокрема, f(x)≠а для всіх допустимих значень х якщо a E(f)

Приклад 4. За яких значень параметра а рівняння (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) має єдиний корінь на відрізку [-4;-1].

Запишемо рівняння у вигляді (x + 5) 1/2/(x 2 + 4) = a . Останнє рівняння має хоча б один корінь на відрізку [-4;-1] тоді і тільки тоді, коли належить безлічі значень функції f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) на відрізку [-4;-1]. Знайдемо це безліч, використовуючи властивість безперервності та монотонності функції.

На відрізку [-4;-1] функція y = xІ + 4 безперервна, менша і позитивна, тому функція g(x) = 1/(x 2 + 4) безперервна і збільшується у цьому відрізку, оскільки за розподілі на позитивну функцію характер монотонності функції змінюється на протилежний. Функція h(x) =(x + 5) 1/2 безперервна і зростає у своїй галузі визначення D(h) =[-5;+∞) і, зокрема, на відрізку [-4;-1], де вона, крім того, позитивна. Тоді функція f(x)=g(x)·h(x), як добуток двох безперервних, зростаючих і позитивних функцій, також безперервна і збільшується на відрізку [-4;-1], тому її безліч значень на [-4;-1] є відрізок [ f(-4); f(-1)] =. Отже, рівняння має рішення на відрізку [-4;-1], причому єдине (за якістю безперервної монотонної функції), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Зауваження. Дозволеність рівняння f(x) = aна деякому проміжку Х рівносильна належності значень параметра абезлічі значень функції f(x)на Х. Отже, безліч значень функції f(x)на проміжку Х збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь на проміжку Х. Зокрема область значень E(f)функції f(x)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь.

Приклад 5. Знайдіть область значень E(f)функції

Розв'яжемо приклад методом введення параметра, згідно з яким E(f)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння

має хоча б один корінь.

При а = 2 рівняння є лінійним - 4х - 5 = 0 з ненульовим коефіцієнтом при невідомій х тому має рішення. При а≠2 рівняння є квадратним, тому воно можна розв'язати тоді і тільки тоді, коли його дискримінант

Оскільки точка а = 2 належить відрізку

то шуканим безліччю значень параметра а,значить, і областю значень E(f)буде весь відрізок.

Як безпосередній розвиток методу введення параметра при знаходженні безлічі значень функції можна розглядати метод зворотної функції, для знаходження якої треба вирішити щодо рівняння f(x)= y, Враховуючи y параметром. Якщо це рівняння має єдине рішення x = g(y), то область значень E(f)вихідної функції f(x)збігається з областю визначення D(g)зворотної функції g(y). Якщо ж рівняння f(x)= yмає кілька рішень x = g 1 (y), x = g 2 (y)і т.д., то E(f)дорівнює об'єднанню областей визначень функції g 1 (y), g 2 (y)і т.д.

Приклад 6. Знайдіть область значень E(y)функції y = 5 2/(1-3x).

З рівняння

знайдемо зворотну функцію x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) та її область визначення D(x):

Оскільки рівняння щодо х має єдине рішення, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Якщо область визначення функції складається з декількох проміжків або функція на різних проміжках задана різними формулами, то для знаходження області значень функції треба знайти безліч значень функції на кожному проміжку і взяти їх об'єднання.

Приклад 7. Знайдіть області значень f(x)і f(f(x)), де

f(x)на промені (-∞;1], де вона збігається з виразом 4 x + 9 · 4 -x + 3. Позначимо t = 4 x. Тоді f(x) = t + 9/t + 3, де 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)на промені (-∞;1] збігається з безліччю значень функції g(t) = t + 9/t + 3, на проміжку (0;4], яке знайдемо, використовуючи похідну g’(t) = 1 – 9/t 2. На проміжку (0;4] похідна g’(t)визначена та звертається там у нуль при t = 3. При 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)спадає, а інтервалі (3;4) вона зростає, залишаючись безперервною усім проміжку (0;4), поэтом g (3)= 9 – найменше значень цієї функції на проміжку (0;4], тоді як її максимальне значення немає, так при t→0праворуч функція g(t)→+∞.Тоді, за якістю безперервної функції, безліччю значень функції g(t)на проміжку (0; 4], а значить, і безліччю значень f(x)на (-∞;-1], буде промінь .

