Математичне очікування – це розподіл ймовірностей випадкової величини
Математичне очікування, визначення, математичне очікування дискретної та безперервної випадкових величин, вибіркове, умовне маточування, розрахунок, властивості, завдання, оцінка маточіння, дисперсія, функція розподілу, формули, приклади розрахунку
Розгорнути зміст
Згорнути зміст
Математичне очікування- це, визначення
Одне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностей випадкової величини. Зазвичай виражається як середньозважене значення всіх можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується для розробки стратегій та методів ігрової тактики в теорії азартних ігор.
Математичне очікування – цеСереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини у теорії ймовірностей.
Математичне очікування – цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Математичне очікування випадкової величини xпозначається M(x).
Математичне очікування – це
Математичне очікування – цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може набувати ця випадкова величина.
Математичне очікування – цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.
Математичне очікування – цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.
Математичне очікування – цетеоретично азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти гравець, загалом, за кожною ставкою. На мові азартних гравців це іноді називається "перевагою гравця" (якщо воно позитивне для гравця) або "перевагою казино" (якщо воно негативне для гравця).
Математичне очікування – цевідсоток прибутку на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ймовірність збитку, помножена на середні збитки.
Математичне очікування випадкової величини у математичній теорії
Однією з найважливіших числових показників випадкової величини є математичне очікування. Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин, що є результатами однієї й тієї ж випадкового експерименту. Якщо - одне з можливих значень системи, то події відповідає певна ймовірність, що задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція, визначена за будь-яких можливих значеннях випадкових величин, називається спільним законом розподілу. Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій. Зокрема, спільний закон розподілу випадкових величин і, які приймають значення з множини та, задається ймовірностями.
Термін «математичне очікування» введений П'єром Сімоном маркізом де Лапласом (1795) і походить від поняття «очікуваного значення виграшу», що вперше з'явився в 17 столітті в теорії азартних ігор у працях Блеза Паскаля і Християна Гюйгенса. Проте перше повне теоретичне осмислення та оцінка цього поняття дано Пафнутиєм Львовичем Чебишевим (середина 19 століття).
Закон розподілу випадкових числових величин (функція розподілу та ряд розподілу чи щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Основними числовими характеристиками випадкових величин є математичне очікування, дисперсія, мода та медіана.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень відповідні їм ймовірності. Іноді математичне очікування називають виваженим середнім, так як воно приблизно дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини при великій кількості дослідів. З визначення математичного очікування слід, що його значення не менше за найменше можливого значення випадкової величини і не більше за найбільше. Математичне очікування випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.
Математичне очікування має простий фізичний сенс: якщо на прямий розмістити одиничну масу, помістивши в деякі точки деяку масу (для дискретного розподілу), або «розмазавши» її з певною щільністю (для абсолютно безперервного розподілу), то точка, що відповідає математичному очікуванню, буде координатою "центру тяжіння" прямий.
Середнє значення випадкової величини є деяке число, що є хіба що її «представником» і замінює її за грубо орієнтовних розрахунках. Коли ми говоримо: «середній час роботи лампи дорівнює 100 годин» або «середня точка влучення зміщена щодо мети на 2 м вправо», ми цим вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що описує її місце розташування на числовій осі, тобто. «Характеристику становища».
З показників становища теорії ймовірностей найважливішу роль грає математичне очікування випадкової величини, яке іноді називають просто середнім значенням випадкової величини.
Розглянемо випадкову величину Х, що має можливі значення х1, х2, …, хnз ймовірностями p1, p2, …, pn. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом положення значень випадкової величини на осі абсцис з огляду на те, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим «середнім виваженим» із значень xi, причому кожне значення xi при середовищі має враховуватися з «вагою», пропорційним до ймовірності цього значення. Таким чином, ми обчислимо середню випадкову величину X, яке ми позначимо M | X |:
Це середнє зважене значення називається математичним очікуванням випадкової величини. Отже, ми запровадили у розгляді одне з найважливіших понять теорії ймовірностей – поняття математичного очікування. Математичним очікуванням випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.
Хпов'язано своєрідною залежністю із середнім арифметичним наглядом значень випадкової величини при великій кількості дослідів. Ця залежність того ж типу, як залежність між частотою і ймовірністю, а саме: при великій кількості дослідів середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини наближається (збігається ймовірністю) до її математичного очікування. З наявності зв'язку між частотою та ймовірністю можна вивести як наслідок наявність подібного ж зв'язку між середнім арифметичним та математичним очікуванням. Справді, розглянемо випадкову величину Х, що характеризується поруч розподілу:
Нехай проводиться Nнезалежних дослідів, у кожному з яких величина Xнабуває певного значення. Припустимо, що значення x1з'явилося m1раз, значення x2з'явилося m2раз, взагалі значення xiз'явилося mi разів. Обчислимо середнє арифметичне спостерігання значень величини Х, яке, на відміну від математичного очікування М | X |ми позначимо M*|X|:
При збільшенні кількості дослідів Nчастоти piбудуть наближатися (збігатися ймовірно) до відповідних ймовірностей. Отже, і середнє арифметичне спостерігання значень випадкової величини M | X |зі збільшенням кількості дослідів наближатися (збігається ймовірно) до її математичного очікування. Сформульований вище зв'язок між середнім арифметичним та математичним очікуванням становить зміст однієї з форм закону великих чисел.
Ми вже знаємо, що всі форми закону великих чисел констатують факт стійкості деяких середніх за великої кількості дослідів. Тут йдеться про стійкість середнього арифметичного із низки спостережень однієї й тієї самої величини. При невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів випадково; при достатньому збільшенні кількості дослідів воно стає «майже випадковим» і, стабілізуючись, наближається до постійної величини – математичного очікування.
Властивість стійкості середніх за великої кількості досвідів легко перевірити експериментально. Наприклад, зважуючи якесь тіло в лабораторії на точних терезах, ми в результаті зважування отримуємо щоразу нове значення; щоб зменшити помилку спостереження, ми зважуємо тіло кілька разів і користуємося середнім арифметичним отриманим значенням. Легко переконатися, що при подальшому збільшенні кількості дослідів (зважувань) середнє арифметичне реагує на це збільшення дедалі менше і при досить великій кількості дослідів практично перестає змінюватися.
Слід зазначити, що найважливіша характеристика положення випадкової величини – математичне очікування – існує для всіх випадкових величин. Можна скласти приклади таких випадкових величин, котрим математичного очікування немає, оскільки відповідна сума чи інтеграл розходяться. Однак для практики такі випадки суттєвого інтересу не становлять. Зазвичай випадкові величини, з якими ми маємо справу, мають обмежену область можливих значень і, безумовно, мають математичне очікування.
Крім найважливішої з характеристик положення випадкової величини - математичного очікування, - на практиці іноді застосовуються інші характеристики положення, зокрема, мода і медіана випадкової величини.
Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення. Термін «найбільш ймовірне значення», строго кажучи, застосовується тільки до перервних величин; для безперервної величини модою є значення, у якому щільність ймовірності максимальна. На малюнках показана мода відповідно для перервної та безперервної випадкових величин.
Якщо багатокутник розподілу (крива розподілу) має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальним.
Іноді зустрічаються розподіли, що мають посередині не максимум, а мінімум. Такі розподіли називають «антимодальними».
