Примітка. Цей матеріал містить теорему та її доказ, а також ряд завдань, що ілюструють застосування теореми про суму кутів опуклого багатокутника на практичних прикладах..

Теорема про суму кутів опуклого багатокутника

.

Доказ.

Для доказу теореми про суму кутів опуклого багатокутника скористаємося вже доведеною теоремою про те, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Нехай A 1 A 2... A n - даний опуклий багатокутник і n > 3. Проведемо всі діагоналі багатокутника з вершини A 1. Вони розбивають його на n – 2 трикутники: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°, а число трикутників – (n – 2). Тому сума кутів опуклого n-кутника A 1 A 2 ... A n дорівнює 180 ° (n - 2).

Завдання.

У опуклому багатокутнику три кути по 80 градусів, а решта – 150 градусів. Скільки кутів у опуклому багатокутнику?

Рішення.

Теорема каже: Для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180 ° (n-2) .

Значить для нашого випадку:

180(n-2)=3*80+x*150, де

3 кута по 80 градусів нам дано за умовою завдання, а кількість інших кутів нам поки що невідома, значить позначимо їх кількість як x.

Однак, із запису в лівій частині ми визначили кількість кутів багатокутника як n, оскільки їх величини трьох кутів ми знаємо за умовою завдання, то очевидно, що x=n-3.

Таким чином рівняння виглядатиме так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Вирішуємо отримане рівняння

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

Відповідь: 5 вершин

Завдання.

Яка кількість вершин може мати багатокутник, якщо величина кожного з кутів менша за 120 градусів?

Рішення.

Для вирішення цього завдання скористаємося теоремою про суму кутів опуклого багатокутника.

Теорема каже: Для опуклого n-кутника сума всіх кутів дорівнює 180 ° (n-2) .

Отже, нашого випадку необхідно спочатку оцінити граничні умови завдання. Тобто зробити припущення, що кожен з кутів дорівнює 120 градусам. Отримуємо:

180n – 360 = 120n

180n - 120n = 360 (це вираз розглянемо окремо нижче)

Виходячи з отриманого рівняння, робимо висновок: при величині кутів менше 120 градусів кількість кутів багатокутника менше шести.

Пояснення:

Виходячи з виразу 180n - 120n = 360, за умови, що віднімається правою частиною буде менше 120n, різниця повинна бути більше 60n. Таким чином, приватне від поділу завжди буде менше шести.

Відповідь:кількість вершин багатокутника буде меншою за шість.

Завдання

У багатокутнику три кути по 113 градусів, а решта рівні між собою та їх градусний захід - ціле число. Знайти кількість вершин багатокутника.

Рішення.

Для вирішення цього завдання скористаємося теоремою про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника.

Теорема каже: Для опуклого n-кутника сума всіх зовнішніх кутів дорівнює 360° .

Таким чином,

3*(180-113)+(n-3)x=360

права частина висловлювання - сума зовнішніх кутів, у лівій частині сума трьох кутів відома за умовою, а градусна міра інших (їх кількість, відповідно n-3, оскільки три кути відомі) позначена як x.

159 розкладається тільки на два множники 53 і 3, причому 53 - просте число. Тобто, інших пар множників не існує.

Таким чином, n-3 = 3, n = 6, тобто кількість кутів багатокутника – шість.

Відповідь: шість кутів

Завдання

Доведіть, що у опуклого багатокутника може бути не більше трьох гострих кутів.

Рішення

Як відомо, сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 3600. Проведемо доказ протилежного. Якщо у опуклого багатокутника не менше чотирьох гострих внутрішніх кутів, отже серед його зовнішніх кутів не менше чотирьох тупих, звідки випливає, що сума всіх зовнішніх кутів багатокутника більша за 4*90 0 = 360 0 . Маємо протиріччя. Твердження доведено.

Трикутник, квадрат, шестикутник – ці фігури відомі практично всім. Але про те, що таке правильний багатокутник, знає далеко не кожен. Але це все ті ж Правильним багатокутником називають той, що має рівні між собою кути та сторони. Таких фігур дуже багато, але вони мають однакові властивості, і до них застосовні одні й самі формули.