Тепер, об'єднавши проміжки – безлічі значень функції f(f(x)), позначимо t = f(x). Тоді f(f(x)) = f(t), де При зазначених tфункція f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 і знову приймає всі значення від 5 до 9 включно, тобто. область значень E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Аналогічно, позначивши z = f(f(x)), можна знайти область значень E(f 3)функції f(f(f(x))) = f(z)де 5 ≤ z ≤ 9 і т.д. Переконайтесь, що E(f 3) = .

Найбільш універсальним методом знаходження множини значень функції є використання найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку.

Приклад 8. При яких значеннях параметра рнерівність 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 xвиконується для всіх -1 ≤ x< 2.

Позначивши t = 2 x, запишемо нерівність у вигляді р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Так як t = 2 x- безперервна зростаюча функція на R,то при -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда рвідмінна від значень функції f(t) = t 3 - 2t 2 + tпри 0,5 ≤ t< 4.

Знайдемо спочатку безліч значень функції f(t)на відрізку, де вона всюди має похідну f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Отже, f(t)диференційована, отже, і безперервна на відрізку. З рівняння f'(t) = 0знайдемо критичні точки функції t = 1/3, t = 1,перша з яких не належить відрізку, а друга належить йому. Так як f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,то, за якістю диференційованої функції, 0 – найменше, а 36 – найбільше значення функції f(t)на відрізку. Тоді f(t),як безперервна функція, приймає на відрізку всі значення від 0 до 36 включно, причому значення 36 набуває тільки при t = 4тому при 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Похідна позитивна всім x з інтервалу (-1; 1) , тобто, функція арксинусу зростає по всій області визначення. Отже, найменше значення вона набуває при x = -1 , а найбільше при x = 1 .

Ми отримали область значень функції арксинусу .

приклад.

Знайдіть безліч значень функції на відрізку.

Рішення.

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Визначимо точки екстремуму, що належать відрізку:

Обчислюємо значення вихідної функції на кінцях відрізка та у точках :

Отже, безліччю значень функції на відрізку є відрізок .

Тепер покажемо, як знаходити безліч значень безперервної функції y = f(x) проміжках (a; b) , .

Спочатку визначаємо точки екстремуму, екстремуми функції, проміжки зростання та зменшення функції на даному інтервалі. Далі обчислюємо на кінцях інтервалу та (або) межі на нескінченності (тобто досліджуємо поведінку функції на межах інтервалу або на нескінченності). Цієї інформації достатньо, щоб знайти безліч значень функції на таких проміжках.

приклад.

Визначте безліч значень функції на інтервалі (-2; 2).

Рішення.

Знайдемо точки екстремуму функції, що потрапляють на проміжок (-2; 2):

Крапка x = 0 є точкою максимуму, тому що похідна змінює знак з плюсу на мінус при переході через неї, а графік функції від зростання переходить до спадання.

є відповідний максимум функції.

З'ясуємо поведінку функції при x, що прагне до -2 праворуч і при x, що прагне до 2 зліва, тобто, знайдемо односторонні межі:

Що ми отримали: при зміні аргументу від -2 на нуль значення функції зростають від мінус нескінченності до мінус однієї четвертої (максимуму функції при x = 0 ), при зміні аргументу від нуля до 2 значення функції спадають на мінус нескінченності. Таким чином, безліч значень функції на інтервалі (-2; 2) є .

приклад.

Вкажіть множину значень функції тангенсу y = tgx на інтервалі.

Рішення.

Похідна функції тангенсу на інтервалі позитивна що вказує на зростання функції. Досліджуємо поведінку функції на межах інтервалу:

Таким чином, при зміні аргументу від значення функції зростають від мінус нескінченності до плюс нескінченності, тобто, безліч значень тангенса на цьому інтервалі є безліч всіх дійсних чисел .

приклад.