У випадку мода і математичне очікування випадкової величини не збігаються. У окремому випадку, коли розподіл є симетричним і модальним (тобто має моду) і існує математичне очікування, воно співпадає з модою і центром симетрії розподілу.
Часто застосовується ще одне характеристика становища – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою користуються зазвичай лише безперервних випадкових величин, хоча формально можна її визначити й у перервної величини. Геометрично медіана – це абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл.
У разі симетричного модального розподілу медіана збігається з математичним очікуванням та модою.
Математичне очікування є середнє значення, випадкової величини - числова характеристика розподілу ймовірностей випадкової величини. Самим загальним чиномматематичне очікування випадкової величини Х(w)визначається як інтеграл Лебега по відношенню до імовірнісної міри Ру вихідному імовірнісному просторі:
Математичне очікування може бути обчислене і як інтеграл Лебега від хщодо розподілу ймовірностей рхвеличини X:
Звичайно можна визначити поняття випадкової величини з нескінченним математичним очікуванням. Типовим прикладом є часи повернення в деяких випадкових блуканнях.
За допомогою математичного очікування визначаються багато числових і функціональних характеристик розподілу (як математичне очікування відповідних функцій від випадкової величини), наприклад, функція, що виробляє, характеристична функція, моменти будь-якого порядку, зокрема дисперсія, коваріація.
Математичне очікування є характеристикою розташування значень випадкової величини (середнє значення її розподілу). У цьому ролі математичне очікування служить деяким " типовим " параметром розподілу та її роль аналогічна ролі статичного моменту - координати центру тяжкості розподілу маси - у механіці. Від інших характеристик розташування, за допомогою яких розподіл описується загалом, - медіан, мод, математичне очікування відрізняється тим великим значенням, яке воно і відповідна йому характеристика розсіювання – дисперсія – мають у граничних теоремах теорії ймовірностей. З найбільшою повнотою сенс математичного очікування розкривається законом великих чисел (нерівність Чебишева) і посиленим законом великих чисел.
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Нехай є деяка випадкова величина, яка може прийняти одне з декількох числових значень (припустимо, кількість очок при кидку кістки може бути 1, 2, 3, 4, 5 або 6). Часто на практиці для такої величини виникає питання: а яке значення вона набуває "в середньому" при великій кількості тестів? Яким буде наш середній дохід (або збиток) від кожної із ризикованих операцій?
Скажімо, є якась лотерея. Ми хочемо зрозуміти, вигідно чи ні в ній взяти участь (або навіть брати участь неодноразово, регулярно). Допустимо, виграшний кожен четвертий квиток, приз складе 300 руб., А ціна будь-якого квитка – 100 руб. За нескінченно великої кількості участі виходить ось що. У трьох чвертях випадків ми програємо, кожні три програші коштуватимуть 300 руб. У кожному четвертому випадку ми виграємо 200 руб. (Приз мінус вартість), тобто за чотири участі ми в середньому втрачаємо 100 руб., За одну – у середньому 25 руб. Разом у середньому темпи нашого руйнування становитимуть 25 крб./квиток.
Кидаємо гральну кістку. Якщо вона не шахрайська (без усунення центру тяжкості тощо), то скільки ми в середньому матимемо очок за раз? Оскільки кожен варіант рівноймовірний, беремо тупо середнє арифметичне та отримуємо 3,5. Оскільки це СЕРЕДНІШЕ, то нема чого обурюватися, що 3,5 очок ніякий конкретний кидок не дасть - ну немає у цього куба грані з таким числом!
Тепер узагальним наші приклади:
Звернемося до щойно наведеної картинки. Зліва табличка розподілу випадкової величини. Величина X може набувати одне з n можливих значень (наведені у верхньому рядку). Жодних інших значень не може бути. Під кожним можливим значенням знизу підписано його можливість. Справа наведена формула, де M(X) і називається математичним очікуванням. Сенс цієї величини в тому, що при великій кількості випробувань (при великій вибірці) середнє значення буде прагнути цього математичного очікування.
Повернемося знову до того ж грального куба. Математичне очікування кількості очок при кидку дорівнює 3,5 (порахуйте самі за формулою, якщо не вірите). Скажімо, ви кинули його кілька разів. Випали 4 та 6. У середньому вийшло 5, тобто далеко від 3,5. Кинули ще раз, випало 3, тобто в середньому (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Якось далеко від математичного очікування. А тепер проведіть божевільний експеримент – киньте куб 1000 разів! І якщо в середньому не буде рівно 3,5, то буде близько до того.
Порахуємо математичне очікування вище описаної лотереї. Табличка виглядатиме ось так:
Тоді математичне очікування складе, як ми встановили вище.
Інша справа, що так само "на пальцях", без формули, було б важкувато, якби було більше варіантів. Ну скажімо, було б 75% програшних квитків, 20% виграшних квитків та 5% особливо виграшних.
Тепер деякі властивості математичного очікування.
Довести це просто:
Постійний множник допускається виносити за знак математичного очікування, тобто:
Це окремий випадок якості лінійності математичного очікування.
Інше наслідок лінійності математичного очікування:
тобто математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань випадкових величин.
Нехай X, Y – незалежні випадкові величинитоді:
Це теж нескладно довести) XYсамо є випадковою величиною, при цьому якщо вихідні величини могли приймати nі mзначень відповідно, то XYможе набувати nm значень. Імовірність кожного з значень обчислюється, виходячи з того, що ймовірності незалежних подій перемножуються. У результаті отримуємо ось що:
Математичне очікування безперервної випадкової величини
У безперервних випадкових величин є така характеристика, як густина розподілу (щільність ймовірності). Вона, по суті, характеризує ситуацію, що деякі значення з множини дійсних чисел випадкова величина набуває частіше, деякі - рідше. Наприклад, розглянемо ось який графік:
Тут X- Власне випадкова величина, f(x)- Щільність розподілу. Судячи з даного графіку, при дослідах значення Xчасто буде числом, близьким до нуля. Шанси ж перевищити 3 або виявитися менше -3 скоріше чисто теоретичні.
Нехай, наприклад, є рівномірний розподіл:
Це цілком відповідає інтуїтивному розумінню. Скажімо, якщо ми отримуємо при рівномірному розподілі багато випадкових дійсних чисел, кожне з відрізків |0; 1| , то середнє арифметичне має бути близько 0,5.
Властивості математичного очікування - лінійність і т.д., застосовні для дискретних випадкових величин, застосовні тут.
Взаємозв'язок математичного очікування з іншими статистичними показниками
У статистичному аналізі поряд з математичним очікуванням існує система взаємозалежних показників, що відображають однорідність явищ та стійкість процесів. Часто показники варіації немає самостійного сенсу і використовуються подальшого аналізу даних. Винятком є коефіцієнт варіації, який характеризує однорідність даних, що цінної статистичної характеристикою.
Ступінь мінливості чи стійкості процесів у статистичній науці може вимірюватися за допомогою кількох показників.
Найбільш важливим показником, що характеризує мінливість випадкової величини, є Дисперсія, яка найтіснішим і безпосередньо пов'язана з математичним очікуванням. Цей параметр активно використовують у інших видах статистичного аналізу (перевірка гіпотез, аналіз причинно-наслідкових зв'язків та інших.). Як і середнє лінійне відхилення, дисперсія також відбиває міру розкиду даних навколо середньої величини.
