Якою формулою розраховують модуль переміщення тіла. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла за рівноприскореного прямолінійного руху? Рівномірний прямолінійний рух - визначення

Сторінка 8 з 12

§ 7. Переміщення при рівноприскореному
прямолінійному русі

1. Використовуючи графік залежності швидкості від часу, можна отримати формулу переміщення тіла за рівномірного прямолінійного руху.

На малюнку 30 наведено графік залежності проекції швидкості рівномірного руху на вісь Xвід часу. Якщо поставити перпендикуляр до осі часу в певній точці C, то отримаємо прямокутник OABC. Площа цього прямокутника дорівнює добутку сторін OAі OC. Але довжина сторони OAдорівнює v x, а довжина сторони OC - t, звідси S = v x t. Добуток проекції швидкості на вісь Xі часу і проекції переміщення, тобто. s x = v x t.

Таким чином, проекція переміщення при рівномірному прямолінійному русі чисельно дорівнює площі прямокутника, обмеженого осями координат, графіком швидкості та перпендикуляром, відновленим до осі часу.

2. Отримаємо аналогічно формулу проекції переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі. Для цього скористаємося графіком залежності проекції швидкості на вісь Xвід часу (рис. 31). Виділимо на графіку мала ділянка abі опустимо перпендикуляри з точок aі bна вісь часу. Якщо проміжок часу D t, що відповідає ділянці cdна осі часу, малий, можна вважати, що швидкість протягом цього проміжку часу не змінюється і тіло рухається рівномірно. В цьому випадку фігура cabdмало відрізняється від прямокутника і її площа чисельно дорівнює проекції переміщення тіла за час, що відповідає відрізку cd.

На такі смужки можна розбити всю фігуру OABC, і її площа дорівнюватиме сумі площ всіх смужок. Отже, проекція переміщення тіла за час tчисельно дорівнює площі трапеції OABC. З курсу геометрії ви знаєте, що площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її основ та висоти: S= (OA + BC)OC.

Як видно з малюнка 31 OA = v 0x , BC = v x, OC = t. Звідси випливає, що проекція переміщення виражається формулою: s x= (v x + v 0x)t.

При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла у будь-який момент часу дорівнює v x = v 0x + a x t, отже, s x = (2v 0x + a x t)t.

Звідси:

Щоб отримати рівняння руху тіла, підставимо у формулу проекції переміщення її вираз через різницю координат s x = x – x 0 .

Отримаємо: x – x 0 = v 0x t+ , або

x = x 0 + v 0x t + .

По рівнянню руху можна визначити координату тіла будь-якої миті часу, якщо відомі початкова координата, початкова швидкість і прискорення тіла.

3. Насправді часто зустрічаються завдання, у яких потрібно знайти переміщення тіла при рівноприскореному прямолінійному русі, але час руху у своїй невідомо. У таких випадках використовують іншу формулу проекції переміщення. Отримаємо її.

З формули проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0x + a x tвисловимо час:

t = .

Підставивши цей вираз у формулу проекції переміщення, отримаємо:

s x = v 0x + .

Звідси:

s x = , або
–= 2a x s x.

Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, то:

2a x s x.

4. Приклад розв'язання задачі

Лижник з'їжджає зі схилу гори зі стану спокою із прискоренням 0,5 м/с 2 за 20 с і далі рухається горизонтальною ділянкою, проїхавши до зупинки 40 м. З яким прискоренням рухався лижник горизонтальною поверхнею? Яка довжина схилу гори?

Дано:

Рішення

v 01 = 0

a 1 = 0,5 м/с2

t 1 = 20 с

s 2 = 40 м

v 2 = 0

Рух лижника складається з двох етапів: на першому етапі, спускаючись зі схилу гори, лижник рухається зі швидкістю, що зростає по модулю; на другому етапі під час руху горизонтальною поверхнею його швидкість зменшується. Величини, що відносяться до першого етапу руху, запишемо з індексом 1, а до другого етапу індексом 2.

a 2?

s 1?

Систему відліку зв'яжемо із Землею, вісь Xнаправимо за напрямом швидкості лижника кожному етапі його руху (рис. 32).