Властивості правильних багатокутників

Будь-який правильний багатокутник, будь то квадрат або октагон, може бути вписаний у коло. Ця основна властивість часто використовується при побудові фігури. Крім того, коло можна і вписати в багатокутник. При цьому кількість точок дотику дорівнюватиме кількості його сторін. Важливо, що коло, вписане у правильний багатокутник, матиме із нею загальний центр. Ці геометричні постаті підпорядковані одним теоремам. Будь-яка сторона правильного n-кутника пов'язана з радіусом описаного біля нього кола R. Тому її можна обчислити, використовуючи таку формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через можна знайти не тільки сторони, а й периметр багатокутника.

Як знайти кількість сторін правильного багатокутника

Кожен складається з деякої кількості рівних один одному відрізків, які, з'єднуючись, утворюють замкнуту лінію. При цьому всі кути фігури, що утворилася однакове значення. Багатокутники поділяються на прості та складні. До першої групи відносяться трикутник та квадрат. Складні багатокутники мають більшу кількість сторін. До них також відносять зірчасті постаті. У складних правильних багатокутників сторони знаходять шляхом вписування в коло. Наведемо підтвердження. Накресліть правильний багатокутник із довільним числом сторін n. Опишіть коло нього коло. Задайте радіус R. Тепер уявіть, що дано деякий n-кутник. Якщо точки його кутів лежать на колі і дорівнюють одна одній, то сторони можна знайти за формулою: a = 2R ∙ sinα: 2.

Знаходження числа сторін вписаного правильного трикутника

Рівносторонній трикутник – це правильний багатокутник. Формули до нього застосовуються ті ж, що і до квадрата, і n-кутника. Трикутник вважатиметься правильним, якщо він однакові по довжині сторони. При цьому кути дорівнюють 60⁰. Побудуємо трикутник із заданою довжиною сторін а. Знаючи його медіану та висоту, можна знайти значення його сторін. Для цього використовуватимемо спосіб знаходження через формулу а = х: cosα, де х - медіана або висота. Оскільки всі сторони трикутника рівні, отримуємо а = в = с. Тоді вірним буде наступне твердження а = = с = х: cosα. Аналогічно можна знайти значення сторін у рівнобедреному трикутнику, але х буде задана висота. При цьому проектуватись вона повинна строго на підставу фігури. Отже, знаючи висоту х, знайдемо бік а рівнобедреного трикутника за формулою а = в = х: cosα. Після знаходження значення а можна обчислити довжину основи. Застосуємо теорему Піфагора. Шукатимемо значення половини основи c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тоді c = 2xtg. Ось таким нескладним способом можна визначити кількість сторін будь-якого вписаного багатокутника.

Обчислення сторін квадрата, вписаного в коло

Як і будь-який інший вписаний правильний багатокутник, квадрат має рівні боки та кути. До нього застосовуються самі формули, як і до трикутнику. Обчислити сторони квадрата можна за значення діагоналі. Розглянемо цей метод більш детально. Відомо, що діагональ ділить кут навпіл. Спочатку його значення було 90 градусів. Таким чином, після розподілу утворюються два їхні кути при підставі дорівнюють 45 градусів. Відповідно кожна сторона квадрата дорівнюватиме, тобто: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, де е - це діагональ квадрата, або основа прямокутного трикутника, що утворився після розподілу. Це не єдиний спосіб знаходження сторін квадрата. Впишемо цю фігуру в коло. Знаючи радіус цього кола R, знайдемо бік квадрата. Обчислюватимемо її наступним чином a4 = R√2. Радіуси правильних багатокутників обчислюють за формулою R = а: 2tg (360 o: 2n), де а – довжина сторони.

Як обчислити периметр n-кутника

Периметром n-кутника називають суму всіх сторін. Обчислити його нескладно. Для цього потрібно знати значення всіх сторін. Для деяких видів багатокутників є спеціальні формули. Вони дозволяють знайти периметр набагато швидше. Відомо, що будь-який правильний багатокутник має рівні боки. Тому для того, щоб вирахувати його периметр, достатньо знати хоча б одну з них. Формула залежатиме від кількості сторін фігури. Загалом вона виглядає так: Р = an, де а - значення сторони, а n - кількість кутів. Наприклад, щоб знайти периметр правильного восьмикутника зі стороною 3 см, необхідно помножити її на 8, тобто Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестикутника зі стороною 5 см обчислюємо так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. І так для кожного багатокутника.