Мова знаків корисно перекласти мовою слів. Вийде, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Тобто спочатку розраховується середнє значення, потім береться різниця між кожним вихідним та середнім значенням, зводиться у квадрат, складається і потім ділиться на кількість значень у даній сукупності. Різниця між окремим значенням та середньою відображає міру відхилення. У квадрат зводиться для того, щоб усі відхилення стали виключно позитивними числами і щоб уникнути взаємознищення позитивних та негативних відхилень при їхньому сумуванні. Потім, маючи квадрати відхилень, ми просто розраховуємо середню арифметичну. Середній – квадрат – відхилень. Відхилення зводяться до квадрата, і вважається середня. Розгадка магічного слова «дисперсія» полягає лише у трьох словах.
Однак у чистому вигляді, як, наприклад, середня арифметична, або індекс, дисперсія не використовується. Це швидше допоміжний та проміжний показник, який використовується для інших видів статистичного аналізу. У неї навіть одиниці виміру нормальної немає. Судячи з формули, це квадрат одиниці виміру вихідних даних.
Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення із функцією розподілу?
Або кидатимемо гральний кубик велику кількість разів. Кількість очок, яке випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне випалих очок, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне до цілком конкретного числа – математичного очікування Mx. У разі Mx = 3,5.
Яким чином вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях n1раз випало 1 очко, n2разів – 2 очки тощо. Тоді кількість наслідків, у яких випало одне очко:
Аналогічно для результатів, коли випало 2, 3, 4, 5 та 6 очок.
Припустимо тепер, що знаємо закон розподілу випадкової величини x, тобто знаємо, що випадкова величина x може набувати значення x1, x2, ..., xk з ймовірностями p1, p2, ..., pk.
Математичне очікування Mx випадкової величини x дорівнює:
Математичне очікування який завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної плати розумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплату та більшу, збігаються.
Імовірність р1 того, що випадкова величина х виявиться меншою за х1/2, і ймовірність р2 того, що випадкова величина x виявиться більшою за х1/2, однакові й рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.
Стандартним або Середньоквадратичним відхиленняму статистиці називається ступінь відхилення даних спостережень чи множин від СЕРЕДНЬОГО значення. Позначається літерами s чи s. Невелике стандартне відхилення вказує на те, що дані групуються навколо середнього значення, а значне - що початкові дані розташовані далеко від нього. Стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню величини, яка називається дисперсією. Вона є середня кількість суми зведених у квадрат різниць початкових даних, що відхиляються від середнього значення. Середньоквадратичним відхиленням випадкової величини називається корінь квадратний із дисперсії:
приклад. В умовах випробувань при стрільбі по мішені обчислити дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини:
Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значення ознаки, що у вивчаемой сукупності, називають варіантами значень. Недостатність середньої величини для повної характеристикисукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається. Коефіцієнт варіації обчислюють за такою формулою:
Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності. Цей показник дає найзагальніше уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Залежність крайніх значень ознаки надає розмаху варіації нестійкий, випадковий характер.
Середнє лінійне відхиленняявляє собою середнє арифметичне з абсолютних (за модулем) відхилень всіх значень аналізованої сукупності від їхньої середньої величини:
Математичне очікування теорії азартних ігор
Математичне очікування – цесередня кількість грошей, яку гравець в азартні ігри може виграти чи програти на цій ставці. Це дуже важливе поняття для гравця, тому що воно є основним для оцінки більшості ігрових ситуацій. Математичне очікування – це також оптимальний інструмент аналізу основних карткових розкладів і ігрових ситуацій.
Допустимо, ви граєте з другом у монетку, щоразу роблячи ставку порівну по $1 незалежно від того, що випаде. Решка – ви виграли, орел – програли. Шанси на те, що випаде решка один до одного, і ви ставите $1 до $1. Таким чином, математичне очікування у вас рівне нулю, т.к. з точки зору математики ви не можете знати ви будете вести або програвати після двох кидків або після 200.
Ваш годинний виграш дорівнює нулю. Часовий виграш – це та кількість грошей, яку ви очікуєте виграти за годину. Ви можете кидати монету 500 разів протягом години, але не виграєте і програєте, т.к. Ваші шанси ні позитивні, ні негативні. Якщо дивитися, з погляду серйозного гравця, така система ставок непогана. Але це просто втрата часу.
Але припустимо, хтось хоче поставити $2 проти вашого $1 у цю гру. Тоді ви одразу ж маєте позитивне мотоочікування в 50 центів з кожної ставки. Чому 50 центів? У середньому одну ставку ви виграєте, другу програєте. Поставте перший долар – і втратите $1, ставте другий – виграєте $2. Ви двічі зробили ставку $1 і йдете попереду на $1. Таким чином кожна з ваших однодоларових ставок дала вам 50 центів.
Якщо за годину монета випаде 500 разів, ваш годинний виграш складе вже $250, т.к. в середньому ви втратили по одному долару 250 разів та виграли по два долари 250 разів. $500 мінус $250 і $250, що і становить сумарний виграш. Зверніть увагу, що маточування, що є сумою, яку в середньому ви виграли на одній ставці, дорівнює 50 центам. Ви виграли $250, роблячи ставку за доларом 500 разів, що дорівнює 50 центам зі ставки.
Математичне очікування немає нічого спільного з короткочасним результатом. Ваш опонент, який вирішив ставити проти вас $2 міг обіграти вас на перших десяти кидках поспіль, але ви, володіючи перевагою ставок 2 до 1 за інших рівних, за будь-яких обставин заробляєте 50 центів з кожної ставки в $1. Немає різниці, ви виграєте або програєте одну ставку або кілька ставок, але тільки за умови, що у вас вистачить готівки, щоб спокійно компенсувати витрати. Якщо ви продовжуватимете ставити так само, то за тривалий період часу ваш виграш підійде до суми маточень в окремих кидках.
Щоразу, роблячи ставку з кращим результатом (ставка, яка може виявитися вигідною на довгій дистанції), коли шанси на вашу користь, ви обов'язково щось виграєте на ній, і не важливо чи ви втрачаєте її чи ні в даній роздачі. І навпаки, якщо ви зробили ставку з найгіршим результатом (ставка, яка невигідна на довгій дистанції), коли шанси не на вашу користь, ви щось втрачаєте незалежно від того, виграли ви або програли в даній роздачі.
Ви робите ставку з найкращим результатом, якщо маточування у вас позитивне, а воно є позитивним, якщо шанси на вашому боці. Роблячи ставку з найгіршим результатом, у вас негативне маточування, яке буває, коли шанси проти вас. Серйозні гравці роблять ставки тільки з найкращим результатом, за гіршого – вони пасують. Що означає шанси на вашу користь? Ви можете зрештою виграти більше, ніж приносять реальні шанси. Реальні шанси на те, що випаде решка 1:1, але у вас виходить 2:1 за рахунок співвідношення ставок. У цьому випадку шанси на вашу користь. Ви точно отримуєте найкращий результат із позитивним очікуванням у 50 центів за одну ставку.
Ось складніший приклад математичного очікування. Приятель пише цифри від одного до п'яти і робить ставку $5 проти $1 на те, що ви не визначите загадану цифру. Чи погоджуватись вам на таке парі? Яке тут маточкування?