Запишемо рівняння для швидкості лижника наприкінці спуску з гори:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

У проекціях на вісь Xотримаємо: v 1x = a 1x t. Оскільки проекції швидкості прискорення на вісь Xпозитивні, модуль швидкості лижника дорівнює: v 1 = a 1 t 1 .

Запишемо рівняння, що пов'язує проекції швидкості, прискорення та переміщення лижника на другому етапі руху:

–= 2a 2x s 2x .

Враховуючи, що початкова швидкість лижника на цьому етапі руху дорівнює його кінцевій швидкості на першому етапі

v 02 = v 1 , v 2x= 0 отримаємо

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Звідси a 2 = ;

a 2 == 0,125 м/с2.

Модуль переміщення лижника першому етапі руху дорівнює довжині схилу гори. Запишемо рівняння для переміщення:

s 1x = v 01x t + .

Звідси довжина схилу гори дорівнює s 1 = ;

s 1 == 100 м-коду.

Відповідь: a 2 = 0,125 м/с 2; s 1 = 100 м-коду.

Питання для самоперевірки

1. Як за графіком залежності проекції швидкості рівномірного прямолінійного руху на вісь X

2. Як за графіком залежності проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху на вісь Xчас визначити проекцію переміщення тіла?

3. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла за рівноприскореного прямолінійного руху?

4. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла, що рухається рівноприскорено та прямолінійно, якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю?

Завдання 7

1. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля за 2 хв, якщо за цей час його швидкість змінилася від 0 до 72 км/год? Яка координата автомобіля в момент часу t= 2 хв? Початкову координату вважати рівною нулю.

2. Потяг рухається з початковою швидкістю 36 км/год та прискоренням 0,5 м/с 2 . Чому рівні переміщення поїзда за 20 с та його координата в момент часу t= 20, якщо початкова координата поїзда 20 м?

3. Яким є переміщення велосипедиста за 5 с після початку гальмування, якщо його початкова швидкість при гальмуванні дорівнює 10 м/с, а прискорення становить 1,2 м/с 2 ? Чому дорівнює координата велосипедиста на момент часу t= 5, якщо в початковий момент часу він знаходився на початку координат?

4. Автомобіль, що рухається із швидкістю 54 км/год, зупиняється при гальмуванні протягом 15 с. Чому дорівнює модуль переміщення автомобіля при гальмуванні?

5. Два автомобілі рухаються назустріч один одному із двох населених пунктів, що знаходяться на відстані 2 км один від одного. Початкова швидкість одного автомобіля 10 м/с та прискорення 0,2 м/с 2 , початкова швидкість іншого – 15 м/с та прискорення 0,2 м/с 2 . Визначте час та координату місця зустрічі автомобілів.

Лабораторна робота №1

Дослідження рівноприскореного
прямолінійного руху

Мета роботи:

навчитися вимірювати прискорення за рівноприскореного прямолінійного руху; експериментально встановити відношення шляхів, що проходять тілом за рівноприскореного прямолінійного руху за послідовні рівні проміжки часу.

Прилади та матеріали:

жолоб, штатив, металева кулька, секундомір, вимірювальна стрічка, циліндр металевий.

Порядок виконання роботи

1. Зміцніть у лапці штатива один кінець ринви так, щоб він становив невеликий кут з поверхнею столу. У іншого кінця ринви покладіть у нього циліндр металевий.

2. Виміряйте шляхи, що проходять кулькою за 3 послідовні проміжки часу, рівних 1 з кожен. Це можна зробити по-різному. Можна поставити крейдою на жолобі мітки, що фіксують положення кульки в моменти часу, рівні 1 с, 2 с, 3 с і виміряти відстані s_між цими мітками. Можна, відпускаючи щоразу кульку з однієї і тієї ж висоти, виміряти шлях s, пройдений ним спочатку за 1 с, потім за 2 с і за 3 с, а потім розрахувати шлях, пройдений кулькою за другу та третю секунди. Результати вимірювань запишіть до таблиці 1.

3. Знайдіть відносини шляху, пройденого за другу секунду, до шляху, пройденого за першу секунду, та шляху, пройденого за третю секунду, до шляху, пройденого за першу секунду. Зробіть висновок.