Знаходження периметра паралелограма, квадрата та ромба

Залежно від цього, скільки сторін має правильний багатокутник, обчислюється його периметр. Це набагато полегшує поставлене завдання. Адже, на відміну від інших фігур, у цьому випадку не потрібно шукати всі його сторони, достатньо однієї. За цим принципом знаходимо периметр у чотирикутників, тобто у квадрата і ромба. Незважаючи на те, що це різні фігури, Формула для них одна Р = 4а, де а - сторона. Наведемо приклад. Якщо сторона ромба або квадрата дорівнює 6 см, то знаходимо периметр так: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У паралелограма рівні лише протилежні сторони. Тому його периметр знаходять, використовуючи інший спосіб. Отже, нам необхідно знати довжину та ширину у фігури. Потім застосовуємо формулу Р = (а + в) 2. Паралелограм, у якого рівні всі сторони та кути між ними, називається ромб.

Знаходження периметра рівностороннього та прямокутного трикутника

Периметр правильного можна визначити за формулою Р = 3а, де а - довжина боку. Якщо вона невідома, її можна знайти через медіану. У прямокутному трикутнику рівне значення мають лише дві сторони. Підставу можна знайти через теорему Піфагора. Після того, як стануть відомі значення всіх трьох сторін, обчислюємо периметр. Його можна знайти, застосовуючи формулу Р = а + в + с, де а і в – рівні сторони, а с – основа. Нагадаємо, що в рівнобедреному трикутнику а = в = а, отже, а + в = 2а, тоді Р = 2а + с. Наприклад, сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, знайдемо його основу та периметр. Обчислюємо значення гіпотенузи за теоремою Піфагора з = √а 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Обчислимо тепер периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайти кути правильного багатокутника

Правильний багатокутник зустрічається у нашому житті щодня, наприклад, звичайний квадрат, трикутник, восьмикутник. Здавалося б, немає нічого простішого, ніж побудувати цю фігуру самостійно. Але це лише на перший погляд. Щоб побудувати будь-який n-кутник, необхідно знати значення його кутів. Але як їх знайти? Ще вчені давнини намагалися збудувати правильні багатокутники. Вони здогадалися вписати їх у коло. А потім на ній відзначали потрібні точки, з'єднували їх прямими лініями. Для простих постатей проблема побудови була вирішена. Формули та теореми були отримані. Наприклад, Евклід у своїй знаменитій праці «Початок» займався вирішенням завдань для 3-, 4-, 5-, 6- та 15-кутників. Він знайшов способи їх побудови та знаходження кутів. Розглянемо як це зробити для 15-кутника. Спочатку потрібно розрахувати суму його внутрішніх кутів. Необхідно використати формулу S = 180⁰(n-2). Отже, нам дано 15-кутник, значить число n дорівнює 15. Підставляємо відомі нам дані у формулу і отримуємо S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Ми знайшли суму всіх внутрішніх кутів 15-кутника. Тепер потрібно отримати значення кожного з них. Усього кутів 15. Робимо обчислення 2340⁰: 15 = 156⁰. Отже, кожен внутрішній кут дорівнює 156⁰, тепер за допомогою лінійки та циркуля можна побудувати правильний 15-кутник. Але як бути з складнішими n-кутниками? Багато століть вчені билися над розв'язанням цієї проблеми. Воно було знайдено лише у 18-му столітті Карлом Фрідріхом Гауссом. Він зміг побудувати 65537-кутник. З цього часу проблема офіційно вважається повністю вирішеною.

Розрахунок кутів n-кутників у радіанах

Звісно, ​​є кілька способів знаходження кутів багатокутників. Найчастіше їх обчислюють у градусах. Але можна висловити їх у радіанах. Як це зробити? Необхідно діяти так. Спочатку з'ясовуємо число сторін правильного багатокутника, потім віднімаємо з нього 2. Отже, ми отримуємо значення: n - 2. Помножте знайдену різницю на число п («пі» = 3,14). Тепер залишається лише розділити отриманий твір на число кутів у n-кутнику. Розглянемо дані обчислення на прикладі того ж п'ятнадцятикутника. Отже, число n дорівнює 15. Застосуємо формулу S = п(n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Це, звичайно, не єдиний спосіб розрахувати кут у радіанах. Можна просто розділити розмір кута в градусах на 57,3. Адже саме стільки градусів еквівалентно одному радіану.