У середньому чотири рази ви помилитеся. Виходячи з цього, шанси проти того, що ви відгадаєте цифру, складуть 4 до 1. Шанси за те, що при одній спробі ви втратите долар. Тим не менш, ви виграєте 5 до 1, при можливості програти 4 до 1. Тому шанси на вашу користь ви можете приймати парі і сподіватися на кращий результат. Якщо ви зробите таку ставку п'ять разів, в середньому ви програєте чотири рази $1 і один раз виграєте $5. Виходячи з цього, за всі п'ять спроб ви заробите $1 з позитивним математичним очікуванням 20 центів за одну ставку.
Гравець, який збирається виграти більше, ніж ставить, як у прикладі вище – ловить шанси. І навпаки, він губить шанси, коли має намір виграти менше, ніж ставить. Гравець, який робить ставку може мати або позитивне, або негативне маточування, яке залежить від того, ловить він або губить шанси.
Якщо ви поставите $50 для того, щоб виграти $10 за ймовірності виграшу 4 до 1, то ви отримаєте негативне маточування $2, т.к. в середньому ви виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $50, з чого видно, що втрата за одну ставку становитиме $10. Але якщо ви поставите $30 для того, щоб виграти $10, при тих же шансах виграшу 4 до 1, то в даному випадку ви маєте позитивне очікування $2, т.к. ви знову виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $30, що становитиме прибуток у $10. Дані приклади показують, перша ставка погана, а друга – хороша.
Математичне очікування є центром будь-якої ігрової ситуації. Коли букмекер закликає футбольних уболівальників ставити $11, щоб виграти $10, то він має позитивне мотоочкування з кожних $10 у розмірі 50 центів. Якщо казино виплачує рівні гроші з пасової лінії у крепсі, то позитивне очікування казино становитиме приблизно $1.40 з $100, т.к. ця гра побудована так, що кожен, хто поставив на цю лінію, в середньому програє 50.7% та виграє 49.3% загального часу. Безперечно, саме це начебто мінімальне позитивне маточування і приносить колосальні прибутки власникам казино по всьому світу. Як зауважив господар казино Vegas World Боб Ступак, «одна тисячна відсотка негативної ймовірності на досить довгій дистанції розорить найбагатшу людину у світі».
Математичне очікування під час гри в Покер
Гра в Покер є найбільш показовим та наочним прикладом з точки зору використання теорії та властивостей математичного очікування.
Математичне очікування (англ. Expected Value) у Покері – середня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції. Успішна гра в покер полягає в тому, щоб завжди приймати ходи лише з позитивним математичним очікуванням.
Математичний сенс математичного очікування при грі в покер полягає в тому, що ми часто стикаємося з випадковими величинами при прийнятті рішення (ми не знаємо, які карти на руках у опонента, які карти прийдуть на наступних колах торгівлі). Ми повинні розглядати кожне з рішень з погляду теорії великих чисел, яка свідчить, що з досить великий вибірці середнє значення випадкової величини прагнутиме її математичного очікування.
Серед приватних формул для обчислення математичного очікування, в покер найбільш застосовна наступна:
Під час гри в покер математичне очікування можна розраховувати як для ставок, так і для колів. У першому випадку до уваги слід брати фолд-еквіті, у другому – власні шанси банку. Оцінюючи математичного очікування тієї чи іншої ходу слід пам'ятати, що фолд завжди має нульове маточування. Таким чином, скидання карт завжди буде більш вигідним рішенням, ніж будь-який негативний хід.
Очікування говорить вам про те, що ви можете очікувати (прибуток або збиток) на кожен долар, що ризикує вами. Казино заробляють гроші, оскільки математичне очікування від усіх ігор, які практикуються в них, на користь казино. При досить довгій серії гри очікується, що клієнт втратить свої гроші, оскільки «ймовірність» на користь казино. Однак професійні гравці у казино обмежують свої ігри короткими проміжками часу, тим самим збільшуючи ймовірність на свою користь. Те саме стосується й інвестування. Якщо ваше очікування є позитивним, ви можете заробити більше грошей, роблячи багато угод в короткий період часу. Очікування це ваш відсоток прибутку на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ваша можливість збитку, помножена на середній збиток.
Покер також можна розглянути з погляду математичного очікування. Ви можете припустити, що певний хід вигідний, але в деяких випадках він може виявитися далеко не найкращим, тому що вигідніший інший хід. Допустимо, ви зібрали фул-хаус у п'ятикартковому покері з обміном. Ваш суперник робить ставку. Ви знаєте, що, якщо підвищите ставку, він відповість. Тому підвищення виглядає найкращою тактикою. Але якщо ви все ж таки підніміть ставку, що залишилися двоє гравців, точно скинуть карти. Але якщо ви зрівняєте ставку, то повністю впевнені, що двоє інших гравців після вас надійдуть також. При підвищенні ставки ви отримуєте одну одиницю, а просто зрівнюючи дві. Таким чином, вирівнювання дає вам більш високе позитивне математичне очікування, і буде бути найкращою тактикою.
Математичне очікування також може дати уявлення про те, яка в покер тактика менш вигідна, а яка - більше. Наприклад, граючи на певній руці, ви вважаєте, що ваші втрати в середньому становитимуть 75 центів, включаючи анте, таку руку слід грати, т.к. це краще, ніж скинутися, коли анте дорівнює $1.
Іншою важливою причиною для розуміння суті математичного очікування є те, що воно дає вам почуття спокою незалежно від того, чи ви виграли ставку чи ні: якщо ви зробили хорошу ставку або вчасно рятували, ви знатимете, що ви заробили або зберегли певну кількість грошей, яку гравець слабкіше не зміг вберегти. Набагато складніше скинути карти, якщо ви засмучені тим, що суперник на обміні зібрав сильнішу комбінацію. При цьому, гроші, які ви заощадили, не граючи, замість того, щоб ставити, додаються до вашого виграшу за ніч або за місяць.
Просто пам'ятайте, що якщо поміняти ваші руки, ваш суперник відповів би вам, і як ви побачите у статті «фундаментальна покерна теорема» це лише одна з ваших переваг. Ви повинні радіти, коли це станеться. Вам навіть можна навчитися отримувати задоволення від програної роздачі, тому що ви знаєте, що інші гравці на вашому місці програли б набагато більше.
Як говорилося в прикладі з грою в монетку на початку, часовий коефіцієнт прибутку пов'язаний з математичним очікуванням, і це поняття особливо важливе для професійних гравців. Коли ви збираєтеся грати в покер, ви повинні подумки прикинути, скільки ви зможете виграти за годину гри. У більшості випадків вам необхідно буде ґрунтуватися на вашій інтуїції та досвіді, але ви також можете користуватися деякими математичними викладками. Наприклад, ви граєте в лоуболл з обміном, і спостерігаєте, що три учасники роблять ставки по $10, а потім змінюють дві карти, що є дуже поганою тактикою, ви можете порахувати для себе, що кожен раз, коли вони ставлять $10, вони втрачають близько $2. Кожен з них робить це вісім разів на годину, а значить, усі троє втрачають за годину приблизно $48. Ви один з чотирьох гравців, що залишилися, приблизно рівні, відповідно ці чотири гравці (і ви серед них) повинні розділити $48, і прибуток кожного складе $12 на годину. Ваш часовий коефіцієнт у цьому випадку просто дорівнює вашій долі від суми грошей, програної трьома поганими гравцями за годину.