4. Виміряйте час руху кульки по жолобу та пройдений шлях. Обчисліть прискорення його руху, використовуючи формулу s = .

5. Використовуючи експериментально отримане значення прискорення, обчисліть шляхи, які має пройти кулька за першу, другу та третю секунди свого руху. Зробіть висновок.

Таблиця 1

№ досвіду

Експериментальні дані

Теоретичні результати

Час t , з

Шлях s , см

Час t , з

Шлях

s, см

Прискорення a, см/с2

Часt, з

Шлях s , см

Запитання.

1. За якими формулами розраховуються проекція та модуль вектора переміщення тіла за його рівноприскореного руху зі стану спокою?

2. У скільки разів збільшиться модуль вектора переміщення тіла зі збільшенням часу його руху зі стану спокою в n разів?

3. Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень тіла, що рухається рівноприскорено зі стану спокою, зі збільшенням часу його руху на ціле число разів порівняно з t 1 .

4. Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень, які здійснюють тіло за послідовні рівні проміжки часу, якщо це тіло рухається рівноприскорено зі стану спокою.

5. З якою метою можна використовувати закономірності (3) та (4)?

Закономірності (3) і (4) використовуються для визначення, чи рух рівноприскореним чи ні (див. стор.33).

Вправи.

1. Поїзд, що відходить від станції, протягом перших 20 с рухається прямолінійно і рівноприскорено. Відомо, що за третю секунду від початку руху поїзд пройшов 2 м. Визначте модуль вектора переміщення, здійсненого поїздом за першу секунду, та модуль вектора прискорення, з яким він рухався.

Розглянемо, як розраховується проекція вектора переміщення тіла, що рухається рівноприскорено, якщо початкова швидкість v 0 дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння

буде виглядати так:

Перепишемо це рівняння, підставивши в нього замість проекцій s x і а х модулі s і a векторів

переміщення та прискорення. Оскільки в даному випадку вектори sua спрямовані в один бік, їх проекції мають однакові знаки. Тому рівняння для модулів векторів можна записати:

З цієї формули випливає, що при прямолінійному рівноприскореному русі без початкової швидкості модуль вектора переміщення прямо пропорційний квадрату проміжку часу, протягом якого це переміщення було здійснено. Це означає, що при збільшенні в n раз часу руху (відраховується від моменту початку руху) переміщення збільшується в n 2 разів.

Наприклад, якщо за довільний проміжок часу t 1 від початку руху тіло здійснило переміщення

то за проміжок часу t 2 = 2t 1 (який відраховується від того ж моменту, що і t 1) воно здійснить переміщення

за проміжок часу t n = nt l – переміщення s n = n 2 s l (де n – натуральне число).

Ця залежність модуля вектора переміщення від часу при прямолінійному рівноприскореному русі без початкової швидкості наочно відображена на малюнку 15, де відрізки ОА, OB, ОС, OD і ОЕ є модулями векторів переміщень (s 1 , s 2 , s 3 , s 4 і s 5), скоєних тілом відповідно за проміжки часу t 1 , t 2 = 2t 1 , t 3 = 3t 1 , t 4 = 4t 1 і t 5 = 5t 1 .

Рис. 15. Закономірності рівноприскореного руху: ОА:ОВ:ОС:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

З цього малюнка видно, що

ОА:ОВ:ОС:OD:ОЕ = 1:4:9:16:25, (1)

тобто при збільшенні проміжків часу, що відраховуються від початку руху, в ціле число разів у порівнянні з t 1 модулі відповідних векторів переміщень зростають як ряд квадратів послідовних натуральних чисел.

З малюнка 15 видно ще одну закономірність:

ОА:АВ:ВС:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

т. е. модулі векторів переміщень, що здійснюються тілом за послідовні рівні проміжки часу (кожен з яких дорівнює t 1), відносяться як ряд послідовних непарних чисел.

Закономірності (1) та (2) притаманні лише рівноприскореному руху. Тому ними можна користуватися, якщо необхідно визначити, є рівноприскореним рух чи ні.