Розрахунок значення кутів у градах

Крім градусів та радіан, значення кутів правильного багатокутника можна спробувати знайти у градах. Робиться це так. Із загальної кількості кутів віднімаємо 2, ділимо отриману різницю на число сторін правильного багатокутника. Знайдений результат множимо на 200. До речі, така одиниця виміру кутів, як гради, практично не використовується.

Розрахунок зовнішніх кутів n-кутників

У будь-якого правильного багатокутника, крім внутрішнього, можна вирахувати ще й зовнішній кут. Його значення знаходять так само, як і для інших постатей. Отже, щоб знайти зовнішній кут правильного багатокутника необхідно знати значення внутрішнього. Далі нам відомо, що сума цих двох кутів завжди дорівнює 180 градусам. Тому обчислення робимо так: 180⁰ мінус значення внутрішнього кута. Знаходимо різницю. Вона і дорівнюватиме значення суміжного з ним кута. Наприклад, внутрішній кут квадрата дорівнює 90 градусів, отже, зовнішній становитиме 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Як бачимо, знайти його нескладно. Зовнішній кут може набувати значення від +180⁰ до, відповідно, -180⁰.

Доказ

Для випадку опуклого n-кутника

Нехай A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n))- даний опуклий багатокутник і n>3. Тоді проведемо з однієї вершини до протилежних вершин ( n− 3) діагоналі: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на ( n− 2) трикутника: A 1 A 2 A 3 , A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів у кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n− 2 . Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° ( n − 2) . Теорему доведено.

Зауваження

Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° ( n− 2) . Доказ може бути аналогічним, використовуючи на додаток лему про те, що будь-який багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники, і не спираючись на те, що діагоналі проведені обов'язково з однієї вершини (обмежене такою умовою розрізання неопуклого багатокутника не завжди можливе в тому сенсі, що у неопуклого багатокутника не обов'язково є хоча б одна вершина, всі діагоналі з якої лежать усередині багатокутника, як і трикутники, які вони утворюють).

Внутрішній кут багатокутника- Це кут, утворений двома суміжними сторонами багатокутника. Наприклад, ∠ ABCє внутрішнім кутом.

Зовнішній кут багатокутника- це кут, утворений однією стороною багатокутника та продовженням іншої сторони. Наприклад, ∠ LBCє зовнішнім кутом.

Кількість кутів багатокутника завжди дорівнює кількості його сторін. Це стосується і внутрішніх кутів і зовнішніх. Незважаючи на те, що для кожної вершини багатокутника можна побудувати два рівні зовнішні кути, з них завжди береться до уваги тільки один. Отже, щоб знайти кількість кутів будь-якого багатокутника, треба порахувати кількість сторін.

Сума внутрішніх кутів

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює добутку 180° та кількості сторін без двох.

s = 2d(n - 2)

де s- це сума кутів, 2 d- два прямі кути (тобто 2 · 90 = 180 °), а n- Кількість сторін.

Якщо ми проведемо з вершини Aбагатокутника ABCDEFвсі можливі діагоналі, то розділимо його на трикутники, кількість яких буде на два менша, ніж сторін багатокутника:

Отже, сума кутів багатокутника дорівнюватиме сумі кутів всіх трикутників. Оскільки сума кутів кожного трикутника дорівнює 180° (2 d), то сума кутів всіх трикутників дорівнюватиме добутку 2 dна їх кількість:

s = 2d(n- 2) = 180 · 4 = 720 °

З цієї формули випливає, що сума внутрішніх кутів є постійною величиною та залежить від кількості сторін багатокутника.

Сума зовнішніх кутів

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 360 ° (або 4 d).

s = 4d

де s- це сума зовнішніх кутів, 4 d- чотири прямі кути (тобто 4 · 90 = 360 °).