За великий період сумарний виграш гравця становить суму його математичних очікувань в окремих роздачах. Чим більше ви граєте з позитивним очікуванням, тим більше виграєте, і навпаки, чим більше роздач з негативним очікуванням ви зіграєте, тим більше ви програєте. Внаслідок цього, слід віддавати перевагу грі, яка зможе максимально збільшити ваше позитивне очікування або зведе нанівець негативне, щоб ви змогли підняти до максимуму ваш годинний виграш.
Позитивне математичне очікування в ігровій стратегії
Якщо ви знаєте, як рахувати карти, у вас може бути перевага перед казино, якщо вони не помітять цього і не викинуть вас. Казино люблять п'яних гравців і не переносять тих, хто вважає карти. Перевага дозволить вам з часом виграти більше разів, ніж програти. Хороше управління капіталом при використанні розрахунків математичного очікування може допомогти отримати більше прибутку з вашої переваги і скоротити втрати. Без переваги вам найкраще віддати гроші на благодійність. У грі на біржі перевагу дає система гри, що створює більший прибуток, ніж втрати, різниця цін та комісійні. Жодне управління капіталом не врятує погану ігрову систему.
Позитивне очікування визначається значенням, що перевищує нуль. Чим більше це число, тим сильніше статистичне очікування. Якщо значення менше нуля, то математичне очікування також буде негативним. Чим більший модуль негативного значення, тим гірша ситуація. Якщо результат дорівнює нулю, то очікування є беззбитковим. Ви можете виграти тільки тоді, коли у вас є позитивне математичне очікування, розумна система гри. Гра інтуїції призводить до катастрофи.
Математичне очікування та біржова торгівля
Математичне очікування – досить широко популярний статистичний показник при здійсненні біржових торгів на фінансових ринках. Насамперед цей параметр використовують для аналізу успішності торгівлі. Не складно здогадатися, що чим більше це значення, тим більше підстав вважати торгівлю успішною. Звичайно, аналіз роботи трейдера не може проводитися лише за допомогою даного параметра. Тим не менш, обчислюване значення в сукупності з іншими способами оцінки якості роботи може істотно підвищити точність аналізу.
Математичне очікування часто обчислюється у сервісах моніторингів торгових рахунків, що дозволяє швидко оцінювати роботу, що здійснюється на депозиті. Як виняток можна навести стратегії, у яких використовується "пересиджування" збиткових угод. Трейдеру може деякий час супроводжувати успіх, а тому, в його роботі може не виявитися збитків взагалі. У такому разі, орієнтуватися тільки по мотоочікуванню не вдасться, адже не буде враховано ризики, що використовуються в роботі.
У торгівлі над ринком математичне очікування найчастіше застосовують під час прогнозування прибутковості будь-якої торгової стратегії чи прогнозуванні доходів трейдера з урахуванням статистичних даних його попередніх торгів.
Щодо управління капіталом дуже важливо розуміти, що при скоєнні угод із негативним очікуванням немає схеми управління грошима, яка може однозначно принести високий прибуток. Якщо ви продовжуєте грати на біржі в цих умовах, то незалежно від способу управління грошима ви втратите весь ваш рахунок, яким би великим він не був на початку.
Ця аксіома правильна не тільки для гри або угод з негативним очікуванням, вона дійсна також для гри з рівними шансами. Тому єдиний випадок, коли ви маєте шанс отримати вигоду в довгостроковій перспективі, - це укладання угод з позитивним математичним очікуванням.
Відмінність між негативним очікуванням і позитивним очікуванням - це різницю між життям і смертю. Не має значення, наскільки позитивне чи наскільки негативне очікування; важливо лише те, позитивне воно чи негативне. Тому до розгляду питань управління капіталом ви маєте знайти гру з позитивним очікуванням.
Якщо у вас такої гри немає, тоді жодне управління грошима у світі не врятує вас. З іншого боку, якщо у вас є позитивне очікування, то можна за допомогою правильного управління грошима перетворити його на функцію експоненційного зростання. Не має значення, як мало це позитивне очікування! Іншими словами, не має значення, наскільки прибутковою є торгова система на основі одного контракту. Якщо у вас є система, яка виграє 10 доларів на контракт в одній угоді (після відрахування комісійних та прослизання), можна використовувати методи управління капіталом таким чином, щоб зробити її більш прибутковою, ніж систему, яка показує середній прибуток 1000 доларів за угоду (після відрахування комісійних та прослизання).
Має значення не те, наскільки прибуткова система була, а те, наскільки точно можна сказати, що система покаже, принаймні, мінімальний прибуток у майбутньому. Тому найбільш важливе приготування, яке може зробити трейдер, це переконатися в тому, що система покаже позитивне математичне очікування в майбутньому.
Щоб мати позитивне математичне очікування у майбутньому, дуже важливо не обмежувати ступеня свободи вашої системи. Це досягається не тільки скасуванням або зменшенням кількості параметрів, що підлягають оптимізації, але також шляхом скорочення якомога більшої кількості правил системи. Кожен параметр, який ви додаєте, кожне правило, яке ви вносите, кожна дрібна зміна, яку ви робите в системі, скорочує кількість ступенів свободи. В ідеалі, вам потрібно побудувати досить примітивну та просту систему, яка постійно приноситиме невеликий прибуток майже на будь-якому ринку. І знову важливо, щоб ви зрозуміли, - не має значення, наскільки прибутковою є система, поки вона прибуткова. Гроші, які ви заробите у торгівлі, будуть зароблені за допомогою ефективного управління грошима.
Торгова система - це просто засіб, який дає вам позитивне математичне очікування, щоб можна було керувати грошима. Системи, які працюють (показують принаймні мінімальний прибуток) тільки на одному або декількох ринках або мають різні правила або параметри для різних ринків, найімовірніше, не працюватимуть у режимі реального часу досить довго. Проблема більшості технічно орієнтованих трейдерів полягає в тому, що вони витрачають дуже багато часу та зусиль на оптимізацію різних правил та значень параметрів торгової системи. Це дає протилежні результати. Замість витрачати сили та комп'ютерний час на збільшення прибутків торгової системи, спрямуйте енергію на збільшення рівня надійності отримання мінімального прибутку.
Знаючи, що управління капіталом - це лише числова гра, яка вимагає використання позитивних очікувань, трейдер може припинити пошуки "священного Грааля" біржової торгівлі. Натомість він може зайнятися перевіркою свого торгового методу, з'ясувати, наскільки цей метод логічно обґрунтований, чи дає він позитивні очікування. Правильні методи управління капіталом, що застосовуються до будь-яких, навіть дуже посередніх методів ведення торгівлі, самі зроблять решту роботи.
Будь-якому трейдеру для успіху у своїй роботі необхідно вирішити три найважливіші завдання: . Досягти, щоб кількість вдалих угод перевищувала неминучі помилки та прорахунки; Налаштувати свою систему торгівлі так, щоб можливість заробітку була якнайчастіше; Досягти стабільності позитивного результату своїх операцій.
І тут нам, працюючим трейдерам, непогану допомогу може надати математичне очікування. Цей термін теоретично ймовірності одна із ключових. З його допомогою можна дати усереднену оцінку деякому випадковому значенню. Математичне очікування випадкової величини подібно до центру тяжкості, якщо уявити всі можливі ймовірності точками з різною масою.