Знайдіть область значень функції натурального логарифму y = lnx.

Рішення.

Функція натурального логарифму визначена для позитивних значень аргументу . На цьому інтервалі похідна позитивна Це говорить про зростання функції на ньому. Знайдемо односторонню межу функції при прагненні аргументу до нуля праворуч, і межа при x, що прагне до плюс нескінченності:

Ми бачимо, що за зміни x від нуля до плюс нескінченності значення функції зростають від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Отже, областю значень функції натурального логарифму є безліч дійсних чисел.

приклад.

Рішення.

Ця функція визначена всім дійсних значень x . Визначимо точки екстремуму, а також проміжки зростання та зменшення функції.

Отже, функція зменшується при , зростає при , x = 0 - точка максимуму, відповідний максимум функції.

Подивимося на поведінку функції на нескінченності:

Таким чином, на нескінченності значення функції асимптотично наближаються до нуля.

Ми з'ясували, що при зміні аргументу від мінус нескінченності до нуля (точки максимуму) значення функції зростають від нуля до дев'яти (до максимуму функції), а при зміні x від нуля до плюс нескінченності значення функції зменшуються від дев'яти до нуля.

Подивіться схематичний малюнок.

Тепер добре видно, що область значень функції .

Знаходження множини значень функції y = f(x) на проміжках вимагає аналогічних досліджень. Не будемо зараз докладно зупинятись на цих випадках. У прикладах нижче вони ще зустрінуться.

Нехай область визначення функції y = f(x) є об'єднанням кількох проміжків. При знаходженні області значень такої функції визначаються безлічі значень кожному проміжку і їх об'єднання.

приклад.

Знайдіть область значень функції.

Рішення.

Знаменник нашої функції не повинен звертатися до нуля, тобто, .

Спочатку знайдемо безліч значень функції на відкритому промені.

Похідна функції негативна у цьому проміжку, тобто, функція зменшується у ньому.

Отримали, що при прагненні аргументу мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до одиниці. При зміні x від мінус нескінченності до двох значення функції зменшуються від одного до мінус нескінченності, тобто, на проміжку, що розглядається, функція приймає безліч значень . Одиницю не включаємо, оскільки значення функції не досягають її, лише асимптотично прагнуть до неї на мінус нескінченності.

Діємо аналогічно для відкритого променя.

На цьому проміжку функція також зменшується.

Безліч значень функції на цьому проміжку є безліч.

Таким чином, потрібна область значень функції є об'єднання множин і .

Графічні ілюстрації.

Окремо слід зупинитись на періодичних функціях. Область значень періодичних функцій збігається з безліччю значень проміжку, що відповідає періоду цієї функції.

приклад.

Знайдіть область значень функції синуса y = sinx.

Рішення.

Ця функція періодична з періодом два пі. Візьмемо відрізок та визначимо безліч значень на ньому.

Відрізку належать дві точки екстремуму та .

Обчислюємо значення функції у цих точках та на межах відрізка, вибираємо найменше та найбільше значення:

Отже, .

приклад.

Знайдіть область значення функції .

Рішення.

Ми знаємо, що областю значень арккосинусу є відрізок від нуля до пі, тобто, або в іншому записі. Функція може бути отримана з arccosx зсувом і розтягуванням вздовж осі абсцис. Такі перетворення на область значень не впливають, тому, . Функція виходить з розтягненням втричі вздовж осі Оy , тобто, . І остання стадія перетворень – це зсув чотирма одиниці вниз уздовж осі ординат. Це нас призводить до подвійної нерівності

Таким чином, шукана область значень є .

Наведемо рішення ще одного прикладу, але без пояснень (вони не потрібні, тому що повністю аналогічні).

приклад.

Визначте область значень функції .

Рішення.

Запишемо вихідну функцію як . Областью значень статечної функції є проміжок. Тобто, . Тоді

Отже, .