Визначимо, наприклад, чи був рівноприскореним рух равлика, який за перші 20 з руху перемістився на 0,5 см, за другі 20 с - на 1,5 см, за треті 20 с - на 2,5 см.

Для цього знайдемо, у скільки разів переміщення, скоєні за другий та третій проміжки часу, більші, ніж за перший:

Отже, 0,5 см: 1,5 см: 2,5 см = 1: 3: 5. Оскільки ці відносини є рядом послідовних непарних чисел, то рух тіла був рівноприскореним.

У разі рівноприскорений характер руху було виявлено виходячи з закономірності (2).

Запитання

За якими формулами розраховуються проекція та модуль вектора переміщення тіла за його рівноприскореного руху зі стану спокою?
У скільки разів збільшиться модуль вектора переміщення тіла зі збільшенням часу його руху зі стану спокою в n разів?
Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень тіла, що рухається рівноприскорено зі стану спокою, зі збільшенням часу його руху на ціле число разів у порівнянні з t 1 .
Запишіть, як ставляться один до одного модулі векторів переміщень, які здійснюють тіло за послідовні рівні проміжки часу, якщо це тіло рухається рівноприскорено зі стану спокою.
З якою метою можна використовувати закономірності (1) і (2)?

Вправа 8

Поїзд, що відходить від станції, протягом перших 20 с рухається прямолінійно і рівноприскорено. Відомо, що за третю секунду від початку руху поїзд пройшов 2 м. Визначте модуль вектора переміщення, здійсненого поїздом за першу секунду, та модуль вектора прискорення, з яким він рухався.
Автомобіль, що рухається рівноприскорено зі стану спокою, за п'яту секунду розгону проходить 6,3 м. Яку швидкість розвинув автомобіль до кінця п'ятої секунди від початку руху?
Деяке тіло за перші 0,03 з руху без початкової швидкості перемістилося на 2 мм, за перші 0,06 с – на 8 мм, за перші 0,09 с – на 18 мм. На підставі закономірності (1) доведіть, що протягом усіх 0,09 з тіло рухалося рівноприскорено.

Швидкість (v) – фізична величина, чисельно дорівнює шляху (s), пройденого тілом за одиницю часу (t).

Шлях

Шлях (S) - довжина траєкторії, якою рухалося тіло, чисельно дорівнює добутку швидкості (v) тіла на час (t) руху.

Час руху

Час руху (t) дорівнює відношенню шляху (S), пройденого тілом, до швидкості руху (v).

Середня швидкість

Середня швидкість (vср) дорівнює відношенню суми ділянок шляху (s 1 s 2 , s 3 , ...), пройденого тілом, до проміжку часу (t 1 + t 2 + t 3 + ...), за який цей шлях пройдено .

Середня швидкість- це відношення довжини шляху, пройденого тілом, до часу, протягом якого цей шлях був пройдений.

Середня швидкістьпри нерівномірному русі прямою: це відношення всього шляху до всього часу.

Два послідовні етапи з різними швидкостями: де

При розв'язанні задач - скільки етапів руху стільки буде складових:

Проекції вектора переміщення на осі координат

Проекція вектора переміщення на вісь ОХ:

Проекція вектора переміщення на вісь OY:

Проекція вектора на вісь дорівнює нулю, якщо вектор перпендикулярний до осі.

Знаки проекцій переміщення: проекцію вважають позитивною, якщо рух від проекції початку вектора до проекції кінця відбувається у напрямку осі, і негативною, якщо проти осі. У цьому прикладі

Модуль переміщення- це довжина вектора переміщення:

За теоремою Піфагора:

Проекції переміщення та кут нахилу

У цьому прикладі:

Рівняння координати (загалом):

Радіус-вектор- Вектор, початок якого збігається з початком координат, а кінець - з положенням тіла в даний момент часу. Проекції радіус-вектора на осі координат визначають координати тіла на даний момент часу.

Радіус-вектор дозволяє встановити положення матеріальної точки в заданій системі відліку:

Рівномірний прямолінійний рух - визначення

Рівномірний прямолінійний рух- рух, у якому тіло за будь-які рівні проміжки часу, здійснює рівні переміщення.