Що стосується торгової стратегії з метою оцінки її ефективності найчастіше використовують математичне очікування прибутку (чи збитку). Цей параметр визначають, як суму творів заданих рівнів прибутку та втрат та ймовірності їх появи. Наприклад, розроблена стратегія торгівлі передбачає, що 37% всіх операцій принесуть прибуток, а частина – 63% - буде збитковою. При цьому, середній дохід від вдалої угоди складе 7 доларів, а середній програш дорівнюватиме 1,4 долара. Розрахуємо математичне очікування торгівлі за такою системою:
Що означає це число? Воно говорить про те, що, дотримуючись правил цієї системи, в середньому ми отримуватимемо 1,708 долара від кожної закритої угоди. Оскільки отримана оцінка ефективності більша за нуль, то таку систему цілком можна використовувати для реальної роботи. Якщо ж у результаті розрахунку математичне очікування вийде негативним, це вже говорить про середній збиток і така торгівля призведе до руйнування.
Розмір прибутку однією угоду то, можливо виражений також і відносної величиною як %. Наприклад:
- Відсоток доходу на 1 угоду - 5%;
- Відсоток успішних торгових операцій - 62%;
- Відсоток збитку в розрахунку на 1 угоду - 3%;
- Відсоток невдалих угод - 38%;
Тобто середня угода принесе 1,96%.
Можна розробити систему, яка незважаючи на переважання збиткових угод даватиме позитивний результат, Оскільки її МО>0.
Втім, одного очікування мало. Важко заробити, якщо система дає дуже мало торгових сигналів. У цьому випадку її прибутковість буде порівнянна з банківським відсотком. Нехай кожна операція дає в середньому лише 0,5 долара, але що якщо система передбачає 1000 операцій на рік? Це буде дуже серйозна сума за порівняно короткий час. Із цього логічно випливає, що ще однією відмітною ознакою хорошої торгової системи можна вважати короткий термін утримання позицій.
Джерела та посилання
dic.academic.ru – академічний інтернет-словник
mathematics.ru – освітній сайт з математики
nsu.ru - освітній сайт Новосибірського державного університету
webmath.ru – освітній портал для студентів, абітурієнтів та школярів.
exponenta.ru освітній математичний сайт
ru.tradimo.com – безкоштовна онлайн школа трейдингу
crypto.hut2.ru – багатопрофільний інформаційний ресурс
poker-wiki.ru – вільна енциклопедія покеру
sernam.ru – Наукова бібліотека вибраних природничо-наукових видань
reshim.su – інтернет сайт РЕШИМО завдання контрольні курсові
unfx.ru - Forex на UNFX: навчання, торгові сигнали, довірче управління
slovopedia.com – Великий Енциклопедичний словник Словопедія
pokermansion.3dn.ru - Ваш гід у світі покеру
statanaliz.info – інформаційний блог «Статистичний аналіз даних»
форекс-трейдер.рф – портал Форекс-Трейдер
megafx.ru – актуальна аналітика Форекс
fx-by.com – все для трейдера
Математичне очікування - це визначення
Мат очікування - цеодне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень або ймовірностейдовільної величини. Зазвичай виражається як середньозважене значення всіх можливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики теорії азартних ігор.
Мат очікування- цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностейвипадкової величини у теорії ймовірностей.
Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Мат очікування випадкової величини xпозначається M(x).
Математичне очікування (Population mean) – це
Мат очікування - це
Мат очікування - цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може набувати ця випадкова величина.
Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.
Математичне очікування (Population mean) – це
Мат очікування - цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.
Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти спекулянт, у середньому за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтівце іноді називається «перевагою спекулянта(якщо воно позитивне для спекулянта) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для спекулянта).
Математичне очікування (Population mean) – це
Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.
Математичне очікування та дисперсія - найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та рівень розкиданості. Математичне очікування часто називають просто середнім значенням довільної величини. Дисперсія випадкової величини - характеристика розсіювання, розкиданості випадкової величини у її математичного очікування.
Багато завдань практики повна, вичерпна характеристика випадкової величини - закон розподілу - або може бути отримана, або взагалі не потрібна. У таких випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини з допомогою числових характеристик.
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Підійдемо до поняття математичного очікування. Нехай маса деякої речовини розподілена між точками осі абсцис x1 , x 2 , ..., x n. При цьому кожна матеріальна точка має відповідну їй масу з ймовірністю p1 , p 2 , ..., p n. Потрібно вибрати одну точку на осі абсцис, що характеризує положення всієї системи матеріальних точок, з урахуванням їхньої мас. Природно як таку точку взяти центр маси системи матеріальних точок. Це є середнє виважене значення випадкової величини X, в яке абсцис кожної точки xiвходить з "вагою", що дорівнює відповідній ймовірності. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини Xназивається її математичним очікуванням.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:
приклад 1.Організована безпрограшна лотерея. Є 1000 виграшів, їх 400 по 10 крб. 300 – по 20 руб. 200 – по 100 руб. і 100 – по 200 руб. Який середній розмір виграшу для того, хто купив один квиток?
Рішення. Середній виграш ми знайдемо, якщо загальну суму виграшів, яка дорівнює 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50000 руб, розділимо на 1000 (загальна сума виграшів). Тоді отримаємо 50 000/1000 = 50 руб. Але вираз для підрахунку середнього виграшу можна уявити й у такому вигляді:
З іншого боку, в умовах розмір виграшу є випадковою величиною, яка може приймати значення 10, 20, 100 і 200 руб. із ймовірностями, рівними відповідно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Отже, очікуваний середній виграш дорівнює сумі творів розмірів виграшів на ймовірність їх отримання.
приклад 2.Видавець вирішив видати нову книгу. Продавати книгу він збирається за 280 руб., З яких 200 отримає він сам, 50 - книгарня і 30 - автор. У таблиці наведено інформацію про витрати на видання книги та ймовірність продажу певної кількості примірників книги.
Знайти очікуваний прибуток видавця.
Рішення. Випадкова величина "прибуток" дорівнює різниці доходів від продажу та вартості витрат. Наприклад, якщо буде продано 500 екземплярів книги, то доходи від продажу дорівнюють 200 * 500 = 100000, а витрати на видання 225 000 руб. Таким чином, видавцеві загрожує збиток розміром 125000 руб. У наступній таблиці узагальнено очікувані значення випадкової величини - прибутку:
| Число | Прибуток xi | Ймовірність pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Усього: | 1,00 | 25000 |
Таким чином, отримуємо математичне очікування прибутку видавця:
.
Приклад 3.Імовірність влучення при одному пострілі p= 0,2. Визначити витрату снарядів, що забезпечують математичне очікування числа влучень, що дорівнює 5.
Рішення. З тієї ж формули математичного очікування, яку ми використовували досі, висловлюємо x- Витрата снарядів:
.
Приклад 4.Визначити математичне очікування випадкової величини xчисла попадань при трьох пострілах, якщо ймовірність попадання при кожному пострілі p = 0,4 .
Підказка: можливість значень випадкової величини знайти по формулі Бернуллі .
Властивості математичного очікування
Розглянемо властивості математичного очікування.
Властивість 1.Математичне очікування постійної величини дорівнює цій постійній:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Властивість 3.Математичне очікування суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних очікувань:
Властивість 4.Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань:
Властивість 5.Якщо всі значення випадкової величини Xзменшити (збільшити) на одне й те саме число З, то її математичне очікування зменшиться (збільшиться) на те число:
Коли не можна обмежуватися лише математичним очікуванням
Найчастіше лише математичне очікування неспроможна достатньою мірою характеризувати випадкову величину.
