Діагоналі прямокутної трапеції взаємно перпендикулярні куту між. Діагоналі трапеції. Властивості трикутників, що лежать на бічній стороні та діагоналях трапеції

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює половині різниці підстав
Трикутники, утворені основами трапеції та відрізками діагоналей до точки їх перетину - подібні
Трикутники, утворені відрізками діагоналей трапеції, сторони яких лежать на бічних сторонах трапеції – рівновеликі (мають однакову площу)
Якщо продовжити бічні сторони трапеції у бік меншої основи, то вони перетнуться в одній точці з прямої, що з'єднує середини основ
Відрізок, що з'єднує основи трапеції, і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, ділиться цією точкою в пропорції, що дорівнює співвідношенню довжин основ трапеції
Відрізок, паралельний основам трапеції, і проведений через точку перетину діагоналей, ділиться цією точкою навпіл, а його довжина дорівнює 2ab/(a + b), де a і b - основи трапеції

Властивості відрізка, що сполучає середини діагоналей трапеції

З'єднаємо середини діагоналей трапеції ABCD, у результаті з'явиться відрізок LM.
Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, лежить на середній лінії трапеції.

Даний відрізок паралельний основам трапеції.

Довжина відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізності її основ.

LM = (AD – BC)/2
або
LM = (a-b)/2

Властивості трикутників, утворених діагоналями трапеції

Трикутники, які утворені основами трапеції та точкою перетину діагоналей трапеції - є подібними.
Трикутники BOC та AOD є подібними. Оскільки кути BOC та AOD є вертикальними – вони рівні.
Кути OCB і OAD є внутрішніми навхрест лежать при паралельних прямих AD і BC (основи трапеції паралельні між собою) і прямій AC, отже, вони рівні.
Кути OBC і ODA рівні з тієї ж причини (внутрішні навхрест лежать).

Оскільки всі три кути одного трикутника рівні відповідним кутам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.

Що з цього випливає?

Для вирішення задач з геометрії подібність трикутників використовується так. Якщо нам відомі значення довжин двох відповідних елементів таких трикутників, то ми знаходимо коефіцієнт подібності (ділимо одне на інше). Звідки довжини решти елементів співвідносяться між собою таким самим значенням.

Властивості трикутників, що лежать на бічній стороні та діагоналях трапеції

Розглянемо два трикутники, що лежать на бічних сторонах трапеції AB та CD. Це – трикутники AOB та COD. Незважаючи на те, що розміри окремих сторін у цих трикутників можуть бути різними, але площі трикутників, утворених бічними сторонами та точкою перетину діагоналей трапеції рівнітобто трикутники є рівновеликими.

Якщо продовжити сторони трапеції у бік меншої основи, то точка перетину сторін буде збігатися з прямою лінією, яка проходить через середини основ.

Таким чином, будь-яка трапеція може бути добудована до трикутника. При цьому:

Трикутники, утворені основами трапеції із загальною вершиною у точці перетину продовжених бічних сторін є подібними
Пряма, що сполучає середини основ трапеції, є одночасно медіаною побудованого трикутника

Властивості відрізка, що з'єднує основи трапеції

Якщо провести відрізок, кінці якого лежать на підставах трапеції, який лежить на точці перетину діагоналей трапеції (KN), то співвідношення складових його відрізків від сторони основи до точки перетину діагоналей (KO/ON) буде дорівнює співвідношенню основ трапеції(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Ця властивість випливає з відповідних відповідних трикутників (див. вище).

Властивості відрізка, паралельного основам трапеції

Якщо провести відрізок, паралельний основам трапеції і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, то він матиме наступні властивості:

Вказаний відрізок (KM) ділиться точкою перетину діагоналей трапеції навпіл
Довжина відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції та паралельного основам, дорівнює KM = 2ab/(a + b)

Формули для знаходження діагоналей трапеції

a, b- основи трапеції

c, d- бічні сторони трапеції

d1 d2- діагоналі трапеції

α β - кути при більшій основі трапеції

Формули знаходження діагоналей трапеції через основи, бічні сторони та кути при основі

Перша група формул (1-3) відображає одну з основних властивостей діагоналей трапеції:

1. Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєний добуток її основ. Ця властивість діагоналей трапеції може бути доведена як окрема теорема

2 . Ця формула отримана шляхом перетворення попередньої формули. Квадрат другої діагоналі перекинутий через знак рівності, після чого з лівої та правої частини виразу витягнуто квадратний корінь.

3 . Ця формула знаходження довжини діагоналі трапеції аналогічна до попередньої, з тією різницею, що в лівій частині виразу залишена інша діагональ

Наступна група формул (4-5) аналогічна за змістом та виражає аналогічне співвідношення.

Група формул (6-7) дозволяє знайти діагональ трапеції, якщо відома більша основа трапеції, одна бічна сторона та кут при підставі.

Формули знаходження діагоналей трапеції через висоту

Примітка. У даному уроці наведено розв'язання задач з геометрії про трапеції. Якщо Ви не знайшли вирішення задачі з геометрії, що Вас цікавить типу - задайте питання на форумі.

Завдання.
Діагоналі трапеції ABCD (AD | | ВС) перетинаються в точці О. Знайдіть довжину основи ВС трапеції, якщо основа АD = 24 см, довжина АВ = 9см, довжина ОС = 6 см.

Рішення.
Розв'язання цього завдання з ідеології абсолютно ідентичне попереднім завданням.

Трикутники AOD і BOC є подібними до трьох кутів - AOD і BOC є вертикальними, інші кути попарно рівні, оскільки утворені перетином однієї прямої і двох паралельних прямих.