Швидкість при рівномірному прямолінійному русі. Швидкість – векторна фізична величина, яка показує, яке переміщення робить тіло за одиницю часу.

У векторному вигляді:

У проекціях на вісь ОХ:

Додаткові одиниці вимірювання швидкості:

1 км/год = 1000 м/3600 с,

1 км/с = 1000 м/с,

1 см/с = 0,01 м/с

1 м/хв = 1 м/60 с.

Вимірювальний прилад – спідометр – показує модуль швидкості.

Знак проекції швидкості залежить від напрямку вектора швидкості та осі координат:

Графік проекції швидкості є залежністю проекції швидкості від часу:

Графік швидкості при рівномірному прямолінійному русі- Пряма, паралельна осі часу (1, 2, 3).

Якщо графік лежить над віссю часу (.1), тіло рухається у напрямку осі ОХ. Якщо графік розташований під віссю часу, тіло рухається проти осі ОХ (2, 3).

Геометричний зміст переміщення.

При рівномірному прямолінійному русі переміщення визначають за такою формулою. Такий самий результат отримаємо, якщо обчислимо площу фігури під графіком швидкості в осях. Отже, для визначення шляху та модуля переміщення при прямолінійному русі необхідно обчислювати площу фігури під графіком швидкості в осях:

Графік проекції переміщення- Залежність проекції переміщення від часу.

Графік проекції переміщення при рівномірному прямолінійному русі- Пряма, що виходить з початку координат (1, 2, 3).

Якщо пряма (1) лежить над віссю часу, тіло рухається у напрямку осі ОХ, і якщо під віссю (2, 3), проти осі ОХ.

Чим більший тангенс кута нахилу (1) графіка, тим більший модуль швидкості.

Графік координати- Залежність координати тіла від часу:

Графік координати при рівномірному прямолінійному русі – прямі (1, 2, 3).

Якщо з часом координата збільшується (1, 2), тіло рухається у напрямку осі ОХ; якщо координата зменшується (3), тіло рухається проти напрямку осі ОХ.

Чим більший тангенс кута нахилу (1), тим більший модуль швидкості.

Якщо графіки координат двох тіл перетинаються, то з точки перетину слід опустити перпендикуляри на вісь часу та вісь координат.

Відносність механічного руху

Під відносністю ми розуміємо залежність чогось від вибору системи відліку. Наприклад, спокій відносний; рух щодо та положення тіла відносно.

Правило складання переміщень.Векторна сума переміщень

де – переміщення тіла щодо рухомої системи відліку (ПСО); - переміщення ПСО щодо нерухомої системи відліку (НСО); - переміщення тіла щодо нерухомої системи відліку (НСО).

Векторне додавання:

Складання векторів, спрямованих вздовж однієї прямої:

Складання векторів, перпендикулярних один одному

За теоремою Піфагора

Виведемо формулу, за допомогою якої можна розрахувати проекцію вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно та рівноприскорено, за будь-який проміжок часу. Для цього звернімося до рисунка 14. Як на малюнку 14, а, так і на малюнку 14 б відрізок АС являє собою графік проекції вектора швидкості тіла, що рухається з постійним прискоренням а (при початковій швидкості v 0).

Рис. 14. Проекція вектора переміщення тіла, що рухається прямолінійно та рівноприскорено, чисельно дорівнює площі S під графіком

Нагадаємо, що при прямолінійному рівномірному русі тіла проекція вектора переміщення, здійсненого цим тілом, визначається за тією самою формулою, що і площа прямокутника, укладеного під графіком векторної проекції швидкості (див. рис. 6). Тому проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі прямокутника.

Доведемо, що й у разі прямолінійного рівноприскореного руху проекцію вектора переміщення sx можна визначати за тією самою формулою, що й площа фігури, укладеної між графіком АС, віссю Ot та відрізками ОА та ВС, тобто що й у цьому випадку проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графіком швидкості. Для цього на осі Ot (див. рис. 14 а) виділимо маленький проміжок часу db. З точок d і b проведемо перпендикуляри до осі Ot до їхнього перетину з графіком проекції вектора швидкості в точках а і с.