Нехай випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Значення X | Ймовірність |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значення Y | Ймовірність |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичні очікування цих величин однакові - дорівнюють нулю:
Проте характер розподілу їх різний. Випадкова величина Xможе приймати тільки значення, що мало відрізняються від математичного очікування, а випадкова величина Yможе приймати значення, які значно відхиляються від математичного очікування. Аналогічний приклад: середня заробітна плата не дає можливості судити про питому вагу високо- та низькооплачуваних робітників. Іншими словами, з математичного очікування не можна судити про те, які відхилення від нього, хоч би в середньому, можливі. Для цього необхідно знайти дисперсію випадкової величини.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Дисперсієюдискретної випадкової величини Xназивається математичне очікування квадрата відхилення її від математичного очікування:
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значення квадратного кореня її дисперсії:
.
Приклад 5.Обчислити дисперсії та середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y, закони розподілу яких наведені у таблицях вище.
Рішення. Математичні очікування випадкових величин Xі YЯк було знайдено вище, дорівнюють нулю. Згідно з формулою дисперсії при Е(х)=Е(y)=0 отримуємо:
Тоді середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Yскладають
.
Таким чином, при однакових математичних очікуваннях дисперсія випадкової величини Xдуже мала, а випадкової величини Y- Значна. Це наслідок розбіжності у тому розподілі.
Приклад 6.У інвестора є 4 альтернативні проекти інвестицій. У таблиці узагальнено дані про очікуваний прибуток у цих проектах з відповідною ймовірністю.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Знайти для кожної альтернативи математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Рішення. Покажемо, як ці величини обчислюються для 3-ї альтернативи:
У таблиці узагальнено знайдені величини всім альтернатив.
У всіх альтернатив однакові математичні очікування. Це означає, що у довгостроковому періоді у всіх – однакові доходи. Стандартне відхилення можна інтерпретувати як одиницю виміру ризику - що більше, тим більше ризик інвестицій. Інвестор, який не бажає великого ризику, вибере проект 1, оскільки має найменше стандартне відхилення (0). Якщо ж інвестор віддає перевагу ризику та більшим доходам у короткий період, він вибере проект найбільшим стандартним відхиленням - проект 4.
Властивості дисперсії
Наведемо властивості дисперсії.
Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:
.
Властивість 3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню квадрата цієї величини, з якого віднімається квадрат математичного очікування самої величини:
,
де 
.
Властивість 4.Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх дисперсій:
Приклад 7.Відомо, що дискретна випадкова величина Xприймає лише два значення: −3 та 7. Крім того, відоме математичне очікування: E(X) = 4. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини.
Рішення. Позначимо через pймовірність, з якою випадкова величина набуває значення x1 = −3 . Тоді ймовірністю значення x2 = 7 буде 1 − p. Виведемо рівняння для математичного очікування:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
звідки отримуємо ймовірність: p= 0,3 та 1 − p = 0,7 .
Закон розподілу випадкової величини:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсію даної випадкової величини обчислимо за формулою з якості дисперсії 3:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Знайти математичне очікування випадкової величини самостійно, а потім переглянути рішення
Приклад 8.Дискретна випадкова величина Xнабуває лише два значення. Більше значень 3 вона приймає з ймовірністю 0,4. Крім того, відома дисперсія випадкової величини D(X) = 6. Знайти математичне очікування випадкового розміру.
Приклад 9.В урні 6 білих та 4 чорних кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль є дискретною випадковою величиною X. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Випадкова величина Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за правилу множення ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Звідси математичне очікування цієї випадкової величини:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсія даної випадкової величини:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математичне очікування та дисперсія безперервної випадкової величини
Для безперервної випадкової величини механічна інтерпретація математичного очікування збереже той самий сенс: центр маси для одиничної маси, розподіленої безперервно на осі абсцис із щільністю f(x). На відміну від дискретної випадкової величини, яка має аргумент функції xiзмінюється стрибкоподібно, у безперервної випадкової величини аргумент змінюється безперервно. Але математичне очікування безперервної випадкової величини пов'язане з її середнім значенням.
Щоб знаходити математичне очікування та дисперсію безперервної випадкової величини, потрібно знаходити певні інтеграли . Якщо дана функція щільності безперервної випадкової величини, вона безпосередньо входить у подынтегральное вираз. Якщо дана функція розподілу ймовірностей, то, диференціюючи її, необхідно визначити функцію щільності.
Арифметичне середнє всіх можливих значень безперервної випадкової величини називається її математичним очікуванням, що позначається або .
Обчислимо середнє значення вибірки та математичне очікування випадкової величини у MS EXCEL.
Вибіркове середнє
Середнє вибіркиабо вибіркове середнє(sample average, mean) є середнєарифметичневсіх значень вибірки .
У MS EXCEL для обчислення середньої вибіркиможна використовувати функцію СРЗНАЧ(). Як аргументи функції потрібно вказати посилання на діапазон, що містить значення вибірки .
Вибіркове середнєє «хорошою» (незміщеною та ефективною) точковою оцінкою математичного очікуваннявипадкової величини (див.), тобто. середнього значеннявихідного розподілу, з якого взято вибірка .
Примітка: Про обчислення довірчих інтервалівпри оцінці математичного очікуванняможна прочитати, наприклад, у статті .
Деякі властивості середнього арифметичного :
- Сума всіх відхилень від середнього значеннядорівнює 0:
- Якщо до кожного з значень x i додати одну і ту ж константу з, то середнє арифметичнезбільшиться на таку саму константу;
- Якщо кожне з значень x i помножити на ту саму константу з, то середнє арифметичнепомножиться на таку саму константу.
Математичне очікування
Середнє значенняможна обчислити як для вибірки, але випадкової величини, якщо відомо її . В цьому випадку середнє значеннямає спеціальну назву - Математичне очікування.Математичне очікуванняхарактеризує «центральне» чи середнє значення випадкової величини.
Примітка: В англомовній літературі є безліч термінів для позначення математичного очікування: expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] або перший момент M[X].
математичне очікуванняобчислюється за такою формулою:
де x i – значення, яке може набувати випадкова величина, а р(x i) – ймовірність, що випадкова величина прийме це значення.
Якщо випадкова величина має , то математичне очікуванняобчислюється за такою формулою.
У попередньому ми навели ряд формул, що дозволяють знаходити числові характеристики функцій, коли відомі закони розподілу аргументів. Однак у багатьох випадках для знаходження числових характеристик функцій не потрібно знати навіть законів розподілу аргументів, а достатньо знати лише деякі їх числові характеристики; при цьому ми взагалі обходимося без будь-яких законів розподілу. Визначення числових характеристик функцій за заданими числовими характеристиками аргументів широко застосовується теоретично ймовірностей і дозволяє значно спрощувати вирішення низки задач. Переважно такі спрощені методи відносяться до лінійних функцій; однак деякі елементарні нелінійні функції також припускають подібний підхід.
У цьому ми викладемо ряд теорем про числові характеристики функцій, що у своїй сукупності дуже простий апарат обчислення цих показників, застосовний у широкому колі умов.
1. Математичне очікування невипадкової величини
Сформульована властивість є досить очевидною; довести його можна, розглядаючи невипадкову величину як окремий вид випадкової, при одному можливому значенні з ймовірністю одиниця; тоді за загальною формулою для математичного очікування:
.