Сума зовнішнього та внутрішнього кута при кожній вершині багатокутника дорівнює 180° (2 d), оскільки є суміжними кутами . Наприклад, ∠ 1 та ∠ 2 :

Отже, якщо багатокутник має nсторін (і nвершин), то сума зовнішніх та внутрішніх кутів при всіх nвершинах дорівнюватиме 2 dn. Щоб із цієї суми 2 dnодержати лише суму зовнішніх кутів, треба з неї відняти суму внутрішніх кутів, тобто 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Вашого багатокутника. Наприклад, якщо вам потрібно знайти кути правильного багатокутника з 15 сторонами, підставте n=15 рівняння. У вас вийде S=180⁰(15-2), S=180⁰х13, S=2340⁰.

Далі розділіть отриману суму внутрішніх кутів їх кількість. Наприклад, з багатокутником кількість кутів кількості сторін, тобто 15. Таким чином, ви отримаєте, що кут дорівнює 2340⁰/15=156⁰. Кожен внутрішній кут багатокутника дорівнює 156⁰.

Якщо вам зручніше розрахувати кути багатокутника в радіанах, дійте в такий спосіб. Відніміть із кількості сторін число 2 і помножте отриману різницю на число П (Пі). Потім розділіть добуток на кількість кутів у багатокутнику. Наприклад, якщо вам потрібно розрахувати кути правильного 15-кутника, дійте так: П*(15-2)/15=13/15П, або 0,87П, або 2,72 (але, як , число П залишається у незмінному вигляді) . Або просто розділіть розмір кута в градусах на 57,3 – саме стільки міститься в одному радіані.

Також можете спробувати розрахувати кути правильного багатокутника у градах. Для цього відніміть із кількості сторін число 2, розділіть отримане число на кількість сторін і помножте результат на 200. Ця одиниця виміру кутів сьогодні майже не використовується, але якщо ви вирішили порахувати кути в градах, не забудьте, що град розбивається на метричні секунди та хвилини (по 100 секунд за хвилину).

Можливо, вам необхідно розрахувати зовнішній кут правильного багатокутника, у цьому випадку чиніть так. Відніміть із 180⁰ внутрішній кут – у результаті ви отримаєте значення суміжного, тобто зовнішнього кута. Він може набувати значення від -180⁰ до +180⁰.

Корисна порада

Якщо вам вдалося дізнатися кути правильного багатокутника, ви зможете легко його побудувати. Накресліть одну сторону певної довжини та від неї за допомогою транспортира відкладіть потрібний кут. Відміряйте таку ж відстань (усі сторони правильного багатокутника рівні) і знову відкладіть потрібний кут. Продовжуйте, доки сторони не зімкнуться.

Джерела:

• кут у правильному багатокутнику

Описаним називається такий багатокутник, всі сторони якого стосуються вписаного в нього кола. Описати можна тільки правильний багатокутник, тобто такий, у якого всі сторони рівні. З розв'язанням подібного завдання стикалися ще давні архітектори, коли потрібно було спроектувати, наприклад колону. Сучасні технологіїдозволяють це зробити з мінімальними витратами часу, проте принцип роботи залишається тим же, що і в класичній геометрії.

Вам знадобиться

• - циркуль;
• - Транспортир;
• - Лінійка;
• - аркуш паперу.

Інструкція

Накресліть коло із заданим. Центр її визначте як і проведіть один з радіусів, щоб була можливість почати побудову. Для того щоб описати навколо неї багатокутник, вам потрібний єдиний його параметр - кількість сторін. Позначте його як n.

Згадайте, кут будь-якого кола. Він становить 360 °. Виходячи з цього, можна обчислити кути секторів, сторони яких з'єднуватимуть центр кола з точками торкання її зі сторонами багатокутника. Кількість цих секторів дорівнює кількості сторін багатокутника, тобто n. Кут α знайдіть за формулою α = 360°/n.

За допомогою транспортира відкладіть отриману величину кута від радіусу та проведіть через неї ще один радіус. Щоб обчислення були точними, використовуйте калькулятор і округляйте величини тільки у виняткових випадках. Від цього нового радіусу знову відкладіть кут сектора та проведіть ще одну пряму між центром та лінією кола. Так само побудуйте всі кути.