Для повноти картини слід поговорити про знаходження області значень функції, яка є безперервною області визначення. У цьому випадку область визначення розбиваємо точками розриву на проміжки, і знаходимо безліч значень на кожному з них. Об'єднавши отримані множини значень, отримаємо область значень вихідної функції. Рекомендуємо згадати 3 ліворуч значення функції прагнуть мінус одиниці, а при прагненні x до 3 справа значення функції прагнуть плюс нескінченності.

Таким чином, область визначення функції розбиваємо на три проміжки.

На проміжку маємо функцію . Оскільки , то

Таким чином, безліч значень вихідної функції на проміжку є [-6; 2].

На напівінтервалі маємо постійну функцію y = -1. Тобто безліч значень вихідної функції на проміжку складається з єдиного елемента .

Функція визначена всім дійсних значень аргументу. З'ясуємо проміжки зростання та зменшення функції.

Похідна звертається в нуль при x=-1 і x=3. Зазначимо ці точки на числовій осі та визначимо знаки похідної на отриманих інтервалах.

Функція зменшується на , Зростає на [-1; 3] , x=-1 точка мінімуму, x=3 точка максимуму.

Обчислимо відповідні мінімум та максимум функції:

Перевіримо поведінку функції на нескінченності:

Другу межу обчислювали за .

Зробимо схематичне креслення.

При зміні аргументу від мінус нескінченності до -1 значення функції зменшуються від плюс нескінченності до -2e , при зміні аргументу від -1 до 3 значення функції зростають від -2e до , при зміні аргументу від 3 до плюс нескінченності значення функції зменшуються від до нуля, але нуля не досягають.

Функція – одне з найважливіших математичних понять.

Визначення: Якщо кожному числу з деякої множини x поставлено у відповідність однину y, то кажуть, що на цій множині задана функція y(x). При цьому x називають незалежною змінною чи аргументом, а y - залежною змінною чи значенням функції чи простофункцією.

Говорять також, що змінна y є функцією змінної x.

Позначивши відповідність деякою літерою, наприклад, f, зручно писати: y=f (x), тобто, значення y виходить з аргументу x за допомогою відповідності f. (Читають: y дорівнює f від x.) Символом f (x) позначають значення функції, що відповідає значенню аргументу, що дорівнює x.

Приклад 1 Нехай функція визначається формулою y=2x 2 –6. Тоді можна записати, що f(x) = 2x2-6. Знайдемо значення функції значень х, рівних, наприклад, 1; 2,5;-3; тобто знайдемо f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 -6=6,5;
f(-3) = 2 (-3) 2 -6 = 12.

Зауважимо, що у записи виду y=f (x) замість f вживають інші літери: g, тощо.

Визначення: Область визначення функції - це значення x, у яких існує функція.

Якщо функція задана формулою та її область визначення не зазначена, то вважають, що область визначення функції складається з усіх значень аргументу, у яких формула має сенс.

Інакше кажучи, область визначення функції, заданої формулою, є значення аргументу, крім тих, які призводять до дій, які ми можемо виконати. На даний момент ми знаємо лише дві такі дії. Ми не можемо ділити на нуль і не можемо витягти квадратний корінь із негативного числа.

Визначення: Усі значення, які приймає залежна змінна, утворюють область значення функції.

Область визначення функції, що описує реальний процес, залежить від конкретних умов його протікання. Наприклад, залежність довжини l залізного стрижня від температури нагрівання t виражається формулою, де l 0 початкова довжина стрижня, а коефіцієнт лінійного розширення. Зазначена формула має сенс за будь-яких значень t. Однак, областю визначення функції l = g (t) є проміжок у кілька десятків градусів, для якого справедливий закон лінійного розширення.

приклад.

Вкажіть область значень функції y = arcsinx.

Рішення.

Область визначення арксинусу є відрізок [-1; 1] . Знайдемо найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку.

Похідна позитивна для всіх xз інтервалу (-1; 1) , тобто, функція арксинусу зростає по всій області визначення. Отже, найменше значення вона набуває x = -1, а найбільше при x = 1.

Ми отримали область значень функції арксинусу .

Знайдіть безліч значень функції на відрізку .

Рішення.

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на даному відрізку.

Визначимо точки екстремуму, що належать відрізку :