Оскільки трикутники подібні, всі їх геометричні розміри ставляться між собою, як геометричні розміри відомих нам за умовою завдання відрізків AO і OC. Тобто

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24*6/9 = 16

Відповідь: 16 см

Завдання.
У трапеції ABCD відомо, що AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Знайдіть площу трапеції.

Рішення .
Для знаходження висоти трапеції з вершин меншої основи B та C опустимо на більшу основу дві висоти. Оскільки трапеція нерівнобока - позначимо довжину AM = a, довжину KD = b ( не плутати з позначеннями у формулізнаходження площі трапеції). Оскільки основи трапеції паралельні, а ми опускали дві висоти, перпендикулярні до більшої основи, то MBCK - прямокутник.

Значить
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Трикутники DBM і ACK - прямокутні, тому їх прямі кути утворені висотами трапеції. Позначимо висоту трапеції через h. Тоді за теоремою Піфагора

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
і
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Врахуємо, що a = 16 - b тоді в першому рівнянні
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 – (8 + b) 2

Підставимо значення квадрата висоти у друге рівняння, отримане за Теоремою Піфагора. Отримаємо:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким чином, KD = 12
Звідки
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Знайдемо площу трапеції через її висоту та півсуму підстав
, де a b - основи трапеції, h - висота трапеції
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2

Відповідь: площа трапеції дорівнює 80 см2.

Знову Піфагоров трикутник:))) Якщо шматок великої діагоналі від великої основи до точки перетину позначити х, то з очевидної подоби прямокутних трикутників з однаковими кутами слід.х/64 = 36/х, звідси х = 48; 4, тому ВСІ прямокутні трикутники, утворені основами, діагоналями і бічною стороною, перпендикулярної основи, подібні до трикутника зі сторонами 3,4,5. Виняток становить лише трикутник, утворений шматками діагоналей та косою бічною стороною, але він нам не цікавий:). (Щоб було зрозуміло, подібність, про яку йдеться - лише НАЗВАНІ ПО ІНШОМУ тригонометричні функції кутів:) ми вже знаємо тангенс кута між великою діагоналлю і великою основою, він дорівнює 3/4, значить синус дорівнює 3/5, а косинус 4 /5:)) Відразу можна написати

Відповіді. Нижня основа 80 висота трапеції будуть 60, а верхня - 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Схожі завдання:

1. Основа призми - трикутник, у якого одна сторона дорівнює 2 см, а дві інші - по 3 см. Бокове ребро дорівнює 4 см і складає з площиною основи кут 45. Знайдіть ребро рівновеликого куба.

2. Підставою похилої призми є рівносторонній трикутник зі стороною а; одна з бічних граней перпендикулярна площині основи і є ромбом, у якого менша діагональ дорівнює с. Знайдіть обсяг призми.

3. У похилій призмі основа - прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює, один гострий кут 30, бічне ребро дорівнює до і складає з площиною основи кут 60. Знайдіть об'єм призми.

1. Знайдіть сторону квадрата, якщо його діагональ становить 10 см

2. У рівнобедреній трапеції тупий кут дорівнює 135 градусів менше основи дорівнює 4 см, а висота 2 см знайдіть площу трапеції?

3. Висота трапеції в 3 рази більша за одну з підстав, але вдвічі меншу за іншу. Знайдіть основи трапеції та висоту якщо площа трапеції дорівнює 168 см у квадраті?

4. У трикутнику АВС кут А = В куті = 75 градусів. Знайдіть ВС, якщо площа трикутника дорівнює 36 см у квадраті.

1. У трапеції ABCD із бічними сторонами AB та CD діагоналі пересекаються у точці О

а) Порівняйте площі трикутників ABD та ACD

б) Порівняйте площі трикутників ABO та CDO

в) Доведіть, що OA*OB=OC*OD

2. Основа рівнобедреного трикутника відноситься до бічної сторони як 4:3, а висота, проведена до основи, дорівнює 30 см. Знайдіть відрізки, на які цю висоту ділить бісектриса кута при підставі.

3. Пряма AM-дотична до кола, AB-хорда цього кола. Доведіть, що кут MAB вимірюється половиною дуги AB, розташованої всередині кута MAB.

Якщо в рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні, при вирішенні задачі буде корисним наступний теоретичний матеріал.

1. Якщо в рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні, висота трапеції дорівнює напівсумі основ.

Проведемо через точку C пряму CF, паралельну BD і продовжимо пряму AD до перетину з CF.

Чотирьохкутник BCFD — паралелограм (BC DF як основи трапеції, BD CF по побудові). Значить, CF=BD, DF=BC та AF=AD+BC.

Трикутник ACF прямокутний (якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої прямої). Оскільки в рівнобедреній трапеції діагоналі рівні, а CF = BD, то CF = AC, тобто трикутник ACF - рівнобедрений з основою AF. Значить, його висота CN також медіаною. Оскільки медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, то

що у загальному вигляді можна записати як

де h – висота трапеції, a та b – її основи.

2. Якщо рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, то її висота дорівнює середньої лінії.

Оскільки середня лінія трапеції m дорівнює напівсумі основ, то

3. Якщо в рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти трапеції (або квадрату напівсуми основ або квадрату середньої лінії).

Оскільки площа трапеції знаходиться за формулою

а висота, напівсума основ та середня лінія рівнобічної трапеції з перпендикулярними діагоналями рівні між собою:

4. Якщо в рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні, то квадрат її діагоналі дорівнює половині квадрата суми основ, а також подвоєному квадрату висоти та подвоєному квадрату середньої лінії.

Так як площа опуклого чотирикутника можна знайти через його діагоналі та кут між ними за формулою