Таким чином, за проміжок часу, який відповідає відрізку db, швидкість тіла змінюється від v ах до v cx .

За досить короткий проміжок часу проекція вектора швидкості змінюється дуже мало. Тому рух тіла протягом цього проміжку часу мало відрізняється від рівномірного, тобто руху з постійною швидкістю.

На такі смужки можна розбити всю площу фігури ОАСВ, що є трапецією. Отже, проекція вектора переміщення sx за проміжок часу, що відповідає відрізку ОВ, чисельно дорівнює площі S трапеції ОАСВ і визначається за тією самою формулою, що ця площа.

Згідно з правилом, наведеним у шкільних курсах геометрії, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту. З малюнка 14 б видно, що основами трапеції ОАСВ є відрізки ОА = v 0x і ВС = v x , а висотою - відрізок OB = t. Отже,

Оскільки v x = v 0x + a x t, a S = s x , то можна записати:

Таким чином, ми отримали формулу для розрахунку векторної проекції переміщення при рівноприскореному русі.

За цією ж формулою розраховують проекцію вектора переміщення і при русі тіла з швидкістю, що зменшується по модулю, тільки в цьому випадку вектори швидкості і прискорення будуть направлені в протилежні сторони, тому їх проекції будуть мати різні знаки.

Запитання

Користуючись рисунком 14, а доведіть, що проекція вектора переміщення при рівноприскореному русі чисельно дорівнює площі фігури ОАСВ.
Запишіть рівняння для визначення проекції вектора переміщення тіла при прямолінійному рівноприскореному русі.

Вправа 7

Сторінка 8 з 12

§ 7. Переміщення при рівноприскореному
прямолінійному русі

Отримаємо: x – x 0 = v 0x t+ , або

x = x 0 + v 0x t + .

З формули проекції швидкості рівноприскореного прямолінійного руху v x = v 0x + a x tвисловимо час:

Підставивши цей вираз у формулу проекції переміщення, отримаємо:

s x = v 0x + .

s x = , або
–= 2a x s x.

Якщо початкова швидкість тіла дорівнює нулю, то:

2a x s x.

4. Приклад розв'язання задачі

Дано:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 м/с2

t 1 = 20 с

s 2 = 40 м

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Запишемо рівняння для швидкості лижника наприкінці спуску з гори:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

Запишемо рівняння, що пов'язує проекції швидкості, прискорення та переміщення лижника на другому етапі руху:

–= 2a 2x s 2x .

v 02 = v 1 , v 2x= 0 отримаємо

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Звідси a 2 = ;

a 2 == 0,125 м/с2.

s 1x = v 01x t + .

Звідси довжина схилу гори дорівнює s 1 = ;

s 1 == 100 м-коду.

Відповідь: a 2 = 0,125 м/с 2; s 1 = 100 м-коду.

Питання для самоперевірки

1. Як за графіком залежності проекції швидкості рівномірного прямолінійного руху на вісь X

3. За якою формулою розраховується проекція переміщення тіла за рівноприскореного прямолінійного руху?

Завдання 7

Лабораторна робота №1

Дослідження рівноприскореного
прямолінійного руху

Мета роботи:

Прилади та матеріали:

жолоб, штатив, металева кулька, секундомір, вимірювальна стрічка, циліндр металевий.

Порядок виконання роботи

Таблиця 1

№ досвіду

Експериментальні дані

Теоретичні результати

Час t , з

Шлях s , см

Час t , з

Шлях

s, см

Прискорення a, см/с2

Часt, з

Шлях s , см

Як, знаючи гальмівний шлях, визначити початкову швидкість автомобіля і як знаючи характеристики руху, такі як початкова швидкість, прискорення, час, визначити переміщення автомобіля? Відповіді ми отримаємо після того, як познайомимося з темою сьогоднішнього уроку: "Переміщення при рівноприскореному русі, залежність координати від часу при рівноприскореному русі"

При рівноприскореному русі графік має вигляд прямої лінії, що йде вгору, оскільки його проекція прискорення більша за нуль.