2. Дисперсія невипадкової величини
Якщо – невипадкова величина, то
3. Винесення невипадкової величини за знак математичного очікування
, (10.2.1)
тобто невипадкову величину можна виносити за знак математичного очікування.
Доказ.
а) Для перервних величин
б) Для безперервних величин
.
4. Винесення невипадкової величини за знак дисперсії та середнього квадратичного відхилення
Якщо – невипадкова величина, а – випадкова, то
, (10.2.2)
тобто невипадкову величину можна виносити за знак дисперсії, зводячи її в квадрат.
Доказ. За визначенням дисперсії
Слідство
,
тобто невипадкову величину можна виносити за знак середнього квадратичного відхилення її абсолютним значенням. Доказ отримаємо, витягуючи квадратний корінь з формули (10.2.2) і враховуючи, що п.к.о. - Суттєво позитивна величина.
5. Математичне очікування суми випадкових величин
Доведемо, що для будь-яких двох випадкових величин і
т. е. математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.
Ця властивість відома під назвою теореми складання математичних очікувань.
Доказ.
а) Нехай – система перервних випадкових величин. Застосуємо до суми випадкових величин загальну формулу (10.1.6) для математичного очікування функції двох аргументів:
.
Ho являє собою не що інше, як повну ймовірність того, що величина набуде значення:
;
отже,
.
Аналогічно доведемо, що
,
та теорема доведена.
б) Нехай – система безперервних випадкових величин. За формулою (10.1.7)
. (10.2.4)
Перетворимо перший із інтегралів (10.2.4):
;
аналогічно
,
та теорема доведена.
Слід спеціально відзначити, що теорема складання математичних очікувань справедлива будь-яких випадкових величин - як залежних, і незалежних.
Теорема складання математичних очікувань узагальнюється на довільне число доданків:
, (10.2.5)
т. е. математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.
Для підтвердження досить застосувати спосіб повної індукції.
6. Математичне очікування лінійної функції
Розглянемо лінійну функцію кількох випадкових аргументів:
де – невипадкові коефіцієнти. Доведемо, що
, (10.2.6)
т. е. математичне очікування лінійної функції дорівнює тієї ж лінійної функції від математичних очікувань аргументів.
Доказ. Користуючись теоремою складання м. о. та правилом винесення невипадкової величини за знак м. о., отримаємо:
.
7. Диспepця суми випадкових величин
Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій плюс подвоєний кореляційний момент:
Доказ. Позначимо
За теоремою складання математичних очікувань
Перейдемо від випадкових величин до відповідних центрованих величин. Віднімаючи почленно від рівності (10.2.8) рівність (10.2.9), маємо:
За визначенням дисперсії
що й потрібно було довести.
Формула (10.2.7) для дисперсії суми може бути узагальнена на будь-яке число доданків:
,
(10.2.10)
де - кореляційний момент величин , знак під сумою позначає, що підсумовування поширюється попри всі можливі попарні поєднання випадкових величин 
.
Доказ аналогічний попередньому і випливає з формули для квадрата багаточлена.
Формула (10.2.10) може бути записана ще в іншому вигляді:
, (10.2.11)
де подвійна сума поширюється на всі елементи кореляційної матриці системи величин , Що містить як кореляційні моменти, так і дисперсії
Якщо всі випадкові величини , що входять до системи, некорельовані (тобто при ), формула (10.2.10) набуває вигляду:
, (10.2.12)
т. е. дисперсія суми некорельованих випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків.
Це становище відоме під назвою теореми складання дисперсій.
8. Дисперсія лінійної функції
Розглянемо лінійну функцію кількох випадкових величин.
де – невипадкові величини.
Доведемо, що дисперсія цієї лінійної функції виражається формулою
, (10.2.13)
де - Кореляційний момент величин, .
Доказ. Введемо позначення:
. (10.2.14)
Застосовуючи до правої частини виразу (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсії суми та враховуючи, що , отримаємо:
де - кореляційний момент величин:
.
Обчислимо цей момент. Маємо:
;
аналогічно
Підставляючи цей вираз (10.2.15), приходимо до формули (10.2.13).
В окремому випадку, коли всі величини некорельовані, формула (10.2.13) набуває вигляду:
, (10.2.16)
т. е. дисперсія лінійної функції некорельованих випадкових величин дорівнює сумі творів квадратів коефіцієнтів дисперсії відповідних аргументів.
9. Математичне очікування добутку випадкових величин
Математичне очікування твору двох випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань плюс кореляційний момент:
Доказ. Виходитимемо з визначення кореляційного моменту:
Перетворимо цей вираз, користуючись властивостями математичного очікування:
що, очевидно, рівносильне формулі (10.2.17).
Якщо випадкові величини некорельовані, то формула (10.2.17) набуває вигляду:
т. е. математичне очікування твори двох некорельованих випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.
Це становище відоме під назвою теореми множення математичних очікувань.
Формула (10.2.17) є не що інше, як вираз другого змішаного центрального моменту системи через другий змішаний початковий момент та математичні очікування:
. (10.2.19)
Це вираз часто застосовується на практиці при обчисленні кореляційного моменту аналогічно тому, як для однієї випадкової величини дисперсія часто обчислюється через другий початковий момент та математичне очікування.
Теорема множення математичних очікувань узагальнюється і на довільне число співмножників, тільки в цьому випадку для її застосування недостатньо того, щоб величини були некорельовані, а потрібно, щоб зверталися в нуль і деякі вищі змішані моменти, кількість яких залежить від числа членів у творі. Ці умови свідомо виконані за незалежності випадкових величин, які входять у твір. В цьому випадку
, (10.2.20)
т. е. математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.
Це положення легко доводиться шляхом повної індукції.
10. Дисперсія твору незалежних випадкових величин
Доведемо, що для незалежних величин
Доказ. Позначимо. За визначенням дисперсії
Оскільки величини незалежні, то
При незалежні величини теж незалежні; отже,
,
Але є не що інше, як другий початковий момент величини, і, отже, виражається через дисперсію:
;
аналогічно
.
Підставляючи ці вирази у формулу (10.2.22) та наводячи подібні члени, приходимо до формули (10.2.21).
У разі коли перемножуються центровані випадкові величини (величини з математичними очікуваннями, рівними нулю), формула (10.2.21) набуває вигляду:
, (10.2.23)
т. е. дисперсія добутку незалежних центрованих випадкових величин дорівнює добутку їх дисперсій.
11. Найвищі моменти суми випадкових величин
У деяких випадках доводиться обчислювати найвищі моменти суми незалежних випадкових величин. Доведемо деякі співвідношення, що відносяться сюди.
1) Якщо величини незалежні, то
Доказ.
звідки за теоремою множення математичних очікувань
Але перший центральний момент для будь-якої величини дорівнює нулю; два середні члени перетворюються на нуль, і формула (10.2.24) доведена.
Співвідношення (10.2.24) методом індукції легко узагальнюється на довільне число незалежних доданків:
. (10.2.25)
2) Четвертий центральний момент суми двох незалежних випадкових величин виражається формулою
де - дисперсії величин і.
Доказ абсолютно аналогічний до попереднього.
Методом повної індукції легко довести узагальнення формули (10.2.26) довільне число незалежних доданків.