При рівномірному прямолінійному русі площа чисельно дорівнюватиме модулю проекції переміщення тіла. Виявляється, цей факт можна узагальнити для випадку як рівномірного руху, але й будь-якого руху, тобто показати, що площа під графіком чисельно дорівнює модулю проекції переміщення. Це робиться строго математично, але ми скористаємося графічним способом.

Рис. 2. Графік залежності швидкості від часу за рівноприскореного руху ()

Розіб'ємо графік проекції швидкості часу для рівноприскореного руху на невеликі проміжки часу Δt. Припустимо, що вони такі малі, що їх протягом швидкість майже змінювалася, тобто графік лінійної залежності малюнку ми умовно перетворимо на драбинку. На кожній її сходинці ми вважаємо, що швидкість майже не змінилася. Уявімо, що проміжки часу Δt ми зробимо нескінченно малими. У математиці кажуть: робимо граничний перехід. В цьому випадку площа такої драбинки необмежено близько співпадати з площею трапеції, яку обмежує графік V x (t). А це означає, що і для випадку рівноприскореного руху можна сказати, що модуль проекції переміщення чисельно дорівнює площі, обмеженій графіком V x (t): осями абсцис та ординат та перпендикуляром, опущеним на вісь абсцис, тобто площі трапеції ОАВС, яку ми бачимо малюнку 2.

Завдання з фізичної перетворюється на математичне завдання - пошук площі трапеції. Це стандартна ситуація, коли вчені фізики становлять модель, яка описує те чи інше явище, а потім у справу вступає математика, яка збагачує цю модель рівняннями, законами – тим, що перетворює модель на теорію.

Знаходимо площу трапеції: трапеція є прямокутною, оскільки кут між осями - 90 0 , розіб'ємо трапецію на дві фігури - прямокутник та трикутник. Очевидно, що Загальна площадорівнюватиме сумі площ цих фігур (рис. 3). Знайдемо їх площі: площа прямокутника дорівнює добутку сторін, тобто V 0x · t, площа прямокутного трикутника дорівнюватиме половині добутку катетів - 1/2АD·BD, підставивши значення проекцій, отримаємо: 1/2t·(V x - V 0x), а, згадавши закон зміни швидкості від часу при рівноприскореному русі: V x (t) = V 0x + а х t, цілком очевидно, що різниця проекцій швидкостей дорівнює добутку проекції прискорення а х на час t, тобто V x - V 0x = а х t.

Рис. 3. Визначення площі трапеції ( Джерело)

Враховуючи той факт, що площа трапеції чисельно дорівнює модулю проекції переміщення, отримаємо:

S х(t) = V 0 x t + х t 2 /2

Ми з вами отримали закон залежності проекції переміщення від часу при рівноприскореному русі в скалярній формі, у векторній формі він виглядатиме так:

(t) = t + t 2/2

Виведемо ще одну формулу для проекції переміщення, в яку не буде входити як змінний час. Розв'яжемо систему рівнянь, виключивши з неї час:

S x (t) = V 0 x + а х t 2 /2

V x (t) = V 0 x + а х t

Уявімо, що час нам невідомий, тоді висловимо час із другого рівняння:

t = V x - V 0x/а х

Підставимо отримане значення перше рівняння:

Отримаємо такий громіздкий вираз, зведемо в квадрат і наведемо такі:

Ми отримали дуже зручний вираз проекції переміщення для випадку, коли нам невідомий час руху.

Нехай у нас початкова швидкість автомобіля, коли почалося гальмування становить V 0 = 72 км/год, кінцева швидкість V = 0, прискорення а = 4 м/с 2 . Дізнаємося довжину гальмівного шляху. Перевівши кілометри в метри і підставивши значення формулу, отримаємо, що гальмівний шлях складе:

S x = 0 - 400(м/с) 2/-2 · 4 м/с 2 = 50 м

Проаналізуємо таку формулу:

S x = (V 0 x + V x) / 2 · t

Проекція переміщення- це напівсума проекцій початкової та кінцевої швидкостей, помножена на час руху. Згадаймо формулу переміщення для середньої швидкості

S x = V ср · t

У разі рівноприскореного руху середня швидкість буде:

V ср = (V 0 + V к) / 2

Ми впритул підійшли до вирішення головного завдання механіки рівноприскореного руху, тобто отримання закону, за яким змінюється координата з часом:

x(t) = x 0 + V 0 x t + x t 2 /2

Щоб навчитися користуватися цим законом, розберемо типове завдання.

Автомобіль, рухаючись зі стану спокою, набуває прискорення 2 м/с 2 . Знайти шлях, який пройшов автомобіль за 3 секунди та за третю секунду.

Дано: V 0 x = 0

Запишемо закон, за яким змінюється переміщення з часом при

рівноприскореному русі: S х = V 0 x t + а х t 2/2. 2 c

Ми можемо відповісти на перше запитання, підставивши дані:

t 1 = 3 c S 1х = а х t 2 /2 = 2 · 3 2 / 2 = 9(м) – це шлях, який пройшов

c автомобіль за 3 секунди.

Дізнаємось скільки він проїхав за 2 секунди:

S х (2 с) = а х t 2 /2 = 2 · 2 2 / 2 = 4 (м)

Отже, ми з вами знаємо, що за дві секунди автомобіль проїхав 4 метри.

Тепер, знаючи ці дві відстані, ми можемо знайти шлях, який він пройшов за третю секунду:

S 2х = S 1х + S х (2 с) = 9 - 4 = 5 (м)

Рівноприскореним рухомназивають такий рух, при якому вектор прискорення залишається незмінним за модулем та напрямом. Прикладом такого руху є рух каменя, кинутого під деяким кутом до горизонту (не враховуючи опору повітря). У будь-якій точці траєкторії прискорення каменю дорівнює прискоренню вільного падіння. Таким чином вивчення рівноприскореного руху зводиться до вивчення прямолінійного рівноприскореного руху. У разі прямолінійного руху вектори швидкості та прискорення спрямовані вздовж прямого руху. Тому швидкість та прискорення у проекціях на напрямок руху можна розглядати як алгебраїчні величини. При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла визначається формулою (1)

У цій формулі – швидкість тіла при t = 0 (початкова швидкість ), = const - прискорення. У проекції на обрану вісь х рівняння (1) запишеться у вигляді: (2). На графіку проекції швидкості х ( t) ця залежність має вигляд прямої лінії.

За нахилом графіка швидкості може бути визначено прискорення aтіла. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка I Прискорення чисельне дорівнює відношенню сторін трикутника ABC: .

Чим більший кут β, який утворює графік швидкості з віссю часу, тобто чим більший нахил графіка ( крутість), тим більше прискорення тіла.

Для графіка I: ? 0 = -2 м / с, a= 1/2 м/с2. Для графіка ІІ: υ 0 = 3 м/с, a= -1/3 м/с2.

Графік швидкості дозволяє також визначити проекцію переміщення тіла s за деякий час t. Виділимо на осі часу деякий короткий проміжок часу Δt. Якщо цей проміжок часу досить малий, то зміна швидкості за цей проміжок невелика, тобто рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним з деякою середньою швидкістю, яка дорівнює миттєвій швидкості υ тіла в середині проміжку Δt. Отже, переміщення Δs за час Δt дорівнюватиме Δs = υΔt. Це переміщення дорівнює площі заштрихованої на рис. смужки. Розбивши проміжок часу від 0 до деякого моменту t на малі проміжки Δt, можна отримати, що переміщення s за заданий час t при рівноприскореному прямолінійному русі дорівнює площі трапеції ODEF. Відповідні побудови виконано на рис. для графіка ІІ. Час t прийнято рівним 55 с.

(3) – отримана формула дозволяє визначити переміщення при рівноприскореному русі, якщо прискорення не відоме.

Якщо підставити в рівняння (3) вираз для швидкості (2), отримуємо (4) – ця формула використовується для запису рівняння руху тіла: (5).

Якщо виразити з рівняння (2) час руху (6) і підставити на рівність (3), то

Ця формула дозволяє визначити переміщення за невідомого часу руху.

Запитання

Вправа 8

Шлях

Час руху

Середня швидкість

Проекції вектора переміщення на осі координат

Рівномірний прямолінійний рух - визначення

Відносність механічного руху

Запитання

Вправа 7

Ще на тему статті: